T + U t Q R. T t. L equazione di bilancio trovata, va corredata con un opportuno set di condizioni a contorno, che sono:

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1 Itoduzioe Obiettivo del pesete lavoo è aalizzae ediate odelli ateatici il capo di tepeatua che si geea attoo ad u lioe quado è ivestito da ua coete daia a tepeatua costate. Alluopo veao cofotati gli adaeti del capo di tepeatua otteuti attaveso due odelli che cosideao ispettivaete la soluzioe esatta ed ua appossiata copo ad elevata coducibilità, e i etabi si iteà il lioe assiilabile ad ua sfea. Ifie si valideao i isultati co i dati otteuti da pove speietali codotte i laboatoio. Soluzioe esatta capo di tepeatua di ua sfea Si cosidei ua sfea, che a patie da codizioi di tepeatua uifoe, vega iscaldata da u fluido che e labisce la supeficie estea. e otteee le equazioi che descivoo il poblea si esegue u bilacio di eegia su di ua sezioe eleetae della sfea, posta al aggio e di spessoe d, si ottiee: Q Q d U t Q d T k * 4π ρ c * 4π T t Da cui, svolgedo la deivata a pio ebo, si ottiee: T 4π k T T T Tt α ρ c * 4π T t L equazioe di bilacio tovata, va coedata co u oppotuo set di codizioi a cotoo, che soo: T, t kt, t T, T i h T, t T f Ove si sia idicato co il aggio della sfea, co T i la tepeatua uifoe iiziale della stessa e co T f la tepeatua del fluido che la labisce. Al fie di idue il ueo di paaeti da cui dipede la fuzioe icogita T si pocede all adiesioalizzazioe. A tal fie si defiiscoo le segueti gadezze adiesioali: t ;τ ; ϑ t if T T i f T T f Il tepo di ifeieto si lascia al oeto icogito, salvo poi defiilo oppotuaete ella adiesioalizzazioe. Il set di equazioi adiesioali cui si peviee è il seguete:

2 ,,Bi,, e agioi di pulizia foale si è posto h t if ; e si è defiito Bi α k Si sottoliea coe le equazioi tovate siao tutte lieai ed oogeee ad eccezioe dell equazioe che appeseta la codizioe iiziale. Queste soo le codizioi pe cui la soluzioe può essee icecata ediate il etodo di sepaazioe delle vaiabili. Si esaia quidi il sottopoblea lieae ed oogeeo defiito dalle te equazioi lieai e oogeee e si iceca ua soluzioe paticolae data dal podotto di due fuzioi, ua della sola e l alta della sola τ: Ipoedo tale soluzioe si ottiee:, S Bi ed S S S Si icoosce che la soluzioe pe la S è u espoeziale egativo del tepo la scelta di ua costate egativa è popio legata alla ecessità di avee soluzioi o divegeti pe tepi ifiiti. I elazioe al sistea i, si può opeae i due odi distiti. Fuzioi di Bessel Si itoduca la seguete vaiabile: / J Sostituedo ell equazioe si giuge all equazioe di Bessel: J J 4 J Che si icoduce a x u xu x u Co x e ν±/. Soluzioe dell equazioe di Bessel è:

3 J x k k kk x k aticolaizzado la soa al caso i esae otteiao: J k k k! k si J k k k! k cos I defiitiva quidi otteiao le segueti fuzioi: petato possiao scivee: si cos A si B cos Foulazioe di Euleo Nellequazioe iiziale copae il podotto della fuzioe icogita pe la vaiabile idipedete, questo suggeisce di isolvee lequazioe attaveso la posizioe: ediate cui è possibile icodue lequazioe ad ua a coefficieti costati. Ifatti, opeado la sostituzioe si peviee a: 3 Bi Si icoosce lequazioe delloscillatoe aoico che ha itegale geeale: Ipoedo le codizioe a cotoo otteiao: AsiBcos

