TECNICHE DI FILTRAGGIO DEL RUMORE DALLE IMMAGINI RM

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1 UNVERSTÀ DEGL STUD D PALERMO FACOLTÀ D NGEGNERA CORSO D LAUREA N NGEGNERA NFORMATCA TECNCHE D FLTRAGGO DEL RUMORE DALLE MMAGN RM Tes d laurea d: All. ng. Robero Gallea Relaore: Prof. ng. Edoardo Ardzzone Correlaore: ng. Orazo Gambno Anno aademo

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3 Sommaro nroduzone Caraershe delle mmagn d Rsonanza Magnea nroduzone L mmagne RM Caraershe de essu e p d mmagn mmagn d densà proona (PD) Temp d rlassameno magneo mmagn T1 e T Movmeno de flud e p d mmagn Flusso vasolare Aspersone e dffusone Varazone sperosopa e hma Cosa s vede n un mmagne RM? nensà del segnale a radofrequenza Magnezzazone del essuo Proon (nule magne) Caraershe de essu mmagn PD (densà proona) mmagn T mmagn T Caraershe spazal Conrollo delle araershe dell mmagne Sensblà al onraso Deaglo Rumore Arefa Tempo d aquszone dell mmagne l rumore nelle mmagn RM Rumore ermo Perda d ampon Rumore generao da paramer del ssema

4 .4 Rumore sruurao Sma del rumore PDF delle mmagn RM d magnudne La dsrbuzone d Re Sma del rumore Sma de paramer del rumore Lme Mnmo della Varanza Sma della Massma Probablà Flro d Perona-Malk Dffusone ansoropa Propreà della dffusone ansoropa l Prnpo del Massmo Esalazone de bord Rsula spermenal Flro Proposo Svanagg del flro d Perona e Malk Possbl modfhe per la mglora del flro Rera della drezone prnpale del gradene Prova empra del meodo Modfa dell equazone d dffusone ansoropa Sela de paramer per l unng del flro Tes e daase ulzza Prmo es Seondo es Terzo es...49 Appende A Esensone del flro proposo nelle re dmenson A.1 Ulzz del flro n re dmenson...51 A. Modfhe allo shema ompuazonale...51 A.3 Rsula spermenal...53 Appende B Code Sorgene B.1 rgfler.m...57 B. gedreonvalues.m...59 B.3 rgfler3d.m...6 B.4 gedreonvalues3d.m...65 Bblografa

5 nroduzone l problema he è sao affronao è quello della messa a puno d un flro n grado d rdurre l rumore dalle mmagn d Rsonanza Magnea (RM), mglorandone osì la qualà. prm apol offrono una panorama su araer general delle mmagn RM, la loro valenza n ambo medale e le loro araershe baslar. Suessvamene vene presenaa un anals pù ena e deaglaa del rumore he s può presenare n quesa pologa d mmagne on una suessva modellzzazone d esso n ermne d dsrbuzone e sma d paramer sas. La seonda pare del doumeno analzza e mee a onfrono due enhe d flraggo: quella d Perona-Malk basaa sullo shema della dffusone ansoropa del alore, ed una nuova, he prende le bas dalla preedene, ma he, ome mosrao n modo sa quanavo he qualavo nell ulmo apolo, opera n modo pù preso e performane rspeo al prmo. n ulma anals vene forna una desrzone rdmensonale del flro proposo on le sue dverse applazon. 5

6 1. Caraershe delle mmagn d Rsonanza Magnea 1.1 nroduzone La rsonanza magnea è un proesso per la realzzazone d mmagn medhe prodoe medane l ulzzo d amp magne e d segnal a rado frequenza (RF). Le mmagn oenbl on quesa ena generalmene servono a rappresenare sruure anaomhe, presenza d malae, e vare funzon bologhe del orpo umano. La dfferenza prmara da alre enhe d produzone d mmagn sa nel fao he le mmagn RM possono rappresenare n modo selevo araershe d essu dfferen. Per queso l proesso d produzone d mmagn RM è pù omplesso d mol alr meod d produzone mmagn. 1. L mmagne RM L mmagne RM è una rappresenazone d segnal RF he vengono emess da essu durane l proesso d aquszone dell mmagne. La sorgene del segnale è lo sao d magnezzazone he vene prodoo all nerno del essuo quando l pazene vene nrodoo n un fore ampo magneo. Le araershe spefhe del essuo o del fludo he sono vsbl nell mmagne, dpendono da ome è varao l ampo magneo durane l proesso d aquszone. La reazone d un mmagne onsse n un lo d aquszone he vene rpeuo dverse vole a nervall regolar. Durane ogn lo la magnezzazone del essuo vene sooposa ad una sere d ambamen. Le araershe he possono essere usae ome sorgene del onraso dell mmagne sono d re dfferen aegore. La prma, he è anhe la pù ulzzaa, sfrua le araershe magnehe de essu. La seonda nvee sfrua le araershe del movmeno de flud (generalmene l sangue). La erza ndaga gl effe sperosop dovu alle sruure moleolar. 6

