SISTEMI ANALOGICI Parte I

Transcript

1 SISTEMI ANALOGICI I - Appuni dalle lezioni dei Proff. Paolo Bisconi e Mariano Riccardo Isiuo Tecnico Indusriale Saale EUGENIO BARSANTI POMIGLIANO D ARCO (NA) Via Mauro Leone, 05 Specializzazioni: Meccanica Tel. (08) Fax (08) Eleroecnica e Auomazione Disreo scolasico n. 3 - Cod. Fisc Eleronica e Telecomunicazioni Cod.Is. NATF Cod. Serale NATF04050C Informaica Progeo Abacus NATF040003@isruzione.i Corso Serale: Eleroecnica e Auomazione DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA Proff. Paolo Bisconi - Mariano Riccardo SISTEMI ANALOGICI Pare I APPUNTI DALLE LEZIONI DEL CORSO DI SISTEMI (Revisione 2009)

2 Premessa Quesi appuni sono complemenari al libro di eso e non inendono sosiuirlo, né possono farlo, dao che ogni eso cosiuisce per l allievo un riferimeno indispensabile per un adeguao percorso di formazione ed apprendimeno. Queso lavoro è sao realizzao esclusivamene per moivi didaici e non per scopi di lucro. Non è garanio che sia privo di errori. MODULO : GRANDEZZE FISICHE U.D. : GRANDEZZE VARIABILI NEL TEMPO Dea g una generica grandezza fisica, la noazione g() significa che g varia al variare del empo ovvero che g è funzione del empo. Immaginiamo che quesa generica grandezza vari nel empo secondo il grafico di Fg... (andameno lineare crescene) g() g 2 g Fig.. 2 Consideriamo due isani di empo successivi e 2 ; in corrispondenza di, la grandezza g assume il valore g( ) = g menre in corrispondenza di 2 assume il valore g( 2 ) = g 2. Indicando con = 2 un inervallo di empo, in corrispondenza di esso si oiene la variazione g = g 2 g. La noazione g/ indica che si è avua una variazione di g pari a g in corrispondenza dell inervallo di empo. Nella Fig..2 la rea che rappresena come varia g in funzione del empo è più ripida; si noa che a parià di inervallo di empo si oiene una corrispondene variazione g maggiore; ciò significa che il valore del rapporo g/ è aumenao. g() g 2 Fig..2 g 2 Esempio.. Un forno si riscalda passando da una emperaura iniziale T = 20 C ad una emperaura finale T 2 = 70 C in un inervallo di empo pari a 5 minui; ciò significa che nell inervallo di empo = 5 minui si è avua una variazione di emperaura T = T 2 - T = 50 C, ovvero: T / = 50/5 = 0 C/minuo Un secondo forno si riscalda passando da una emperaura iniziale T = 20 C ad una emperaura finale T 2 = 00 C in un inervallo di empo pari a 5 minui; in queso secondo caso nell inervallo di empo = 5 minui si è avua una variazione di emperaura T = T 2 - T = 80 C, ovvero: T / = 80/5 = 6 C/minuo 2

3 In ermini di riscaldameno, l innalzameno di emperaura pari a 6 C/minuo è più veloce rispeo a quello pari a 0 C/minuo Da ale esempio se ne deduce che: "Il valore del rapporo g/ rappresena la velocià con la quale varia la grandezza g al variare del empo." Riorniamo agli andameni di Figg.. ed.2: scelo un qualsiasi inervallo di empo, sia g la corrispondene variazione. Se immaginiamo di raddoppiare l inervallo, si oerrà un raddoppio di g; in generale si può scrivere n * n * g (con n = numero generico). Ne deriva allora che per un andameno di g() di ipo lineare il rapporo g/ = cosane = K. Queso significa pure che il rapporo g/ può essere calcolao senza preoccuparsi di come scegliere e 2, in quano il suo valore non cambia. Alra considerazione è oenibile dalla Fig..3. g() g g 2 g A α B C Fig..3 2 Considerando il riangolo reangolo ABC, si ha che AC = ; BC = g e quindi g = * g α per la seguene proprieà dei riangoli reangoli: "In un riangolo reangolo la misura di un caeo è uguale alla misura dell'alro caeo moliplicaa per la angene dell'angolo opposo" g Si oiene quindi = g α, cioè: "La velocià di variazione di g() è uguale alla angene dell'angolo α" In ermini maemaici g = K* rappresena una equazione del ipo y = m * x (equazione di una g rea passane per l origine), con m = coefficiene angolare = = g α. Nel caso in cui il valore assuno inizialmene dalla grandezza sia diverso da zero (vedi Fig..4), la g velocià di variazione è sempre = g α, menre l equazione divena y = m * x + n, dove ancora g m = = gα ed n rappresena il valore iniziale di g(), indicao con g( 0 ) o anche con g 0. g() g g 2 g A α B C Fig..4 g 0 2 3

4 Immaginiamo ora che la generica grandezza vari nel empo secondo il grafico di Fg..5. (andameno lineare decrescene) g() g g 2 Fig..5 2 In queso caso la velocià di variazione risulerà negaiva. Esempio.2. In una sanza è saa spena la sufa ed apera la finesra, per cui la emperaura passa da un valore iniziale T = 23 C ad un valore T 2 = 7 C in un inervallo di empo pari a 6 minui; ciò significa che nell inervallo di empo = 6 minui si è avua una variazione di emperaura T = T 2 - T = 7 23 = -6 C, ovvero: T / = -6/6 = - C/min Un caso paricolare è quello rappresenao in Fig..6: si raa di una grandezza cosane nel empo: g() = K; è agevole capire che per ale ipo di grandezza g/ = 0. Infai: g( ) = g ; g( 2 ) = g 2 con g = g 2 come si evince dalla Fig..6; ne deriva g = 0 per cui g/ = 0 Una grandezza fisica cosane nel empo ha una velocià di variazione nulla. g() g = g 2 Fig..6 2 In generale, possiamo avere per una qualsiasi grandezza fisica (emperaura, velocià, livello, ecc.) un andameno generico nel empo, più o meno aricolao, che spesso viene denominao profilo (di emperaura, di velocià, di livello, ecc.). Nella Fig..7 viene rappresenao un esempio di profilo di velocià. Si pensi, ad esempio, alla cabina di un ascensore di un graacielo, che deve viaggiare a velocià elevaa per collegare in breve empo piani molo disani ra loro, ma che deve parire e fermarsi dolcemene per eviare srappi che creino disagi o danni ai passeggeri. 4

