Appunti di Fisica Moderna. Ingegneria Elettronica, Ingegneria dei Modelli e dei Sistemi ed Ingegneria delle Telecomunicazioni. G.

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1 Apput d Fsca Modera Igegera Elettroca Igegera de Modell e de Sstem ed Igegera delle Telecomucazo G. Balestro

2 RICHIAMI SULLE ODE...3. Geeraltà...3. Ode trasversal e logtudal L equazoe d oda Ode susodal Ode susodal tramte espoezal d argometo mmagaro Veloctà d fase e veloctà d gruppo....7 Esercz...4 CEI DI MECCAICA QUATISTICA...6. Aspett quatstc delle ode elettromagetche...6. Aspett odulator delle partcelle dotate d massa La meccaca odulatora: l equazoe d Schrödger Sgfcato fsco della fuzoe d oda l prcpo d determazoe Equazoe d Schrödger dpedete dal tempo: stat stazoar ed evoluzoe temporale Alcu esemp d soluzoe dell equazoe d Schrödger dpedete dal tempo Partcella lbera (caso udmesoale) Buca d potezale a paret fte Buca d potezale a paret fte L'effetto tuel Oscllatore armoco udmesoale L atomo d drogeo Lo sp; boso e fermo; l prcpo d esclusoe d Paul Metall solat semcoduttor Esercz TERMODIAMICA STATISTICA Stat d u sstema termodamco Temperatura ed etropa Legge dell aumeto dell etropa Il fattore d Boltzma Eerga lbera d Helmotz Fuzoe d dstrbuzoe d Plack Potezale chmco e dstrbuzoe d Gbbs Potezale chmco del gas perfetto Somma d Gbbs Dstrbuzo d Ferm-Drac e Bose-Este Esercz...79

3 RICHIAMI SULLE ODE. Geeraltà La propagazoe odulatora è uo tra feome pù dffus fsca: s pes alle ode sulla superfce d u lqudo oppure alle ode acustche oppure alle ode elettromagetche o ache alla rappresetazoe odulatora delle partcelle mcroscopche come gl elettro. Pur essedo la atura de feome odulator così vara ess soo descrtt co lo stesso formalsmo matematco. I questa sezoe trodurremo alcu cocett fodametal eret la propagazoe per ode che potrao po d volta volta essere applcat a cas partcolar. I tutt cas l oda è caratterzzata da ua perturbazoe. La perturbazoe rappreseta lo spostameto d ua certa gradezza fsca rspetto al suo valore d equlbro. La atura fsca della perturbazoe vara a secodo del partcolare tpo d oda cosderato: ad esempo el caso d u oda che s propagh lugo u flo teso la perturbazoe rappreseta lo spostameto d u elemeto d lughezza dl del flo rspetto alla codzoe d equlbro (flo teso orzzotale) el caso d u oda acustca che s propagh ell ara la perturbazoe rappreseta la varazoe della destà locale dell ara rspetto al suo valore all equlbro el caso d u oda elettromagetca rappreseta la varazoe del campo elettromagetco rspetto al suo valore d equlbro. S potrebbe cotuare acora a lugo co gl esemp. I og caso è vero sempre che la perturbazoe che rappreseta u oda movmeto ello spazo è fuzoe sa del vettore poszoe r che. el caso cu l oda s propagh ua precsa drezoe dvduata dall asse x l vettore poszoe va sosttuto co l ascssa x. La fuzoe può assumere le forme pù svarate (ved ad esempo Fgura.-). del tempo t: ( rt) c (xt) X Fgura.- el caso dcato fgura la perturbazoe s sposta ad stat successv verso destra co veloctà c. Abbamo ora due possbltà: la forma della perturbazoe rmae mmutata al varare del tempo e qud l oda trasla rgdamete verso destra mateedo mmutata la sua forma; la traslazoe è accompagata da ua dstorsoe della forma d oda I geerale soo possbl etramb cas a secoda del partcolare problema d propagazoe per ode cosderato. el caso cu sa verfcata la prma alteratva dremo che l oda s sta propagado u mezzo o dspersvo metre el secodo caso dremo che l oda s propaga 3

4 Perturbazoe y y u mezzo dspersvo. L orge del terme dspersvo rferto al mezzo d propagazoe sarà charto pù avat. Suppoamo ora che l oda s propagh u mezzo o dspersvo e che qud la forma d oda o camb el tempo (fg..-) I Fgura.- è rappresetata ua perturbazoe progressva (che s muove el verso postvo dell asse x) due stat successv t o e t o + t. la forma della perturbazoe o camba: essa è semplcemete traslata d c t dove c rappreseta la veloctà d propagazoe dell oda. Cosderamo ora accato al sstema d rfermeto fsso xy u sstema x y movmeto co la stessa veloctà dell oda c. Se l mezzo è o dspersvo la perturbazoe apparrà cogelata el sstema d rfermeto moble: la forma della perturbazoe o s modfca al passare del tempo. I queste codzo la sarà esclusvamete fuzoe dell ascssa x e o dpederà dal tempo ((x )). D altro cato la legge d trasformazoe delle coordate quado s passa dal sstema d rfermeto fsso (xy) al sstema moble (x y ) è (avedo potzzato che all state zale t o le org de due sstem d rfermeto cocdao) xx +ct da cu s rcava x x-ct. Poché la forma d oda el sstema d rfermeto fsso ed quello moble cocdoo ((xt) (x )) possamo esprmere la fuzoe el sstema fsso come (x-ct) avedo sosttuto x co x-ct. el caso cu l oda s propagh el verso egatvo dell asse x (oda regressva) s otterrà aalogamete (x+ct). Tutto cò s può rassumere dcedo che ua geerca perturbazoe che s propagh u mezzo o dspersvo deve essere fuzoe della combazoe leare della varable poszoe e del tempo (x±ct) dove c rappreseta la veloctà d propagazoe dell oda metre l sego meo e pù s rferscoo rspettvamete ad ode progressve e regressve. Queste semplc cosderazo c cosetoo d cocludere che ua geerca fuzoe della poszoe e del tempo f(xt) può rappresetare u oda soltato se le a c t t t + t xx' Fgura.- Perturbazoe due stat successv u mezzo o dspersvo varabl x e t appaoo combazoe leare. Ad esempo qud la fuzoe f(xt)a(x-ct) è atta a rappresetare u oda metre o lo è la fuzoe f(xt)a(x -ct ).. Ode trasversal e logtudal Fgura.- c Ua prma classfcazoe delle ode può essere fatta base all agolo che la drezoe della perturbazoe e la drezoe d propagazoe dell oda formao tra d loro. el caso cu queste due drezo sao parallele le ode vegoo dette logtudal metre el caso esse sao mutuamete perpedcolar le ode vegoo dette trasversal. U esempo d oda trasversale è rappresetato da ua perturbazoe che s propaga lugo u flo teso: og elemeto del flo s sposta ella 4

