DINAMICA (punto materiale e corpo rigido)

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1 SEZIONE 4 DINAICA puto atral corpo rgo L pag sgut ao lo scopo sttar oo stro alcu coctt foatal lla aca l corpo rgo. Lo stut può cosrar ar ralt apprso tal coctt solo quao sa grao applcarl oo scuro a probl ccaca sprat a ccas acc ral coè solo quao sarà grao applcar qusta tora alla rsoluo probl cat lla so 5 qust sps. 4. RICHIAO SULLA DINAICA DEL PUNO AERIALE Assuo ot coctt assa fora rcaao rapat gl lt foatal lla aca l puto. Pr qust ulto l quao Nwto a fora: f t t al rlao prscr la proporoaltà tra la rsultat f t ll for applcat all lto la sua acclrao t trat la assa. S ot co la fora f t o sa gral u tr oto a puttosto ua fuo ota lla poso lla loctà ll lto c soo prò cogt oltr c tualt l tpo. Il probla foatal lla aca cosst lla rsoluo ll quao : ota la fora lla fuo f coè lla fora rsultat agt sull lto s uol trar la poso t ll lto atral al arar l tpo. Dal puto sta atatco tal probla corrspo alla soluo tr quao ffral ll tr copot t t t l ttor poso t. I gral tal quao soo o lar. E oto all Aals c ua sffatta soluo può ssr trata uocat sotto crt coo spcfcat al tora Cauc c soo lla aggoraa probl ccaca applcata rfcat assgat l coo al c spcfcao la poso la loctà ll lto atral u crto stat c pr cootà s assu coct co t org tp. Vro co a partr alla sola quao sa possbl rar pr l corpo rgo ll quao capac scrr ot l ao str su sso agt l oluo l tpo lla sua poso. All quao s può ar ac ua fora altrata. Itrootta la loctà l puto s può rurr l quao c è ffral l sco or a u ssta u quao ffral l pro or: f t t t.bs

2 al ssta cosst 6 quao ffral ll s cogt t t t t t t. La fora.bs è utl soprattutto quao s uso tcc tgrao urca ll quao coè quao s pgo algort rsolut sgut a calcolator. 4. DINAICA DEL CORPO RIIDO Il oo rcaar l quao lla aca u corpo rgo sgu ua stratga sostaalt splc. Cosrao l corpo rgo co costtuto a u s ft lt atral; pr cascuo ss possao scrr l quao Nwto colloao tal oo u uro fto quao ffral ll ft cogt rapprstat all s ll poso put atral l ssta cosrato: f t f t t 3... o OP è l ttor poso l grco lto rfrto al ssta fsso Ro org O; l for applcat all lto -so soo stat stt for tr f t ossa lla rsultat ll for c soo applcat all lto -so a tutt rstat lt atral l corpo qull str f t ll qual possao raccoglr tutt qull c o soo for tr. S ot prò c co oto alla catca la scro lla poso u corpo rgo llo spao rc solo s paratr carattrstc: tr soo l copot l ttor poso u puto arbtrarat sclto l corpo tr paratr pt c fscoo la atrc rotao c cot l forao sull ortao l corpo. Rsulta allora caro c pr scrr la aca l corpo rgo soo a prcpo cssar ac suffct s sol quao ffral coè u uro s rlao c corrlo la poso spaal l corpo all ao a sso applcat. La rao ll quao caral lla aca uo ssalt a qusta cosrao. S tratta allora cobar opportuat tutt l quao Nwto scrtt pr cascu lto atral l corpo rgo pr ottr s quao ffral s paratr carattrstc c scroo la poso spaal l corpo stsso. ccat cascua ll quao caral s ra at u passagg foatal: l pro cosst l cobar opportuat tutt l quao oto scrtt; l scoo l far apparr ss paratr carattrstc c scroo la poso l corpo rgo pù prcsat l rat ll coorat barctrc opportu rat lla atrc rotao sfruttao la coo rgtà l corpo. 4.3 PRIA EQUAZIONE CARDINALE Cosrao l s quao ; sguao qust la soa s ottoo pr splctà gl argot ll fuo: f f S ossr c la scoa soa a pro bro è ulla pocé l for tr a copp soo ugual oppost. Ora f F è la rsultat ll for str applcat al ssta lt