7 1.3 Caraershe de essu e p d mmagn mmagn d densà proona (PD) La araersa pù drea he può essere rappresenaa su un mmagne è la onenrazone o la densà de proon. n un mmagne d densà proona, la magnezzazone del essuo, la onseguene nensà del segnale RF e la dervane lumnosà dell mmagne, sono deermnae dal onenuo d proon del essuo. Tessu onenen un gran numero d proon produrranno segnal for e rsuleranno nell mmagne ome zone lumnose Temp d rlassameno magneo mmagn T1 e T Durane la proedura d produzone dell mmagne RM la magnezzazone del essuo vene rpeua lamene venendo poraa ad uno sao nsable e suessvamene permeendole d reuperare. Queso proesso d reupero vene denomnao rlassameno e vara da un po d essuo ad un alro. l empo d rlassameno può essere ulzzao per dsnguere fra essu normal e essu paolog. Ogn essuo è araerzzao da due emp d rlassameno: T1 e T. S possono produrre delle mmagn solo quando una d quese due araershe è la fone predomnane d onraso Movmeno de flud e p d mmagn Flusso vasolare l proesso d produzone mmagn RM è apae d produrre mmagn del flusso del sangue senza l uso d un mezzo onrasane. Nonosane gl effe del flusso sano spesso vsbl n u p d mmagne, esso dvena la sorgene predomnane d onraso n mmagn prodoe spefaamene per esam vasolar o angograf Aspersone e dffusone È possble produrre mmagn he mosrno sa aspersone he dffusone all nerno del essuo. Quese rhedono meod spef d rappresenazone dell mmagne. 7

8 1.5 Varazone sperosopa e hma La frequenza de segnal RF emessa dal essuo è affea n una pola pare dalla dmensone e dalle araershe delle moleole onenue ne nule magne. Quese dfferenze nelle frequenze, oè le varazon hmhe, possono essere ulzzae per produrre mmagn. È anhe la base della sperosopa MR. Fgura 1.1 Tp d mmagn RM 1.6 Cosa s vede n un mmagne RM? nensà del segnale a radofrequenza La prma osa he s vede n un mmagne RM è l nensà del segnale RF emesso dal essuo. Zone lumnose nell mmagne orrspondono a essu he emeono un segnale molo nenso. Le zone sure sono nvee par del essuo da u non vengono emess segnal. Fra 8

9 ques due esrem v è una sere d nensà nermede del segnale orrsponden a onalà d grgo he mosrano l onraso o le dfferenze fra var essu Magnezzazone del essuo La ondzone nerna del essuo he produe l segnale RF è la magnezzazone. essu non sono magnezza u n ugual msura. Durane l proesso d reazone dell mmagne, la magnezzazone del essuo vene laa araverso una sere d ambamen, ma essu non ambano la loro magnezzazone u alla sessa veloà. È quesa dfferenza nella rapdà on u ques ulma amba, he rende possble dsnguere essu e produe la maggor pare del onraso. L nensà del segnale RF rsulane e la lumnosà dell mmagne ad uno spefo fermo mmagne sono deermna propro dal lvello d magnezzazone. essu he non sono sa magnezza adeguaamene durane l proesso non saranno vsbl nell mmagne Proon (nule magne) La magnezzazone del essuo, responsable dell emssone de segnal RF, è deermnaa da proon, qual sono a u gl effe pol magne presen nel essuo. Ques magne rsedono nel nuleo d er aom he hanno un parolare propreà, denomnaa momeno magneo. Non ue le sosanze hmhe hanno quesa araersa. L una sosanza presene ne essu uman he possede un adeguaa onenrazone d nule per produrre buone mmagn RM è l drogeno. Quando l essuo onenene drogeno, vene poso n un ampo magneo nenso, alun proon s allneano nella sessa drezone del ampo magneo. Queso allneameno produe la magnezzazone del essuo, la quale genera l segnale RF. 9

10 Fgura 1. Cosa s vede n un mmagne RM 1.7 Caraershe de essu mmagn PD (densà proona) La PD ha un effeo molo dreo sulla magnezzazone del essuo, nel segnale RF rsulane e nella onseguene lumnosà dell mmagne. Queso perhé, ome vso preedenmene, la magnezzazone è generaa dreamene da proon mmagn T1 Quando l prooollo per la reazone dell mmagne è mposao per produrre un mmagne pesaa su valor T1, la magnezzazone, (e qund la lumnosà dell mmagne) è prodoa da essu aven bass valor T1. 10

11 1.7.3 mmagn T Quando l prooollo per la reazone dell mmagne è mposao per produrre un mmagne pesaa su valor T, la magnezzazone, (e qund la lumnosà dell mmagne) è prodoa da essu aven al valor T Caraershe spazal La produzone d mmagn RM è prnpalmene un proesso d reazone mmagn d po omografo, sebbene essano alune proedure, ome l angografa, n u su una sngola mmagne vengono raffgura omple volum anaom. l prooollo per l proesso d aquszone deve essere mposao per produrre le approprae araershe spazal per una spefa proedura lna. Quese nludono l numero d fee, l orenameno delle fee, e la sruura all nerno d ogn sngola fea. Un esame po onsse nella sansone d almeno un nseme d fee ongue. Nella maggor pare de as l nero nseme vene aquso smulaneamene. Le fee possono essere orenae eoramene lungo ogn pano araverso l orpo del pazene. La lmazone prnpale è he non possono essere ompue onemporaneamene aquszon su pan dvers. Tuava è possble oenere da 3-D da un volume eseso d essuo e rosrure per mezzo d enhe d pos-proessng fee d pan dfferen. 1.8 Conrollo delle araershe dell mmagne Le quaro araershe base della qualà d un mmagne sono: 1) La sensblà d onraso ) l deaglo 3) l rumore 4) Gl arefa Ognuna d esse è deermnaa da una ombnazone de paramer faen pare del parolare prooollo d aquszone ulzzao. Non u p d proedure lnhe rhedono mmagn on le sesse araershe, qund è neessaro omzzare l proesso per requs ln spef. 11

