Statica per l edilizia storica

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1 Statica per l edilizia storica Uiversità degli Studi di Cagliari Corso di Laurea Magistrale i Architettura A.A Prof. ig. Atoio Cazzai, Dr. ig. Flavio Stochio atoio.cazzai@uica.it Lezioe 1 - Itroduzioe e richiami di statica Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 1

2 Obiettivi Il corso si prefigge lo scopo di forire gli elemeti metodologici di base per affrotare lo studio del comportameto statico di edifici di uova costruzioe e dell edilizia storica. Si presetao modelli meccaici adatti a iterpretare il comportameto i esercizio del materiale muratura e i grado di forire utili idicazioi ei progetti di recupero e di restauro statico. (Immagie tratta da Rodelet, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 2

3 Programma (1/3) 1. Fodameti di statica: sistemi di forze (4 ore) Le forze. Sistemi di forze. Operazioi ivariative della Statica. Postulati della Statica. Codizioi di equilibrio. Ricerca grafica del mometo. La curva delle pressioi. 2. Comportameto meccaico della muratura (6 ore) Il materiale muratura. Comportameto a rottura per compressioe assiale. Comportameto a rottura per stati di tesioe biassiale. La prova di compressioe e trazioe sulla muratura. Modellazioe del comportameto a compressioe della muratura. Il legame costitutivo della muratura. 3. Pareti murarie (4 ore) Pareti murarie soggette a carichi verticali: soluzioi i campo elastico. Comportameto a rottura di u blocco murario. Meccaismi di collasso di pareti murarie soggette a spita orizzotale. Meccaismi di collasso di ua parete muraria multipiao. Determiazioe della spita di collasso mediate i teoremi dell'aalisi limite. Il portale i muratura. 4. Istabilità dell'equilibrio di strutture murarie (4 ore) Collasso per istabilità dovuta a parzializzazioe della sezioe. Ipotesi di limitata resisteza a compressioe. Il caso del pilastro i muratura. Collasso del pilastro i muratura per rottura a compressioe. Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 3

4 Programma (2/3) 5. Statica dell'arco (8 ore) Prime teorie statiche dell'arco. Il modello a rottura di Mascheroi. La verifica degli archi mediate l'uso del poligoo delle successive risultati. Verifica di stabilità dell'arco. Il criterio di sicurezza di Heyma. Il metodo di Mery. 6. Le volte i muratura (8 ore) La volta a botte. La volta a botte soggetta a carichi verticali. Forme di direttrici più comui. La volta a crociera. La volta a padiglioe. 7. Le cupole i muratura (4 ore) Le membrae curve. Le cupole sottili. 8. Comportameto sismico degli edifici i muratura (4 ore) Il meccaismo resistete. Le forze ageti. Comportameto sismico dei maschi murari. Cei di aalisi diamica delle torri selle. Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 4

5 Programma (3/3) 9. I dissesti statici elle costruzioi murarie (3 ore) I dissesti statici. Dissesti del piao di fodazioe. Costruzioi murarie co fodazioe cotiua: cedimeto cetrale. Costruzioi murarie co fodazioe cotiua: cedimeto periferico. Costruzioi murarie co fodazioe cotiua: cedimeto cetrale e periferico. Dissesti per rotazioe. Dissesti per schiacciameto. Dissesti statici da sisma. Dissesti per degrado dei materiali. Demolizioi. 10. Sperimetazioe sulla muratura (3 ore) Prove sui compoeti. Prove sulla muratura. Prove su microelemeti. Prove su macroelemeti. Metodi o distruttivi. 11. Risaameto di solai e murature (3 ore) Solai co travi i lego. Strutture reticolari di copertura. Impiego di tirati metallici. Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 5

6 Modalità di svolgimeto dell esame Le esercitazioi cosistoo ella aalisi statica di elemeti strutturali i muratura iseriti i edifici storici mediate modelli di calcolo grafico ed aalitico e i ua relazioe di approfodimeto su u argometo cocordato co il docete. L esame cosiste i ua prova orale corredata da ua presetazioe e discussioe degli elaborati delle esercitazioi. (Immagie tratta da Rodelet, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 6

