Sfruttamento di risorse rinnovabili

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Federico Costa
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1 Sfuttamento di isose innovabili Come utilizzae la dinamica di cescita natuale senza povocae danni all ecosistema pa. 1

2 Sfuttamento di isose innovabili Stateie pe pelevae pate della popolazione, compatibilmente con la sua dinamica di sviluppo, in modo da non peiudicane lo sviluppo di luno temine Si suppone che la popolazione si sviluppi con una funzione di cescita F(x) density-dependent, come nei modelli ià visti (es. loistico) Anche il pelievo h(t) può essee density-dependent oppue no In enee si tascua la motalità natuale della popolazione dx dt x F(x ) cescita { pelievo 1 3 h(t) STABILITA deteminae una politica di pelievo che non pota la popolazione all estinzione pa.

3 Pelievo costante In questo caso h costante, indipendentemente dalla popolazione e dal tempo Poblemi h MSY x *F() h Riceca dell equilibio L equilibio è ammissibile? ( > 0) L equilibio è stabile? x F(x) equilibio instabile d ( x F( x )) dx > 0 d x MSY ( x F( x )) dx < 0 equilibio stabile h > h MSY h h MSY x h < h MSY Sfuttamento non sostenibile Sfuttamento appena sostenibile Sfuttamento sostenibile Nel caso sostenibile si hanno due soluzioni. Solamente quella pe x > x MSY è stabile (sostenibile) MSY Maximum Sustanaible Yield pa. 3

4 Maximum Sustainable Yield Il massimo accolto sostenibile (MSY) si ottiene pelevando con un ateo pai al massimo di cescita Si detemina azzeando la deivata della dinamica totale della popolazione Esso coisponde alla popolazione di massima cescita Si tatta di un limite teoico, in quanto poduce un equilibio metastabile x F( x ) h h MSY h MSY F( ) x x MSY pa. 4

5 Sfuttamento costante Il punto di equilibio a cui tende la popolazione dipende dalla densità al momento dell inizio del pelievo: se si inizia lo sfuttamento quando x(t) è infeioe al valoe di equilibio instabile x s, la popolazione si estinue 1 ai et t o i a veso i l pun t o s t ab i l e 10 t X h Iniz io s fut t am ent o dx/dt v e s ol 'o ii ne ateo di sfuttamento costanteh Punto di equilibio inst abile Punto di equilibio st abile Popolazione inizio dello sfuttamento pima dello sf utt ament o dopo lo sf utt ament o x s 1 x s X h Capacit à Popolazione tempo pot ante pa. 5

6 Sviluppo con sfuttamento 10 Effetto del momento di inizio dello sfuttamento Livello di popolazione con sfuttamento densità di popolazione Istante di inizio dello sfuttamento Popolazione non sfuttata tempo pa. 6

7 Sfuttamento costante nel caso loistico Si assume una cescita loistica come dinamica di sviluppo dx dt x 1 x h Il massimo accolto sostenibile (MSY) si ha pe x MSY h MSY x * Sfuttamento ammissibile pe h < h MSY 0 x 1 x h x x + h 0 ˆx + 4 h > 4 x F( pe x > h < h MSY x ) xˆ pa. 7

8 xˆ Equilibio a sfuttamento costante Calcolo della popolazione di equilibio soetta al pelievo h. Esempio pe 0.4 e h MSY h Raccolto pa. 8

9 Sfuttamento costante sostenibile Se lo sfuttamento è infeioe a h MSY, si hanno due equilibi, sepaati da x MSY x 1 < x MSY < x L equilibio instabile (x 1 ) è un epulsoe e espine le taiettoie veso l oiine (estinzione) se all inizio dello sfuttamento la popolazione si tovava ad un livello infeioe di x 1 veso l equilibio stabile (x ) se all inizio dello sfuttamento la popolazione si tovava ad un livello supeioe di x 1 L equilibio stabile (x ) è un attattoe pe tutte le taiettoie oiinate da popolazioni iniziali supeioi a x 1 h < h MSY x 1 < x MSY Instabile, espine tutte le taiettoie x > x MSY Stabile, attia le taiettoie pe x o > x 1 pa. 9