12 1.8.1 Sensblà al onraso La sensblà al onraso è l ablà del proesso d produzone dell mmagne d reare un mmagne a parre da ogge o essu he hanno dfferenze fshe relavamene pole. Sebbene ssem d produzone mmagn RM abbano un ala sensblà al onraso rspeo alle alre enhe d aquszone mmagn, deve essere omunque omzzaa per ogn proedura lna Deaglo Una araersa dsrmnane d ogn modalà d aquszone mmagn è la sua ablà d rappresenare pol ogge e sruure all nerno del orpo. La vsblà de deagl è lmaa dalla sfoaura he s presena durane l proesso d produzone dell mmagne. L effeo d sfoaura, he è presene seppur n grad dvers n u meod d aquszone, è maggore nel proesso d reazone mmagn RM he nelle radografe Rumore l rumore vsuale è uno degl aspe pù mporan della RM. La presenza d rumore n un mmagne ne rdue qualà, spealmene lmando la vsblà d ogge poo onrasa e le dfferenze fra var essu. La maggor pare del rumore delle mmagn RM è generao da una forma d energa RF asuale auraa dal orpo del pazene. Durane l aquszone dell mmagne è possble abbassare l lvello d rumore a dsapo d alre araershe Arefa Gl arefa sono ogge ndesdera, ome sraure o pun, he appaono nell mmagne seppur non rappresenno la sruura anaoma. Generalmene sono prodo da nerazon fra l orpo del pazene o funzon d esso (ome l movmeno) on l proesso d produzone dell mmagne. Essono una sere d enhe ulzzabl per rdurre la presenza d arefa. 1

13 1.9 Tempo d aquszone dell mmagne Quando s fanno onsderazon rguardan la qualà dell mmagne RM, deve essere presaa mola aenzone anhe al empo rheso dal proesso d aquszone. Generalmene, allungando queso empo, alun aspe della qualà dell mmagne, ome l deaglo e l rumore, possono essere mglora. 13

14 . l rumore nelle mmagn RM Verranno ora dsuss brevemene prnpal p e le ause d rumore he s può rsonrare n un mmagne RM. Rumore ermo Perda d ampon Rumore generao da paramer del ssema d produzone dell mmagne Rumore sruurao.1 Rumore ermo Una vola he l segnale RM vene generao, esso vene proessao dalla aena del revore. Ogn omponene delle aena è una fone d rumore. l rumore generao dalla bobna del revore è l prmo he deve essere onsderao. n ogn onduore/ressore, l rumore ermo è prodoo dal movmeno soaso degl eleron lber. Ques eleron lber olldono on gl aom, dando ome rsulao uno sambo d energa. l movmeno degl eleron, e qund l numero d ollson, dpende dalla emperaura della bobna. La poenza del rumore ermo rsulane V, dervane dalla ressenza della bobna, è dao da: V = 4k T ΔνR b (1.1) on T he rappresena la emperaura della bobna, Δν la larghezza d banda delle frequenze del revore, ed R la ressenza della bobna. Predzon dell SNR non sono fal n quano l alolo della ressenza della bobna non può essere effeuaa on auraezza. Ma ad esempo, per una ressenza molo lunga, dra e lndra R, esso è dao da: R ( T ) l μrμ0ωρ = (1.) p on l, p, μ r, e ρ rspevamene la lunghezza, ronferenza, permeablà e ressvà del onduore. 14

15 La densà sperale del rumore ermo è daa da: S n k = kbt R (1.3) Pohé la densà sperale è unforme, l rumore ermo è defno spesso rumore bano ed è araerzzao da una densà d probablà d po Gaussano.. Perda d ampon Una perda d presone nell aquszone dell mmagne può essere dovua anhe alla ressvà degl ogge da raffgurare nell mmagne. Quese perde sono assoae, quando l segnale vene revuo, all nduzone del rumore dal ampone alla bobna revene, qund rduendo la presone della sansone. Sono sa fa var espermen da Houl e Lauerbur [3] sul rumore dervane dal orpo umano. Ogn bobna ha una apaanza dsrbua e l orpo umano, quando vene poso denro la bobna, agse ome un mezzo delero. L effeva ressenza R deermna la perda delera rsulane. nolre, la ressvà de essu uman ausa una rduzone della penerazone del ampo RF nfluene a fn dell aquszone dell mmagne. l ampo RF vene effevamene rparao dalle orren ausae dall nduzone magnea all nerno del lvello superfale del ampone. Queso vene defno effeo profondà della pelle. l rumore ermo rsulane ha una ressenza assoaa R m. n defnva, porre l oggeo denro la bobna rsula n un aumeno dell mpedenza n sere daa da: R = R R R (1.4) o e m La u poenza è V = 4k T Δν ( R R R ) (1.5) b e m e la u dsrbuzone onnua ad essere d po Gaussano. 15

