ESERCITAZIONE N 14 STUDIO DI UN SISTEMA DI ATTESA M/M/1

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1 ESERCITAZIONE N 4 STUDIO DI UN SISTEMA DI ATTESA M/M/ Teoria delle code La teoria delle code comprede lo studio matematico delle code o sistemi d'attesa. La formazioe delle liee di attesa è u feomeo comue che si verifica ogi volta che la ormale domada per u servizio supera la capacità ormale di attuare quel servizio. La teoria delle code o risolve direttamete, da sola, questo problema. Comuque, forisce importati dati riguardati alcue importati caratteristiche della liea di attesa come il tempo medio di attesa. Il processo tipico della coda Il processo fodametale usato dalla maggior parte dei modelli di code è il seguete. Le uità che hao bisogo di servizio geeralmete appartegoo ad ua popolazioe di probabili uteti. Queste uità etrao el sistema e formao ua coda. Ad u certo puto, u compoete della coda viee scelto per usufruire del servizio secodo certe regole coosciute come la disciplia del servizio. Il servizio richiesto da u uità è eseguito dalla stazioe di servizio, dopo che l uità ha lasciato il sistema delle code. Nella figura sottostate è rappresetato questo processo

2 I sistemi di file d attesa (sistemi di cogestioe) soo caratterizzati da u arrivo casuale di clieti, (ciascu richiedete u operazioe ad u apposita uità/ stazioe di servizio). Ache quado l afflusso di clieti o sia i media superiore alla massima capacità di smaltimeto dell uità di servizio, a causa dell aleatorietà dei feomei coivolti, si avrà la formazioe di ua fila d attesa, i cui si disporrao i clieti o acora serviti. I parametri che cocorroo a determiare la capacità di smaltimeto dell uità di servizio soo sostazialmete due: il umero di serveti, cioè il umero di dispositivi iteri all uità che possoo cotemporaeamete forire il servizio richiesto, ed il tempo di servizio ts impiegato per completare u servizio da ciascuo di essi. Ua fila d attesa è caratterizzata dai segueti parametri: ta : itervallo di tempo tra gli arrivi ts : tempo di servizio tq : tempo complessivo speso dal geerico cliete ella coda prima di essere servito tw : tempo complessivo speso dal geerico cliete el sistema s : umero di serveti : umero di clieti el sistema (stato del sistema) disciplia di servizio: legge secodo la quale i clieti i fila d attesa vegoo serviti dimesioe popolazioe di uteti comportameto del cliete dopo il servizio l : lughezza massima della coda, cioè massimo umeri di uteti i attesa. Notazioe di Kedall I geerale, la teoria delle code classifica i modelli di attesa secodo il tipo di distribuzioi di ta e ts ed il umero di serveti. Si adotterà per brevità la otazioe di Kedall, secodo cui u dato sistema di coda può essere idividuato da ua serie di tre lettere cosecutive dove, la prima lettera idica il tipo di igressi, la secoda il tipo di servizi e la terza il umero di serveti; quidi co il simbolo M / M / si idividua u sistema di attesa di co arrivi e servizi di tipo Markoviao metre il umero idica la preseza di u uico caale di coda, ossia di u solo servete.

3 Relazioi Fodametali Quidi u sistema di file d attesa è costituito dalla combiazioe di due processi stocastici: uo di arrivi, caratterizzato da ta, ed uo di servizio caratterizzato da ts. Il processo degli arrivi/uscite può dipedere dal umero di clieti preseti el sistema. Sia s il umero dei serveti, la lughezza l della coda è evidetemete data dallo stato del sistema (umero di clieti el sistema) meo il umero di clieti i fase di servizio. Si ha cioè: s se se s s Ioltre, si può otare che il tempo complessivo speso el sistema da u cliete è pari a tw tq + ts U importaza particolare assumoo spesso i valori attesi dell itervallo di tempo tra gli arrivi E{ t a } e del tempo di servizio di servizio : E{ t s }. Di solito si usa itrodurre ua frequeza media di arrivi ed ua velocità E{ t a } E{ t s } Se s, ossia è presete u solo servete, allora si defiisce fattore di utilizzazioe ρ il rapporto : ρ Tale rapporto può essere iterpretato come la frazioe di tempo i cui il servete è occupato.

