UNIVERSITÁ DEGLI STUDI DI SALERNO

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1 UNIVESIÁ DEGI SUDI DI SAENO Coso di auea i Igegeia Meccaica S esia di ASMISSIONE DE CAOE AA 5/6 Studio di ua aletta piaa a sezioe cicolae Docete: Cho Pof G Cuccuullo Cadidati: adi Michele 63/6 Noschese Giuseppe 63/7

2 esto del lavoo assegato Si deteii la soluzioe i seie, pe ua aletta piaa a sezioe cicolae di lughezza fiita la cui esteità sia adiabatica e co codizioe al cotoo di III tipo Si copai l efficieza ifeita a tale soluzioe D co quella coispodete all ipotesi di aletta D Si discuta il isultato al vaiae del appoto aggio/altezza dell aletta Suggeieto: la soluzioe è espiibile i teii di fuzioi di Bessel Itoduzioe e cotestualizzazioe Cosideiao l espessioe del flusso di caloe scabiato da u solido co u fluido i ifeieto all aalogia elettica: sia la tepeatua di ua paete e la tepeatua del fluido Q AU avedo defiito la coduttaza teica U coe U A i i ed A è la supeficie di scabio solidofluido Da questa espessioe ci si ede coto che pe auetae il flusso di caloe è ecessaio auetae l aea di scabio e asce così l idea di ceae potusioi sul copo solido da affeddae e tali potusioi soo dette alette I effetti bisoga fae i coti co aspetti cocoeti a quello esso o oa i luce e che edoo coplicato lo studio di u applicazioe di scabio teico co alettatua; ad esepio si potebbe pesae di ceae alette di aea sepe aggioe vista la dietta popozioalità ta A e Q peò le alette hao ua popia esisteza coduttiva che povoca ua caduta di tepeatua lugo l aletta che è daosa el seso che la divig foce, che govea lo scabio teico, si iduce Quidi il osto obiettivo è dae ua isua al beeficio che si ottiee itoducedo delle potusioi su u solido base ed avee così successivaete la possibilità di die fi dove è coveiete spigesi co l altezza delle alette I ifeieto a questo discoso ci si accige, i tale lavoo, alla caatteizzazioe di alette di geoetia fissata, cilidica, ed i paticolae ci si coceteà su u odello bidiesioale pe la caatteizzazioe del capo teico ella potusioe da cofotae co i isultati foiti da u odello oodiesioale

3 Modello bidiesioale Bilacio di eegia sul volue eleetae di aletta i asseza di geeazioe ed i codizioi stazioaie Coe detto la geoetia di ifeieto è quella cilidica i cui la bidiesioalità è assicuata dalla idipedeza del capo di tepeatua dalla coodiata tasvesale e quidi,; itagliao u volue eleetae coe da figua: Q +d Q Q Q +d Il bilacio di eegia pe questo volue si scive: Q + Q Q + d + Q + d ; ovviaete l ave fatto ifeieto al capo di tepeatua, laddove la osta attezioe è picipalete ivolta allo scabio teico cioè Q, è giustificata dal legae che sussiste ta queste due quatità Nel poblea specifico ivochiao la legge di Fouie: Q k πd e Q k πd ; ovviaete saà ache Q + d Q Q + d e Q + d Q Q + d ; ettedo tutto isiee si ha Q Q d + d k π d + k πd d + k πdd equazioe che dobbiao isolvee è quella di aplace bidiesioale; del esto si poteva aivae a tale coclusioe patedo dalla equazioe fodaetale della coduzioe e paticolaizzadola al caso di asseza di geeazioe ed i codizioi stazioaie Si avebbe iediataete l equazioe 3