5 drezoe perpedcolare al flo stesso metre l oda s propaga ella drezoe del flo. U esempo d oda logtudale è rappresetato dalle ode acustche e gas: questo caso la perturbazoe (varazoe della destà del gas rspetto al valore d equlbro) è dretta parallelamete alla drezoe cu s propaga l oda. La dffereza tra ode trasversal e logtudal è llustrata Fg..- cosderado l caso d ua fla d put materal d massa m separat codzo d equlbro da ua dstaza a e legat alla poszoe d equlbro da forze d tpo elastco. ella fgura alto le masse soo ferme ella poszoe d equlbro; ella fgura termeda le masse soo vestte da ua perturbazoe che s propaga lugo la catea spostado le masse stesse parallelamete alla drezoe d propagazoe; fe basso è rappresetata ua perturbazoe tale che lo spostameto è perpedcolare alla drezoe d propagazoe dell oda stessa..3 L equazoe d oda I u gra umero d sstem o dspersv caratterzzat da u precso valore all equlbro della gradezza fsca rlevate (ad esempo la destà gas oppure la poszoe d u elemeto d lughezza dl u flo teso) s osserva che el caso cu l sstema vega perturbato la perturbazoe ovverosa lo spostameto () della gradezza fsca rlevate dal suo valore codzo d equlbro soddsfa la seguete equazoe alle dervate parzal: x c t Eq..3- quest equazoe prede l ome d equazoe d oda. I questa forma essa è valda el caso d propagazoe ua dmesoe (asse x). S può verfcare a posteror che u oda vaggate qualsas rappresetata da u geerca fuzoe ( x ± ct) è soluzoe dell equazoe d oda. Per provarlo sosttuamo la fuzoe all tero dell equazoe d oda. A questo scopo è ecessaro calcolare prevetvamete le dervate parzal della rspetto alla poszoe x ed al tempo t. Idcado co ( ) la dervata prma (secoda) della fuzoe rspetto al suo argometo abbamo per la regola d dervazoe d fuzoe d fuzoe: ' ' ( x ± ct) e ' x x x ' ' ' ( x ± ct) ( c) e c t t t Queste espresso sosttute ell equazoe d oda.3- la redoo soddsfatta. Rcavamo ora l equazoe d oda per u caso partcolare. Cosderamo l problema d masse putform m dsposte lugo ua retta. Izalmete le masse soo equlbro dstazate d a (ved Fgura.3- ). Suppoamo che le masse sao collegate tra d loro da molle deal tutte ugual d costate elastca K e lughezza a rposo a. Izalmete og puto materale è equlbro. Ad u certo state uo de put vee spostato dalla codzoe d equlbro avvcadolo per esempo al puto alla sua destra. Lo spostameto darà luogo ad ua perturbazoe che s propagherà Fgura.3- Perturbazoe ua catea d atom vestta da u oda logtudale. 5

6 lugo la catea. Se dchamo co s lo spostameto del geerco puto dalla poszoe d equlbro la forza che agsce sul puto esmo potrà essere espressa come F + K( ) K( ) per l secodo prcpo della damca ma t m K( + ) + Eq..3- L accelerazoe è stata espressa tramte ua dervata parzale rspetto al tempo poché la perturbazoe è ache fuzoe della poszoe. Suppoamo ora che la lughezza d oda λ della perturbazoe sa molto maggore della separazoe spazale tra put (λ>>a). I questo caso detto lmte del cotuo s cosdera la varable poszoe come ua varable cotua. S potrà qud esprmere la perturbazoe el modo seguete: ( x) ( x a) ( x a) + + Eq..3- Ioltre poché la lughezza d oda è molto maggore d a la perturbazoe varerà d poco quado c s sposta d a. I queste codzo la perturbazoe potrà essere svluppata sere d Taylor ell toro d x coservado soltato term pù mportat dello svluppo: ( x a) a ( x) a + x a x +... x x ( x + a) ( x) + a Eq..3-4 Sosttuedo le espresso.3-3 e.3-4 ell equazoe.3- otteamo x m Ka t per cofroto co l espressoe.3- che rappreseta l equazoe d propagazoe delle ode verfchamo faclmete che la veloctà d propagazoe delle perturbazo lugo la catea è c a K m.4 Ode susodal Le ode possoo assumere le forme pù svarate. U caso partcolarmete mportate per motv che sarao char successvamete è quello delle ode che hao forma susodale. I questo caso la perturbazoe s rscrve come ( x ± ct) As[ k( x ± ct) ]. La costate k (detta umero d oda) deve essere msurata rad/m modo tale che l argometo del seo rsult u agolo msurato radat.. el caso d u oda susodale vegoo deft la lughezza d oda λ ed l perodo T. Queste due gradezze soo legate dalla relazoe c λ dove c prede l ome d T veloctà d fase. Per preservare la perodctà spazale λ della perturbazoe è ecessaro che la π costate k sa defta come k. La pulsazoe ω dell oda vee defta come ω π. S λ T π defsce ora l vettore d oda k come l vettore che ha modulo (umero d oda) drezoe λ parallela e verso cocorde alla drezoe d propagazoe dell oda. La veloctà d fase c può essere 6

7 ω ache espressa come c. Co le covezo esposte sopra la perturbazoe può essere scrtta k come π π As kx ± ct Askx ± t As( kx ± ωt) Eq..4- λ T dove ω vee detta pulsazoe. kx±ωt rappreseta la fase dell oda susodale ed A la sua ampezza. Il sego + s rfersce ad ode susodal regressve metre l sego a quelle progressve. L oda susodale scrtta come As( kx ± ωt) mplca che all state zale (t) la ell orge (x) sa ecessaramete ulla. Ovvamete questa crcostaza o sempre è verfcata. Per o perdere d geeraltà ell espressoe dell oda susodale s agguge u agolo ϕ o che rappreseta la fase zale (t x) all argometo della fuzoe seo: ( kx ω ) s t + ϕ A Eq..4- λ c t Fgura.4- Rappresetazoe d u oda susodale d veloctà c due stat successv Le ode susodal s prestao bee per studare gl effett d terfereza. Osservamo fatt che essedo l equazoe dfferezale delle ode leare se due fuzo f(xt) e g(xt) soo separatamete soluzo dell equazoe ache la loro combazoe leare lo è. Questa crcostaza vee espressa el cosddetto prcpo d sovrapposzoe che afferma che se due ode attraversao la stessa regoe d spazo la perturbazoe totale rsultate è costtuta dalla somma delle perturbazo dvdual: + el caso delle ode susodal questa crcostaza permette alcue teressat cosderazo. Suppoamo zalmete che due ode susodal avet lo stesso vettore d oda la stessa pulsazoe e la stessa ampezza A ma fase zale dversa s propagho etrambe el verso postvo dell asse x. La perturbazoe totale sarà allora espressa come: 7

8 ( kx ωt + ϕ ) + A ( kx ω ϕ ) + A s s t + Eq..4-3 Graze all dettà trgoometrca A + B A B s A + s B s cos Eq..4-4 ϕ ϕ ϕ + ϕ l Eq..4-5 potrà essere rscrtta come A cos skx ωt +. Quest espressoe rappreseta acora u oda vaggate co lo stesso vettore d oda k e la stessa ϕ + ϕ pulsazoe ω ma co fase zale par a ϕ ed ampezza cos ϕ A. I partcolare osservamo che se la dffereza tra ϕ e ϕ è par a π co umero tero qualsas allora l ampezza dell oda sarà par a A (ode fase) metre vece se la dffereza d fase è (+)π allora l ampezza è ulla (ode cotrofase). U altro caso teressate è quello cu terferscao due ode susodal d uguale ampezza d uguale vettore d oda ed uguale pulsazoe che s propagho lugo l asse x vers oppost. I questo caso la perturbazoe totale potrà essere espressa come: ( kx ωt + ϕ ) + A ( kx + ω ϕ ) t + + A s s Utlzzado la stessa dettà trgoometrca.4-3 otterremo questa volta ϕ + ϕ ϕ ϕ A skx + cosωt + Eq..4-6 La perturbazoe è rportata fgura.4- a dvers stat successv ell potes che etrambe le fas zal sao ulle. La perturbazoe così otteuta o rappreseta pù u oda vaggate fatt le varabl poszoe e tempo o compaoo combazoe leare ma soo separatamete argometo delle fuzo s e cos. La defta ell equazoe vee detta oda stazoara. t tt/8 t(/4)t t(3/8)t tt/ od vetr Fgura.4- Evoluzoe d u oda stazoara fuzoe del tempo x Dall aals dell equazoe.4-7 s osserva che l ampezza dell oda stazoara evolve el tempo come dcato fgura.4-. All state zale l ampezza è massma. Decresce dvetado ulla a u quarto d perodo e dveta massma egatva a metà perodo. Successvamete la perturbazoe evolve cclcamete co perodo T. I put e qual l ampezza delle oscllazo è sempre ulla vegoo dett od put cu l ampezza dell oscllazoe è massma vetr. I od rmagoo ferm el tempo e questa crcostaza mplca che o v sa propagazoe d eerga collegata co le ode stazoare. U ulterore classfcazoe delle ode può essere effettuata base alla forma del frote d oda. Il frote d oda è defto da tutt que put ello spazo che ad u certo state hao la stessa fase. Per esempo se s getta u sasso uo speccho d acqua traqullo s geerao de frot d oda crcolar (ode crcolar). I fg..4-3 soo rappresetate due ode partcolarmete rlevat: ode sferche (geerate da ua sorgete putforme) ed ode pae (geerate da ua sorgete molto lotaa). I etramb cas la lughezza d oda λ corrspode alla dstaza tra due frot d oda 8