3 atral cosrato ossa la rsultat ll for str applcat al corpo rgo. Ioltr la soa a scoo bro è la rata lla quattà oto Q l corpo rgo. Prtato: F Q 3 c è ua possbl fora lla pra quao caral. S ot co la 3 costtusc u s solo tr quao ffral. Nlla aca l corpo rgo la poso spaal è scrtta oo cot al ttor poso l barctro è la assa l corpo alla atrc rotao R. Nll quao 3 s può faclt far fgurar l ttor lla poso barctrca. S ot fatt c Q ossa Q. Sosttuo lla quao 3 s ott f: F 4 t c è la fora lla pra quao quao caral c utlro pù frqutt probl ccaca applcata. L quao 4 prtt ot l for applcat al corpo trar la poso u suo puto l barctro. Pocé la cofgurao spaal u corpo rgo rc la trao ac lla atrc rotao la sola quao 4 o è suffct a trar la cofgurao spaal l corpo soggtto a assgat for str. A tal f rcaao la scoa quao caral. 4.4 SECONDA EQUAZIONE CARDINALE La rao lla scoa quao caral è cocttualt aaloga a qulla gà sta pr la pra quao caral pur prstao qualc ffcoltà foral supror. oltplcao ttoralt cascua ll quao pr l ttor poso r P soao po l quao ottut tal oo: r f r f r Cò corrspo a ar sclto l polo ot coct co l puto grco puto sa sso tualt ac obl. Ossrao c la scoa soa a pro bro è ulla pocé ot tr s aullao a copp. S a po c r f è l oto rsultat ll for str applcat al corpo. Prtato: r 5

4 Il oto lla quattà oto l corpo è fto l oo K r pr la sua rata tporal:. S a allora K t r r r Ossrao c r P OP O sso O l org l ssta rfrto fsso Ro. Sgu c r P OP O. Sosttuo ll quao prct s a: t t K r r r ossa: K r Pocé la coorat barctrc soo fort a Q s a alla 5: K Q ossa: K Q 6 c è ua possbl fora lla scoa quao caral. S l polo è sclto coct co u puto fsso pr cu o coct co l barctro l qual caso Q pocé uqu s tratta prootto ttoral tra ttor paralll l quao s splfca l oo: K 7 c è la scoa quao caral lla fora c s cosgla aottar. S ot l aaloga foral co la 3. S può f troar u quao c è l aaloga lla 4 lla qual la scoa quao caral è sprssa faco coparr la atrc rotao. Qusto passaggo è portat: fatt ota la poso l barctro og stat attrarso la 4 la atrc rotao attrarso la scoa quao caral s tra copltat la poso llo spao l corpo rgo attrarso la forula foatal lla catca. S

5 rsol tal oo l probla foatal lla aca l corpo rgo: ot l for su sso agt trar la sua poso llo spao og stat. Al f far apparr lla 7 la atrc rotao utl prò prttr l coctto atrc ra ARICE DI INERZIA Il oto ra u corpo rsptto a u ass qualuqu l cu rsor è è passat pr l org è trabl soao pr tutt gl lt atral l corpo rgo la staa al quarato tra qust lt l ass qusto oltplcata pr la assa cascu lto. S a fta: E facl rrs coto l fatto c la staa all ass rsor passat pr l org è splct P. La prct soa ta allora: Sluppao l prootto ttoral cato lla soa: k j k j qu: Itrouco qust sprsso qulla l oto ra s ott: 8 Poao ora: cosccé l sprsso 8 ta:

6 9 L quattà troott possoo ssr assblat all tro ua atrc strca l oo: c è la atrc ra. L sprsso 9 co s rfca sluppao calcol s può allora rscrr oo sttco: [ ] 4.4. L ESPRESSIONE DI K IN ERINI DI Cosrao l sprsso l oto lla quattà oto rfrta a u ssta R la cu org O fssao l barctro l corpo cu ass abbao ortato arabl rsptto agl ass lla tra fssa Ro. I tal ssta rfrto barctrco l oto lla quattà oto a sprsso: K P S l sprsso s rfrsc a u corpo rgo allora la loctà u suo grco puto P s spr attrarso la forula foatal lla catca so. Pocé l org l ssta coc co l barctro s a: P Sosttuo lla s ott: K P P P P P P S ot c pr fo l barctro a ttor poso lla tra Ro sprsso a O OP a cu sgu c posto O P. Prtato la prct sprsso l oto lla quattà oto s splfca lla sgut: K P P al sprsso può ssr sttcat sprssa attrarso l uso lla atrc ra. Ifatt sluppao splc calcol s sprao proott ttoral cotut lla prct quao fora splcta s ott:

7 K I tal oo la scoa quao caral quao 7 sprssa l ssta rfrto barctrco R : K t c è aaloga all quao 4 o soo prò ora coolt paratr lgat all ortao l corpo la assa l corpo ll quao 4 a l suo corrsptto ll quao la loctà barctrca 4 a l suo aalogo l ttor loctà agolar lla. 4.5 SINESI SULLA DINAICA DI UN CORPO RIIDO L quao 4 soo quato occorr pr sluppar u ollo atatco capac scrr la aca u corpo rgo. Rcorao c l obtto foatal può ssr così sttato: trar ll quao ffral c corrlo la cofgurao assuta llo spao og stat a u corpo rgo a causa u s for a sso applcat. L quao 4 rspooo sostaalt al qusto. La rsoluo tal quao prtt prr l oluo lla cofgurao l corpo llo spao al arar l tpo ot l for a sso applcat. C è prò a ossrar c la rsultat ll for str l rsultat ot ll for str prao gral a paratr c scroo la poso l corpo u grco stat all loro rat tualt ac splctat al tpo oo prfttat aalogo a quato sprsso alla pr l lto atral. Scco tal cofgurao è scrtta l caso l corpo rgo alla atrc rotao R alla poso barctrca la 4 la pù prcsat ao la fora: F R R t t R R t t Nll quao scrtt fgurao prtato co cogt oltr al ttor sa R c pr u total o cogt 3 pr la poso barctrca 3 pr la atrc rotao 3 pr la loctà agolar tr l u quao scrtt costtuscoo u ssta solo 6 quao ffral 3 assocat alla pra 3 assocat alla scoa. Ora prò co gà sappao alla catca R o soo tra loro pt a lgat alla rlao: Ω RR Ω al rlao atrcal corrspo a tr sol quao scalar pt. Qust s ao a aggugr all 6 quao gà scrtt parggao l blaco tra quao cogt 9

8 quao 9 cogt. All quao catca scrtta s può ac ar la fora postoltplcao pro scoo bro pr R: R ΩR t 3 L s ll lla 3 cu alo cocttualt l probla lla aca l corpo rgo. Pr trar ossrao c la 3 è splcata l tr cotuto lla scoa quao caral: ssa forsc la rlao c trcorr tra l paratro loctà lgato all ortao coè Ω oppur l paratro poso rlato all ortao l corpo coè R. U aaloga rlao o è c stata scrtta pr l altro paratro poso l corpo rgo coè c appar c splctat sprsso at l su rat ll quao 3. Pr rago stra lgaa foral possao prfrr ua trattao aaloga pr R : s l paratro poso R a u paratro loctà assocato c è Ω oppur assocao ac al paratro poso u paratro loctà sa sso. I qusto caso oro spcfcar attrarso u quao aaloga alla 3 l lga tra c è baalt: t 4 All 3 4 s à allora la sgut fora ssta quao al pr or: t t F R t t t R t R ΩR 5 S tratta gral u ssta quao ffral l pr or cogt scalar copot R c è l aalogo pr l corpo rgo ll quao.bs scrtta pr l puto atral. Pocé sa l for c ot applcat al corpo soo solto fuo o lar loro argot tal quao soo ac o lar. La soluo l ssta 5 prtt trar paratr poso R ot l sso gà spcfcato l for agt sul corpo. I altr parol s tra l oto l corpo scrtto attrarso R ot alcu for agt sul ssta. 4.6 EQUAZIONI DI EULERO L quao 5 prstao ua crta coplcao foral soo lla graltà cas o splc soluo. S ot c ua ll coplcao o è la sola rs l fatto c la atrc ra lla scoa quao caral è ua fuo l tpo. S rcora fatt c qusta è stata trata quao rsptto al ssta rfrto barctrco R la cu org O fssao l barctro l corpo cu ass ao ortato arabl

