Il q-analogo del coefficente fattoriale e del coefficente binomiale. n! = i=1. = 0 altrimenti. m

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1 Note copleetai pe i cosi di algeba e teoia dei codici. (A.Coca) Cotiee ateiale che viee pesetato i pate elle lezioi del coso di teoia dei codici e che potebbe essee sviluppato i u seiaio o i ua tesi di lauea tieale. Il -aalogo del coefficete fattoiale e del coefficete bioiale Dati, N, possiao defiie il coefficete fattoiale:! i ed il coefficete bioiale!!( )! se e 0 altieti. Ricodiao che 0! 1 peché u podotto seza fattoi pe covezioe vale 1. Questi uei hao ua be ota itepetazioe, u sigificato, cobiatoico. Pe esepio! é il ueo di peutazioi di oggetti, euivaleteete! é la cadialitá del guppo S delle peutazioi di eleeti. Ivece il coefficete bioiale ( ) é il ueo dei sottoisiei di eleeti i u isiee di eleeti. I paticolae ( ( ) é u iteo, ache se dalla defiizioe o si diebbe. U alto odo pe veificae che ) é u iteo é povae che veifica la seguete foula: ( 1 ) e poi agioae pe iduzioe su. Questi due uei, il coefficete fattoiale e uello bioiale, etao i gioco i olte (i uasi tutte le) foule cobiatoiche di base. Pe esepio, il ueo delle applicazioi sugettive da u isiee co eleeti i u isiee co é data da ( ( 1) j j j0 Quado si studiao poblei cobiatoici elativi ad oggetti algebici che ascoo da capi fiiti si ede ecessaio l uso di vaiati dei coefficeti fattoiale e bioiale che tegao coto della cadialitá del capo. Di solito la cadialitá di u capo fiito si deota co. Sappiao che K é u capo fiito alloa #K p dove p é pio e che dato p esiste u uico capo (a eo di isoofisi) di cadialitá p. Tale capo si deota co F dove p. Si defiiscoo il -aalogo del coefficete fattoiale e del coefficete bioiale coe segue: ) j. Defiizioe 1: (-aalogo del coefficete fattoiale) Dato N poiao e {} : (!) : {i} 1 i 1 e chiaiao (!) il -aalogo del coefficete fattoiale di, o piú sepliceete il -fattoiale. Defiizioe 2: (-aalogo del coefficete bioiale) Dati, N co poiao (!) : (!) (( )!) 1

2 e lo chiaiao -aalogo del coefficete bioiale di su, o piú sepliceete il -bioiale. Iolte se, N co > poiao ( ) 0. Notaio che: (1) Pe oa o ci siao acoa espessi sulla atua di : pe dae sigificato alle espessioi pecedeti é sufficete che sia u eleeto di u ualche aello A. Si ha che (!) ( i 1 ) é ach esso u eleeto di A ed ache ( ) é i A coe segue dalla foual (1) pe iduzioe su. -aalogo della foula del bioio di Newto? Il coefficete bioiale gioca uo dei suoi uoli piú ipotati ella foula del bioio di Newto: (x + y) k0 x k y k k valida pe ogi coppia di eleeti x, y appateeti ad u aello e assuedo che xy yx. Esiste u -aalogo di uesta foula. Si assue che x, y, siao eleeti di u aello soggetti a ueste codizioi: couta co x e y ed iolte yx xy. Si veifica iediataete che y a x b ab x b y a pe ogi a, b N. Sotto le ipotesi pecedeti il -aalogo della foula di Newto é: (x + y) k0 x k y k k che si diosta pe iduzioe su ed usado la foula (1). Pe esepio, le atici: X /2 1 Y veificao Y X 2XY e uidi puó ad esse applicae la foula di Newto co 2. Notiao che il coefficete bioiale soddisfa l idetitá (V ) + a+b ( ) a b j0 ( ) j j detta di Vadeode. Tale foula aette sia ua diostazioe algebica che ua cobiatoica. Quella algebica cosiste ello scivee (x + y) + (x + y) (x + y), espadee le te poteze co la foula di Newto ed uguagliae il coefficete di x a y b a desta e siista. Pe edee foalete coetto il agioaeto dobbiao assuee che i ooi i x, y siao liaete idipedeti e, a tale fie, si puó suppoe che l aello i cui il tutto avviete sia Q[x, y]. La diostazioe cobiatoica ivece cosiste i u calcolo i due odi divesi della stessa uatitá: dati due isiei disgiuti A e B co e eleeti, il teie a siista ell uguagliaza é il ueo dei sottoisiei di cadialitá di A B. Lo stesso ueo si puó ache calcolae coe segue. Pe j copeso fa 0 e pedo u sottoisiee co j eleeti i A ed uo co j i B; la loo uioe da oigie ad u sottoisiee di A B di cadialitá. Iolte ogi sottoisiee co eleeti di A B aette ua uica tale appesetazioe. Questo pova, cobiatoialete, la foula di Vadeode. Esiste ua vaiate della foula di Vadeode pe il -bioiale. Essa affea che (V ) + a+b ( a ) ( ) ( a)b b 2 j0 ( j ) ( ) ( j)( j) j

3 e si puó povae algebicaete seguedo l agoetazioe vista el caso stadad. Il uolo giocato da Q[x, y] el cotesto stadad é ui giocato da Q[]{x, y}/i dove Q[]{x, y} é l algeba libeo (l aello dei polioi o coutativi ) i x, y a coefficeti i Q[] ed I é l ideale geeato da yx xy. E atuale chiedesi se esiste ua diostazioe cobiatoica pe la foula (V). Pe pia cosa peó dobbiao occupaci del sigificato cobiatoico del -bioiale. -fattoiale e -bioiale coe polioi Foalete é piú coveiete pesae a (!) coe u polioio a coefficeti itei ella ideteiata, cioé (!) Z[]. Pe esepio (4!) ( + 1)( )( ) é u polioio di gado 6 di Z[]. I geeale, (!) é u polioio oico di gado ( 2). Ache se a pia vista o seba, il -aalogo del coefficete bioiale é ach esso u polioio a coefficeti itei, cioé appatiee a Z[]. Pe veificalo si puó usa la foula (1) e iduzioe su. Ne segue che ( ) Z[] é oico e di gado ( ). Osseviao iolte che i polioi (!) e ( ) calcolati i 1 dao, ispettivaete,! e ( ). Calcoliao ualche esepio: e ( ) ( ) Questi esepi ettoo i luce, fao itavedee, te popietá di uesti polioi: 1) (!) e ( ) soo polioio sietici. 2) I coefficeti di (!) e ( ) soo > 0 (itediao die che a ha coefficete positivo pe ogi a fa 0 ed il gado del polioio). 3) I coefficeti di (!) e ( ) foao successioi uiodali, cioé cescoo fio ad u ceto puto e da li i poi descescoo. Nel seguito discutiao solo le popietá 1) e 2) e poveeo che isultao essee vee i geeale. Ache la 3) é vea a piú difficile da povae. Ricodiao che u polioio f() Q[] (o piú i geeale ua fuzioe azioale) di gado d é detto sietico o palidoico se il coefficete di i é uguale al coefficete di d i pe ogi i, cioé veifica l euazioe f() d f( 1 ). Povae 1) e 2) pe (!) é facile. Pe povae 1) pe il -coefficete bioiale si pova, i geeale, che podotti e appoti di fuzioi azioali sietiche soo (fuzioi azioali) sietiche. Ifie si usa il fatto che ( ) é u appoto di polioi sietici e duue é sietico. Pe 2) ivece si puó agioae pe iduzioe su ed usae la foula (1). Le diostazioi di 1) e 2) acceate sopa soo pefettaete coette a o spiegao, dal puto di vista cobiatoio, i feoei ossevati. Pe esepio la foula: 3