5 v() Fase di accelerazione morbida Fase di velocià ala e cosane Fase di decelerazione morbida Piano di origine Fig..7 Piano di desinazione Il profilo di velocià viene apposiamene sudiao in modo che l'accelerazione in parenza e la decelerazione in arrivo non diano fasidio. Chiediamoci ora cosa accade se la grandezza g() non varia linearmene nel empo; come esempio riferiamoci all andameno di Fig..8. Scegliamo gli inervalli di empo = ; si noa chiaramene come i corrispondeni valori di g sono compleamene diversi. Per = 2 si ha g = g 2 - g ; per = 3 2 si ha g = g 3 - g 2 Essendo g diverso da g e = ne deriva che 'g/ ' è diverso da "g/ " g() g g g 3 g 2 g Fig Ciò significa che per un andameno di g() non lineare, la velocià di variazione non è cosane ma varia isane per isane. Per ogni isane dovremo quindi ricalcolare la velocià, seguendo il meodo indicao nella Fig..9. Con riferimeno a ale figura, supponiamo di voler calcolare la velocià di variazione nel puno P. Tracciamo allora la angene alla curva nel puno P considerao. g() g g 2 g P Q Fig

6 Sulla angene individuiamo un puno Q associao all'isane 2, scelo a piacere. Ebbene, si dimosra che la velocià di variazione della grandezza nel puno P si oiene dal rapporo g/. Ovviamene, se si vuole calcolare la velocià di variazione in un alro puno, occorre ripeere il procedimeno racciando la angene alla curva nel nuovo puno considerao. Esise anche la possibilià di calcolare la velocià di variazione lavorando direamene sulla curva (senza cioè considerare alcuna angene), ma, in queso caso, occorre considerare degli inervalli di empo esremamene piccoli e valuare in corrispondenza le variazioni di g (anch esse esremamene piccole). In quese condizioni il rao di curva ineressao è almene piccolo da poersi approssimare con la angene. Se l inervallo di empo è esremamene piccolo (che ende a zero), esso verrà indicao con la noazione d (si legge "de i") e rappresena un inervallo di empo infiniesimo; in corrispondenza di ale inervallo infiniesimo, la variazione di g sarà anch essa infiniesima e verrà indicaa con dg (si legge "de gi"). Per le grandezze fisiche g() variabili in modo non lineare la noazione g/ viene sosiuia da dg/d; il rapporo dg/d è una operazione maemaica che prende il nome di derivaa. Significao fisico della derivaa: se un generica grandezza fisica g varia in modo qualsiasi nel empo, il rapporo dg/d (la derivaa di g rispeo al empo) rappresena la velocià (o rapidià) con la quale g varia al variare del empo. E fondamenale comprendere che se la generica funzione g() varia linearmene nel empo, come nelle figure.2,.3,.4,.5,.6, la sua velocià di variazione si può calcolare come g/. Invece, nel caso più generale di una funzione g() variabile (in modo coninuo) genericamene nel empo, come nelle figure.8 e.9, la sua velocià di variazione deve essere calcolaa come dg/d. 6

7 U.D. 2: SEGNALI ELETTRICI Richiami dal corso di Fisica Tensione elerica La ensione elerica (anche dea "differenza di poenziale" o "d.d.p.") è legaa ad un accumulo di cariche eleriche. Più cariche saiche sono preseni in un puno, maggiore è la ensione in quel puno; a cariche posiive corrispondono ensioni posiive, menre a cariche negaive corrispondono ensioni negaive. La ensione elerica (nel seguio chiamaa semplicemene ensione) si misura in vol (V). Inensià di correne elerica L inensià di correne elerica (nel seguio chiamaa semplicemene correne) è legaa al movimeno di cariche eleriche araverso un maeriale conduore. Analizziamo il comporameno di un rao di maeriale conduore rappresenao in Fig..0, ai capi del quale è applicaa una d.d.p. V ipoizzaa cosane nel empo. q e Fig..0 Il generico elerone libero di carica negaiva q e si muove dal puno a poenziale negaivo a quello a poenziale posiivo in quano su di esso, per la legge di Coulomb, agiscono conemporaneamene: - una forza elerica di arazione verso il poenziale posiivo - una forza elerica di repulsione dal poenziale negaivo. Tale moo ineressa ui gli eleroni liberi preseni nel rao di conduore esaminao; se n è il numero degli eleroni, la carica elerica complessiva che si muove, vale: Q e = n*q e Se prendiamo in considerazione un inervallo di empo, in ale inervallo di empo una generica sezione del conduore sarà ineressaa da un passaggio di carica elerica Q e. Se la quanià di carica Q e varia linearmene, possiamo calcolare la velocià di variazione Qe I = La velocià di variazione così calcolaa rappresena quella che viene chiamaa "Inensià di correne elerica", ovvero la carica elerica complessiva Q e che araversa una generica sezione del conduore nell inervallo di empo. La correne si misura in ampere (A) e la carica elerica si misura in coulomb (C); per la precedene equazione [A] = [C/ s]. Nel caso più generale di ensione applicaa variabile nel empo, l inensià di correne elerica che circola nel conduore si definisce come: dqe i() = d 7

8 Circuio elerico elemenare Gli elemeni che, collegai ra loro, cosiuiscono un circuio elerico elemenare (Fig..) sono: - un generaore G (di ensione o di correne) - un componene elerico elemenare U (E uno dei componeni elerici Resisore Condensaore Induore) che, collegao ad un generaore, caraerizza il comporameno del circuio). Le connessioni eleriche ra generaore e componene sono affidae a fili conduori (ipoizzai di resisenza nulla). A G I U Fig.. Generaore di ensione E un disposiivo eleronico che, nel empo, rende disponibile ra i suoi due erminali una differenza di poenziale V. Ai fini del nosro sudio supporremo ale d.d.p. di valore indipendene dal carico (generaore ideale di ensione) In relazione al generaore di Fig.., indicai con A e B i suoi erminali, risula V = V A - V B. Nello sudio dei circuii eleronici è molo uile collegare uno dei due erminali a massa (GND), scegliendolo come puno di riferimeno. Se il puno B viene collegao a massa, il suo poenziale viene considerao nullo, cioè V B = 0 per cui la d.d.p. del generaore coincide con il poenziale del puno non connesso a massa, ovvero V = V A = V La Fig..2 mosra quano deo. A B V Fig..2 B Generaore di correne E un disposiivo eleronico che, nel empo, rende disponibile all uscia di uno dei suoi erminali una correne elerica I. Ai fini del nosro sudio supporremo ale correne di valore indipendene dal carico (generaore ideale di correne) Con riferimeno al generaore di Fig..3, indicai con A e B i suoi erminali, un generaore di correne eroga araverso uno dei suoi erminali (ad esempio A) una correne cosane di valore I. A I I Fig..3 B 8