4 di aplace che, scitta i coodiate cilidiche e pe idipedete dalla coodiata tasvesale, si taduce ella equazioe poco sopa scitta Caatteizzazioe ateatica del poblea diesioale equazioe da isolvee è diffeeziale, alle deivate paziali, lieae e a coefficieti costati odie di deivazioe ispetto a ciascua delle vaiabili idipedeti è due ed, i quato ciò, c è bisogo di quatto codizioi al cotoo pe chiudee il poblea Pe chiaezza fissiao l oigie pe ciascua delle due coodiate: Ovviaete ad ci toviao sul copo da dove si picipia la potusioe e pe questo possiao pesae di fissae la tepeatua pe questa sezioe, ovveo detta la tepeatua del copo sciviao, ; all esteità opposta ci viee suggeito di cosideae adiabatica la sezioe ad e pe questo il capo di tepeatua saà tale pe cui, ugo la coodiata dobbiao ipoe, pe questioi di assialsietia del pofilo di tepeatua, che, ; l ultia ifoazioe da sfuttae iguada il fatto che sulla supeficie cilidica lo scabio teico pe coduzioe deve uguagliae lo scabio teico pe covezioe: k, h, iepiloghiao il poblea diesioale da isolvee: 4

5 5 +,,,,, h k Caatteizzazioe ateatica del poblea adiesioale a ecessità di dove descivee le vaie gadezze i gioco el poblea i questioe attaveso etità slegate dalla scala diesioale co la quale vogliao isuale ci è suggeita dal fatto che il poblea diesioale dipede da più paaeti quali, k, h,, che ci edoo difficile tae delle coclusioi, sul odello che stiao tattado, che siao il più geeali possibile, i odo tale da potele cofotae co quelle che si taggoo usado alti odelli Ifatti uo dei pegi dell adiesioalizzazioe è popio quello di fa palesae dei guppi di paaeti essi stessi adiesioali attaveso i quali si caatteizzao più poblei diesioali; u alto pegio sta poi el fatto che si iescoo ad assobie delle ioogeeità ededo possibile l utilizzo di ceti stueti ateatici pe la isoluzioe dl poblea diffeeziale State tutto ciò pocediao i agioe delle segueti quatità adiesioali: ξ,,, ξ, ϑ ; poblea adiesioale: +,,,,, ξ ϑ ξ ϑ ξ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ξ ξ ξξ Bi

6 isoluzioe del poblea diffeeziale adiesioale h Si soo i effetti palesati i vataggi ezioati pia: il guppo lo abbiao chiaato Bi k che sta pe ueo di Biot e che defiisce, a secoda dei valoi che assue el poblea specifico, la coduzioe teica dell aletta el seso adiale; isultati oti dicoo che pe Bi piccoli il salto di tepeatua si saltisce pevaleteete el fluido ededo idipedete il capo teico, el solido, dal aggio; pe Bi gadi ivece si saltisce il salto di tepeatua pevaleteete el solido I effetti tale isultato può leggesi iediataete se si ichiaa i causa l aalogia elettica e co essa i cocetti di esisteza teica coduttiva e covettiva; i tal cod caso il ueo di Biot può scivesi coe Bi ka e da qui possoo picipiasi le cov ha coclusioi tatte i pecedeza alto vataggio dell adiesioalizzazioe effettuata è stato quello di idue le ioogeeità che è oa pesete solo i coispodeza della codizioe al cotoo che vuole fissae la tepeatua alla base dell aletta, laddove il poblea diesioale e popoeva ua ulteioe i coispodeza della codizioe di III tipo; si oti che se avessio scelto, divesi ifeieti pe adiesioalizzae il salto di tepeatua, ad esepio ϑ ξ,, la ioogeeità saebbe iasta uica a si saebbe potata sulla codizioe di III tipo Quest ultio aspetto è deteiate poiché, essedoci tutte le buoe peesse ecessaie pe l utilizzo del etodo di sepaazioe delle vaiabili, ci toveeo i u caso a costuie u poblea di autofuzioi ella diezioe di e, ell alto caso, il poblea di autofuzioi doveo icecalo ella diezioe di ξ Pocediao petato co la pia adiesioalizzazioe e icechiao ua soluzioe del tipo θ ξ, X ξ dove X ed o devoo essee cofuse co le vaiabili idipedeti del poblea diesioale; pe vedee che foa devoo avee queste due fuzioi dobbiao sostituie el poblea di pateza: ' X '' + M X dove si è posto pe coodità M ; dividiao tutto pe X otteedo X '' ' così + Quest ultia uguagliaza può essee gaatita solo quado oguo dei M X guppi fuzioali peseti è uguale ad ua stessa costate co sego opposto; questo peché oguo dei guppi è fuzioe di ua sola delle vaiabili idipedeti e, dovedo gaatisi l uguagliaza pe qualsiasi valoi di e ξ, o può che essee quato stabilito testé 6

