Relatività, Energia e Ambiente

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1 Domenio Galli Digiall signed b DN: =IT o=infn ou=personal Cerifiae l=bologna n= Dae: :04: Conseguene delle Trasformaioni di Loren Relaivià Energia e Ambiene Prof. Conraione delle lunghee e dilaaione dei empi. Alma Maer udiorum Universià di Bologna Inroduione alla Relaivià Risrea I pare hp:// Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. Polo olasio L. Donai Fossombrone 7 Aprile 009 La Conraione di FigeraldLoren L idea di una onraione delle lunghee lungo la direione del moo nase per spiegare il fallimeno dell esperimeno di Mihelson e Morle (onraione di FigeraldLoren. L idea era quella di una onraione degli oggei in moo rispeo all Eere Luminifero. i pensava a una effeiva deformaione dei orpi. Eere La Conraione di FigeraldLoren (II 1 asa in moo 1 rispeo all Eere 1 Eere Eere 1 1 < Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 3 1 > asa a riposo nell Eere L osservaore dell Eere Luminifero sarebbe sao l unio osservaore he ha il privilegio di vedere onrai ui gli oggei he si muovono rispeo a lui. La ragione della onraione era aribuia a effei eleromagneii dovui a una sora di ineraione ra il maeriale del orpo in movimeno e quello dell Eere Luminifero. La massima lunghea si sarebbe osservaa nel dr dell Eere Luminifero. Gli alri osservaori avrebbero dovuo vedere allungai gli oggei he si rovano nell eere (perhé si aoria il mero on ui misurano arao nel dr dell eere. 1 asa in moo 1 rispeo all Eere 1 Eere 1 1 < Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 4 1 > asa a riposo nell Eere

2 La Conraione Relaivisia delle Lunghee edremo ora sulla base delle Trasformaioni di Loren he una onraione delle lunghee nella direione del moo relaivo dei dr si può osservare effeivamene: L = L asa a riposo < nel dr 1 1 asa a riposo nel dr L = 1 < Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 5 La Conraione Relaivisia delle Lunghee (III La massima lunghea si osserva nel dr in ui l asa è a riposo. L = L asa a riposo < nel dr 1 1 upponiamo he gli esremi dell asa nel dr abbiano oordinae 1 e : essendo l asa in quiee nel dr la posiione dei suoi due esremi nel dr non ambia nel empo per ui non è neessario misurare simulaneamene la loro posiione. Cioè misura degli esremi simulaneamene nel dr. Dove oordinae 1 e essendo osani si riferisono a un isane arbirario. asa a riposo L = m 1 m orre sabilire in quali isani se ne misurano gli esremi. upponiamo di misurare gli esremi mediane una foo on nell isane m segnao dagli orologi del dr. = " 1 Poihé l asa è in moo nel dr la posiione dei due esremi 1( e ( ambia nel empo. Flash e pelliola in quiee nel dr. ogliamo deerminare ora la lunghea L dell asa nel dr. 1 1 L = 1 < Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 6 i ha dunque: asa a riposo nel dr La Conraione Relaivisia delle Lunghee (I upponiamo he l asa di lunghea a riposo sia posa in quiee nel dr il quale si muove on veloià rispeo al dr. e un osservaore nel dr vede un asa nel dr aoriaa parimeni un osservaore nel dr vede un asa nel dr aoriaa (reiproià. la disana ra due puni nello spaio dipende dal dr. I dr ineriali sono ui ra loro equivaleni. in pariolare alle sue proprieà di rasformaione nel passaggio da un dr ineriale a un alro. Non i sono dr privilegiai: i raa uavia di una onraione dovua alla naura dello spaioempo: La Conraione Relaivisia delle Lunghee (II ( ( (misura simulanea degli esremi nel dr nel dr L = 1 < Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 7 pelliola 1 1 asa a riposo nel dr L = 1 < Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 8

