Matematica Attuariale. Contratto di assicurazione

Transcript

1 Matematica Attuariae La matematica attuariae studia a determiazioe dei premi assicurativi i fuzioe di determiati eveti che possoo verificarsi i reazioe a cotratti assicurativi. Cotratto di assicurazioe È u cotratto i forza de quae assicuratore si impega a pagare ad u beeficiario ua somma prestabiita quaora si verifichi u certo eveto di atura aeatoria, riguardate assicurato o u suo bee Eemeti di matematica attuariae

2 Cotratto di assicurazioe art.882 Giuridicamete i cotratto di assicurazioe è defiito e art. 882 de Codice Civie. Art Nozioe : L assicurazioe è i cotratto co quae assicuratore, verso pagameto di u premio, si obbiga a rivaere assicurato, etro i imiti coveuti, de dao ad esso prodotto da u siistro(904-98), ovvero a pagare u capitae o ua redita a verificarsi di u eveto attiete aa vita umaa (899, 90, 2952). Eemeti di matematica attuariae 2

3 Tipoogie dee coperture assicurative Le assicurazioi si possoo cassificare i due pricipai categorie: Assicurazioi cotro i dai (dette ache dei rami eemetari). La prestazioe de assicuratore è u risarcimeto a frote di evetuai dai materiai subiti da assicurato. Questi possoo cosistere i dai aa persoa, i dai ai bei di proprietà de assicurato, o acora i situazioi di resposabiità civie, cioè dai arrecati a terzi. I carattere risarcitorio comporta aeatorietà de esborso de assicuratore i u dato periodo di copertura assicurativa, i geere breve. I questo caso, quidi, aspetto fiaziario è spesso trascurabie, metre queo statistico probabiistico è dea massima importaza. Assicurazioi sua vita. La prestazioe de assicuratore cosiste e pagameto di somme a verificarsi di prestabiiti eveti iereti a vita, e i particoare a sopravviveza di ua o più persoe. Gi importi da erogare soo prestabiiti, o ameo determiabii secodo schemi di cacoo prefissati, e aeatorietà riguarda i se ed i quado sarao corrisposte. Eemeti di matematica attuariae 3

4 Le assicurazioi Esistoo due tipi di assicurazioi, e assicurazioi cotro i dai o eemetari ( assicurazioe cotro icedi, furti,ecc.) e e assicurazioi sua vita, che soo oggetto de ostro studio. Nea defiizioe riportata da Codice si para di assicurato, però ee assicurazioi sua vita occorre distiguere tre persoe che possoo o o coicidere, e precisamete: -I cotraete, che è a persoa che stipua i cotratto e paga i premio; -I beeficiario, che è a persoa a cui assicuratore pagherà a somma assicurata; - assicurato, che è a persoa a cui esisteza i vita, o a cui morte, costituisce eveto oggetto de cotratto. Ua persoa stipua u cotratto che prevede i pagameto a figio di ua certa somma e caso che a mogie muoia etro ua certa età. I questo cotratto avremo: -cotraete - i padre; -beeficiario - i figio; -assicurato - a mogie. Ua persoa stipua u cotratto che prevede i pagameto di ua certa somma agi eredi i quauque epoca avvega a sua morte. I questo cotratto avremo: -cotraete - persoa che stipua i cotratto; -beeficiario gi eredi; -assicurato persoa che stipua i cotratto. Ua persoa stipua u cotratto di redita vitaizia da ua certa età fiché vive. I questo caso cotraete, beeficiario e assicurato coicidoo ea stessa persoa. Eemeti di matematica attuariae 4

5 La somma che i cotraete paga si chiama premio e può essere uico o periodico. I premio è uico se viee pagato i ua soa vota aa stipua de cotratto, è periodico se viee pagato a itervai costati di tempo, geeramete u ao. Esiste ua uteriore distizioe fra premio puro e premio di tariffa. - I premio puro tiee coto soo de vaore dee prestazioi che assicuratore si impega a corrispodere, ed è, come i u gioco equo, a speraza matematica de vaore attuae dee somme assicurate. - I premio di tariffa, o caricato, tiee ache coto dee spese che assicuratore sostiee e de guadago che itede reaizzare co questa sua attività. Eemeti di matematica attuariae 5

6 Le assicurazioi sua vita costituiscoo ua forma di prevideza e di risparmio. Ifatti, reaizzao ua forma di risparmio, i quato assicurato, per i pagameto dei premi aui, risparmia ua parte de proprio reddito a beeficio dei suoi eredi, se assicurazioe è di morte, a beeficio suo, se assicurazioe è di vita. È vero che potrebbe risparmiare impiegado i suo dearo i atre forme di ivestimeto, ma assicurazioe è ache prevideza. Co assicurazioe sua morte, assicurato può garatire agi eredi i capitae assicurato se a sua morte avviee prematuramete e quidi, e caso di pagameto di premi periodici, ache se soo stati pagati soo acui premi. iversamete, se e stesse somme fossero state ivestite i baca, i oro motate sarebbe moto miore. atra parte, u assicurazioe i caso di vita, tae da prevedere i godimeto di ua pesioe, garatisce assicurato per tutti gi ai che gi rimagoo da vivere (se a sua vita è moto uga) metre, se versasse i baca e stesse somme, co i preievi, i motate si potrebbe esaurire i u tempo miore. Eemeti di matematica attuariae 6

7 Perciò assicurazioe i caso di morte copre i rischio di morire troppo presto asciado i codizioi di bisogo gi eredi, assicurazioe di pesioe copre i rischio di vivere troppo a ugo e di o avere i mezzi sufficieti per vivere. Nei cotratti di assicurazioe si devoo fissare: a somma o e somme assicurate; a scadeza di tai somme; e codizioi, cioè gi eveti che devoo verificarsi perché assicuratore assova ai suoi impegi. I cotratti di assicurazioe sua vita soo di diverso geere e suddivisibii i 3 gruppi: -assicurazioi i caso di vita, ee quai assicuratore è impegato a pagare a somma, o e somme assicurate, soo se assicurato aa oro scadeza è i vita; -assicurazioi i caso di morte, ee quai assicuratore è impegato a pagare a somma assicurata i caso di morte de assicurato; -assicurazioi miste, che soo combiazioi di assicurazioi i caso di vita e i caso di morte. Eemeti di matematica attuariae 7