7 Quidi si defiiscoo due sottopoblei che soo lieai ed odiai e si spea a aggio agioe X '' pe essi di idividuae ua soluzioe i foa chiusa: M X ' C C, esta da defiie il sego da attibuie alla costate C Co C positivo il poblea i si chiude iediataete facedo appello alle fuzioi di Bessel ete il poblea i ξ si chiude facilete i ogi caso; pocediao petato co questa scelta e sia C λ Poblea i ξ: la soluzioe può espiesi coe cobiazioe di espoeziali eali X λmξ λmξ ξ Ce + Ce ; lugo tale diezioe o bisoga dieticae che c è couque ua codizioe oogeea che filta la θ ξ, X ξ e icade solaete sulla X: λmξ λm ξ ϑ, X ' ; co tale codizioe si iesce a scivee X ξ C e + e ξ Poblea i : si è fatto ifeieto pia alle fuzioi di Bessel ed i effetti la soluzioe geeale ' del poblea λ si scive C3J λ + C4Y λ dove J ed Y soo le fuzioi di Bessel di pia e di secoda specie etabe di odie il cui adaeto è ipotato i figua: Coe auciato il fatto che lugo il poblea è totalete oogeeo ci coduà alla foulazioe di ua equazioe caatteistica sulla quale pote ifeie iguado ai valoi che può assuee la costate di sepaazioe λ ; petato applichiao le due codizioi al cotoo: ϑ ξ, X ξ ' ' teedo pesete che le vaie specie della fuzioe di Bessel legao odii successivi attaveso seplici deivazioi J J, Y ' Y e che J, Y si ha che C 4 ; ' ϑ ξ, Biϑ ξ, X ξ ' BiX ξ ' Bi sfuttado quato tovato co l alta codizioe si iesce a scivee C λj λ BiJ λ ; pe soddisfae questa uguagliaza 3 aveo la possibilità di aullae ache C 3 a questo ci poteebbe ad ua soluzioe pe 7

8 θ ξ, X ξ baale, che pue è soluzioe del poblea di aplace che è oogeeo a che a oi o iteessa; ifatti c è la possibilità di soddisfae l uguagliaza i questioe poedo λj λ BiJ λ Questa è l equazioe caatteistica di cui si palava e dalla quale, fissato il ueo di Biot, si estaggoo ifiite adici λ, visto il copotaeto oscillate delle fuzioi di Bessel; alle ifiite adici si associao ifiite soluzioi autofuzioi pe del tipo J λ No ci esta a questo puto che soddisfae la codizioe o oogeea che esta e, se povassio a pedee ua qualsiasi delle ifiite otteeo: λm θ, X C + e J λ abbiao cioè ua fuzioe i che deve essee uguale ad ua costate; questo o è possibile e pesiao quidi di appellaci alla lieaità del poblea e pedee ua cobiazioe lieae delle ifiite autofuzioi pe espiee la soluzioe pe e λmξ λm ξ quidi θ ξ, X ξ { B J λ e + e } ; paticolaizzado tale espessioe pe ξ ed uguagliado all uità si ottiee ua equazioe co ifiite icogite che soo le costati B della cobiazioe: λm λm { BJ λ + e } { B J λ + e J λ } J λ θ, pio e secodo ebo ta ed : itegiao λm λm { BJ λ + e J λ } d B + e J λ J d J λ d λ Otogoalità delle autofuzioi C è la possibilità di isolvee questa equazioe, esplicitado pe giuta ciascuo dei coefficieti; bisoga fa ifeieto al fatto che le autofuzioi soo otogoali sull itevallo [,] co la fuzioe peso w ; pe ostae questa popietà cosideiao due geeiche autofuzioi J λ ed J λ ; ogua di esse soddisfa il ispettivo poblea diffeeziale: ' λ ' ' Bi ' λ ' ' Bi Pediao le eqq diff di ciascu poblea e oltiplichiaole ispettivaete pe ed ; sottaiao ebo a ebo otteedo ' ' λ λ Se si cosidea 8

