ELOGIO DELLA PIGRIZIA: IL PRINCIPIO DI MINIMA AZIONE

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1 ELOGIO DELLA PIGRIZIA: IL PRINCIPIO DI MINIMA AZIONE CARLANGELO LIVERANI 1. Lagrangana Dato un sstema N partcelle soggette a forze conservatve, possamo scrvere le equazon Newton come (1.1) Mẍ = U ove x : R R, M è una matrce efnta postva e U C 2 (R, R) una funzone etta potenzale. Accae che tal equazon possono essere alternatvamente escrtte attraverso una funzone L C 2 (R 2, R) efnta a (1.2) L(x, y) = 1 y, My U(x). 2 Tale funzone L è etta Lagrangana e etermna elle equazon fferenzal, per la funzone ncognta x C 2 (R, R ), efnte a (1.3) t yl(x(t), ẋ(t)) x L(x(t), ẋ(t)) = 0. Tal equazon sono ette equazon Lagrange. Eserczo 1.1. S mostr che le equazon Lagrange assocate alla Lagrangana (1.2) sono esattamente le equazon Newton (1.1). Lo scrvere le equazon el moto n forma lagrangana ha svarat vantagg, l prmo è una maggore facltà nel cambo coornate. Infatt, sa Ξ C 2 (R, R ) un ffeomorfsmo allora s ha l seguente fonamentale fatto. Teorema 1.2. S conser l cambo coornate x = Ξ(q) allora the equazon Newton (1.1) nelle coornate q concono con le equazon Lagrange per la Lagrangana L(ξ, η) = L(Ξ(ξ), DΞ(ξ)η). 1 Proof. Prma tutto occorre calcolare come sono fatte le equazon (1.1) nelle nuove coornate. S not che ẋ = DΞ(q) q (1.4) ẍ = qj qk Ξ (q) q j q k + qj Ξ (q) q j j,k j q (U Ξ)(q) = ( xj U) Ξ(q) q Ξ j (q). j Date: Versone May 15, Normalmente s abusano le notazon e la nuova funzone L vene chamata nuovamente L, sebbene sa ovvamente una funzone fferente. Inoltre s tene a scrvere ql(q, q) e q L(q, q) (nvece ξ L(ξ, η) e η L(ξ, η)) sebbene tal espresson, per quanto ntutve, non abbano molto senso. Nel seguto m conformerò a questa scutble, ma convenente, trazone. 1

2 2 CARLANGELO LIVERANI Pochè Ξ è un ffeomorfsmo DΞ eve essere nvertble, qun le equazon (1.1) sono equvalent a DΞ T Mẍ = DΞ T U(x) = [ (U Ξ)] Ξ 1 (x). Ovvero, poneno Ũ = U Ξ e usano le (1.4) s ha (1.5) q Ξ l M l,r qj Ξ r q j = q Ũ. D altro canto l,j,k,r q Ξ l M l,r qj qk Ξ r q j q k + l,j,r L(q, q) = 1 2 q, DΞT (q)mdξ(q) q Ũ(q) q L = j,k,l qr Ξ j M j,k q ql Ξ k q l q r q Ũ q L = l,r,j q Ξ l M l,r qj Ξ r q j t q L = l,r,j,k qk q Ξ l M l,r qk qj Ξ r q j q k + l,r,j q Ξ l M l,r qj Ξ r q j e nsereno queste espressone nelle equazon Lagrange (1.3) s ottengono esattamente le (1.5), come annuncato. Il vantaggo cambare faclmente coornate è partcolarmente evente quanto s conserano sstem vncolat. S conser l caso Mẍ(t) = U(x) + R(t) (1.6) Φ(x) = 0 R(t), v = 0 per tutt v R tal che DΦ(x(t))v = 0. Dove R sono le reazon vncolar ncognte. Φ C 2 (R, R m ), m <, esprme l vncolo e s assume che DΦ abba rango massmo a ogn punto. Infne, l