7 Bibliografia (1/2) a. Riferimeti diretti: R. S. Olivito, Statica e Stabilità delle Costruzioi Murarie, Pitagora: Bologa, (O) I.V. Carboe, A. Fiore, G. Pistoe, Le costruzioi i muratura, Hoepli: Milao, (CFP) A.W.Hedry, P.B. Siha, S.R. Davies Progetto di strutture i muratura (II ed.), Pitagora: Bologa, (HSD) b. Approfodimeti: R. Pozzi, La Statica grafica i architettura Equilibrio e forma degli archi, Progetto Leoardo: Bologa, [6] J. Heyma, The stoe skeleto, CUP: Cambridge, [6,7,8] A. Becchi, F. Foce, Degli archi e delle volte Arte del costruire tra meccaica e stereotomia, Marsilio: Veezia, [6, 7] F. Iacobelli, Progetto e verifica delle costruzioi i muratura i zoa sismica (IV ed.), EPC Libri: Roma, [9] Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 7

8 Bibliografia (2/2) b. Approfodimeti: L. Boscotrecase, F. Piccarreta, Edifici i muratura i zoa sismica, Flaccovio: Palermo, [9, 10, 12] N. Tubi, M.P. Silva, Gli edifici i pietra, Esselibri: Napoli, [10, 11, 12] F. Cucco, T. Pazeca, M.G. Salero, S. Terravecchia, Strutture i muratura Le catee el cosolidameto, Grafill: Palermo, [10,12] (Immagie tratta da Rodelet, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 8

9 Richiami di statica grafica Sistemi di forze e loro riduzioe alla risultate Operazioi ivariative e sistemi di forze equivaleti Postulati della statica del corpo rigido Codizioi di equilibrio: le equazioi cardiali Poligoo delle forze e poligoo fuicolare Ricerca grafica del mometo La curva delle pressioi Esempi Poligoo fuicolare e poligoo delle forze. (Immagie tratta da Cremoa, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 9

10 Sistemi di forze e loro riduzioe alla risultate (1/2) U sistema piao di forze S (F 1, F 2,, F ) applicato a u corpo rigido ammette sempre ua risultate R che, applicata al corpo rigido, produce gli stessi effetti prodotti dal sistema S. Se al sistema di forze S si aggiuge ua forza eguale e opposta alla risultate, R, si ottiee u sistema equilibrato, cioè i equilibrio. Risultate, equivaleza ed equilibrio di u sistema di due forze. (Immagie tratta da Olivito, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 10

11 Sistemi di forze e loro riduzioe alla risultate (2/2) Tre forze, F 1, F 2, F 3 soo i equilibrio se e solo se: 1. Le rette d azioe soo complaari; 2. Le rette d azioe passao per uo stesso puto; 3. Il triagolo delle forze è chiuso. Risultate, equivaleza ed equilibrio di u sistema di più forze cocorreti e complaari. (Immagie tratta da Olivito, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 11

12 Operazioi ivariative e sistemi di forze equivaleti I operazioe ivariativa: o si altera la codizioe statica globale di u sistema di forze S se si sostituisce a ua forza F applicata i u puto P due o più forze ivi applicate tali che la loro somma valga F (scomposizioe di ua forza i u puto P ); sostituiscoo più forze, tutte applicate i uo stesso puto P co la loro risultate, R (composizioe di più forze i u puto P ). II operazioe ivariativa: o si altera la codizioe statica globale di u sistema di forze S se si trasporta ua forza F lugo la propria retta d azioe. Due sistemi di forze applicate, S 1 ed S 2 si dicoo equivaleti se soo ricoducibili l uo all altro mediate sole operazioi ivariative. Codizioe ecessaria e sufficiete affiché due sistemi di forze S 1 ed S 2 siao equivaleti è che abbiao la stessa risultate, R 1 = R 2, e lo stesso mometo risultate, M 1(O) = M 2(O), rispetto al medesimo polo O (arbitrariamete scelto). Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 12

