LA SPIRALE MERAVIGLIOSA "Eadem mutata resurgo"

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1 LA SPIRALE MERAVIGLIOSA "Eadem mutata resurgo" di Agese Di Castro & Virgiia Correai TFA 2015 classe A059 corso di Didattica della Matematica 2 Prof. Piccii

2 Cos è ua spirale? Curva asimmetrica aperta geerata da u puto che si avvolge itoro ad u origie fissa, detta polo, aumetado o dimiuedo secodo il verso i modo cotiuo la distaza da essa. OVVERO La traiettoria disegata da u puto P mobile su ua semiretta che ruota itoro alla sua origie O; OP è il raggio vettore r della spirale I tratti curviliei soo detti spire

3 Spirali Spirali bidimesioali Spirali tridimesioali

4 La spirale archimedea Scoperta circa 2200 ai fa dallo scieziato siracusao e da lui descritta ell opera De lieis spiralibus, ha equazioe polare r=θk, cioè per u puto di tale curva la distaza dal polo è proporzioale all agolo descritto dal raggio vettore. Si tratta della traiettoria di u puto mobile P su ua semiretta: metre la semiretta ruota itoro alla sua origie O co velocità agolare costate, il puto P, partedo da O, si muove di moto uiforme.

5 La spirale logaritmica: U po di storia Cartesio ( ):... è detta spirale logaritmica ogi figura piaa che proceda da u puto fisso tale che l area vettoriale di qualsiasi settore sia sempre ua proporzioe aggiuta della figura precedete Evagelista Torricelli ( ): De ifiitis spiralibus. Circa ciquat ai dopo Jakob Beroulli ( ) defiì la curva Spira mirabilis, la spirale meravigliosa dispoedo che essa fosse scolpita sulla sua tomba accato alla frase Eadem mutata resurgo ( sebbee diversa, riasco ugualmete ).

6 Le proprietà della spirale logaritmica: Proporzioale Si cosideri il segmeto AB e u puto O su di esso, si alzi la perpedicolare OC tale che: AO : OC = OC : OB. Si tracci quidi la bisettrice OD dell agolo AÔC tale che: AO : OD = OD : OC. Ripetedo il procedimeto ifiite volte si ottegoo tutti i puti (A,B,C,D,E ) della spirale. Preso u umero arbitrario di agoli cosecutivi uguali co vertice i O, per esempio AÔF, FÔD, DÔE, i segmeti che li delimitao soo i proporzioe cotiua: OA : OF = OF : OD = OD : OE. Il vertice O e i segmeti OA,OF,OE,OD soo detti rispettivamete cetro e raggi della spirale.

7 Le proprietà della spirale logaritmica: Equiagolare I tutti i puti della spirale logaritmica, l agolo formato dal raggio vettore e dalla retta tagete è costate. L agolo di icliazioe, cioè l agolo che la spirale forma co i cerchi cetrati ell origie, è costate.

8 Altre proprietà della spirale Autosomigliaza La spirale proporzioale o raggiuge mai il polo, poiché il cetro della spirale è u puto asitotico: proseguedo l igradimeto verso il cetro si ritrovao ifiite spirali idetiche i scala ridotta. Allotaadosi sempre di più dall origie aumetao le dimesioi della spirale, ma essa è sempre somigliate a se stessa. Spirale meravigliosa Simillima filia matri Trasformazioi di scala o rotazioe (i.e. evoluta ed ivoluta) geerao sempre ua spirale logaritmica.

9 La spirale logaritmica: Coordiate polari Equazioe polare r=ae kθ, co a >0 e k umeri reali.

10 La spirale logaritmica: Coordiate polari k<0 k>0

11 La spirale logaritmica: Ricaviamo l equazioe! Cosideriamo u puto P della spirale e tracciamo la retta t tagete alla circofereza el puto P; idichiamo co α e θ gli agoli che la retta t forma, rispettivamete co l asse delle x e il raggio OP.

12 La spirale logaritmica: Ricaviamo l equazioe! La curva può essere espressa i coordiate cartesiae come Il coefficiete agolare della retta t è taα, ma si può ache scrivere come il geerico rapporto delle derivate parziali della spirale el geerico puto P: +

13 Il passo della spirale logaritmica Cosideriamo due spire successive che itersecao l asse delle x ei puti B e C. La distaza fra le due spire BC = OC OB = r 2 r 1 = d 2,1 dove O è l origie degli assi e quidi il polo della spirale Cosideriamo ua terza spira successiva alle precedeti co r 3 = OD. Calcoliamo d 3,2 = r 3 r 2 Duque il passo della spirale logaritmica aumeta secodo ua progressioe geometrica di ragioe e 2πk

14 Spirale aurea La spirale aurea è ua spirale logaritmica la cui distaza dal cetro aumeta ogi quarto di giro come ua progressioe geometrica di ragioe

15 Spirale aurea Cosideriamo due raggi vettori successivi OA e OB che differiscao tra loro di u agolo retto. Per quato detto si ha : Quidi l equazioe polare della spirale aurea è

