Registro di MMS parte di Statistica a.a. 2007/08

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1 Registro di MMS parte di Statistica a.a. 007/08 Lezioe 1 (6//08, 1 ora). Eveti, eveti elemetari (esiti), uiverso S (spazio degli esiti). Formalizzazioe matematica: S è u isieme ambiete, gli eveti soo i sottoisiemi, gli esiti soo gli elemeti di S. Esempio 1. U azieda itraprede u azioe, che potrà codurre ad u successo ecoomico oppure o, e potrà produrre dei dai ambietali oppure o. S ha quattro eveti elemetari a, b, c, d: a = successo ecoomico co dao ambietale, b = successo seza dao, c = isucesso co dao, d = isucesso seza dao. L eveto A = {a, b} corrispode a successo ecoomico, l eveto B = {a, c} corrispode a dao ambietale, per fare due esempi. Esempi e 3: lacio di u dado, lacio di due dadi. Pricipali operazioi su eveti:,, complemetare. Lezioe (7//08, ore). La famiglia di tutti gli eveti è u algebra rispetto alle operazioi di e : commutatività, associatività, distributività; è elemeto eutro per, S per. Regole di De Morga. Probabilità. Iterpretazioe ituitiva tramite frequeze empiriche relative (N esperimeti idipedeti effettuati elle stesse codizioi, ciascuo co possibili esiti alterativi e 1,..., e k, N i = umero di esperimeti co esito e i = frequeza empirica assoluta, f i = N i = frequeza empirica relativa; la N probabilità dell esito e i viee immagiata come ua idealizzazioe di f i, o come il valore limite di f i per N, ache se o ha seso chiedersi se tale limite esista i quato si parla di esperimeti reali). Regole formali: 0 P (A) 1, P ( ) = 0, P (S) = 1, additività su isiemi disgiuti, P (A B) = P (A)+P (B) P (A B) per isiemi qualsiasi, P (A c ) = 1 P (A). Esercizio per casa: rispodere alla domada dell esempio del testo (Ross). Nota: elle teorie booleae, ci soo solo i valori 0 ed 1, metre i probabilità si usao tutti i valori tra 0 ed 1: 0 per eveti impossibili (più precisamete, che hao frequeza ulla di avveimeto), 1 per eveti certi, valori itermedi per tutte le altre situazioi. Spazi equiprobabili, P (A) = A, dove è la cardialità di S, A la cardialità di A. Pricipio di eumerazioe. Esempio del libro. 1

2 Probabilità codizioale. Noto u eveto B, ogi A avrà ua uova probabilità P ew (A). Il uovo uiverso è B, quidi P ew (B) = 1. Gli esiti i B c soo impossibili, quidi solo A B sopravvive, quidi è ragioevole assumere che P ew (A) sia proporzioale a P (A B). per rispettare la codizioe P ew (B) = 1 dobbiamo predere P ew (A) = P (A B). P (B) Lezioe 3 (8//08, ore). Defiizioe di probabilità codizioata: se P (B) > 0, chiamiamo probabilità di A sapedo B (o codizioata a B) il umero P (A B) := P (A B). P (B) Si può verificare che soddisfa, rispetto ad A, le regole di ua probabilità, co uiverso B: 0 P (A B) 1, P ( ) = 0, P (B) = 1, se A 1 A = allora P (A 1 A B) = P (A 1 B) + P (A B). Ivece o soddisfa le regole delle probabilità come fuzioe di B, co A fissato (ad es. P (A ) o ha seso, ivece che valere 0). Esempi e Il secodo illustra il calcolo di P (A B) usado P (A B), attraverso la formula P (A B) = P (A B) P (B). Formula di fattorizzazioe (ache dimostrazioe) e iterpretazioe grafica co albero. Esempio Formula di Bayes (ache dimostrazioe), sia ella versioe P (B A) = P (A B) P (B) P (A) sia i quella co ua partizioe B 1, B,... P (B k A) = P (A B k ) P (B k ) P (A B 1 ) P (B 1 ) + P (A B ) P (B ) Iterpretazioe co cause/effetti: B 1, B,... soo diverse cause possibili, A è u effetto che può verificarsi. Le probabilità aturali soo le P (A B k ), cioè le probabilità che la causa B k provochi l effetto A. Bayes permette di calcolare la probabilità delle diverse cause, quado si osserva u effetto A, ad esempio per cooscere la causa più probabile. Esempio Esercizi per casa dal capitolo 3: esercizi 1,, 3, 4, 5 e 5, 6, 7, 9.

