Interpolazione. Davide Manca Calcoli di Processo dell Ingegneria Chimica Politecnico di Milano

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1 L4 Iterpolazioe L4

2 Prologo Co iterpolazioe si itede il processo di idividuare ua fuzioe, spesso u poliomio, che passi per u isieme dato di puti: (x,y). y x L4 2

3 Fii dell iterpolazioe 1. Sostituire u isieme dato di puti {(x i,y i )} co ua fuzioe aalitica. 2. Approssimare ua fuzioe co ua più semplice. Tipicamete si utilizza u poliomio o ua serie di poliomi a tratti. Ua volta idividuata la fuzioe aalitica passate per l isieme di puti è possibile calcolare il valore della fuzioe stessa i u uovo puto itero all itervallo. Tale azioe è detta: iterpolazioe. Se viceversa si desidera cooscere il valore della fuzioe i u puto estero agli estremi di iterpolazioe tale operazioe viee defiita: estrapolazioe. N.B.: soprattutto quado si lavora co poliomi iterpolati l operazioe di estrapolazioe è molto pericolosa i quato può portare alla stima di valori completamete scorretti. Si pesi ifatti che per valori sufficietemete gradi della variabile idipedete x la fuzioe y tede comuque all ifiito. L4 3

4 Fii dell iterpolazioe 1. Sostituire u isieme dato di puti {(x i,y i )} co ua fuzioe aalitica I dati putuali possoo proveire da ua classe di fuzioi, ad esempio: p( x) = a + ae + a e + + a e x 2x x L obiettivo è quello di idividuare la fuzioe membro della classe summezioata tramite la determiazioe dei coefficieti {a j } basadosi sui puti assegati. Si può desiderare di cooscere il valore di ua fuzioe di cui soo oti dei valori tabulati i u puto diverso o tabulato (vedi look-up tables). Si può desiderare, dato u isieme di puti, di idividuare la curva che passi per tali puti e che sia piacevole alla vista. Vedi il caso della grafica a computer (curve di Bezier, ). L4 4

5 Fii dell iterpolazioe 2. Approssimare ua fuzioe co ua più semplice Avere a disposizioe ua fuzioe più semplice di quella di parteza, tipicamete u poliomio, permette di semplificare certe operazioi quali la derivazioe o l itegrazioe. Ad esempio si pesi di dover calcolare la quatità: I = 1 0 dx 1 si 3 log x 1+ x se però si riesce ad idividuare u poliomio o ua serie di poliomi a tratti i grado di approssimare la fuzioe itegrada tramite iterpolazioe è possibile calcolare aaliticamete il valore approssimato dell itegrale. L4 5

6 Nota storica I primi esempi di iterpolazioe, ella storia dell umaità, datao itoro al 300 A.C.. I babiloesi ed i greci ifatti utilizzavao o solo formule lieari ma ache forme più complicate per l iterpolazioe delle orbite solari, luari e plaetarie. Ipparco di Rodi, el 150 A.C., utilizzò ua iterpolazioe lieare per costruire ua fuzioe corda, simile alla siusoide, per calcolare la posizioe dei corpi celesti. Nel 650 D.C., il matematico ed astroomo Brahmagupta itrodusse u metodo di iterpolazioe del secodo ordie per la fuzioe seo. Successivamete propose ache u metodo per iterpolare puti o equispaziati. La avigazioe oceaica è sempre stata ua delle attività che più ha richiesto gli esiti dell iterpolazioe per la determiazioe della latitudie e logitudie. Newto iiziò a lavorare sulla teoria dell iterpolazioe classica el Nel 1795 Lagrage, pubblicò il metodo sull iterpolazioe che acora oggi prede il suo ome. L4 6

7 Defiizioe: i puti (x i,y i ) utilizzati dalla procedura di iterpolazioe vegoo defiiti puti di supporto. Puti di supporto Spesso per idividuare i parametri di u modello di iterpolazioe f(x,a), si utilizzao N puti di supporto e si risolve il sistema: N icogite a. ( a ) y = f x, i = 1, N elle N.B.: le N codizioi summezioate soo ecessarie ma o sufficieti per idividuare i parametri a. Si pesi, a titolo di esempio, a puti ripetuti (aveti cioè uguali ascisse). Ne cosegue che el metodo di iterpolazioe esatta occorre che: 1. Le gradezze x e y o siao soggette ad errore sperimetale, altrimeti la fuzioe iterpolate seguirebbe l adameto casuale dell errore. 2. I puti x i e la fuzioe iterpolate permettao la risoluzioe del sistema rispetto ai parametri a. i i L4 7