9 k λ k cosecutv. La drezoe d propagazoe dvduata dal vettore d oda k è defta uvocamete el caso d ode pae metre vara da puto a puto ed è sempre dretta radalmete el caso d ode sferche. Fgura.4-3 Frot d oda sferc e pa.5 Ode susodal tramte espoezal d argometo mmagaro A volte può essere partcolarmete comodo rappresetare le ode susodal tramte espoezal d argometo mmagaro. A questo proposto rchamamo le equazo d Eulero: ϕ ϕ ϕ ϕ e e e + e se( ϕ) cos( x) Eq..5- combado le due equazo seme s ottee ϕ ϕ e cos( ϕ) + se( ϕ) e cos( ϕ) se( ϕ) L espoezale d argometo mmagaro è qud u umero complesso la cu parte reale è rappresetata dalla fuzoe cos(ϕ ) e la parte mmagara dalla fuzoe se(ϕ ). Il suo modulo è ϕ e ( seϕ ) + ( cos ) ϕ I Fg..5- vee rappresetata la fuzoe e ϕ el pao complesso. L espoezale d argometo mmagaro è rappresetato da u vettore d modulo utaro che forma u agolo ϕ co l asse Re. Al varare d ϕ tra zero e π l apce del vettore percorre ua traettora crcolare. La perturbazoe susodale sarà qud espressa come kxωt+ ϕ x t Ae Eq..5- ( ) ( ) dove ϕ rappreseta l evetuale fase zale. Im ϕ Re Fgura.5- Parte reale ed mmagara dell espoezale d argometo mmagaro L ampezza dell oda susodale sarà qud rappresetata dalla parte reale (o dalla parte mmagara) dell espoezale e ϕ. La rappresetazoe tramte espoezal d argometo mmagaro rsulta partcolarmete vataggoso rfermeto a pacchett d oda. Le perturbazo real che s propagao e mezz fsc o soo ma rappresetate da ode susodal deal. I pratca mezz d propagazoe real hao ecessaramete dmeso fsche fte. I queste codzo o è possble mmagare al suo tero la propagazoe d u oda susodale deale. ella realtà le perturbazo hao u estesoe lmtata ello spazo come ad esempo quella dcata fg..-. Le perturbazo real predoo l ome d pacchetto d oda. Il perché del terme pacchetto d oda sarà charo pù avat. L mportaza delle ode susodal derva dalla crcostaza che le perturbazo real possoo essere cosderate come la sovrapposzoe d u certo umero d ode susodal avet opportua ampezza. 9

10 Cosderamo fatt ua fuzoe perodca f(x) co perodo Λ quale ad esempo quella rappresetata Fg..5-. Se soo soddsfatte le codzo d Drchelet allora questa fuzoe potrà essere svluppata sere d Fourer πx f ( x) c co umero tero. Λ π Ovvero avedo defto k Λ c ( k x) f ( x) Eq..5-3 L equazoe.5-3 esprme la crcostaza che ua perturbazoe perodca co perodo Λ può essere espressa come la sovrapposzoe d u umero elevato (dealmete fto) d ode susodal co umero d oda multplo tero d π ed ampezza c Λ (compoet d Fourer). Spesso però soltato u umero lmtato d compoet cotrbuscoo effettvamete le altre avedo u ampezza c trascurable. k 'x co umero Moltplchamo ora l equazoe.5-3 prmo e secodo membro per ( ) tero ed tegramo l espressoe rsultate tra -Λ/ e Λ/. Otteamo così Λ Λ ( k x) f ( x) dx c ( ( k k ) x) Λ ' ' Eq..5-4 Λ π co k k ( ' ' ) Λ dx π m co m a sua volta umero tero. Λ Λ π ora è facle mostrare che l tegrale mxdx è par a Λ se m ( ) ed è ullo se m Λ Λ ( ). Ifatt se m l espoezale è par a e l tegrale f(x) Λ Λ Λ Λ dx Λ. Ivece se Λ m dal calcolo dell tegrale s ottee π mx Λ π m Λ Λ Λ ( πm ) ( πm ) π m Λ π m Λ. I base a questa propretà ella somma a secodo membro ell equazoe.5-4 rmae solo l terme tutt gl altr essedo ull: Fgura.5- Perturbazoe perodca co perodo Λ x Λ Λ ( k x) f ( x) ' dx c Λ ' A questo puto o è pù ecessaro mateere l apce al umero tero.

11 Potremo qud esprmere coeffcet c come: c Λ Λ Λ ( k x) f ( x) dx E possble ora sostture quest espressoe de coeffcet c ell equazoe.5-3 Λ f ( x) ( k x) f ( x) dx ( k x) Λ Λ π π Ora poché k segue che k k + k Λ Λ L equazoe.5-5 s potrà rscrvere el modo seguete: Eq..5-5 Λ f ( x) ( k x) f ( x) dx ( k x) k π Λ suppoamo ora che l perodo della fuzoe f(x) dvet molto grade Λ queste crcostaze k dk k potrà essere cosderata ua varable cotua e la somma potrà essere sosttuta co u tegrale: ( x) g( k) ( kx) f dk dove g( k ) f ( x) ( kx) dx π La f(x) e la g(k) predoo l ome rspettvamete d tegrale d Fourer e trasformata d Fourer Spesso s rdefsce la trasformata d Fourer G( k) ( π ) g( k ) F( x) G( k) ( kx) dk π tegrale d Fourer e otteedo fe: Eq..5-5 G( k) F( x) ( kx) dx Eq..5-6 π trasformata d Fourer. La rappresetazoe de pacchett d ode tramte l tegrale d Fourer dvee trasparete se s moltplca la F(x) per l fattore d dpedeza temporale (-ωt). I questo caso otteamo: G(k) k o k k Fgura.5-3 Trasformata d Fourer a grado d semlarghezza k a k

