I.T.I. Modesto PANETTI B A R I

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1 I..I. Modesto PAEI B A R I Va Re Davd, BARI Fax Internet emal : BAF05000C@strzone.t emperatra d rmore - Fra d rmore Marne d Fadn Rapporto Senale/Rmore ne sstem n ponte rado Prof. Ettore Panella In qalnqe sstema d comncazone, sa esso n cavo n rame o ottco oppre medante colleamento rado con antenne (ponte rado è fondamentale defnre l rapporto Senale /Rmore S/ (Snal/ose. Com è noto, l rapporto S/ è defnto come l rapporto tra la potenza relatva al senale tle S rspetto a qella del rmore. ale rapporto deve essere sffcentemente elevato per consentre na corretta rcostrzone dell nformazone trasmessa. Il rmore è n qalnqe senale spro che s sovrappone a qello tle. I rmor s classfcano n parametrc e addtv. I parametrc sono dovte alle varazon de parametr de dspostv tlzzat come, ad esempo, la dspersone delle caratterstche e l nvecchamento de component. I rmor addtv sono qell ndott dall ambente esterno. Rcordamo (Cap V del testo Panella Spalerno Corso d elecomncazon Vol. I Ed. Cpdo che secondo la formla d Shannon la capactà C, ovvero la veloctà d trasmssone de dat, d n canale è fnzone sa della banda trasmessa B che del rapporto S/: S C B lo + [bps] ale relazone, però, nlla c dce sl nmero d lvell o stat M da mpeare nella tecnca d modlazone adottata. Per rcavare l nmero d lvell o stat M s deve tlzzare la formla d yqst: C B lo M Eserczo n. S desdera operare alla veloctà d trasmssone V t C Mbps n n canale caratterzzato da na banda trasmssva B 00 KHz. Calcolare l rapporto S/ mnmo e l nmero d lvell. Solzone Dalla formla d Shannon s rcava: Ovvero: S C/B 0 S 0Lo0 0

2 Dalla formla d yqst s rcava: E qnd cascn smbolo è costtto da: C/B 5 M lvell bt lo M 5 bt La veloctà d senalazone, ovvero l nmero d smbol trasmess a secondo rslta: Vt V Il tempo assocato a cascn smbolo vale: S bt 00 Kbad sn b 5µ s VS In conclsone per trasmettere Mbps n n canale con banda B 00 KHz è necessaro n rapporto Senale/Rmore maore d 0 e s deve mpeare na tecnca d modlazone mltlvello a stat n rado d trasmettere nel tempo smb 5 bt.. Valtazone del rapporto Senale/ Rmore n rcezone e sstem d telecomncazon rveste partcolare mportanza l rmore termco noto anche come rmore Johnson. ale rmore s enera a casa dell atazone termca delle carche elettrche present n n dspostvo. Ad esempo, na resstenza R, anche se non colleata ad alcn eneratore, svlppa a so cap na tensone d rmore V n dovta all atazone termca del elettron. Il valore effcace vale: V n 4 K B R Dove s è ndcato con: K la costante d Botzman par a k.8 0 [Watt/ K*Hz] la temperatra n rad Kelvn a c s trova l resstore B la banda passante entro c s msra l rmore R l valore della resstenza n Ω Ad esempo, la tensone d rmore termco n n antenna è dell ordne d poch µv. In enerale se s consdera n enerco sstema d rcezone all nresso dell apparato rcevente, oltre al senale tle, ne n senale d rmore che non è n alcn modo elmnable. ale rmore è dovto all effetto Johnson. S dmostra che la potenza d rmore assocata assme l valore: K B [W] La temperatra, se non specfcata, s pone par al valore d rfermento: S ha: 90 K (corrspondente a 7 C

