ELEMENTI DI DINAMICA

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1 ELEMENI DI DINAMICA I uo spazio euclideo si cosidea u geeico sistea di puti ateiali P la assa di ciascuo dei quali è. S ipotizza che il sistea sia disceto a ulla cabieebbe qualoa esso fosse cotiuo (basteebbe sostituie l opeatoe di soatoia co quello d itegazioe). Baiceto e quatità di oto La assa totale del sistea è: (.) Il baiceto è iplicitaete defiito dalla seguete elazioe: (.) ( ) ovveo (.3) P P È evidete che o dipeda dalla posizioe del puto assuto coe oigie dello spazio euclideo. Ulteioi popietà del baiceto soo: - se il copo è oogeeo o dipede dalla desità; - se le asse soo distibuite lugo ua etta o su ua supeficie piaa ache vi appatiee; - se il sistea è dotato di u piao di sietia giace su di esso; - couque si scopoga il sistea i sottosistei coicide co il baiceto dei puti ateiali che costituiscoo i baiceti dei sigoli sottosistei. La quatità di oto del sistea è defiita coe: (.4) Q P & & Il oeto della quatità di oto ispetto ad u geeico polo isulta: K P P& (.5) ( ) Foze d iezia Il isultate delle foze d iezia è: (.) F P i && Dalle defiizioi di baiceto e quatità di oto si icava: (.) F i && Q & Il oeto (isultate) delle foze d iezia ispetto ad è: M P P&& (.3) ( ) Deivado ispetto al tepo l eq. (.5) si ottiee: i (.4) K & ( & & ) & ( ) && & & & & ( ) P P + P P P P P + P P&& eedo pesete le defiizioi (.4) e (.3) ed ossevado che il pio addedo a secodo ebo è ullo si icava: & (.5) K & & Mi ossia: (.6) M i K & + Q & Se è u puto fisso ( & ) oppue la velocità di è paallela a quella di ( & Q ) l eq. (.6) diveta:

2 (.7) M i & K Risulta duque sepe coveiete assuee coicidete co u puto fisso o co il baiceto. Pe calcolae il oeto delle foze d iezia ispetto ad u qualuque alto puto A si può utilizzae il teoea di tasposizioe : (.8) M M + ( A) F ia i i. Caso paticolae: copo igido cotiuo Pe u copo cotiuo il oeto della quatità di oto ispetto ad u polo (assuto appateete al copo) è: (.9) ( ) K P Pd & D alto cato la velocità del geeico puto P può essee scitta coe: P& & + ω P (.) ( ) dove ω è la velocità agolae del copo ispetto ad u ifeieto ieziale. Duque: (.) ( ) & ( ) ( ) ( ) & ( ) ( ) K P d+ P ω P d P d P P ω d Assuiao coe al solito che coicida co u puto fisso (qualoa esista) ovveo co il baiceto. Nel pio caso si ha & el secodo (v. eq. (.)): ( P ) d. Couque il pio addedo che copae a secodo ebo dell eq. (.) diveta ullo pe cui isulta: (.) K ( P ) ( P ) d ω L eq. (.) si può deivae facilete ispetto al tepo applicado il teoea illustato ell Appedice A.: & (.3) ( P ) ( P ) d+ K ω & ω K Sioa si soo cosideate quatità vettoiali. Queste possoo essee poiettate i u sistea di ifeieto fisso o obile. Nel ifeieto assuto le copoeti di P- siao: (.4) P [ x y z] La atice atisietica associata isulta (v. Appedice A.): (.5) Poiettata el ifeieto suddetto l eq. (.) diveta: z y P% z x y x (.6) K P % Pd % ω ovveo (.7) K ω dove la atice sietica: (.8) ( y + z ) d xyd xzd ( ) ( + ) x xy xz P% P% d xyd x + z d yzd xy y yz xz yz z xzd yzd x y d è chiaata tesoe d iezia. È evidete che essa dipeda: - dal polo - dall oietaeto del sistea di ifeieto assuto. I suoi eleeti (oeti e podotti d iezia) soo costati solo se tale sistea è solidale al copo igido. La poiezioe dell eq. (.3) el ifeieto cosideato poge:

3 & PPd % % ω& + ω% K (.9) K ( ) e duque: (.) K & ω & + ω % ω Dall eq. (.7) si ottiee ifie: (.) Mi ω& ω% ω Idicado co S e S due sistei di ifeieto il pio fisso ed il secodo solidale al copo l eq. (.) può essee scitta ei due casi el odo seguete: (.) K & ( )( ) ( )( )( ω & + ω % ω ) (.3) K & ( )( ) ( )( )( ω & + ω % ω ) È possibile tasfoae l eq. (.) ell eq. (.3) e vicevesa opeado seplici tasfoazioi di coodiate. Idicado co R la atice di otazioe che tasfoa S i S valgoo ifatti le segueti elazioi: (.4) ( ) ω ( ω) ω ( ω) ( ω) ( ) K& R K& R & R & ω% R % R R R Cosideiao oa ua paticolae applicazioe fequete ello studio delle acchie. Suppoiao cioè che il copo igido uoti itoo ad u asse iobile. Sia questo l asse z sia del ifeieto fisso sia di quello solidale al copo. L eq. (.) cosete di scivee: ω xz yz (.5) Mi ω & yz ω + xz ω & ω ω z L eq. (.5) appeseta foalete le copoeti di M i tato el ifeieto fisso quato i quello obile. È chiao che ete el secodo caso i oeti d iezia soo costati el pio soo quatità dipedeti dal tepo. Nel caso paticolae i cui l asse di otazioe sia picipale d iezia l eq. (.5) diveta: (.6) M i & ω z Pe quato iguada il isultate delle foze d iezia esso vale: (.7) F i && Se il baiceto cade sull asse di otazioe è evideteete F i.. eoea di Huyghes Si cosidei acoa il copo igido itodotto el pa... Il teoea di Huyghes cosete di calcolae il tesoe d iezia ispetto al polo geeico essedo oto quello ispetto al baiceto. Dall idetità: (.8) P ( P ) + ( ) segue che: (.9) P % P % + % Dalla defiizioe (.8) si ottiee duque: (.3) % % ( % % )( % % ) % % % % ( % % % % ) % % P% d % % P% d P P d P + P + d P P d + d + P + P d Poiché dalla defiizioe di baiceto isulta: 3

4 (.3) Pd % P% d poedo: (.3) [ ] l eq. (.3) diveta: x y z (.33) y + z x y x z + % % + xy x + z yz x z y z x + y 3 Eegia cietica L eegia cietica del sistea di puti ateiali è pe defiizioe: (3.) Nel caso paticolae del copo igido l eq. (3.) diveta: E P & (3.) E + ( P ) & ω d & ( ) Si assua coe al solito che sia fisso ( ) o coicidete co ( (3.3) & + & ω ( ) + ( ) ( ) ω ω P d ) e si espada l eq. (3.): E P d P P d Nelle ipotesi assute il secodo addedo a secodo ebo è ullo peciò: E P P d + P P ω d (3.4) & ω ( ) ω ( ) & ω ( ) ( ) Poiettado l eq. (3.4) el sistea di ifeieto assuto si ottiee: (3.5) ovveo (3.6) E & + ω ω & + xω x + yω y + zωz xyωxωy xzωxωz yzω ω y z ω ω se è u puto fisso; E (3.7) E & ω ω se. + 4 Picipio dei lavoi vituali ed equazioi di Lagage Si suppoga che il sistea di puti ateiali possegga gadi di libetà e i vicoli siao ideali bilateali e olooi (v. Appedice A.3). Nelle ipotesi specificate la posizioe del geeico puto P può essee espessa coe fuzioe di coodiate lagagiae (q q ) ed evetualete del tepo t (se i vicoli soo obili): (4.) P P ( q K q t) Ricodiao che uo spostaeto vituale è uo spostaeto abitaio ifiitesio e copatibile co i vicoli supposti fissi. Risulta duque: (4.) δ P P δ q q Il picipio dei lavoi vituali gaatisce che il sistea è i equilibio (diaico) se e solo se: (4.3) δv δw δl i 4

