Calcolo del campo magnetico generato da cavi elicordati per la distribuzione dell energia elettrica

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1 Calcolo del capo agetico geeato da cavi elicodati pe la distibuzioe dell eegia elettica E. KANDIA, M. LANDINI, G. MAZZANTI DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA ELETTRICA UNIVERSITÀ DI OLOGNA, VIALE RISORGIMENTO, 46 OLOGNA e-ail: ASTRACT Questo appoto iteo tatta il capo di iduzioe agetica geeato da ua tea di coduttoi avvolti ad elica pecosi da coete tifase. Le foulazioi esatta ed appossiata di letteatua soo state usate coe puto di pateza di u aalisi paaetica di tipo euistico che pota ad ua foula iovativa seplificata pe il calcolo del capo totale d iduzioe agetica. Tale foula appossiata calcola il capo di iduzioe agetica i fuzioe della distaza dall asse dell elica utilizzado coe paaeti il passo dell elica ed il aggio dell elica.. Itoduzioe I coduttoi avvolti ad elica vegoo spesso utilizzati pe il taspoto di eegia i edia tesioe (MT) e bassa tesioe (T). Ad esepio è fequete il loo utilizzo pe il taspoto di eegia i uscita da cabie di tasfoazioe del gestoe di ete, da cabie di tasfoazioe ei pessi di aeogeeatoi faceti pate di u paco eolico e da oduli ivete ed evetuali tasfoatoi deadati all eissioe i ete di eegia geeata da gossi ipiati fotovoltaici. Il calcolo del capo di iduzioe agetica elle iediate viciaze di cavi elicodati è ua attività idispesabile sia pe valutae l ipatto agetico di tee iteate olto vicie a ecettoi sesibili, sia pe calcolae la distaza di ispetto di u dato valoe liite assio aissibile di iduzioe agetica (ad esepio il valoe di attezioe di μt o l obiettivo di qualità di μt []), sia quado la coete che attavesa i cavi ha u valoe elativaete basso e, quidi, geea u livello di iduzioe agetica ilevate solo i zoe vicie ai cavi. Pe il calcolo dell iduzioe agetica geeata da ua tea di coduttoi avvolti ad elica o è possibile utilizzae la seplice tattazioe basata sull ipotesi di coduttoi ettiliei e paalleli []. Pe questo calcolo esiste i bibliogafia ([]-[4]) ua foula appossiata utilizzabile a patie da ua ceta distaza dall asse della tea di coduttoi. Geealete, già a distaze paagoabili al passo dell elica, la foula appossiata foisce ua buoa appossiazioe, ed è ifatti utilizzata spesso i queste codizioi. All avviciasi ai coduttoi del puto-capo la foula appossiata copota ivece eoi sepe aggioi ed i tal caso è ecessaio ivolgesi alla foulazioe esatta. La foula esatta fa uso delle fuzioi di essel odificate del pio e secodo tipo e delle loo deivate i u iiziale sistea di ifeieto co coodiate cilidiche([]-[4]).

2 L obiettivo picipale dello studio effettuato el pesete appoto iteo è tovae ua foulazioe appossiata iovativa che foisca isultati iglioi di quella già esistete i bibliogafia pe distaze sia vicie che lotae dai coduttoi. Tale foulazioe appossiata iovativa viee otteuta sostituedo le coplesse fuzioi di essel ediate polioi al assio di tezo gado.. Picipi teoici del calcolo del capo agetico pe cavi elicodati. Foulazioe esatta pe elica sigola La Figua osta il caso di u sigolo coduttoe avvolto ad elica che taspota ua coete I. Siao p il passo e α il aggio dell elica [],[4]. Figua : Copoeti del capo agetico i coodiate cilidiche [],[4] I coodiate cilidiche, φ e z (ispettivaete adiale, aziutale ed assiale) ed idicado co, φ, e z le ispettive copoeti del capo agetico, possiao scivee: μ I = α π I I = μ μ k I kα K k φ φ kz π φ α cos π μ Iα z = k I kα K k cos φ φ kz π ( k ) I ( kα) K ( k ) si [ ( φ φ kz )] ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) [ ( )] (.a) (.b) (.c) co π k = () p

3 I (z) e K (z) soo le fuzioi di essel odificate di pio e secodo tipo di odie, e I (z) e K (z) le loo deivate. μ I Si osseva che, tascuado il teie di φ, isulta z = (k) φ che π sepliceete sigifica che la copoete di capo el piao φ-z è pepedicolae ad u elica vituale di passo p e passate attaveso il geeico puto capo. α Figua : Copoeti adiale e bioale del capo agetico Quidi, il capo può essee descitto da due sole copoeti: la copoete adiale e la copoete bioale b dato che la copoete tageziale s è pai a zeo. La diezioe bioale b e la diezioe tageziale s, che isiee foao le coodiate della supeficie lateale di capo agetico, soo idicate sulla Fig.. La teza diezioe è la cosiddetta diezioe oale, che a pate il sego, cocoda co la diezioe adiale. Abbiao scelto di ateee la copoete adiale ivaiata. La elazioe ta i due sistei di ifeieto è data dalle equazioi: = si ψ φ cosψ (.a) s z b = cosψ φ si ψ (.b) z essedo ψ = ta ( k ) l agolo di passo pe il puto-capo. Eliiado il teie μ I/(π) di φ co l applicazioe della coete di itoo del coduttoe sigolo collocata sull asse del cilido (che cotobilacia questo teie), possiao scivee pe le copoeti tepo-dipedeti siusoidali del vettoe capo agetico: b ) = ) = γ I ( η ) K ( γ ) si( Φ) si( ωt) = γ γ I ( η ) K ( γ ) cos( Φ) si( ωt) = (4.a) (4.b)

4 co ) μ I α = π (5) η = kα (6) γ = k (7) = φ φ kz (8) Φ essedo I ) ) il valoe di picco della coete siusoidale i( t) = I siωt di pulsazioe ω. Si oti che il puto capo viee appesetato i coodiate cilidiche.. Foulazioe esatta pe pe cavo tipolae elicodato Nel caso di cavo tipolae elicodato le te eliche coassiali hao aggi uguali e la disposizioe dei coduttoi i u piao otogoale all asse dell elica foa u tiagolo equilateo. Duque idetifichiao i coduttoi co l idice i =,, e poiao: π π α = ( ) φ = ( i ) I = I ) si( ω t α i i i i ) dove α i soo gli agoli di fase della coete e φ i soo i paaeti di posizioe dei te coduttoi. Il capo isultate geeato dai te coduttoi elicodati si calcola usado le segueti elazioi geoetiche ausiliaie: i i si ( ωt ai ) si [ ( φ φi kz )] = cos ( ωt ± Φ ) (9.a) si ω i i (9.b) ( t a ) cos [ ( φ φ kz )] = si ( ωt ± Φ ) Otteiao così i isultati segueti pe i valoi istataei delle copoeti di capo: b ) μ I α = γ π ) μiα = γ π essedo ( ) I ( η ) K ( γ ) cos ( ωt ± Φ ) γ I ( η ) K ( γ ) si ( ωt ± Φ) (.a) (.b) Φ = φ kz () Si oti che i teii delle soatoie elle equazioi () soo o ulli pe =,,4,5,7... e ulli pe =,6,9...; iolte il sego supeioe vale pe =,5,8... e l ifeioe pe =,4,7... 4