8 Scelta del modello Il modello utilizzato per l iterpolazioe esatta deve godere delle segueti caratteristiche: 1. Deve rappresetare al meglio la fuzioe che si vuole descrivere 2. Deve essere semplice da usare 3. Deve richiedere u ridotto tempo di calcolo per la sua valutazioe 4. I parametri a devoo essere facilmete ed uivocamete calcolabili Coseguetemete la classe di fuzioi che meglio rispode alle specifiche appea citate è quella dei poliomi: ( ) 2 P x = a + a x+ a x + + a x Esistoo i realtà ache altre scelte quali: poliomi di Chebichev, splie, curve di Bezier, serie di fuzioi trigoometriche (Fourier), L4 8

9 Iterpolazioe poliomiale Nel caso si scelga come modello u poliomio, questi avrà come struttura: ( a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x P x a f x a f x a f x a f x, = = dove gli f x soo poliomi di grado miore o uguale a. i ( ) Poiché u poliomio di grado ha +1 coefficieti, soo ecessarie +1 codizioi distite per determiare i suoi parametri. Se si cooscoo +1 puti di supporto aveti ascisse tutte distite, i coefficieti a possoo essere ricavati risolvedo u sistema lieare di +1 equazioi: Fa = y N.B.: i poliomi soo facili da maeggiare. La derivazioe e l itegrazioe di u poliomio è u operazioe semplice e veloce. I poliomi trovao ampio uso i problemi umerici quali: il calcolo di itegrali, la soluzioe di equazioi differeziali, l approssimazioe di fuzioi, L4 9

10 Iterpolazioe poliomiale Alcue osservazioi 1. Il poliomio di grado passate per +1 puti di supporto distiti è uico. 2. No è detto che se i puti di supporto soo +1 il poliomio debba essere di grado. Si pesi ad esempio a +1 puti di supporto posti sopra ua parabola. Il poliomio iterpolate è uico e coicide co la parabola stessa. 3. Il poliomio passate per +1 puti di supporto distiti è al più di grado. 4. Qualora i puti di supporto provegao da dati affetti da errore sperimetale, secodo quato già sottolieato, o è opportuo applicare la procedura di iterpolazioe esatta. I tali casi il problema da risolvere è completamete diverso e cade ella sfera delle regressioi (lieari o o lieari). Per maggior dettaglio, dato u modello, l obiettivo della procedura di regressioe è quello di miimizzare la distaza esistete tra i dati sperimetali e il modello proposto. I geerale, ua volta determiati i parametri del modello proposto, questi o passa per i dati sperimetali. L4 10

11 Matrice di Vadermode Se il poliomio P (x) è i forma stadard, P x = a + a x+ a x + + a x, allora il sistema lieare assume la forma: Xa = y co la matrice X pari a: La matrice X èdetta di Vadermode. ( ) Se le ascisse di supporto soo tutte distite fra loro, allora la soluzioe del sistema Xa = y è uica e quidi esiste u solo poliomio che passa esattamete per i puti di supporto. Le +1 codizioi di passaggio per i puti di supporto o soo le uiche utilizzabili per la determiazioe di P (x). I alterativa è possibile assegare delle codizioi relative alle derivate prime, secode, del poliomio. ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) 1 x0 x0 x 0 1 x1 x1 x 1 X = 2 1 x 1 ( x 1) ( x 1) 2 1 x ( x) ( x) L4 11

12 Iterpolazioe poliomiale È bee sottolieare alcui puti: alcue classi di fuzioi NON vegoo iterpolate bee utilizzado i poliomi. la qualità dell iterpolazioe o migliora i geere aumetado il grado del poliomio iterpolate. Azi si icorre el rischio opposto. N.B. Le classi di fuzioi meo adatte all iterpolazioe poliomiale soo quelle dotate di asitoti (orizzotali, verticali, obliqui). I questi casi si preferisce optare per l iterpolazioe tramite splie di cubiche. L4 12