3 La Conraione Relaivisia delle Lunghee ( Le relaioni ra le posiioni degli esremi nei due dr è daa dalle rasformaioni di Loren (diree o inverse: Ci ineressa quesa formula perhé le misure degli esremi sono simulanee in e non in per ui noi onosiamo e non. pelliola = " # ( + = " ( # = = = " + ( + = " ( + = = L Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 9 0 asa a riposo nel dr La Conraione Relaivisia delle Lunghee (I Dalle rasformaioni di Loren (diree oeniamo in pariolare per i esremi dell asa: 1 = " ( 1 # 1 ( = " = " 1 1 ( m # m + * + = " ( # = " * ( m # m + = da ui: = " 1 = # ( m " m " 1 ( m + m = # m L = ( m " 1 ( m = 1 ( # " 1 = # = L 1" 0 0 pelliola Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare # ( ( = " # ( " 1 ( m asa a riposo nel dr La Conraione Relaivisia delle Lunghee (II Dunque per effeo delle rasformaioni di Loren l asa è più ora nel dr nel quale l asa è in moo. = L 1" (onraione relaivisia 0 0 delle lunghee Il dr in ui la lunghea dell asa è massima è il dr in ui l asa è a riposo (lunghea a riposo o lunghea propria. pelliola L Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare asa a riposo nel dr Reiproià upponiamo ora he l asa di lunghea a riposo sia posa in quiee nel dr menre il dr si muove on veloià rispeo al dr. upponiamo he gli esremi dell asa nel dr abbiano oordinae 1 e : essendo l asa in quiee nel dr la posiione dei suoi due esremi nel dr non ambia nel empo per ui non è neessario misurare simulaneamene la loro posiione. i ha dunque: = 1 Dove oordinae 1 e essendo osani si riferisono a un isane arbirario pelliola 1 Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 1 asa a riposo nel dr

4 Reiproià (II ogliamo deerminare ora la lunghea L dell asa nel dr. Poihé l asa è in moo rispeo al dr la posiione dei due esremi 1 ( e ( ambia nel empo. orre sabilire in quali isani se ne misurano gli esremi. upponiamo di misurare gli esremi mediane una foo on nell isane m segnao dagli orologi del dr. Flash e pelliola in quiee in. Cioè misura degli esremi simulaneamene in. ( m " L = pelliola ( (misura simulanea degli esremi nel dr 1 m Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 13 asa a riposo nel dr Reiproià (III Le relaioni ra le posiioni degli esremi nei due dr è daa dalle rasformaioni di Loren (diree o inverse: = " # ( + = " ( # = = pelliola = " + ( + = " ( + = = Ci ineressa quesa formula perhé le misure degli esremi sono simulanee in e non in per ui noi onosiamo e non Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 14 asa a riposo nel dr Reiproià (I Dalle rasformaioni di Loren (inverse oeniamo in pariolare per i esremi dell asa: # # 1 = ( 1 " + 1 " = " + = " # ( 1 1 ( m " + m " * + + * = " = ( " + " = ( " ( m " + m " * = " da ui: + = " 1 = " # ( m # + m # 1 #( m # m # = " # # ( m 1 #( m # L = # ( m # 1 #( m # = 1 ( " 1 = " = L pelliola Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare " ( ( + " asa a riposo nel dr Reiproià ( L asa è più ora nel dr. Dunque non osane noi abbiamo inverio le pari (asa a riposo nel dr invee he asa a riposo nel dr per effeo delle rasformaioni di Loren l asa è sempre più ora nel dr nel quale l asa è in moo. = 1" 0 Il dr in ui la lunghea dell asa è massima è il dr in ui l asa è a riposo (lunghea a riposo o lunghea propria. pelliola Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 16 asa a riposo nel dr