9 che il pio ebo può essee esso ella foa ' ' d d λ λ possiao facilete pocedee all itegazioe ta ed : ' ' λ λ ' ' Bi + Bi d ; el fae quest ultio passaggio si è chiaata i causa la codizioe al cotoo covettiva: il fatto che essa è oogeea ci peette di aullae il pio ebo facedo eegee la popietà di otogoalità citata pia, che quidi si foalizza scivedo J λ J λ d cδ dove c J λ d ; sostituedo a itoso si iescoo ad esplicitae i vai coefficieti i questo odo: B J λ d J λ d λm e + Capo di tepeatua diesioale I tal odo ispodiao al pio quesito del lavoo assegato: scittua della soluzioe i seie,; ifatti basta tee coto delle posizioi fatte i sede di adiesioalizzazioe pe pote scivee λm λm +, ϑ, + BJ λ e + e Noto il capo di tepeatua si iesce a defiie, ad esepio, la poteza teica coduttiva che si saltisce ell aletta appelladosi alla legge di Fouie A tal poposito si usa qualificae l aletta i ifeieto alla efficieza defiita coe: η ; al ueatoe toviao la poteza π h teica che si ivesa el fluido ete la elazioe al deoiatoe è la stessa poteza teica calcolata ipotizzado ideticaete ulla la esisteza teica coduttiva l aletta è costateete alla tepeatua pe tutta la lughezza; possiao esplicitae il ueatoe e iscivee tutto i Q f teii delle gadezze adiesioali: Q f k, π d ; se iflettiao sul fatto che quato saltiao attaveso la supeficie cilidica dell aletta deve essee passato pe foza di cose dalla base dell aletta attaccata al solido da affeddae possiao ache scivee Q f k, π d adiesioalizzado si ha Q f π k ϑ ξ, d 9

10 k ϑξ, d sostituedo ell espessioe dell efficieza si ha: η ϑξ, d e h Bi M deiva quidi che η η Bi, M ossia si è esa palese la dipedeza dal appoto lughezza/aggio i ifeieto al quale è ichiesta la discussioe del isultato; iolte, essedo ecessaio ache il cofoto co il odello oodiesioale pocediao ad esplicitae lo stesso Modello oodiesioale Bilacio di eegia sul voluetto I questo caso il capo di tepeatua esta fuzioe della sola coodiata logitudiale lugo la quale si hao i flussi di poteza teica: Q Q +d dq h Il bilacio si scive Q Q + + dq ovveo, esplicitado i vai teii appelladosi alle leggi di d h Fouie, pe la poteza teica coduttiva, e di Newto, pe la poteza teica covettiva, si h k ottiee che il capo di tepeatua deve soddisfae Avee u capo di tepeatua idipedete da vuol die assuee che i ogi sezioe la tepeatua è costate ovveo, patedo da u valoe di tepeatua sull asse dell aletta, ad ua geeica, pai a a >, si dice che il salto a - viee saltito totalete el fluido icodado quato detto a poposito del ueo di Biot si ha che l ipotesi sulla quale si poggia la h oodiesioalità è Bi << k