4 Scopo dell aalisi di u sistema di file d attesa è fodametalmete quello di determiare la seguete probabilità: (t) : robabilità che el sistema ci siao uteti, ossia che il sistema si trovi ello stato. Da questa gradezza è ifatti possibile risalire, come si vedrà, a moltissime altre gradezze di iteresse. Trae che i casi particolarmete semplici, la determiazioe di queste probabilità è estremamete difficoltosa quado il sistema o è i codizioi di stazioarietà. Ua volta ote le probabilità ( t ) è possibile ricavare il valore medio N del umero di clieti el sistema: N E {} ed il valore medio L del umero di clieti i fila d attesa: L E {} l ( s) s U altro obiettivo dell aalisi di u sistema di file d attesa è la determiazioe del valore medio del tempo trascorso rispettivamete el sistema W ed i coda Wq dal geerico cliete: { t } t f ( t) dt W E w W q tw { } t f () t dt E tq f tw () () tq dove t e t soo rispettivamete la fuzioe desità di probabilità del tempo trascorso el f tq sistema ed il tempo trascorso i coda.

5 Nell aalisi e el dimesioameto dei sistemi di file d attesa u ruolo importate è giocato dai valori attesi del umero di clieti del sistema N, dalla lughezza della coda L, dal tempo speso da u cliete el sistema W e dal tempo di attesa i coda Wq. Tali gradezze, come è facilmete ituibile, o soo idipedeti tra loro: N ( T ) ( T ) W ( T ) dove, ell itervallo di tempo T, N(T) è il valor medio di clieti el sistema, (T) il umero medio di arrivi el sistema e W(T) il valor medio del tempo speso el sistema da u cliete. Se soo soddisfatte le ipotesi di ergodicità,( i particolare u processo si dice ergodico, se dopo u periodo di evoluzioe iiziale, tede ad ua fase stazioaria, i ci assume adameto regolare) tale relazioe è idipedete dal tempo: N W Aalogamete possoo essere ricavate le successive relazioi fodametali: L W q W E { t } + E{ t } q s W q + W s L + Tali relazioi mostrao le correlazioi tra i parametri fodametali d iteresse, è quidi sufficiete calcolare uo per poter ricavare gli altri. Nel caso s, si può ricavare u altra relazioe tra fattore di utilizzazioe ρ del servete e la probabilità che il sistema di file d attesa si trovi ello stato : L N W + L + L + ρ L E s {} l ( s) ( ) ( ) N ( ) erché dal teorema fodametale del calcolo delle probabilità si ha che: o

6 o o + I sitesi iterpretado o come la probabilità che il servete sia ioperoso, essedo, il completameto ad di o viee a rappresetare la frazioe di tempo i cui il servete è attivo: ρ A questo puto è possibile affermare che se le codizioi del sistema soo stazioarie, ossia i parametri e, o dipedoo dallo stato i cui ci strova, dovrà verificarsi che: Da cui risulta che: I base alla relazioe appea scritta, è possibile affermare che: 2 2 M

7 Quidi ricordado che la sommatoria delle probabilità associate a tutti i possibili stati del sistema deve essere pari ad uo, si ha: A questo puto è possibile ricavare la probabilità relativa allo stato, i cui o essedoci uteti el sistema, il servete rimae ioperoso: La geerica probabilità, sarà pari a: ( ) ρ ρ Ua volta ote le probabilità stazioarie,che el sistema di fila di attesa si trovio clieti, possiamo calcolare alcue gradezze caratteristiche. Si dimostra che Il valore atteso del umero di clieti el sistema è: ρ ρ N Da cui è possibile ricavare l espressioe del tempo medio speso el sistema W: N W ρ N W