5 Le Lunghee si Possono Anhe Dilaare: È Quesione di imulaneià upponiamo ome nel primo aso esaminao he l asa di lunghea a riposo sia posa in quiee nel dr il quale si muove on veloià rispeo al dr. upponiamo he gli esremi dell asa nel dr abbiano oordinae 1 e : essendo l asa in quiee nel dr la posiione dei suoi due esremi nel dr non ambia nel empo per ui non è neessario misurare simulaneamene la loro posiione. i ha dunque: = " 1 Dove oordinae 1 e essendo osani si riferisono a un isane arbirario. sinronia pelliola L pelliola L = Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare > asa a riposo nel dr Le Lunghee si Possono Anhe Dilaare: È Quesione di imulaneià (II ogliamo deerminare ora la lunghea L dell asa nel dr. Poihé l asa è in moo nel dr la posiione dei due esremi 1 ( e ( ambia nel empo. orre sabilire in quali isani se ne misurano gli esremi. A differena del aso preedene supponiamo di meere sull asa (solidale a essa un disposiivo lampeggiaore (orologio ollegao on fili di ugual lunghea a due lampade pose alle esremià dell asa e on il lampo delle due lampade impressioniamo una pelliola in quiee nel dr del laboraorio: Il lampo si ha nell isane m segnao dall orologio (sulla sbarra del dr. Pelliola in quiee in. Cioè misura degli esremi in simulaneamene in. sinronia pelliola pelliola 1 1 L = Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare > asa a riposo nel dr Le Lunghee si Possono Anhe Dilaare: È Quesione di imulaneià (III Misura degli esremi dell asa nel dr simulaneamene nel dr (aso preedene: L = ( m 1 m ( pelliola Misura degli esremi dell asa nel dr simulaneamene nel dr (presene aso: L = m ( " 1 ( m sinronia pelliola L L L = 0 > L Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare asa a riposo nel dr Le Lunghee si Possono Anhe Dilaare: È Quesione di imulaneià (I Le relaioni ra le posiioni degli esremi nei due dr è daa dalle rasformaioni di Loren (diree o inverse: = " # ( + = " ( # = = sinronia pelliola = " + ( + = " ( + = = Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 0 Ci ineressa quesa formula perhé le misure degli esremi sono simulanee in e non in per ui noi onosiamo e non. L L L = 0 > L 1 0 asa a riposo nel dr

6 Le Lunghee si Possono Anhe Dilaare: È Quesione di imulaneià ( Dalle rasformaioni di Loren (inverse oeniamo in pariolare per i esremi dell asa: # # 1 = ( 1 " + 1 " + = " # 1 ( m " = ( 1 " + m " * + + * = " = ( " + " ( m " = ( " + m " * = " da ui: + = " ( m " 1 ( m = # + m " 1 " m = # ( " 1 L = m sinronia ( " 1 ( m = # ( " 1 = # = pelliola 1" 1 L = Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare > > + " ( ( + " asa a riposo nel dr Le Lunghee si Possono Anhe Dilaare: È Quesione di imulaneià (I Dunque quesa vola per effeo delle rasformaioni di Loren e a ausa della differene sela di simulaneià l asa è più lunga nel dr nel quale l asa è in moo. L = = sinronia pelliola 1" > Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. L L L = 0 > L 1 0 asa a riposo nel dr La Dilaaione Relaivisia dei Tempi Consideriamo la misura della duraa di un eveno he ha luogo in una posiione fissa nel dr (per esempio il sempieriodo dell osillaione di un pendolo. L orologio poso in (fermo rispeo a misura il empo 1 quando l eveno ha iniio e quando l eveno ermina. La duraa dell eveno misuraa da è quindi T 0 = " 1 La Dilaaione Relaivisia dei Tempi (II ogliamo ora deerminare il semiperiodo del pendolo nel dr rispeo al quale il dr si muove on veloià. Poihé il pendolo è in moo nel dr la posiione del pendolo nei due isani 1 e è diversa: 1 = ( 1 e = (. orre sabilire in quali posiioni si misurano i empi. upponiamo di misurare i empi nella posiione m fissa nel dr a ui però orrisponderanno posiioni diverse nel dr : T = m ( " 1 ( m (misure nella sessa posiione nel dr 1 sinronia Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 3 sinronia " 1 m sinronia Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 4 " sinronia m