3 Lezioi (4-5-6/3/08, 5 ore): vedere homepage Dr. Alessio Rovai. Lezioe 7 (11/3/08, 1 ora). V.a. discrete itrodotte attraverso esempi (frammeti dai paragrafi 4.1, 4., 4.4 e 5.1). Loro massa probabilità e valor medio. V.a. di Beroulli, esemplificate co l esito del cotrollo della qualità di ua moto. V.a. biomiali B (, p), esemplificate col umero di moto difettose i u gruppo di 10 moto soggette a cotrollo della qualità (i geerale, umero di successi i esperimeti idipedeti i ciascuo dei quali c è probabilità p di successo). Grafico della massa di probabilità ei due esempi ed iterpretazioe el valor medio per la biomiale. Lezioe 8 (1/3/08, ore). Elemeti semplici di calcolo combiatorico (dal paragr. 3.5): pricipio di eumerazioe! come umero di permutazioi; ( 1) ( k + 1) come umero di modi i cui si possoo mettere i umeri da 1 a k i u casellario di caselle; coefficiete biomiale ( k) come umero di modi i cui si possoo mettere k asterischi idistiguibili i u casellario di caselle. Giustificazioe della formula delle probabilità ( k) p k (1 p) k delle v.a. biomiali (come el seguito della def. 5.1.) e rappresetazioe delle biomiali come somma di Beroulli idipedeti (formula 5.1.4). Lezioe 9 (13/3/08, ore). V.a. biomiali: aspetti applicativi. Si cosiglia di costruire u foglio Excel. Richiamo sull iterpretazioe e la rappresetazioe come somma di Beroulli idipedeti. Calcolo di probabilità di code, tipo P (X > 1), iterpretazioe grafica. Calcolo di soglie: fissato u rischio α, calcolo della soglia λ tale che P (X > λ) 1 α, e problemi aaloghi. Lezioe 10 (18/3/08, 1 ora). Defiizioe geerale di valor medio (valore atteso) E [X] per v.a. discrete, giustificazioe della defiizioe tramite frequeze relative e media aritmetica campioaria come sul libro (paragr. 4.4). Formula per E [g (X)] (proposizioe 4.5.1) alcui esempi. [No l esempio del libro]. Variaza e deviazioe stadard (solo defiizioe come al paragr. 4.6 ed aticipazioe dell iterpretazioe grafica di σ). Lezioe 11 (19/3/08, ore). Proprietà del valor medio: liearità, dimostrata solo el caso del corollario 4.5., più euciato geerale come el paragr ; teorema su E [XY ] = E [X] E [Y ] per v.a. idipedeti (seza dim.) e su V ar [X + Y ] = V ar [X] + V ar [Y ] per v.a. idipedeti (co dim.); formula [Acora o la covariaza]. Esempi: media e variaza di v.a. di Beroulli e biomiali. Proprietà di cocetrazioe delle biomiali ad alta umerosità. Es. per casa: V ar [ax] = a V ar [X], V ar [X Y ] = V ar [X] + V ar [Y ] per v.a. idipedeti. 3

4 V.a. di Poisso (paragr. 5.): defiizioe, teorema degli eveti rari (approssimazioe tramite biomiali) ed iterpretazioe come umero di successi i situazioi i cui il umero totale di esperimeti è idetermiato e molto alto, e si coosce il umero medio λ di successi. Esercizi per casa: si possoo i geerale provare a svolgere gli esercizi umero dei compiti d esame fio al 006 icluso, e l esercizio umero 1 dei compiti del 007, escludedo però le domade più difficili e quelle che coivolgoo gaussiae ed espoeziali. Lezioe 13 (7/3/08, ore). Esercizio: data la v.a. discreta X che vale co prob. 1/4, 0 co prob. 1/, - co prob. 1/4, calcolare media, variaza, E [ e tx], E [5X X + 3]. Se X ed Y soo idipedeti co la stessa legge della X precedete, calcolare E [XY + X XY ], V ar [3X 5Y ]. Esercizio: V ar [ax] = a V ar [X], V ar [X + b] = V ar [X]. Esercizio per casa [ (u X po più difficile): elle ipotesi dell esercizio precedete, calcolare E 1+Y ], P (X 1), P (X 1). Cocetto di v.a. cotiua, desità di probabilità, probabilità calcolate a partire dalla desità (P (a X b) = b f (x) dx e casi simili), fuzioe di ripartizioe (o distribuzioe) cumulativa F (t) = P (X t) (data a da t f (x) dx per le variabili cotiue), sua mootoia e limiti all ifiito, grafico costate a tratti el caso di v.a. discrete. Tutto questo è descritto al paragrafo 4.. Lezioi (1--3/4/08, 5 ore): vedere homepage Dr. Alessio Rovai. Lezioe 17 (8/4/08, 1 ora). Defiizioe di v.a. espoeziale (par. 5.6), P (X > t) = e λt (fuzioe di affidabilità o di sopravviveza), formule per F (t), E [X], V ar [X]. Iterpretazioe grafica, cofroto grafico tra due casi, λ = e λ = 0.5. Nota: σ = µ, elevata aleatorietà, i cotrasto co biomiali e Poisso. Lezioe 18 (9/4/08, ore). Proprietà di asseza di memoria delle v.a. espoeziali: euciato, dimostrazioe, iterpretazioe applicativa (macaza di logorameto). Sistema (co tempo di vita X) composto da N sottosistemi (co tempi di vita X 1,..., X N ); i serie: X = mi (X 1,..., X N ); i parallelo: X = max (X 1,..., X N ); co sostituzioe: X = X X N. Teorema sul miimo di v.a. espoeziali idipedeti (co dimostrazioe). Nei casi i parallelo e co sostituzioe o esplicitiamo la desità ma osserviamo che sarà cocetrata, ivece che espoeziale; ad es. osserviamo per X = X X N che vale E [X] = N 1, V ar [X] = N 1, quidi λ λ 4

5 σ X = N 1, cioè si ritrova u adameto simile a biomiali e Poisso. λ F = f ei puti di cotiuità di f. Fuzioe geeratrice dei mometi φ (t). Proprietà φ (t) = E [X], φ (t) = E [X ]. Calcolo di φ (t) per le v.a. espoeziali. Per casa: da qui calcolare E [X] e V ar [X] per le v.a. espoeziali. Lezioe 19 (10/4/08, ore). Vari esempi di fuzioe geeratrice, per Beroulli, biomiale, Poisso. Ci si appoggia sulla Proposizioe 4.8.1, dimostrata. Calcolo rigoroso di E [X] e V ar [X] per le v.a. di Poisso. V.a. Gaussiae. Desità gaussiaa N (µ, σ ) dipedete dai parametri µ e σ ; suo grafico, iterpretazioe dei parametri e dipedeza da σ; fuzioe geeratrice (calcolata), da cui si trova che µ e σ soo E [X] e V ar [X]. Defiizioe di Φ (t), fuzioe di ripartizioe cumulativa stadard. Lezioe 0 (16/4/08, ore). Proposizioe sulle gaussiae e sua cosegueza: ( ) t µ F µ,σ (t) = Φ σ dove F µ,σ (t) è la fuzioe di ripartizioe cumulativa di ua N (µ, σ ). Uso delle tavole per calcolare Φ (t) co t [0, 3.5], formula Φ ( t) = 1 Φ (t) per i valori egativi, varie iterpretazioi geometriche dei calcoli di questo tipo (ache calcolo di P (X t), P (a X b) per gaussiae geeriche). Circa la Proposizioe 5.5.1, si isiste sul fatto che la dimostrazioe serve soprattutto per dimostrare la gaussiaità, i quato il valore esplicito di media e variaza è ovvio da calcoli be più facili. Si isiste ache sul cocetto di stadardizzazioe, usato per dimostrare F µ,σ (t) = Φ ( ) t µ σ : data ua v.a. qualsiasi X avete media µ e variaza σ, la v.a. X µ si chiama stadardizzata di X, i quato ha media ulla e variaza uitaria; se X è gaussiaa, σ ache X µ lo è. σ Risoluzioe di due esercizi: P ( Y 3 > 1) se Y N (3, ); P (XY < 0) se X è idipedete da Y e vale ±1 co ugual probabilità. Lezioe 1 (17/4/08, ore). Le combiazioi affii ax +by +c di gaussiae idipedeti soo gaussiae (co dimostrazioe, prima dell es ). Esercizio (si veda ache il paragrafo 6.): date X 1,..., X idipedeti, co la stessa distribuzioe, valor medio µ e variaza σ, dire quello che si può delle v.a. S = X X e X = S ; svolgere l esercizio sia i geerale sia quado le X k soo gaussiae. Ifie, scrivere la stadardizzata di S (risultato: S µ σ ). 5