9 rsptto agl ass lla tra fssa Ro. Qusto sgfca c rsptto a R l corpo caba la sua ortao spaal cosccé tr lla atrc ra ft 4.4. poo all stat tpo cosrato. al coplcao pur prao l altr può ssr tata. Ifatt s può sttur u ssta rfrto solal al corpo sprr la scoa quao caral rsptto agl ass qusto uoo ssta rfrto. I tal ssta la atrc ra arà copot arabl rsptto al tpo prouco ragoolt ua splfcao ll quao. Dal oto c scglao rfrr l quao a u ssta solal al corpo possao scglr tra gl ft possbl qul ssta rsptto al qual la atrc ra a fora agoal ossa rsptto al qual tutt tr a cco qull sulla agoal prcpal s aullo. Caao tal rfrto tra ctral ra R. Esst u procto gral pr trar qual sao gl ass qusto ssta rfrto. No faro co qu a tal procto a c ltao a ossrar c olt cas trssat pr l applcao tal ass soo trao puttosto splc. Il procto c cosrao applcato a corp oog stà assa l corpo rgo costat sgu poc pass: - pr l corpo qusto s tra s sst u pao stra ; l barctro appart a tal pao; - s tra s sst u scoo pao stra ortogoal al pro sa sso Π ; l barctro appart ac a tal pao; - u pa s trscao allora lugo ua rtta c passa pr l barctro: qusto è u pro ass R ; - traccao la rtta prpcolar a Π passat pr l barctro: qusto è u scoo ass lla tra ctral ra; - traccao la rtta prpcolar a Π passat pr l barctro: qusto è l tro ass lla tra crcata. I tal tra la atrc ra è agoal. La rago pr cu cò s rfca è coprso tuta. Ifatt l ssta pa stra coporta c tr fuor agoal lla atrc sao ull prcè soa proott coorat put l corpo c a copp s troao a u part oppost strc rsptto a u pao stra: l prootto ua coorata è la stssa pr tutt u put l altra sgo opposto ugual oulo sto c soo strc rsptto al pao. La soa tutt qust proott è ro prcè tr lla soa a u a u s loo. Cò acca pr tutt tr fuor agoal a o pr qull sulla agoal c ao fora rsa o subscoo qusto procsso lso. Π Partao allora all quao. Esprao K l ssta rfrto R : K R K K R K R K S sosttuao ll quao tuto coto l fatto c K s ott: R K R K R K R R K R t ao cosrato c la atrc ra o ara rsptto al tpo sso alutata l ssta rfrto solal al corpo. Faccao ora apparr a pro bro l oto sprsso l rfrto R ; pocé R s a ac R ; sosttuo ll quao prct: R R R K R R R R K

10 Esguao u ulta apolao. Cosrata l ttà sosttuo lla prct quao s a: K R R K R K R R R Pocé s ott: RR Ω Ω R K R Ioltr pr l proprtà st lla so catca ; uqu: Ω R R Ω K Ω If: Ω 6 c è l quao crcata. I ssa tutt l quattà trss soo sprss tr copot rlat alla tra ctral ra. Esplctao tal quao s ott: Sluppao proott atrcal s ott fta: 7 c soo l quao Eulro. 4.7 EQUAZIONE DI BILANCIO DELLA POENZA L quao caral co sarà pù caro stuao l applcao lla aca sst corp rg soo lo struto pù pott pr sgur l aals aca u ssta ccaco. La loro rsoluo pur foralt coplcata cost trar l oto l corpo rgo ot l for su sso applcat trar ac tutt l rao applcat a tual col. Qust ulto puto rst ua crta portaa olt probl applcat lao s