3 K B [W] S defnsce denstà spettrale d potenza d rmore: S(f K [W/Hz] B S osserv che la denstà spettrale d potenza assme lo stesso valore a ttte le freqenze e dpende esclsvamente dalla temperatra dell apparato rcevente. Esprmendo la denstà spettrale d potenza d rmore n m s ottene n valore costante, alla temperatra d rfermento, par a: K 0Lo - 0 o -74 m La presenza del rmore termco s estende s ttta la amma d freqenze. Il rmore termco s pò vedere e sentre se, ad esempo, s sntonzza n apparato V s na freqenza prva d canale tle. In tal condzon s sente n rmore d fondo e sllo schermo del televsore s vedono pnt lmnos che flttano n modo casale. Per tale motvo l rmore termco è noto anche come rmore banco n analoa con la lce banca che contene ttte le component d colore. Rtornando all esempo del rcevtore e spponendo che l sstema d rcezone sa assmlable ad n qadrpolo caratterzzato da n adano n potenza G. In scta al rcevtore sarà presente na potenza d rmore par a: G + a ( G F.. Il prmo termne tene conto della potenza d rmore dovta alla temperatra d rfermento d nresso. Il secondo termne a è dovto alla potenza d rmore nterna dell apparato rcevente e non dpende dalla temperatra d rfermento. Il termne a s pò pensare enerato da na temperatra eqvalente d rmore a presente n entrata. In tale potes la precedente relazone s pò scrvere: a ( K B G + K B G K B G + ( Ovvero: + a K B G La qanttà: s + a è denomnata temperatra d sstema. La temperatra eqvalente d rmore fornsce l valore d c s deve amentare la temperatra per avere n scta dal qadrpolo la stessa potenza d rmore. Il termne: a

4 4 F + noto come cfra d rmore, è n parametro caratterstco del sstema d rcezone ed è fornto dal costrttore dell apparato. S osserv che per n qadrpolo deale a 0 ed F. La cfra d rmore è spesso fornta n. S pò scrvere: F 0LoF ota la cfra d rmore è possble rcavare l valore d a : a a (F- La potenza d rmore n scta s pò scrvere: K B G F G F S pò defnre la potenza d rmore eqvalente n entrata al rcevtore dvdendo la precedente relazone per l adano G. S ha: La potenza d rmore n scta vale: Operando n s pò scrvere: eq K B F F ( eq G ( eq 0Lo + 0LoB + F m K LoB + F (4 0 Indcando con S l lvello d potenza del senale n nresso al rcevtore n m s rcava che l rapporto Senale/Rmore del qadrpolo s pò calcolare: S S osserv, noltre, che: S eq G G S eq ( S ( eq m m S G S S G F F e qnd: S / F S / Pertanto, la fra d rmore F ndca d qanto peora l rapporto S/ n scta rspetto a qello n entrata al qadrpolo.. Cascata d qadrpol Consderamo de qadrpol colleat n cascata caratterzzat cascno da n adano G, fra d rmore F e temperatra d rmore a. enendo conto della ( applcata al secondo blocco, s ha:

5 5 G + a Dove a K a B G G F G F a. a S rcava: F. Colleamento n cascato d qadrpol. Applcando la ( al prmo blocco s rcava: G + K a B G Qnd: K B G ( + a KBG G ( + a + K a B G K B G G + a + G a K B G G [ + atot ] (5 In defntva la cascata de qadrpol presenta na temperatra eqvalente d rmore totale: a atot a + G In enerale, s dmostra, che per n qadrpol n cascata vale la seente relazone: a tot a + G a a + G G + G G a4 G È facle verfcare che l rmore complessvo dpende fortemente da prm stad. Infatt, se G è molto rande la temperatra d rmore totale dpende solo dal prmo stado: atot a. Rprendendo l caso d de qadrpol n cascata, dalla (5 s rcava: K B G G [ + ] a tot K B G G + a tot (6

6 6 La fra d rmore totale rslta par a: a tot F tot + F + La temperatra eqvalente d rmore totale vale: a G atot (F tot - Inoltre, essendo: a (F -. La fra d rmore totale s pò scrvere: Dalla (6 s rcava: F tot F + F G eq G G K B F tot In enerale per n qadrpol n cascata vale la seente formla d Frs: F tot F + F F + G G G + G F4 G G +. In defntva, se l rcevtore è costtto da na cascata d n qadrpol valono le seent relazon eneral: Fra d rmore totale: F tot F + F F + G G G emperatra eqvalente d rmore totale: + G F4 G G +. Potenza d rmore eqvalente n entrata: a a a4 a tot a (F tot - G G G G G G eq K B F tot F tot Rapporto Senale/Rmore: ( eq m LoB + F tot S S eq ( S ( eq m m. Marne d Fadn

