L effetto Compton secondo la teoria di Schroedinger. W. Gordon a Berlino (ricevuto il 29 settembre 1926.)

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1 1 L effetto Copto secodo la teoria di Schroediger W. Gordo a Berlio (ricevuto il 9 settebre 196.) Si calcolao secodo la teoria di Schroediger le frequeze e le itesità irraggiate ell effetto Copto. Le quatità della teoria dei quati si ottegoo coe edia geoetrica sulle quatità classiche degli stati iiziale e fiale del processo. 1. Presetazioe dell equazioe differeziale per. Heiseberg e Schrödiger hao dato dei etodi per la deteriazioe delle frequeze quatiche e delle itesità. L effetto Copto è già stato calcolato da Dirac co il etodo di Heiseberg. Qui lo stesso problea sarà trattato secodo Schrödiger. Il procedieto di Schrödiger ha il vataggio di servirsi di ezzi ateatici cosueti. Esso si foda sulla deteriazioe di ua quatità, che per u solo elettroe è ua fuzioe delle coordiate spaziali cartesiae x, x, x e del 1 3 tepo t. Schrödiger ha dato due regole per la deteriazioe dell equazioe differeziale alle derivate parziali lieare del secod ordie che deve soddisfare. Etrabe stao i ua certa relazioe co la prescrizioe classica, secodo la quale si ottiee l equazioe differeziale di HailtoJacobi per la fuzioe d azioe W: ella relazioe f(x,t,p,e)=0, che defiisce l eergia E, si sostituiscoo al posto degli ipulsi p, p, p le 1 3 derivate di W rispetto alle coordiate corrispodeti, e al posto di E la derivata rispetto al tepo co il sego egativo. Secodo 3 ua delle regole di Schrödiger si sostituiscoo al posto delle derivate i loro siboli oltiplicati per h/ i e si applica a l operatore differeziale così risultate (dove per evitare ideteriazioi si devoo fare assuzioi di sietrizzazioe). La prescrizioe classica e quella quatistica p = W/ x, E= W/ t; p =i / x, E=i / t, (1) quado i odo oto si itroducao le quatità iagiarie 1 Zeitschr. f. Phys. 40, 117 (196). P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. 111, 405 (196). 3 E: Schrödiger, A. d. Phys. 79, 734 (196). 1

2 si scrivoo ella fora sietrica x =ict, p =ie/c () 4 4 = p W/ =i / x ; p x ; (1a) qui e el seguito idica 1,,3 e 1,,3,4. L equazioe di defiizioe per l eergia cietica i eccaica relativistica si scrive p E /c + c =0 (3) p + c =0. (3a) ( assa dell elettroe, c velocità della luce) ovvero per la () L elettroe si trovi ora i u capo elettroagetico co le copoeti del poteziale vettore,, e co il poteziale 1 3 scalare, tra i quali sussiste la relazioe 0 / x + / ct=0 (4) 0 e da essi le itesità del capo elettrico e agetico si calcolao secodo le forule E = / x / ct, H = / x / x (5) e perutazioi cicliche. Poiao =i ; (6) 4 0 allora le (4) e (5) teedo coto della ( ) assuoo la fora / 1 x =0, (4a) E =i( / x / x ), H = / x / x. (5a) Queste forule ostrao che è deteriata a eo di ua espressioe additiva della fora f/ x, dove f soddisfa all equazioe delle ode f/ x =0. Trattadosi di u capo, per eergia si itede: eergia cietica più eergia di capo e (e carica dell elettroe), e 0

3 allora per ragioi d ivariaza coe ipulso: ipulso cietico più (p (e/c) ) (Ee = ) /c + c (p (e/c) ) + c =0. (7) "ipulso di capo" (e/c). Dalla (3) e dalla (3a) risulta così 0 L equazioe di HailtoJacobi e l equazioe differeziale di ( W/ x (e/c) ) + c =0 (8) Schrödiger soo quidi secodo la (1a) e rispettivaete (i / x (e/c) ) + c =0 ovvero sviluppado i quadrati e oltiplicado per 4 /h / x (4 ie/hc) / x (4 ) /h )((e /c + c ) =0; (9) / l icertezza ( che subito copare, se si debba scrivere x oppure )/ x si risolve i base alla (4a). U icreeto a di f/ x corrispode ad u icreeto di W di (e/c)f e ad ua oltiplicazioe di per exp(ief/ c). L equazioe differeziale (9) si può otteere assiee a quella per la fuzioe coplessa coiugata per variazioe dell itegrale J= Hdx dx dx dx, H= / / x x +(ie/ c) / / ) ( x x (10) +(4 ) ) /h )((e /c + c, quado si trattio e coe fuzioi idipedeti, le cui variazioi si aullao ai liiti d itegrazioe. Da qui risulta 4 la geeralizzazioe dell altra regola di Schrödiger : si ( W/ x (e/c) )( W/ x (e/c) )+ c =0 heritiaizza l equazioe di HailtoJacobi (8) e si copie i essa la sostituzioe W=i log ; co ciò il prio ebro previa oltiplicazioe per / va a coicidere co 4 E. Schrödiger, A. d. Phys. 79, 361 (196). 3