4 si veifica facilete a la sua diostazioe cobiatoica é piú iteessate: sia X u isiee co eleeti, il passaggio al copleetae iduce ua bigezioe fa l isiee dei sottoisiei co eleeti di X e l isiee di uelli co eleeti. Nasce l esigeza di dae u itepetazioe cobiatoica alla atua di (!), di ( ), dei loo coefficeti e tovae spiegazioi coviceti, elegati, delle popietá ossevate. Guppi lieai e Gassaaiae su capi fiiti Sia F u capo fiito co eleeti. Cosideiao il guppo GL (F ) delle atici ivetibili e poviao a calcolae la cadialitá. Pe costuie ua atice ivetibile a coefficeti i F icodiao che ua atice uadata ha deteiate o ullo se e solo se i vettoi iga soo lieaete idipedeti. Coiciao iepedo la pia iga: ella pia iga posso ettee u ualsiasi vettoe v 1 di F o ullo. I vettoi i F soo e uidi uelli o ulli soo 1. Quidi pe v 1 ho 1 scelte. Fissata la pia iga, uate scelte ho pe la secoda iga? Posso ettee u ualsiasi vettoe v 2 a patto che o sia u ultiplo di v 1. Visto che ho scalai, i ultipli distiti di v 1 soo esattaete. Quadi, dato v 1, pe v 2 ho scelte. Quidi i tutto ho ( 1)( ) odi di iepie le pie due ighe. Aalogo agioaeto ci fa colcudee che, fissati v 1 e v 2 ho esattaete ( u) scelte pe v 3 dove u il ueo dei vettoi del tipo av 1 + bv 2 al vaiae di a, b i F. Visto che pe costuzioe v 1 e v 2 solo lieaete idipedeti, si ha che u 2. Tutto soato ho 2 scelte pe v 3. E cosi via. Segue che 1 # GL (F ) ( i ) 2) ( ( 1) (!) i0 Pe cosideiao l isiee H(,, F ) delle atici A M, (F ) di ago. Il agioaeto fatto sopa osta che: #H(,, F ) 1 i0 ( ) ( i ) ( 2 ) ( 1) (!) ( 2 ) ( 1) (!) (( )!) che possiao ache iscivee cosi: (2) #H(,, F ) # GL (F ) Cosideiao oa l isiee G(,, F ) dei sottospazi vettoiali di diesioe i F. Questo isiee é detto la vaietá di Gassa o sepliceete la Gassaiaa, di idici e. Iolte cosideiao l isiee Fl(, F ) delle badiee coplete di F e cioé l isiee delle seueze 0 V 1 V 2... V 1 V F dove V i é u F -sottospazio vettoiale di F di diesioe i. L isiee Fl(, F ) é detto vaietá delle badiee coplete o sepliceete vaietá di badiea. Possiao cosideae l applicazioe Φ : H(,, F ) G(,, F ) che ivia u atice X el sottospazio vettoiale di F geeato dalle ighe di X. Visto che la atice X ha ago, abbiao che le ighe di X soo lieaete idipedeti e uidi Φ(X) ha diesioe. Notiao che Φ é sugettiva: dato V F di diesio, scegliao ua base v 1,..., v di V e costuiao la atice che ha coe ighe gli eleeti della base. Ivece Φ o é iiettiva i uato uo spazio ha tate basi. Ma uate? Tate uate gli eleeti di GL (F ) peché data ua base ogi alta si tova scegliedo ua atice ivetibile, e la scelta di atici divese da basi divese. Abbiao uidi: 4

5 Iolte possiao cosideae (3) #G(,, F ) #H(,, F ) # GL (F ) Ψ : GL (F ) Fl(, F ) che ivia ua atice X co ighe v 1,..., v ella seueza V 1,..., V dove V i é geeato da v 1,..., v i. Notiao che Ψ é sugettiva. Ivece Ψ o é iiettiva. Piú pecisaete si ha Ψ(X) Ψ(Y ) se e solo se esiste ua (uica) atice T tiagolae ifeioe ivetibile co Y T X. Il ueo delle atice ivetibili e tiagolai supeioi é ( 1) ( 2) (peché?) e uidi si deduce: (4) # Fl(, F ) # GL (F ) ( 1) ( 2) (!) Questa ci peette di dae u sigificato cobiatoico al -aalogo del coefficete fattoiale e del coefficete bioiale: Sigificato cobiatoico del -fattoiale e -bioiale: Dato ua poteza di u pio e F il capo co eleeti, (!) calcola il ueo delle badiee coplete i F ete ( ) calcola il ueo di sottospazi di diesioe i F. Visto che deduciao che ci soo i F tati sottospazi di diesioe uati di diesioe. E atuale chidesi se, coe el caso del coefficete bioiale odiaio, tale