7 7 e colleament va etere all nresso del rcevtore l senale ne con mprovvse e casal varazon d breve drata sa n ampezza che n fase. al flttazon sono note come fadn o evanescenza. Il fenomeno è dovto a vare case. Il fadn per attenazone è dovto alle varazon fsche dell atmosfera che prodcono dverse attenazon del senale n fnzone della freqenza. Il fadn per nterferenza è dovto all nterferenza tra dvers senal che partendo dal trasmetttore seono molteplc percors prma d nere al rcevtore. I senal rcevt hanno ampezze e fase contnamente varabl poché dpendono dallo stato fsco dell atmosfera (poa, temporal, ecc dalla natra del solo (mare, mont, ecc e dal cammno che le onde elettromanetche seono (onde drette, onde rflesse dal solo, ecc. I rcevtor sono dotat d opportn sstem d reolazone atomatca att a compensare ma non elmnare l fenomeno d fadn. Per compensare tale fenomeno è bona norma amentare l lvello d potenza del senale d na qanttà detta marne d fadn M F n modo da arantre per ttto l tempo del colleamento n sffcente rapporto S/. Il valore d M F necessaro a arantre na prefssata affdabltà del colleamento è stato valtato sa medante anals spermental che teorche. Per colleament satelltar, che operano a freqenza nferor a 0GHz, n marne d fadn M F 6 rslta sffcente. Per colleament n ponte rado terrestr l marne d fadn s valta spponendo che l evanescenza casale see la dstrbzone d Rayleh. In tale potes, s defnsce dsponbltà del colleamento D l parametro: D e Dove P mn è la potenza mnma che l rcevtore è n rado d rconoscere e P R è qella effettvamente rcevta. Il marne d fadn s valta medante la relazone: P P mn ( M -0 lo lnd ella seente tabella s rportano alcn valor caratterstc. F abella. Marne d fadn Dsponbltà D del colleamento (% Marne d fadn M F Il parametro D ndca la percentale d tempo, rspetto al tempo complessvo del colleamento, entro c l rapporto S/ è sffcentemente elevato per compensare l effett del fadn e arantre l affdabltà della rcezone. Eserczo Un senale della potenza n antenna d P 0 W è nvato tramte ponte rado ad na stazone rcevente. Il rcevtore opera alla temperatra ambente, 90 K, ed è caratterzzato da na banda d freqenza B MHz e na fra d rmore d F 8. Determnare l rapporto senale rmore n rcezone sapendo che: R

8 8 l attenazone dello spazo lbero del colleamento è A SL 06 l attenazone de cav d colleamento del rcevtore A C 6 Gadano dell antenna rcevente e G R 0 l marne d fadn è fssato a M F 8, corrspondente ad na affdabltà d propaazone del 99%. Rsolzone S esprme la potenza n trasmssone n m: P ( P 0 Lo m m enendo conto de dat del problema, s rcava che l senale all nresso del rcevtore vale: (S m (P m + G R A SL A C - M F -67 m La potenza d rmore eqvalente n entrata al rcevtore vale: ( eq 0Lo + 0LoB + F m K LoB + F -0 m 0 In defntva, l rapporto senale rmore al rcevtore rslta: S eq ( S ( (-0 6 m eq m Eserczo Un trasmetttore fornsce n senale con na potenza par a W ad na antenna parabolca con n adano d 5. Il rcevtore s trova ad na dstanza d 50Km e lavora ad na freqenza f GHz, con na banda passante B 0MHz. Fra. Sstema rcetrasmttente. Sapendo che la fra d rmore F del rcevtore vale complessvamente 4, determnare:. La potenza del senale n nresso al rcevtore S, n m e n scala lneare, la tensone n rcezone s na resstenza R 50 Ω ;. La potenza d rmore eqvalente all nresso del rcevtore eq n m;