8 Per i cacoo dei premi, i cotratti che comportio più di ua somma assicurata, si appica i pricipio di composizioe dei cotratti, per i quae i premio uico puro (per u cotratto comprede più prestazioi, essedo ogua ua assicurazioe) è uguae aa somma dei premi uici puri reativi ad ogi sigoa prestazioe. Le basi teciche per i cacoo de premio puro soo sia di atura probabiistica, i quato si deve poter cacoare a probabiità di sopravviveza o di morte di u assicurato secodo ua tavoa demografica, sia di atura fiaziaria, i quato, essedo i cotratti di uga durata, a Compagia di Assicurazioe deve vautare e somme assicurate, teedo coto degi ivestimeti dei premi riscossi e fissare così u tasso, detto tasso tecico (geeramete 4%). I pratica, i probemi cosistoo e determiare i premio, o i premi, da versare per otteere e prestazioi stabiite o, viceversa, e determiare di quae somma, o di quai somme, assicurato o i suoi eredi potrao disporre a certe scadeze quado soo fissati i premi. Eemeti di matematica attuariae 8

9 Le fuzioi biometriche La probabiità di sopravviveza o a probabiità di morte di ua persoa dipedoo da vari fattori; tra cui i più importate e sigificativo è età, e soo de età si tiee cote e cacoo di tai probabiità. Si tratta di vautazioi di probabiità secodo impostazioe statistica, basate sue frequeze e a tae scopo soo state costruite dee Tavoe di sopravviveza e di mortaità co teciche piuttosto compesse, mediate i metodo dei decessi o i metodo dei cesimeti. Queste tavoe, che partoo da ua popoazioe teorica di persoe aa ascita (maschi e femmie), riportao per ogi età 0,,2,3,4.ai, quati idividui hao raggiuto tai età e quati soo morti ae età di 0,,2,3,4, ai. Eemeti di matematica attuariae 9

10 Le fuzioi biometriche etta età itera, si idicao: = umero dee persoe viveti a età de isieme teorico di eoati ( è iiziae de termie igese ivig =vivete); d = umero dee persoe di età che muoioo prima di avere raggiuto età successiva (d è iiziae de termie igese dead = morto). Le fuzioi e d soo dette fuzioi biometriche, poiché soo fuzioi de età. Fra esse esiste a reazioe : d = - + Poiché i umero di persoe di età che muoioo prima di raggiugere età + è uguae aa differeza fra i viveti di età e i viveti di età +. Eemeti di matematica attuariae 0

11 Le fuzioi biometriche I vaori di decrescoo a crescere di fio a u utima età, detta età estrema, che idichiamo co a ettera greca ɷ (omega). L età estrema, che di orma raggiuge o supera i ceto ai, è tae che Lɷ+=0, questo sigifica che essu vivete di età ɷ raggiuge età successiva. Tae codizioe si può ache esprimere co a seguete otazioe: d ɷ = ɷ=0 ae fuzioi biometriche e d si ricavao e probabiità di sopravvivere o di morire. Si defiisce tasso auo di sopravviveza, ed è data da rapporto fra i umero di viveti a età + ed i umero dei vivete a età, a probabiità che ua testa di età ha di raggiugere età +: p Si defiisce tasso auo di mortaità, a probabiità che ua testa di età muoia prima di raggiugere età +: q p Eemeti di matematica attuariae d

12 Eemeti di matematica attuariae 2 Le fuzioi biometriche Otre a tasso auo di sopravviveza ed a tasso auo di mortaità, è iteressate cooscere a probabiità di sopravvivere o di morire per determiati itervai di età. Si defiisce probabiità di sopravviveza dopo ai, a probabiità che ua persoa di età sia i vita dopo ai: La probabiità di sopravviveza dopo ai è ua probabiità composta, poiché si ottiee da prodotto di tassi aui di sopravviveza. p p p p p p

13 Le fuzioi biometriche aa probabiità di sopravviveza dopo ai ricaviamo a probabiità di morte etro ai (probabiità cotraria), i quato esprime a probabiità che ua testa di età ha di morire prima di raggiugere età + : / q p ae fuzioi biometriche si ricava a probabiità di morte differita di ai e temporaea di, ossia a probabiità che ua persoa di età raggiuga età + e muoia etro u ao. Ache questa è ua probabiità composta e si cacoa secodo a seguete formua: / q p. q. d Sempre dae fuzioi biometriche si può ricavare: - a vita probabie, esprime i umero di ai che ua persoa di età può acora vivere co probabiità ameo de 50%; - a vita media, esprime i umero medio di ai che ua persoa di età può acora vivere. Eemeti di matematica attuariae 3 d

14 Tavoa - Tavoe di mortaità dea popoazioe residete i Itaia per sesso ed età a 2002 Scarica e tavoe di mortaità daa seguete URL: Eemeti di matematica attuariae 4

15 Eemeti di matematica attuariae 5

16 Codice sorgete i VBA Pusate PX Private Sub CommadButto_Cick() im,,,, p, q, q, p As Log Rage("K2").Activate = ActiveCe.Vaue = ActiveCe.Offset(, 0).Vaue Rage("B5").Activate = ActiveCe.Offset(, 0) = ActiveCe.Offset( +, 0) p = / Rage("F5").Activate ActiveCe.Offset.Vaue = p Ed Sub Eemeti di matematica attuariae 6

17 Codice sorgete i VBA Pusate /Q Private Sub CommadButto2_Cick() im,,,, p, q, q, p As Log Rage("K2").Activate = ActiveCe.Vaue = ActiveCe.Offset(, 0).Vaue Rage("B5").Activate = ActiveCe.Offset(, 0) = ActiveCe.Offset( +, 0) q = ( - ) / Rage("G5").Activate ActiveCe.Offset.Vaue = q Ed Sub Eemeti di matematica attuariae 7