9 Segnali canonici Nello sudio dei Sisemi Eleronici ci ineresseremo prevalenemene di grandezze fisiche di ipo elerico: una grandezza elerica variabile nel empo viene chiamaa segnale. Precisiamo che, affinché una grandezza variabile sia definia segnale, deve accadere che le sue variazioni non siano casuali ma rispondano a deerminae esigenze. In queso caso si dice che la grandezza ha un conenuo informaivo. Giuso per inenderci, la ensione che alimena una sufa non è un segnale, perché fornisce solo energia e nessuna informazione; la ensione che viene generaa da un microfono è un segnale, perché varia in modo da riprodurre fedelmene le variazioni di pressione generae dal suono. In relazione alle grandezze eleriche che i generaori rendono disponibili ai propri erminali, abbiamo già fao la classificazione in: - generaori di ensione - generaori di correne e con riferimeno a dea classificazione, parleremo nel seguio di segnali in ensione o segnali in correne. Ci sono ceri segnali che ineressano in modo paricolare il nosro sudio, perché vengono uilizzai per compiere indagini sul comporameno di un deerminao sisema; ali segnali vengono chiamai segnali canonici e le funzioni che li rappresenano vengono dee funzioni canoniche. In relazione alla forma d onda dei segnali elerici, si può fare la seguene classificazione: a) segnale cosane b) segnale a gradino c) segnale impulsivo d) impulso di Dirac e) onda quadra f) onda riangolare g) segnale a rampa lineare h) segnale a rampa parabolica i) segnale sinusoidale Nel seguio indicheremo con leere minuscole le grandezze variabili nel empo, menre con leere maiuscole indicheremo grandezze e parameri cosani nel empo. a) Segnale cosane Un segnale cosane, è un segnale del ipo v() = E ovvero i() = I con E ed I valori cosani di ensione in Vol, o di correne in Ampere. v() ; i() E ; I Fig..4 b) Segnale a gradino Analizziamo ora il generaore di Fig..5, idenico a quello di Fig..2 o.3, salvo prevedere la presenza di un inerruore T in grado di collegare e scollegare il generaore dal circuio. In linea di principio un generaore di queso ipo fornisce al circuio al quale è collegao un segnale a gradino, in ensione di ampiezza E o in correne di ampiezza I. 9

10 T G Fig..5 Rappreseniamo graficamene v() o i(); nell ipoesi di inerruore inizialmene apero, indicando con c l isane in cui l inerruore si chiude, l andameno nel empo dei segnali in ensione o in correne è quello di Fig..6. v() ; i() E ; I Fig..6 c Un segnale il cui andameno sia come quello di Fig..6 prende il nome di segnale a gradino di ampiezza E o di ampiezza I Nel caso paricolare in cui risuli E = o I =, si parla di gradino uniario. c) Segnale impulsivo Analizziamo il generaore di Fig..7, idenico a quelli di Fig..2 o.3, salvo prevedere la presenza di un pulsane P in grado di collegare e scollegare il generaore dal circuio. In linea di principio un generaore di queso ipo fornisce al circuio al quale è collegao un segnale in ensione o in correne, di ipo impulsivo, di ampiezza E od I e di duraa. Il prodoo E * prende il nome di impulso di ensione (V*s); il prodoo I * prende il nome di impulso di correne (A*s) P G Fig..7 Rappreseniamo graficamene v() ed i(); nell ipoesi di pulsane normalmene apero, indicando con l inervallo di empo durane il quale il pulsane viene premuo e quindi enuo chiuso, l andameno nel empo dell impulso di ensione o dell impulso di correne è quello di Fig..8. v(); i() E - I Fig..8 0

11 Un segnale il cui andameno sia come quello di Fig..8 prende il nome di impulso reangolare. L impulso reangolare è un segnale del ipo ovunque nullo ranne che nell inervallo di empo considerao. L impulso di Fig..8 è un impulso ideale in quano si è ipoizzao che il frone di salia (ransizione basso alo, rappresenaa con ) ed il frone di discesa (ransizione alo basso rappresenaa con ) si verificano in un inervallo di empo nullo. In realà ali commuazioni non sono mai isananee. d) Impulso di Dirac Un impulso di Dirac δ() è una asrazione eorica, perché rappresena un impulso di duraa infiniesima ma di ampiezza infinia e ale che l area da esso soesa (ampiezza*duraa) è uguale a. Nella Fig..9 è rappresenao un impulso reangolare come quello esaminao al precedene puno c), di base h ed alezza /h, la cui area vale: A = h * /h =. δ() /h Fig..9 h Se, parendo dall impulso di Fig..9 si fa endere h a zero, l ampiezza /h ende ad un valore infinio ma il valore dell area resa sempre uniario: si oiene in al modo la rappresenazione dell impulso di Dirac come mosrao in Fig..20. δ() Fig..20 e) Segnale ad onda quadra Un segnale ad onda quadra è una successione periodica di livelli ali e bassi che si alernano in modo simmerico. Dall andameno di Fig..2 a) si possono rarre le segueni proprieà: - il segnale ad onda quadra è un segnale periodico: ciò significa che dopo un inervallo di empo pari a T, chiamao periodo, il suo andameno si ripee idenicamene nel empo. Il periodo T si misura in secondi (s). Il periodo può essere misurao ra due successivi froni di salia o di discesa. - L inverso del periodo T è chiamao frequenza del segnale: f = /T ; la frequenza si misura in Herz (Hz). Essa coincide con il numero di periodi che si ripeono in un secondo. T T H T L Fig..2 a)

12 Il segnale di Fig..2 a) è di ipo bipolare, ovvero assume, nel periodo T, valori posiivi (durane T H ) e negaivi (durane T L ). Un segnale ad onda quadra può anche essere di ipo unipolare, ovvero può assumere, nel periodo T, solo valori posiivi o solo valori negaivi; il segnale di Fig..2 b) è di ipo unipolare posiivo. T T H T L Fig..2 b) Il periodo T può essere diviso in due pari: T H, in cui il segnale è a livello alo, e T L, in cui il segnale è a livello basso; ovviamene T = T H + T L. Il rapporo TH δ = T + T H L T = T H prende il nome di "duy cicle". Nell'onda quadra (Fig..2 a) T H = T L = /2 T δ = 0,5 - Se δ 0,5 T H T L La forma d'onda viene definia "reangolare". - Se δ << 0,5 T H << T L La forma d'onda è cosiuia da una successione di "impulsi posiivi" (Fig..2 c). Fig..2 c) - Se δ >> 0,5 T H >> T L La forma d'onda è cosiuia da una successione di "impulsi negaivi" (Fig..2 d). Fig..2 d) 2

13 f) Onda riangolare Un onda riangolare è una successione periodica di rampe lineari cresceni e decresceni che si alernano in modo simmerico (vedi Fig..22 a). Nella Fig..22 b), invece, è rappresenaa una paricolare onda riangolare, non più simmerica, che viene dea, per la sua forma, "a dene di sega". Per enrambe le forme d'onda si definiscono un periodo ed una frequenza come per l'onda quadra. \ T Fig..22 a) T Fig..22 b) g) segnale a rampa lineare Un segnale a rampa lineare è un segnale che cresce linearmene con il empo; nella Fig..23 sono rappresenai due ipi di rampa. - La rampa che per = 0 assume valore 0 (rampa che passa per l origine), è un segnale di equazione g() = K *. Essendo K il coefficiene angolare della rea che rappresena il segnale, si comprende come, al variare del suo valore, vari al pendenza della rea. Per K = g() =. - La rampa che per = 0 assume valore diverso da 0 (rampa che non passa per l origine), è un segnale di equazione g() = K * + k 0 dove k 0 è il valore che assume la rampa in corrispondenza dell isane di empo = 0. v() ; i() k 0 Fig..23 3