8 Acora ricordado l espressioe del tempo medio di servizio Ws: W s E possibile otteere l espressioe del tempo medio di attesa i coda Wq: W W W q q + W s W W s ρ ρ ρ ( ) Ed ifie si ricava la formula del umero medio di uteti i coda L: : L L W q ( ρ ) ( ρ) ρ ρ 2 Modelli stocastici dei processi di arrivo e di servizio: rocessi di Markov I tal caso, come già detto, si sta aalizzado u sistema di attesa M / M / el quale, gli arrivi e i servizi soo di tipo Markoviao, ossia i tempi di iterarrivo e di servizio soo distribuiti secodo ua legge espoeziale egativa e gli arrivi soo poissoiai. A questo puto per completezza è ecessario quidi approfodire il cocetto di processo di Markov. U sistema di coda è caratterizzato fodametalmete da due processi stocastici: il processo degli arrivi caratterizzato dalla distribuzioe di probabilità dei tempi di iterarrivo e il processo di servizio caratterizzato dalla distribuzioe di probabilità dei tempi di servizio. E bee specificare prevetivamete il cocetto di processo stocastico: I processi aleatori o stocastici soo i modelli matematici adatti a studiare l'adameto dei feomei che seguoo leggi casuali o probabilistiche; rappresetao lo sviluppo più approfodito del calcolo delle probabilità i quato si dà il fatto che i tutti i feomei aturali è presete, sia per la loro stessa

9 atura, sia per gli errori di osservazioe, ua compoete casuale o accidetale. Tale compoete fa sì che ad ogi istate t il risultato dell'osservazioe sul feomeo sia u umero aleatorio o variabile casuale X t : o è possibile prevedere co certezza quale sarà tale risultato; si può solo affermare che esso assumerà uo tra più valori possibili, ciascuo dei quali ha ua determiata probabilità. Dal puto di vista formale u processo stocastico si defiisce come ua famiglia di variabili casuali { }, t T X t erché sia ota la distribuzioe del processo, deve essere data, per ogi isieme fiito del parametro t {t i,..., t } T la distribuzioe della variabile casuale a dimesioi Xt i,..., Xt, Nell ambito della teoria delle code la distribuzioe di probabilità del tempo che rimae fio ad u eveto (arrivo o completameto del servizio) è sempre la stessa idipedetemete da quato tempo è trascorso, ovvero il processo dimetica il passato. er quato riguarda gli itertempi di arrivo, questa proprietà descrive la situazioe comue i cui il tempo fio al prossimo arrivo o è assolutamete ifluezato da quado si è verificato l ultimo arrivo. er quato riguarda i tempi di servizio questa proprietà può essere iterpretata el seso che il tempo macate al completameto di u servizio può essere idipedete da quado il servizio è iiziato. I seguito a tale cosiderazioe, si può affermare che i processi di arrivo e servizi soo processi stocastici markoviai o processi di Markov o catee di Markov, cioè processi stocastici ei quali la probabilità di trasizioe che determia il passaggio ad uo stato di sistema dipede uicamete dallo stato di sistema immediatamete precedete e o dal come si è giuti a tale stato. Formalmete questo può essere scritto come: Questa è detta proprietà di Markov, o codizioe di "asseza di memoria".