18 Codice sorgete i VBA Pusate /Q Private Sub CommadButto3_Cick() im, d,,, p, q, q, p As Log Rage("K2").Activate = ActiveCe.Vaue = ActiveCe.Offset(, 0).Vaue Rage("B5").Activate = ActiveCe.Offset(, 0) Rage("C5").Activate d = ActiveCe.Offset( +, 0) q = d / Rage("H5").Activate ActiveCe.Offset.Vaue = q Ed Sub Eemeti di matematica attuariae 8

19 Eaborazioe fuzioe biometrica Eemeti di matematica attuariae 9

20 Eaborazioe fuzioe biometrica Eemeti di matematica attuariae 20

21 Esercizio. Per u uomo di 40 ai cacoare e segueti probabiità: a) di sopravvivere per u ao; b) di sopravvivere per 25 ai; c) di morire etro 30 ai; d) di raggiugere gi 80 ai e morire etro u ao. Svogimeto Per u uomo di 40 ai, utiizzado a Tavoa di mortaità Itaia maschi 2002, si cacoao e segueti probabiità co approssimazioe a meo di 0-6 : a) b) c) d) / p p , , q40 40 d / q40 0, , Eemeti di matematica attuariae 2

22 Esercizio. 2 Cacoare e probabiità per due fratei di 30 e 36 ai: a) di essere i vita etrambi fra 5 ai; b) che ameo uo sia i vita fra 40 ai. Svogimeto Suppoedo che gi eveti è i vita i primo frateo dopo ai e è i vita i secodo frateo dopo ai siao idipedeti, per i teorema dee probabiità composte, daa tavoa di sopravviveza Itaia maschi 2002 si ricava ( co approssimazioe a meo di 0-6 ): a) P 5 p30. 5 p36.. 0, b) P 40 q30. 40q36. 0, Eemeti di matematica attuariae 22

23 Esercizio. 3 etermiare per u uomo di 30 ai a vita probabie, cioè quati ai può acora vivere co probabiità di sopravviveza o iferiore aa probabiità di morte. Svogimeto I probema si riduce a risovere equazioe: ai. Quidi: p p ,00 La reazioe equivae a trovare dopo quati ai si dimezzao i viveti a età. ae tavoe si ricava: 78<30+<79 Co iterpoazioe si ottiee =48 ai 4 mesi Perciò, per u uomo di 30 ai a vita probabie è circa di 48 ai e 4 mesi. dove icogita è =umero di Eemeti di matematica attuariae 23

24 Cacoo dea vita probabie co Ece

25 Vita probabie Per ricavare co Ece i vaore dea vita probabie, così come richiesto e esercizio. 3, si procede e modo seguete: a) si fissao i due puti esteri a vaore trovato daa formua ,00 puto puto p(78;49.827) p2(79;46.777) b) si cacoa a retta iterpoate che passa per i puti p e p2, a ta proprosito si utiizza a fuzioe TENENZA che cacoa 'equazioe dea retta di iterpoazioe ieare co i metodo dei miimi quadrati. La fuzioe TENENZA restituisce i vaore Y dea retta corrispodete ad u vaore X idicato da'operatore. Ne ostro caso, a variabie idipedete (variabie X) è data da umero di sopravviveti a 78 e 79 ai, ossia: X= e X2= metre a variabie dipedete (variabie Y) è data da età Y=78 e Y2=79. I grafico, pertato, dovrebbe essere costruito ivertedo e coordiate. Riportiamo di seguito a geerica fuzioe TENENZA: =TENENZA(y_ota;_ota;uova_;cost) c) di cosegueza, sostituedo i rispettivi vaori dea X ed Y co i rispettivi idirizzi di cea si ha =TENENZA(A82:A83;B82:B83;48888) Gi argometi dea ostra fuzioe TENENZA, partedo da destra, soo: defiisce i terzo argometo (uova_) ed idica i vaore X de quae si itede cooscere i corrispodete vaore di Y; B82:B83 defiiscoo e coordiate dea X a oi ote, ossia e ( e coordiate soo ivertite); A82:A83 defiiscoo e coordiate dea Y a oi ote, cioè 78 e 79 ( coordiate ivertite). Come si può otare, abbiamo omesso i terzo argometo (cost): esso è u vaore ogico e può vaere faso se a retta passa per origie (e quidi si ha: Y=m), diversamete, se vae vero oppure è omesso, come e ostro caso, a fuzioe viee cacoare ormamete secodo a formua Y=m+q. La fuzioe così costruita adrà a sostituire i vaore X ea retta di iterpoazioe creata (Y=mX+q), i modo da ricavare i vaore di Y. I risutato otteuto sarà Y=78,3, ossia, per u uomo di 30 ai a vita probabie è circa di 48 ai e 3 mesi.

26 Fuzioe TENENZA()

27 Assicurazioe di capitae differito L assicurazioe di capitae differito (detta ache assicurazioe eemetare di vita) è i più sempice tipo di assicurazioe sua vita. I geerae, co assicurazioe di capitae differito, ua persoa di età assicura a se stessa u capitae C, esigibie a ua determiata scadeza soo se sarà i vita. Rappresetiamo i probema co uo schema temporae: C + t Idichiamo co età dea persoa e co + a scadeza. Se i capitae assicurato è uitario (cioè di u euro) i suo vaore attuae, aa stipuazioe de cotratto, è (+i) - = v Cosideriamo a variabie casuae: S=vaore attuae dee somme che sarao pagate La variabie casuae S può assumere i vaori v e 0, co a seguete distribuzioe di probabiità : S 0 v P / q P Cacoiamo i vaore medio dea variabie casuae S; tae vaore medio si idica co i simboo E, quidi si ha: E 0./ q v. p v. p v. Eemeti di matematica attuariae 27

28 Assicurazioe di capitae differito Cioè: E v. Iterpretiamo i cotratto di assicurazioe come u gioco e ricordiamo che u gioco è equo se e soo se a posta da versare per partecipare a gioco è uguae aa speraza matematica (o vaore medio) dea vicita orda. Questa speraza matematica, che idichiamo co E, è i premio uico puro che a persoa di età deve pagare per i capitae assicurato di u euro esigibie a età +, a codizioe di essere i vita. Per u capitae C i premio uico puro U di u assicurazioe di capitae differito, risuta: U C. E C.. v Eemeti di matematica attuariae 28