ultma rga esprme l prncpo e lavor vrtual ovvero (parlano un poco mpropramente) che le forze vncolar al tempo t non compono lavoro su qualunque moto compatble col vncolo nel punto x(t). Pochè l rango DΦ è massmo, l teorema ella funzone mplcta c ce che localmente (ovvero nell ntorno qualunque punto assegnato) esste una funzone Ξ C 2 (V, R ), ove V è un aperto R m, tale che per ogn q V s ha Φ(Ξ(q)) = 0. Dunque se conseramo solo mot el tpo x(t) = Ξ(q(t)), quest sosfano automatcamente l vncolo. Inoltre, fferenzano, s ha DΦDΞ = 0. Infne, pochè l kernel Φ eve essere m mensonale, tutt vettor tal Dφ v = 0 s possono esprme come v = DΞw per qualche w R m. Questo sgnfca che, per ogn w R m eve essere R(t), DΞ(q(t))w = 0 ovvero l prncpo e lavor vrtual è equvalente a (1.7) DΞ(q(t)) T R(t) = 0. Possamo qun moltplcare la prma elle (1.6) per DΞ T e ottenere (1.8) DΞ T Mẍ = DΞ T U(x) Queste sono m equazon fferenzal per le m funzon ncognte q(t). C samo unque rott a un problema n cu a un lato sono state elmnate le reazon

3 ELOGIO DELLA PIGRIZIA 3 vncolar e che ha l gusto numero equazon per etermnare le rmanent ncognte. Eserczo 1.3. S usno le (1.4) per scrvere esplctamente le (1.8) n termn elle funzon q e s verfch che concono con le equazon Lagrange per la Lagrangana L(q, q) = 1 2 q, DΞT (q)mdξ(q) q U(Ξ(q)). Remark 1.4. Abbamo unque vsto, che ato un sstema vncolato con vncol eal (ovvero che sosfano l prncpo e lavor vrtual), le equazon el moto possono essere faclmente ervate prma cambano varable nella Lagrangana e po usano le equazon Lagrange per la Lagrangana così ottenuta. 2. Azone Un altro mportante uso ella Lagrangana è quello efne un altra sorprenente funzone: l azone. Questa è una funzone efnta su un nseme un poco strano: un nseme funzon! Veamo essere pù precs: per ogn, t 1 R e A, B R s conser l nseme (etto nseme e mot) M t0,t 1 (A, B) = {q C 1 ([, t 1 ], R ) : q( ) = A, q(t 1 ) = B}. 2 Possamo unque efnre la funzone S : M t0,t 1 (A, B) R come (2.1) S(q) = L(q(s), q(s))s. Sccome una funzone funzon può sembrare alquanto nusuale, vene spontaneo cheers qual propretà abba, per esempo: è contnua? è fferenzable? è convessa? etc. Un attmo rflessone mostra che per rsponere a tal omane occorre prma tutto charre che sgnfcano. Per esempo, una funzone f : R n R è contnua se solo se per ogn successone convergente x n s ha lm n f(x n ) = f(lm n x). C s può cheere se la stessa cosa sa vera per S, ma per rsponere occorre prma spegare che sgnfca convergere per una successone element M t0,t 1 (A, B). A questa omana s possono are molte rsposte e approfonre questo tema c porterebbe allo stuo elle possbl topologe per uno spazo nfnto mensonale. Questo è al fuor e nostr scop attual, c accontentamo