10 Distribuzioe espoeziale egativa er defiire u sistema di code è ecessario specificare etrambe le distribuzioi di probabilità dei tempi di iterarrivo e dei tempi di servizio. I u sistema reale queste distribuzioi possoo assumere qualsiasi forma e per formulare u modello basato su u sistema di code che rappreseti u sistema reale è ecessario che le distribuzioi di probabilità assute ella costruzioe del modello siao quato più possibile realistiche. Al tempo stesso esse devoo essere sufficietemete semplici e matematicamete trattabili. Sulla base di queste cosiderazioi la distribuzioe di probabilità che maggiormete viee presa i cosiderazioe ella teoria delle code è la distribuzioe espoeziale egativa, la cui fuzioe di desità di probabilità è così defiita: e f ( t, ) t se se t t < Dove il parametro è detto itesità e rappreseta il umero di eveti che si verificao per uità di tempo. L espoeziale egativa è ua distribuzioe di probabilità cotiua e positiva, ossia la variabile t assume solo valori reali positivi. La fuzioe di distribuzioe F(t), è data dal seguete itegrale: F t e t t t t t t t t t () t f ( t) dt dt + e dt e dt [ e ] e e e t da cui: e F( t, ) t se se t t < La media di tale distribuzioe vale: I tale cotesto si adopera la distribuzioe espoeziale egativa poiché, essedo l uica distribuzioe a godere della proprietà dell asseza di memoria, bee si adatta a descrivere i processi markoviai i questioe, che ecessitao, per defiizioe, di tale proprietà.

11 rocesso di oisso La variabile casuale espoeziale egativa viee usata i relazioe alla variabile casuale poissoiaa i quato se l'itervallo di tempo che passa tra due successi è distribuito come ua espoeziale egativa di parametro ; allora il umero di successi etro u predetermiato itervallo di tempo è distribuito come ua poissoiaa (co parametro ); e viceversa. I sitesi la distribuzioe espoeziale egativa o forisce la probabilità di avere k eveti i u itervallo di tempo -t, ma si limita al calcolo della probabilità che u certo eveto si verifichi o meo ell itervallo di tempo cosiderato. La probabilità che si verifichio k eveti ell itervallo di tempo -t, è quidi determiata attraverso la distribuzioe di oisso: ( t) k ( t) k e k! t La presete distribuzioe risulta essere discreta cioè la variabile aleatoria può assumere solo valori iteri e discreti.

12 ESEMIO Co il presete esercizio si itede dimesioare la velocità di servizio dell uico servete di u autolavaggio. Tale dimesioameto cosiste ello scegliere il valore del parametro, i corrispodeza del quale si registra u costo totale miimo. Il costo totale risulta essere la somma del costo del servizio sopportato dal gestore dell autolavaggio e del costo dell attesa sopportato dall utete. Si assuma che: auto 4 : frequeza media di arrivi all autolavaggio ora Costo per ora spesa el sistema del sigolo utete 35 Euro Costo del servizio è lieare. er u valore di pari a 4 auto/ora, allora il costo è di 4 Euro; ogi icremeto di di,, fa crescere il costo di Euro er la risoluzioe di tale problema è ecessario prevetivamete ricavare le espressioi formali dei costi, i particolare risulta: Costo Servizio Costo Attesa 34W Costo Totale Costo Servizio + Costo Attesa

13 Il valore del tempo di attesa ossia del tempo medio speso el sistema W,i base a quato visto i precedeza, ha la seguete espressioe: W N ρ A questo puto facedo variare il parametro è possibile idividuare il valore capace di miimizzare i costi totali, di seguito si riportao i calcoli eseguiti i forma tabellare: Velocità di servizio (auto/ora) Costo Servizio (euro) W Tempo di Attesa (ore) Costo Attesa (euro) , 4, ,2 42 5, ,3 43 3, ,4 44 2, ,5 45 2, ,6 46, ,7 47, ,8 48, ,9 49, , , 5, ,2 52, ,3 53, ,4 54, ,5 55, ,6 56, ,7 57, ,8 58, ,9 59, , , 6, ,2 62, ,3 63, ,4 64, ,5 65, ,6 66, ,7 67, ,8 68, ,9 69, , Costo Totale (euro)

14 Come è facile evicere il puto di ottimo si registra i corrispodeza di 4, 6 auto/ora. COSTI 2 Costi (euro) Velocità di servizio (auto/ora) Costo Servizio (euro) Costo Attesa (euro) Costo Totale (euro)