14 h) segnale a rampa parabolica Un segnale a rampa parabolica è un segnale che cresce nel empo secondo la Fig..24. Tale segnale ha una equazione del ipo g() = K * 2 che è l equazione di una parabola. 25 v(); i() 20 5 Fig i) segnale sinusoidale Un segnale sinusoidale è un segnale che varia nel empo secondo la funzione rigonomerica seno: ha una equazione del ipo g() = sen φ ed il suo andameno nel empo è mosrao in Fig..25. L angolo φ può essere considerao come l'angolo percorso da un segmeno uniario ruoane con velocià angolare ω = φ/ (la velocià angolare è un rapporo ra angolo e empo), per cui lo si può esprimere come: φ = ω *. L equazione g() = sen φ divena allora: g() = sen ω in cui viene evidenziaa la dipendenza dal empo. Se al segmeno uniario si sosiuisce un segmeno avene ampiezza pari al valore massimo del segnale, indicao con V M ale valore, un segnale sinusoidale può essere descrio da una equazione del ipo: v() = V M sen ω. 2 v() ; i() T 2 φ Fig..25,5 0,5 0-0, ,5-2 Dall andameno di Fig..25 si possono rarre le segueni proprieà: - il segnale sinusoidale è un segnale periodico: ciò significa che dopo un inervallo di empo pari a T, chiamao periodo, il suo andameno si ripee idenicamene nel empo. Il periodo T si misura in secondi (s). - L inverso del periodo T è chiamao frequenza del segnale: f = /T ;la frequenza si misura in Herz (Hz). Essa coincide con il numero di periodi che si ripeono in un secondo. 4

15 - Si dimosra che ω = 2π/T = 2π*f. Il ermine ω = 2πf prende il nome di pulsazione; la pulsazione si misura in radiani/secondo (rad/s, come una velocià angolare) j) Segnale esponenziale In relazione ai segnali che possono ineressare un sisema, è ipica quello esponenziale; perano si riiene uile richiamare le principali caraerisiche di due paricolari funzioni esponenziali. La prima è del ipo g() = k * e a dove k ed a sono cosani. Il suo andameno nel empo è mosrao in Fig..26. Ricordiamo che e 0 = per cui la risposa del ipo g() = k * e a nell isane iniziale = 0, pare dal valore iniziale k. Si enga presene che all aumenare di il ermine e a ende a: a) 0, se a < 0 b), se a = 0 c) +, se a > 0 La rapidià con cui la risposa varia dipende dal valore di a: maggiore è il valore assoluo della cosane a, più rapidamene la risposa varia nel empo. 3,5 v() ; i() 3 2,5 2 a > 0 a = 0 Fig..26,5 a < 0 0,

16 La seconda è del ipo g() = k ( - e -a ) dove k ed a sono cosani posiive. Il suo andameno nel empo è mosrao in Fig..27 v() ; i() 2,5 2,5 Fig..27 0, In queso secondo caso la risposa è del ipo g() = k ( - e a ) = k k* e a ; nell isane iniziale = 0 pare dal valore 0 ( k k * = 0). Considerando poi che all aumenare di il ermine k* e a ende a zero, la risposa g() ende al valore finale k. 6

17 U.D. 3: COMPONENTI ELETTRICI ELEMENTARI I componeni elerici elemenari sono re: il resisore, il condensaore e l induore. Tali componeni sono a due erminali e ra essi è presene la corrispondene grandezza elerica caraerisica. Nel seguio si ricaveranno i modelli maemaici dei componeni elerici elemenari. Resisore Il resisore è un componene realizzao con opporuni maeriali resisivi che consenono di oenere un prefissao valore della sua grandezza elerica caraerisica: la resisenza elerica R. Tale grandezza è chiamaa in queso modo perché esprime, in una misura diversa a seconda dei casi, la sua capacià di opporsi al passaggio della correne. Il simbolo circuiale è quello di figura. R R = Resisenza elerica Analizziamo il comporameno di un resisore inserio nel circuio di Fig V R I Fig..28 Dalla legge di Ohm si ricava: V = R * I (.) L equazione. rappresena il modello maemaico del resisore. Il valore di resisenza R rappresena la cosane di proporzionalià ra ensione elerica applicaa ad un maeriale e la corrispondene correne che circola in esso. L analisi della. ci consene di fare le segueni considerazioni: se la correne in un resisore è nulla, ai suoi capi non si genera alcuna ensione. se, viceversa, in un resisore la correne è diversa da zero, ai suoi capi si genera una ensione il cui valore è imposo dalla. e quindi dipendene dall enià della resisenza elerica. Esempio.3 Calcolare la correne che circola in un resisore di 2Ω quando ad esso è applicaa una ensione di 6V. I = V/R = 6/2 = 3 A La relazione: R = V / I (.2) rapporo ra la ensione presene ai capi di un resisore ed il corrispondene valore di correne che in esso circola, ci fornisce la definizione di resisenza elerica come la ensione che si genera ra due puni di un maeriale quando ra quei due puni circola una correne di Ampere. L'unià di misura è l Ohm (Ώ): [Ώ] = [V/A]. 7

18 Esempio.4 Calcolare la ensione che si genera ai capi di un resisore di 5Ω quando è araversao da una correne di,5 A. V = R*I = 5*,5 = 7,5 V Un resisore percorso da correne si riscalda, rasformando una poenza elerica in calore (effeo Joule); essa vale: Pj = V R * I = R * I * I = R * I 2. La poenza elerica si misura in wa (W) L energia elerica dissipaa si misura in Joule e vale: Condensaore E R = Pj * = R * I 2 * Il condensaore è un componene cosiuio da due lamine mealliche (armaure) ra le quali viene inerposa una sosanza isolane (dielerico). La ipologia di maeriale meallico impiegao per le armaure non ha nessuna imporanza, menre quella del maeriale dielerico è deerminane per caraerizzare la sua grandezza elerica caraerisica: la capacià elerica. Il simbolo circuiale è quello di figura. C = Capacià elerica Analizziamo il comporameno di un condensaore inserio nel circuio di Fig V C I +Q -Q Fig..29 Il legame ra le grandezze in gioco è: Q = C* V (.3) Il valore di capacià C rappresena la cosane di proporzionalià ra carica elerica accumulaa sulle armaure e la corrispondene ensione che ra esse si genera. La relazione: C = Q / V rapporo ra la carica elerica presene sulle armaure del condensaore ed il corrispondene valore di ensione presene ai suoi capi, ci fornisce la definizione di capacià di un condensaore come la quanià di elericià che esso può immagazzinare quando ra le sue armaure la d.d.p. è di Vol. L'unià di misura della capacià è il Farad (F): [F] = [C/V]. Tale unià è molo grande per cui nella praica le capacià dei condensaori si misurano uilizzando i soomulipli: µf (micro Farad = 0-6 F); nf (nano Farad =0-9 F); pf (pico Farad =0-2 F). 8