4 l espressioe di H ella (10). Ma ivece di porre H=0, si poe uguale a zero la variazioe dell itegrale Hdx dx dx dx. Nel liite h=0 W sarà reale e la (9) coiciderà co la (8). Se il poteziale è idipedete dal tepo, i accordo co la (1) si può porre =u exp(iet/ ) (11) co u idipedete dal tepo. Dalla (9) e dalla (10) risulta allora u/ x (4 ie/hc) u/ x (4 ) ) /h (e /c (Ee ) /c + c u=0, (9a) J= Hdx dx dx H= u/ x u/ x +(ie/ c) (u u/ x u u/ ) x +(4 ) ) /h (e /c (Ee ) /c + c uu. 0 Nel caso della eccaica classica si deve sostituire E co E+c (10a) passare al liite per c= ; tuttavia (e/c) riae iutato, poichè i esso c dipede dal fatto che e si itede isurato i uità elettrostatiche. I questo seso ella (9) e ella (10) si deve sostituire / t co / tic /, ella (9a) e ella (10a) (Ec ) /c c co (Ec ). Le due ultie equazioi assuoo 0 0 duque per =0 la fora che è stata couicata da Schrödiger. 5 e. Deteriazioe dalla radiazioe da. Classicaete si calcola la radiazioe per ezzo del oto dell elettroe. Da u itegrale copleto della (8) co le tre costati c si ottiee il oto ello stato defiito da queste costati ediate le forule W/ c =d, (1) dove le d soo tre ulteriori costati. Le (1) risolte dao le coordiate i fuzioe del tepo. 5 E. Schrödiger, A. d. Phys., l.c. e 79, 489 (196). 4

5 Nella teoria quatistica o si può parlare del oto i uo stato, a tutti i oti soo tra loro accoppiati. Le radiazioi possibili soo quelle di u sistea di cariche e di correti distribuito spazialete, che si derivao dalla fuzioe el odo seguete. Moltiplichiao la (9) per e per l equazioe coplessa coiugata che vale per, e sottraiao u equazioe dall altra; teedo coto della (4a) otteiao / s x =0 (13) co s =i / x / x (4 ie/hc). (14) Poiaoci ella rappresetazioe reale co la sostituzioe allora la (13) si scrive s =s, s =ic ; (15) 4 / + / s x t=0. (13a) Siao autorizzati a parlare della s coe di copoeti di ua desità di correte e di coe di ua desità di carica; allora tra queste quatità sussiste l equazioe di cotiuità (13a) e a priori queste quatità o devoo soddisfare essu altra codizioe per poter fugere da sorgeti di u capo elettroagetico elle equazioi di Maxwell. Si è itrodotto ella (14) il fattore i, quidi le s e soo reali. Si deteria facilete che queste quatità soo idipedeti dalla suezioata ideteriazioe ei poteziali. Esse si ottegoo ache dalla fuzioe di Hailto H (10) per derivazioe rispetto ai poteziali, coe succede ache ella teoria della 6 ateria di Mie. Cioè s =(e /c) H/. (16) Il capo geerato dalle desità si ottiee dai poteziali ritardati 6 Vedi per esepio M. v. Laue, Relativitätstheorie II, Eq. (71). 5

6 =(1/c) [s ]dx/r, dx=dx dx dx (17) 1 3 per ezzo delle forule (5a). R è la distaza del puto poteziato dall eleeto di volue dx, e le paretesi quadre stao ad idicare che a t si è sostituito tr/c. La radiazioe è uguale a quella che origia dal baricetro elettrico delle cariche. Il baricetro è defiito da ex = x dx, e= dx, (18) e poedo X =ict si può scrivere coplessivaete 4 ex = x dx. (18a) Dall equazioe di cotiuità (13a) segue, quado la correte si aulla i odo appropriato ai cofii dello spazio: 0= / / s x dx= tdx, 0= (x s )/ / x dx= x tdx+ s dx. r r r La pria equazioe affera, coe dev essere, che la carica totale è costate el tepo, la secoda, che la velocità del baricetro è data da edx /dt= s dx (19) 7 ovvero assiee all ultia equazioe (18) edx /dt= s dx. (19a) Poichè per h=0 il capo è quello classico (pricipio di 7 Nota aggiuta i correzioe. Si può co Madelug (Naturwiss. 14, 1004 (196)) cosiderare la correte coe elettricità che si uove! =" (" co la # velocità / =s,s,s ). La sua desità di assa è 1 3 allora = /e. X e dx /dt soo allora la posizioe e la velocità del baricetro della assa. " Tralasciado il capo agetico e la relatività la (14) dà =i( grad grad )=%$ (co la otazioe di Madelug), =(4 /h)!, di odo che =( /)$, coe per Madelug. 6

7 corrispodeza), la (18) per h=0 deve coicidere co la totalità 8 dei oti classicaete possibili. I particolare la carica coplessiva dev essere uguale alla carica dell elettroe, coe be abbiao idicato co la otazioe. Assuiao ora che l equazioe (9) per codizioi al cotoro aturali possieda ua serie di soluzioi discrete,,..., che 1 riassuiao ella soa Le costati (reali) z desità (14) soo co Gli s = z. (0) soo ua isura del peso dello stato. Le = s z z s, (1) s =i / x / x (4 ie/hc) &. (1a) costituiscoo gli eleeti di ua atrice heritiaa, e si derivao alla aiera (16) da ua atrice heritiaa H, la quale cosiste ell H della (10) co sostituito da e co. Il oto è rappresetato secodo le (18), (19) e (1) da co X = z z X, dx /dt= z z dx /dt, () ex = x dx, edx /dt= s dx. (a) Le X soo le atrici di Heiseberg, el caso che le fuzioi siao opportuaete oralizzate. Nel caso (11) segue dalla (a) la rappresetazioe di Schrödiger. Quado l idice è capace di valori cotiui, al posto delle soe copaioo itegrali Applicazioe all effetto Copto. 8 I questa defiizioe riae la possibilità di terii aggiutivi che si aullio per h=0. (Vedi ota 1, pag. 17.) 9 E. Schrödiger, A. d. Phys. 79, 734 (196). 9 7