13 Iterpolazioe poliomiale Isegameto 1. No usare poliomi iterpolati di grado superiore a L iterpolazioe può divetare meo accurata verso i bordi dell itervallo, rispetto alla zoa cetrale. 3. Quado è possibile, scegliere i modo opportuo le ascisse di supporto. 4. L errore può essere molto elevato al di fuori dell itervallo di iterpolazioe. Per questo motivo occorre evitare ogi forma di estrapolazioe. N.B.: spesso le proprietà chimico-fisiche delle sostaze (desità, viscosità, calore specifico, coducibilità termica, ) soo forite dalle bache dati sotto forma poliomiale. Parallelamete, tali bache dati, riportao per ogi proprietà l itervallo all itero del quale è cosetito utilizzare la formula. Occorre evitare qualsiasi forma di estrapolazioe, cioè di allargameto del rage di validità specificato. La fiducia o viee premiata. L4 13

14 Forma prodotto di radici Per il teorema fodametale dell algebra, u poliomio di grado ha radici (reali o complesse). Coseguetemete u poliomio di grado può sempre essere scritto ella forma prodotto di radici: ( ) ( )( ) ( ) { } P x = a x w x w x w w 1 2 i N.B.: la forma prodotto di radici è sempre be codizioata. Algoritmo calcolo previsioe per poliomio ella forma prodotto Iput: grado, a, radici w(i), puto z per la previsioe Output: previsioe p p = a for i = 1 to p = p * (z w(i)) ext i L algoritmo è stabile e richiede flop. L4 14

15 Forma stadard È la forma più utilizzata per descrivere u poliomio: ( ) 2 P x = a + a x+ a x + + a x N.B.: la forma stadard può essere mal codizioata. Esempio: il poliomio ( ) = ( )( )( ) ( )( ) P20 x x 1 x 2 x 3 x 19 x 20 trasformato i forma stadard diviee: ( ) P20 x = x 210x ! Se il secodo coefficiete: 210 viee modificato di u fattore 10 7, alcue delle radici del poliomio divegoo complesse e coiugate ache se il loro calcolo avviee i modo aalitico (precisioe ifiita). Oltre al fatto che la forma stadard può essere mal codizioata, la stessa matrice di Vadermode (per la determiazioe dei coefficieti a) è malcodizioata. Il malcodizioameto cresce co l ordie del poliomio. Ciò sigifica che i coefficieti a i possoo essere molto imprecisi. Ioltre, la risoluzioe del sistema di Vadermode richiede 3 /3 flop. L4 15

16 Forma stadard Qualora il poliomio sia dato i forma stadard, per calcolare u suo valore o occorre eseguire la valutazioe seguedo la sua rappresetazioe. Al cotrario è dato l algoritmo, del tutto geerale, di Horer. ( ( ( ))) ( ) = ( + ) P x a x a x a x x a a x Algoritmo di Horer (detto ache a cipolla) Iput: grado, coefficieti a(i), i=0,, ascissa z per la previsioe Output: previsioe p p = a() for i = -1 to 0 step -1 p = p * z + a(i) ext i L algoritmo richiede flop. N.B.: se la forma stadard è malcodizioata, essu algoritmo è i grado di migliorare le cose, quidi eppure quello di Horer. L4 16

17 Il metodo di Lagrage permette di evitare di risolvere il sistema caratterizzato dalla matrice di Vadermode. Il poliomio di grado viee scritto come combiazioe lieare di +1 poliomi oguo di grado : P( x) = a0l0( x) + a1l1( x) + + al( x) = al i i( x) I poliomi L i (x) vegoo scelti i modo da redere la matrice F, del sistema Fa = y, uguale alla matrice idetità I. I poliomi di Lagrage L i (x) hao formula: L ( x) Caratteristiche dei poliomi di Lagrage: 1. Soo di grado i = Metodo di Lagrage 2. Si aullao elle ascisse x j dei puti di supporto diversi da x i 3. Assumoo valore uitario ei puti: x i i= 0 ( x x0)( x x1) ( x xi 1)( x xi+ 1) ( x x) ( x x )( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) i 0 i 1 i i 1 i i+ 1 i L4 17