10 Sfuttamento costante e stateie bionomiche Risosa a stateia Alto ateo di cescita L incemento di accolto Δh poduce una vaiazione modesta di popolazione, peché il impiazzo deli individui pelevati è veloce L allontanamento dalla capacità potante può essee compensato ento ampi limiti Risosa a stateia Basso ateo di cescita L incemento di accolto Δh poduce una vaiazione notevole di popolazione, peché il impiazzo deli individui pelevati è lento L allontanamento dalla capacità potante può essee compensato solo se è limitato. x F( x ) x F( x ) Δh Δh Δx Δx x x pa. 10

11 Sfuttamento popozionale Lo sfuttamento è popozionale alla densità di popolazione attuale dx dt x 1 x cescita loistica x { sfuttamento popozionale Poblema: è necessaio conoscee la consistenza della popolazione ad oni istante t x F(x) x Yield h( ) x * : F( ) x C è un solo punto di equilibio ed è stabile, pe qualsiasi densità di popolazione pa. 11

12 Stabilità dell equilibio nel pelievo popozionale Cechiamo il punto di equilibio dx 1 x F( x ) x 0 F( ) F ( dt Pe la stabilità, al punto di equilibio la deivata totale del ateo della popolazione dovà essee neativo F ( ) 0 Dato che è sicuamente > 0, dovà essee Ma questa ea una delle condizioni necessaie peché F(x) sia una funzione di cescita, peciò è sicuamente veificata il pelievo popozionale è sempe stabile pe funzioni di cescita ammissibili (non depensate) ( x F( x ) x) F( x ) x x < 0 F( ) + F( x ) x < 0 ) F( x ) x < 0 pa. 1

13 Sfuttamento popozionale della Loistica Punto di equilibio 1 x 1 df Condizione di stabilità < 0 > infatti dx df dx x x 1 x x 1 x F( x ) > instabile < stabile < 0 > x 1 pa. 13

14 Sfuttamento al massimo livello (MSY) loistico ateo di cescita MSY x 4 x Tovae il ateo MSY che ealizza il pelievo al massimo livello di cescita Nel caso loistico si sa che MSY e 4 All equilibio, si sostituisce x e si icava MSY 1 MSY pa. 14

15 Sfuttamento ad un eneico livello Fissato il livello di pelievo si icava la popolazione stazionaia pe quel pelievo x 1 x 1 Il accolto ottenuto con questo valoe di è dato da. x. ateo di cescita popolazione pa. 15

16 Equilibi dello sfuttamento popozionale Questo ateo di pelievo fonisce il massimo accolto MSY / I atei supeioi a MSY foniscono un accolto minoe F(X) Y 0.8 Applicando il calcolo pecedente a tutti i valoi di ammissibili (0,) si ottiene la cuva dei icavi X pa. 16

17 Robustezza del pelievo popozionale popolazione Livello teoico tempo Il pelievo popozionale, finché soddisfa alla condizione di stabilità ( < ), è obusto nei confonti della vaiabilità demoafica. Nota: il pelievo costante non lo è! In questa simulazione la vaiabilità demoafica su ha vaianza pai a /4. pa. 17

18 Biblioafia Clak. C.W., Mathematical Bioeconomics: the optimal manaement of manaement of enewable esouces, Wiley, Stafield, A.M. and Bleloch A.L., Buildin Models fo Consevation and Consevation and Wildlife Manaement, MacMillan, Gant W.E., System Analysis and Simulation in Wildlife and Fisheies Fisheies Sciences, Wiley, Saila S.B., Recksiek C.W., Pae M.H., Basic Fishey Science Poam, Elsevie, Jacobs O.R.L., Ballance D.J., Howood J.W. Fishey manaement as a a a poblem in feedback contol, Automatica, 7 (4): (1991). Nuyen Phon Chau, Destabilisin effect of peiodic havest on population dynamics, Ecoloical Modellin, 17: 1 9 (000). pa. 18

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