16 16.3 Rumore generao da paramer del ssema Olre he dalle araershe del ssema RM, la varanza del rumore vene nfluenzaa anhe da paramer ulzza per produrre l mmagne. Ques paramer nludono l numero d ampon nelle drezon ed y (N e N y ), l numero d mede effeuae (N av ), l ampo d vsa nelle drezon ed y (FOV e FOV y ), e l nervallo d amponameno (Δ). Le relazon d ques paramer alla varanza del rumore presene nell mmagne sono sae dsusse nel loro lavoro da Parker e Gullberg [4], d u vengono presena solo rsula prnpal. La varanza del rumore vene dervaa dall aquszone d un mmagne onenene solo rumore. La rosruzone d Fourer de da grezz pora a: ( ) = = Δ Δ Δ Δ = ep ), ( y y N k N k y y y y n f f N yk N k k k n y π (1.6) on Δ rappresenane l empo he nerorre fra due pass d odfa d fase e (k,k y ) a denoare le oordnae del K-spazo. Δf e Δf y sono gl nervall d amponameno del K-spazo: G f Δ = Δ γ e y y y T f γg = Δ, dove, dove γ è l rapporo gro-magneo e G e G y l nensà del gradene magneo nelle rspeve drezon. T y nda l nervallo d empo n u è sao avao l gradene d odfa d fase. La varanza dell mmagne rosrua sarà: ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) Δ Δ Δ Δ Δ Δ = = = = = y y y y N k N k N k N k y av y n N k k y N k k T k k n T k k E n N f f y y y y y ' ' ep ' ', ' 1 0 ' π σ (1.7) Con gl nervall d amponameno ulzza per produrre mmagn RM, qual sono dell ordne de mroseond, la ensone del rumore rsula essere del uo norrelaa. Queso è vero perhé la maggor pare dell energa del rumore ermo s rova nelle frequenze dell nfrarosso (> Hz). Da quesa osservazone, s può passare dalla preedene equazone a: [ ]( ) FOV FOV N V N N K y y av y n Δ =, σ (1.8) dove la poenza del rumore V è daa dall equazone (1.5), e K è un faore dpendene dalle araershe del flro ulzzao.

17 .4 Rumore sruurao l rumore sruurao è defno ome onrbu d segnale he hanno una naura non asuale e he dsurbano solo parolar zone dell mmagne. Esempo d rumore sruurao sono l ghosng, l rngng, gl arefa ausa da DC e dsrbuzon non unform del segnale. Le ause del rumore sruurao sono numerose, e hanno orgne nel malfunzonameno de mahnar, ome le varazon gradual dell nduzone magnea o le nerferenze eserne, ome ad esempo la rezone d radofrequenze (RF). Generalmene, presando aenzone alla progeazone e alla messa a puno delle mahne, la maggor pare delle fon d queso po d rumore possono essere elmnae o mnmzzae. Tuava, per quelle he rmangono è omplao fare una sma dell SNR. nerferenze d RF eserne possono dare orgne sa a rumore asuale he sruurao nell mmagne RM. Per dmnure l effeo del rumore generao da RF s era d dvdere la ruera rasmeene da quella revene per prevenre le nerferenze. Alre fon d nerferenza RF possono essere sazon rado, o la vnanza d apparehaure elerhe, ome, ad esempo, ompuers. 17

18 3. Sma del rumore La sma della varanza del rumore (NV) è mporane per dverse ragon. n prmo luogo, essa fornse una msura della qualà dell mmagne n ermn d deaglo dell mmagne, n quano pole varazon del segnale endono a perders fra una grande quanà d varazon asual dovue all aumeno della varanza. nolre, la onosenza della NV può essere ule ad esempo a esare rsula del ssema d aquszone mmagn RM. nfne l valore d NV è ulzzao spesso ome npu per le enhe d elaborazone delle mmagn. Spesso, meod propos per la sma del rumore d un mmagne prendono ome assuno he la sua dsrbuzone sa d po Gaussano o d Posson. Ma nelle mmagn d magnudne RM la dsrbuzone del rumore su da non è pù d po Gaussano, bensì Rano. 3.1 PDF delle mmagn RM d magnudne È praa omune lavorare on mmagn d magnudne nvee he on da real ed mmagnar pohé da d magnudne sono mmun agl effe delle varazon d fase ndenal dovu alla non omogeneà dell angolo RF, al rardo del ssema, alla fnesra d amponameno non enraa, e. La osruzone d un mmagne d magnudne è effeuaa medane la seguene rasformazone pel a pel: M = R, (3.1) on M he rappresena l -esmo puno dell mmagne d magnudne. Pohé l esrazone della rade è una rasformazone non lneare, la PDF de da d magnudne non sarà pù d po Gaussano. 18

19 3. La dsrbuzone d Re La PDF de da d magnudne s può alolare rasformando la PDF omposa de da real e mmagnar n oordnae polar: p ( A osφ M osϑ ) ( Asn φ M sn ϑ ) 1 M σ σ ( M, A,, ) e e ϕ φ σ = (3.) πσ dove M è l Jaobano della rasformazone. L negrazone rspeo a ϕ pora a: π A M AM os( ϕ φ ) σ e 0 1 pm ( M A, φ, σ ) = Mdϕ (3.3) πσ Pohé l negrazone avvene su n erho ompleo del oseno, s può srvere: A M σ π AM osϕ σ e 0 M pm ( M A, φ, σ ) = e Mdϕ (3.4) πσ L negrale su ϕ è ollegao alla rappresenazone negrale della funzone modfaa d Bessel del prmo po d ordne 0: π 1 z os = ϕ 0( z) e dϕ π 0 (3.5) Queso pora alla PDF he araerzza da d magnudne: p M M A M AM σ ( M A, σ ) = e 0 ε ( M ) σ σ (3.6) La funzone gradno unaro d Heavsde ε(.) vene usaa per ndare he l espressone per la PDF d M è valda solo per valor non negav d M. La dsrbuzone vene hamaa dsrbuzone d Re [5,6]. La forma della dsrbuzone d Re dpende dall SNR, he è defno dalla quanà A/σ. Per bass valor dell SNR, la dsrbuzone d Re ende a omporars ome una dsrbuzone d Raylegh, he dpende solo dalla varanza del rumore σ : 19