eguagliaza possa essee spiegata da ua oppotua ivoluzioe. Lasciao al lettoe l oee di tovala. Ifie possiao dae ua diostazioe cobiatoico-algebica della foula (V) di Vadeode che icodiao affea: (V ) + a+b ( ) ( a)b a b j0 ( j)( j) j j Si tatta di ua idetitá fa polioi i Z[]. Se poviao che vale pe ifiiti valoi itei assegati a deduciao che vale i Z[]. Possiao uidi liitaci a povae (V ) co uguale ad ua poteza ualsiasi di u pio ualsiasi. I tal caso, la pate desta é il ueo di sottospazi di diesioe i F F. Dobbiao povae che la pate siista calcola la cadialitá di tale isiee i odo alteativo. Dato V sottospazio di F F cosideiao l itesezioe V F di V co il pio fattoe e π 2 (V ) la poiezioe di V sul secodo fattoe F. E facile vedee che di(v F ) + di π 2 (V ) di V Quidi possiao scivee l isiee dei G(, +, F ) sottospazi di diesioe i F F disgiuta degli isiei: coe l uioe T (V 1, W 1 ) : {V G(, +, F ) : V F V 1 e π 2 (V ) W 1 } al vaiae di j 0,...,, di V 1 G(j,, F ) e di W 1 G( j,, F ). Otteiao + #G(, +, F ) #T (V 1, W 1 ) dove la soa é al vaiae di j, V 1, W 1 coe detto sopa. Fissiao base v 1,..., v j di V 1 e la copletiao a base di F co vettoi v j+1,..., v. Iolte fissiao base w 1,..., w j di W 1. Uo spazio i T (V 1, W 1 ) ha ua uica base del tipo: 5

6 v 1,..., v j, w 1 + tj+1 v t,..., w j + dove gli soo eleeti i F. Quidi #T (V 1, W 1 ) isulta essee u co u uguale al ueo di asteischi, cioé: e uidi: + #T (V 1, W 1 ) #T (V 1, W 1 ) ( j)( j) tj+1 v t #G(j,, F )#G( j,, F ) ( j)( j) j0 che, sostituedo a #G(j,, F ) ed a #G( j,, F ) i coispodeti -bioiali, isulta essee uguale alla pate desta di (V ). Sigificato cobiatoico dei coefficeti -fattoiale e del -bioiale Il sigificato cobiatoico dei coefficeti dei polioi (!) e ( ) é legato alle celle di Schubet della vaietá di badiaa e della Gassaiaa ispettivaete. Pe capie (o icodae) cosa soo le celle di Schubet della Gassaiaa, icodiao che ua atice X di taglia e ago si dice i foa caoica idotta (di Gauss) se esistoo uei 1 a 1 < a 2 <... < a i odo che: 1) X i,ai 1 pe ogi i. 2) X ij 0 se j < a i e se j a k co k > i. I tal caso diciao che X ha tipo a {a 1,..., a }. Pe esepio la seguete atice é i foa caoica idotta X di tipo {1, 3, 6}. Gli asteischi appesetao eleeti abitai. Dal coso di algeba lieae sappiao che ogi atice di ago puó essee essa i foa caoica di Gauss ediate opeazioi sulle ighe. I alte paole, pe ogi X H(,, F ) esiste ua (uica) atice Y GL (F ) tale che Y X é i foa di oale idotta. I alte paole, u sottospazio di diesioe i F ha tate basi a ua sola di esse coispode ad ua atice i foa caoica idotta di Gauss. Quidi pe cotae i sottospazi di diesioe i F possiao cotae uate soo le atici i foa di idotta Gauss. Dato u sottoisee a {a 1,..., a } di {1,..., } defiiao la cella di Schubet della Gassaiaa G(,, F ) associata ad a coe S a (, ) {V G(,, F ) : la base di V i foa caoica idotta é di tipo a} Visto che G(,, F ) é l uioe disgiuta delle celle di Schubet (al vaiae di a ei sottoisiei di {1,..., }) abbiao: #G(,, F ) a #S a (, ). Ma uato vale #S a (, )? Vale d(a) dove d(a) é la diesioe della cella di Schubet e cioé il ueo di coefficeti che posso scegliee libeaete ella atice i foa idotta di Gauss di tipo a (il ueo degli asteischi ). Tale ueo é facilete calcolabile: d(a) ( a i ( i)) 6 ( ) 2 a i.