6 Osservazioe: quado le X k soo gaussiae, la v.a. S µ σ è ua gaussiaa stadard N (0, 1). Teorema Limite Cetrale (teorema 6.3.1): i geerale, la v.a. coverge ad ua gaussiaa stadard N (0, 1) per, el seso che ( P a S ) µ b P (a Z b) = Φ (b) Φ (a) σ S µ σ dove Z N (0, 1). Esempi ed esercizi. Può essere utile riassumere il programma sul libro svolto fio ad ora, programma richiesto i vista del primo compitio. Il capitolo 3 è fodametale, specialmete per quato riguarda la probabilità codizioale, l idipedeza, la formula di fattorizzazioe e la formula di Bayes, metre il calcolo combiatorico serve solo fuzioalmete agli sviluppi sulle biomiali ecessari el seguito. Del capitolo 4 abbiamo visto le defiizioi fodametali di variabile aleatoria discreta e cotiua, co le relative desità di probabilità, la fuzioe di ripartizioe cumulativa, la defiizioe di valor medio e variaza e le loro proprietà di calcolo, la fuzioe geeratrice dei mometi e le sue proprietà, come operare su trasformazioi di variabili. Ivece o abbiamo svolto il paragrafo 4.3, la parte del 4.7 riguardate la covariaza, ed il 4.9. Del capitolo 5 abbiamo imparato a lavorare sulle v.a. di Beroulli, biomiali e di Poisso ed abbiamo visto i legami tra esse. Abbiamo poi studiato a fodo le v.a. espoeziali e gaussiae, i tutti i loro aspetti. Abbiamo ivece per ora tralasciato ipergeometriche, uiformi e dal paragrafo icluso i poi. L uico argometo sulle gaussiae o acora svolto soo i quatili q α e z α. Ifie, abbiamo completato lo studio delle gaussiae studiado il Teorema Limite Cetrale del paragrafo 6.3, esemplificato sia graficamete sia co esercizi. Ache il calcolo del paragrafo 6. è stato svolto a titolo di esercizio. Lezioe (/4/08, 1 ora). Esercizi sulle gaussiae e teorema limite cetrale. Lezioe 3 (3/4/08, ore). Compitio. Lezioe 4 (4/4/08, ore). Cocetto di campioe sperimetale e media campioaria (par. 6.), itese come v.a. (ell ottica pre-sperimetale, di progettazioe degli esperimeti - DOE = Desig Of Experimets). Proprietà della media campioaria X. Eleco di ragioi (proprietà) per cui 6

7 riteiamo che X sia ua buoa approssimazioe ( ) (stima) di µ. Nel caso particolare X i N (µ, σ ), vale X N µ, σ, quidi possiamo calcolare P ( µ δ X µ + δ ), quatificado l affermazioe X è vicio a µ co elevata probabilità. Tale probabilità è ache uguale a P ( X δ µ X + δ ) : se µ è icogito, questo quatifica co che probabilità abbiamo l iformazioe quatitativa X δ µ X + δ su µ (itervallo di cofideza). Di solito è più iteressate assegare queste probabilità e calcolare il relativo valore di δ (=errore dell approssimazioe). Bisoga quidi saper risolvere problemi iversi relativi alle gaussiae. Il problema iverso più elemetare è: data ua gaussiaa caoica Z N (0, 1) ed ua probabilità α (0, 1), trovare x tale che P (Z x) = α. I altri termii, dobbiamo risolvere l equazioe Φ (x) = α. La soluzioe si chiama quatile di ordie α, deotato q α. Questo problema viee iterpretato graficamete e illustrato co l uso (iverso) delle tavole. Ovviamete il problema P (Z x) = 1 α ha come soluzioe q 1 α ; siccome questo problema è molto comue (ovvero che vega assegata l area α della coda destra), la soluzioe x viee ache idicata col simbolo z α. Vale quidi, per defiizioe, q 1 α = z α. U problema iverso più geerale è: data ua gaussiaa geerica X N (µ, σ ) ed ua probabilità α (0, 1), trovare x tale che P (X x) = α. La soluzioe è x = µ + σq α. Ituitivamete questo si può capire cofrotado i grafici delle due gaussiae X e Z: differiscoo per la traslazioe i µ e per il cambio di uità di misura σ sull asse delle ascisse. Rigorosamete basta riscrivere l equazioe P (X x) = α ella forma Φ ( ) x µ σ = α, così da ricodurci al problema precedete, per cui vale x µ = q σ α, da cui si trova x = µ + σq α. Lezioe 5 (9/4/08, 1 ora). Cosolidameto sui quatili. Quatili otevoli: q = z 0.05 = 1.96, q 0.95 = z 0.05 = 1.645, e forse qualche altro. Problema iverso a due code: data ua gaussiaa caoica Z N (0, 1) ed ua probabilità α (0, 1), distribuiamo α equamete sulle due code (si iterpreti graficamete), cercado il valore x per cui P ( x Z x) = 1 α. La soluzioe è x = q 1 α/. Ad esempio, per α = 0.05, si trova x = q = 1.96 (metre per il problema P (Z x) = 1 α si trovava x = q 0.95 = 1.645). Itervalli di cofideza (par. 7.3). Sigificato ed importaza della dichiarazioe al 95% (o simili). 7