12 .5 a).5 b) ( x t) G( k) [ ( kx ωt) ] dk Eq..5-7 π I pratca l espressoe.5-7 rappreseta la sovrapposzoe d ode susodal co k dverso. Il peso relatvo delle compoet d dverso k è dato dalla trasformata d Fourer G(k). S può vedere faclmete che pù è stretta la fuzoe G(k) ello spazo de k meo è localzzata ello spazo reale la perturbazoe. I partcolare assumamo che la fuzoe G(k) sa defta el modo seguete: G(k) per k < k o - k e k > k o + k G(k)A per k o - k < k < k o + k I questo caso la (x) potrà essere rappresetata da k + k ( x) A( kx) k k - Fgura.5-4 Due pacchett d oda ello spazo reale corrspodet a due valor d k. La fuzoe G(k) è quella dcata Fg el caso del pacchetto d oda a) k è l doppo del valore d b). dk I fgura.5-4 vee rappresetata la perturbazoe per due dvers valor d k semlarghezza k del pacchetto d oda el rapporto a : k el caso della perturbazoe a) è l doppo d quella relatva alla perturbazoe b). S può osservare come la fuzoe G(k) pù estesa ello spazo k corrspoda al pacchetto d oda pù localzzato ello spazo reale (Fg..5-4 a)..6 Veloctà d fase e veloctà d gruppo Abbamo vsto come la veloctà co la quale s muove ua perturbazoe susodale d pulsazoe ω ω e umero d oda k sa par a c. Questa veloctà prede l ome d veloctà d fase. I alcu k cas la veloctà d fase dpede dalla lughezza d oda λ della perturbazoe. Se questo avvee s dce che l mezzo d propagazoe è dspersvo. Il rapporto tra pulsazoe e umero d oda o è pù costate ovvero la dpedeza tra pulsazoe e umero d oda o è pù espresso tramte ua semplce legge leare. I caso d propagazoe mezz dspersv sarà ecessaro esprmere ω come ua geerca fuzoe d k ω(k). La relazoe che lega la pulsazoe al umero d oda prede l ome d relazoe d dspersoe. La forma esplcta della relazoe d dspersoe dpederà dal partcolare caso cosderato. Esemp d propagazoe o dspersva soo la propagazoe della radazoe elettromagetca el vuoto e del suoo ell ara. U esempo d propagazoe dspersva è rappresetato dalle ode elastche e sold. -

13 ω ω (a) k (b) k Fgura.6- Due dverse curve d dspersoe: a) mezzo o dspersvo b) mezzo dspersvo I Fg..6- a) vee rappresetata la relazoe d dspersoe per u mezzo o dspersvo metre Fg..6- b) vee rappresetata la relazoe d dspersoe per u mezzo dspersvo. el prmo x x x 5 - Fgura.6- perturbazoe a t Perturbazoe a t t Perturbazoe a t t Mezzo o dspersvo Mezzo dspersvo caso la veloctà d fase è costate ed uguale alla pedeza delle semrette. el caso cu s abba propagazoe d u pacchetto d ode u mezzo dspersvo le dverse compoet d Fourer del pacchetto avrao veloctà d fase dversa. I queste codzo le compoet pù veloc del pacchetto sopravazerao quelle pù lete ed l pacchetto s allargherà deformados durate l moto. Qud el caso d ua perturbazoe movmeto u mezzo dspersvo la veloctà d fase o rappreseterà pù la veloctà della perturbazoe. I questo caso s trodurrà ua uova gradezza detta veloctà d gruppo v g che msura la veloctà del massmo del pacchetto d ode. S può dmostrare che per pacchett d oda la cu trasformata d Fourer è suffcetemete stretta toro ad u valore medo k o del vettore d oda la veloctà d gruppo è par alla dervata delle dω pulsazoe rspetto al vettore d oda calcolata per k o : vg. dk ella fgura.6- è mostrata l evoluzoe temporale d u pacchetto d oda. el caso d propagazoe u mezzo o dspersvo l pacchetto d ode s muove seza cambare la sua forma co ua veloctà d gruppo che cocde co la veloctà d fase c delle sue compoet d Fourer. el caso d propagazoe u mezzo dspersvo le dverse compoet d Fourer s muovoo co k 3

14 veloctà d fase dversa. La perturbazoe s muove co veloctà d gruppo par a dω deformados. dk k Damo ora u argometo qualtatvo per spegare perché la veloctà del pacchetto d ode sa par a dω. La forma spazale del pacchetto d ode è causato dall terfereza delle ode co dverso k. dk k Le dverse compoet soo arragate modo tale che esse terferscao modo dstruttvo ovuque ello spazo eccetto che ella poszoe x(t ) del pacchetto ove l terfereza è costruttva. Poché l terfereza deve mateers costruttva el puto d coordate x(t) che dvdua la poszoe del pacchetto la fase ( ϕ( k) kx ω( k )t ) delle dverse compoet d Fourer tale puto o potrà dpedere dal vettore d oda k: dϕ dω x( t) t dk dk d da cu segue x( t) ω t vgt. dk.7 Esercz Eserczo La relazoe d dspersoe delle ode elastche lugo ua catea d atom può essere espressa π π 4C Ka ell tervallo < K < dalla relazoe ω s dove K rappreseta l vettore a a M d oda a la dstaza tra gl atom M la massa d cascu atomo e C la costate elastca d terazoe tra due atom vc. S calcol la veloctà d gruppo e la veloctà d fase delle ode el caso cu λ sa molto maggore d a. el lmte λ>>a abbamo Ka<<. La fuzoe s può essere espressa tramte lo svluppo sere d Ka Taylor come. Ca Qud ω K. M ω dω La veloctà d fase e la veloctà d gruppo cocdoo e soo etrambe ugual a K dk Ca. M Eserczo La relazoe d dspersoe approssmata per le ode acqua profoda è data da T 3 ω gk + k ρ dove g è l accelerazoe d gravtà ρ è la destà dell acqua e T la tesoe superfcale dell acqua (7. -4 ). S calcol per quale valore della lughezza d oda la veloctà d fase e la veloctà d gruppo soo cocdet. La veloctà d gruppo delle ode è par a 4

15 ω 3T d g + k ρ. dk ω Perché la veloctà d gruppo sa uguale alla veloctà d fase è ecessaro che Questa codzoe è verfcata se T g + 3 k ω ρ k T 3 D altro cato sappamo che ω gk + k ρ Dal cofroto d queste due equazo otteamo dω ω dk k ρg T k λ π. 7cm T ρg Eserczo 3 Qual tra queste fuzo possoo rappresetare u oda che s propaga u mezzo o dspersvo? 3 f x t x + ct f f f ( ) ( ) ( x t) x ct ( x t) x + ct Atg L x L ct L ( x t) As B cos Eserczo 4 Per molte applcazo tecologche è ecessaro depostare uo strato sottle (detto flm) su u supporto fsco avete propretà dfferet (detto substrato). Ua tecca per msurare lo spessore del flm cosste ell vare u fasco d radazoe elettromagetca colleare e moocromatca ad u agolo d cdeza θ rspetto alla superfce del flm. Parte della radazoe sarà rflessa dalla superfce del flm e parte dall terfacca. Aumetado l agolo d cdeza s avrao feome d terfereza che darao luogo a modulazo dell testà della radazoe rflessa. Suppoedo che la lughezza d oda della radazoe cdete sa par a.5µm e che l prmo massmo dell testà rflessa s osserv per θ M s calcol lo spessore d del flm (s suppoga l coeffcete d rfrazoe del flm par a ). La dffereza d cammo ottco tra l raggo rflesso dalla superfce del flm e quello rflesso dal substrato è l s( θ ) dove l rappreseta lo spessore del flm. Il prmo massmo dell testà dffratta s otterrà quado tale dffereza d cammo ottco sarà par alla lughezza d oda della radazoe: λ l.44µm s θ ( ) θ flm substrato 5