7 Quidi, iassuedo, abbiao: #G(,, F ) a d(a) che ci peette di dae ua caatteizzazioe cobiatoica dei coefficeti di ( il coeff. di k i #{a {1,..., } : #a e d(a) k} cioé il ueo delle celle di Schubet di diesioe k. Quidi abbiao otteuto ua diostazioe cobiatoico-algebica del fatto che i coefficeti di ( ) soo positivi. La sietia del polioio ( ) puó essee povata ediate l esibizioe di ua ivoluzioe ell isiee delle celle di Schubet che tasfoa celle di diesioe d i celle di diesioe ( ) d. Tale ivoluzioe si ottiee coe segue: pe ogi a {a 1,..., a } {1,..., } co a 1 <... < a poiao a { a 1 + 1,..., a + 1} e otiao che a é u sottoisiee co eleeti di {1,..., } ed iolte (a ) a. Si ha: da cui d(a ) ( ) 2 ( ) ( a i + 1) + a i 2 ( ) d(a) + d(a ) 2 ( ) 2 coe desideato. Spesso si pefeisce idiciae le celle di Schube della Gassaiaa o co i sottoisiei di {1,..., } di cadialitá a co le patizioi co al piú pati ed i cui ogi pate é liitata da. Pe esepio la cella di Schubet (dove 3 e 4) si puó ache descivee attaveso la patizioe 4, 3, 1, cioé il ueo di asteischi i ogi iga. I uesto odo la soa della pati ella patizioe é popio la diesioe della cella di Schubet e la caatteizzazioe dei coefficeti del -coefficete bioiale diveta: il coeff. di k i #{(λ 1,..., λ ) N : λi k, λ 1... λ } cioé il ueo di patizioi di k i al piú pati e co pati liitate da. Co ueste otazioi l ivoluzioe che spiega la sietia dei coefficeti é uella che ad ua data patizioe fa coispodee uella copleetae ella scatola di taglia ( ). Nel osto esepio: Ua aaloga costuzioe pota alla defiizioe delle celle di Schubet pe la vaietá di badiea. Si pocede coe segue. Data X GL (F ), opeado sulle ighe co tasfoazioi tiagolai ifeioi (i alte paole, ogi iga si puó oltipicae pe uo scalae o ullo e se j > i si puó soae alla iga j u ultiplo della iga i ) essa puó essee essa i foa caoica. La foa caoica Y (y ij ) idetifica ua peutazioe σ S e la atice é soggetta alle segueti estizioi: 1) y iσ(i) 1 pe ogi i 1,...,, 2) y ij 0 pe j > σ(i) e pe j σ(k) co k < i. Pe esepio la seguete atice é i foa caoica 7 ) :

8 ispetto alla peutazioe σ Gli asteischi appesetao eleeti abitai. Ad ogi badiea copleta si puó fae coispodee uidi ua uica atice ivetibile i foa caoica. Quidi pe cotae uate soo le badiee coplete i F possiao cotae uate soo le atici i foa caoica. Data σ S defiiao la cella di Schubet della vaietá di badiea associata ad σ coe S σ () {V {V 1..., V } Fl(, F ) : la atice caoica associata a V idividua la peutazioe σ} Visto che Fl(, F ) é l uioe disgiuta delle celle di Schubet (al vaiae di σ S ) abbiao: # Fl(, F ) σ #S σ (). Ma uato vale #S σ ()? Vale l(σ) dove l(σ) é la diesioe della cella di Schubet e cioé il ueo di asteischi ella coispodete foa caoica. Notado che si ha u asteisco ella posizioe (σ(j), i) se e solo se i < j e σ(j) < σ(i) abbiao Quidi, iassuedo, abbiao: l(σ) # ueo delle ivesioi di σ # Fl(, F ) σ S l(σ) (!) che ci peette