9 9 S. Il rapporto Senale/Rmore n scta al rcevtore n ; 4. Il adano G che deve avere n amplfcatore, spposto deale, posto al rcevtore affnché n rcezone s abba na potenza Pr par a 50pW. Valtare l novo rapporto S/ con l nsermento dell amplfcatore; 5. Determnare l dametro dell antenna parabolca trasmttente, sapendo che l effcenza ηa è par a 0.5. Rsolzone Qesto n. La potenza del senale n nresso al rcevtore n m s calcola con la seente formla: (P R m (S m (P m + (G ant - (A SL Il termne: EIRP (P m + (G ant rappresenta l effettva Potenza rradate nello spazo EIRP (Effectve Isotropc Radaton Power. Conoscendo la potenza trasmessa n W, s rcava la potenza trasmessa n m (Pt m : P (P 0Lo m 0Lo m L attenazone dello spazo lbero n (A SL s rcava applcando la nota relazone: 4 π r (A SL 0Lo λ Dove r è la dstanza tra trasmetttore e rcevtore d 50Km, e λ la lnhezza d onda del senale, data dal rapporto della veloctà della lce e la freqenza del trasmetttore: 8 c 0 λ 0.05m 9 f 0 S rcava l attenazone dello spazo lbero: 4 π 50 0 (A 0Lo 0.05 La potenza del senale n nresso al rcevtore n m vale : S calcola la stessa potenza n scala lneare: SL 48 (S m m P S(W 0 (Sm pW La tensone n nresso rslta: V P R.6 µ V A c corrsponde n lvello d tensone n µv par a:

10 0 V L µ v 0Lo µ v 0 Qesto n. La potenza d rmore eqvalente all nresso del rcevtore eq s calcola con la seente formla: eq K B F Dove K è l prodotto tra la costante d Boltzman K.8 0 [Watt / K Hz], e la temperatra d rfermento d 7 C che s esprme n rad Kelvn: 90 K; qesto prodotto è n termne costante che s defnsce denstà spettrale d potenza d rmore alla temperatra d rfermento d 90 K.; B ed F sono, rspettvamente, la banda passante e la fra d rmore del rcevtore fornta dal costrttore. S calcola la potenza d rmore eqvalente all nresso del rcevtore n m : K 6 (eq m 0Lo + 0LoB + F Lo m 0 Qesto n. Il rapporto Senale/Rmore n scta rcevtore vale: Qesto n 4. S eq (S S m ( è par a eq m S eq, percò l rapporto S/ n scta al 80 ( 00 0 Affnché n rcezone s abba na potenza Pr par a 50pW, è necessaro nserre all nresso del rcevtore n amplfcatore deale (coè che non ntrodca lterore rmore con n adano G A n modo tale che: S (W G A 50pW Dalla precedente s rcava : G A n vale: 50 0 S (W G A 5 G A 0LoG 0Lo5.76 ( A In defntva nserendo l amplfcatore con adano.76 al rcevtore, n scta s ottene n rapporto S/ par a: S S + (G A (S m ( eq m + (G A 80 ( eq ale rapporto S/ è accettable poché spera 5, che costtsce l rapporto S/ mnmo tpco, per na accettable rcezone. Qesto n 5. Per determnare l dametro dell antenna trasmttente s deve rcordare che l adano n d n antenna parabolca vale:

11 (G ant π 0Lo η a D λ Dove η a è l effcenza dell antenna parabolca par a 0.5. Dalla precedente s rcava l espressone del dametro dell antenna D. D (Gant 0 λ 0 π η a π cm. 4. rasmsson nmerche con modlazon dtal In n colleamento nmerco la trasmssone tra apparato trasmttente e rcevente pò avvenre o n banda base o medante modlazon dtal. el prmo caso l senale dtale enerato dal trasmetttore sbsce na opportna varazone d codce per melo adattare l senale al canale d trasmssone e consentre na pù semplce rcostrzone della seqenza bnara trasmessa. Ad esempo ne colleament n rete locale s tlzza l codce Manchester, mentre ne sstem n tecnca PCM s mpeano codc AMI, HDB e CMI. e sstem che mpeano le modlazon dtal, come ne modem, ne pont rado dtal, nella V dtale terrestre, ecc, l senale modlante è d tpo nmerco e deve essere modlato con na portante snsodale per poter essere trasmesso nel canale d trasmssone. Le modlazon maormente tlzzate sono qelle dtal mltlvello: M-ASK, M-FSK, M-PSK e la M-QAM. Per approfondment slle trasmsson n banda base e slle tecnche d modlazone s rmanda al testo Panella Spalerno Corso d elecomncazon Vol. II Ed. Cpdo. In tal modlazon cascn smbolo è n rado d trasportare n nmero d bt bt anche elevato par a: bt lo M La qaltà del colleamento d tal sstem d trasmssone è decrtta dal tasso d errore BER (Bt Error Rate. ale parametro è defnto, come è noto, dal rapporto tra l nmero d bt errat n rcezone rspetto al nmero totale d bt rcevt. ella pratca, n ambente con rmore banco statstcamente casale (dstrbzone assana, s ntrodce l concetto d probabltà d errore P(e, ovvero della valtazone del BER, n fnzone del rapporto S/ al rcevtore. In formle, s defnsce probabltà d errore sl bt: bt errat BER P(e bt total elle trasmsson mltlvello la dstanza n termn d ampezza e fase tra smbol dmnsce all amentare de lvell ed è evdente, che a partà d rapporto S/, la probabltà d errore P(e amenta. Il rapporto senale/rmore n rcezone ne sstem nmerc s esprme nel seente modo: dove: S E b R E b D (7 B E b è l enera meda d n bt R è la veloctà d trasmssone (bt rate 0 è la denstà spettrale d rmore spposto banco 0 0