qun ella seguente efnzone che, sperablmente, l lettore troverà naturale: remo che una successone {q n } M t0,t 1 (A, B) converge a q M t0,t 1 (A, B) se lm sup n s [,t 1] q n (s) q(s) + sup s [,t 1] q n (s) q(s) = 0. Eserczo 2.1. S mostr che con la nozone convergenza appena ntrootta M t0,t 1 (A, B) è uno spazo completo, ovvero: ogn successone Cauchy è convergente. In analoga col caso fnto mensonale remo unque che S è contnua n q se, per ogn {q n } che converge a q s ha lm n S(q n ) = S( q). Eserczo 2.2. S mostr che se L C 0 allora S è contnua. B. 2 Ovvero tutt mot che, pateno al tempo t0, nel tempo t 1 vanno al punto A al punto

4 4 CARLANGELO LIVERANI Che re ella fferenzabltà? Una funzone a f : R n R è fferenzable n x se esste una funzone lneare L : R n R n tale che f(x + h) f(x) L(h) lm = 0. h 0 h Tale funzone L s chama ervata e s scrve D x f h = x f, h = L(h). 3 Dunque per parlare fferenzabltà occorre ntrourre una funzone lneare. Sfortunatamente M t0,t 1 (A, B) non è uno spazo lneare e qun non ha senso parlare funzon lnear su M t0,t 1 (A, B). Eserczo 2.3. S mostr che se q, q M t0,t 1 (A, B) allora q q M t0,t 1 (0, 0). Inoltre s most che M t0,t 1 (0, 0) è uno spazo vettorale sul campo e real. In analoga con l caso fnto mensonale possamo unque stuare S(q + h) S(q) ove q M t0,t 1 (A, B) e h M t0,t 1 (0, 0). Inoltre su M t0,t 1 (0, 0) possamo ntrourre la norma h C 1 = sup h(s) + s [,t 1] sup s [,t 1] ḣ(s). Eserczo 2.4. S mostr che C 1 è una norma su M t0,t 1 (0, 0). 4 Eserczo 2.5. S mostr che M t0,t 1 (0, 0) è uno spazo completo rspetto alla norma C 1, ovvero che ogn successone Cauchy è convergente. 5 Dremo unque che S è fferenzable n q M t0,t 1 (A, B) se esste una funzone lneare L q : M t0,t 1 (0, 0) R tale che, per ogn successone {h n } M t0,t 1 (0, 0) tale che lm n h n C 1 = 0 s ha Oppure, pù brevemente, S(q + h n ) S(q) L q (h n ) lm = 0. n h n C 1 S(q + h) S(q) L q (h) lm = 0. h 0 h C 1 Naturalmente remo che L q è l fferenzale S n q (per essere precs s chama fferenzale Fréchet). Lemma 2.6. Se L C 1 allora la funzone S è fferenzable n ogn q M t0,t 1 (A, B) e s ha che { } L q (h) = q L(q(s), q(s))ḣ + q L(q(s), q(s))h (s) s. Proof. Usano la formula Taylor al prmo orne s ha L(q(s) + h(s), q(s) + ḣ(s)) =L(q(s), q(s)) + q L(q(s), q(s))h (s) + q L(q(s), q(s))ḣ(s) + o( h C 1). 3 Infatt una funzone lneare a R n a R è entfcata unvocamente a un vettore, tale vettore è appunto xf cu element sono le ervate parzal ella f, ovvero x f. 4 S rcor che, ato uno spazo vettorale V sul campo e real, una funzone : V R+ è una norma se: 1) x > 0 per ogn x V, x 0; 2) λx = λ x per ogn x V e λ R; 3) x + y x + y per ogn x, y V. 5 Gl spaz vettoral normat e complet s chamano spaz Banach.