5 5 I valoi efficaci delle copoeti adiale e bioale del capo di iduzioe agetica, e il valoe efficace del capo di iduzioe agetica totale possoo oa espiesi coe: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos Φ ± = K K I I γ γ η η γ (.a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos Φ ± = b K K I I γ γ η η γ γ (.b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos ) )( ( Φ ± = K K K K I I γ γ γ γ γ γ η η γ (.c) essedo α I π μ = () Le foule possoo essee applicate al caso paticolae di ua cofiguazioe o elicodata (dove p e quidi η,γ ) e usado le appossiazioi pe le fuzioi di essel:! ) ( I = η, K = )! ( ) ( γ γ, co η, γ << (4) si ottiee: ) ) cos( )( ( 4 Φ ± α = (5.a) ) cos( 4 Φ ± α = b (5.b) [ ] ) cos( ) )( ( 4 Φ ± α = (5.c). Teoia appossiata I [-4] si è ossevato che pe alcui valoi dei paaeti α e p il pio teie della seie è così doiate, che può sevie coe ua buoa appossiazioe pe l itea soatoia pe ceti valoi della vaiabile. U tale caso paticolae si veifica quado la cofiguazioe ha ua elicodatua blada, el seso che α<<p e il puto

6 capo si tova ad ua distaza olto gade, tale che >>p. Questo è il caso di aggio iteesse pe l esposizioe uaa ai capi agetici geeati dai cavi elicodati utilizzati tipicaete pe la distibuzioe e l utilizzazioe dell eegia elettica ei sistei elettici pe l eegia. I tal caso il capo totale si iduce a: γ = γ I ( η ) K ( γ ) K ( γ ) (6) γ Utilizzado le ulteioi appossiazioi delle fuzioi di essel: γ K ( γ ) K ( γ ) e pe γ>> (7) πγ si ottiee la seguete espessioe del capo di iduzioe agetica totale: F (8) 4 co π γ F = γ e, twist facto (9) Cofotado le equazioi (8)-(9) co la () si osseva coe l effetto di iduzioe del capo agetico che si ottiee utilizzado la cofiguazioe elicodata dei coduttoi sia coglobato el fattoe F. Coe esepio della iduzioe del capo a cui può potae ua cofiguazioe tipolae elicodata ispetto ad ua tipolae o elicodata, vediao che pe valoi del appoto / p pai a e, F è uguale a,7 e, ispettivaete. Ciò diosta la apidità estea della iduzioe del capo agetico totale ispetto al caso o elicodato al cescee della distaza del puto capo dall asse di elicodatua.. Aalisi paaetica delle foule esatte ed appossiate Si è sviluppato uo scipt i abiete MATLA pe il calcolo del capo agetico esatto (equazioi (.a), (.b) e (.c)) e appossiato (equazioe (8)) geeato da ua tea di coduttoi avvolti ad elica, e pe il calcolo del capo agetico el caso che i coduttoi o siao avvolti ad elica (equazioi (5.a), (5.b) e (5.c)), cioè el caso che i coduttoi siao sepliceete ua tea di coduttoi ettiliei ed ifiitaete lughi. Nella Figua, coe esepio di applicazioe dello scipt, viee ostata i coodiate logaitiche (Figua.a) e lieai (Figua.b) la diffeeza ta la foulazioe esatta e quella appossiata al vaiae della distaza dall asse dell elica [, ;, ] el caso di ua tea elicodata co passo p =, aggio α =,, coete I = A e agolo Φ=6. 6

7 [icot] esatto appossiato o elicodato [] Figua.a: Capo agetico totale esatto, appossiato e pe cavo o elicodato al vaiae della distaza dall asse dell elica i coodiate logaitiche (passo p =, aggio α =,, coete I = A e agolo Φ=6 ) 5 esatto appossiato o elicodato [icot] [] Figua.b: Capo agetico totale esatto, appossiato e pe cavo o elicodato al vaiae della distaza dall asse dell elica i coodiate lieai (passo p =, aggio α =,, coete I = A e agolo Φ=6 ) Coe si vede, la diffeeza ta capo agetico totale esatto e appossiato aueta all avviciasi del puto-capo ai coduttoi. All auetae della distaza dall asse dell elica, ivece, la soluzioe appossiata tede a quella esatta, a l eoe esta 7

8 o tascuabile, ete la diffeeza ta il caso elicodato e quello o elicodato tede sepliceete al fattoe F ( twist facto ). Queste ossevazioi giustificao la iceca di ua foula appossiata iovativa alteativa alla (8), che seplifichi i odo accettabile la foula esatta (.c) e el cotepo coseta ua iduzioe dell eoe sopattutto pe valoi di odesti a ache pe valoi di elevati. Il uolo dell agolo Φ Dalla foula (.c) è evidete che il capo di iduzioe agetica è fuzioe ache dell agolo Φ, defiito i base all equazioe (). Il sigificato fisico dell agolo Φ è quello di idicae la posizioe pecisa del puto capo ella cofiguazioe elicoidale, teedo coto sia della sua posizioe aziutale, sia di quella assiale ispetto all oigie delle coodiate cilidiche. Ifatti, l agolo Φ dipede sia dalle coodiate cilidiche φ e z, sia dal passo dell elica p. Pe pote aalizzae l adaeto del capo i fuzioe soltato della distaza è oppotuo fissae u valoe costate pe tale agolo. Ovviaete questo valoe deve essee quello pe cui il capo assue il suo valoe assio che è il caso piu peicoloso i teii di ipatto abietale. I base ad u aalisi dell agolo Φ [] si deduce che il capo di iduzioe agetica totale aggiuge il suo valoe assio pe Φ = quado, e pe Φ = 6 quado,. Si desue iolte che pe ogi valoe di distaza il capo vaia i odo peiodico siusoidale al vaiae dell agolo Φ. Ciò è evideteete causato dalla posizioe agolae del geeico puto capo ispetto alla posizioe dei te coduttoi avvolti ad elica. Coe agioevole quidi il peiodo di tale dipedeza è pai a T = π/. Dal puto di vista patico, distaze ioi di, coispodoo a puti-capo toppo possii ai coduttoi pe essee di eale iteesse ai fii della valutazioe dell esposizioe uaa ai capi agetici geeati dai cavi elicodati. Duque tutti i calcoli effettuati i seguito saao fatti cosideado solo distaze o ifeioi a, e agolo Φ costate e fisso a 6.. Seplificazioe delle fuzioi di essel Le Foule () cotegoo ua seie ifiita di fuzioi di essel odificate del pio e secodo tipo, e le loo deivate. Tali fuzioi soo coplesse ed il calcolo esatto del capo agetico isulta quidi olto pesate. Pe idividuae u espessioe appossiata alteativa che seplifichi il calcolo esatto, può duque isultae utile tovae u valoe fiito pe i paaeti e di fuzioi di essel tale che la soluzioe appossiata covega alla soluzioe esatta. Avedo fatto u aalisi della covegeza del capo agetico si deduce che:. All auetae del valoe di e, la soluzioe appossiata covege alla soluzioe esatta (coe soluzioe esatta ello scipt sviluppato i MATLA si è cosideato ==5 pe la seie delle fuzioi di essel).. Il caso di u solo teie (==) coispode alla soluzioe appossiata data dalla foula (6). Tale appossiazioe del capo agetico o dipede dall agolo Φ e appeseta ua buoa stia del valoe edio di esatto al vaiae di Φ.. La velocità di covegeza cesce al cescee di. A patie da distaze aggioi di la soluzioe a teii (==) è u ottia appossiazioe della soluzioe esatta. La soluzioe appossiata a teii è iglioe di quella a teie ed iolte sovastia sepe il 8