di dae ua caatteizzazioe cobiatoica dei coefficeti di (!) : il coeff. di k i (!) #{σ S : l(σ) k} cioé il ueo delle peutazioi di S co esattaete k ivesioi. Quidi abbiao dato u sigificato cobiatoico-algebico ai coefficeti di (!). La sietia del polioio (!) puó essee povata ediate l esibizioe di ua ivoluzioe dell isiee delle celle di Schubet che tasfoa celle di diesioe d i celle di diesioe ( 2) d. I alte paole, si tatta di esibie ua ivoluzioe u : S S tale che l(σ) + l(u(σ)) ( 2). Tale u si puó costuie leggedo la peutazioe al cotaio, cioé: σ u(σ) σ(1) σ(2)... σ( 1) σ() σ() σ( 1)... σ(2) σ(1) Dalla defiizioe segue che le ivesioi di u(σ) soo esattaete le o-ivesioi di σ e uidi l(σ) + l(u(σ)) ( 2). Sia oa Quate atici di ago fissato? H(,,, F ) {A M, (F ) : ρ(a) } dove ρ(a) é i ago o caatteistica della atice A. Notiao che, co le otazioi itodotte pecedeteete, abbiao H(,,, F ) H(,, F ). Vogliao calcolae #H(,,, F ). Lo facciao i due odi. 8

9 Pio odo: Cosideiao l azioe di G GL (F ) GL (F ) su M, (F ) defiita dicedo che (A, B) G agisce su C M, (F ) cosi: ((A, B), C) ACB 1. Sappiao dai cosi di algeba lieae che H(,,, F ) coicide co l obita ( ) I 0 J, 0, 0, dove I u é la atice idetica u u e 0 u,v é la atice ulla di taglia u v. Sappiao che la cadialitá dell obita #H(,,, F ) coicide co #G/#C J dove C J é i guppo di isotopia di J, cioé C J {(A, B) G : AJ B 1 J }. Notiao che #G # GL (F )# GL (F ). Si tatta uidi di calcolae la cadialitá del guppo di isotopia. Dobbiao uidi deteiae e cotae le coppie di atici (A, B) G tali che AJ B 1 J. Se sciviao le atici A e B a blocchi: A11 A A 12 B11 B e B 12 A 21 A 22 B 21 B 22 co A 11 di taglia, A 12 di taglia ( ), A 21 di taglia ( ) e A 22 di taglia ( ) ( ) ed, aalogaete, co B 11 di taglia, B 12 di taglia ( ), B 21 di taglia ( ) e B 22 di taglia ( ) ( ), la codizioe AJ B 1 J diveta: A 11 B 11, A 21 0, B Quidi la cadialitá del guppo di isotopia é il podotto di # GL (F ) (la scelta di A 11 ), # GL (F ) (la scelta di A 22 ), # GL (F ) (la scelta di B 22 ), #M, (F ) (la scelta di A 12 ), #M, (F ) (la scelta di B 21 ) cioé: Ricapitolado, abbiao che #C J (+ 2) # GL (F )# GL (F )# GL (F ). #H(,,, F ) # GL (F )# GL (F ) (+ 2) # GL (F )# GL (F )# GL (F ) Facedo i coti co u pó di pazieza si ottiee: ( ) (5) #H(,,, F ) # GL (F ). Secodo odo: otiao che la foula (5) suggeisce l esisteza di u agioaeto piú dietto. Le atici i H(,,, F ) coispodoo a appe lieai da F F di ago. Fissato V G(,, F ) e W G(,, F ) cosideiao l isiee delle appe lieai che hao coe ucleo W e iagie V. Fissato u fattoe copleetate di W, cioé u W 1 G (, ) tale che F W W 1, abbiao che ua tale appa é uivocaete idetificata da ua appa lieae é ivetibile da W 1 a V. I totale abbiao uidi: #H(,,, F ) # GL (F ) che si icocilia iediataete co (5) i uato ( ) ( ). Riassuedo, abbiao povato che #H(,,, F ) é u polioio oico a coefficeti itei i di gado ( + ) 2. 9