5 dove δv è la vaiazioe vituale dell eegia poteziale del sistea δw è il lavoo vituale delle foze estee o cosevative (coe oto le foze itee o copioo coplessivaete lavoo) e δl i è il lavoo vituale delle foze d iezia. Esepi d eegia poteziale soo: Eegia poteziale geodetica di u copo di assa e baiceto : (4.4) V gz dove g è l acceleazioe di gavità e z è la quota del baiceto. Eegia poteziale elastica di ua olla di costate elastica lughezza l e lughezza libea l : (4.5) V ( l l ) La vaiazioe vituale di V è: (4.6) ete quella di W è: δv V δ q q (4.7) P P δw f δp f δq f δq Q δ l l l l l l l l l q q q dove la quatità: Pl (4.8) Q f l l q è la geeica foza geealizzata di tipo o cosevativo. Calcoliao il lavoo vituale delle foze d iezia. Sfuttado le egole di eliiazioe dei puti e di scabio ta d e (v. Appedice A.4) possiao scivee: (4.9) dp& P δl P δp δq i && dt q d P d P P & P & δ q dt q dt q d P& P& P& P& δ q dt q & q d P& P& dt q& q d P& P& δ q dt q& q d E E δ q dt q& q I vitù delle eq. (4.6) (4.7) e (4.9) l eq. (4.3) diveta: (4.) δ q d E E V + Q δ q dt q& q q Poiché l eq. (4.) dev essee soddisfatta pe u qualuque isiee di spostaeti vituali δq isulta: d E E V (4.) + Q K dt q& q q Le equazioi (4.) pedoo il oe di equazioi di Lagage e soo le equazioi pue della diaica dei sistei a vicoli ideali bilateali e olooi. ali equazioi soo pue poiché o cotegoo le eazioi vicolai. 5

6 5 Equazioe eegetica L equazioe eegetica è ua foulazioe paticolae del picipio dei lavoi vituali a cui ci si icoduce alloquado si scelgoo coe spostaeti vituali gli spostaeti che il sistea effettivaete subisce duate il ovieto. Essa è solitaete posta ella foa: (5.) dl + dl + dli dv dove dl dl e dl i soo i lavoi eleetai copiuti ispettivaete dalle foze otici da quelle esisteti utili e da quelle d iezia ete dv è la vaiazioe d eegia poteziale del sistea. D alto cato il lavoo eleetae copiuto dalle foze d iezia è uguale all opposto della vaiazioe d eegia cietica del sistea: (5.) dp& dli P && dp dp dp & P& P & dp& d P & de dt pe cui l eq. (5.) può essee scitta ella foa: (5.3) dl dl dv + de dove si è evideziato il fatto che il lavoo copiuto dalle foze otici è positivo ete quello copiuto dalle foze esisteti è egativo. 6 Equivaleza diaica Due sistei di asse soo diaicaete equivaleti se posseggoo la edesia eegia cietica e le edesie foze d iezia isultati pe qualuque atto di oto. I questo caso ifatti essi aettoo le edesie equazioi del oto sia ella foa di Lagage sia i quella di D Alebet. Le Eq.i (.) (.) e (3.5) povao che codizioe ecessaia e sufficiete affiché ciò avvega è che i due sistei abbiao lo stesso baiceto la stessa assa totale lo stesso tesoe d iezia ispetto ad u edesio polo. Pe sistei caatteizzati da oto piao le Eq.i (.) e (3.5) scitte assuedo il baiceto coe polo divetao: (6.) M xzω& yzω ω+ & ω zω& i yz xz (6.) E ( & + z ω z ) L Eq. (6.) diosta che u sistea è diaicaete piao i alti teii o oigia foze e oeti ispettivaete paalleli e pepedicolai al piao del oto solo se l asse z è picipale d iezia cioè se (6.3) xz Due sistei diaicaete piai soo equivaleti se e solo se posseggoo lo stesso baiceto la stessa assa totale e lo stesso oeto d iezia ispetto ad u asse baicetico otogoale al piao del oto. A Appedici A. Rappesetazioe aticiale del podotto vettoiale Si cosideio i segueti vettoi: (A.) [ ] [ yz 3 3 a a a a b b b b ] Si assue iplicitaete che il sistea o scabi eegia co l esteo se o sotto foa d eegia eccaica e che i vicoli o siao dissipativi. 6