9 capo ispetto a quella esatta (caso favoevole dal puto di vista igegeistico). Pe tovae u espessioe appossiata alteativa che seplifichi il calcolo esatto, è oppotuo ielaboae la soluzioe esatta (.c). A tal fie, poedo: Α= I η () γ γ ( Φ ( ) I ( η ) )( ) K ( γ ) K ( γ ) K ( γ ) K ( γ ) cos( ± ) l equazioe (.c) si seplifica coe segue: μ Iα μ Iα π = γ A = ( k ) A = ( ) A π π p - 6πμ Iα 6π(4π ) Iα,4π Iα = A = A = A p p p () ove si è posto μ =4π - μh/ piuttosto che μ =4π -7 H/ pe otteee i isultati del capo agetico diettaete i μt ( -6 T). Il teie A è la adice che cotiee la seie delle fuzioi di essel ed il capo di iduzioe agetica è diettaete popozioale ad esso, dato che la quatità,4π Iα o dipede dalla distaza dall asse dell elica. Alloa è popio la adice A p che deteia la dipedeza del capo agetico totale dalla distaza ed è oppotuo esaiae coe tale quatità A iflueza il isultato, ossia il capo. Pe ogi valoe della distaza l appossiazioe a teii di A, defiita coe A, iplica sepe u eoe elativo ioe ispetto all appossiazioe ad teie. Ciò che couque iteessa, dal puto di vista patico, è il fatto che l eoe elativo pecetuale e, defiito coe: e A ( ) ( ) ( ) A = () A( ) è sepe olto odesto e couque positivo pe,, cioè pe distaze o toppo possie alla supeficie del cavo elicodato e quidi di fatto iteessati dal puto di vista dell esposizioe uaa al capo agetico. Pe tali distaze, duque, il valoe assuto dall appossiazioe a teii della adice A isulta sepe aggioe ispetto al valoe esatto della adice A, potado quidi ad ua sovastia cautelativa del capo di iduzioe agetica. Patedo da tale ossevazioe si può pesae di appossiae aleo pe distaze, l espessioe esatta del capo totale usado l appossiazioe a teii (==), defiita coe ; questo saà il puto di pateza di u aalisi paaetica di tipo euistico che poteà ad ua foula iovativa seplificata pe il calcolo del capo totale d iduzioe agetica.. Aalisi i coodiate seilogaitiche Nella figua 4 viee ostato l adaeto del capo i fuzioe della distaza usado coodiate seilogaitiche. 9

10 [icot] [] Figua 4: Capo agetico al vaiae della distaza dall asse dell elica i coodiate seilogaitiche (p =, α =,, I = A e Φ=6 ) Si ota che tale adaeto è quasi lieae, co ua odesta deviazioe dalla lieaità (di tipo ipebolico) solo pe piccoli valoi di. Questo sigifica che si può pesae di appossiae il logaito del capo ediate l equazioe di ua etta, co l aggiuta di u teie ipebolico che si aulli apidaete al cescee di. Si ottiee così u espessioe appossiata iovativa, del tipo: a a = a a = e e l () Peò l appossiazioe foita dall equazioe () o è ottiale, pechè pe olti valoi di distaza pota ad u eoe supeioe al %. Alloa si è pesato di aggiugee al teie lieae che deteia l adaeto ettilieo u teie ipebolico, otteedo u espessioe appossiata più coplessa, del tipo: a l = a a a / (4) a Si oti che il teie a / è stato iseito pe siulae la deviazioe dalla lieaità pe piccole distaze dall asse dell elica. I paaeti dell espessioe appossiata (4) soo a, a, a e a. Pe calcolali, si è iteuto fodaetale deteiae co pecisioe i valoi dei paaeti a e a che goveao la pate ettiliea dell adaeto di i coodiate seilogaitiche, dato che tale pate ettiliea è quella che peae pe distaze aggioi di,8, le più iteessati ai fii dell esposizioe uaa. Subodiataete alla deteiazioe dei paaeti a e a, si è poceduto al calcolo di a e a cecado di iiizzae l eoe coplessivo al vaiae di. Duque el coplesso si è poceduto coe segue. Azitutto si è iteuto oppotuo liitae il fittig dell adaeto ettilieo a ua pate soltato dell itevallo [, ;, ] i esae. Si soo così cosideati te casi: ) etta da,8 a, ;

11 ) etta da, a, ; ) etta da, a, ; e si soo tovati i ispettivi valoi dei coefficieti a e a usado lo scipt sviluppato a tal fie i MATLA. Pe il paaeto a i base a ua seie di pove peliiai si è fissato il valoe di,, ete pe il paaeto a pe ciascuo dei te casi si soo fatte pove fio a stabilie il suo valoe iiizzado l eoe che e isulta e pivilegiado u eoe positivo, possibilete o supeioe al %. Facedo le pove i tutti e te i casi aiviao a die che l eoe coplessivo el tezo caso isulta ioe ispetto agli alti due casi: quidi si è deciso di cosideae l adaeto del capo coe ua etta da, a,. 4. Foula iovativa Il capo dipede - olte che dalla distaza - ache dal aggio di codatua α, dal passo di codatua p e dalla coete I. Alloa asce la ecessità di tovae la dipedeza dei paaeti a, a e a dal passo, dal aggio e dalla coete. Aalizzado la () si ottiee:,4π Iα,4π Iα = A = A l l p p,4π α l l = l l I l A p e quidi:,4π Iα = l A p (5.a), l l lg l I a a (5.b) a essedo: l f ( I) I =, fuzioe ota di I;,4π α lg = l = f (α, p) p, fuzioe ota di α e p;, l A a a = f ( ;α, p), fuzioe ota di e icogita di α, p; a è popozioale a I, quidi ovviaete la dipedeza di l dalla coete I si espie taite il logaito atuale di I. La dipedeza dal aggio e dal passo di codatua viee espessa i odo esatto taite il logaito atuale di G, dove G =,4π α/ p, e i odo appossiato taite logaito atuale di A. I questo odo ci si liita ad appossiae la adice A e o l itea espessioe di. 4. Paaeto lg Qui di seguito viee ipotata la Tabella che cotiee i valoi della gadezza lg i fuzioe del passo p e del aggio α ed i ispettivi gafici (Fig. 5.a, 5.b e 5.c) che