13 Postulati della statica del corpo rigido I postulato: No si altera l equilibrio di u sistema di forze S sostituedo a più forze ageti i u puto la loro risultate applicata ello stesso puto o, al cotrario, o si altera l equilibrio se a ua forza applicata i u puto viee sostituito u sistema equipollete alla forza data. Codizioe ecessaria e sufficiete per l equilibrio di u puto materiale libero è che la risultate di tutte le forze a esso applicata sia ulla: R = 0. II postulato: No si altera l equilibrio di u corpo rigido se si trasporta il puto di applicazioe di qualsiasi forza F lugo la retta d azioe della forza stessa. Codizioe ecessaria e sufficiete affiché due sistemi di forze S 1 ed S 2 siao otteibili l uo dall altro co sole operazioi ivariative è che abbiao la stessa risultate, R 1 = R 2, e lo stesso mometo risultate, M 1(O) = M 2(O), rispetto al medesimo polo O (arbitrariamete scelto). III postulato: Se su u corpo rigido i quiete o agisce alcua forza, il corpo permae ello stato di quiete. IV postulato: Se su u corpo rigido i quiete agisce ua sola forza, il corpo o permae ello stato di quiete. V postulato: Se su u corpo rigido i quiete agiscoo due forze, che o siao opposte e allieate, il corpo o permae ello stato di quiete. Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 13

14 Codizioi di equilibrio: le equazioi cardiali Codizioe ecessaria e sufficiete per l equilibrio di u corpo rigido libero è che siao ulli la risultate, R, e il mometo risultate, M (O) (rispetto a u arbitrario polo O) del sistema di forze S applicate al corpo rigido: Ø R = 0 Ø M (o) = 0 U sistema di forze applicato a u corpo rigido i equilibrio è equivalete al sistema ullo. Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 14

15 Poligoo delle forze e poligoo fuicolare (1/9) Dato u sistema di forze S, se le si dispoe i sequeza co u ordie qualsiasi si ottiee ua poligoale, geeralmete aperta, comuemete ota come poligoo delle forze. Il lato di chiusura del poligoo delle forze rappreseta la risultate R del sistema di forze i modulo, direzioe e verso; o permette però di idividuare la retta d azioe. Costruito il poligoo delle forze e preso u puto P qualsiasi, si proiettao da P (polo) i vertici del poligoo delle forze. Si traccia da u puto qualsiasi la retta parallela al raggio vettore (P-O) fio a icotrare la retta d azioe di F 1 i 1 ; da qui si mada la parallela al raggio vettore (P-1) fio a icotrare la retta d azioe di F 2 i 2, e così via fio alla parallela al raggio vettore (P-4) tracciata da 4. La spezzata parallela ai raggi proiettati è il poligoo fuicolare. Si prolugao i lati estremi (il primo e l ultimo) della poligoale fio a farli icotrare: per l itersezioe passa la risultate del sistema di forze idividuata dal poligoo delle forze. Poligoo fuicolare e poligoo delle forze. (Immagie tratta da Olivito, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 15

16 Poligoo delle forze e poligoo fuicolare (2/9) Il poligoo fuicolare rappreseta la forma di ua fue ideale (priva di peso, perfettamete flessibile e iestesibile) soggetta all azioe delle forze date e vicolata a due puti posti sui lati estremi del poligoo stesso. La costruzioe si basa sulla regola del parallelogramma: la forza F 1 viee scomposta elle forze (P-O) e (1-P); allo stesso modo F 2 viee scomposta elle forze (P-1) e (2-P); i modo aalogo F 3 è la risultate di (P-2) e (3-P) e F 4 è la risultate di (P-3) e (4-P). Le forze (1-P) e (P-1); (2-P) e (P-2); (3-P) e (P-3) soo a due a due eguali, opposte e allieate: il sistema di forze è duque equivalete alle sole forze (P-O) e (4-P) che, composte, dao luogo alla forza (4-O) ovvero R. D altra parte (P-O) e (4-P) soo rispettivamete applicate ai lati estremi del poligoo fuicolare e devoo forire come risultate R. Composte queste forze el puto di itersezioe delle loro rette d azioe si ottiee la forza R co modulo, direzioe e verso idividuati da (4-O). Poligoo fuicolare e poligoo delle forze. (Immagie tratta da Olivito, op. cit.) Forze parallele: risultate itera (forze equiverse, caso a) ed estera (forze cotroverse, caso b). (Immagie tratta da Olivito, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 16