16 La sezioe aurea U po di storia La defiizioe del rapporto aureo, sezioe aurea o umero aureo viee fissata attoro al VI secolo a.c., ad opera della scuola pitagorica ed i particolare da Ippaso di Metapoto. Euclide, itoro al 300 a.c., lasciò la più atica testimoiaza scritta sull'argometo (Elemeti). A proposito della costruzioe del petagoo, egli forisce la defiizioe di divisioe di u segmeto i "ultima e media ragioe". Luca Pacioli (De Divia Proporzioe, 1509) defiisce il rapporto aureo divia proporzioe. Si tratta di ua proporzioe i cui etrao i gioco tre soli elemeti: coesistoo duque i essa l uità e la triità; i rapporti che vi compaioo soo irrazioali e duque o è possibile esprimerli co u umero be defiito: tale è la diviità, che o può essere circoscritta. Ioltre l uguagliaza di tali rapporti ricoduce all immutabilità di Dio. Keplero el 1611 scopre la relazioe fra sezioe aurea e successioe di Fiboacci. Tuttavia, passerà circa u secolo prima che e vega forita la dimostrazioe ad opera di Simso R. e Biet J.

17 La sezioe aurea Dimostrazioe della sezioe aurea di u segmeto Si defiisce sezioe aurea di u segmeto AB la parte di segmeto che è media proporzioale fra tutto il segmeto e la parte che resta: AB : AC = AC : CB

18 Dimostrazioe geometrica La sezioe aurea Dimostrazioe della sezioe aurea di u segmeto Cosidero u segmeto AB e dal puto B e traccio la perpedicolare e cosidero il segmeto BO cogruete alla metà di AB. Dal puto O traccio la circofereza di cetro O e raggio BO. Traccio la cogiugete il puto A col puto O che icotra la circofereza i E e D. A partire da A riporto il segmeto AE su AB: ottego il segmeto AC. Per il teorema della secate e della tagete si ha: AD : AB = AB : AE Scompoedo ottego (AD-AB) : AB = (AB-AE) : AE Ma siccome AB è cogruete a ED e AE è cogruete ad AC si ha pure: AD AB = AD ED = AE = AC AB AE = AB AC = CB Perciò l ultima proporzioe diveta: Da cui ivertedo: AC : AB = CB : AC AB : AC = AC : CB

19 Il umero aureo

20 Il umero aureo Proprietà irrazioale o periodico Φ = 1, dall equazioe dall equazioe moltiplicado diverse volte i due membri per Φ duque qualsiasi poteza di Φ è uguale alla somma delle due poteze precedeti

21 Il umero aureo Proprietà Immagiiamo di voler cercare il valore della successioe idefiita di radici quadrate: A Se proseguiamo aggiugedo radici, otteiamo i successivi valori decimali approssimati di A e il valore di A sarà sempre più vicio a Φ.? 2 A A da cui A 2 A 1 0 che è la stessa equazioe che defiisce Φ

22 La successioe di Fiboacci Problema dei coigli proposto dal grade matematico del medioevo Leoardo Pisao meglio Coosciuto co il ome di Fiboacci ( ) el libro Liber abaci Quate coppie di coigli avremo a fie ao se comiciamo co ua coppia che geera ogi mese u altra coppia che a sua volta procrea dopo due mesi di vita? soluzioe successioe di Fiboacci

23 La successioe di Fiboacci La riproduzioe delle coppie avviee secodo la seguete regola: i coigli preseti al mese soo pari al umero dei coigli del mese 1 più le uove coppie che possoo essere geerate solo da quelle preseti el mese 2. Idicado co F il umero di coppie dell -esimo mese e teedo coto che la prima coppia ha bisogo di due mesi per divetare fertile, si ottiee che : F 1 = F 2 F = F -1 + F -2 al variare di ell isieme dei umeri aturali troviamo la successioe di Fiboacci: F 1 =1, F 2 =1, F 3 =2, F 4 =3, F 5 =5, F 6 =8, F 7 =13, F 8 =21, F 9 =34, F 10 =55,..

24 La successioe di Fiboacci Numero aureo Successioe di Fiboacci 1 F F L F F F F F F F F F F F L 1 1 lim 1 1 lim 1 ) (1 lim lim lim L L L L L lim F F

25 La successioe di Fiboacci Proprietà Se scegliamo 10 termii cosecutivi qualsiasi all itero della successioe otteiamo sempre u multiplo di = 11 x = 11 x 89 Ioltre si può otare che il moltiplicatore di 11 occupa sempre la settima posizioe La somma di u qualsiasi umero di termii della successioe a partire dal primo è uguale al termie che occupa la posizioe +2 dopo aver sottratto ua uità 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987..Σ=88.