19 Per una variazione di ensione V la (.3) divena: Q = C* V (.4) Dividendo ambo i membri della (.4) per, avendo indicao con l inervallo di empo durane il quale avvengono le variazioni di ensione e di carica, si oiene: Q/ = C* V / (.5) Essendo, per definizione, Q/ = I (correne che provvede a porare cariche sul condensaore), in definiiva si oiene V I = C * (.6) Per inervalli di empo molo piccoli la (.6) si rasforma nella (.7) dv I = C * d (.7) in cui è saa inrodoa la derivaa della ensione. L equazione.7 rappresena il modello maemaico del condensaore. Si può noare quano segue: in corrispondenza di inervalli di empo durane i quali la ensione si maniene cosane (anche ad un valore diverso da 0), la correne che circola nel condensaore è nulla; in corrispondenza dell inervallo di empo durane il quale la ensione varia, il condensaore è ineressao da una correne di valore diverso da zero. In alre parole la legge (.7) ci rivela che un condensaore è ineressao da un passaggio di correne solo in presenza di ensioni variabili. Se la ensione viene manenua cosane, la correne è nulla. Inolre, la correne è proporzionale, araverso C, non alla ensione ma alla velocià con cui la ensione varia. Queso significa che, in presenza di ensioni anche elevae ma cosani la correne è nulla, menre in presenza di ensioni anche di piccolo valore ma variabili con grande velocià la correne può essere molo elevaa. Ovviamene, in correne coninua, dove uo è cosane, il condensaore si compora come un circuio apero perché non è ineressao da alcun passaggio di correne. Esempio.5 Calcolare la correne che circola in un circuio con capacià C = 4 µf solleciao da una variazione lineare di ensione V = 6V applicaa per un inervallo di empo = 2 ms. La velocià di variazione della ensione applicaa vale: V/ = 6/2*0-3 = 3 V/ms = 3* 0 3 V/s I = C * V/ = 4*0-6 * 3*0 3 = 2 ma Se la velocià di variazione V/ raddoppia, riducendo ad esempio = ms e manenendo la sessa V = 6V, la velocià di variazione raddoppia divenando: V/ = 6/*0-3 = 6 V/ms = 6* 0 3 V/s; in queso caso si oiene una I = 24 ma. 9

20 Quando ra le armaure del condensaore non è presene alcuna carica elerica, la d.d.p. ra i suoi erminali è nulla ed il condensaore si dice scarico. Quando, a causa dell accumulo di cariche eleriche sulle armaure, la ensione ai capi del condensaore cresce, si parla di carica del condensaore. Al ermine della fase di carica, il campo elerico che si genera ra le armaure immagazzina una energia che è espressa da: Ec = ½ C * V 2 Quesa energia dipende dal valore della capacià e dal valore finale raggiuno da V. Tale energia viene resiuia all ao della scarica del condensaore, ovvero quando la ensione ai suoi capi, inizialmene diversa da zero, riorna al valore V = 0. Induore L induore è un componene cosiuio da un filo conduore che, piegao ad elica cilindrica, forma un avvolgimeno avene un cero numero di spire ravvicinae; ale sruura prende anche il nome di bobina. Il maeriale che evenualmene funge da supporo a ale avvolgimeno acquisa proprieà magneiche nel momeno in cui l avvolgimeno è percorso da correne. Le proprieà magneiche sono noevolmene diverse a seconda della ipologia di maeriale e ciò è deerminane per caraerizzare la sua grandezza elerica caraerisica: l induanza. Il simbolo circuiale è quello di figura. L L = Induanza Un induore è per sua naura un componene che presena una resisenza elerica praicamene nulla (si dice che è un coro circuio per le correni cosani); in regime saico, quindi, la circolazione di correne deve necessariamene essere limiaa da un resisore poso in serie. Analizziamo il comporameno di un induore inserio nel circuio di Fig I L V Fig..30 Il legame ra le grandezze in gioco è: Φ C = L*I (.8) dove Φ C è il flusso magneico concaenao con l induore. Il valore di induanza L rappresena la cosane di proporzionalià ra la correne che circola nell'induore ed il corrispondene flusso magneico che in esso si genera. La relazione: L = Φ C / I rapporo ra il flusso magneico concaenao con l'induore ed il corrispondene valore di correne che l'ha generao, ci fornisce la definizione di induanza come la quanià di flusso magneico concaenao prodoo da una correne di Ampere. L'unià di misura dell'induanza è l' Henry (H): [H] = [Weber/Ampere] = [Vol*Secondo/Ampere] = [Ohm*secondo]. Olre all'unià principale, vengono anche uilizzai i soomulipli: 20

21 mh (milli Henry = 0-3 H); µh (micro Henry = 0-6 H). Per una variazione di correne I la (.8) divena: Φ C = L* I (.9) Dividendo ambo i membri della (.9) per, avendo indicao con l inervallo di empo durane il quale avvengono le variazioni di correne e flusso concaenao, si oiene: Φ C / = L* I / Essendo, per definizione, Φ C / = V (ensione ai capi dell'induore), in definiiva si oiene V = L* I (.0) Per inervalli di empo molo piccoli la (.0) si rasforma nella (.) di V = L* d (.) in cui è saa inrodoa la derivaa della ensione. L equazione. rappresena il modello maemaico dell induore. Si può noare quano segue: in corrispondenza di inervalli di empo durane i quali la correne si maniene cosane (anche ad un valore diverso da 0), la ensione ai capi dell induore è nulla; in corrispondenza dell inervallo di empo durane il quale la correne varia, ai capi dell induore si presena un valore di ensione V diverso da zero. In alre parole la legge. ci rivela che ai capi di un induore compare una ensione solo quando la correne che lo araversa varia nel empo. La siuazione opposa a quella visa per il condensaore; in queso caso è la ensione ad essere proporzionale, araverso L, non alla correne ma alla velocià con cui la correne varia. Quindi la ensione indoa è piccola quando la correne varia lenamene (è nulla per correni cosani) menre divena anche molo grande quando la correne varia velocemene. In correne coninua, dove uo è cosane, l induore si compora come un corocircuio perché la correne che lo araversa genera una ensione indoa nulla. Infine, soolineiamo che, come il condensaore ende a manenere cosane la ensione ai suoi capi, così l'induore ende a manenere cosane la correne che lo araversa. Esempio.6 Calcolare la ensione ai capi di un induore di induanza L = 4 mh quando, in corrispondenza di un inervallo di empo = 2 ms ci sia una variazione lineare di correne I =6mA La velocià di variazione della correne inviaa vale: I/ = 6*0-3 /2*0-3 = 3 A/s V = L * I / = 4 * 0-3 * 3 = 2mV 2

22 Se la velocià di variazione I/ raddoppia, riducendo ad esempio = ms e manenendo la sessa I = 6mA, la velocià di variazione raddoppia divenando: I/ = 6*0-3 /*0-3 = 6 A/s ; in queso caso si oiene una V = 24 mv. Quando l'induore non è araversao da correne, si dice scarico. Quando, invece, è araversao da una correne I, cosane o variabile, accumula una energia eleromagneica che vale E L = ½ L * I 2 Quesa energia dipende dal valore dell'induanza e dal valore finale raggiuno da I. Tale energia viene resiuia all ao della scarica dell'induore, ovvero quando la correne, inizialmene diversa da zero, riorna al valore I = 0. Da uo quano si è deo fino ad ora, si inuisce che il comporameno dell induore è duale rispeo a quello di un condensaore, nel senso che il comporameno della correne che circola in un induore è analogo al comporameno della ensione che si manifesa ai capi di un condensaore e, viceversa, il comporameno della ensione che si crea ai capi di un induore è analogo al comporameno della correne che ineressa un condensaore. 22