20 p M ( M M M σ σ ) = e ε ( M ) (3.7) σ La dsrbuzone d Raylegh araerzza la dsrbuzone delle nensà asual dello sfondo prvo d segnale ome l ara. Per al SNR, la dsrbuzone d Re s ompora ome una dsrbuzone Gaussana Fgura 3.1 Funzone d densà d probablà Rana per dvers valor dell SNR 3.3 Sma del rumore Nelle mmagn RM, la NV dell mmagne vene generalmene smaa da una sngola mmagne d magnudne. Queso può essere fao dreamene da un esesa regone d segnale unforme o da regon prve d segnale [5, 7]. Sebbene quese enhe fornsano delle sme ul, grand regon omogenee sono spesso dffl da ndvduare, e qund, solo una pola porzone d da sono dsponbl per effeuare la sma. Olreuo, pun dello sfondo spesso soffrono d varazone ssemaa dell nensà. Per queso movo sono sa suda anhe alr meod basa sulla doppa aquszone della sessa mmagne. Con quesa ena, la quanà d rumore vene alolaa, ad esempo, soraendo due aquszon dello sesso oggeo e alolando la devazone sandard de pel dell mmagne rsulane [8, 9]. l prmo meodo ha lo svanaggo d essere sensble a rumore d po sruurao ome ghosng, rngng e arefa ausa da DC. Cononosane l seondo 0

21 meodo rhede la perfea regsrazone geomera dell mmagne. nolre v è un alro problema: a ausa d pol error d emporzzazone, da grezz d un aquszone possono rsulare rasla rspeo a quell dell alra. Dopo la rasformazone nel domno d Fourer, queso da orgne a varazon d fase aggunve de da ompless ompromeendo la valdà della sma del NV. 3.4 Sma de paramer del rumore Lme Mnmo della Varanza Supponamo he la PDF d una varable è deermnaa da un paramero θ. Consderamo uno smaore senza bas, d una funzone d θ, he hamamo τ(θ). Allora l lme mnmo della varanza d è dao da: { τ '( θ )} Var = (3.8) log L E θ Quesa è la dsuguaglanza fondamenale per la varanza d uno smaore, dea anhe Lme Mnmo della Varanza (MVB) o Lme nferore d Cramèr-Rao (CRLB) Sma della Massma Probablà Supponamo d avere un numero N d osservazon ndpenden dalla sessa dsrbuzone. La PDF omposa delle osservazon, raaa ome una funzone d un sngolo paramero non onosuo θ, vene hamaa Funzone d Probablà (LF) del ampone, e s srve: L θ ) = p( θ ) p( θ )... p( ) (3.9) ( 1 N θ l Prnpo d Massma Probablà afferma he lo smaore d θ, ndao ome θˆ, dovrebbe rendere la LF l pù grande possble n rspeo dell nervallo ammssble d θ. Coè, θˆ dovrebbe essere selo n modo he, per ogn valore ammssble d θ L( ˆ) θ L( θ ) (3.10) 1

22 Se ò avvene, θˆ vene hamao smaore d Massma Probablà (ML). Per ò he rguarda l auraezza e la presone dello smaore ML, s sa he, soo ondzon molo general, lo smaore ML è onssene ed è anhe l pù preso asnoamene. Conssenza: Soo ondzon general, gl smaor ML sono onssen: { Pr( ˆ θ θ < )} = 1 f N ε R ε (3.11) on R a denoare l nseme de numero posv real. Effenza asnoa: Soo ondzon non roppo resrve, la mare d varanzaovaranza dello smaore θˆ è asnoamene uguale al CRLB. Qund, se l numero d pun aumena, la dsrbuzone dello smaore ML s avvna alla dsrbuzone normale on meda θ e varanza uguale al Lme Mnmo della Varanza (MVB), he è l lme nferore sulla varanza d qualsas smaore senza bas. nolre, s sa he se esse uno smaore senza bas he ha l MVB ome varanza, esso è lo smaore ML. S assume he da dsponbl sono governa dalla dsrbuzone d Re. l valore d σ può essere smao n var mod dfferen. Generalmene, σ vene smao da pun dello sfondo, dove s assume he l segnale deermnso sa zero, sfruando l momeno seondo della PDF, s ha: 1 ˆ σ = (3.1) N M N = 1 dove la magnudne al quadrao d N pun {M } sono meda nella regone nella quale s aspea he non sa segnale, ad esempo, dove A=0. n quese zone, sappamo he da d magnudne sono regola dalla dsrbuzone d Raylegh. S può mosrare falmene he l preedene è uno smaore senza bas d σ on varanza uguale a σ 4 /N.