29 Esercizio. 4 Ua persoa di 30 ai stipua u assicurazioe per garatirsi i capitae di a 50 ai, se sarà i vita. Quae somma deve versare oggi?(ossia, i forma esatta, Qua è i premio uico puro? ) I cotraete prevede a riscossioe da parte de assicurato (che i questo caso è ache cotraete e beeficiario) de capitae di a compimeto dei 50 ai; a codizioe è che sia i vita a que età, ua essedo dovuto da assicuratore agi eredi se quea persoa muore prima di compiere 50 ai. Svogimeto Si deve fissare u tasso tecico e scegiere ua tavoa demografica. Scegiamo a Tavoa di sopravviveza Itaia maschi 2002 e cacoiamo i premio uico e caso che i tasso sia de 4%. U , , , Eemeti di matematica attuariae 29

30 Tavoe demografico-fiaziarie I vaore medio E si può esprimere i modo diverso, motipicado umeratore e deomiatore per v, si ottiee: v. v. v. E v. v. v. I prodotto v. viee idicato co i simboo, detto simboo di commutazioe, cioè. Si ha quidi: v. E I vaori di per i tasso de 4% soo cacoati e riportati su apposite tavoe, dette tavoe demografico-fiaziarie, aesse ae tavoe demografiche. Costruiamo co u fogio eettroico e tavoe demografico-fiaziarie per e persoe di sesso maschie: si precisa che a mometo riportiamo e fogio eettroico di ece soo i simboo di commutazioe. Eemeti di matematica attuariae 30

31 Sigificato di E obbiamo esamiare megio i sigificato di E. Nea matematica fiaziaria, i termie v è detto fattore fiaziario di scoto e permette di vautare i capitae di u euro, esigibie dopo ai. I fattore E, ora itrodotto, è detto fattore attuariae di scoto ed è i vaore attuariae di u euro esigibie da ua persoa di età dopo ai, se sarà i vita. Poiché E v. p p, essedo a probabiità <, è sempre E v I matematica fiaziaria, i fattore i, reciproco de fattore di scoto, è i fattore fiaziario di capitaizzazioe composta che permette di cacoare i motate di u euro dopo ai. Aaogamete è detto fattore attuariae di capitaizzazioe e permette E di cacoare i motate fra ai di u euro versato oggi da ua persoa di ai, motate esigibie soo se quea persoa sarà i vita. Si può così cacoare a somma assicurata, oto i premio U pagato. Cofrotado i fattore di capitaizzazioe attuariae co i fattore di capitaizzazioe fiaziario risuta: ( i) E Eemeti di matematica attuariae 3

32 Tavoe demografico-fiaziarie Eemeti di matematica attuariae 32

33 Esercizio. 5 I sig. Rossi Mario di 35 ai stipua u assicurazioe per garatirsi i capitae di a compimeto dei 65 ai, se sarà i vita. Cacoare i premio uico puro. Svogimeto: Utiizzado a Tavoa demografico-fiaziaria creata precedetemete, co u tasso de 4% si ricava: U Esercizio. 6 U 40-ee paga u premio uico puro di per u assicurazioe di capitae differito. Quae capitae potrà ritirare a compimeto dei 62 ai se sarà i vita? Svogimeto: a equazioe si ricava: C E C C E C E , , ,40 Versado oggi i premio di potrà ritirare a 62 ai i capitae di , , , ,60 Eemeti di matematica attuariae 33

34 Esercizi da svogere Esercizio. 7 Cacoare a probabiità per due fratei di 40 e 42 ai: a) che ameo uo sia i vita fra 30 ai; b) di essere i vita etrambi fra 3 ai. Esercizio. 8 Per u uomo di 35 ai cacoare: a) a probabiità di sopravvivere atri 20 ai; b) a probabiità di morire etro 25 ai; c) a probabiità di raggiugere i 70 ai e morire etro u ao; d) a vita probabie. Esercizio. 9 U sigore di 32 ai vuoe ivestire i capitae di per 20 ai. Cacoare: a) quae motate si costituisce i baca a tasso de 4%; b) quae capitae può assicurare a se stesso fra 20 ai, se i vita, co u assicurazioe di capitae differito. Esercizio.0 Cacoare i premio uico puro de sigor Mario se vuoe garatirsi i capitae di a compimeto di 78 ai, se sarà i vita. Si cosideri u tasso de 4% e u età, a atto dea stipua de assicurazioe, pari a 30 ai. Eemeti di matematica attuariae 34

35 Esercizio I sigor ario di 27 ai stipua ua assicurazioe per garatirsi i capitae di a compimeto dei 50 ai se i vita e i capitae di a compimeto dei 60 ai, sempre a codizioe di essere i vita. Cacoare i premio uico puro compessivo che deve pagare. Svogimeto: I cotratto è costituito da due assicurazioi di capitae differito e quidi, per i pricipio di composizioe dei cotratti, i premio uico puro è uguae aa somma dei due premi uici. U E E ,00 I sigor ario deve pagare i premio uico puro compessivo di 6.437,00 Esercizio 9 ( pagia 34) U sigore di 32 ai vuoe ivestire i capitae di per 20 ai. Cacoare: a) quae motate si costituisce i baca a tasso de 4%; b) quae capitae può assicurare a se stesso fra 20 ai, se i vita, co u assicurazioe di capitae differito. Svogimeto: Si ricava : a) M 5.000, ,85 b) C E , Eemeti di matematica attuariae 35 27

36 Come osservato e esercizio 9, i motate attuariae risuta maggiore de motate fiaziario. Bisoga però teere coto che i motate fiaziario è certo esigibie da quea persoa o dai suoi eredi, metre i motate attuariae è egato a esisteza i vita dea persoa. Esercizio. 2 Risovere i probema 9 e ipotesi che a stipuare i cotratto sia u 50-ee. Svogimeto: I questo caso i motate accumuato i baca sarebbe i medesimo, metre per assicurazioe si avrebbe: C' Che risuta superiore a precedete. E ,00 Eemeti di matematica attuariae 36