23 MODULO 2: STUDIO NEL DOMINIO DEL TEMPO U.D.: COMPORTAMENTO DEI COMPONENTI ELETTRICI ELEMENTARI Resisori Un pariore di ensione resisivo è un semplice circuio con due resisenze in serie (araversae dalla sessa correne), che suddivide la ensione oale V in due ensioni, V ai capi di R e V 2 ai capi di R 2 (Fig. 2.). Le 2. e 2.2 rappresenano le relazioni esiseni ra le ensioni parziali V e V 2, da un lao, e la ensione oale V dall'alro. + E v () R i() R 2 v 2 () Fig. 2. v ( ) = E * R v ( ) = E * 2 R + R R2 R + R 2 2 (2.) (2.2) Analizziamo il comporameno del circuio di Fig. 2.. Alimeniamo il circuio con un segnale a gradino di ampiezza E, fornio dal generaore di ensione, e cerchiamo di meere in relazione ra loro la ensione E, la correne i e la ensione su una delle due resisenze (ad esempio v 2 ). Se osserviamo la Fig. 2.2, scopriamo che, a pare la diversià dei valori (che dipendono dalle resisenze), le grandezze prese in esame hanno un andameno idenico e, soprauo, sono allineae nel empo. v() E i() E/(R +R 2 ) v 2 () R 2 E * R + R 2 0 Dalla Fig. 2.2 possiamo allora dedurre quano segue: Fig. 2.2 "Se applichiamo una ensione V ad un pariore resisivo, la correne che circola nel circuio e le ensioni che si formano sulle due resisenze, assumono un valore che dipende dalla legge di Ohm, senza però alcun riardo. " 23

24 Condensaori ed induori Vogliamo esaminare, così come abbiamo fao per il resisore, le rispose che forniscono un condensaore ed un induore ad una solleciazione a gradino. Sappiamo che il condensaore e l induore sono componeni in grado di accumulare energia durane la fase di carica per poi resiuirla all ao della scarica. L accumulo e la resiuzione di energia non può avvenire isananeamene; perano, a differenza di un circuio resisivo, in un circuio capaciivo o induivo la risposa ad un gradino di ensione non è immediaa ma presena un cero riardo. Non avendo ancora le conoscenze maemaiche necessarie per deerminare l evoluzione nel empo di quesi segnali, procederemo visualizzando i loro andameni in laboraorio, in modalià reale o simulaa mediane apposii programmi sofware. Tali andameni sono sai ricavai considerando la risposa al gradino dei sisemi di ipo RC ed RL: la presenza di un resisore in serie alla capacià ed all induanza ha il solo scopo di eviare funzionameni in coro circuio. Risposa al gradino di un circuio RC E + R i c 0 E i() C v C () E/R v c 0 Fig. 2.3 E 0 Fig. 2.4 Gli andameni di i c () e v c () sono riporai in Fig Da ale figura si evince che la correne i c (), dopo un picco iniziale che vale E/R (quando il condensaore è compleamene scarico), si aenua a mano a mano che le armaure del condensaore si caricano, fino ad annullarsi compleamene. La ensione ai capi del condensaore v c (), parendo da un valore iniziale nullo, assume il suo valore finale v c () = E non isananeamene ma con un cero riardo (inerzia della ensione). Valuiamo dal puno di visa dimensionale l unià di misura del prodoo R * C: [R * C ] = [V/A] * [C/V] = [C/A] = [C * s / C] = [sec]. Il prodoo R*C prende il nome di cosane di empo, si indica con τ (si legge au) e si misura in secondi. Inrodoa la cosane di empo, si può ora affermare che il riardo con il quale il circuio raggiunge i valori finali (regime) è pari a 4 5 vole la cosane di empo. In alre parole la duraa della fase ransioria dipende dai valori di C ed R 24

25 Esempio 2. Un circuio caraerizzao da R = 5KΏ e C = 0µF viene solleciao da un segnale a gradino in ensione di valore 8V. Calcolare la duraa della fase ransioria. La cosane di empo del circuio vale: τ = R * C = 5*0 3 * 0*0-6 = 50*0-3 = 50 ms La condizione di regime (Vc = 8V) verrà perano raggiuna dopo un empo = 5* τ = 250 ms Risposa al gradino di un circuio RL E + R i L 0 E i() L v L () E/R Fig. 2.5 v L E 0 0 Fig. 2.6 Gli andameni di i L () e v L () sono riporai in Fig Da ale figura si evince che la correne i L (), parendo da un valore iniziale nullo, assume il suo valore finale i L () = E/R non isananeamene ma con un cero riardo (inerzia della correne), menre la ensione, dopo un picco iniziale che vale E (quando l'induore è compleamene scarico), si aenua a mano a mano che l'induore si carica, fino ad annullarsi compleamene. Valuiamo dal puno di visa dimensionale l unià di misura del rapporo L/R: [L/R] = [H/Ώ] = [Ώ*s/ Ώ ] = [sec]. Il rapporo L/ R prende il nome di cosane di empo, si indica con τ e si misura ancora in secondi. Anche per il circuio induivo si può affermare che il riardo con il quale il circuio raggiunge i valori finali (regime) è pari a 4 5 vole la cosane di empo. In alre parole la duraa della fase ransioria dipende dai valori di L ed R Esempio 2.2 Un circuio caraerizzao da R = 00 Ώ ed L = H viene solleciao da un segnale a gradino in ensione di valore 8V. Calcolare la duraa della fase ransioria. La cosane di empo del circuio vale: τ = L/R = /00 = 0,0 = 0ms La condizione di regime verrà perano raggiuna dopo un empo = 5* τ = 50 ms. 25