23 S porebbe essere neressa nel valore della devazone sandard σ, ad esempo per smare l vero SNR: A/σ. Semplemene esraendo la rade quadraa dell esmaore ML d σ s oene lo smaore d σ: 1 ˆ σ (3.13) N ML = M N = 1 Lo smaore è deno allo smaore ML d σ, dal momeno he l operazone d rade quadraa ha un nverso on valore uno. La sua varanza è approssmavamene: σ Var( ˆ σ ML ) (3.14) 4N he eguagla l CRLB. Però lo smaore σ ML non è esene da bas, a ausa della rade quadraa. l suo valore aeso sarà approssmavamene uguale a: 1 E[ ˆ σ ML ] σ 1 (3.15) 8K Queso sgnfa he è possble applare una orrezone del bas. Queso uava omporerà un aumeno della varanza dello smaore. 3

24 4. Flro d Perona-Malk L algormo d flraggo del rumore dalle mmagn he verrà esposo fu proposo da Pero Perona e Jhendra Malk nzalmene per rsolvere un problema dverso da quello del flraggo del rumore, ovvero quello della desrzone mulsala delle mmagn, problema dvenuo molo mporane per lo sudo della vsone arfale [11]. L dea d parenza è puoso semple: s raa nludere l mmagne orgnale n una sere d mmagn dervae (, y, ) oenue onvolvendo l mmagne nzale 0 (, y) on un kernel gaussano G(, y; ) d varanza : (, y, ) = 0(, y) G(, y; ) (4.1) Valor pù grand d, l paramero d salaura, orrspondono a mmagn d rsoluzone maggore ma meno deaglaa. Come ndao da Koendernk [1] e Kummel [13], quesa famgla d mmagn monoparamero può essere vsa ome soluzone dell equazone onduzone/dffusone del alore: = Δ = ) (4.) ( yy on ondzone nzale (, y, 0) = 0 (, y), l mmagne orgnale. Koendernk mova la formulazone dell equazone d dffusone sablendo due rer: 1. Causalà: Ogn araersa a un lvello d rsoluzone meno deaglao deve avere una ausa (non neessaramene una) a un lvello pù fne d rsoluzone, sebbene non debba essere neessaramene vero l opposo. n alre parole, non devono essere genera deagl spur quando vengono generae mmagn on un lvello d deaglo nferore.. Omogeneà e soropa: l blurrng deve essere spazo-nvarane. Ques rer porano auomaamene alla formulazone dell equazone d dffusone. S può noare ome l seondo rero vene sablo solo per semplà. nfa per rspeare l prmo rero non è neessaro ulzzare una mashera d blurrng gaussana, sebbene sa la sela pù semple. Hummel ha fao l mporane osservazone he una versone del prnpo del 4

25 massmo ravaa dalla eora delle equazon dfferenzal parabolhe è equvalene al prnpo d ausalà. n seguo a quese osservazon è saa proposa la ena he verrà esposa ne seguen paragraf. 4.1 Dffusone ansoropa Pohé l ulzzo d blurrng d po gaussano ausa la dsorsone spazale dell mmagne, n quano non rspea onorn naural degl ogge, Perona e Malk hanno enunao re rer da sosure a quell desr n preedenza he le desrzon mulsala sgnfave delle mmagn devono rspeare: 1. Causalà: Come ndao da Wkn e Koendernk, una rappresenazone salaa deve avere la propreà he nessun deaglo spuro deve essere generao passando da un lvello pù fne ad uno meno deaglao.. Loalzzazone: Ad ogn rsoluzone, onfn delle regon devono essere ne e ondere on onfn sgnfav a quella rsoluzone. 3. Smoohng dsrmnane: A u lvell d sala, lo smoohng nerno alle regon deve avvenre preferenzalmene allo smoohng araverso regon dsne dell mmagne. Per raggungere ques obbev possono essere apporae delle sempl modfhe al paradgma d salaura medane dffusone lneare. Nello shema dell equazone d dffusone, l oeffene d dffusone vene assuno essere osane ndpendenemene dalla loazone spazale. Non è un movo parolare per u deve essere n queso modo. La sela opporuna d un (, y, ) permeerà d soddsfare l seondo e l erzo rero espos preedenemene. nolre queso può essere fao senza ledere l rero d ausalà. Consderamo l equazone d dffusone ansoropa ( ( y, ) ) = (, y, Δ = dv, ) (4.3) dove on dv vene ndao l operaore d dvergenza, e on e Δ rspevamene gl operaor gradene e Laplaano, rspeo alle varabl dello spazo. Quesa s rdue all equazone d dffusone soropa del alore = Δ se (, y, ) è una osane. Supponamo he all sane (o faore d sala), onosamo le loazon de onfn delle regon appropra a quel lvello d sala. S vorrebbe favorre lo smoohng all nerno d una regone puoso he araverso onfn. Queso può essere oenuo seando oeffen d onduzone a 1 all nerno d ogn regone e a 0 lungo onfn. L azone d blurrng avverrà separaamene n ogn regone senza nerazon fra le regon separae. onfn delle regon rmarrebbero ne. 5