16 CEI DI MECCAICA QUATISTICA. Aspett quatstc delle ode elettromagetche Le equazo d Maxwell al loro apparre alla fe del secolo scorso sembravao costture ua teora coerete e completa de feome elettromagetc teora ogg deomata elettromagetsmo classco". Come s è vsto el Corso d Fsca II da tale teora s ottee ua descrzoe della luce term d ode costtute da u campo elettrco E ed u campo d duzoe magetca B che obbedscoo alla stessa equazoe rcavata da D Alambert per le corde vbrat: E( x y z) ; B ( x y z ) c E t c B t Eq.- Le ode elettromagetche (e.m) hao la peculartà d essere solo trasversal (sa E che B sempre perpedcolar alla drezoe d propagazoe) hao E sempre perpedcolare a B e veloctà c molto pù elevata delle ode elastche: 8 c 3 ms µ. La teora d Maxwell o poe lmt è superor è feror alle frequeze ν (o alle lughezze d'oda λc/ν) ammssbl: soo rlevabl ode em. da ν~ Hz (coè λ 7 m p. es. quelle emesse dalle comu lee elettrche) a ν~ Hz (coè λ~ - m p. es. ragg γ emess da alcu ucle). La luce vsble al ostro occho corrspode al rstretto tervallo λ~.4-.7 µm. E" oto che og oda e.m. trasporta eerga co destà volumca data (el vuoto) da W E + B Eq..- µ e che cdedo ortogoalmete su ua superfce paa v proetta u'eerga per utà d tempo e d area (coè u testà J) par a J ce Spermetalmete la atura odosa della luce è peamete cofermata dalle espereze d terfereza e dffrazoe le cu modaltà rsultao perfetto accordo co la teora dell' elettromagetsmo classco. Be presto tuttava c s rese coto che alcu mportat 6

17 Fg..- feome soprattutto legat a oggett mcroscopc come elettro atom molecole etc. o erao spegabl base alle sole equazo d Maxwell. Illustramo brevemete tre esemp emblematc: a) lo spettro d emssoe del corpo ero b) l effetto fotoelettrco estero c) gl spettr atomc. a) Lo spettro d emssoe del corpo ero. I fsca vee detto. "corpo ero" u corpo capace d assorbre totalmete ode e.m. d qualuque frequeza (e d cosegueza come s dmostra ache d emetterle) Spermetalmete u corpo ero vee realzzato pratcado ua pccola apertura ua grade cavtà: u oda e.m. che etr ell'apertura molto dffclmete può remergere per cu apputo dall'estero l'apertura appare era (per questo se guardamo u palazzo le sue festre c appaoo scure tato pù quato pù soo pccole e quato pù è grade la staza detro d esse). Spermetalmete s trova che u corpo ero teuto a temperatura T emette ode e.m. co uo "spettro" (coè ua dstrbuzoe d testà fuzoe della lughezza d'oda) cotuo dalla caratterstca forma "a campaa" d ampezza crescete co T. Raylegh e Jeas elaboraroo ua elegate teora d "termodamca della radazoe" basata sull elettromagetsmo classco che per motv d spazo rucamo ad esporre (l lettore teressato può cosultare per esempo l Mecucc-Slvestr "Fsca II edz. Lguor pagg ). Tuttava lo spettro prevsto da tale teora s avvcava alla curva spermetale solo per λ molto lughe e per λ addrttura dvergeva; quest'ultmo rsultato fscamete assurdo vee detto "catastrofe ultravoletta". Fu Plack el 9 a otare che la teora d Raylegh e Jeas poteva essere portata ottmo accordo co l espereza a patto d serre essa due potes aggutve: ) che ella cavtà lo scambo d eerga tra le paret e le ode e.m. coteute avvesse o modo cotuo besì quattà dscrete multple d ua eerga elemetare detta "quato" d eerga E o )che per og oda e.m. l quato d eerga fosse proporzoale alla frequeza: Eo hν co h Js (costate d Plack). E da sottoleare che le potes ) e ) soo del tutto estraee all'e.m. classco (che o assega alla frequeza delle ode e.m. alcu ruolo mportate egl scamb d eerga) ma o cotraddzoe co esso almeo el seso che per la destà d eerga e l testà global dell'oda restao valde le.formule.- e.-. Il fatto uovo è d cosderare l'eerga dell oda come ua quattà "graulare" azché cotua. L ettà de "gra" coè de quat dpede dalla frequeza ma è comuque molto pccola: per esempo per la c 9 luce galla d.5 µm l quato vale E hν h 4 J ed è ragoevole che ua λ "graulartà" così muta sa geeralmete osservable e feome macroscopc cu vegoo scambate quattà d eerge eormemete maggor d hv. I deftva è possble descrvere l feomeo della propagazoe dell eerga elettromagetca sa tramte u approcco odulatoro che tramte u approcco corpuscolare. L elettromagetsmo descrve l feomeo tramte ode metre la meccaca quatstca utlzza la descrzoe corpuscolare. Etramb quest approcc soo corrett e vao utlzzat a secodo del partcolare problema da affrotare. ell approcco corpuscolare s troduce ua partcella collegata alla radazoe elettromagetca che prede l ome d fotoe. Questa partcella vee dcata dal smbolo dcato fgura 7

18 Φ Fgura.-3 Elettro u metallo. Φ rappreseta l potezale d estrazoe.-. Questo smbolo rchama lo stretto legame tra foto e le ode elettromagetche. I foto hao le seguet propretà: Il loro umero o s coserva possoo essere geerat o dstrutt; posseggoo u eerga par ad hν; h e k rappreseta l vettore d oda π soo prv d massa e s muovoo co veloctà par alla veloctà della luce. posseggoo u mpulso par a k dove x I fgura.- vee mostrato u fasco d radazoe elettromagetca elle due rappresetazo odulatora e corpuscolare. ello scearo odulatoro la radazoe è rappresetata da u oda (approssmatvamete susodale). U aumeto dell testà del fasco corrspode ad u aumeto dell ampezza dell oda. ello scearo corpuscolare la radazoe è rappresetata da u fasco d foto cascuo d eerga hν. U aumeto dell testà del fasco corrspode ad u aumeto del umero d foto. L eerga totale del fasco è par a hν. b) L'effetto fotoelettrco estero Lo studo dell'elettrostatca e de feome d coduzoe elettrca ha mostrato che all tero de metall esstoo elettro sostazalmete lber d muovers. Poché gl elettro o fuorescoo spotaeamete è aturale supporre che la loro eerga potezale detro l metallo sa more che el vuoto (v. Fg..I-3) d ua quattà Φ detta "potezale d estrazoe ("work fucto" glese). Se questo è vero og oda e.m. vata cotro la superfce del metallo dovrebbe col suo campo elettrco far oscllare gl elettro cededo loro eerga so a far loro superare la barrera d potezale Φ che l separa dall estero. I base all'elettromagetsmo classco la frequeza delle ode e.m. utlzzata è rrlevate purché la loro testà sa abbastaza grade. Il feomeo sopra descrtto detto effetto fotoelettrco estero s verfca realmete ma U aumeto dell testà del fasco mplca: Aumeta l ampezza dell oda (Descrzoe odulatora) Aumeta l umero d foto Eerga totale hν (Descrzoe corpuscolare) Fgura.- Rappresetazoe odulatora (sopra) e corpuscolare (sotto) della radazoe elettromagetca 8