5 ELOGIO DELLA PIGRIZIA 5 Dunque S(q + h) S(q) = + q L(q(s), q(s))h (s)s q L(q(s), q(s))ḣ(s)s + o( h C 1). Il Lemma segue mmeatamente all ultma equazone. Vsto che abbamo l fferenzale, è naturale stuare punt stazonar, ovvero mot q per cu L q = 0. Rsulta che tal mot sono molto specal, comncamone lo stuo. Come al solto, se assumamo un poco pù ottenamo un rsultato pù precso. Lemma 2.7. Se L C 2 e q C 2 allora s ha che L q (h) = 0 per ogn h M t0,t 1 (0, 0) se e solo se q sosfa le equazon Lagrange con conzon q( ) = A, q(t 1 ) = B. Proof. Per la necesstà basta notare che L q (h) = q L(q(s), q(s))h (s)s t q L(q(s), q(s)) h (s)s ove abbamo ntegrato per part e rcorato che h( ) = h(t 1 ) = 0 e che, per potes, q L(q( ), q( )) C 1. Se nfatt le equazon Langrange non fossero sosfatte, allora essterebbe un e un ntervallo temp n cu q L(q(s), q(s)) t q L(q(s), q(s)) non s annulla ma. Moltplcano per una h supportata n tale ntervallo e con h 0 s avrebbe qun un ntegrale non nullo contraramente alle potes. La suffcenza segue al fatto che se q sosfa le equazon Lagrange allora L q (h) = 0. È nteressante notare che l potes q C 2 n realtà è molto meno forte quanto possa sembare a prma vsta. Lemma 2.8. Se L C 2 e q M t0,t 1 (A, B) è stazonara e la matrce q qj L(q, q) è nvertble, allora q C 2 ((, t 1 ), R ). Proof. Il fatto che q sa stazonaro sgnfca che per ogn h M t0,t 1 (0, 0) s ha L q (h) = 0. Qun L q (h) = + = q L(q(s), q(s)) ḣ (s 1 )s 1 s q L(q(s), q(s)) ḣ(s)s { s } q L(q(s 1 ), q(s 1 ))s 1 + q L(q(s), q(s)) ḣ (s)s.

6 6 CARLANGELO LIVERANI Ora s not che se g C 0 ([, t 1 ], R ), allora h(t) = t g(s)s t t0 t1 t 1 g(s)s M t0,t 1 (0, 0). Pochè ḣ = g 1 g(s)s =: g α g, segue che se G C 1 e t 1 G, ḣ = 0 per ogn h M,t 1 (0, 0), allora [ 0 = G(s), g(s) α g s = G(s) 1 t 1 ] G(s 1 )s 1, g(s) s, per ogn g C 0 ([, t 1 ], R ). Questo mplca che, per ogn s [, t 1 ], s q L(q(s 1 ), q(s 1 ))s 1 + q L(q(s), q(s)) c = 0 per opportune costant c. A questo punto s not che la conzone nvertbltà ella matrce q qj L(q, q) è esattamente quello che occorre per applcare l teorema ella funzone mplcta e esprmere q come una funzone C 1. Infatt H(s) = t 1 s ql(q(s 1 ), q(s 1 ))s 1 e G(s, x) = q L(q(s), x) sono C 1 per potes. Dunque, poneno F (s, x) = H(s) + G(s, x) c, l teorema ella funzone mplcta afferma che F (s, x) = 0 ha una unca soluzone q(s) e q C 1. Abbamo unque l fatto notevole che S ha ervata nulla sulle soluzon elle equazon Lagrange. Certo rmane la cosa un poco strana che nvece avere un problema Cauchy (ovvero specfcare q( ), q( )) s specfcano valor elle sole poszon agl estrem ell ntervallo temporale conserato. Vene naturale omanars che relazone c sa tra questo problema a bor e l problema Cauchy. Prma affrontare questo problema mostramo un altra propretà sorprenente ell azone. In questo caso assumamo che L C 3 (R 2, R). Teorema 2.9. Se = 1 e esste m > 0 tale che nf x,y 2 yl(x, y) m, allora mot che sosfano le equazon Lagrange con conzon a bor q( ) = A, q(t 1 ) = B sono mnm local ell azone. Proof. Argomentamo come nel Lemma 2.6, ma questa volta svluppamo la Lagrangana fno al secono orne 6 L(q(s) + h(s), q(s) + ḣ(s)) = L(q(s), q(s)) + ql(q(s), q(s))h(s) + q L(q(s), q(s))ḣ(s) q q L(q(s), q(s))h(s) 2 + q q L(q(s), q(s))h(s)ḣ(s) q q L(q(s), q(s))(ḣ(s))2 + o(h(s) 2 + (ḣ(s))2 ). A questo punto s not che, pochè le ervate mste sono ugual vsto che L C 2, (2.2) q q L(q(s), q(s))h(s)ḣ(s) = 1 q q L(q(s), q(s)) 2 s (h(s)2 ) = 1 2 s q q L(q(s), q(s)) h(s) 2. 6 Vsto che sappamo allo stuo elle funzon a R n a R che massm e mnm penono alle proprtà ella ervata secona.