8 Lezioe 6 (30/4/08, ore). Da par. 7.3 abbiamo appreso che ( P σq 1 α/ X µ σq ) 1 α/ = 1 α. Ad es., al 95%, possiamo dire che vale σ1.96 X µ σ1.96, ovvero X σ1.96 µ X + σ1.96, che scriviamo ella forma µ = X ± σ1.96. Iiziamo la risoluzioe di u esercizio realistico e complesso. U commerciate vuole itrodurre u uovo prodotto e si chiede quati esemplari del prodotto deve teere a disposizioe gioralmete. Chiamiamo N il umero (aleatorio) di esemplari che gli vegoo richiesti gioralmete, ed idichiamo co m il umero che dovrebbe teere a disposizioe (l icogita del problema). Se ad esempio sapesse che N è ua N (5, 4), m sarebbe la soluzioe del problema P (N m) = 1 α, co α fissato dal commerciate i base al rischio che vuole correre di o accotetare tutta la clietela. La probabilità α (0, 1) misura tale rischio. la soluzioe sappiamo essere m = 5 + q 1 α. Ci soo due ordii di problemi i questa traccia di risoluzioe. Il primo è che la gaussiaità di N è u ipotesi molto discutibile: N assume valori iteri positivi, ua gaussiaa assume valori reali. Il secodo è che, pur accettado per semplicità l ipotesi di gaussiaità di N, o coosciamo la sua media e la sua variaza (i valori 5 e 4 li avevamo ivetati per illustrare la strategia di risoluzioe). Bisoga allora piaificare ua campaga di idagii per stimare µ e σ. Suppoiamo di effettuare osservazioi sperimetali (registrare il umero di richieste i giori). Avremo il campioe N 1,..., N da cui calcoleremo N, come approssimazioe di µ, S = 1 ( 1 i=1 Ni N ) come approssimazioe di σ. Ua paretesi, che riprederemo: ora che sappiamo aalizzare le v.a., cosa ci spige a riteere che S sia ua buoa approssimazioe di σ? Dimostreremo ad esempio che è uo stimatore corretto (o distorto): E [S ] = σ. Ad es., se avessimo cosiderato l espressioe apparetemete più semplice 1 ( i=1 Ni N ), la sua media sarebbe stata 1 σ, vicia a σ per grade, ma u po diversa per piccolo. 8

9 Torado al ostro problema, sappiamo che quado avremo effettuato gli esperimeti avremo u iformazioe del tipo: al 95% vale µ = N ± σ1.96. Cosa useremo per calcolare m, il umero m = N + σq 1 α, oppure m = N + σ σq 1 α, o cos altro? Se σ1.96 è grade, la differeza è sostaziale. Nasce qui come da altri ragioameti l ovvio desiderio di avere u errore σ1.96 piccolo. Possiamo agire sulla umerosità degli esperimeti. Quidi, se prefissiamo che l errore deve essere iferiore ad u certo valore δ, dobbiamo risolvere la disequazioe (ell icogita ) σ1.96 δ, da cui ( ) σ1.96. δ Lezioe 7 (7/5/08, 1 ora). Esercizio sulla stima al 95% della media µ icogita di ua N (µ, 4), dato u campioe x 1,..., x 5 co media x = 75. Esercizio sulla progettazioe di esperimeti al fie stimare la media µ icogita di ua N (µ, 4), al 95%, co precisioe pari a 1. Bisoga trovare il più piccolo valore della umerosità che soddisfa questi due requisiti. Problema ella pratica: se o si coosce µ o si coosce emmeo σ. A volte si hao iformazioi pregresse su situazioi simili e si usa il σ di quelle, ache se potrebbe o essere il valore giusto. I fase di aalisi di dati x 1,..., x si approssima σ co la deviazioe sperimetale S. A causa di questa