19 co altre modaltà assolutamete o compresbl base alla teora classca. Spermetalmete s trova fatt che per og metallo esste ua frequeza mma ν s (frequeza d sogla) per l'oda e.m. cdete. per ν<ν s l oda e.m. o resce ad estrarre elettro per quato grade sa la sua testà. Ivece per ν>ν s l oda estrae comuque elettro; l'eerga cetca degl elettro estratt è proporzoale a (ν-ν s ) e l loro umero è proporzoale all'testà dell'oda. Questo problema vee rsolto da Este el 95 applcado all'effetto fotoelettrco l potes d Plack suppoedo coè che roda e.m. possa cedere a cascu elettroe del metallo o quattà arbtrare d eerga ma solo u quato hν alla volta. E'charo allora che: ) tra la frequeza d sogla e l potezale d estrazoe esste la relazoe hν s Φ; ) se hν<φ essu elettroe può acqusre eerga suffcete per Φ superare la barrera 3) se hν>φ tutt gl elettro che assorboo u quato escoo dal metallo x co eerga cetca T data da: T hν Φ h v Fgura.-4 Rappresetazoe schematca dell effetto fotoelettrco ( ) v s 4) a partà d frequeza aumetado l testà dell'oda s aumeta l umero de quat che veste l metallo e qud l umero degl elettro emess. Il feomeo è descrtto fgura.-4 Vee qud cofermato che almeo agl effett dell'terazoe co la matera le ode e.m. possoo essere descrtte oltre che come ode ache come fasc d "foto. c) Gl spettr atomc Il prmo modello atomco quattatvo (J. Thomso 899) schematzzava l atomo come ua "gocca d carca postva all'tero della quale gl elettro erao dspost modo da mmzzare l eerga elettrostatca (v. Fg..-5) Tale modello o resstette al vaglo degl espermet. Rutherford studado le traettore d partcelle α lacate cotro lame metallche e deflesse per terazoe coulombaa dagl atom del metallo stablì seza ambgutà che ell'atomo tutta la carca postva era cocetrata u ucleo d dmeso dell'orde d Ferm -5 m coè ~ 5 volte pù pccolo dell atomo stesso. Prese qud corpo l cosddetto "modello plaetaro" secodo cu ell atomo gl elettro orbtao attoro al ucleo come paet attoro al sole. Tuttava secodo l elettromagetsmo classco u atomo così fatto o potrebbe essere stable. S è vsto fatt el Corso d Fsca II che ua carca elettrca sottoposta ad ua accelerazoe a rragga ode e.m. perdedo per utà d tempo u eerga par a µ e a P 6πc Secodo l modello plaetaro perché s abba equlbro meccaco l'accelerazoe cetrpeta dell'elettroe dovuta all'attrazoe coulombaa col ucleo dovrebbe essere molto tesa data la corta dstaza (~ A - m) tra due. D cosegueza l'elettroe 9

20 Fgura.-5 Modello dell atomo d Thomso: la gocca d carca postva è rappresetata grgo gl elettro da put er dovrebbe perdere rapdamete la sua eerga per rraggameto precptado sul ucleo temp brevssm. Ache accettado la stabltà dell'atomo come dovuta a fattor cogt resterebbe la dffcoltà che gl elettro dovrebbero essere grado d assorbre e remettere allo stesso modo ode e.m. d qualuque frequeza. Ivece è be oto che gl spettr atomc presetao pcch estremamete ett d assorbmeto e d emssoe per certe frequeze be precse ( rghe spettral") caratterstche d og elemeto. Rydberg e Rtz osservaroo che tal rghe spettral presetavao otevol regolartà e che partcolare le corrspodet frequeze obbedvao alla relazoe emprca hν R Eq..-3 M dove M ed soo umer ter (>M) h è la costate d Plack e R (costate d Rydberg) è pressoché la stessa per tutte le rghe e per tutt gl atom ed approssmatvamete uguale a 3.6 ev. Acora ua volta l'potes de quat cosetì ua spegazoe del problema almeo e seguet term feomeologc (. Bohr 93). Cosderamo l'atomo pù semplce coè quello d drogeo e suppoamo che le orbte elettroche sao crcolare Suppoamo che (per motv per ora o char) l mometo agolare (o mometo della quattà d moto) dell elettroe attoro al ucleo possa assumere solo valor dscret b multpl della costate d Plack h dvsa per π (d seguto dcata breve come ). b mω r Eq..-4 dove r è l raggo dell'orbta ω la veloctà agolare d rotazoe. e segue che: ω Eq..-5 mr Poché la forza cetrpeta agete sull elettroe è data dall'attrazoe colombaa elettroeucleo deve essere oltre: e mω r Eq..-6 4π r Sosttuedo l equazoe.-6 ella.-5 s trova: r 4π me 4 ω me ( 4π ) 3 3 Eq..-7 Qud come cosegueza dell'potes espressa dall equazoe.- sa la frequeza d rotazoe sa l raggo delle orbte possoo assumere solo valor dscretí. Lo stesso s verfca per l'eerga totale dell'elettroe:

21 ( ω r ) mv e m e Etot Ecetca + E potezale 4π r 4π r utlzzado l equazoe.-6 s ottee fe E tot e 8π r e 4π r e 4π r me ( 4π ) 4 cost Eq..-8 dove cost~.8* -8 J (3.6 ev) e cocde co la costate d Rydberg degl spettr atomc. A questo puto l modello atomco d Bohr è grado d spegare quattatvamete l essteza delle rghe spettral al seguete modo. ormalmete l'elettroe rsede ello "stato fodametale" coè sull orbta d mma eerga () la pù vca al ucleo d raggo 4 π r.53 m.53å (raggo d Bohr) me Il raggo d Bohr da u dea delle dmeso dell atomo d drogeo. L eerga dello stato fodametale E () è E -cost-.8* -8 J (oppure -3.6 ev). A seguto d rraggameto co radazoe elettromagetca l elettroe può assorbre u fotoe portados su u'orbta pù estera o come s dce compedo ua traszoe verso uo "stato ecctato". S tede come prmo stato ecctato lo stato caratterzzato secodo stato ecctato quello caratterzzato da 3 e così va. el caso l elettroe s trov zalmete ello stato fodametale () v sarà assorbmeto solo per le ode e.m. avet frequeze ν tal che hν E E cost l elettroe può po torare ( decadere ) allo stato fodametale remettedo u fotoe d frequeza ν oppure compere u altra traszoe verso uo stato acora pù estero M assorbedo u altro fotoe d eerga hν M EM E cost Eq..-9 M accordo co la relazoe spermetale emprca trovata da Rydberg e Rtz. L elettroe può fe decadere verso lo stato fodametale evetualmete passado per orbte termede: foto emess hao comuque frequeze date dalla.-9. Sempre accettado l'potes d Bohr ua volta ello stato fodametale l elettroe o cadrebbe sul ucleo rraggado la sua eerga semplcemete perché o avrebbe a dsposzoe orbte pù basse su cu portars: cò sgfca che ua traszoe per avvere ecessta d uo "stato fale" dspoble.

22 I deftva possamo rassumere la stuazoe el modo seguete. ormalmete Fgura.-6 Lvell eergetc dell atomo d drogeo l elettroe ell atomo d drogeo rsede sul lvello d eerga pù bassa (stato fodametale). Suppoamo che l atomo d drogeo sa vestto da radazoe moocromatca (ua sola frequeza e qud ua sola eerga). Se l eerga de foto cdet cocde co quella d ua traszoe tra l lvello fodametale ed uo de lvell Fgura.-7 Rappresetazoe schematca dell atomo d Bohr co le sue prcpal traszo