17 Poligoo delle forze e poligoo fuicolare (3/9) Nella costruzioe del poligoo fuicolare che coette u sistema S costituito da forze si possoo scegliere liberamete: l ordie co il quale si cosiderao le forze; la posizioe dell origie, O, del poligoo delle forze; la posizioe del primo vertice del poligoo fuicolare; la posizioe del polo, P. Valgoo le segueti proprietà: 1. L ordie co il quale si cosiderao le forze è iifluete ella determiazioe della risultate. 2. La posizioe dell origie della poligoo delle forze o ifluisce sul risultato. 3. La posizioe del primo vertice del poligoo fuicolare è iifluete ella determiazioe del risultato. 4. La posizioe del polo P è iifluete ai fii del risultato: il teorema di Culma assicura che I lati corrispodeti di due poligoi fuicolari relativi a due poli distiti, P e P si icotrao su ua retta parallela alla cogiugete i poli, la retta di Culma. Per u assegato sistema di forze S, fissato l ordie delle forze e la posizioe dell origie del poligoo delle forze esistoo 3 poligoi fuicolari. (corrispodeti alla scelta del polo e alla posizioe del primo vertice). Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 17

18 Poligoo delle forze e poligoo fuicolare (4/9) Dimostrazioe delle proprietà 1 (dalla trattazioe di L. Cremoa e K. Culma) Se el poligoo delle forze si scambiao fra loro due forze successive, r e r+1, i due cotori (r-1)(r)(r+1) e (r-1)(r+1) (r) coducoo ad uo stesso puto, dove iizia il lato r+2: duque ciò resta seza iflueza sulla gradezza e direzioe della risultate di u umero qualuque di forze cosecutive, fra le quali si trovio r e r+1. Ma ache le posizioi di queste risultati o vegoo alterate, ifatti il lato (r+1)(r+2) del poligoo fuicolare deve passare per il puto i cui il lato (r-1)(r) icotra la risultate (r)(r+1); duque lo scambio delle forze r e r+1 o modifica la situazioe dei lati successivi del poligoo fuicolare e siccome la posizioe della risultate di u umero qualuque di forze cosecutive è idividuata dal puto comue ai lati esteriori del poligoo fuicolare, così la detta posizioe o verrà alterata. Ma dopo avere scambiato r co r+1, potremo similmete scambiare r co r+2, poi r co r+3, ecc.; cioè potremo predere le forze i u ordie qualsivoglia seza che e vega modificato il risultato fiale (posizioe, gradezza e direzioe della risultate); duque: La risultate di più forze i u piao è del tutto idipedete dall ordie di composizioe di dette forze. Poligoo fuicolare e poligoo delle forze. (Immagie tratta da Cremoa, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 18

19 Poligoo delle forze e poligoo fuicolare (5/9) Dimostrazioe della proprietà 2 (dalla trattazioe di L. Cremoa e K. Culma) Siao O e O due origii distite della poligoale delle forze; poiché variao solamete le origii, questo cambiameto equivale a ua traslazioe della poligoale i direzioe parallela alla cogiugete le due origii di ampiezza OO. Di cosegueza il poligoo resta modificato come lo sarebbe stato se lo si fosse costruito secodo il polo P che si ottiee facedo subire a P la traslazioe OO i seso iverso, per cui il caso è ricodotto al precedete. Due poligoi delle forze equivaleti. (Immagie tratta da Pozzi, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 19

20 Poligoo delle forze e poligoo fuicolare (6/9) Dimostrazioe della proprietà 3 (dalla trattazioe di L. Cremoa e K. Culma). Il passaggio da u puto A come origie del poligoo a u uovo puto A da esso distito e o apparteete alla parallela per A al raggio PO del fascio di coessioe, ovvero da u vertice 1 a u uovo vertice 1 su P, ha per cosegueza che i due poligoi hao i lati ordiatamete paralleli, trovadosi i vertici corrispodeti sempre sulle liee d azioe delle rispettive forze. Due poligoi fuicolari equivaleti. (Immagie tratta da Pozzi, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 20