26 U.D. 2: MODELLO MATEMATICO, NEL DOMINIO DEL TEMPO, DI UN SISTEMA ELETTRICO RLC A queso puno meiamo insieme i re ipi di componeni elerici che abbiamo sudiao (resisore, induore e condensaore) e cerchiamo di deerminare il modello maemaico del circuio complesso che ne viene fuori. Chiameremo queso circuio "Ree RLC" dalle iniziali dei componeni usai (vedi Fig. 2.7). V R V L V C T R + L E C I Fig. 2.7 Facciamo noare che l'inerruore T serve a generare un gradino di ensione sul gruppo RLC e che, essendo i re componeni in serie, la correne I che li araversa è unica. Applicando il II Principio di Kirchhoff, possiamo scrivere (dopo la chiusura dell'inerruore): E = V R + V L + V C Ricordando che il legame che si genera ra ensione e correne per ogni componene elemenare è rappresenao dai modelli maemaici, rispeivamene, (.), (.) e (.7), possiamo scrivere: E = R* I + di L* d + C * (I * d ) (2.3) L equazione 2.3 rappresena il modello maemaico del sisema elerico RLC Spendiamo qualche parola sull'ulimo ermine della (2.3). dv Dalla (.7) sappiamo che I = C * ; a noi però ineressa ricavare l'espressione della ensione V in d funzione della correne I. Possiamo scrivere allora dv = * I * d (formula inversa). C Ma quesa è solo una piccola variazione di ensione sul condensaore; per avere ua la ensione accumulaa, occorre sommare ui i conribui dv che si susseguono nel empo, per cui abbiamo V C = dv = * I * d C Essendo /C cosane, può essere porao fuori dal segno di sommaoria, oenendosi in queso modo l'ulimo ermine della (2.3). A queso puno si pone il problema di deerminare l'espressione della correne e qui sorgono le difficolà, perché la (2.3), come si vedrà più avani negli sudi, è una paricolare equazione chiamaa equazione differenziale, la cui risoluzione è alquano complessa. Nello sudio dei Sisemi si preferisce seguire un percorso alernaivo: quello della "Trasformaa di Laplace". 26

27 MODULO 3: STUDIO NEL DOMINIO DI LAPLACE Trasformaa di Laplace Rinunciando per il momeno alla definizione rigorosa di operazione di rasformazione secondo Laplace, facciamo solo osservare che con l impiego della rasformaa si passa da funzioni del ipo f(), che sono funzioni del empo, a funzioni del ipo F(s) che sono funzioni di una nuova variabile, indicaa con s. Tale variabile è definia nel seguene modo: s = σ + jω (è un numero complesso), e prende il nome di variabile complessa. Tuo quano deo si può rappresenare in modo schemaico come segue: f() = FUNZIONE NEL DOMINIO DEL TEMPO rasformaa di Laplace F(s) = FUNZIONE NEL DOMINIO DI s Il seguene simbolismo L[ ] indica l operazione di rasformazione sulla funzione f(): L[ f()] = F(s) Ciò premesso, riporiamo di seguio re proprieà della rasformaa di Laplace che saranno molo imporani per la ricerca di quel percorso alernaivo, di cui si è deo alla fine del Modulo 2, che ci consenirà di risolvere in modo più sbrigaivo i problemi legai ai circuii elerici. Se indichiamo con F(s) la rasformaa di f(), la rasformaa dell operazione k * f(), con k cosane, è: L[k * f()] = k * L[f()] = k * F(s) (3.) Queso significa che, quando occorre rasformare una funzione che è moliplicaa per una cosane, basa rasformare la sola funzione e moliplicare il risulao per la cosane. Se indichiamo con F(s) la rasformaa di f() e con G(s) la rasformaa di g(), la rasformaa dell'operazione f() + g() (somma delle due funzioni) è: L[f() +g()] = L[f()] + L[g()] = F(s) + G(s) (3.2) Queso significa che, quando occorre rasformare la somma di due funzioni, basa rasformare separaamene le due funzioni e poi sommare le rasformae così oenue. Se indichiamo ancora con F(s) la rasformaa di f(), la rasformaa dell operazione df()/d è: L[df()/d ] = s * L[f()] = s * F(s) (3.3) Queso significa che, quando occorre rasformare una funzione che è la derivaa di un'alra funzione, basa rasformare la seconda funzione e moliplicare il risulao per s. 27

28 Modelli maemaici dei componeni elerici nel dominio di s Alla luce di quano deo, ricaviamo i modelli maemaici del resisore, del condensaore e dell induore nel dominio di s, a parire dai modelli maemaici degli sessi rappresenai, nel dominio del empo, dalle (.), (.) e (.7). Uilizziamo le leere minuscole per indicare grandezze eleriche variabili nel empo, enendo presene che le grandezze eleriche rasformae secondo Laplace non dipendono più dal empo. - Resisore Modello maemaico nel dominio del empo: v() = R * i(). Indicando con V(s) la rasformaa di v() e con I(s) la rasformaa di i(), la proprieà (3.) ci consene di scrivere: V(s) = L[v() ] = L[R * i() ] = R * L[i()] = R * I(s) quindi V(s) = R * I(s), da cui si ricava il Modello maemaico nel dominio di s: V(s) = R* I(s) ( 3. 4 ) La (3.4) ci dice che anche nel dominio di s vale la legge di Ohm; inolre la resisenza R è ancora definia come rapporo ra ensione e correne. V(s) R = I(s) ( 3. 5 ) - Condensaore Modello maemaico nel dominio del empo: i() = C * dv / d. Indicando con V(s) la rasformaa di v() e con I(s) la rasformaa di i(), le proprieà (3.) e (3.3) ci consenono di scrivere: I(s) = L[i()] = L[C * dv /d ] = C * L[dv/d] = C * s * L[v()] = C * s * V(s) quindi I(s) = C* s* V(s), da cui si ricava il Modello maemaico nel dominio di s: V(s) = sc * I(s) ( 3. 6 ) La (3.6) ci dice che nel dominio di s anche per un condensaore vale la legge di Ohm, a condizione di definire il rapporo ra ensione e correne nel seguene modo: V(s) Z C (s) = = I(s) sc (3.7) Z C (s) ha le sesse dimensioni di una resisenza ([Ω]) e viene dea "Impedenza del condensaore". - Induore Modello maemaico nel dominio del empo: v L () = L * di / d. Indicando con V(s) la rasformaa di v() e con I(s) la rasformaa di i(), le proprieà (3.) e (3.3) ci consenono di scrivere: 28

29 V(s) = L[v()] = L[L * di /d ] = L* L[di /d ] = L * s * I(s) quindi V(s) = L * s * I(s), da cui si ricava il Modello maemaico nel dominio di s: V(s) = sl* I(s) (3.8) La 3.8 ci dice che nel dominio di s anche per un induore vale la legge di Ohm a condizione di definire il rapporo ra ensione e correne nel seguene nodo: V(s) Z L (s) = = sl I(s) (3.9) Z L (s) ha le sesse dimensioni di una resisenza ([Ω]) e viene dea " Impedenza dell'induore". Ricapiolando, nel dominio di s: a) I modelli maemaici dei componeni non conengono più la variabile empo. b) I ermini Z C (s)=/sc e Z L = sl, omogenei con R, vengono chiamai impedenza c) L inroduzione delle impedenze Z C (s) e Z L (s) consene di esendere la legge di Ohm anche ai componeni condensaore ed induore d) Con le precisazioni di cui sopra, ai sisemi elerici coneneni induanze e capacià si possono applicare ue le leggi valide per i circuii puramene resisivi. Alla luce di quano deo, riprendiamo in esame il circuio di Fig. 2.7 (Mod.2 U.D.2) e ricaviamo il modello maemaico. Sosiuiamo al condensaore e all'induore le rispeive impedenze Z C (s) e Z L (s), come indicao nella Fig. 3.. Semplicemene per non complicare la figura ed i passaggi maemaici, evieremo di usare, accano alle grandezze eleriche in gioco, l'indicazione (s) che indica la loro dipendenza dalla variabile s; queso però non ci deve far dimenicare che quesa dipendenza esise. V R V L V C T R + Z L E Z C I Fig. 3. Ricordiamo ancora che l'inerruore T serve a generare un gradino di ensione sul gruppo RLC e che, essendo i re componeni in serie, la correne I che li araversa è unica. Applicando il II Principio di Kirchhoff, possiamo scrivere (dopo la chiusura dell'inerruore): E = V R + V L + V C Rappresenando il legame che si genera ra ensione e correne per ogni componene elemenare nella nuova vese descria con le (3.4), (3.8) e (3.6), possiamo scrivere: 29