7 La Dilaaione Relaivisia dei Tempi (III Le relaioni ra i empi nei due dr è daa dalle rasformaioni di Loren (diree o inverse: = " # ( + = " ( # = = " 1 m = " + ( + = " ( + = = sinronia Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 5 Ci ineressa quesa formula perhé le misure dei empi sono nello sessa posiione in e non in per ui noi onosiamo e non. " sinronia m La Dilaaione Relaivisia dei Tempi (I Dalle rasformaioni di Loren (inverse oeniamo in pariolare per i isani: # # 1 = 1 " + " 1 ( 1 ( m " = 1 " + + = " # + " + m ( * = " + + * + # = " + * " + # + ( ( m " = " + + = " + = " " + m ( da ui: ( m " 1 ( m = # + m " 1 " m = # ( " 1 ( T ( m " 1 ( m = # ( " 1 = # T 0 = 0 1" sinronia " m Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 6 1 T = > T 0 + " ( ( + " sinronia " m La Dilaaione Relaivisia dei Tempi ( Dunque per effeo delle rasformaioni di Loren l inervallo di empo è più lungo nel dr nel quale il pendolo è in moo: T = T 0 = T 0 1" > T 0 (dilaaione relaivisia dei empi Il dr in ui la il periodo del pendolo è minimo è il dr in ui il pendolo è a riposo (empo proprio. " 1 m sinronia Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 7 " sinronia m Reiproià L effeo di dilaaione dei empi deve essere ompleamene reiproo e non deerminare il privilegio di nessun dr rispeo agli alri. Cosideriamo un dr in moo relaivo rispeo al dr. Un orologio fisso in è viso in moo da un osservaore in il quale dunque lo vede rimanere indiero. Tuavia è vero anhe he un orologio fisso in è viso in moo da un osservaore in il quale dunque lo vede rimanere indiero. Come si possono oniliare quese due affermaioni? Qual è l orologio he veramene rimane indiero rispeo all alro? Qual è l orologio he invee va avani rispeo all alro? Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 8

8 Reiproià (II La hiave della risposa sa nel proedimeno di onfrono degli orologi. Per onfronare i empi in un ero isane oorre poere disporre di due orologi he in quell isane si rovano nella sessa posiione: Alrimeni non è possibile definire univoamene la simulaneià della misura del empo da pare dei orologi. orre dunque poere disporre almeno in uno dei dr di una suessione di orologi sinroniai ra loro. P. es. mediane un disposiivo di sinronismo he omanda ui gli orologi della suessione mediane avi elerii della sessa lunghea. Nell alro dr è suffiiene un orologio singolo. Inroduione alla Relaivià Risrea. II pare. 9 Reiproià (III Nel nosro alolo abbiamo supposo di misurare sia il empo 1 sia il empo nel puno alla oordinaa m he è fisso nel dr ma he si muove nel dr. Queso signifia he abbiamo bisogno di un solo orologio nel dr ma di almeno orologi nel dr. L orologio he rimane indiero è quello nel dr ioè l orologio singolo he viene onfronao on orologi. " 1 m sinronia Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 30 " sinronia m Reiproià (I sinronia In generale rimane indiero l orologio singolo he viene onfronao on la suessione di orologi sinronia Inroduione alla Relaivià Risrea. II pare. 31 rimane indiero sinronia rimane indiero sinronia Reiproià ( Che osa suede se si prendono orologi: Uno fisso in un ero dr ineriale; Uno he parendo dallo sesso puno desrive una raieoria hiusa e riorna al puno di parena? In queso aso il alolo è più ompliao perhé l orologio in moo si rova in un dr nonineriale (non è in moo raslaorio reilineo e uniforme rispeo a un dr ineriale. Tuavia si può dimosrare he rimane indiero l orologio in moo. La reiproià non vale perhé uno dei due dr non è ineriale. Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 3 rimane indiero

9 Paradosso dei Gemelli Uno dei due gemelli pare a bordo di una naviella spaiale e ompie un lungo viaggio on veloià osane e prossima a quella della lue lasiando l alro gemello sulla Terra. Dopo aluni anni egli riorna sulla Terra e si riongiunge al fraello. Per uo il empo in ui è sao sulla naviella il gemello viaggiaore ha vissuo in un mondo in ui lo sorrere del empo e ui i fenomeni ompresi i proessi biologii dell invehiameno erano rallenai. Al suo riorno sulla Terra egli sarà quindi rimaso più giovane del fraello. Paradosso dei Gemelli (II e il gemello viaggiaore ha viaggiao per 10 anni (seondo quano indiao dall orologio della naviella a una veloià v = 0.9 per il gemello sulla Terra sono passai: T = T 0 = T 0 1" = 10anni 1" 0.9 =.94anni Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 33 Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 34 Quadriveori Lo spaioempo a 4 dimensioni. Inroduione alla Relaivià Risrea. III pare. 35 Trasformaioni di Loren e Roaioni Consideriamo ora le rasformaioni di Loren: = " ( # = " ( + = " ( # = " ( + = = ( = ( = Esse desrivono la rasformaione delle 4 oordinae e onsegueni al ambiameno di dr da un dr ineriale a un alro. Confroniamo quese relaioni on quelle relaive a una roaione nello spaio ordinario. Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 36