21 Poligoo delle forze e poligoo fuicolare (7/9) Dimostrazioe della proprietà 4 (dalla trattazioe di L. Cremoa e K. Culma). Se p : A 1 2 B e p : A 1 2 B soo i due poligoi fuicolari relativi ai poli P e P, si cosiderio le due coppie di lati corrispodeti (i-1) (i) e (i-1) (i) ; (i) (i+1) e (i) (i+1) usceti dai loro vertici i e i a partire dalla liea d azioe della forza geerica P i ; detti L e M i puti i cui cocorroo i prolugameti di queste due coppie di lati, i due quadragoli piai completi LMi i e P P (i)(i-1) hao, per costruzioe, cique coppie di lati/diagoali ordiatamete paralleli: per cosegueza risultao tali ache i lati LM e P P della sesta coppia. Per l arbitrarietà della scelta della forza P i, la dimostrazioe ha validità geerale. P i Due poligoi fuicolari equivaleti. (Immagie tratta da Pozzi, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 21

22 Poligoo delle forze e poligoo fuicolare (8/9) Il poligoo fuicolare di u assegato sistema di forze S, che passi per tre puti fissati A, B, C è uico (dalla trattazioe di L. Cremoa e K. Culma) Sia dato u sistema di forze S = (P 1, P 2,, P ) tre puti, A, C, B fissati; s impoga poi, per esempio, il passaggio del primo, dell r-esimo e dell ultimo lato, rispettivamete, per i tre puti assegati. Si costruisca, relativamete a u polo P arbitrario u primo poligoo fuicolare p : A1 2 r, il cui primo lato passa per A. Poiché, i geerale, il suo lato r-esimo o passerà per C, si può arrestare la costruzioe a questo lato. Si osservi ora che che potedo P assumere qualuque posizioe el piao del sistema, vi soo 2 poligoi passati co il primo lato per A; di questi 1 passao co il lato r-esimo per C, ed è ovvio che i relativi poli stao sulle rette del fascio di cetro P e che, cosiderati uo ad uo i coppia co p hao per rette di Culma corrispodeti le rette del fascio di cetro A. Per costruire uo qualsiasi di questi poligoi basta riferirsi alla retta di Culma, che coiciderà co il primo lato di p ; se R è allora il puto di cocorso della retta di Culma e dell r-esimo lato di p, puto che otoriamete Costruzioe del poligoo fuicolare passate per 3 puti. (Immagie tratta da Pozzi, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 22

23 Poligoo delle forze e poligoo fuicolare (9/9) appartiee alla liea d azioe della risultate delle prime (r-1) forze del sistema, la cogiugete CR è il lato r-esimo di u uovo poligoo p, il cui polo è, per il teorema di Culma, il puto d icotro P del raggio proiettate P O co la parallela a CR per il vertice (r-1) della poligoale delle forze. Proseguedo la costruzioe di p, l ultimo suo lato, i geerale, o passerà per B; detto allora p il poligoo che ora si vuole costruire (soddisfacete tutte le codizioi assegate), poiché come p dovrà passare co i primo lato per A e co l r-esimo per C, esso ammette come retta di Culma relativamete a p la cogiugete AC; se perciò M è il puto i cui l ultimo lato di p icotra la AC, il lato corrispodete di p dovrà essere MB, e il relativo polo P resta determiato come itersezioe delle parallele per il vertice e per P, rispettivamete a questo lato e alla retta di Culma. Grazie a P si può così tracciare il terzo poligoo fuicolare, p, che passerà per i tre puti A, B, C. Costruzioe del poligoo fuicolare passate per 3 puti. (Immagie tratta da Pozzi, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 23

24 Ricerca grafica del mometo Assegato u sistema S costituito da forze si può determiare così il mometo rispetto a u polo O : 1. Costruito il poligoo delle forze 01234, si fissa u polo P a distaza H dal vettore (4-0) che idividua la risultate R e si costruisce il poligoo fuicolare. 2. Si traccia per O la parallela alla retta d azioe di R (che passa per Q, a distaza d da O)e si determia la lughezza del segmeto Y, itercettato sulla retta dalle itersezioi co il primo e ultimo lato del poligoo fuicolare. 3. Il mometo M risulta dato da M = HY. 4. Si ha ifatti M = Rd, ma per eguagliaza dei triagoli simili abq e 04P si ha: R :Y = H : d e duque M = Rd = HY. Ricerca grafica del mometo. (Immagie tratta da Olivito, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 24