12 B è la banda d freqenza del canale Il termne: Vt D [bps/hz] B È n fattore d merto della trasmssone ed è defnto denstà d nformazone o effcenza d spettrale. ale parametro rappresenta la qanttà d nformazone nell ntà d tempo normalzzata alla banda passante; coè qant bps possono essere trasmess nell ntà d banda. La formla d Shannon relatva alla capactà d n canale dventa: E b R C B lo + [bps] 0 B Assmendo C R s pò scrvere: R B lo E + b 0 R B S rcava l rapporto (E b / 0 n fnzone della denstà d nformazone: E b 0 D 0lo D E b Il rapporto è noto come effcenza eneretca. 0 Ad esempo: se D s rcava (E b / 0 0 se D s rcava (E b / 0.8 se D s rcava (E b / 0.7 Dalla precedente espressone è facle dmostrare che l lmte per B eqvale al lmte per D 0 e vale (applcare l teorema d de l'hôptal: (E b / 0 0lo(ln Qesto valore mnmo del rapporto (E b / 0 è noto come lmte d Shannon. In altre parole, è sempre possble, teorcamente, determnare n opportno metodo d modlazone mltlvello n rado d recperare l nformazone d sorente prva d error prché l rapporto (E b / 0 all nresso del rcevtore sa maore d.59. I rsltat precedent sono dedott dal cosddetto teorema della codfca d Shannon. ale teorema afferma che se n n canale d capactà C na nformazone è trasmessa alle veloctà R tale che: R C allora è sempre possble determnare n sstema d codfca n rado d rendere la probabltà d errore n rcezone pccola a pacere. Vceversa se R > C non è possble trasmettere l nformazone senza error. Per mlorare l processo d demodlazone sstem mltlvello tlzzano la codfca a tralcco CM (rells Code Modlaton con c è possble avvcnars a lmt d Shannon.

13 Rcordamo che la modlazone CM è na tecnca tlzzata per estre la correzone atomatca del error FEC (Forward Error Correcton. Il metodo consste nel enerare no o pù bt rdondant a partre da bt nformatv medante l codc convolzonal. In tal caso de bt che costtscono smbol della costellazone mltlvello, alcn sono nformatv, altr sono mpeat per la correzone del error. Per poter valtare l effettva probabltà d errore P(e n rcezone n na trasmssone con modlazone dtale s deve valtare l rapporto E b / 0 n fnzone del rapporto senale/rmore e della denstà d nformazone. Dalla (7 operando n s ottene la seente relazone che consente d calcolare l rapporto E b / 0 : E b 0 R 0 lo D La teora matematca del calcolo della probabltà d errore è complessa e, pertanto, confront tra dvers tp d modlazone e la valtazone della P(e sono fatt per va rafca tlzzando partcolar rafc dsponbl s manal tecnc. In f. 4 s rporta l andamento della probabltà d errore P(e n fnzone del rapporto (E b / 0. F. 4 a Probabltà del errore P(e n fnzone del rapporto E b/ 0 [] per le modlazon M-PSK.

14 4 F. 4 b Probabltà del errore P(e n fnzone del rapporto E b/ 0 [] per le modlazon M-QAM. F. 4 c BER n fnzone del rapporto E b/ 0 [] per le modlazon M-QAM. Le precedent fre c dcono, come ovvo, che all amentare del rapporto E b / o dmnsce la probabltà d errore nella trasmssone dat. Inoltre s osserva che, a partà d probabltà d errore, sstem a pù alta veloctà d trasmssone rchedono n maor rapporto E b / o e qnd n pù elevato rapporto senale/rmore.