7 ELOGIO DELLA PIGRIZIA 7 D altro canto, pochè L C 3 e qun anche l orne elle ervate terze non ha mportanza, s q q L(q(s), q(s)) = q q q L(q(s), q(s)) q + q q q L(q(s), q(s)) q = q [ q q L(q(s), q(s)) q + q q L(q(s), q(s)) q] [ ] = q s ql(q(s), q(s)). Possamo unque usare le relazon preceent per scrvere, rcorano che le q sosfano le equazon Lagrange, (2.3) S(q + h) S(q) = 1 2 = 1 2 [ q q L(q(s), q(s))h(s) 2 + q q L(q(s), q(s))ḣ(s)2] s q 1 2 [ ] ( t1 s ql(q(s), q(s)) h(s) 2 s + o q q L(q(s), q(s))(ḣ(s))2 s + o ( m ( ) 2 (ḣ(s))2 s + o h(s) 2 + (ḣ(s))2. Per concluere s not che, usano la suguaglanza Schwarz, ) 2 h(s) 2 = ( ḣ(τ)τ (ḣ(τ))2 τ (t 1 ) h(s) 2 + (ḣ(s))2 h(s) 2 + (ḣ(s))2 ) (ḣ(s))2 s. Questo sgnfca che se h C 1 è suffcentemente pccolo, l errore n (2.3) è pù pccolo el prmo termne (che è postvo). In altre parole, per qualunque moto suffcentemente vcno a q l azone ha un valore pù grane S(q), ovvero q è un mnmo locale ell azone. A questo punto vene naturale cheers che cosa accae se > 1. Ovvamente s può proceere nello stesso moo anche se ora lo svluppo Taylor ella Lagrangana è pù complesso. Tuttava l argomento usato nell equazone (2.2) è sostanzalmente unmensonale. Non è qun strano che n pù menson l rsultato sa leggermente pù ebole. v, Teorema Se esste m > 0 tale che nf x,y nf 2 y L(x,y)v v v m e se t 2 1 è suffcentemente pccolo, allora mot che sosfano le equazon Lagrange con conzon a bor q( ) = A, q(t 1 ) = B sono mnm local ell azone. Proof. Nuovamente svluppamo la Lagrangana fno al secono orne L(q(s) + h(s), q(s) + ḣ(s)) = L(q(s), q(s)) + q L(q(s), q(s))h (s) + q L(q(s), q(s))ḣ(s) + 1 q qj L(q(s), q(s))h (s)h j (s) 2 j + q qj L(q(s), q(s))h (s)ḣj(s) + 1 q qj L(q(s), q(s))ḣ(s)ḣj(s) 2 j j + o( h(s) 2 + ḣ(s) 2 ). )

8 8 CARLANGELO LIVERANI In analoga con quanto fatto prma possamo scrvere S(q + h) S(q) = 1 2 m q qj L(q(s), q(s))h (s)h j (s),j + + o + o q qj L(q(s), q(s))ḣ(s)ḣj(s)s,j q qj L(q(s), q(s)) h (s)ḣj(s)s,j ( ( h(s) 2 + ḣ(s) 2 ḣ(s) 2 s C ) ) h(s) 2 + ḣ(s) 2, [ h(s) 2 + ḣ(s) h(s) ] s ove C è una costante etermnata al massmo el valore assoluto elle ervate secone lungo la curva q e abbamo usato la suguaglanza Schwartz nella forma [ ] 12 a a 2. =1 =1 D altro canto, n manera smle a quanto fatto nel caso unmensonale, 2 h(s) 2 = ḣ(τ)τ ḣ(τ) 2 τ (t 1 ) ḣ(s) 2 s. Per trattare l termne msto s not che 7 2 Da cu segue che h(s) ḣ(s) = S(q + h) S(q) 1 2 (t 1 ) 1 2 h(s) 2 + (t 1 ) 1 2 ḣ(s) 2 s. [ ] t 1 1 C(t 1 ) 1 2 ( ḣ(s) 2 s + o ḣ(s) 2). Qun nuovamente q è un mnmo locale a patto che C(t 1 ) 1 2 < 1. Tuttava s not che non abbamo mostrato che l azone ha sempre e mnm o, pù n generale, e punt stazonar. La cosa non è ovva come mostra l seguente esempo. Eserczo S conser la Lagrangana L(q, q) = 1 2 q2 1 2 q2, q R, e = 0 e t 1 = 2π. S mostr che l azone non ha punt stazonar n M t0,t 1 (0, 1). (Suggermento: se avesse punt stazonar allora ovrebbero sosfare le equazon Lagrange e q(0) = 0, q(2π) = 1. S rsolvano le equazon Lagrange e s vea che tal soluzon non esstono.) 7 Qu stamo usano la suguaglanza 2 ab δ 2 a 2 +δ 2 b 2 che s ottene banalmente al fatto che (δa δ 1 b) 2 0 e (δa + δ 1 b) 2 0.