18 Metodo di Lagrage Dato che il sistema Fa = y si trasforma i Ia = y è possibile determiare i coefficieti a i modo baale: a i = y i. Quidi i coefficieti moltiplicativi dei poliomi di Lagrage corrispodoo alle ordiate dei puti di supporto. Perciò: P ( x) yl ( x) = i i i= 0 Joseph-Louis Lagrage ( ) Cosiderazioi sul metodo di Lagrage: Il umero di calcoli ecessario per ua previsioe i u puto z èelevato Dovedo effettuare delle previsioi i corrispodeza di più valori di z o si sfruttao i calcoli comui. Il metodo o permette di sfruttare i calcoli già effettuati se si desidera itrodurre u uovo puto di supporto. Esistoo coseguetemete formulazioi più efficieti del metodo di Lagrage classico iteressati per u implemetazioe a calcolatore. L4 18

19 Metodo di Lagrage Algoritmo per la previsioe co il metodo di Lagrage Iput: grado del poliomio, puti di supporto (x(i),y(i)) i=0,, ascissa z per la previsioe Output: previsioe p p = 0. for i = 0 to L algoritmo o è ottimizzato r = y(i) for k = 0 to if(i k)r = r*(z-x(k))/(x(i)-x(k)) ext k p = p + r ext i L4 19

20 Metodo di Newto Nel metodo di Newto il poliomio di grado che passa per +1 puti ha la seguete forma (forma di Newto): ( ) = + ( ) + ( )( ) + + ( )( ) ( )( ) P x a a x x a x x x x a x x x x x x x x e gode delle segueti proprietà: 1. Il poliomio di grado k può essere otteuto da quello di grado k 1 2. Il umero di calcoli ecessari per costruire il poliomio e per valutare ua previsioe è limitato 3. Gli errori di arrotodameto durate i calcoli di previsioe soo ridotti 4. È possibile stimare l errore che si commette utilizzado il poliomio al posto della fuzioe L4 20

21 Metodo di Newto Per determiare i coefficieti a del poliomio ella forma di Newto occorre risolvere il sistema lieare Fa = y che assume ello specifico la struttura: a y 0 0 ( ) a + a x x = y = ( ) ( ) ( ) a + a x x + + a x x x x = y Sir Isaac Newto ( ) La soluzioe è immediata i quato la struttura del sistema è triagolare. Soo richiesti perciò 2 /2 flop (cui occorre sommare le operazioi ecessarie per determiare i coefficieti del sistema lieare elle icogite a). L4 21

22 Metodo di Newto Esiste u metodo più efficiete, i termie di umero di operazioi da effettuare, per la determiazioe dei coefficieti del poliomio ella forma di Newto. Tale metodo è basato sulle differeze fratte. Algoritmo per determiazioe coefficieti ella forma di Newto Iput: grado del poliomio, ascisse x(i) ed ordiate y(i) di supporto, co i=0, Output: coefficieti a(i) della forma di Newto, co i=0, Flops: (+1)/2 for i = 0 to d(i) = y(i) ext i a(0) = d(0) for k = 1 to for i = 0 to (-k) ext i d(i) = (d(i+1) d(i)) / (x(i+k)-x(i)) a(k) = d(0) ext k L4 22

23 Metodo di Newto Ua volta oti i coefficieti a del poliomio ella forma di Newto, la previsioe viee effettuata applicado l algoritmo di Horer: Algoritmo per la previsioe co la forma di Newto Iput: grado del poliomio, ascisse di supporto x(i) e coefficieti a(i) co i=0,, ascissa z per la previsioe Output: previsioe p Flops: p = a() for i = -1 to 0 step -1 p = a(i) + p*(z - x(i)) ext i L4 23

24 Iterpolazioe di Hermite Nell iterpolazioe di Hermite vegoo acora utilizzati dei poliomi ma aziché assegare le sole codizioi di passaggio per i puti di sostego vegoo aggiute ache delle codizioi sulle derivate prime. Defiizioe: si defiisce poliomio di Hermite H 2+1 (x) quel poliomio che per ogi ascissa di supporto x i, i=0,, passa per i puti y i e ha come derivata prima y i. Charles Hermite ( ) N.B.: se le ascisse di supporto soo distite, vi è garazia che il poliomio di Hermite esiste ed è uico. L4 24