23 ecctat dell drogeo allora l fotoe potrà essere assorbto e d cosegueza l elettroe potrà trasre ad uo stato ecctato ( hν fot E E ). Dversamete l fotoe o potrà essere assorbto. Se l eerga del fotoe è maggore d E ( eerga d ozzazoe ) l fotoe potrà essere assorbto e l elettroe potrà allotaars deftamete dal ucleo postvo. Questo feomeo prede l ome d ozzazoe dell atomo d drogeo. Per la coservazoe dell eerga l eerga cetca fale dell elettroe sarà par a T hν fot + ( s rcord che E è u eerga d legame e qud defta egatva). E I coclusoe questo captolo abbamo vsto come dvers feome dcho che l eerga delle ode elettromagetche è quatzzata foto d ettà hν. Alla stessa coclusoe porta lo studo della trasmssoe d altr tp d eerga come quella termca. Ad esempo l adameto co la temperatura del calore specfco a volume costate de gas perfett a molecola batomca e polatomca deva sostazalmete dalla teora classca d Doulog e Pett. Tale dffcoltà s rsolve ammettedo che l eerga rotazoale e quella vbrazoale delle molecole sao etrambe quatzzate. el Corso d Fsca dello Stato Soldo s mostrerà che la quatzzazoe delle vbrazo de retcol crstall (modell d Este e d Debye) rede ragoe del fatto che l calore specfco de sold svasce per T. I geerale la quatzzazoe dell eerga emerge da feome rguardat scamb eergetc tra o co oggett mcroscopc (atom elettro molecole etc.). Dato l pccolo valore della costate d Plack (h~ -8 J.s) geeralmete è mpossble osservare tale quatzzazoe e feome macroscopc: ess possoo essere descrtt assumedo h. D cosegueza u requsto d og corretta teora quatstca è d codurre a formule che. s rducao a quelle corrspodet della fsca classca facedoe l lmte per h.. Aspett odulator delle partcelle dotate d massa ella prma parte del corso soo stat llustrat alcu feome d terfereza tra ode. La trattazoe matematca svolta è dpedete dalla atura della perturbazoe (compressoe d volume deformazoe d taglo campo elettrco e magetco). Il motvo è che l'terfereza e la dffrazoe che esameremo questo captolo soo trsecamete legate al tpo d dpedeza fuzoale che ua gradezza ha dalle varabl poszoe e tempo; l verfcars d tal feome costtusce pertato u'dcazoe oppugable della atura odosa della propagazoe. Perché s verfcho terfereza e dffrazoe occorre che le ode (d qualuque atura sao) teragscao co strutture geometrche avet dmeso caratterstche paragoabl alla lughezza d'oda λ. Ad esempo s può faclmete vedere che la luce vsble è dffratta da retcol avet passo dell'orde del mcro molto vca alla lughezza d oda della radazoe vsble. Allo stesso modo ragg X (ode e.m. avet λ Å) soo dffratt da strutture crstalle avet parametro retcolare ~- Å. 3

24 Fasco d ragg X θ A B D C d Pa atomc Fgura.- Dffrazoe alla Bragg da u retcolo crstallo Cosderamo u crstallo sul quale vee vato u fasco d ragg X "moocromatc coè avet tutt la stessa lughezza d oda (v. Fg..- ). Cò che accade è completamete spegable co l elettromagetsmo classco. L oda e.m. veste tutt gl atom del crstallo cu elettro etrao stataeamete vbrazoe come delle muscole atee remettedo tutte le drezo ode avet la stessa λ. el semplce modello d Bragg s suppoe che og pao atomco ved Fgura.- s comport come u pao semrflettete: rflette ua parte della radazoe e lasca passare l resto. I questo modo c sarà terfereza tra le ode rflesse da cascuo de pa atomc. L terfereza sarà costruttva solo se la dffereza d fase tra le ode è par a π (co tero) coè se la dffereza d cammo tra le ode rflesse da og pao atomco e da quello sottostate è par ad u umero tero d lughezze d oda. Dalla fgura s vede che tale dffereza d cammo è par alla somma delle lughezze de segmet BD e DC ovvero BD. Se defamo d e θ rspettvamete la dstaza terplaare e l agolo d cdeza (agolo che l fasco d ragg X forma co l pao crstallografco) allora è semplce verfcare che BD è par a ds(θ). I deftva avremo codzo d terfereza costruttva (dffrazoe tesa da pa crstallografc) quado: ( ) λ d s θ Eq..- Questa formula rappreseta la legge d Bragg e pur essedo stata rcavata ell ambto d u modello fsco estremamete semplce è verfcata ella pratca co grade precsoe. el Corso d Fsca dello Stato Soldo verrà mostrato come la dffrazoe de ragg X costtusca ua tecca potetssma per rcavare mportat e dettaglate formazo su sold come la dmesoe e la struttura della cella utara la dsposzoe degl elettro el legame chmco la qualtà strutturale de moocrstall etc. Qu c teressa vece evdezare u fatto spermetale a prma vsta sorpredete: rpetedo l espereza descrtta Fg..- ma vado sul crstallo azché u'oda elettromagetca avete lughezza d oda cofrotable co la dstaza teratomca u fasco mooeergetco d elettro (come fecero Davdso e Germer el 97) o d eutro o d proto o d qualuque altro tpo d partcelle dotate d massa (purché suffcetemete muscole) l feomeo della dffrazoe s preseta sostazalmete co le stesse modaltà (pur d sceglere per og tpo d partcelle l eerga cetca opportua come s comprederà seguto). Come cosegueza mmedata d questo rsultato spermetale s è costrett ad ammettere che ache alle partcelle dotate d massa come l'elettroe l eutroe l protoe etc. è qualche modo assocata u'oda. La atura d quest oda rsulta a tutta prma alquato msterosa. Possamo però effettuado espermet d dffrazoe co u crstallo avete dstaza terplaare d ota e utlzzado la legge d Bragg (eq..-) determare la λ. e cercare u evetuale correlazoe co altr parametr delle partcelle usate p. es. l eerga la veloctà la massa. Spermetalete s trova che tale correlazoe esste ed è esprmble co la seguete semplce formula detta "relazoe d De Brogle" 4

25 h λ Eq..- p dove p è la quattà d moto delle partcelle (pmv) e h è la costate d Plack. La preseza della costate d Plack ella relazoe d De Brogle dca che esstoo strettssme relazo co la quatzzazoe delle ode e.m. llustrata precedetemete. Dalla relazoe d De Brogle segue che la relazoe tra l'eerga E delle partcelle dotate d massa e la lughezza d oda assocata ad esse è molto dversa da quella che vale per foto. Per quest ultm fatt è hc E Eq..-3 λ metre per ua partcella d massa m utlzzado la relazoe d De Brogle s ha p h k E Eq..-4 m mλ m D cosegueza la codzoe λ~ A ecessara per avere effett d dffrazoe corrspode a eerge be dverse per partcelle d massa dversa. Per gl elettro (d massa m e ~ -3 Kg abbamo h 7 E J ev e m eλ per eutro e proto d massa M ~ volte maggore s ha E J. ev metre foto "approprat (coè ragg X avet λ A) hao eerga hc 5 4 E f J ev λ Ragg X elettro e eutro soo qud tre sode dverse utlzzabl per le dag dffrattometrche sul sold Ogua ha vatagg svatagg e peculartà per le qual rmadamo al Corso d Fsca dello Stato Soldo. La relazoe d De Brogle ph/λ cofersce u sgfcato fsco molto charo alla codzoe.-4 arbtraramete posta da Bohr alla base del suo modello atomco. Fgura.- Elettro ell atomo d Bohr vsualzzat come ode susodal d opportua lughezza d oda 5