26 La successioe di Fiboacci Proprietà Se prediamo tre termii cosecutivi all itero della successioe, moltiplicado i due estremi otteiamo il quadrato del termie cetrale aumetato di ua uità 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987 (13*34) = 21 * 21-1 Relazioe fra successioe di Fiboacci e teorema di Pitagora a 2 = b 2 + c 2 Cerchiamo le tere pitagoriche ella successioe, scegliamo 4 termii cosecutivi 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987 il prodotto dei 2 estremi (2 x 8) = 16 Il doppio del prodotto dei 2 cetrali 2x(3x5)=30 La somma dei quadrati dei 2 cetrali =34

27 Proprietà Rettagoli aurei e spirali Speciale rettagolo le cui proporzioi corrispodoo alla sezioe aurea Φ e che può essere facilmete costruito co riga e compasso. Replicabilità - basta disegarvi all'itero u quadrato basato sul lato miore sì da otteere col semplice compasso u altro rettagolo miore ach'esso di proporzioi auree. È possibile costruirvi ua spirale logaritmica all itero. Tale spirale covergerà asitoticamete el puto d icotro delle diagoali dei rettagoli (occhio di Dio).

28 Rettagolo e spirale di Fiboacci U modo alterativo per costruire u rettagolo dalle proporzioi auree è quello di accostare i successioe quadrati che abbiao per lati i valori della successioe di Fiboacci. Ache i questo caso, è possibile costruire ua spirale logaritmica iscrivedo detro ogi quadrato successivo u quarto di circofereza, cetrata i u vertice e di raggio pari al lato del quadrato.

29 Numero aureo e petagoo Il rapporto fra la diagoale ed il lato del petagoo regolare è uguale al umero aureo Φ DC = bisettrice dell agolo i D, il triagolo DCB è simile al triagolo ABD pertato Si verifica che AB:DB=DB:BC. Assumedo il lato del petagoo uguale ad 1 si ottiee DB=DC=AC=1 e BC=AB-AC=AB-1 sostituedo ella proporzioe si ha AB 1 1 AB 1 AB 2 AB 1 0 AB 1 2 5

30 Triagoli aurei e spirale aurea Bisecado l agolo i D otteiamo due uovi triagoli aurei DHA e DHC simile ad ADC, bisecado l agolo i C del triagolo DHC otteiamo due uovi triagoli aurei CIH e DCI quest ultimo simile a DHC e quidi ache a ADC,.... proseguedo la tracciatura delle bisettrici otteiamo ua successioe di triagoli aurei che coverge verso u puto di crescita ifiita.

31 La spirale logaritmica i atura La atura ama le spirali logaritmiche: dai girasoli alle cochiglie, dai vortici agli uragai alle immese spirali galattiche, sembra che la atura abbia scelto quest armoiosa figura come proprio orameto favorito. Mario Livio Biologia vegetale (accrescimeto di piate e fiori) Biologia aimale (spirali di accrescimeto; orecchio umao) "Biologia comportametale" (volo del falco pellegrio; movimeto degli isetti verso ua sorgete lumiosa) Feomei atmosferici (cicloi, itese perturbazioi, torado) Astrofisica (galassie a spirale)

32 La spirale logaritmica i atura Il girasole e le spirali vegetative La crescita di rami, foglie, semi e squame avviee i modo da essere ottimale e meo dispediosa possibile. Lo scopo? Ridurre lo spreco di spazio. Proviamo a otteere la struttura assuta dai semi di girasole el fiore! Iseredo u seme alla volta sfalsato di ~ (agolo aureo), si arriva alla caratteristica struttura del girasole co i semi compatti. Osservado attetamete la cofigurazioe dei semi, soo ricooscibili 3 patter di spirali.

33 La spirale logaritmica i atura Altri esempi di spirali el rego vegetale

34 La spirale logaritmica i atura Le spirali di accrescimeto Ache el rego aimale, molti feomei di accrescimeto richiedoo le proprietà dell omogeeità e dell autosomigliaza: la struttura, igradita o rimpicciolita, deve coservare lo stesso aspetto. La cochiglia del Nautilus, piccolo cefalopode, aumeta i gradezza di pari passo co l accrescimeto dell orgaismo, costruedo camere sempre più spaziose, seguedo la forma della spirale logaritmica. Metre la cochiglia si alluga, il raggio aumeta i proporzioe cosicché la figura del guscio rimae immutata.

35 La spirale logaritmica i atura Altri esempi el rego aimale

36 La spirale logaritmica i atura Strategie di caccia Il falco pellegrio i picchiata segue ua spirale logaritmica, che gli permette cotemporaeamete di o perdere di vista la preda, mateere u ottimale assetto aerodiamico e massimizzare la velocità (300 km/h).

37 Bibliografia e sitografia Ferado Corbalá, La spirale aurea. Il liguaggio matematico della bellezza. Modo matematico, RBA (2015). Mario Livio, La sezioe aurea, storia di u umero e di u mistero che dura da temila ai. Rizzoli, Milao (2003). Evagelista Torricelli, Opere di Evagelista Torricelli, v. III Raccoto di alcui problemi, carteggio scietifico. G. Motaari, Faeza (1919). PIRALE%20LOGARITMICA.pdf U grazie speciale a Vera Barboi per il materiale e la cosuleza foriti!