25 Iterpolazioe co fuzioi razioali Ua fuzioe che sia data dal rapporto tra due poliomi è detta razioale. R m, ( x) ( ) ( ) P x a0 + a1x+ + ax P x b + bx+ + b x = = 0 1 Defiizioe: la seguete relazioe è detta forma stadard P ( x) a0 a1x ax Rm, ( x) = m P x = bx + + b x m m ( ) Se soo oti m++1 puti di supporto (x i,y i ), i=0,, m+ i parametri a e b possoo essere ricavati dal sistema o lieare: R,m (x i ) = y i. Tale sistema può essere liearizzato moltiplicado etrambi i membri per il deomiatore (operazioe corretta se e solo se il deomiatore è diverso da zero). Il sistema lieare da risolvere risulta quidi essere: m ( ) a + a x + + a x = 1+ bx + + b x y i= 0,, + m 0 1 i i 1 i m i i Quest ultima codizioe è ecessaria per il soddisfacimeto della forma stadard ma o altrettato sufficiete. 1 m m m L4 25

26 Iterpolazioe co fuzioi razioali PRO 1. Le fuzioi razioali soo molto più poteti ell approssimare fuzioi per la loro capacità di simulare comportameti asitotici (orizzotali, verticali) CONTRO 1. La fuzioe razioale che passa esattamete per i puti di supporto assegati può o esistere 2. Il deomiatore della fuzioe razioale può aullarsi all itero dell itervallo di iteresse 3. Le fuzioi razioali soo molto più difficili da maeggiare quado occorre calcolare itegrali o derivate L4 26

27 Iterpolazioe a tratti Come detto i precedeza o è opportuo utilizzare poliomi iterpolati di ordie maggiore a 3 5. Se però i puti di supporto soo umerosi e si utilizza u solo poliomio i tutto l itervallo il suo grado cresce ievitabilmete. Ua valida alterativa è quella di utilizzare dei sotto-itervalli ed al loro itero iterpolare co poliomi di grado iferiore. Si ottiee i questo caso ua iterpolazioe a tratti. Iterpolazioe co poliomio di 6 grado Iterpolazioe lieare a tratti L4 27

28 Iterpolazioe a tratti Nell esempio sottostate è riportata ua iterpolazioe a tratti co parabole. Ogi parabola sottede tre puti di supporto aveti ciascuo ascisse distite. L esempio si presta bee a rappresetare l iterpolazioe a tratti co parabole i quato i puti di supporto soo 7 e quidi suddivisibili i tre itervalli co ogi itervallo caratterizzato da tre puti. Si oti che la sola codizioe di passaggio per i puti di supporto o assicura la morbidezza della curva totale risultate. È cioè assicurata soltato la cotiuità della fuzioe ma o quella delle derivate. Iterpolazioe quadratica a tratti L4 28

29 Iterpolazioe a tratti morbida e o oscillate Il desiderio di disporre di ua iterpolazioe a tratti, co poliomi di grado o elevato, che sia moderatamete oscillate e che produca alla vista u seso di morbidezza, si traduce matematicamete i: Dati puti di supporto (x i,y i ) aveti ascisse i ordie crescete, si desidera idetificare delle fuzioi s(x) tali che: s(x i ) = y i co i = 1,, s(x), s (x), s (x) cotiue i [x 1,x ] ioltre tra le fuzioi che soddisfao le proprietà precedeti, si desidera x 2 idetificare quelle che miimizzao l itegrale: s x dx Il cocetto sotteso dall itegrale qui riportato è quello di disporre di ua fuzioe che abbia ua derivata prima che o cambi velocemete (evitado i questo modo di itrodurre fuzioi eccessivamete ervose ). È possibile dimostrare che esiste ua sola soluzioe al problema posto. Tale soluzioe è detta: splie aturale di cubiche. x 1 ( ) L4 29

30 Splie di cubiche Idicado la splie cubica geerica come: 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) s x = a x x + b x x + c x x + d i= 1,, 1 i i i i i i i i dati puti di supporto, per determiare le sigole splie, vegoo imposte le codizioi: s x = y i = 1, 1 ( ) ( + 1) + 1 ( + 1) + 1( + 1) ( ) ( ) i i i s x = y i = 1, 1 i i i s x = s x i = 1, 2 i i i i s x = s x i = 1, 2 i i+ 1 i+ 1 i+ 1 N.B.: il umero di parametri icogiti è 4( 1) metre le codizioi fiora imposte soo: = 4 6. Quidi per determiare tutti i parametri delle splie di cubiche aggiugere altre due codizioi. occorre L4 30