7 A ciascuo di essi può essee associata ua atice atisietica el odo seguete: (A.) Si veifica diettaete che vale: (A.3) a a b b a a b b 3 3 a% a3 a b % b3 b ab 3 ab 3 a b ab % ba % ab 3 ab 3 ab ab A. Deivate ispetto a divesi sistei di ifeieto Si cosideio due sistei di ifeieto S e S' il secodo otate co velocità agolae ω ispetto al pio assuto fisso. Idichiao co S e S' ache due ossevatoi solidali co i elativi sistei. U vettoe a assua egli istati t e t+dt le posizioi assolute idicate i Fig.. a ( t+ dt) a ( d a ) S ( da )S S vede a cabiae della quatità: a () t ωdt a ( t) (A.4) ( da) a( t+ dt) a( t) S Figua Poiché ello stesso itevallo dt S' si uove ispetto a S quella che pe S' è la posizioe oigiaia di a i ealtà uota della quatità ωdt a t assuedo la posizioe: () (A.5) a a( t) + ω dt a( t) S' vede duque vaiae a della quatità: da a t + dt a a t + dt a t ω dt a t da ω dt a t (A.6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pe cui si ha: (A.7) S ( da) ( da) dt S S + dt Se idichiao co il puto la deivata ispetto al ifeieto fisso e co il cappuccio quella ispetto al ifeieto obile possiao scivee: (A.8) U iediato coollaio si ottiee poedo ω a : (A.9) ω a & a ˆ + ω a &ω ωˆ A.3 Vicoli ideali bilateali e olooi U vicolo è detto: ideale (o o dissipativo) se la coispodete eazioe vicolae o copie lavoo; bilateale se è taducibile i elazioi espesse i foa d eguagliaza (piuttosto che d ieguagliaza); a () t S 7

8 olooo se le elazioi che lo taducoo soo itegabili ossia possoo posi i ua foa o coteete le deivate delle coodiate. A diffeeza dei vicoli olooi quelli aolooi soo di pua obilità poiché iducoo il ueo di gadi di libetà dell atto di oto a o quelli del sistea i geeale; le elazioi che li espioo devoo posi a fiaco delle equazioi diffeeziali del ovieto. Si cosidei il seguete esepio. Ua uota di ceto e aggio otoli seza stisciae su di ua otaia (Fig. ). y θ A x Figua Nel piao del oto la uota possiede te gadi di libetà espiibili attaveso le vaiabili di cofiguazioe x y e θ. uttavia il vicolo di cotatto ta uota e otaia ipoe: (A.) y & (A.) e duque: y cost. Aalogaete il vicolo di puo otolaeto el puto di cotatto A poge: (A.) x& x& & θ ossia (A.3) A x θ + cost. Etabi i vicoli dell atto di oto (Eq.i (A.) e (A.)) si taducoo i elazioi ta le vaiabili di cofiguazioe (Eq.i (A.) e (A.3)) e deteiao la iduzioe del ueo di gadi di libetà del sistea el suo coplesso (da te a uo). Si tatta alloa di vicoli olooi. Si cosidei oa u sistea a due gadi di libetà descivibile attaveso le vaiabili di cofiguazioe q e q e si suppoga che u vicolo ipoga la seguete codizioe sull atto di oto: (A.4) q& + qq& ovveo (A.5) δ q + qδ q L eq. (A.4) o è itegabile pe cui o può tadusi i ua elazioe ta le vaiabili di cofiguazioe. I defiitiva ete l atto di oto possiede u solo gado di libetà il sistea cotiua ad avee i geeale due. A.4 Utili egole di diffeeziazioe La posizioe di u geeico puto P possa essee espessa coe fuzioe di coodiate lagagiae (q q ) e del tepo t: (A.6) P P ( q K q t) La velocità di P è: (A.7) P P P & & t q + q La quatità P & può essee vista coe ua fuzioe delle + vaiabili iediataete la elazioe: (A.8) P& q& P q q q& t pe cui dall eq. (A.7) si icava ota coe egola d eliiazioe dei puti. 8

9 Dall eq. (A.7) segue ache: (A.9) P& P P q q q q q t & + h h h Ma pe defiizioe: (A.) d P P P dt q q q t q q& + h h h pe cui copaado le eq. (A.9) e (A.) elle ipotesi di cotiuità i cui vale il eoea di Schwatz si ha: (A.) ota coe egola di scabio ta d e. d P P& dt q q h h 9