37 Assicurazioe di redita vitaizia Co assicurazioe di redita vitaizia, assicurato si garatisce ua successioe di capitai, dette rate, esigibii periodicamete a codizioe di essere i vita ae scadeze fissate. Queste redite, a differeza dee redite studiate i matematica fiaziaria che soo esigibii comuque ( e per questo soo dette certe ), soo esigibii soo se assicurato è i vita. Si distiguoo quattro tipi di redite vitaizie: a) immediate iimitate; b) differite iimitate; c) immediate temporaee; d) differite temporaee. Ogi redita può essere aticipata o posticipata, però tae distizioe o è esseziae, azi, tavota può cofodere e perciò è più utie idicazioe dea scadeza dea prima rata. I comitato permaete de cogresso iterazioae degi attuari (Madrid 954) ha proposto di idicare co a i vaore attuae di ua redita aticipata e co a i vaore attuae di ua redita posticipata. Osserviamo che per e redite vitaizie o si para di redite perpetue, come e caso dee redite certe, ma di redite iimitate, itededo co redite iimitate e redite che durao fiché a persoa è i vita. Quado si para di redita temporaea per ai si itede che a durata è a massimo di ai, se a persoa muore prima, a redita cessa a mometo dea sua morte. Si possoo cosiderare redite aue e redite frazioate, ma e ostro studio ci imiteremo a redite aue di rata costate. Per determiare i premio puro di ua redita scompoiamo a redita i tate assicurazioi di capitae differito quate soo e rate e quidi i premio uico puro è uguae aa somma dei reativi premi. Eemeti di matematica attuariae 37

38 a) Redita vitaizia immediata iimitata Co questa assicurazioe, a persoa ha diritto a riscuotere a rata già daa stipuazioe de cotratto (se a redita è aticipata), oppure dopo u ao (se a redita è posticipata), fiché sarà i vita. Esamiiamo dapprima i cacoo de vaore attuae di ua redita uitaria immediata aticipata iimitata, ossia tae che a prima rata è esigibie aa stipuazioe de cotratto e utima a età estrema. Rappresetiamo operazioe co uo schema temporae: ω E E 2 t E I premio uico ( cioè i vaore attuae attuariae dea redita) è uguae aa somma dei vaori attuariai dee sigoe rate e si idica co i simboo a ( dove è età dea persoa assicurata). Eemeti di matematica attuariae 38

39 Eemeti di matematica attuariae 39 a) Redita vitaizia immediata iimitata Teedo coto che a prima rata, essedo esigibie subito, ha i vaore, si ha: Ed espicitado, si ricava: Per i cacoo basterebbe sommare tutti i da età fio a età estrema ω. Nee tavoe demografiche fiaziarie è già cacoata questa somma ed è idicata co i simboo di commutazioe ; precisamete: Quidi, i premio uico puro per ua assicurazioe di redita uitaria immediata iimitata aticipata è: I premio uico puro per a rata R è: E E E E a a N N... N a N R a R U

40 Se a redita, aziché aticipata, è posticipata ( ossia se a prima rata è esigibie a età +), è sufficiete togiere daa somma precedete a prima rata di u euro; idicado co i vaore attuae attuariae dea redita posticipata iimitata, si ha: a a E 2E 3E... E 2... N Quidi, i premio uico puro per ua redita vitaizia uitaria iimitata posticipata ( ossia co a prima rata esigibie dopo u ao), è: e aaogamete se a rata è R. a N U R a R N Eemeti di matematica attuariae 40

41 I vaori di N soo cacoati e riportati sue apposite tavoe demografico-fiaziarie. Costruiamo co i fogio eettroico e tavoe demografico-fiaziarie per e persoe di sesso maschie: si precisa che verrà aggiuto i simboo di commutazioe N, i corrispodeza dea cooa E, subito dopo a cooa già esistete de simboo di commutazioe. Eemeti di matematica attuariae 4

42 U Esercizio. 3 I sigor Rossi di 46 ai vuoe garatirsi ua redita vitaizia di aui. etermiare i premio uico puro e caso i cui a redita duri tutta a vita co a prima rata esigibie subito, dopodiché cacoare i premio uico puro co prima rata posticipata. Per i cacoo si cosideri u tasso tecico de 4%.\ Svogimeto: a) I premio uico puro per ua assicurazioe di redita immediata iimitata aticipata co rata R è: U U 46 R a b) I premio uico puro per ua assicurazioe di redita immediata iimitata posticipata co rata R è: N , a 46 R , ,24 R a N R N R N , , ,00 Eemeti di matematica attuariae 42

43 b) Redita vitaizia differita iimitata Co questa assicurazioe a persoa ha diritto a riscuotere a rata dea redita o subito, ma dopo m ai daa stipuazioe de cotratto fiché sarà i vita. Ache qui si possoo distiguere e redite differite i posticipate o aticipate, però idicado a scadeza dea prima rata si possoo cosiderare soo e redite aticipate. Ifatti, ua redita differita di m ai e posticipata equivae a ua redita aticipata differita di m+ ai. Cosideriamo perciò sotato e redite aticipate ( co avverteza idicata per e posticipate). Cacoiamo i premio uico puro ( cioè i vaore attuae attuariae) di ua redita vitaizia differita di m ai aticipata iimitata uitaria, che si idica co i simboo m a /. L operazioe è rappresetata dao schema seguete m +m+.ω t m E E m E Eemeti di matematica attuariae 43

44 Eemeti di matematica attuariae 44 b) Redita vitaizia differita iimitata Vautado e varie rate a epoca dea stipuazioe de cotratto, si ha: I premio uico puro per ua assicurazioe di redita uitaria aticipata iimitata differita di m ai, utiizzado i simboo di commutazioe N, è: I premio uico per a rata R è: Per quato detto i precedeza, se a redita è posticipata può essere trasata i aticipata e differita di m+ ai e quidi risuta: Osserviamo che e redite iimitate, sia immediate che differite, soo e più comui, e vegoo dette pesioi. Le persoe giovai,soo più propese a stipuare redite differite, metre e persoe aziai preferiscoo redite immediate. m m m m m E E E a / m m m a... / m m N a / m m N R a R U / m m a a / /