12 pesetao l adaeto di lg i fuzioe del passo p, i fuzioe del aggio α ed ifie i fuzioe di etabe. Tabella : Valoi di lg pe alcui valoi otevoli del passo p e del aggio α p[],,,,,4,5,6,7,8,9, α [], -,44 -,69 -,849 -,965 -, -,5 -,8 -,55 -,658 -,79 -,865, -,747 -,977 -,7 -,78 -,4 -,558 -,687 -,884 -,97 -,8 -,4, -,46 -,5 -,76 -,8664 -,46 -,56 -,86 -,49 -,57 -,65 -,779,4 -,59 -,446 -,486 -,5787 -,769 -,8649 -,994 -,5 -,95 -,77 -,44,5 -,69 -,4 -,954 -,555 -,57 -,647 -,778 -,89 -,64 -,45 -,7,6,55,69 -, -,7 -,4 -,4594 -,5885 -,797 -,84 -,9 -,48,7,557,5,4 -,9 -,67 -,5 -,44 -,5556 -,6699 -,778 -,886,8,69,4486,746,45 -,7 -,77 -,8 -,4 -,564 -,6445 -,747,9,757,5664,9,,84 -,59 -,8 -,4 -,486 -,567 -,69,,86,677,4977,76,894,54 -,777 -,989 -, -,44 -, lg - lg passo [] aggio [] Figua 5.a: lg i fuzioe del passo p Figua 5.b: lg i fuzioe del aggio α lg lg aggio []..4.6 passo [] Figua 5.c: lg i fuzioe del aggio α e del passo p.8 4. Paaeto a Coe già detto, si è deciso di cosideae l adaeto lieae del capo da, a, poiché questa scelta iduce l eoe. Quidi si è sviluppato u uovo scipt i MATLA pe il calcolo del paaeto a cosideado la pate ettiliea dell adaeto a patie da, fio a, : i valoi otteuti vegoo ipotati ella Tabella.8. Nelle figue 6.a, 6.b e 6.c si vede l adaeto del paaeto a i fuzioe del passo p e del aggio α. Si è scelto di cosideae pe il passo p i valoi da

13 ,8 a, e pe il aggio α i valoi da, a, pe icludee ell aalisi la più vasta gaa possibile di cofiguazioi elicodate pe i coduttoi. Tabella : Paaeto a pe alcui valoi otevoli del passo p e del aggio a p[],8,9,,,,,4,5,6,7,8,9, α[], -,76 -,6888 -,6 -,565 -,57 -,448 -,967 -,475 -,5 -,55 -,7 -,697 -,89, -,7544 -,68 -,678 -,5568 -,4996 -,4456 -,944 -,455 -,987 -,56 -, -,68 -,76, -,749 -,674 -,64 -,557 -,4945 -,44 -,96 -,4 -,957 -,5 -,78 -,66 -,55,4 -,77 -,666 -,6 -,54 -,487 -,45 -,85 -,75 -,96 -,47 -,45 -,6 -,7,5 -,768 -,6456 -,587 -,54 -,478 -,47 -,785 -,6 -,86 -,46 -, -,59 -,9,6 -,684 -,66 -,57 -,58 -,467 -,478 -,7 -,44 -,8 -,69 -,95 -,545 -,49,7 -,654 -,65 -,557 -,58 -,454 -,466 -,66 -,59 -,75 -, -,89 -,49 -,,8 -,6 -,5777 -,56 -,485 -,49 -,99 -,495 -,6 -,69 -,6 -,8 -,48 -,4,9 -,586 -,549 -,58 -,4655 -,44 -,795 -,7 -,95 -,54 -,4 -,745 -,58 -,978, -,5474 -,575 -,48 -,447 -,49 -,66 -, -,8 -,45 -,44 -,659 -,8 -, paaeto a paaeto a aggio [] Figua 6.a: Paaeto a i fuzioe del aggio α passo [] Figua 6.b: Paaeto a i fuzioe del passo p -. paaeto a aggio [].5 passo [] Figua 6.c: Paaeto a i fuzioe del aggio α e del passo p Il paaeto a è fuzioe sia del passo che del aggio. Dalla figua 6.b si ota che il paaeto a è ua fuzioe di gado del passo p. Quidi, voledo appesetae la dipedeza di a dal passo p ediate ua fuzioe aalitica appossiata, l appossiazioe attesa saà del tipo aa = a a p a p. Peò i paaeti

14 a, a e a soo a loo volta fuzioi di gado del aggio α. Ragioado i odo aalogo a quato fatto pe la dipedeza dal passo, si ottiee ifie la seguete fuzioe aalitica appossiata che esplicita copletaete la dipedeza del paaeto a sia dal passo, sia dal aggio: a = [(,87 α ) (,7 α),8] [( 48,48 α ) (.699 α),994] [( 49,69 α ) (,574 α),99] p p Nella Tabella soo ipotati i elativi valoi del paaeto a appossiato ediate la elazioe (6) e elle Figue 7.a, 7.b e 7.c si tovao gli adaeti del paaeto a esatto e a appossiato, i fuzioe del passo p e del aggio α, paagoati ta loo. Tabella : Paaeto a appossiato p[],8,9,,,,,4,5,6,7,8,9, α[], -,7566 -,6898 -,657 -,564 -,555 -,4495 -,96 -,455 -,975 -,5 -,98 -,699 -,8, -,749 -,686 -,65 -,56 -,5 -,4466 -,98 -,46 -,96 -,59 -,84 -,685 -,, -,78 -,674 -,65 -,55 -,4965 -,44 -,9 -,45 -,9 -,486 -,6 -,66 -,87,4 -,7 -,664 -,67 -,544 -,489 -,459 -,85 -,6 -,897 -,45 -, -,6 -,5,5 -,744 -,645 -,588 -,58 -,4794 -,479 -,784 -,7 -,85 -,4 -,99 -,59 -,,6 -,688 -,659 -,577 -,59 -,4678 -,48 -,74 -,4 -,79 -,6 -,945 -,545 -,6,7 -,655 -,6 -,554 -,57 -,454 -,47 -,6 -,6 -,75 -, -,889 -,489 -,,8 -,65 -,577 -,5 -,484 -,486 -,94 -,5 -,7 -,648 -, -,85 -,45 -,4,9 -,599 -,5479 -,55 -,46 -,4 -,79 -,79 -,968 -,559 -,54 -,75 -,5 -,957, -,559 -,55 -,4776 -,496 -,4 -,69 -,4 -,85 -,46 -,67 -,67 -,7 -,87 (6) a appossiato a appossiato paaeto a appossiato paaeto a appossiato aggio [] Figua 7.a: Paaeto a esatto e a appossiato i fuzioe del passo p passo [] Figua 7.b: Paaeto a esatto e a appossiato i fuzioe del aggio α 4