11 sa trssat a trar l for scabat tra rs br ua acca solto affcé pr sgol copot ssa sa garatta l tgrtà struttural o pr scglr opportuat l carattrstc ccac cusctt gl orga ccac collgato o s sa trssat all for c goo scarcat a copot oto sul tlao al f a spo prr sollctao brao trasss al basato lla acca. E prò possbl postar l probla aco sguo u approcco rso. apolao opportuat l quao l oto s può prr a u uca quao scalar l quao blaco lla pota pù splc l ssta costtuto all quao caral otol trss alo alcu applcao. L aals c sgu qusto ro o prtt trar l rao colar agt sul corpo é l for scabat tra rs copot ua acca a prtt prr l oto l ssta. Bsoga couqu aggugr c ua olta trat paratr c carattrao l oto sst po spr la possbltà utlar l quao caral pr trar l rao colar lao qust sao qualc trss. Qust asptt rrao approfot cart lla So 5 o s scutrà l applcao sa ll quao caral sa ll quao blaco lla pota a sst ccac ua crta coplsstà. Pr l oto c occupao rar l quao l blaco lla pota. Rprao all quao : oltplcao ogua ll quao scrtt scalar pr l ttor loctà soao tutt l quao così ottut: f f k L for sa tr c str è utl stgurl for cosrat for o cosrat. Duqu: 8 k f f cos f f ocos cos ocos S rcora c ua fora cosrata f è carattrata al fatto c ssa può ssr rata a ua fuo scalar U l potal l oo gra U f c l laoro ffttuato a tta fora rlatat a u spostato l suo puto applcao s spr co U f. Allora sso t : / f cos t f cos f cos f cos U U t t t o U U soo gl crt rga potal proott all for f f str tr outo a u spostato l puto P. La arao ll rga potal U pr l tro ssta lt atral è: cos cos U U U Prtato: U f cos f cos 9 t t t

12 Passao a saar l scoo ao parts a pro bro lla 8. S tratta lla pota assocata a tutt l for o cosrat sa tr c str c cro sttcat l oo: Pocos ocos f f ocos Esaao f l tr a scoo bro lla 8. L rga ctca ll lto atral è otorat. L rga ctca tutto l ssta put P atral è splct t Sosttuo l 9 lla 8 s ott: U t P t. S ott baalt: ocos P ocos U t t S fao rga total E l ssta la soa ll rga ctca ll rga potal ottao l quao blaco lla pota o quao ll rga: E t t P t ocos Duqu la pota tutt l for o cosrat guagla og stat la rata rsptto al tpo ll rga total l ssta put atral. Cocluao co alcu ossrao rlat alla fora c assuoo l rga ctca la pota ll fora o cosrat pr u corpo rgo. L rga ctca è fuo lla strbuo lla loctà tra gl lt atral l ssta stuato. Nl caso u corpo rgo co sappao tal strbuo è sprssa attrarso la forula foatal lla catca. Espro la loctà ll sprsso ll rga ctca attrarso la forula foatal lla catca ottao: Sluppao proott: uqu: P P [ P P P ]

13 P P P 3 k Il pro ao è baalt. Il scoo ao è ro pocé pr fo O OP a cu sgu c posto O P. Il tro ao sluppao proott cat s c s può scrr fora splc trat la atrc ra: P P L sprsso 3 assu allora la fora: S ot c l scoo ao è pù splct alutabl lla tra ctral ra. Espro l quattà trssat rsptto a qust ulto ssta ottao: 4 L sprsso 4 ota co tora Koëg sottola co l rga ctca l corpo rgo sa soa u cotrbut: l pro è lgato alla loctà barctrca l scoo alla loctà agolar. L quao 4 è otol utltà oprata ll aals aca ll acc. U ulta ossrao sull sprsso lla pota u ssta for applcato a u corpo rgo. S a co splc passagg: P f P f P F F P f F f P Duqu la pota ll for applcat al corpo rgo è soa u cotrbut: l pro è la pota assocata alla rsultat ll for str alla loctà barctrca; l scoo è la pota assocata al rsultat l oto ll for str polo l barctro alla loctà agolar.

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