45 Esercizio. 4 I sigor Biachi di 36 ai vuoe garatirsi ua redita vitaizia iimitata di aui. etermiare i premio uico puro e caso i cui a redita sia iimitata co a prima rata scadete a 60 ai. Per i cacoo si cosideri u tasso tecico de 4%. Svogimeto: I premio uico puro per ua assicurazioe di redita vitaizia differita iimitata aticipata co rata R è: U R m / a R N m quidi : U N , / a , , ,42 36 Eemeti di matematica attuariae 45

46 c) Redita vitaizia immediata temporaea Meo importati soo i pratica e redite vitaizie temporaee, sia immediate che differite. Co questa assicurazioe a persoa ha diritto a riscuotere a rata dea redita aa stipuazioe de cotratto se a redita è aticipata, dopo u ao se a redita è posticipata, per a durata di ai, purché sia i vita. Cacoiamo i premio uico puro (cioè i vaore attuae attuariae) di ua redita vitaizia uitaria immediata temporaea per ai aticipata. Tae redita si idica co i simboo a /. L operazioe è schematizzata e grafico seguete: E t 2 E E I premio uico puro è dato da: e quidi: 2 a / E 2E... E... Eemeti di matematica attuariae 46

47 Eemeti di matematica attuariae 47 c) Redita vitaizia immediata temporaea I premio uico puro è dato da: La somma a umeratore è ua somma troca; si vede facimete che si può scrivere come differeza di due simboi di commutazioe N; ifatti: I premio uico puro per ua assicurazioe di redita immediata aticipata uitaria temporaea per ai è: I premio uico puro per a rata R è: La reazioe può essere iterpretata come differeza fra due redite iimitate, a prima immediata e a secoda differita co a stessa rata R. a /... N N )... ( )... ( N... N N a / N N R a R U /

48 d) Redita vitaizia differita temporaea Co questa assicurazioe, ua persoa di età si garatisce i godimeto di rate (a più) co iizio fra m ai. Co passaggi aaoghi ai precedeti si ricava che i premio uico puro per u assicurazioe di redita aticipata uitaria differita di m ai e temporaea di ai, è: Esercizio N.5 I sig. Matteo di 36 ai vuoe garatire ua redita vitaizia di aui. etermiare i premio uico puro ei segueti casi : a) a redita abbia ua durata di 25 ai co a prima rata scadete fra u ao; b) a redita abbia ua durata di 20 ai co a prima rata scadete a compimeto dei 48 ai; ( si cosideri i etrambi i casi u tasso de 4%). Svogimeto: a) b) m / a N m N m N37 N62 U / 25 a , 60euro 36 N 48 N68 U a 2/ , 00euro 36 Eemeti di matematica attuariae 48

49 Esercizio N.6 I sig. Marco di 46 ai vuoe garatire ua redita vitaizia di aui. etermiare i premio uico puro ei segueti casi : a) a redita abbia ua durata di 25 ai co a prima rata scadete fra u ao; b) a redita abbia ua durata di 20 ai co a prima rata scadete a compimeto di 48 ai. Si cosideri u tasso di iteressi de 4%. Svogimeto: I premio uico puro dee varie redite si ottiee co a sempice appicazioe dee formue: a) Trattadosi di redita vitaizia immediata posticipata temporaea per ai, si ha: N 47 N72 U / 25a , ,80 46 b) Poiché trattasi di redita aticipata differita di m ai e temporaea di ai, si ha: U N 48 N / 20a ,80 46 Eemeti di matematica attuariae 49

50 Assicurazioe i caso di morte Le assicurazioi i caso di morte impegao a Compagia di Assicurazioe a pagameto dea somma assicurata, e caso si verifichi a morte de assicurato durate i periodo previsto da cotratto. Come per e redite, vi soo vari tipi di assicurazioi i caso di morte, secodo i periodo assicurato. Cosideriamo per prima assicurazioe eemetare di morte, che iteressa soo da u puto di vista teorico, ma permette di ricavare e formue di tutte e atre assicurazioi. L assicurazioe si impega a pagare i capitae di u euro fra (m+) ai, se assicurato morirà e ao compreso fra e età (+m) e (+m+) Neo schema evideziamo co u arco i periodo coperto da assicurazioe: +m +m+ t Ache i questo caso, come per assicurazioe di capitae differito, impego de assicurazioe è ua variabie casuae: S=vaore attuae dee somme che sarao pagate, avete distribuzioe: S 0 P q m / m v m / q Eemeti di matematica attuariae 50

51 Assicurazioe i caso di morte E quidi i vaore medio, che rappreseta i premio uico puro e si idica co Risuta: m m m / A 0 ( m / q ) v m / q v m / q A m / Trasformado questa reazioe, si può scrivere: Itroducedo u uovo simboo di commutazioe: Si ha: m / A m / A C m v m d m v m Esamiiamo ora e assicurazioi di morte che hao durata purieae e quidi si possoo cosiderate come somma di tate assicurazioi eemetari di morte quati soo gi ai stabiiti da cotratto. Prima di esamiare e assicurazioi di morte, adiamo ad aggiugere idice di commutazioe C e fogio eettroico. v v d m C v d Eemeti di matematica attuariae 5

52 Si precisa che verrà aggiuto i simboo di commutazioe C, i corrispodeza dea cooa F, subito dopo a cooa già esistete de simboo di commutazioe N. Eemeti di matematica attuariae 52

53 Assicurazioe i caso di morte, vita itera Itroducedo u atro simboo di commutazioe che evita i cacoo dea somma a umeratore, precisamete, si ricava: A M M C C... ove A è i vaore attuae attuariae di u euro, pagabie aa fie de ao i cui avverrà a morte de assicurato, i quauque ao avvega i decesso. Se i capitae assicurato è C, i premio uico puro per u assicurazioe di morte immediata vita itera è quidi: U C Prima di esamiare assicurazioe i caso di morte temporaea, adiamo ad aggiugere idice di commutazioe M e fogio eettroico. A C C M Eemeti di matematica attuariae 54