15 -. a app aggio [].5.5 passo [].5 Figua 7.c: Paaeto a appossiato i fuzioe del aggio a e del passo p Nella Tabella 4 è ipotato il calcolo dell eoe pecetuale sul paaeto a appossiato e ella Figua 8 viee ostato il suo adaeto i fuzioe del passo p e del aggio α taite u gafico tidiesioale. Tabella 4: Eoe pecetuale sul paaeto a appossiato p[],8,9,,,,,4,5,6,7,8,9, α[], -,66,46,5585,6675,558,66 -,49 -,5789 -,98 -,749 -,994,8,999, -,67,5,448,57,489,8 -,45 -,5499 -,9 -,76 -,86,67,779, -,69 -,85,54,476,46,4 -,75 -,4644 -,8 -,9749 -,7768,64,599,4 -,56 -,,566,88,48,774 -,899 -,79 -,666 -,88 -,6669,895,54,5 -,6 -,44,78,65,555,5 -, -,65 -,4579 -,595 -,577,6,69,6 -,878 -,67,64,457,597,5,5 -,9 -,594 -,9 -,45,,6,7,87 -,4 -,64 -,94,547,99,,77, -,4 -,94 -,8,468,8,485 -,795 -,59 -,68 -,74,,794,77,6,854,65 -,767 -,886,9,777 -,98 -,58 -,567 -,45 -,596,6,499,686,678,498 -,467 -,9,,9985 -,4 -,94 -,945 -,679 -,5,5,764,76,9,758 -,56 -,84 4 eoe aggio [].5.5 passo [].5 Figua 8: Eoe sul paaeto a 5

16 4. Paaeto a Il etodo pe calcolae il paaeto a è lo stesso utilizzato pecedeteete pe il calcolo del paaeto a, dato che lo scipt i MATLA foisce i isultati di etabi. Nella tabella. soo ipotati i valoi esatti del paaeto a. Nelle figue (9.a, 9.b e 9.c) si vede l adaeto del paaeto a esatto i fuzioe del passo p e del aggio α. Tabella 5: Paaeto a pe alcui valoi otevoli del passo p e del aggio a p[],8,9,,,,,4,5,6,7,8,9, α[], -8,6-7,79-6,6444-6,779-5,666-5,86-4,868-4,578-4,68-4,97 -,89 -,76 -,55, -8,6-7,79-6,6444-6,779-5,666-5,86-4,868-4,578-4,69-4,98 -,894 -,76 -,55, -8,6-7,79-6,6444-6,779-5,666-5,86-4,868-4,578-4,69-4,98 -,895 -,77 -,554,4-8,6-7,79-6,6444-6,779-5,666-5,86-4,868-4,579-4,7-4,99 -,895 -,78 -,555,5-8,6-7,79-6,6444-6,779-5,666-5,87-4,868-4,579-4,7-4,9 -,896 -,79 -,556,6-8,6-7,79-6,6444-6,779-5,667-5,87-4,868-4,579-4,7-4,9 -,897 -,7 -,557,7-8,6-7,79-6,6444-6,779-5,667-5,87-4,868-4,574-4,7-4,9 -,898 -,7 -,558,8-8,6-7,8-6,6444-6,779-5,667-5,87-4,868-4,574-4,7-4,9 -,898 -,7 -,55,9-8,6-7,8-6,6445-6,779-5,667-5,87-4,868-4,574-4,7-4,9 -,899 -,7 -,55, -8,6-7,8-6,6445-6,779-5,667-5,87-4,8684-4,574-4,7-4,9 -,89 -,74 -, paaeto a esatto paaeto a esatto aggio [] passo [] Figua 9.a: a esatto i fuzioe del aggio α Figua 9.b: a esatto i fuzioe del passo p - -4 paaeto a esatto aggio [].8..4 passo [] Figua 9.c: Paaeto a esatto i fuzioe del passo p e del aggio α.6.8 6

17 Il paaeto a è soltato fuzioe del passo p. Coe si può otae dalla figua 9.a o c è dipedeza dal aggio: pe ogi valoe del passo p fissato il paaeto a isulta ua etta costate. Dalla figua 9.b ivece si ota che tale paaeto è fuzioe del passo p di gado. Quidi l appossiazioe attesa saà del tipo a = a a p a p a p. Lavoado i questo odo si ottiee l appossiazioe del paaeto a, che isulta: (,8 p ) (,686 p ) (,879 ), 4446 a = p (7) Nella Tabella 6 soo ipotati i elativi valoi del paaeto a appossiato ediate la elazioe (7) e elle Figue.a,.b e.c si tovao gli adaeti del paaeto a esatto e a appossiato, i fuzioe del passo p e del aggio α, paagoati ta loo. Tabella 6: Paaeto a appossiato p[],8,9,,,,,4,5,6,7,8,9, α[], -8,74-7,64-6,675-6,889-5,598-5,88-4,8467-4,56-4,86-4,68 -,99 -,745 -,588, -8,74-7,64-6,675-6,889-5,598-5,88-4,8467-4,56-4,86-4,68 -,99 -,745 -,588, -8,74-7,64-6,675-6,889-5,598-5,88-4,8467-4,56-4,86-4,68 -,99 -,745 -,588,4-8,74-7,64-6,675-6,889-5,598-5,88-4,8467-4,56-4,86-4,68 -,99 -,745 -,588,5-8,74-7,64-6,675-6,889-5,598-5,88-4,8467-4,56-4,86-4,68 -,99 -,745 -,588,6-8,74-7,64-6,675-6,889-5,598-5,88-4,8467-4,56-4,86-4,68 -,99 -,745 -,588,7-8,74-7,64-6,675-6,889-5,598-5,88-4,8467-4,56-4,86-4,68 -,99 -,745 -,588,8-8,74-7,64-6,675-6,889-5,598-5,88-4,8467-4,56-4,86-4,68 -,99 -,745 -,588,9-8,74-7,64-6,675-6,889-5,598-5,88-4,8467-4,56-4,86-4,68 -,99 -,745 -,588, -8,74-7,64-6,675-6,889-5,598-5,88-4,8467-4,56-4,86-4,68 -,99 -,745 -, paaeto a appossiato a appossiato paaeto a appossiato a appossiato passo [] Figua.a: Paaeto a esatto e a appossiato i fuzioe del passo p aggio [] Figua.b: Paaeto a esatto e a appossiato i fuzioe del aggio α 7

18 a app aggio [].8..4 passo [].6.8 Figua.c: Paaeto a appossiato i fuzioe del passo p e del aggio α Nella Tabella 7 è pesete il calcolo dell eoe pecetuale sul paaeto a appossiato e ella Figua viee ostato il suo adaeto i fuzioe del passo p e del aggio α taite u gafico tidiasioale. Tabella 7: Eoe pecetuale sul paaeto a p[],8,9,,,,,4,5,6,7,8,9, α[], -,89,64,48,8 -,55 -,94 -,445 -,79,48,9,58,47 -,68, -,89,64,48,8 -,55 -,94 -,445 -,79,95,96,5795,47 -,66, -,89,64,48,8 -,55 -,94 -,445 -,79,95,96,577,446 -,664,4 -,89,64,48,8 -,55 -,94 -,445 -,85,7,88,577,49 -,69,5 -,89,64,48,8 -,55 -,95 -,445 -,85,7,857,5744,9 -,64,6 -,89,64,48,8 -,55 -,95 -,4446 -,85,48,857,578,65 -,6448,7 -,89,64,48,8 -,55 -,95 -,4446 -,87,48,8,569,8 -,6476,8 -,89,59,48,8 -,55 -,95 -,4446 -,87,48,8,569, -,65,9 -,89,59,465,8 -,55 -,95 -,4446 -,87,5,88,5666,84 -,656, -,89,59,465,8 -,55 -,95 -,4446 -,858,5,784,564,57 -, eoe aggio [].8..4 passo [].6.8 Figua : Eoe sul paaeto a 8