26 Ovvamene, non s onosono n anpo onfn delle regon ad ogn lvello d sala. Cò he può essere alolao è una sma della loazone de onfn (bord) appropra a quel lvello d sala. Sa E(, y, ) quesa sma: una funzone veorale defna sull mmagne he dealmene dovrebbe avere quese propreà: 1. E(, y, ) = 0 all nerno d ogn regone.. E(, y, ) = Ke(, y, ) lungo pun faen pare del bordo, dove e è un veore unaro normale al bordo n quel puno, e K è l onraso loale (dfferenza nell nensà dell mmagne sulla snsra e sulla desra) del bordo. Se è dsponble una sma d E(, y, ), allora l oeffene d onduzone (, y, ) può essere selo ome funzone d = g( E ) del modulo d E. Seondo l meodo preedenemene ndao, g( ) deve essere una funzone non-negava monoonamene deresene n u g(0)=1. n queso modo l proesso d dffusone avverrà prnpalmene all nerno delle regon e non avrà effeo su onfn delle regon sesse, dove l modulo d E è grande. È nuvo he l suesso del proesso d dffusone nel rspeare re obbev enuna dpende n gran msura su quano è auraa la sma d E. l modo pù semple d fare quesa prevsone s basa sul gradene della funzone d lumnosà, E(, y,) = (, y, ), la quale però, a seonda dell applazone, dà de rsula non aeabl (ome nel aso d mmagn RM n u deagl sono esremamene mporan). 4. Propreà della dffusone ansoropa Rhamando un rsulao della eora delle equazon alle dfferenze parzal, l prnpo del massmo, s dmosra he la dffusone ansoropa soddsfa l rero d ausalà. Prma s è mosrao he una dffusone per la quale vene selo l oeffene d onduzone loalmene ale he sa una funzone del modulo del gradene della funzone d lumnosà, ( (, y, ) ) (, y, ) = g (4.4) non solo preserva, ma anhe mee n rsalo, la lumnosà de bord, nel aso n u la funzone g( ) venga sela n modo approprao. 6

27 4.3 l Prnpo del Massmo l rero d ausalà rhede he nessuna nuova araersa spazale venga nrodoa nell mmagne passando da un lvello d sala pù fne a uno pù grossolano. Eheando le araershe nell mmagne on una varazone della funzone d lumnosà (, y, ) per valor dfferen del paramero d sala, allora la nasa d nuove varazon mplherà la reazone o d un massmo o d un mnmo he dovrà apparenere o all nerno o al pano pù alo (, y, f ) dello spazo d sala ( f è la sala meno deaglaa dello spazo d sala). Qund l rero d ausalà può essere sablo mosrando he u massm e mnm nello spazo d sala apparengono all mmagn orgnale. L equazone d dffusone è un aso speale d una lasse pù generale d equazon ellhe he soddsfano un prnpo del massmo. l prnpo afferma he u massm della soluzone dell equazone nello spazo e nel empo apparengono alla ondzone nzale (l mmagne orgnale), e a onfn del domno d neresse a ondzone he l oeffene d onduzone sa posvo [14]. n queso aso, pohé s ulzzano ondzon d onfne adabahe, l prnpo del massmo è anhe pù fore: massm apparengono solano all mmagne orgnale. 4.4 Esalazone de bord Con l flraggo passa-basso onvenzonale e la dffusone lneare l prezzo pagao sa per l elmnazone del rumore he per oenere la salaura, è l offusameno de bord. Queso rende dffle la loro ndvduazone e loalzzazone. L esalazone de bord e la rosruzone d mmagn offusae può essere oenua rame flraggo passa-alo o effeuando l equazone d dffusone a rroso nel empo. Tuava n queso modo s da orgne a shem ompuazonal numeramene nsabl a meno he l problema non venga appropraamene vnolao o rformulao. S mosrerà he se l oeffene d onduzone è selo n modo da essere un appropraa funzone del gradene dell mmagne, s può fare n modo he la dffusone ansoropa mea n rsalo bord andando avan nel empo, poendo godere della sablà della dffusone he è garana dal prnpo del massmo. Verrà modellzzao un bordo ome una funzone gradno onvolua on un Gaussano. Senza perdere generalà, assumamo he l bordo sa allneao on l asse delle y. L espressone per l operaore dvergenza s semplfa n dv( (, y, ) ) = ( (, y, ) ) (4.5) 7

28 Seglamo n modo he sa una funzone del gradene d : (, y, ) = g( (, y, )). Sa φ( ) = g( ) una msura del flusso. Allora la versone 1-D dell equazone d dffusone dvena: = φ ( ) = φ'( ) (4.6) Samo neressa nell osservare le varazon nel empo della pendenza del bordo: ( ). Se / ( ) > 0 allora la funzone ( ) è onnua, e l ordne d dfferenzazone può essere nvero: ( ) = ( ) = φ ( ) = φ'' φ' (4.7) Supponamo he l bordo è orenao n modo ale he > 0. Nel puno d nflessone = 0, e << 0 dal momeno he l puno d nflessone orrsponde al puno on pendenza massma. Qund nel vnao del puno d nflessone, ( ) ha segno opposo a φ ( ). Se φ ( ) > 0 la / pendenza del bordo dmnurà nel empo, onraramene, se φ ( ) < 0 la pendenza aumenerà nel empo. Da noare he queso aumeno nella pendenza non può essere ausao da una salaura del bordo, perhé ò volerebbe l prnpo del massmo. Qund l bordo vene esalao. Essono 1α ( ) dverse possbl sele per assegnare φ( ), ad esempo g( ) = C / 1 ( / K ) on α > 0. Qund esse un ero valore d sogla ollegao a K ed ad α, al d soo del quale φ( ) è monoonamene resene e al d sopra del quale è monoonamene deresene, dando rsula desderabl d medare le pole dsonnuà e evdenzare bord. Nelle vnanze delle regone pù rpde d un bordo la dffusone può onsderars essere effeuaa all ndero pohé φ ( ) è negavo. Queso può generare preoupazone pohé sappamo he la dffusone a rroso on oeffen osan è nsable e amplfa ondulazon he ausano rumore. Nel nosro aso quesa preoupazone è superflua n quano l prnpo del massmo garanse he quese ondulazon non s manfesano. Queso s verfa empramene osservando he le aree n u φ ( ) < 0 s srngono rapdamene, manenendo sable l proesso. 8