25 La curva delle pressioi Sia data ua trave ad asse curvilieo, vicolata alle estremità A e B e sollecitata da u sistema di forze S. Siao R A e R B le reazioi d imposta. Degli 3 poligoi fuicolari e esiste 1 e 1 solo che: 1. Ha il primo lato parallelo alla retta d azioe di R A ; 2. Ha il primo lato coicidete co la retta d azioe di R A; 3. Ha l ultimo lato parallelo alla retta d azioe di R B. Le codizioi 1. e 3. fissao la posizioe del polo P, la 2. impoe il passaggio del poligoo fuicolare per u puto prefissato. Il poligoo fuicolare cosiffatto, curva delle pressioi, è poligoo delle successive risultati (il geerico lato R è retta d azioe del risultate di tutte le forze che precedoo il lato, compresa R A ) metre l itesità di R è data dalla corrispodete proiettate del poligoo delle forze. Il geerico lato R è equivalete alle forze che ella sezioe s defiiscoo le caratteristiche (N, T) della sollecitazioe. Curva delle pressioi, poligoo delle forze e caratteristiche della sollecitazioe. (Immagie tratta da Olivito, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 25

26 Curva delle pressioi: esempi (1/10) Il geerico lato della curva delle pressioi è la retta di applicazioe di tutte le forze che precedoo il suddetto lato: per esempio ella sezioe S del lato CD si ha che le forze applicate a siistra di S soo la reazioe vicolare R A e la forza F 1, la cui risultate, R, rappresetata dal vettore (1-P) è applicata al lato del poligoo fuicolare compreso fra F 1 e F 2. Le compoeti della risultate R secodo la tagete e la ormale all asse della trave foriscoo l azioe assiale, N, e tagliate, T, i S; il mometo flettete, M, è ivece pari al prodotto R e della risultate per l eccetricità. La curva delle pressioi forisce così ua rappresetazioe grafica sitetica delle codizioi statiche di ua struttura. Curva delle pressioi come poligoo fuicolare delle successive risultati. (Immagie tratta da Viola, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 26

27 Curva delle pressioi: esempi (2/10) Per garatire l equilibrio del corpo rigido, le tre forze R A, R C e F devoo essere covergeti i u uico puto, D; ioltre per rispettare la codizioe di mometo ullo elle tre ceriere A, B, C si deve avere che la reazioe R A passa per i puti A e B, e la reazioe R C passa per il puto C. Essedo così oti il modulo, la direzioe e il verso di ua forza (F) e le direzioi delle restati due forze (R A e R C ), la codizioe che il poligoo delle forze sia chiuso permette di determiare completamete le due reazioi. Si ricoosce così che la curva delle pressioi è costituita dalla bilatera ADC. Nella geerica sezioe S del lato AB, la risultate delle forze applicate a siistra di S coicide co la reazioe vicolare R A e duque le compoeti della risultate R= R A secodo la tagete e la ormale all asse della trave foriscoo l azioe assiale, N, e tagliate, T, i S; il mometo flettete, M, è ivece pari al prodotto R e della risultate per l eccetricità. Si ota che, a mao a mao che la curva delle pressioi si avvicia all asse geometrico della struttura, la caratteristica flettete (idicata a tratteggio sul tratto AB) dimiuisce. Curva delle pressioi di u arco a 3 ceriere soggetto a u carico cocetrato. (Immagie tratta da Viola, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 27

28 Curva delle pressioi: esempi (3/10) Co cosiderazioi aaloghe a quelle svolte el precedete esempio, si coclude che le tre forze R A, R B (cioè le 2 reazioi dei vicoli A e B) e F devoo passare tutte per uo stesso puto (il puto C), per garatire l equilibrio del corpo rigido. Ioltre per rispettare la codizioe di mometo ullo elle tre ceriere A, B, C si deve avere che la reazioe R A passa per i puti A e C, e la reazioe R B passa per i puti B e C. La curva delle pressioi risulta così costituita dai due tratti AC e CB: coicide pertato co l asse geometrico della struttura. Ciò idica che l azioe tagliate è ulla, e o vi è azioe flettete: la struttura rispode ai carichi solo mediate azioe assiale. Curva delle pressioi di ua struttura reticolare soggetta a u carico cocetrato. (Immagie tratta da Viola, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 28