31 Splie di cubiche y s 3 s 1 s 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x Esempio di assegazioe delle 4 6 codizioi: ( ) ( ) ( ) s x = y s x = y s x = y ( ) ( ) ( ) s x = y s x = y s x = y ( ) = ( ) ( ) = ( ) s x s x s x s x ( ) = ( ) ( ) = ( ) s x s x s x s x L4 31

32 Splie di cubiche È possibile soddisfare le ultime due codizioi i modo differete. Splie aturale: derivate secode ulle egli estremi: ( ) ( ) s = s x = 0 s = s x = Valore assegato delle derivate secode egli estremi: ( ) ( ) s = s x = d s = s x = d Valore delle derivate secode agli estremi proporzioale alla derivata secoda el puto adiacete: ( ) ( ) ( ) ( ) s = s x = α s x = αs s = s x = βs x = βs spesso si adottao come valori per α e β 1.0 o 0.5. L4 32

33 Splie di cubiche Utilizzado le 4 6 codizioi precedetemete idicate più le due codizioi aggiutive agli estremi, si ottiee: s s a = h = x x i = 1,, 1 i+ 1 i i i i+ 1 i 6hi s i bi = i = 1,, 1 2 y y h ( s + 2s ) = = 1,, 1 i+ 1 i i i+ 1 i ci i hi 6 d = y i = 1,, 1 Le icogite s devoo risolvere il sistema i ( ) i i ( ) ( ) s i xi+ 1 = s i+ 1 xi+ 1 i = 1, 2 ( y y ) ( y y ) 6 6 h s h h s hs i i+ 1 i i i 1 i 1 i 1+ 2 i 1+ i i + i i+ 1 = = 2,, 1 hi hi 1 che è u sistema lieare tridiagoale elle icogite s i. Ua volta risolto il sistema lieare è possibile determiare esplicitamete i coefficieti a i, b i, c i, d i delle splie. L4 33

34 Splie di cubiche L4 34

35 Joseph Louis Lagrage Letture aggiutive Bor i Turi, Italy o Jauary 25, 1736, to Giuseppe Fracesco Lodovico Lagragia ad Teresa Grosso, Joseph Louis Lagrage would become a mathematical prodigy i his lifetime. Although Lagrage was the eldest of eleve childre, he was oly oe of two that would survive to adulthood. Growig up, Lagrage atteded the College of Turi, pursuig a career as a lawyer plaed by his father. Lagrage s first mathematic ecouter was Greek geometry a subject he foud quite borig. After readig Edmod Halley s 1693 paper o the use of algebra i optics ad beig exposed to the excellet physics teachig of Beccaria, Lagrage decided to take up his career i mathematics. Lagrage s first publicatio was put out o July 23, 1754, o the biomial theorem. Lagrage discovered soo after that Beroulli ad Leibiz were already addressig the issue. To avoid beig accused of usig the work of others, he bega studyig the tautochroe, the curve o which a weighted particle will always arrive at a fixed poit i the same time idepedet of its iitial positio. After sedig the results of his work o August 12, 1755, Euler s respose, set o September 6, stated how impressed he was with Lagrage s ew ideas o maxima ad miima. Thus, Lagrage had made his first splash i the lake of mathematics. O September 28, Lagrage became the professor of mathematics at the Royal Artillery School i Turi. Soo after, i 1756, Lagrage set Euler a copy of his work o the Calculus of Variatios. Euler, who had bee workig o the subject himself, foud that Lagrage s results were more geeralized tha his. Oce agai impressed with the work of this remarkable youg mathematicia, Euler had a positio arraged for him that promised to be far more prestigious tha the oe he held i Turi. Lagrage did ot seek fame ad saw o reaso to come to Prussia while Euler, who he had much respect for, already had the positio of director of mathematics at the Berli Academy. I 1758, Lagrage helped foud ad was a major cotributor to the scietific society of Turi, which would become the Royal Academy of Sciece of Turi. A mai objective of this society was their joural, the Mélages de Turi. Lagrage s work, which icluded subjects such as the calculus of variatios, probabilities, the priciple of least actio, kietic eergy, ad propagatio of soud, appears i the first three volumes, published i 1759, 62, ad 66. I the third volume, his famous Lagragia fuctio is itroduced, ad he uses a characteristic value of liear substitutio for differetial equatios for the first time. I 1764, Lagrage wo the prize competitio from the Académie des Scieces i Paris o the subject of the libratio, or wobble, of the moo. After aother offer for a positio at the Berli Academy, Lagrage discovered that Euler would be movig to St. Petersburg. L4 35