15 5 Da n pnto d vsta matematco s pò dmostrare che la probabltà d errore per na modlazone M-QAM s valta con la seente espressone: ( M E b lo M P(e erfc (8 M lo M (M o Dove la fnzone del error complementare erfc è defnta dalla relazone: erfc(x π x e t dt In f. 5 s rporta l andamento della fnzone erfc(x. Eserczo 4 F. 5. Fnzone erfc(x. In n sstema d trasmssone n ponte rado nmerco è noto che la veloctà d trasmssone de dat è R Mbps e s opera con modlazone 64-QAM. Sapendo che l rapporto senale/rmore S al rcevtore vale: 6, determnare la probabltà d errore P(e. Rsolzone Essendo la modlazone a M 64 stat consee che la veloctà d senalazone vale: R V lo M 6 6 s 5.9 Mbad

16 6 La banda mnma teorca vale B mn V s ma nella pratca al rcevtore è presente n fltro a coseno ralzato con coeffcente d roll-off R off, tpco, par a R off 0.5 (s veda l Cap. 5 del testo Panella Spalerno Corso d elecomncazon Vol. I Ed. Cpdo. S ha: In defntva s rcava: L effcenza spettrale vale: mentre l effcenza eneretca rslta par a: B V s ( + R off B Vs 8.88 MHz R lo M 4 B D E b 0 S 0 lo D Dal rafco d f. 4b s rcava na probabltà P(e dell orne d 0-7, ovvero bt errato per on 0 mlon d bt rcevt. Lo stesso rsltato s ottene applcando la (8. Eserczo 5 Un ponte rado nmerco opera n tecnca 6-QAM con veloctà d trasmssone d R 54Mbps e freqenza della portante d GHz. La potenza emessa dal trasmetttore è P t W. L attenazone dello spazo A SL 0, mentre la somma delle attenazon de cav d colleamento, de connettor e del marne d fadn valono complessvamente 60. La fra d rmore del rcevtore è F 7 e le de antenne tlzzate per la trasmssone hanno n adano d 0 cascna. S desdera che la probabltà d errore n rcezone P(e sa mnore d 0-6. Determnare: La veloctà d senalazone V s La banda passante B La denstà d nformazone D Il adano G d n eventale amplfcatore da nserre n rcezone per soddsfare la P(e rchesta La dstanza r tra l apparat d rcetrasmssone Rsolzone La veloctà d senalazone vale: Vs R l M l Mbad La banda passante s pò assmere par a:

17 7 B S determna la denstà d nformazone: Vs MHz 6 R [bps Hz] ( D 0LoD 0Lo B 0 0 D 6 Il rmore eqvalente presente all nresso del rcevtore, spponendo la temperatra par a 7 C, rslta: eq LoB + F m Per ottenere n BER mnore ale a 0-6 è necessara n effcenza eneretca par almeno a 5, come s pò dedrre dalla f.4b. pertanto, l rapporto Senale/Rmore deve essere: S Eb 0 + (D da c: S 9. ovvero: ( S m ( m 9. S rcava: ( S m m 74.75m Per determnare l eventale adano n potenza dell amplfcatore da nserre n nresso al rcevtore s fa rfermento all eqazone fondamentale della trasmssone: ( L PRX m (L PX m + G α Ovvero: l lvello della potenza n rcezone è par al lvello della potenza n trasmssone pù la somma d ttt adan meno la somma d ttte le attenazon. Il lvello della potenza del trasmetttore n m vale: (L PX m 0Lo 7m 0 S rcava: L PRX m (L PX + G α m ( m

18 8 Per ottenere n lvello d potenza d almeno m è necessaro n amplfcatore d potenza con adano (G A d almeno: ( G (-74 A 7.5 Per determnare la dstanza tra le antenne s tlzza la formla dell attenazone dello spazo lbero La lnhezza d onda vale: Essendo: 4πr A SL 0 Lo λ 8 c 0 λ 0.5m 9 f 0 Invertendo la formla s ottene: 4πr A SL 0 Lo 0 λ 4πr λ Infne s rcava: λ 0 r 4π km