11 Caatteizzazioe del poblea diesioale Il poblea diffeeziale da isolvee è odiaio, lieae, ioogeeo ed a coefficieti costati; l odie assio di deivazioe è e petato soo ecessaie altettate codizioi al cotoo pe chiudee il poblea; pe essee cogueti co il poblea bidiesioale ipoiao la tepeatua ad ed iagiiao acoa adiabatica la sezioe di aletta ad I defiitiva il poblea diesioale è Caatteizzazioe del poblea adiesioale Ache i questo caso isciviao il poblea diffeeziale i agioe di quatità idipedeti dalla scala co cui si isuao le gadezze i gioco Pe cui poiao ξ, ϑ ξ e da ciò: ϑ ϑ ξξ ϑ ϑ ξ ; poiché el poblea bidiesioale siao iusciti a poe tutto i fuzioe del ueo di Biot Bi e del appot lughezza/aggio M è oppotuo esplicitae ache la dipedeza di questo poblea da questi due guppi: h h BiM k k ξ ξ Passado alla isoluzioe del poblea si ha ispettive codizioi al cotoo estituisce: ϑ ξ ϑ ξ Ce + C e che paticolaizzata co le BiM ξ cosh cosh BiM Capo di tepeatua diesioale ichiaado le posizioi fatte al paagafo pecedete si ottiee iediataete il capo di tepeatua i foa diesioale: + + ϑ cosh BiM cosh BiM Q f tgh BiM Ache l efficieza dell aletta la si iesce a poe i foa chiusa: η π h BiM Possiao gaficae ua volta pe tutte questa efficieza i fuzioe del guppo l :

12 Cofoto dei due odelli Covegeza della seie al vaiae del ueo di teii cosideati Abbiao visto che la soluzioe del poblea bidiesioale si espie coe cobiazioe di ifiiti teii che coivolgoo le autofuzioi del poblea diffeeziale; tale ecessità si è aifestata allo scopo di soddisfae l uica codizioe al cotoo ioogeea È ipesabile dove cosideae, da u puto di vista ueico, ifiiti teii; pe questo costuiao u gafico che etta i evideza coe si assottiglia l eoe che si coette sulla codizioe i questioe al cescee dei teii cosideati: Si è costuito il gafico cosideado la soluzioe: θ, N λm { B + e } vaiado N si è poi costuito l eoe cosideado che dalle codizioi dovebbe esseeϑ, ; pe cui,, eo ϑ Bisoga cosideae che i ogi caso laddove si voglia deteiae il capo di tepeatua pe o toppo piccole bastao pochi teii della seie pe otteee u isultato o olto diffeete, azi paticaete uguale, da quello esatto Questo è evidete guadado coe è fatta la soluzioe

13 θ ξ, λmξ λm ξ { B J λ e + e } : l ultio teie ta paetesi tode è sostazialete u espoeziale decescete che ha ta gli agoeti la costate di sepaazioe λ che, a sua volta, è ua seie cescete e coe tale pota paticaete a il cotibuto dato alla seie espiete la soluzioe quado vale 4 5; ad esepio co M,Bi,ξ7: λ λmξ λm ξ e + e A questo puto possiao tovae ua giustificazioe quatitativa al odello oodiesioale h Bi << suppoedo di lavoae co ua aletta pe la quale il appoto M è fissato e ettedo a k cofoto i pofili di tepeatua adiesioale del odello oodiesioale e bidiesioale i quest ultio caso ettedoci ad 3

14 Da questi gafici leggiao quato ci aspettavao e cioè co Bi che decesce i odelli tedoo a coicidee; si cosidei ache che lasciado fissato M al decescee di Bi diiuisce la caduta di tepeatua che si ha ell aletta co M6 e Bi si saltisce pe coduzioe solo il 3% del salto ; questo peché se si scive il ueo di Biot logitudiale si ha che h h Bi BiM pe cui lasciado fissato M i due uei di Biot soo diettaete k k popozioali Questo discoso di ettee a cofoto i due odelli costuiti adebbe fatto, a igo di logica, i ifeieto o alla tepeatua sull asse a ispetto al valo edio della tepeatua che si aggiuge i ogi sezioe dell aletta; pe questo si ipota di seguito il cofoto fatto ella aiea più igoosa che si è citata: Co la odifica appotata si ota che le diffeeze ta i due odelli si assottigliao ache pe Biot o toppo piccoli e deceetado lo stesso guppo adiesioale i pofili di tepeatua subito tedoo a sovapposi È oppotuo ache sottolieae il fatto che, scesi al di sotto di u ceto valoe di Bi Bi i figua, fae ifeieto alla tepeatua sull asse piuttosto che a h quella edia o fa diffeeza; questo è logico pesado al fatto che la posizioe Bi << si k 4