29 Curva delle pressioi: esempi (4/10) Se i luogo del carico distribuito q agisse il carico cocetrato Q = q l si cocluderebbe, co cosiderazioi aaloghe a quelle svolte ei precedeti esempi, che la curva delle pressioi sarebbe costituita dalla spezzata ABDC. Tuttavia, poiché sulla trave BC agisce il carico distribuito q, occorre teere coto co ua opportua modifica della parte BDC della spezzata. Se si suddivide il carico distribuito i quattro parti e si valutao le corrispodeti risultati parziali q 1, q 2, q 3, q 4, si giuge a costruire la corrispodete poligoale A C. Si trova così che la risultate di R A e q 1 è R 1 = (1-P) ed è applicata el loro puto di itersezioe, 1 ; aalogamete la risultate R 2 di R 1 e di q 2 è data da (2-P) ed è applicata i 2, metre le successive risultati, R 3 e R 4 soo date da (3-P) e (4-P) e soo applicate ai puti 3 e 4 rispettivamete. Il poligoo delle successive risultati così otteuto è quidi idividuato dalla spezzata AB C. Curva delle pressioi di ua struttura soggetta a u carico distribuito. (Immagie tratta da Viola, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 29

30 Curva delle pressioi: esempi (5/10) Se si aumeta il umero di suddivisioi i cui si scompoe il carico distribuito, aumeto i corrispodeza il umero dei lati del poligoo delle successive risultati e, i corrispodeza di u umero ifiitamete gradi delle suddivisioi il poligoo tede al limite a ua curva (i questo caso ua parabola). Questa parabola risulta tagete i B e i C alle rette di azioe delle reazioi vicolari R A e R C. La curva delle pressioi i preseza di carichi distribuiti può essere itesa come l iviluppo delle tageti rappresetate dai lati del poligoo fuicolare (delle successive risultati) che coettoo le forze ifiitesime i cui si può pesare suddiviso il carico distribuito. Curva delle pressioi di ua struttura soggetta a u carico distribuito. (Immagie tratta da Viola, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 30

31 Curva delle pressioi: esempi (6/10) La curva delle pressioi relativa alla trave curva BC coicide co il segmeto BC i quato la reazioe e R C deve passare per la cogiugete le 2 ceriere. Se sulla trave piegata AKB si sostituisce il carico distribuito q co la sua risultate Q (applicata i K) si ottiee che la curva delle pressioi è data dalla spezzata AH (relativa al tratto AK) e HB (relativa al tratto KB), i quato le tre forze R A, R C e Q devoo passare, per equilibrio, per lo stesso puto (H). L effettiva distribuzioe di carico comporta che la curva delle pressioi relativa alla trave AKB sia u ramo di parabola le cui tageti ei puti A e B soo rispettivamete AH e BH. Il tratto parabolico della curva delle pressioi risulta quidi completamete defiito da queste due tageti. Curva delle pressioi di u arco a 3 ceriere soggetto a u carico distribuito. (Immagie tratta da Viola, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 31

32 Curva delle pressioi: esempi (7/10) Nel caso (a) la curva delle pressioi (itesa come poligoo fuicolare delle successive risultati) degeera elle due rette d azioe delle forze V A e V B. Nel caso (b) la curva delle pressioi comprede tutte le rette del piao parallele a V A e V B ed estere al segmeto AB (area idicata a tratteggio). Se si percorre la trave ad A verso C si ha ifatti che la risultate delle due forze parallele e discordi V A e q z è estera al segmeto AC e disposta dalla parte della forza di modulo maggiore (cioè di V A ); cosiderazioi aaloghe valgoo se si percorre la trave da B verso C: i questo caso fra le forze parallele e discordi V B e q (2l-z) prevale V B e la risultate si trova all estero del segmeto CB e dalla parte di B. Raggiuta la mezzeria C (sia da A che da B) si ha che la risultate è ua coppia avete come retta d azioe la retta impropria. Nei casi, come questi, i cui la curva delle pressioi degeera perde il suo sigificato e o dà coto immediato delle codizioi statiche della struttura; si osservi, peraltro che i etrambi i casi l azioe assiale N risulta ideticamete ulla. Curva delle pressioi di ua trave appoggiata soggetta a carico cocetrato i mezzeria (a) e a carico distribuito (b). (Immagie tratta da Viola, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 32