30 Meendo in evidenza la correne I oeniamo: E = R * I + Z L * I + Z C * I E = (R + Z L + Z C ) * I (3.0) L equazione 3.0 rappresena il modello maemaico del sisema elerico RLC Tale equazione è di ipo algebrico e non di ipo differenziale come quella descria dalla 2.3 ricavaa nel Mod.2 U.D.2. E evidene che in queso caso si può calcolare immediaamene la correne I dalla formula inversa della 3.0. Il ermine in parenesi (R + Z L + Z C ) spesso viene deo "impedenza equivalene" ed indicao con Z eq, per cui la 3.0 divena E = Z eq * I (3.) L'impedenza equivalene Z eq rappresena una unica quanià che pora in cono gli effei di ui i resisori, gli induori e i condensaori preseni nel circuio. L impiego della Trasformaa di Laplace ha semplificao il modello maemaico del sisema, rasformando una equazione differenziale in una equazione algebrica e consenendo di svolgere sul circuio delle operazioni algebriche che prima non erano consenie.. 30

31 MODULO 4 : INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI SISTEMI U.D : DEFINIZIONE DI SISTEMA E DI PROCESSO Sisema Il conceo di sisema è qualcosa di così generale che non è facile darne una definizione semplice ed esausiva. Quella che meglio approssima il conceo è la seguene: "Un sisema è un insieme di pari che ineragiscono ra loro per perseguire un obieivo comune" Una biciclea, ad esempio, è cosiuia da ane pari (pedali, ruoe, manubrio, caena, ecc.) che, prese da sole magari non hanno alcun significao, ma che, unie insieme, formano un complesso che consene di far sposare una persona in modo relaivamene agevole. Tale insieme può essere considerao un sisema. Qualunque sia il sisema considerao, esso può essere rappresenao con uno schema a blocchi, come indicao nella Fig. 4.. SISTEMA disurbi ingressi parameri variabili di sao funzione di rasferimeno uscie Fig. 4. In relazione alle variabili eserne relaive al SISTEMA si hanno: Gli ingressi. Sono le solleciazioni (o ecciazioni) che dall eserno vengono applicae al sisema e lo cosringono a fare delle cose. Nel caso della biciclea, possiamo pensare alla forza applicaa sui pedali per farla procedere e/o al movimeno di roazione dao al manubrio per farle cambiare direzione. I disurbi. Sono solleciazioni anomale ed indesiderae che dall eserno vengono applicae al sisema e che ne condizionano il comporameno in modo più o meno sensibile. Nel caso della biciclea possiamo immaginare la presenza di irregolarià del piano sradale (che producono sobbalzi nel movimeno della biciclea) e/o ad un piano sradale che preseni salie o discese. Le uscie. Sono le rispose che il sisema dà verso l eserno per effeo delle solleciazioni ricevue (ingressi). Nel caso della biciclea, una uscia è cosiuia dalla sua velocià, in modulo e direzione. In relazione alle caraerisiche inerne del sisema si hanno: I parameri. Sono i valori che possono assumere ceri elemeni inerni al sisema che ne caraerizzano il funzionameno. Nel caso della biciclea possiamo pensare alla sua massa espressa in Kg. Risula evidene che due biciclee aveni masse diverse preseneranno comporameni diversi a parià di forza sui pedali (due sisemi con parameri diversi rispondono in modo diverso ad una idenica solleciazione). 3

32 Le variabili di sao. Rappresenano grandezze fisiche inerne al sisema che possono assumere valori paricolari per ener cono dello sao inerno (o semplicemene "sao") del sisema, cioè della condizione in cui si rova quando viene solleciao. La considerazione di uno sao del sisema consene di giusificare il fao che lo sesso sisema, in empi diversi, risponde in modo diverso alle solleciazioni cui viene sooposo. Nel caso della biciclea, ui sono in grado di rendersi cono che lo sforzo che è necessario applicare ai pedali quando ci si mee in moo è molo più consisene di quello necessario per manenere in moo la biciclea. Confronando le due siuazioni, possiamo affermare che il sisema biciclea si rova in due sai diversi: nel primo deve vincere le forze di ario e, soprauo, le forze di inerzia dovue alla massa oale (persona + biciclea); nel secondo caso deve vincere solo le forze di ario che la biciclea inconra durane il percorso (a velocià cosane le forze di inerzia sono nulle). La funzione di rasferimeno. In quesa fase definiamo funzione di rasferimeno il generico legame analiico ra ingresso ed uscia. Processo L insieme delle funzioni che un sisema svolge prende il nome di processo. Si disingue quindi la pare sruurale (sisema) da quella funzionale (processo). Nel caso della biciclea, il sisema è cosiuio dalla biciclea sessa, il processo è rappresenao dall ao di rasporare una persona; la grandezza fisica che idenifica il processo legao alla biciclea può essere la velocià. Conrollare un processo significa eseguire una serie di operazioni che consenano ad una o più grandezze fisiche che idenificano il processo di assumere dei valori desiderai, indipendenemene da evenuali disurbi che dovessero sopraggiungere. Nel caso della biciclea un conrollo di processo porebbe essere quello di manenere cosane la sua velocià. Se all ingresso del sisema biciclea è presene una ecciazione cosane (forza applicaa sui pedali), in condizione di percorso in piano, la velocià resa cosane. Evidenemene le cose cambiano nel caso di un percorso in salia: ad un ingresso cosane corrisponde una riduzione di velocià. La salia può essere consideraa una solleciazione indesideraa, eserna al sisema, che ne condiziona il comporameno (definizione daa per i disurbi); un percorso in salia può perano rappresenare un uleriore esempio di disurbo che agisce sul sisema. Volendo conrollare il processo (manenere la velocià cosane) si deve aumenare la forza applicaa sui pedali. La regolazione della forza applicaa sui pedali per manenere la velocià cosane è una operazione che viene denominaa conrollo di processo. Quando ale conrollo viene eseguio dall uomo, si parla di conrollo manuale; quando è il sisema sesso ad auoregolarsi, senza l'inerveno dell'uomo, si parla di conrollo auomaico. Dall esempio svolo si può rarre una definizione generale di conrollo di processo: "Il conrollo di processo è l insieme delle operazioni che consenono ad una o più variabili fisiche del processo di assumere (a meno di un cero errore) dei valori desiderai (valori di riferimeno), indipendenemene dalla presenza di solleciazioni eserne al sisema, non conrollabili, idenificae come disurbi." 32