19 4.4 Paaeto a Pe il paaeto a si soo fatte pove fio a stabilie il suo valoe iiizzado l eoe che e isulta e pivilegiado u eoe positivo, possibilete o supeioe al %. Nella tabella 8 soo ipotati i valoi esatti del paaeto a. Nelle figue.a,.b e.c si vede l adaeto del paaeto a esatto i fuzioe del passo p e del aggio α. Tabella 8: Paaeto a esatto p[],8,9,,,,,4,5,6,7,8,9, α[],,6,67,69,7,75,78,8,8,85,87,89,9,9,,6,67,69,7,75,78,8,8,85,87,89,9,9,,6,67,69,7,76,78,8,8,85,88,9,9,9,4,6,67,7,7,76,79,8,84,86,88,9,9,94,5,6,68,7,7,77,79,8,84,86,89,9,9,94,6,6,68,7,74,77,8,8,85,87,89,9,9,95,7,6,69,7,74,78,8,8,85,88,9,9,94,96,8,6,69,7,75,78,8,84,86,88,9,9,95,96,9,64,69,7,75,79,8,84,87,89,9,9,95,97,,64,69,7,76,8,8,85,88,9,9,94,96, paaeto a paaeto a aggio [] Figua.a: Paaeto a vs aggio α passo [] Figua.b: Paaeto a esatto vs passo p.9 paaeto a aggio [].4. passo [] Figua.c: Paaeto a esatto.6.8 9

20 L adaeto o egolae del paaeto a è dovuto al fatto che i calcoli si soo effetuati seza l ausilio di uo specifico pogaa che calcoleebbe autoaticaete i valoi esatti del paaeto a. Il paaeto a è fuzioe sia del passo che del aggio. Dalla figua.b si ota che il paaeto a è fuzioe del passo p di gado, alloa si appossia co ua etta. Quidi l appossiazioe attesa saà del tipo a = a a p. Peò i paaeti a e a soo a loo volta fuzioi del aggio α di odie. Lavoado i questo odo si ottiee l appossiazioe del paaeto a che isulta: (,79 α,4) (,6 α), 4444 a = p (8) Nella Tabella 9 soo ipotati i elativi valoi del paaeto a appossiato ediate la elazioe (8) e elle Figue.a,.b e.c si tovao gli adaeti del paaeto a esatto e a appossiato, i fuzioe del passo p e del aggio α, paagoati ta loo. Tabella 9: Paaeto a appossiato p[],8,9,,,,,4,5,6,7,8,9, α[],,64,6666,69,757,74,7649,7895,84,886,86,8878,9,969,,645,67,695,798,7446,7695,794,89,844,8689,897,986,944,,6485,676,6987,78,749,774,799,84,8495,8746,8997,948,9499,4,657,677,75,779,75,7787,84,895,8549,88,957,9,9565,5,6549,686,76,79,7576,78,89,846,86,886,96,97,96,6,658,684,7,76,769,7879,88,898,8657,897,976,945,9695,7,664,6876,78,74,766,795,887,8449,87,897,96,9498,976,8,6646,69,776,744,776,797,86,85,8765,9,995,956,985,9,6678,6946,74,748,7749,87,884,855,88,987,955,96,989,,67,698,75,75,779,86,8,86,8874,944,945,9685, a appossiato a appossiato a appossiato a appossiato aggio [] Figua.a: Paaeto a esatto e a appossiato i fuzioe del aggio α passo [] Figua.b: Paaeto a esatto e a appossiato i fuzioe del passo p

21 a appossiato aggio [].8..4 passo [] Figua.c: Paaeto a appossiato i fuzioe del passo p e del aggio α.6.8 Nella Tabella è pesete il calcolo dell eoe pecetuale sul paaeto a appossiato e ella Figua 4 viee ostato il suo adaeto i fuzioe del passo p e del aggio α taite u gafico tidiesioale. Tabella : Eoe sul paaeto a p[],8,9,,,,,4,5,6,7,8,9, α[],,779 -,5,695 -,47 -,55 -,8485 -,585 -,879 -,65 -,64 -,8,5,58,,959,6,99 -,8 -,6 -,59 -,865 -,598 -, -,596,975,449,6958,,8,58,56,6 -,668 -, -,596 -,96 -,94 -,885 -,59,5,,4,8,454,47 -,6 -,8 -,6 -,69 -,578 -,756,4,98,576,848,5,598,6,69,4 -,6998 -,75 -,67 -,9,57 -,7,854,78,84,6,778,444,9 -, -,4555 -,67 -,94 -,55 -,94,875,978,76,999,7,958 -,46,7,4 -,779 -,48 -,678 -,75 -,479 -,97,856,54,86,8,8,656 -,95 -,76 -,59 -,74 -,89 -,546 -,87 -,645 -,44,88,486,9,6979,78 -,4986 -,6 -,84 -,7 -,685 -,794 -,45 -,665,848,688,9658,,8946,4799 -,8 -,448 -,54 -,7546 -,94 -,455 -,664 -,95,754,47,7848 paaeto a aggio [] passo [] Figua 4: Eoe sul paaeto a