10 Roaioni nello paio rdinario Roaioni nello paio rdinario (II upponiamo he nello spaio ordinario a 3 dimensioni siano ruoai gli assi aresiani di un angolo " p. es. aorno all asse. riviamo ora le relaioni maemaihe he desrivono la rasformaione delle oordinae di un puno onseguene a ale roaione. ppure il he è equivalene le relaioni maemaihe he desrivono la rasformaione delle omponeni di un veore onseguene a ale roaione. Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 37 v P Come si vede dalle figure si ha: = = = os" + sin" = # sin" + os" sin" os" P (rasformaioni inverse Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 38 os" sin" P Roaioni nello paio rdinario (III Per oenere le rasformaioni diree è suffiiene sosiuire le variabili on gli apii a quelle sena apii e vieversa e sosiuire all angolo " l angolo #": = = = os" + sin" = # sin" + os" " ( #" os" ( os" sin" ( #sin" ( ( ( ( ( ( ( ( = = Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 39 = os" # sin" = sin" + os" Roaioni nello paio rdinario (I Le rasformaioni diree e inverse he desrivono una roaione aorno all asse sono quindi: = = = os" # sin" = os" + sin" = sin" + os" = # sin" + os" = = sin" P P os" os" sin" Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 40

11 Roaioni nello paio rdinario ( sserviamo he le roaioni non modifiano la disana d del puno P dall origine : = = os" # sin" = sin" + os" = d = + = ( os" # sin" + ( sin" + os" = = os " + sin " #os" sin" + sin " + os " +sin" os" = Roaioni nello paio rdinario (I Queso risulao può essere generaliao a una generia roaione nello spaio 3dimensionale: d = + + = + + = d La disana di un puno P dall origine è un invariane per roaioni nello spaio ordinario 3dimensionale. Il modulo di un veore è invariane per roaioni nello spaio ordinario 3dimensionale. ( + ( os " + sin " = + = d = os " + sin " d = + = + = d Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 41 Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 4 Rapidià ediamo ora di srivere le rasformaioni di Loren in una forma simile. Definiamo una nuova grandea adimensionale (numero puro hiamaa rapidià: ( = ln " 1+ # i ha: = ln " ( 1+ # = ln 1+ # * 1( # * = ln 1+ # 1+ # * 1+ # 1( # * = ln 1+ # * = 1( # * 1+ # 1( # = ln * 1( # 1( # * = ln 1( # * 1( # * = ln 1 * " ( 1( #* Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 43 Rapidià (II Dunque la rapidià si può anhe srivere ome: = ln " ( 1+ # = ln 1+ # 1 * = ln * 1( # * " ( 1( #* Inolre si ha: " = ln # ( 1+ ( = ln 1 * = ln # ( 1 # ( 1+ ( (* e " = # ( 1+ = 1+ 1 e " = # 1 ( = 1 1+ Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 44

12 Funioni Iperbolihe Inroduiamo ora le funioni iperbolihe: # sinh = e " e " osh " sinh = 1 osh = e + e " anh = sinh osh = e " e " e + e " Rapidià e Funioni Iperbolihe Uiliando le funioni iperbolihe si ha: ( ( e = " 1+ # e = " 1 # ( " ( 1 # sinh = e e = " 1 + # osh = e + e = " 1+ # ( + " ( 1 # = " # = " Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 45 Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 46 Trasformaioni di Loren Uiliando le funioni iperbolihe e la rapidià si possono srivere le rasformaioni di Loren nella forma: " = sinh# = osh# = ( " = ( " = = ( = ( " = osh# ( sinh# ( = ( " = osh# ( sinh# Trasformaioni di Loren (II sserviamo he le rasformaioni di Loren non modifiano la quanià s = " : = osh" # sinh" = # sinh" + osh" = = s = # = ( osh" # sinh" # (# sinh" + osh" = = osh " + sinh " #osh" sinh" # sinh " # osh " +sinh" osh" = ( # ( osh " # sinh " = # = s = osh " # sinh " s = " = " = s Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 47 Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 48