4 B cotg Bi Questultia, è lequazioe caatteistica che foisce gli autovaloi e le coispodeti autofuzioi la cui cobiazioe lieae a covegeza foisce il valoe esatto della fuzioe. si, A e τ ϑ τ Co i coefficieti A deteiati sfuttado la elazioe di otooalità delle fuzioi. A, si d si d Diostazioe otogoalità delle autofuzioi B i Moltiplicado la pia equazioe pe e la secoda pe si ottiee: Sottaedo ebo a ebo si ottiee: Itegado sul doiio di defiizioe della fuzioe : d d d d Si icoosce ella fuzioe itegado a pio ebo il diffeeziale esatto della fuzioe: il cui itegale è evideteete pai a: ] [

5 che, date le codizioi al cotoo isulta pai a zeo pe. isulta così diostata lotogoalità delle fuzioi e otteuta di cosegueza la fuzioe peso che defiisce la elazioe di otooalità pai a. Soluzioe appossiata: copo ad elevata coducibilità Se il copo peseta u ueo di Biot olto ioe delluità ci si aspetta che la tepeatua sia poco vaiabile alliteo del copo ad ogi istate del feoeo e di cosegueza che il odello aalitico e isulti seplificato. e tepi sufficieteete gadi, dei teii della soatoia che appesetao la soluzioe esatta esta solo il pio poiché, ciascu teie oltiplica u espoeziale del tepo oltiplicato pe ua successioe di cesceti. Data lequazioe caatteistica: cotg Bi ellipotesi di Biot tedete a zeo si ha che ache tede a zeo e pe deteiae la elazioe fuzioale è possibile sviluppae i seie di Taylo le fuzioi a pio e secodo ebo itoo al pio autovaloe: 6Bi Bi Tale espessioe osta coe pe Bi tedete a zeo, vi teda ache il pio autovaloe. I tale ipotesi: e segue che pe tedete a zeo si ha:,a si avedo sfuttato il liite otevole li, d A ~ d exp si exp exp si A questa coclusioe si giuge ache cosideado il capo di tepeatua idipedete dal aggio ed effettuado u bilacio globale di eegia esteso a tutta la sfea: co codizioe a cotoo: osto sta t t c ; T T f T i T f Si giuge itegado alla seguete espessioe: du dt hat T f cv dt dt hat T f T T i sta e sta

6 ove si è posto t c Vc Ah c 3h Dati ilevati i laboatoio Lappaato speietale utilizzato cosiste i u codotto i cui passa aia a velocità e tepeatua defiibili dallutete ediate dei voltoeti coessi a vetole e esisteze. Settado oppotuaete i voltoeti si è otteuto u flusso daia ad ua tepeatua di cica 43 C e ad ua velocità edia di,9/s e deviazioe stadad pai a,6 /s. Stabilizzatosi il flusso, si soo disposti due lioi su ulli pe oogeeizzae la tepeatua sulla loo supeficie, di cui uo otoe otate ad ua velocità di p e si è attivata la telecaea ad ifaossi pe effettuae le ilevazioi di tepeatua. Tale appaecchiatua ichiede che siao settati talui paaeti, elecati di seguito: tepeatua di backgoud: 4 C tepeatua estea: 4 C eissività del lioe:.95 ueo di fae: 95 fequeza di acquisizioe: fae ogi secodi. Le caatteistiche dei lioi soo sitetizzate coe segue: k.6 W/K peso: 8g e 3,6g volue: 7l e 5l c4 J/kgK dai pesi e volui isuati si può icavae u valoe edio della desità e il aggio equivalete da usae ei odelli: 3,43c & 3,96c ρ84kg/ 3 & ρ753kg/ 3 velocità ulli: p, e deiva ua velocità peifeica del lioe di.4 /s cosideado u appoto diaeto ullo/diaeto lioe pai a Dai dati ilevati isulta che e D 8389;.7. Nu.4e /.6e / 3 /5 Nu55,54h,5 W K