36 Joseph Louis Lagrage He fially accepted the offer ad succeeded Euler as the Director of Mathematics o November 6, Lagrage cotiued work i Berli for 20 years, where he completed may of his importat publicatios. I 1770, he itroduced Réflexios sur la résolutio algébrique des equatios, i which he showed why equatios of up to degree four could be solved with radicals. Lagrage probably made his greatest cotributios i workig o the subject of the mechaics of the uiverse. Writig to Laplace i 1782, he described his progress o a comprehesive publicatio o mechaics. However, the death of his wife ad of Frederick II, his patro at the Academy, created a less-tha-desirable situatio to remai i Berli. Offers were made from may cities to obtai this valuable mathematicia. He accepted a offer from Paris at the Académie des Scieces ad left Berli o May 18, His work, Mécaique Aalytique, which cotaied geeral equatios that could solve all problems i mechaics, was published i He was pleased that the work cotaied o borig geometric diagrams. Lagrage survived the Frech Revolutio, ad i May 1790, became a part of the committee of the Académie des Scieces that would evetually create the metric system. He remarried i 1792 his ew wife was the daughter of a astroomy colleague. O August 8, 1793, the Reig of Terror, which had already suppressed all leared societies icludig the Académie des Scieces, kicked Lavoisier, Borda, Laplace, Coulomb, Brisso ad Delambre off the commissio, makig Lagrage the chairma. Lavoisier, a good fried of Lagrage, had saved him from a law orderig the arrest of all foreigers from eemy coutries. O May 8, 1794, Lavoisier ad 27 others were codemed to death after a trial characteristic of the presumptuous period ( lasted less tha a day ). Lagrage wrote o the death of Lavoisier, It took oly a momet to cause this head to fall ad a hudred years will ot suffice to produce its like. I 1797, Lagrage became the Professor of Mathematics at École Normale, where he istigated the cocept of the thorough traiig of teachers. I the same year, he published Théorie des foctios aalytique, i which he tried to establish a calculus without ifiitesimals or Newtoia limits. Although the work did ot suffice i achievig such a goal, he ispired Cauchy, Abel, ad Weierstrass i the ext cetury with his search for foudatios ad geeralizatios. Napoleo amed Lagrage to his Legio of Hoor ad made him a cout of the Empire i A week after beig amed grad croix of the Ordre Impérial de la Réuio, he passed away. May of Lagrage s fidigs are still employed today o the cuttig edge of techology. A Lagragia poit, a regio where a small body ca remai i equilibrium if it ad two other objects form a equilateral triagle i space, ivolvig the Earth ad the Moo has bee suggested as a locatio for a future permaet space coloy. L4 36