33 Curva delle pressioi: esempi (8/10) Si osserva co cosiderazioi di equivaleza statica e di equilibrio che la risultate dei due carichi esteri vale 2Q e che la sua retta d azioe passa per la ceriera C. Si passa poi a calcolare le reazioi vicolari, riportate i Figura: R A è ua forza orizzotale e vale Q/2; R B ha ivece sia ua compoete orizzotale, pari a Q/2, sia ua verticale pari a Q. La curva delle pressioi della trave curva AC degeera i u sistema di forze orizzotali (come el caso di ua trave appoggiata soggetta a carico distribuito); quella della trave curva CB è ivece costituita da u ramo di parabola avete tagete orizzotale i C e tagete diretta come R B i B. Curva delle pressioi di u arco circolare a 3 ceriere soggetto a 2 carichi distribuiti. (Immagie tratta da Viola, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 33

34 Curva delle pressioi: esempi (9/10) Poiché il carico è uiformemete distribuito, si ricoosce, i base a quato visto i precedeza, che il poligoo fuicolare delle successive risultati è ua parabola. D altra parte la curva delle pressioi deve passare per le 3 ceriere A, B, C per garatire l equilibrio, soddisfacedo la codizioe di asseza di mometo elle ceriere. Per l uicità della parabola passate per 3 puti, si ricoosce che la curva delle pressioi coicide co l asse dell arco parabolico. Si coclude che l arco a 3 ceriere parabolico è la fuicolare del carico uiformemete distribuito: ua struttura avete tale forma sostiee il carico mediate sola azioe assiale, N: il taglio (T) e il mometo flettete (M) risultao i questo caso ovuque ulli. Curva delle pressioi di u arco parabolico a 3 ceriere soggetto a carico distribuito. (Immagie tratta da Viola, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 34

35 Curva delle pressioi: esempi (10/10) Per ragioi di simmetria si ha che la risultate del carico estero, Q = q πr è verticale e passa per il cetro dell arco. Le reazioi vicolari valgoo quidi: H A = 0; H B = 0; V A = V B = Q/2. Se si calcolao di qui le azioi itere si trova: N(α) = -q R, T(α) = 0; M(α) = 0. Pertato si hao solo azioi assiali e la curva delle pressioi coicide co la liea d asse dell arco. Si coclude che l arco a 3 ceriere circolare è la fuicolare del carico radiale uiformemete distribuito: ua struttura avete tale forma sostiee il carico mediate sola azioe assiale, N: il taglio (T) e il mometo flettete (M) risultao i questo caso ovuque ulli. Curva delle pressioi di u arco circolare a 3 ceriere soggetto a carico radiale uiformemete distribuito. (Immagie tratta da Viola, op. cit.) Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 35

36 Riferimeti bibliografici e icoografici M. Como, Statica delle costruzioi storiche i muratura. Archi, volte, cupole, architetture moumetali, edifici sotto carichi verticali e sotto sisma, Arace: Roma, L. Cremoa, Corso di Statica Grafica, Rochi: Milao, R. S. Olivito, Statica e Stabilità delle Costruzioi Murarie, Pitagora: Bologa, R. Pozzi, La Statica Grafica i Architettura Equilibrio e forma degli archi, Progetto Leoardo: Bologa, J. Rodelet, Trattato Teorico e Pratico dell Arte di Edificare (trad. B. Soresia sulla 6 ed. fracese), Caraeti: Matova, E. Viola, Esercitazioi di Scieza delle costruzioi /1, Pitagora: Bologa, Statica per l edilizia storica - A. Cazzai, F. Stochio - Lezioe 1 36