15 taduce dicedo che c è sostazialete u coto cicuito teico ella diezioe adiale del capo di tepeatua: il pofilo di tepeatua i ogi sezioe è sepe più piatto e tepeatua edia e quella sull asse tedoo a coicidee Efficieza dell aletta co odello bidiesioale Pe valutae l efficieza dell aletta co il odello bidiesioale, al cotaio di quato fatto appea sopa, paaetizziao ispetto al ueo di Biot e vaiao M; agedo i tal odo possiao die di agioae avedo scelto ua volta pe tutte il ateiale co il quale costuiao l aletta coducibilità teica k fissata oché iagiado che le caatteistiche teofluidodiaiche del fluido labete l aletta siao iutabili ispetto alla geoetia coefficiete di scabio teico h fissato Questo vuol die che se fissiao Bi stiao bloccado la diesioe tasvesale dell aletta cosicché, vaiado M, stiao valutado l efficieza all auetae della lughezza dell aletta: Pe leggee i aiea alteativa il gafico cosideiao ua aletta pe la quale M: al cescee del ueo di Biot si cosidei dappia la cuva i eo el gafico e si sceda pe icotae le alte cuve, pe quato detto pia, stiao cosideado alette co aggi cesceti e si ota che h l efficieza decesce; voledo cosideae dei valoi ueici se aettiao che si ha che k co Bi l aletta ha u aggio c cui coispode ua efficieza del 93%; poducedo u allugaeto tale pe cui M è acoa uitaio si ha, co Bi, u aggio aletta c e l efficieza scede al 54%; co Bi, c e l efficieza pecipita al 5% Ovviaete questo discoso vale pe ogi alto valoe di M ache se co u effetto sepe eo accetuato 5

16 ella isua i cui il appoto lughezza/aggio supea la decia basta guadae la coda del gafico i cui le vaie cuve tedoo a schiacciasi l ua sull alta U ulteioe aspetto qualitativo da cosideae guadado l adaeto dell efficieza, che ci cosete ache di affeae che è più coveiete ceae supefici alettate quado il ueo di Biot è piccolo, è il fatto che co Bi k h << el gafico si ota co Bi la M η osta u flesso che ede eo schiacciata lugo l asse oizzotale la cuva i questioe Si oti che tutto quato detto fioa va peso co le olle laddove ci si ifeisce a valoi piccoli di M; bisoga ifatti cosideae che il odello costuito assue adiabatica la esteità libea dell aletta il che è u ipotesi fote pe ceti valoi di M e Bi Modello bidiesioale co codizioe covettiva all esteità libea Pe quato cosideato alle ultie ighe del paagafo pecedete si vuole dae ua isua sulla validità del odello co codizioe di adiabaticità alla esteità libea e lo si fa cosideado ua codizioe al cotoo, sulla stessa sezioe i oggetto, più cogua alla ealtà fisica del poblea: ache qui è l iteazioe covettiva solido-fluido che egola il egie teico locale; pe cui il poblea ateatico da cosideae è lo stesso cosideato i pecedeza sostituedo la codizioe di adiabaticità, co quella di scabio teico covettivo k, h, ; pe agioi di seplicità si è cosideato lo stesso coefficiete di scabio teico dello scabio sulla supeficie cilidica a l ipotesi o è eccessivaete liitativa Caatteizzazioe ateatica del poblea diesioale Coe detto o bisoga fae eoi scovolgieti ispetto al poblea ipostato i pecedeza, pe cui si lasciao itatte la elazioe che espie l equilibio locale di eegia e le codizioi che o coivolgoo la sezioe ad la quale si odifica coe segue: 6