13 Trasformaioni di Loren (III Confroniamo ora le Trasformaioni di Loren: = osh" # sinh" = # sinh" + osh" " = ln *( ( 1+ = + = on le roaioni aorno all asse : = = = os" # sin" = sin" + os" Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 49 Trasformaioni di Loren (I sserviamo he roaioni e rasformaioni di Loren sono analoghe nella forma: Le roaioni aorno all asse mesolano (fanno ombinaioni lineari le oordinae e ; Le rasformaioni di Loren mesolano (fanno ombinaioni lineari le oordinae e. Le rasformaioni di Loren sono analoghe a roaioni ra lo spaio e il empo. = osh" # sinh" = # sinh" + osh" = = Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 50 = = os" # sin" = sin" + os" = Trasformaioni di Loren ( Le differene sanno nell uso delle funioni irolari per le roaioni e delle funioni iperbolihe per le rasformaioni di Loren. Inolre (e onseguenemene e un segno relaivo diverso nella espressione dell invariane: " d = + # s = (roaioni (rasformaioni di Loren = osh" # sinh" = # sinh" + osh" = = Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 51 = = os" # sin" = sin" + os" = paiotempo Possiamo quindi pensare di formare puni e veori in uno spaio a 4 dimensioni (paiotempo on le omponeni: ( Un puno dello paioempo è deo eveno. Poremo inolre definire un invariane generale (l analogo del modulo di un veore in 3 dimensioni: s = Queso invariane non viene modifiao né da una roaione né da una rasformaione di Loren. Il fao he queso invariane non si modifihi nelle rasformaioni di Loren è una espressione dell invariana della veloià della lue nel vuoo. Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 5

14 paiotempo (II Una roaione ordinaria modifia il nosro puno di visa spaiale: può avvenire sui piani e. Una rasformaione di Loren modifia il nosro puno di visa faendoi passare da un dr ineriale a un alro dr ineriale in moo rispeo al primo: È una roaione he può avvenire sui piani e. L idea di uno spaioempo 4dimensionale è di Hermann Minkowski ( Queso pariolare spaio è deo periò spaio di Minkowski. paiotempo (III Un puno maeriale è rappresenao da una linea nello spaioempo denominaa linea d universo. Un oggeo he oupa spaio e he si esende per una era duraa di empo oupa una speie di bolla nello spaioempo. Quando i muoviamo a diverse veloià vediamo quesa bolla da un diverso puno di visa. Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 53 Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 54 paiotempo (I Dao un eveno ( la ipersuperfiie onia nello spaioempo a 4 dimensioni di equaione: ( ( 0 ( 0 ( 0 = 0 0 (ono di lue divide lo spaioempo in 3 regioni disine: Passao assoluo; Fuuro assoluo; eparaione assolua. La linea di universo di un foone sa sulla superfiie del ono di lue. La linea di universo di una pariella on massa sa enro il ono di lue. Una dimensione spaiale non è rappresenaa nella figura Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 55 paiotempo ( La proprieà di un eveno per esempio ( di rovarsi enro il ono di lue di un alro eveno per esempio ( non dipende dal dr. (è invariane per rasformaioni di Loren. Gli inervalli dello spaioempo si lassifiano in: ( = ( 1 + ( 1 + ( 1 ( > ( 1 + ( 1 + ( 1 ( < ( 1 + ( 1 + ( = = ipolue ipoempo = = ipospaio = = Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 56 ipolue ipoempo ipospaio

15 paiotempo (I Tra eveni separai da un inervallo di ipoempo vi può essere un nesso di ausalià. Tra eveni separai da un inervallo di ipospaio non vi può essere un nesso di ausalià. Tra eveni separai da un inervallo di ipolue vi può essere un nesso on un segnale luminoso. L inervallo ra due puni della linea di universo di un puno maeriale è sempre di ipoempo. Inroduione alla Relaivià Risrea. I pare. 57