10 I polioi #H(,,, F ) si posso calcolae agevolete usado u pogaa di calcolo sibolico. Pe esepio: #H(1, 3, 4, F ) I paticolae: #H(2, 3, 4, F ) #H(3, 3, 4, F ) #H(1, 3, 4, F 3 ) 1040, #H(2, 3, 4, F 3 ) e #H(3, 3, 4, F 3 ) cioé fa le atici 3 4 a coefficeti i Z 3 ce e soo 1040 di ago 1, di ago 2 e di ago 3. Notiao che se alloa #H(,,, F ) #M, () 1 uado che é u odo coplicato pe die che se é abbastaza gade ua atice scelta a caso ha ua altissia pobabilitá di avee ago assio. Quati sottoguppi ha u guppo Abeliao fiito? Ua uestioe algebico-cobiatoico siile, pe ceti vesi, alle pecedeti é la seguete: Doada 1: Sia G u guppo Abeliao fiito G. Quati sottoguppi ha G? E uati di data cadialiá? Il teoea di stuttua dei guppi Abeliai fiitaete geeati ci peette di iduci (co alcue seplici ossevazioi) al caso i cui #G p. I tal caso possiao scivee G G λ dove G λ Z p λ 1 Z p λ t e λ λ 1... λ t > 0 é ua patizioe di. Pe covezioe poiao λ i 0 pe i > t. Iolte deotiao co λ la patizioe duale cioé uella defiita da λ i #{j : λ j i} che é ach essa ua patizioe di. Pe espio se λ 4, 3, 1 si ha λ 3, 2, 2, 1, gaficaete λ λ si tatta di ua iflessioe lugo la diagoale picipale. U sottoguppo di cadialitá p di G λ deve essee isoofo a G µ dove µ é ua ualche alta patizioe di ed iolte µ λ (itediao µ i λ i pe ogi i). Il Poblea 1 diveta piú cocetaete Poblea 2: Date patizioi µ λ ispettivaete uati sottoguppi isoofi a G µ cotiee G λ? Deotiao uesto ueo co g λ µ(p). I casi estei soo facili: *) Se λ i 1 pe ogi i 1,..., alloa i sottoguppi di G λ Z p soo esattaete gli Z p -sottospazi vettoiali di Z p. I uesto caso µ i 1 pe i 1,..., e uidi ci stiao chiededo uati sottospazi di diesioe cotiee Z p. Sappiao giá la isposta, gµ(p) λ ( ) 10 p.

11 *) Se λ 1 e λ i 0 pe i > 0, cioé G λ Z p, alloa G λ é ciclico. I suoi sottoguppi soo ciclici ed ogi uo di essi é geeato dalla classe di u divisoe di p. I uesto caso, µ 1 e λ i 0 pe i > 0, e c e u uico sottoguppo di tipo µ (cioe di odie p ), uello geeato dalla classe di p. I alte paole, g λ µ(p) 1. La isposta alla Doada 2 é la seguete: Poposizioe Date patizioi µ λ si ha: g λ µ(p) j 1 ( p µ j+1 (λ j µ j λ ) j µ ) j+1 µ j µ j+1 p dove λ λ 1, λ 2,..., e µ µ 1, µ 2,..., soo le patizioi duali. La foula descitta ella poposizioe é stata povata el 1948 idipedeteete a i cotepoaea da te autoi: S.Delsate, P.Djubjuk e Yechie Yeh. Essa puó essee povata odificado gli agoeti usati pe i poblei eueativi elativi alla Gassaiaa e alla vaietá di badiea. Si tatta di appesetae ogi sottoguppo ediate ua atice i foa caoica e poi cotae uate tipi di foe caoiche ci soo e ogi cella coespodete ad ua foa caoica uati gadi di libetá ha. I uesto cotesto le atici i foa caoica soo chiaate atici di Bikhoff. Pe esepio se λ 5, 4, 1, 1 e µ 5, 1, 1 alloa λ 4, 2, 2, 2, 1 e µ 3, 1, 1, 1, 1. Pe j 1, 2, 3, 4 i fattoi del podotto soo ispettivaet p 3 + p 2 + p, p, p, p, 1. Cocludiao che g λ µ(p) (p 3 + p 2 + p)p 3 