7 tale foula è stata pesa da letteatua ed è valida pe 3.5 e7.4 4 ;.7 38, i essa si è tascuato il teie che el osto caso, data la scasa vaiazioe di tepeatua ta la s coete allifiito e quella sulla supeficie del lioe, è appossiativaete pai a. ossiao a questo puto calcolae: il ueo di Biot: Bi h k lioe, il tepo di ifeieto della soluzioe esatta: t if 6786s il tepo caatteistico ellipotesi di copo ad elevata coducibilità t c 883s Nelliagie si osta uo dei fae acquisiti dalla fotocaea a ifaossi. Soo evideziate le aee che soo state cosideate ella valutazioe della tepeatua. Esse soo state scelte teedo i coto la loo posizioe e la distibuzioe di tepeatua pesete. La posizioe è ipotate i quato a secoda della supeficie cosideata vaia leissività pecepita dalla teocaea e quidi il valoe di tepeatua attibuito a tali puti isulta ifluezato egativaete. Iolte è stato valutata la distibuzioe di tepeatua sui due lioi al fie di scegliee delle aee caatteizzate da ua ioe vaiabilità. I valoi utilizzati el pesete lavoo soo otteuti ediado le tepeatue putuali ilevate dalla teocaea. Noostate ciò ladaeto tepoale della tepeatua si ostava foteete iegolae, pobabilete dovuto al oto ipesso ai lioi dai ulli, che poduceva ua cotiua vaiazioe della zoa ilevata co coseguete vaiazioe delle caatteistiche geoetiche delle zoe capioe e quidi delleissività pecepita dalla fotocaea.

8 Si è petato eseguito uo soothig dei dati attaveso ua edia obile su dati. 4 T e p e a t u e l i o i l i o e l i o e 3 s o o t h s o o t h t e p o [ s ] Aalisi dei isultati Nella figua sottostate soo potati i isultati dei odelli sopaesposti cofotati co i isultati speietali. e cofotae i isultati dei odelli a paaeti cocetati e la soluzioe esatta è stato ecessaio appesetae la soluzioe del odello a paaeti cocetati i fuzioe del θ.. 4 S o l u z i o e e s a t t a a e, p a a e t i c o c e t a t i e d a t i s p e i e t a l i p a c o l i o i l i o i τ tepo adiesioale utilizzato pe la soluzioe esatta. sta t if t c sta 3Bi pe tale agioe al vaiae di Biot la cuva viee più o eo stiata; i paticolae pe Biot cesceti il valoe paticaete uitaio viee aggiuto più apidaete. e quato cocee le cuve

9 elative ad ed del odello esatto, al vaiae di Biot esse tedoo auspicabilete ad avviciasi od allotaasi pe Bi tedete a zeo coicideti. e tale agioe o si ha ua posizioe elativa fissa ta le cuve ezioate a vaia col il valoe assuto dal Biot. Tuttavia i teii diesioali esta veificato il fatto che i etabi i casi il bilacio globale di eegia è soddisfatto: ifatti il odello a paaeti cocetati si basa popio su tale bilacio globale che viee ispettato evideteete ache dal etodo esatto. I etabi i casi può essee calcolato coe: t ht T f 4 dt dove T el caso del odello esatto è la T,t, il valoe calcolato ueicaete i etabi i casi isulta coicidete e pai a 7333 J. Coe può otasi dalla figua i dati speietali si tovao al di sopa delle cuve icavate dai odelli. Ciò è iputabile a vaie cause, paticolaete due: lacquisizioe della tepeatua alliteo del codotto, date le caatteistiche tubolete del flusso, seba essee otevolete dipedete dal puto di acquisizioe della velocità. Questo sigifica che il valoe di h calcolato è valido quale odie di gadezza teedo iolte coto che tale foula si ifeisce a deteiate pove fatte a date codizioi al cotoo e di geoetia o pefettaete ipodotte ella pova effettuata. La tepeatua ilevata dalla teocaea è otevolete ifluezata dal feoeo di eissioe delle paeti del codotto, fuzioe della tepeatua delle stesse. Si suppoe che i questo caso si sia sottostiato il valoe della tepeatua delle paeti e quidi la fotocaea ella sua elaboazioe abbia sovastiato leegia teica eessa dal lioe pe iaggiaeto. I eito al pio puto si è codotto u tuig del paaeto h al fie che il odello ipoducesse più accuataete i dati speietali. Nella figua successiva si osta il isultato pe h35w/k