54 Si precisa che verrà aggiuto i simboo di commutazioe M, i corrispodeza dea cooa G, subito dopo a cooa già esistete de simboo di commutazioe C. Eemeti di matematica attuariae 55

55 Assicurazioe i caso di morte, temporaea Co questo cotratto, a Compagia di Assicurazioe si impega a pagare agi eredi i capitae assicurato aa fie de ao i cui avverrà a morte de assicurato, se e soo se a morte avverrà etro ai daa stipuazioe de cotratto. L assicurazioe risuta a somma di assicurazioi eemetari i caso di morte. Idicato co / A i premio uico per assicurazioe uitaria immediata temporaea di ai, si ha: A A A A... A / / / 2 / / C C C C C... C... I umeratore è ua somma troca dei simboi C; co procedimeto aaogo a queo visto per e redite vitaizie, si può scrivero come differeza M-M+ e si ottiee i premio uico puro per u assicurazioe i caso di morte, uitaria, immediata e temporaea per ai: M M se i capitae assicurato è C i premio / Uico puro per assicurazioe è: U C/ A C M A M Eemeti di matematica attuariae 56

56 Assicurazioe i caso di morte, differita Le assicurazioi di morte differite soo poco frequeti ea pratica, vegoo utiizzate soprattutto se vi soo capitai assicurati diversi i periodi diversi. Co questo cotratto a Compagia di Assicurazioe pagherà a somma stabiita soo se assicurato A m / morirà dopo m ai daa stipuazioe de cotratto. Idicado co i premio uico puro, per assicurazioe di morte differita a vita itera di capitae uitario, si ricava facimete che i premio uico puro per u assicurazioe i caso di morte, differita, iimitata è : m / A M m Eemeti di matematica attuariae 57

57 Assicurazioe i caso di morte, differita e temporaea Ache questo cotratto, come i precedete, è raramete stipuato, ma viee utiizzato soprattutto ea composizioe di cotratti i caso di morte co capitai diversi. Co questo cotratto, assicurato garatisce agi eredi u capitae C se a sua morte avviee A m / dopo ai daa stipua de cotratto ed etro gi ai successivi. Co procedimeto aaogo ai precedeti si ricava che i premio uico puro per u assicurazioe i caso di morte, uitaria differita temporaea, è: m/ A M m M m Eemeti di matematica attuariae 58

58 Esercizio.7 Cacoare i premio uico puro che u 28-ee deve pagare per assicurare agi eredi i capitae di aa fie de ao di morte ei segueti casi: a) i quauque mometo avvega a sua morte; b) se i decesso avviee etro i 65 ai; c) se muore da compimeto dei 65 ai i poi. Si precisa che i tasso di iteresse è de 4%. Svogimeto: Appicado e formue reative ai vari tipi di assicurazioi si ricava: a) b) U U M 28 A ,00 M 28 M / 37A ,00 c) U M / A ,00 Eemeti di matematica attuariae 59

59 Assicurazioi i caso di morte co capitae pagabie a atto dea morte Per i cacoo dei premi puri ee varie forme di assicurazioe di morte, si è supposto che i pagameto de capitae assicurato avvega aa fie de ao di morte, però assicuratore, geeramete, paga i capitae assicurato a atto de decesso de assicurato. No essedo possibie aa stipuazioe de cotratto cooscere i mometo esatto dea morte de assicurato, si poe che, e isieme di tutti gi assicurati, i decessi siao distribuiti uiformemete ugo tutto ao e perciò per tutte e poizze si fa riferimeto, come data de decesso di tutti gi assicurati, a metà ao e assicuratore, per compredere a perdita degi iteressi di mezzo ao, maggiora i premi uici puri di quasiasi assicurazioe i caso di morte, capitaizzadoi per 6 mesi, cioè motipicadoi per (+i) /2. I premio uico puro per u assicurazioe i caso di morte, vita itera, co i capitae di u euro, pagabie a atto di morte si idica co è dato da: A A A ( i) / 2 Per i tasso a 4%, si cacoa,04 /2 =, Quato detto vae per tutte e assicurazioi i caso di morte.

60 Esercizio N. 8 I Sig. Atoio di 38 ai co i pagameto de premio uico puro di itede garatire agi eredi u certo capitae, pagabie a atto di morte se i decesso avviee prima de compimeto dei 60 ai, u capitae doppio de precedete se a morte avviee da compimeto dei 60 ai etro i 70 e u capitae tripo de primo se a morte avviee dai 70 ai i poi. Cacoare importo dei capitai assicurati se i tasso è de 4%. Idicato co C i primo capitae, co 2C i secodo e co 3C i terzo, si imposta equazioe: C C A / 22A38 2C 22/0A / 38 M M C.04 2C.04 3C 38 M M 38 M C ( M 38 M M 60 2M M 70 ), ,89 Pertato fio a 60 ai i capitae assicurato è ,89, da 60 a 70 ai e ,79, da 70 ai i poi è ,69 Eemeti di matematica attuariae 6

61 Assicurazioi miste Le assicurazioi i caso di vita costituiscoo ua forma di risparmio, i quato vegoo stipuate per provvedere aa ecessità dea vecchiaia, e assicurazioi i caso di morte costituiscoo ua forma di prevideza, i quato garatiscoo u certo capitae agi eredi. Si stipuao sovete assicurazioi miste, formate combiado u assicurazioe i caso di vita ( geeramete u assicurazioe di capitae differito), co u assicurazioe i caso di morte, temporaea o iimitata. Queste forme miste ee quai assicuratore paga i capitae o a assicurato o agi eredi hao ache i vataggio psicoogico di soddisfare assicurato, che, per certe assicurazioi, pesa di versare i premio seza ricavare acua somma. Vediamo e più importati assicurazioi miste. a) Assicurazioe mista sempice Co questo cotratto assicurato, avete età, garatisce a se stesso u capitae, se raggiuge età +, e o stesso capitae ai suoi eredi, se a sua morte avviee prima de compimeto de età +. E questo i tipo di cotratto più frequetemete stipuato; sovete poi i capitae differito viee trasformato i ua redita iimitata, cioè i ua pesioe. Questa forma assicurativa comprede u assicurazioe di capitae differito e u assicurazioe i caso di morte, immediata e temporaea. I premio uico puro è a somma dei due premi. Eemeti di matematica attuariae 62