17 +, k, h,, k, h, Caatteizzazioe ateatica del poblea adiesioale Pocediao, al solito, i agioe delle segueti quatità adiesioali, co la adiesioalizzazioe: ξ,,, ξ, ϑ ; poblea adiesioale: ϑ ϑξξ + ϑ, ϑ ξ, Biϑ, ϑ ξ, ϑξ ξ, Biϑ ξ, Ovviaete si ha acoa appoto caatteistico h Bi e la geoetia è descitta dal k M Biot logitudiale defiito coe ; è copaso iolte il ueo di h Bi k isoluzioe del poblea diffeeziale adiesioale Si saà otato che la vaiazioe della codizioe al cotoo o copota ua odifica sigificativa ella stuttua ateatica del poblea i quato la diezioe di popoe acoa u poblea totalete oogeeo sul quale è possibile costuie u poblea di autofuzioi ecessaio a soddisfae la codizioe ioogeea sull alta diezioe; stiao ovviaete palado del etodo di sepaazioe delle vaiabili e ispetto al caso pecedete le ovità le toviao esclusivaete ella copoete X ξ della soluzioe θ ξ, X ξ 7

18 X '' C Co la solita pocedua si aiva a scivee: M X ' C λmξ λmξ X ξ Ce + Ce C λ C J λ + C Y λ Coe detto co la si pocede coe visto pia ete le diffeeze copaioo sull alta diezioe: λmξ λmξ λm λm λm λm λmc e + λmc e X ' λmc e + λmc e Bi C e C e X ' + ξ quidi le costati di itegazioe si legao attaveso la elazioe λm λm Bi ovveo C Ce Alla fie la soluzioe si sciveà coe: λm + Bi C 3 e C e λm λm 4 Bi λm Bi + λm θ ξ, BJ λ e + e λ M Bi λmξ λm ξ λm + Bi ed i coefficieti della seie saao dati da B J λ d λ M Bi λm J + λ d e λm + Bi esteità adiabatica ci si ede coto che quado ; cofotado tale isultato co quello dell aletta co λ M Bi M + Bi λ ovveo Bi i odelli coicidoo e questo vuol die che fi da subito cogliao quella ifoazioe che volevao: è tato più lecito affidasi all appossiazioe che pevede adiabatica la sezioe libea dell aletta quato più il ueo di Biot logitudiale tede a valoi piccoli Si può fae u passo ulteioe h h cosideado che Bi BiM ; sostituedo ella espessioe scitta poche ighe k k sopa si ha: λ M Bi M λ Bi M λ + Bi Bi Biot die che uo tede a zeo sigifica edee piccolo ache l alto : visto il legae ta i due uei di 8

19 Veifica ueica dei isultati teoici A valle di tutto ciò che si è visto è oppotuo veificae che ci siao, ad esepio ella patica dei dissipatoi, dei iscoti ueici Pe fae questo si è cosideato u heatsik ad alette cilidiche: Pe questo tipo di podotto il poduttoe defiisce la destiazioe d uso e cioè và applicato sulle eoie delle schede elettoiche veedo petato ache defiite asik Ovviaete ci si ede coto che è ecessaio aipolae i isultati otteuti ella tattazioe teoica pe adeguali alle caatteistiche di pefoace foite dal costuttoe; a tale poposito è oppotuo fae ua digessioe su coe si caatteizzao solitaete i dissipatoi esisteza teica equivalete e uità dissipative ad esepio delle CPU o soo costituite da u uica aletta a da u pacco di alette potedeti dalla supeficie da affeddae; pe cui se si idica co A u la quota di supeficie o icopeta da alette e co A f la totale supeficie podotta dall alettatua si ha che la poteza teica dissipata vale: Q A h + A h u η f avedo posto ovviaete al 9