approssimazioe, la formula δ = Sq 1 α/ o è più esattamete vera. Diveta ivece esattamete vera ua sua variate, δ = St( 1) 1 α/, dove t (k) β è il quatile della distribuzioe t di Studet a k gradi di libertà, di ordie β (aalogo al quatile gaussiao q β, soo che dipede dal parametro aggiutivo k). Lezioe 8-9 (8-13/5/08, 3 ore): vedere homepage Dr. Alessio Rovai. Lezioe 30 (14/5/08, ore). Riassuto di statistica: i) stima dei parametri icogiti, ii) verifica di parametri dichiarati. Stima: i) putuale, ii) itervallare. Stima putuale: i) statistica descrittiva, ii) complemeti teorici (stimatori corretti ecc.). X è u buo stimatore di µ. S è u buo stimatore di σ? Teorema: è corretto (dim. come el par. 6.4). Defiizioe di v.a. Chi quadro (par ), grafico, quatili, media e variaza. Teorema 6.5.1, seza dimostrazioe. Cosegueza: V ar [S ] = σ4 C (C costate opportua), per 1 cui ache S si strige attoro alla sua media σ, come X si strige attoro a µ (V ar [ X ] = σ ). Ricordiamo il teorema sulla stima itervallare i ipotesi gaussiae: µ = X ± σq 1 α co probabilità 1 α. Cosa si può dire se X o è gaussiaa, ma 9

10 soddisfa le ipotesi del TLC? Il TLC si può riformulare come X µ σ/ quidi ( P q 1 α X µ ) σ/ q 1 α 1 α N (0, 1), da cui, co gli stessi calcoli del par. 7.3, troviamo: µ = X ± σq 1 α co probabilità approssimativamete 1 α. Esempio: X B (1, p), µ = p, σ = p (1 p), quidi posto p = X (proporzioe sperimetale di successi), vale p (1 p)q1 α p = p ± co probabilità approssimativamete 1 α. Viee affrotato il problema: σ o si coosce. A posteriori, cioè dopo gli esperimeti, si coosce S, oppure p e quidi p (1 p) el caso delle proporzioi, quidi si possoo usare questi valori come approssimazioi di σ. Ricordiamo ioltre che, el caso gaussiao, St 1 α, 1 è ua formula esatta per l errore. Oppure, el caso delle proporzioi, si può risolvere la disequazioe p (1 p)q1 α p p + e l altra simile, trovado u itervallo esplicito ed esatto per p. Lezioe 31 (15/5/08, ore). Riassuto, commeti ed esempi sulle formule degli itervalli di cofideza sia el caso gaussiao che geerale. Collegameto col problema di calcolare soglie (verrà ripreso). Errore assoluto ed errore relativo, ricerca di ei due casi. Viee i particolare esemplificata la dipedeza di da certe scelte, ragioado sui compromessi tipici elle applicazioi per teere ad u livello ragioevole. A priori (i fase di DOE), i) si possoo fare degli esperimeti prelimiari otteedo u valore S che stima grossolaamete σ; ii) si possoo cercare valori oti i letteratura i situazioi simili; iii) i alcui casi si sa a priori che il parametro icogito appartiee ad u certo isieme e si può predere il caso peggiore: ad esempio siccome p [0, 1], vale sempre p (1 p) 0.5. Lezioe 3 (0/5/08, 1 ora). Carte di cotrollo (Cap. 13) e test statistici (Cap. 8). Viee itrodotta l idea tramite le carte di cotrollo della produzioe idustriale di u certo prodotto, la cui caratteristica sia descritta 10

11 da ua v.a. X, il cui valor medio µ 0 deve assumere u certo valore se la produzioe è corretta. Periodicamete si esegue u cotrollo su u campioe di umerosità, si calcola la media campiaria x, la si disega sulla carta e si cotrolla se è uscita dalla bada delimitata da UCL ed LCL. Questi limiti soo calcolati, ell ipotesi X N (µ 0, σ ) co σ ota, usado la proprietà ( X N µ 0, σ ), quidi tagliado due code simmetriche di ampiezza α dalla distribuzioe di X. Si trova UCL = µ 0 + σ q 1 α e LCL = µ 0 σ q 1 α. Il cotrollo appea detto equivale a cotrollare se z > q 1 α dove z = x µ 0 σ : questo è il modo usuale di eseguire u test. Lezioe 33 (1/5/08, ore). La strategia di test viee capita