22 5. Esepi Qui di seguito vegoo pesetati gli esepi dell applicazioe della foula appossiata iovativa pe alcui valoi otevoli del passo (,8,, e, ) e del aggio (,, e, ) teedo la coete costate e pai a A. Pe la pecisioe, elle tabelle vegoo ipotati i isultati otteuti usado: - la foula appossiata iovativa di equazioe (5.b) co i valoi esatti dei paaeti a, a e a (app_); - la foula appossiata iovativa di equazioe (5.b) co i paaeti a, a e a espessi ediate le (6), (7), (8) (app_); - la foula appossiata di letteatua data dalle (8)-(9)(app_). I isultati soo poi gaficati elle coispodeti figue che seguoo. Tabella : Valoi del capo agetico totale esatto, del capo agetico appossiato app_, del capo agetico app_, del capo agetico appossiato app_ e degli eoi pecetuali ispetto a esatto otteuti pe p=,8, α=, e I=A [] esatto app_ eoe_ app_ eoe_ app_ eoe_, 5,47 6,7 9,87 6,569,5587 4,56-5,9488,4,9957,58,569,76,85,5994-9,858,5,7769,7785,96,7968,555,65-6,5,6,7,64,874,45,45,75 -,465,7,96,4,6,6 4,98,46 -,5958,8,544,56,798,58 6,59,489 -,864,9,,4 4,4959,5 8,6, -9,859,,99,4 5,778,8 9,6,9-8,,,4,45 6,9,47,955,4-7,4797,,9, 6,7,,76,7-6,876,,8,9 6,55,9,55,8-6,649,4,4,4 6,46,4,7659, -5,966,5,, 6,65,,857, -5,5465,6,, 5,64,,654, -5,8,7,, 4,976,,78, -4,9,8,, 4,75,,85, -4,659,9,,,459,,88, -4,458,,,,6, 9,46, -4,56 Tabella : Valoi del capo agetico totale esatto, del capo agetico appossiato app_, del capo agetico app_, del capo agetico appossiato app_ e degli eoi pecetuali ispetto a esatto otteuti pe p=,8, α=, e I= A [] esatto app_ eoe_ app_ eoe_ app_ eoe_, 69,996 75,4 8,878 77,45,76 4,559-4,5496,4 4,99 5,9,699 5,785,4 5,999-5,7698,5 9,6468 9,66,584 9,86,95 6,54 -,886,6,8889,98,899,997,6694,747 -,9,7,66,64,,675 4,88,459-8,6466,8,674,6969,957,78 5,599,4887-7,494,9,86,99 4,4997,6 7,5, -6,5998,,6,9 5,78,7 8,984,99-5,8848,,59,56 5,9896,577 9,5,95-5,997,,9,44 6,546,5 9,864,7-4,8,,,6 6,4795,,,76-4,99,4,44,46 6,87,48,576, -4,45,5,9, 6,87,,684,5 -,78,6,8,9 5,5957,9,45,6 -,4695,7,4,4 4,9456,4,6, -,5,8,, 4,48, 9,66, -,8,9,,,9, 9,6, -,8,,,,74, 8,459, -,666

23 Tabella : Valoi del capo agetico totale esatto, del capo agetico appossiato app_, del capo agetico app_, del capo agetico appossiato app_ e degli eoi pecetuali ispetto a esatto otteuti pe p=,, α=, e I= A [] esatto app_ eoe_ app_ eoe_ app_ eoe_, 6,78 7,445 9,7567 7,68 8,548 4,64 -,559,4,867,856,594,8 -,8647,45-4,779,5,76,666 -,747,44 -,488,6-9,787,6,5979,598,78,586 -,9865,4985-6,688,7,874,96,466,847 -,95,46-4,84,8,45,446,887,48,685,9 -,5746,9,696,75 4,78,74,76,68 -,9,,48,66 5,96,54,779, -,5,,75,85 5,795,79,59,59-9,6,,89,94 6,88,9,6,8-8,458,,45,48 6,8,46,764,4-7,86,4,,5 6,8,,779, -7,7,5,, 6,6,,6, -6,7986,6,6,6 5,585,6,758,6-6,8,7,, 4,8659, -,544, -6,6,8,, 4,478, -,67, -5,6898,9,,,98, -,794, -5,978,,,,4, -4,897, -5,5 Tabella 4: Valoi del capo agetico totale esatto, del capo agetico appossiato app_, del capo agetico app_, del capo agetico appossiato app_ e degli eoi pecetuali ispetto a esatto otteuti pe p=,, α=, e I= A [] esatto app_ eoe_ app_ eoe_ app_ eoe_, 8,55 88,9488, ,58 9, ,4-4,456,4,6,48,6,9,8,459-5,,5 4,758 4,74 -,64 4,54 -,475,6 -,64,6 6,895 6,968,8 6,87 -,4 4,985-7,6846,7,9,6,67,9 -,,46-5,5964,8,676,6656,966,644,7,87-4,44,9,89,84 4,444,86,97,68 -,865,,44,47 5,85,45,58,8 -,874,,6, 5,7495,74,8897,59 -,87,,,84 6,5,5,985,8 -,4,,5,55 6,,55,85,47-9,876,4,66,8 6,76,7,455,4-9,998,5,6,44 5,99,9,874, -8,987,6,7,74 5,48,7,66,57-8,656,7,6,8 4,765,6,786, -8,66,8,9,9,9447,8 -,89,5-8,,9,,,989,9 -,878,8-7,769,,5,5,96,5 -,99,4-7,547

24 Tabella 5: Valoi del capo agetico totale esatto, del capo agetico appossiato app_, del capo agetico app_, del capo agetico appossiato app_ e degli eoi pecetuali ispetto a esatto otteuti pe p=,, α=, e I= A [] esatto app_ eoe_ app_ eoe_ app_ eoe_, 9,4 9,965,6649,767,94 4,9-5,8,4 4,754 4,5-4,4 4,564 -,495,6648-4,656,5,7465,584-6,4,65-5,44,749-6,6,6,69,664-4,4677,65 -,456,68 -,944,7,8,577 -,679,78 -,9555,7849-7,96,8,78,788,,79,54,56-4,565,9,479,486,584,4896,7454,69 -,77,,86,,674,6 5,5569,559-9,676,,7,76 4,76,4 6,9577,78-7,96,,49,575 5,54,6 7,96,46-6,58,,,9 5,94, 8,599,875-5,844,4,78,76 5,96,78 8,98,66-4,94,5,5,5 5,756,546 8,97,44 -,9,6,5,69 5,6,8 8,676,7 -,4756,7,47,58 4,59,67 8,9,8 -,754,8,74,8,587,87 7,4,55 -,95,9,,6,49, 6,5, -,5,,87,88,44,9 5,46,78 -, Tabella 6: Valoi del capo agetico totale esatto, del capo agetico appossiato app_, del capo agetico app_, del capo agetico appossiato app_ e degli eoi pecetuali ispetto a esatto otteuti pe p=,, α=, e I= A [] esatto app_ eoe_ app_ eoe_ app_ eoe_, 97,84,45,6989,7 6,46 4,86-56,97,4 5, ,5-4,6 49,78 -,544 6, ,96,5 9,667 7,685-6,55 7,7-4,694 7,49-4,6,6 7,77 6,8998-4,9 7,6 -,97,678-4,688,7,7,5 -,4877,54 -,49 7,8494 -,546,8 7,797 7,7 -,77 7,599,698 5,6-7,86,9 4,99 5,,894 5,76 4,447,69-4,775,,6,46,497,596 6,8,559 -,78,,557,69 4,664,46 7,7548,78 -,994,,5494,65 5,49,6855 8,7884,46-9,564,,7,5 5,8,7 9,4459,8746-8,497,4,7444,788 5,889,87 9,765,655-7,6,5,596,5489 5,6487,57 9,778,444-6,999,6,64,87 5,5,986 9,5,7-5,657,7,558,67 4,46,788 9,,77-4,99,8,8,865,4998,95 8,984,545-4,794,9,7,4,99,67 7,98,98 -,7,,9,9,47,958 6,45,78 -,6 4