9 ELOGIO DELLA PIGRIZIA 9 3. Esstenza e mnm e equazon fferenzal con conzon al boro Per concluere scutamo un attmo la relazone tra l problema Cauchy e l problema al boro che s ottene mnmzzano l azone. Come abbamo gà fatto nello stuo ell azone assumamo che essta m > 0 tale che, per ogn v R, (3.1) nf x,y v, 2 yl(x, y)v m v 2. Eserczo 3.1. S mostr che (3.1) mplca che la matrce con element q qj L è nvertble S not che le equazon Lagrange hanno la forma 2 q L q = G(q, q) per una qualche funzone G. Dunque possamo scrvere (3.2) q = [ 2 q L ] 1 G(q, q) = F (q, q). C samo così rott a elle equazon fferenzal el secono orne nella forma solta. S not che se L C 4 allora F C 2. Il rsultato base per charfcare l problema che c samo post è l seguente. Teorema 3.2. Data F C 2 (R 2, R ),, t 1 R e A, B R l problema q = F (q, q) q( ) = A, q(t 1 ) = B ammette una unca soluzone a patto che t 1 sa suffcentemente pccolo. Proof. L ea base è quella confrontare l problema con quello Cauchy per cu abbamo gà molt rsultat. A questo scopo è meglo trasformare l equazone partenza n una equazone el prmo orne: sa z = (q, p) R 2, q, p R, e F (z, λ) = (p, λf (q, p)), λ [0, 1], allora l equazone che c nteressa può essere scrtta come 8 ż = F (z, 1). La ragone per cu abbamo ntrootto l parametro λ è che l equazone ż = F (z, 0), z( ) = A, z(t 1 ) = B s può faclmente rsolvere esplctamente e la sua unca soluzone è z(t) = (A + (B A) t t0 t 1, (B A)(t 1 ) 1 ). Possamo qun conserare l problema Cauchy ż = F (z, λ) z(0) = (A, v). Sappamo che tale problema ha una unca soluzone z(t, v, λ) = (q(t, v, λ), p(t, v, λ)). Sembra qun naturale esprmere tale soluzone come funzone v, λ e cercare rsolvere l equazone (3.3) q(t 1, v, λ) B = 0. Se è possble (per λ = 1) questo fornsce una soluzone el nostro problema. L approcco ovvo è quello cercare usare l teorema ella funzone mplcta. Questo c ce che, n un ntorno λ = 0 e v = (B A)(t 1 ) 1 la equazone (3.3) 8 Questo non è un sstema molto furbo trasformare le equazon Lagrange n un sstema el prmo orne. Esste un formalsmo (l formalsmo Hamltonano) che permette farlo n manera molto pù effcente e profona. Tuttava per nostr scop è suffcente.