i u secodo modo, facedo riferimeto agli itervalli di cofideza. Se abbiamo u campioe da ua gaussiaa di media µ icogita, sappiamo che µ = X ± σq 1 α co probabilità 1 α. Allora, se viee ipotizzato che la media sia µ 0 e vogliamo cotrollare se il campioe è coerete co questa ipotesi (cioè se il campioe rifiuta l ipotesi o o permette di rifiutarla), basta vedere se µ 0 appartiee all itervallo di cofideza. Questo coduce alla solita codizioe z < q 1 α. Se z < q 1 α, o rifiutiamo l ipotesi, altrimeti la rifiutiamo. I aalogia co la teoria degli itervalli di cofideza, bisogerebbe prefissare α. Qui però è uso comue (es. dei software) o fissare α a priori ma cercare il valore p di demarcazioe tra gli α che avrebbero codotto a rifiutare l ipotesi µ 0 e gli altri. Dopo aver discusso ituitivamete il problema si arriva a capire che il test avrebbe rifiutato l ipotesi per tutti gli α > p. Ioltre p si calcola risolvedo l equazioe z = q 1 p da cui si trova p = Φ ( z ). Viee poi ampliato il liguaggio relativo alla teoria dei test (ipotesi ulla e ipotesi alterativa). Viee discusso il caso uilaterale, i cui l ipotesi alterativa è del tipo media maggiore di µ 0. I questo caso, rifacedoci all ituizioe basata sulla carta di cotrollo, si disega ua carta co solo la liea UCL, che dovedo tagliare fuori u area pari ad α vale UCL = µ 0 + σ q 1 α. Il test corrispodete si esegue cotrollado se z > q 1 α (i questo caso si rifiuta l ipotesi e si afferma che la media maggiore di µ 0. Per esercizio, si cerchi di capire se il valore p del caso bilaterale, p B, è maggiore o miore di p U, il valore p del caso uilaterale. Lezioe 34 (/5/08, ore). Test per la media: fermo restado i tutti i casi che l ipotesi ulla è la media è µ 0, abbiamo visto: i) il caso bilaterale, 11

12 i cui H 1 è la media è diversa da µ 0, il test è sigificativo (rifiuta l ipotesi ulla) se z > q 1 α, il valore p è pb = Φ ( z ); i) il caso uilaterale co H 1 = la media è maggiore di µ 0, il test è sigificativo se z > q 1 α, il valore p è p U + = 1 Φ (z); i) il caso uilaterale co H 1 = la media è miore di µ 0, il test è sigificativo se z < q 1 α, il valore p è p U = 1 Φ ( z). Questi valori di p ed i test soo stati ricavati o motivati, ache su base ituitiva. Se z > 0, p B = p U +, quidi p U + < p B. Questo mostra che il test uilaterale rifiuta l ipotesi più facilmete di quello bilaterale. DOE: p dipede da z, quidi si può calcolare solo a posteriori. Per ora o abbiamo gradezze che permettao di decidere la umerosità i fase di DOE. Uica cosa: le precedeti cosiderazioi su p possoo portare a scegliere tra diversi test. Errore di I e II specie. Si calcola la probabilità dell errore di I specie e si trova che vale α. Quidi α o è la probabilità di arrivare ad ua coclusioe sbagliata eseguedo u test (come ivece era per gli itervalli di cofideza) ma è solo la probabilità di rifiutare quado ivece l ipotesi ulla è vera. Si calcola poi la probabilità β dell errore di II specie osservado che essa dipede da µ µ 0 e trovado che vale ( ) ( ) µ0 µ µ0 µ β (µ) = Φ + q1 α Φ q1 α. σ σ Si defiisce poteza del test la fuzioe 1 β (µ). Essa è la probabilità di rifiutare l ipotesi ulla quado la media vera è µ µ 0. La poteza o dipede dai dati sperimetali e dipede da. Quidi può essere usata i fase di DOE. Ci si può chiedere: fissata la sigificatività α, data l ipotesi la media è µ 0, ota σ, che umerosità serve per avere ua certa poteza (es. 90%) di accorgersi di u icremeto della media pari ad u valore δ (cioè avere 1 β (µ 0 + δ) = 90%)? Si riprede, per cocludere u problema già discusso i lezioi passate: detto X il umero (aleatorio) di richieste gioraliere di u prodotto, calcolare λ = umero di pezzi da teere a disposizioe per soddisfare la clietela il 95% delle volte (i media). Se X è ua v.a. discreta, apputo il umero di pezzi, si deve trovare il più piccolo itero λ tale che P (X > λ) Se X fosse stata ua v.a. cotiua, si poteva risolvere l equazioe P (X > λ) = 0.05, trovado u umero reale λ (e prededo il primo itero superiore se vogliamo u umero itero). La ricerca di λ si può eseguire co u software per varie distribuzioi (Poisso ecc.), oppure co le tavole dei quatili el caso gaussiao. 1

13 Il problema asce se i parametri della distribuzioe di X o soo oti e vogliamo stimarli. Esemplifichiamo suppoedo che X sia ua Poisso di media µ icogita, oppure ua gaussiaa di media µ icogita e (per semplicità) variaza σ ota. Da u campioe otteiamo ua stima x di µ. Possiamo, u po grossolaamete, far fita che µ valga x ed usare questo valore per trovare la soglia λ, che chiameremo el seguito λ. Per trovarla, el caso Poisso si deve usare Excel, el caso gaussiao vale λ = x + σq Però sappiamo ache che µ = x ± δ a livello di cofideza prefissato 1 α (approssimativamete per ua Poisso, esattamete per ua gaussiaa), dove δ è dato da ua certa espressioe. Possiamo allora effettuare il calcolo di λ ei due casi estremi, i cui prediamo come media µ i due valori x+δ e x δ. Chiamiamo λ < λ + queste due soglie estreme, che tra l altro compredoo la soglia λ. Possiamo affermare che, a livello di cofideza 1 α, la soglia vera λ sta ell itervallo tra λ e λ +. Ioltre, se vogliamo effettuare ua scelta di λ molto cautelativa, possiamo predere proprio λ + (il peggior valore di λ compatibile co l itervallo di cofideza per la media). Riassuto del programma per il secodo compitio. Il riassuto descritto qui o si itede esaustivo, solo il registro riporta tutti i dettagli. I temi pricipali soo quelli che si trovao usualmete egli esercizi umero 3 dei compiti del 005/06 e precedeti (salvo eccezioi di alcui compiti strutturati diversamete), e degli esercizi umero dei compiti del 006/07 (di uovo salvo eccezioi di alcui compiti strutturati diversamete). Icludoo comuque la capacità di calcolare probabilità e soglie (quatili) gaussiai, che a volte si trovao egli esercizi su probabilità e valori medi; si vedao ache le lezioi 0, 4, 5. Aalogamete, essedo la matematica spesso tutta collegata, è ecessario saper usare ache argometi precedeti al primo compitio, come le proprietà geerali dei valori medi e di tutte le v.a. studiate, la formula di fattorizzazioe, il TLC e così via. Più specificamete di statistica, si deve saper calcolare l itervallo di cofideza per la media per v.a. gaussiae e qualsiasi, e saper ragioare sulla formula dell errore (precisioe) sia come se si fosse i fase di DOE sia i fase post-sperimetale. Saper ragioare sigifica sapersi muovere di frote alla difficoltà della macata coosceza di σ, o più classicamete saper valutare la umerosità che serve per otteere certe prestazioi (u certo errore assoluto o relativo, co ua certa cofideza). Nel caso gaussiao è bee cooscere 13

14 ache la formula co la t di Studet. Molto importate: la stima poi si collega di solito al problema successivo di calcolare gradezze di iteresse per le v.a. esamiate, come certe soglie (vedere ad es. l ultima lezioe). Circa la teoria dei test bisoga aver capito le varie ozioi ed idee, saper eseguire i test bilaterali e uilaterali per la media, calcolare il valore p, calcolare la poteza (bilaterale), ed aver capito almeo potezialmete come si potrebbe decidere la umerosità (i fase di DOE) per avere ua poteza preassegata. 14