20 al h A + ηa u facilete idividuabili: [ ] f ; le diesioi di questa che viee detta esisteza teica equivalete soo al K K [][ h A] W W ovveo toviao il appoto ta ua tepeatua ed ua poteza itoado al osto asik abbiao che il poduttoe e dichiaa le segueti caatteistiche: W Quello che ci iteessa è il ateiale ae: coducibilità teica k4, le diesioi di K ciascua aletta ed il ueo di alette oché le codizioi del fluido affeddate Pe quato iguada queste due ultie quatità sappiao che ogi asik ha ua base quadata co lato W4 sulla quale si potedoo 6 alette di altezza H4 a igoe l altezza del dissipatoe è 45 a pe cooscee l altezza delle alette è ecessaio svicolasi dallo spessoe della base che suppoiao essee di ezzo illieto; state ciò si è poceduto alla deteiazioe del diaeto di ciascua aletta pe via gafica: D5 Sul fluido efigeate sappiao che le idicazioi sulle pestazioi ipotate i pecedeza soo state icavate i abiete atosfeico cotollato alla tepeatua 5 C Molto più pobleatico è iuscie ad ifeie sul coefficiete di scabio teico, pe svaiati otivi; uo ta tutti è il fatto che, i dipedeza di coe si fozeà l aia ad attavesae il dissipatoe, ci saao divesi copotaeti delle alette ei cofoti della dissipazioe o si iuscià i essu caso a fa sì che ci sia dappetutto lo stesso h e questo può

21 fa pesae alla possibilità di ifeisi ad u valo edio del coefficiete di scabio teico, che pue è u qualcosa di difficilete valutabile Pe supeae u poblea del geee solitaete vegoo foiti dei gafici i cui sulle odiate si ipota la esisteza teica equivalete e sulle ascisse la velocità della vetola Putoppo o è il osto caso; couque poviao a tia fuoi dei uei sapedo che i covezioe fozata co aia l odie di gadezza di h è Sappiao che H la pia cosa da fae è valutae i paaeti M e Bi che valgoo ispettivaete: M 8 67 D / hd Bi k / ; tali valoi ibadiscoo i aiea plateale quato si eviceva ella tattazioe teoica spigedo altesì a ifeisi, pe la caatteizzazioe teica delle alette, al odello oodiesioale Calcoliao così i aiea agevole l efficieza di ciascua aletta : BiM tah η ; questo valoe è utile pe isalie alla poteza teica dissipata da ciascua aletta dalla defiizioe Pia peò occoe cooscee la tepeatua del copo da affeddae; possiao icavala ifeedoci all espeieza codotta dal poduttoe el test che etteva a cofoto due dissipatoi vedi figua: essedo 5W la poteza teica da saltie i codizioi stazioaie si aggiuge i possiità della giuzioe asik-eoia la tepeatua di 73 C ed è questa la osta ipededo la defiizioe di efficieza dell aletta si ha quidi: Q f Q f η Q f η97 84W questa è la poteza teica πdhh 97 dissipata da ciascua aletta; tutta la supeficie alettata dissipa 84*64544W A tale quatità dobbiao aggiugee la quota di poteza teica dissipata dalla supeficie di base, ach essa i ae, dalla quale o si potedoo alette; questa aea vale D A u 4 i gado di dissipae ua poteza teica pai a A u h 75W 4 6π 677 ed è ; facedo la soa o otteiao esattaete 5W a questo o ci peoccupa visto che il calcolo stesso si peseta coe ua stia di ciò che accade ella ealtà icodiao che abbiao assegato pe h u odie di gadezza e o il suo valoe veo Ua veifica ulteioe che si può fae iguada il calcolo della esisteza teica equivalete che il poduttoe stesso ci foisce Dobbiao calcolae le aee iteessate dallo scabio teico: D A u 4 4 6π 677, icodado quato detto pe il coefficiete di scabio teico possiao ettee tutto isiee otteedo: K al che W

22 o è olto diveso dal C/W9 leggibile i figua Co tale valoe di esisteza teica equivalete possiao cooscee iediataete quale è la tepeatua che si aggiuge alla base del dissipatoe quado questo deve dissipae 5W: cica 3 C ispetto a quato speietato dal poduttoe + al Q 67 5 C coettiao u eoe di