62 Assicurazioe mista sempice Per i capitae di u euro, i premio si idica co capitae è pagabie a atto de decesso. Si ricava: A : E / A A : ( M M ) ( i) se e assicurazioe di morte i I premio uico puro per u assicurazioe mista sempice co capitae C, esigibie i caso di premorieza a atto de decesso, è: U C b) Assicurazioe mista doppia È aaoga a assicurazioe mista sempice, co a soa differeza che i capitae assicurato agi eredi è metà de capitae assicurato a se stesso. I premio uico puro per u assicurazioe mista doppia co capitae C, se i capitae i caso di morte è esigibie a atto di morte, è: ( M M ) ( i) U C E C / 2 A 2 2 Eemeti di matematica attuariae 63

63 c) Assicurazioe mista a capitae raddoppiato Co questo cotratto, assicurato garatisce a se stesso u capitae, se i vita a età + e agi eredi o stesso capitae aa sua morte, i quauque mometo essa avvega. Quidi, i cotratto è a composizioe di u assicurazioe di capitae differito co ua assicurazioe i caso di morte vita itera. Osserviamo che, se assicurato muore prima di raggiugere età +, assicuratore paga agi eredi a somma assicurata. Se ivece assicurato raggiuge età +, assicuratore gi corrispode a somma assicurata e pagherà uovamete a stessa somma agi eredi aa morte de assicurato. Per questo motivo si dice assicurazioe a capitae raddoppiato, i quato assicuratore può pagare due vote a somma assicurata. I premio uico puro per u assicurazioe mista a capitae raddoppiato, se i capitae i caso di morte è esigibie a atto di morte, è: U C E C A C M ( i) 2 Eemeti di matematica attuariae 64

64 Premi aui Nea maggior parte dei cotratti di assicurazioe è cotempato i pagameto, i uogo de premio uico, di premi periodici, i geerae aui. I premio auo è pagato aticipatamete ed è egato a esisteza i vita dea persoa assicurata. E facie determiare a reazioe fra i premio uico puro e i premi ai puri. Per assicuratore, i premi aui puri, essedo i oro pagameto codizioato da esisteza i vita de assicurato, costituiscoo ua redita vitaizia aticipata, i geerae temporaea, i cui vaore attuae attuariae, per i pricipio di equivaeza fiaziaria, è uguae a premio uico puro. Idicato co P i premio auo costate per h ai, si ha a fodametae reazioe: U P a / h I umero massimo h dei premi o può superare i differimeto i caso di assicurazioi di capitae differito, di redite differite, di assicurazioi miste e o può superare a durata e caso di assicurazioi di morte temporaea. Per e assicurazioi di redite immediate o è cocesso i pagameto de premio auo. Per e assicurazioi di morte vita itera i premio può essere pagato per tutta a durata i vita de assicurato e i ta caso si para di premio vitaizio e a reazioe sopra diveta: U P a Eemeti di matematica attuariae 65

65 Esercizio. 9 U sigore di 28 ai stipua u assicurazioe mista sempice per i capitae di co scadeza a 58 ai e co capitae pagabie agi eredi, i caso di morte, a atto de decesso. etermiare i premio auo che dovrà pagare per tutta a durata de assicurazioe. Svogimeto: I premio uico puro è dato da: U ( 30E28 / 30A28) Per a reazioe vista precedetemete, si ha che eguagiado i due vaori di U si ottiee: U P / 30a28 ed P N 28 N58 58 ( M 28 M 58), quidi: P ( M 28 N 28 M N ), ,50 I premio auo che i sigore dovrà pagare per 30 ai è di 823,50. Eemeti di matematica attuariae 66

66 Cei sui premi di tariffa I premi fiora cacoati, sia uici sia aui, tegoo coto soo degi impegi assuti da assicuratore per e varie forme di cotratto, i base a ua data tavoa demografica e a tasso tecico fissato. Le società di assicurazioe, ea oro attività, sostegoo costi di vario tipi e iotre vogioo reaizzare u guadago, quidi fao pagare u premio maggiorato, detto premio di tariffa o caricato. Le spese soo sostaziamete di tre tipi: -spese di acquisizioe, sosteute da assicuratore aa stipuazioe de cotratto e compredeti a provvigioe pagata a agete produttore, e spese per a visita medica, ecc,; -spese di icasso, sosteute da assicuratore per icasso dei premi ( ad esempio, e percetuai pagate a esattore); -spese di gestioe, che soo sosteute da assicuratore per gestioe de impresa, come spese geerai, retribuzioi a persoae, tasse, ecc. e fra esse evetuae margie di guadago; queste spese vegoo cacoate per tutta a durata de assicurazioe. I caricameto sui premi e caso di cotratti ei quai i pagameto de premio è uico è diverso da caricameto operato e caso di cotratti co pagameto di premi aui, che soo egati a esisteza i vita de assicurato. La determiazioe de premio caricato è piuttosto compessa. I geerae, si può appicare i caricameto come percetuae de premio puro, come percetuae de premio caricato stesso o come percetuae de capitae assicurato. Naturamete assicurato coosce i reativi premi di tariffa per i vari cotratti e può predere e sue decisioi secodo e proprie esigeze. Eemeti di matematica attuariae 67

67 Vediamo u esempio di appicazioe de premio di tariffa. Esercizio. 20 U 40-ee stipua u assicurazioe per garatire a sé ua redita vitaizia di aue da compimeto dei 65 ai iimitata e garatire agi eredi i capitae di i caso di morte prima de compimeto dei 65 ai, esigibii a atto de decesso. Cacoare i premio uico di tariffa se a Società carica i premio puro de 30%. Svogimeto Si cacoa dapprima i premio uico puro: U / a / 25A N I premio di tariffa risuta: U ' U ( M 40 0,30U M ), , ,38 Pertato i premio uico di tariffa è di 66.88,69 Eemeti di matematica attuariae 68