10 10 CARLANGELO LIVERANI ha una unca soluzone a patto che la matrce ata a ξ(t, v, λ) = v q(t, v, λ) sa nvertble per t = t 1. Il teorema sulla penenza fferenzable alle conzon nzal e a parametr mplca che z(t 1, v, λ) è una funzone fferenzable v e λ e noltre, poneno η(t, v, λ) = v p(t, v, λ) abbamo ξ = η η = q F (z)ξ + p F (z)η ξ(0) = 0 η(0) = 1. Pochè le equazon sono lnear sappamo che esste una costante C F C 1, tale che ξ(t) + η(t) e C(t t0). Dunque t t ξ(t) = η(s)s = 1(t ) + s q F (z(s 1 ))ξ(s 1 ) + p F (z(s 1 ))η(s 1 )s 1. Remark 3.3. S not che nelle rghe sopra abbamo ntrootto la norma una matrce. Questa non è efnta n moo canonco, esste tuttava una scelta partcolarmente felce: sa D una matrce allora efnamo Dv (3.4) D = sup v R \{0} v. Qun ξ(t 1 ) 1(t 1 ) s 2Ce C(s1 t0) s 1 Ce C(t1 t0) (t 1 ) 2. Possamo qun scrvere ξ(t 1, v, λ) = (t 1 ) [1 D] ove D Ce C(t1 t0) (t 1 ). Eserczo 3.4. S mostr che la (3.4) efnsce una norma nello spazo ella matrc. Inoltre s mostr che, ate comunque ue matrc D, E, s ha che DE D E. Eserczo 3.5. S mostr che se D < 1 allora 1 D è nvertble. (suggermento: s mostr che la sere n=0 Dn converge n norma e che qun efnsce una matrce E. S verfch che E(1 D) = (1 D)E = 1.) Dunque se Ce C(t1 t0) (t 1 ) < 1, allora ξ(t 1 ) è nvertble e l teorema ella funzone mplcta s applca per ogn λ suffcentemente pccolo. Questo sgnfca che per tal λ l nostro problema ha un unca soluzone e questa pene con contnutà a λ. Questo mplca che l nseme e λ per cu esste la soluzone è chuso. Sa λ 1 l suo supremo. Ma ora possamo fare lo stesso argomento parteno a λ 1 nvece che a zero. Per gl stess esatt argoment l teorema ella funzone mplcta s applcherà e otterremo una unca soluzone per tutt λ n un ntorno λ 1, contraramente all potes che λ 1 fosse l pù grane λ per cu essteva una soluzone. Qun l nostro problema ha una soluzone per tutt λ, e n partcolare per λ = 1, l che mplca l teorema. Abbamo così vsto che l problema al contorno etermnato al mnmzzare l azone ha una unca soluzone (a patto che lo s conser per temp suffcentemente pccol) e qun a un lato è equvalente a un qualche (pù convenzonale) problema Cauchy e all altro sgnfca che l azone eve avere un mnmo. S not nfne che sebbene la soluzone possa esstere per temp pù lungh, essa può non essere unca, come s evnce rsolveno seguent esercz.

11 ELOGIO DELLA PIGRIZIA 11 Eserczo 3.6. S conser la Lagrangana L 1 (x, ẋ) = 1 2 ẋ 2, q R 3 e sa ato l vncolo x = 1 (ovvero l moto s svolge sulla superfce ella sfera untara). S scrva la Lagrangana nelle coornate x = (cos θ sn ϕ, sn θ sn ϕ, cos ϕ) ove θ [0, 2π] e ϕ [0, π]. S facca lo stesso per la Lagrangana L 2 = ẋ e s mostr che ha gl stess punt stazonar L 1. Eserczo 3.7. S mostr che, per ogn T > 0, e M 0,T (A, B) con A = (0, 0, 1) e B = (0, 0, 1), l azone assocata alla Lagrangana L 1 ha nfnt punt stazonar. Eserczo 3.8. S not che l azone assocata alla lagrangana L 2 non è altro che la lunghezza ella curva su cu avvene l moto. S us questo fatto per are una nterpretazone geometrca egl esercz preceent. Carlangelo Lveran, Dpartmento Matematca, II Unverstà Roma (Tor Vergata), Va ella Rcerca Scentfca, Roma, Italy. E-mal aress: lveran@mat.unroma2.t