e cioé che Z p 5 Z p 4 Z p Z p cotiee esattaete (p 3 + p 2 + p)p 3 sottoguppi isoofi a Z p 5 Z p Z p. Alto esepio, pe λ 10, 9, 8, 5, 4, 4, 3, 2, 2 e µ 10, 7, 7, 5, 4, 3, 2, 2, 1 si ha g λ µ(p) p p p p 19 + p 18. La iceca del sigificato e delle popietá dei polioi g λ µ(p) e dei loo coefficieti dao oigie ad alte iteessati cosideazioi che ui talasciao. U alto poblea siile é lo studio del ueo g λ µν(p) dei sottoguppi di tipo µ i G λ co uoziete di tipo ν. Esso si chiaa polioio di Hall (é u polioio i p) ed é il soggetto di olti studi. Aelli di Chow della Gassaiaa e della vaietá di badiea Toado alla discussioe oigiale sul -fattoiale e -bioiale ci si puó chiedee se (!) e ( ) soo seie di Hilbet di aelli gaduati, cioé se esiste u aello gaduato A i N A i co C A 0 capo e tale che il coefficete di i el polioio i uestioe sia uguale a di C A i. No siao alla iceca di u aello A costuito atificialete a voeo idetificae A i odo atuale teuto coto di tutto uello che abbiao visto i pecedeza. La Gassaiaa e la vaietá di badiea defie sul capo coplesso soo vaietá algebiche poiettive, cioé possoo essee pesate coe luogi defiiti da euazioi polioiali oogeee i oppotui spazi poiettivi coplessi. Ad ogi vaietá algebica X di uesto tipo é associato u aello A(X), detto l aello di Chow o ache aello di cooologia, a coefficeti i C i cui eleeti soo cobiazioi lieai di classi euivaleza di sottovaiatá di X e la cui stuttua oltiplicativa é data dall opeazioe di itesezioe fa sottovaietá (oppotuateete defiita). La Gassaiaa ha delle sottovaietá speciali : le celle di Schubet o, piú pecisaete, la loo chiusua ella topologia di Zaiski. Si puó povae che le classi di euivaleza delle celle di Schubet di diesioe k foao ua base dell aello di Chow della Gassaiaa. Ne segue che é la seie di Hilbet di A(G(,, C)). I odo aalogo, le celle di Schubet diesioe k della vaietá di badiea foao ua base dell aello di Chow della vaietá di badiea. 11

12 Ne segue che (!) é la seie di Hilbet di A(Fl(, C)). Ifie, gli aelli di Chow della Gassaiaa e della vaietá di badiea hao pesetazioi olto atuali ed esplicite i teii di geeatoi e elazioi.. Date eleeti y 1,..., y i u aello deotiao co e i y 1,..., y ) il polioio sietico eleetae e i (y 1,..., y ) y j1 y ji 1 j 1<...<j i e co h i (y 1,..., y ) il polioio sietico copleto: h i (y 1,..., y ) Si diosta che: A(G(,, C)) a a i y a1 1 ya C[e i (x 1,..., x ) : i 1,..., ] (h j (x 1,..., x ) : j + 1,..., ) e uidi A(G(,, C) é ua itesezioe copleta pesata : le vaiabili hao gado 1, 2,..., e le euazioi + 1, + 2,..., la cui seie di Hilbet é data da: j +1 (1 j ) j1 (1 j ) che, coe giá sappiao coicide co ( ). La pesetazioe pe la vaietá di badiee ivece é: A(Fl(, C)) C[x 1,..., x ] (e j (x 1,..., x ) : i 1,..., ) e uidi A(Fl(, C)) é ua itesezioe copleta stadad : le vaiabili hao gado 1 e le euazioi 1, 2,..., a cui seie di Hilbet é data da: j1 (1 j ) che coicide co (!). (1 ) 12