26 Rscrvedo fatt la relazoe d De Brogle term della quattà d moto posseduta dall'elettroe sulla sua orbta crcolare s ha: h p r π coè per la relazoe d De Brogle posto p h/λ s ottee h h r π λ ovvero λ πr I altre parole la codzoe postulata da Bohr su bas puramete tutve corrspode al fatto che la λ dell'oda assocata all elettroe sa coteuta u umero tero d volte ell'orbta dell'elettroe stesso (Fg..-): questa codzoe asscura che l oda assocata all elettroe o autoterfersca modo dstruttvo l che be s accorda co l essteza d uo stato stable. Poché a tutt gl elettro è assocata u'oda ache gl elettro apparteet a u soldo e lber d muovers detro d esso (come avvee e metall) possoo subre effett d dffrazoe da parte de retcolo crstallo. Se per esempo u elettroe lbero vagga drezoe ortogoale a u seme d pa retcolar spazat d d la relazoe d Bragg scrtta per θπ/ c dce che l elettroe sarà dffratto all detro (coè a u agolo θπ) se la sua oda assocata ha ua lughezza d'oda par a d λ (co tero) coè se l eerga cetca dell'elettroe vale p h h E m m λ 8md Ma l'oda dffratta all'detro verrà uovamete dffratta avat dallo stesso seme d pa retcolar e così va: e rsulta u'oda stazoara. Cò sgfca che gl elettro d tale eerga o rescoo a muovers eache se applchamo dall estero u campo elettrco. Toreremo su questo argometo pù avat quado verrà descrtta la dffereza tra metall solat e semcoduttor..3 La meccaca odulatora: l equazoe d Schrödger Dopo l successo del modello atomco d Bohr ello spegare le rghe spettral dell'drogeo e degl elemet pù "semplc" Sommerfeld e altr cercaroo d prosegure sulla stessa strada troducedo la possbltà d orbte ellttche geeralzzado la codzoe d quatzzazoe.-4 etc. oostate gl sforz comput o s adò molto lotao. Per costrure ua teora che spegasse dettaglo l comportameto della matera a lvello mcroscopco era ecessaro u salto qualtatvo ella compresoe della atura dell'oda assocata alle partcelle dotate d massa e sperablmete l dvduazoe d ua equazoe dfferezale del tpo d quelle d Maxwell la cu soluzoe forsse la dpedeza spazo-temporale dell'oda stessa. Questo traguardo fu ragguto el 95 da Schrödger co u procedmeto altamete mmagatvo basato su u profodo tuto fsco. La teora costruta sull'eq. d Schrödger è detta "meccaca odulatora propro perché permette d rcavare 6

27 l'espressoe dell'oda assocata alle partcelle detta "fuzoe d'oda". ello stesso ao vee svluppata da Heseberg ua formulazoe alteratva della meccaca de quat basata su u formalsmo matematco matrcale. Be presto s dmostrò modo rgoroso che le due teore beché matematcamete dversssme erao assolutamete equvalet dal puto d vsta fsco quato coducevao agl detc rsultat. La meccaca odulatora d Schrödger ha avuto tuttava utlzzazoe assa pù vasta rspetto alla "meccaca delle matrc d Heseberg propro perché foredo le fuzo d'oda permette ua vsualzzazoe assa pù tutva de rsultat de calcol. Il ucleo della meccaca quatstca è costtuto dalla celebre equazoe d Schrödger. D questa equazoe s possoo dare argomet d ragoevolezza essa comuque o può essere dedotta modo rgoroso base ad u ragoameto fsco. I altr term s può dre che l equazoe d Schrödger rappreseta u prcpo della fsca (come ad esempo l secodo prcpo della damca d ewto). La correttezza dell apparato della meccaca odulatora e qud dell equazoe d Schrödger s basa sulla crcostaza che comportamet da essa dedott rsultao essere perfetto accordo co gl espermet. L equazoe d Schrödger è u equazoe leare alle dervate parzal che ella forma pù geerale vee scrtta el modo seguete: ( T + V ( x y z) ) Ψ( x y z t) Ψ( x y z t) Eq..3- t p dove T rappreseta l eerga cetca della partcella quatstca V(xyz) l eerga m potezale delle evetual forze coservatve applcate alla partcella e Ψ(xyzt) la fuzoe d oda che rappreseta l comportameto quatstco della partcella. Il sgfcato fsco della fuzoe d oda Ψ verrà charto pù avat. Osservamo qu che essa sarà geerale ua gradezza complessa. I meccaca quatstca la quattà d moto è rappresetata da u operatore dfferezale. Per cascua delle compoet vale: px p y pz x y z ovvero p I deftva l equazoe d Schrödger s può scrvere el modo seguete: Ψ( x y z t) + V ( x y z) Ψ( x y z t) Ψ( x y z t) Eq..3- m t el caso d u problema ad ua sola dmesoe l equazoe s rscrve pù semplcemete come Ψ( x t) + V ( x) Ψ( x t) Ψ( x t) Eq..3-3 m x t L equazoe d Schrödger ella meccaca quatstca ha lo stesso ruolo cetrale che d r ella meccaca classca svolge l secodo prcpo della damca F m.ella dt meccaca classca cooscedo le forze applcate al puto materale (o l che è equvalete l eerga potezale del puto materale) e le codzo zal del moto è possble rsolvere (almeo lea d prcpo) l equazoe del moto per calcolare r del puto materale). I modo aalogo l equazoe dfferezale d Schrödger oto l potezale delle forze applcate al puto materale e come vedremo le codzo al cotoro cosete d calcolare ( lea d prcpo coè a parte le evetual dffcoltà d calcolo) la fuzoe modo completamete determstco la traettora (la fuzoe ( t) 7

28 d oda. Essa dà accesso a tutte le formazo possbl su u sstema quatstco. Pù avat rsolveremo l equazoe d Schrödger alcu cas semplc e apparrà charo che essa comporta calcol molto pù compless rspetto a corrspodet problem trattat meccaca classca. E qud assolutamete mpesable (ache se astratto corretto) sostture alla meccaca classca quella odulatora per trattare problem relatv al modo macroscopco..4 Sgfcato fsco della fuzoe d oda l prcpo d determazoe Storcamete s soo avute lughe dscusso e polemche su quale fosse l esatto sgfcato fsco della fuzoe d'oda Ψ(xyzt). Il sgfcato fsco orma accettato è che l modulo quadro della Ψ (che è geerale ua fuzoe complessa e della quale dchamo co Ψ* la complessa cougata) rappreset la "destà d preseza" d(xyzt) della partcella el puto (xyz) al tempo t: Ψ ( x y z t) Ψ( x y z t) Ψ ( x y z t) d( x y z t) Eq..4- term matematc la probabltà dp che la partcella al tempo t s trov u toro d volue dv (dxdydz) del puto d coordate xy e z è par a: ( x y z t) Ψ ( x y z t)dxdydz dp Ψ Eq..4- La Ψ rcavata rsolvedo l equazoe d Schrödger è charamete defta a meo d ua costate moltplcatva. Tale costate vee scelta modo da "ormalzzare" la Ψ coè modo che sa Ψ tutto lo spazo ( y z t) Ψ ( x y z t) dxdydz x Eq..4-3 accordo col fatto che la probabltà d trovare la partcella cercadola tutto lo spazo deve essere l. Cocettualmete è da sottoleare l fatto che la partcella o è "dluta" tutta la regoe d spazo cu Ψ è o ulla: u certo volume V può esserv ua probabltà molto pccola d trovare la partcella; ma se la s trova lì la s trova tutta. Molte volte tuttava e problem cu s ha u gra umero d partcelle cofodere la loro destà d preseza co (p. es.) la destà d carca da esse portata è corretto quato per grad umer la frequeza tede alla probabltà. Questo aspetto "probablstco" della meccaca quatstca costtusce forse la maggore ovtà (abbastaza scocertate agl z) rspetto alla fsca classca. Come apparrà charo dagl esemp che sarao svolt pù avat ella meccaca quatstca s ruca a descrvere le traettore esatte delle partcelle e a trarre da ua equazoe del moto a partre da codzo zal ote deduzo certe sulla stuazoe futura. L equazoe d Schrödger forsce solo formazo crca la probabltà co cu possoo verfcars le possbl stuazo future. Così della geerca varable damca α (p. es. la veloctà o l mometo agolare della partcella etc.) geerale o è dato d cooscere l valore precso ma solo l "valore aspettato" < α > defto come ua spece d "meda pesata" su tutto lo spazo fatta utlzzado la seguete formula: α spazo ΨαΨ dv 8