37 Isaac Newto Isaac Newto Sir Isaac Newto ( ) has log bee regarded as oe of the most brilliat scietist who ever lived, as well as oe of greatest mathematicias i Eglad's history. However, Newto's character ad life was oe made of log flashes of brilliace ad followed by uexplaiable eccetric behavior. Isaac was bor o Christmas day i a village i Licolshire, Eglad. His mother described Isaac as beig so tiy he could fit ito a quart jar, while his father hoped that his ew so would grow to maage the farm someday. Growig up Isaac barely maitaied average grades ad ofte lacked attetio i school. Villagers looked upo his daydreamig, habits of readig for hours at a time, ad keepig records of his iterests as mere eccetricity. However, the first hits of Newto's brilliace could be foud i his boyhood ivetios. He as resposible for creatig sudials, a accurate woode clock, water wheels, ad eve a kite with a eclosed later, which fooled the locals ito seeig ghosts! Oe of his most practical adolescet ivetios was a mill, which mechaically groud wheat ito flour via mouse power. Newto's father died whe he tured fiftee. Luckily, Newto's ucle saw the potetial of his ephew's scietific talets, ad erolled him i Cambridge Uiversity. It was here that Newto was first exposed to the world of mathematics. Havig come across Euclid's Elemets i a bookstore, Newto was able to quickly follow the work, although he had little mathematical backgroud to begi with. Havig foud the work easy readig, Newto became fasciated by mathematics ad he quickly mastered Descartes' difficult work, Geometry. From this poit o, havig bee exposed to just the surface of the worlds of sciece ad math, Newto's appetite for both exploded expoetially. Newto quickly eared the respect of his peers ad professors at Cambridge. For istace, at the ed of his secod year, Newto had take the place of his professor, Dr. Isaac Barrow, who resiged i recogitio of Newto's superior mathematical skills. I 1664, the Great Plague struck Eglad ad the uiversity closed for a period to allow studets ad professors retur home to prevet a outbreak at school. From 1664 to 1666, Isaac made his greatest cotributios to mathematics. Relyig o the works of Galileo, Kepler, ad Descartes, Newto iveted calculus, discovered the law of uiversal gravitatio, ad he did extesive work o spectrums. The creatio ad developmet of his calculus was said to be the first achievemet of mathematics, however, Newto would ot publish his calculus util much later i his life. This was a mistake that would repeat itself cotiuously throughout Newto's works ad writigs. For the ext twety years, he cotiued to lecture o mathematics. L4 37

38 Isaac Newto So advaced was his mathematics that other mathematicias spet early fifty years tryig to uderstad it all. Fially, i 1684, Newto bega writig Pricipia or Mathematical Priciples of Natural Philosophy, to help summarize his discoveries about the physical world. I this work, Newto placed a emphasis o motio. I it, he formulated the three laws of motio, the third of which is essetial to the uderstadig of moder rocket power ad jet propulsio. Furthermore, he discussed the motio of bodies i free space, the motio of bodies i a resistig medium, ad the solar system ad celestial movemets. This work cosumed Newto util its completio. He wrote ofte for 18 to 19 hours daily, while igorig meals ad havig little sleep. I additio to Pricipia, Newto wrote The Uiversal Arithmetic, which help to substatiate ad advace his theory of equatios. He also wrote papers cocerig calculus, curves, optics, ad aalytical geometry. Agai, may of these works wet upublished util log after they were writte. Newto, who was ofte reluctat to publish his writig, was fially coaxed ito pritig up his work with the urgig of his mathematicia frieds. This proved too little too late for his most beloved creatio, calculus. Although he had discovered calculus i 1666, he did ot publish its descriptio util the year Durig that time, a Germa mathematicia amed Leibiiz had created a idetical mathematical work to calculus ad published these results i Germay i As a result, Leibiiz was referred to as calculus' creator, ad whe this ews came to Eglad Newto was eraged. While the debate raged o ad both sides about who hoestly claimed the rights to calculus, all commuicatios broke dow betwee Germay's mathematicias ad Eglad's mathematicias. As a result Frace used the work doe by Newto ad Leibiz ad perfected calculus ad advaced mathematics i their coutry. Newto refused to give up his fight ad cotiued to believe that Eglad would evetually be victorious util his death. Newto cotiued however, remaiig the humble professor, but with icreasig absetmidedess. Frieds laughed at him whe visitig his home whe they saw the sight of his frot door. He had cut two holes i his frot door, oe for a cat ad oe for the cat's kitte. Ofte he would wader off from dier guests after forgettig what day it was or after his thoughts had drifted away upo mathematics. He ever married ad lived well thaks to several wise busiess ivestmets he made durig his life. I 1699, he was appoited Master of the Mit by Eglad, i hoor of his service to the coutry. Newto took this job as well as other public service edeavors i the twilight of his career. Fially, Newto spet the remaider of his life ad career tacklig mathematical problems that had log baffled other mathematicias. Ofte solvig these problems i a matter of hours, he would sed the aswers aoymously to his peers, such as Beroulli as a form of professioal humor. Newto died at the age of 85 i Lodo ad was buried i Westmister Abbey. L4 38