10 Copese le difficoltà e le seplificazioi itodotte dai due odelli isulta di paticolae iteesse idustiale e tecico copedee quado sia possibile utilizzae il odello a paaeti cocetati i luogo del odello esatto più oeoso coputazioalete. Ciò che vogliao otteee è cooscee i valoi di Bi pe i quali la i tepi caatteistici dei due odelli soo paagoabili peettedo quidi di pefeie il odello a paaeti cocetati. A tal fie si è pesato che fosse più oppotuo cofotae la tepeatua del odello a paaeti cocetati co ua tepeatua equivalete icavata dal odello esatto. Tale tepeatua è stata defiita coe ua sota di tepeatua adiabatica di tazza, el seso che è stata deteiata ipoedo che leegia coplessiva, suppoedo il lioe a tepeatua costate pai a quella equivalete, fosse uguale alleegia effettivaete pesete. cv T c 4 T d Si ipota ladaeto, el osto caso, della tepeatua equivalete defiita ispetto alle tepeatua ad ed T e p e a t u a e q u i v a l e t e θ T e q τ.coe el caso pecedete, asce la ecessità di ipotae ad u coue asse dei tepi le due fuzioi di tepeatua. Si è optato pe adiesioalizzae i tepi ispetto a t c, i quato tale tepo ella ealtà o dipede da Bi, e si facedo el gafico e isulteà effettivaete idipedete. Le cuve ostate i figua appesetao al vaiae di Bi il tepo adiesioale i coispodeza del quale la tepeatua aggiuge il 99% del valoe asitotico. Tale gafico cofea che pe Bi tedete a zeo i odelli hao tepi caatteistici coicideti e foisce alligegee la possibilità di valutae leoe che coette adopeado il odello a paaeti cocetati ispetto al odello esatto. Si ota che ladaeto della cuva blu è cica lieae e che pe ua vaiazioe uitaia di Bi si ha ua vaiazioe della stessa etità del tepo adiesioale del odello esatto ispetto quello a paaeti cocetati, che quatitativaete, cosideado che t c è pai a 883 s, poduce ua sottostia di cica 3 i.

11 Tepo τ * cui viee aggiuta θ.99 i fuzioe di Bi s o l u z i o e e s a t t a p a. c o c e t a t i τ* Bi Appedice Si ipotao i appedice i codici sviluppati i abiete di lavoo Matlab. Calcolo autovaloi fuctio [labda,fval,exitflag]calcololabda fo z:5 [labdaz,fvalz,exitflagz]fibd@caatteistica,z-*pi,z*pi; ed fuctio caatteisticalabda global Bi i abscotlabda--bii/labda; ed Calcolo coefficieti odello esatto fuctio [A]calcoloAlabda sys fo f:5 Afevalit*silabdaf**,,,/itsilabdaf*^,,, ; ed ed

12 Tepeatua odello esatto fuctio [T]Tep_,A,labda T; tau[:.:3]; fo i: TTAi*silabdai*./.*exp-labdai^*tau; ed hold o plottau,t,; ed fuctio [T]Tep_tt,A,labda T; [.:.:]; fo i: TTAi*silabdai*./.*exp-labdai^*t; ed plot,t; ed Tepeatua paaeti cocetati fuctio testt global A labda INTesdblquad@Tep_it,,,,3; ed Valutazioe Tepeatua equivalete fuctio [taus]tep_a,labda global h i T; tc4*.343*84/3/hi; tif6786; taustatif/tc; tau[:.:]; Ted; j; while Ted>. j>legthtau INTesquad@Tep_it,.,; Ted3*INTes; jj; ed fuctio [T]Tep_it T; fo p:5 TTAp*silabdap*./.*exp-labdap^*tauj/tausta.*.*; ed ed taustauj-; ed

13 Valutazioe itegale fuctio testit global A labda Bi labdacalcololabda; AcalcoloAlabda; INTesquad@Tep_it,,5 INTpcquad@Tep_itpc,,5 fuctio [T]Tep_ittau T; ; fo i:5 TTAi*silabdai*./.*exp-labdai^*tau; ed ed ed fuctio [Tpc]Tep_itpctau tc4*.343*84/3/.3; tif6786; taustatif/tc; Tpcexp-tau*tausta; ed Tuig h fuctio [Bi]tuigh global Bi h i h[.::]; fo i:legthh Bii.343/.6*hi; labdacalcololabda; AcalcoloAlabda; titep_,a,labda; ed ed