25 - vs esatto app app app - [ut] [] Figua 5: Capo agetico totale esatto, capo agetico appossiato app_, capo agetico app_ e capo agetico appossiato app_ i fuzioe della distaza i coodiate seilogaitiche otteuti pe p=,8, α=, e I= A vs esatto app app app - [ut] [] Figua 6: Capo agetico totale esatto, capo agetico appossiato app_, capo agetico app_ e capo agetico appossiato app_ i fuzioe della distaza i coodiate seilogaitiche otteuti pe p=,8, α=, e I= A 5

26 vs esatto app app - app [ut] [] Figua 7: Capo agetico totale esatto, capo agetico appossiato app_, capo agetico app_ e capo agetico appossiato app_ i fuzioe della distaza i coodiate seilogaitiche otteuti pe p=,, α=, e I= A vs esatto app app app [ut] [] Figua 8: Capo agetico totale esatto, capo agetico appossiato app_, capo agetico app_ e capo agetico appossiato app_ i fuzioe della distaza i coodiate seilogaitiche otteuti pe p=,, α=, e I= A 6

27 vs esatto app app app [ut] [] Figua 9: Capo agetico totale esatto, capo agetico appossiato app_, capo agetico app_ e capo agetico appossiato app_ i fuzioe della distaza i coodiate seilogaitiche otteuti pe p=,, α=, e I= A vs esatto app app app [ut] [] Figua : Capo agetico totale esatto, capo agetico appossiato app_, capo agetico app_ e capo agetico appossiato app_ i fuzioe della distaza i coodiate seilogaitiche otteuti pe p=,, α=, e I= A 7

28 6. Coclusioi I questo appoto iteo è stata pesetata la teoia esatta ed appossiata del calcolo del capo di iduzioe agetica geeato da ua cofiguazioe tifase ed elicoidale di coduttoi. Tale teoia iclude sia le foule pe le copoeti del capo agetico tepo-vaiati pe u puto-capo abitaio ello spazio, sia le foule delle copoeti i valoe efficace, oché le elative espessioi del vettoe del capo agetico totale. La teoia esatta usa ua foulazioe pe il calcolo del capo che cotiee ua seie ifiita di fuzioi di essel odificate del pio e secodo odie e le loo deivate e quidi l applicazioe di tale foula è difficile. I bibliogafia è ipotata ua appossiazioe che cosiste el teee il pio teie della seie di fuzioi di essel coe ua appossiazioe pe l itea seie. Tale appossiazioe foisce dei buoi isultati pe distaze dall asse dell elica gadi. Peò pe distaze possie al coduttoe tale foula appossiata peseta degli eoi gadi ispetto alla soluzioe esatta del capo agetico. Pe tale otivo si è pesato di effettuae u aalisi paaetica di tipo euistico pe aivae ad ua uova espessioe appossiata seplificata del capo agetico totale basadosi sull appossiazioe a teii (==) pe l itea seie, defiita coe. Patedo dalla ossevazioe che il capo agetico al vaiae della distaza dall asse dell elica i coodiate seilogaitiche ha u adaeto quasi lieae, co ua odesta deviazioe dalla lieaità (di tipo ipebolico) solo pe piccoli valoi di, si ea pesato di appossiae il capo co l equazioe di ua etta del tipo: l a a a a = () a dove il teie a / è stato iseito pe siulae la deviazioe dalla lieaità pe piccole distaze dall asse dell elica. Lavoado ulteioete su questa espessioe aiviao alla elazioe:, l l l G l I a a (5.b) a La dipedeza dei paaeti a, a e a dal passo p e dal aggio α dell elica si è espessa i pia battuta deteiado i valoi esatti dei paaeti ediate uo scipt sviluppato i MATLA; i secoda battuta soo state icavate le espessioi ateatiche che foiscoo tale dipedeza: a = [(,87 α ) (,7 α),8] [( 48,48 α ) (.699 α),994] [( 49,69 α ) (,574 α),99] p p (,8 p ) (,686 p ) (,879 ), 4446 = p (6) a (7) (,79 α,4) (,6 α), 4444 a (8) = p 8

29 L aalisi è stata coclusa co alcui siulazioi ueiche pe cofotae i isultati otteuti co la foula appossiata iovativa (ei suoi due livelli di appossiazioe) ispetto a quella esatta e a quella appossiata ipotata i letteatua. L eoe usado i due livelli di appossiazioe è sepe ioe ispetto al caso di appossiazioe co la foula ipotata i letteatua ed aiva al assio al % ache pe valoi della distaza piccoli. Cocludedo si può die che ache se la foula appossiata iovativa ha ua espessioe più coplessa ispetto a quella appossiata ipotata i letteatua, isulta couque otevolete seplificata ispetto alla foula esatta, dato che è coposta al assio da polioi di gado aziché dalle coplesse fuzioi di essel e dalle loo deivate. La sua aggio coplessità ispetto alla foula appossiata ipotata i letteatua si giustifica i base alle sue iglioi pestazioi, cioè i base ai valoi di eoe otevolete ioi, specie pe odeste distaze dall asse di elicodatua. 7. ibliogafia [] DPCM 8 luglio : Fissazioe dei liiti di esposizioe, dei valoi di attezioe e degli obiettivi di qualità pe la potezioe della popolazioe dalle esposizioi ai capi elettici e agetici alla fequeza di ete (5 Hz) geeati dagli elettodotti, Pubblicato i Gazzetta Ufficiale., 9 Agosto. [] Noa CEI -4, Guida ai etodi di calcolo dei capi elettici e agetici geeati da liee e da stazioi elettiche, 8-9, Fascicolo 948 [] P. Pettesso, N. Schobog, Pedictig the Magetic Field fo Twisted Thee- Phase Aageet, IEEE 997 Iteatioal Syposiu o Electoagetic Copatibility, 8- Aug 997, Austi, TX, USA [4] P. Pettesso, N. Schobog, Reductio of Powe Syste agetic Field by Cofiguatio Twist, IEEE Tasactios o Powe Delivey, Vol., No. 4, pp , Ottobe 997 [5] R. Hagel, L. Gog, R. Ubehaue, O the Magetic Field of a Ifiitely Log Helical Lie Cuet, IEEE Tasactios o Magetics, Vol., No., pp. 8-84, Geaio 994 [6] G. Gadi, A Siple Method to Appoxiate the Magetic Field i the Viciity of Ovehead Powe Lies, 5th IASTED Iteatioal Cofeece o Powe ad Eegy Systes, PES, Novebe 9-,, Tapa, Floida, USA [7] R. Hagel, L. Gog, R. Ubehaue, O the Magetic Field of a Ifiitely Log Helical Lie Cuet, IEEE Tasactios o Magetics, Vol., No., pp. 8-84, Geaio 994 [8] F. Habe, The Magetic Field i the Viciity of Paallel ad Twisted Thee-Wie Cable Cayig alaced Thee-Phased Cuet, IEEE Tasactios o Electoagetic Copatibility, Vol. EMC-6, No., pp. 76-8, Maggio 974 [9] H. uchholz, Elektische Stougsfelde it Schaubestuktu, 97. [] E. Kadia, Metodi di Calcolo del Capo Magetico Geeato da Cavi Elicodati pe la Distibuzioe dell Eegia Elettica, Tesi di Lauea, A.A