29 4.5 Rsula spermenal Le dee dsusse fnora rguardo la dffusone ansoropa sono sae esae usando un semple shema numero he verrà ora desro. La preedene equazone può essere dsrezzaa su una mashera quadraa, assoando valor d nensà lumnosa a ver della mashera e oeffen d onduzone agl arh. Fgura 4.1 Shema ompuazonale per l flro d Perona Malk Una dsrezzazone sul 4-vnao dell operaore Laplaano può essere ulzzaa: [ ] 1, =, λ N N S S E E O O (4.8) n u λ è un valore he, a fn della sablà del modello, deve essere ompreso fra 0 e ¼, N, S, E e O sono ped per ndare Nord, Sud, Es ed Oves. 9

30 nolre: (4.9) N, = 1,, (4.9) S, = 1,, (4.9) E, =, 1, (4.9) O, =, 1, oeffen d onduzone sono aggorna ad ogn erazone ome funzone del gradene dell nensà lumnosa: ( ( ) ( 1/ ) ) ( ( ) ( 1/ ) ) ( ( ), ( 1/ ) ) (, 1/ ) = g (4.10) N,, S g,, = (4.10) = g (4.10) E, ( ) ( ) = g (4.10) O, l valore del gradene può essere alolao su dfferen sruure del vnao oenendo dvers ompromess fra auraezza e loalà. La sela pù semple onsse nell approssmare la norma del gradene su ogn aro on l valore assoluo della sua proezone lungo la drezone dell aro. (( ) ( 1/ ) ) (( ) ( ) ) (( ), ( 1/ )) (, 1/ ) = g (4.10) N,, S g, 1/, = (4.11) = g (4.10) E, ( ) ( ) = g (4.10) O, Queso shema non è una dsrezzazone esaa dell equazone d dffusone desra, ma d una smle nella quale l ensore d onduzone è dagonale a valor d g( ) e g( ) nvee he a g( ). Queso shema d dsrezzazone preserva la propreà dell equazone onnua n u la quanà oale d lumnosà nell mmagne vene preservaa. 30

31 31 È possble verfare he, qualunque sa la sela per l approssmazone del gradene, lo shema dsrezzao soddsferà sempre l prnpo del massmo (e del mnmo) a pao he la funzone g sa ompresa fra 0 ed 1. Queso può essere dfa dmosrao a parre dal fao he [ ] 4 0,1/ λ e [ ] 0,1, e defnendo ( ) { } O E S N M,,,,,, ma ) ( =, e ( ) { } O E S N m,,,,,, mn ) ( = ome massmo e mnmo de vn d, all erazone. S può dmosrare he ( ) M m, 1,, ) ( (4.1) oè, nessun mnmo o massmo (loale) è ammssble all nerno dello spazo d sala dsrezzao. nfa: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M O E S N M O E S N M O O E E S S N N O E S N O O E E S S N N,,,,,,,,,, 1, 1 1 = = = λ λ λ λ λ (4.13) e n modo smle: ( ) ( ) ( ) m O E S N m O E S N m,,,,, 1, 1 = λ λ (4.14) S possono ulzzare dverse funzon per g( ) he danno rsula perevamene sml. Due sele possbl sono: ( ) ( ) ( ) / K e g = (4.15) e: ( ) 1 1 = k g (4.16)

32 Le funzon preeden seguono qualavamene ques andameno: Fgura 4. - Andameno delle equazone (4.15) Fgura Andameno delle equazone (4.16) rsula genera da quese due funzon sono dfferen: la prma prvlega bord on onras al rspeo a quell on onras bass, l seondo prvlega regon esese rspeo a quelle pù pole. La osane K può essere fssaa a mano ad un valore predefno, o usando un approprao smaore d rumore (ved prossmo apolo). 3

33 5. Flro Proposo 5.1 Svanagg del flro d Perona e Malk Un flro he elmn n modo effae l rumore deve neessaramene enere n ono le seguen araershe dell mmagne: Zone omogenee dell mmagne: le zone n u l azone d flraggo deve essere fore n quano n quese par dell mmagne non sono presen deagl Zone onenen edges: n quese zone l azone del flro deve essere nulla o quanomeno blanda, n quano quese sono le par dell mmagne onenen deagl he devono essere preserva. Fgura Zone n u l flro deve agre dfferenemene 33

34 l flro d Perona e Malk preedenemene analzzao ene n ono n modo soddsfaene l prmo po d araersa, n quano, ad ogn passo d erazone, per va della parolare sruurazone delle funzon d onduzone, l azone d medazone de lvello d grgo è fore dove l gradene è polo (zone omogenee). l seondo puno nvee, vene affronao n modo roppo approssmavo prnpalmene per due mov: 1. Non vene faa nessuna onsderazone sulla drezone dell edge, nfa, per ome è sruurao l flro, vene supposo he u onorn sano eslusvamene veral o eslusvamene orzzonal, quando nvee sarebbe opporuno he l flro fosse pù fore nella drezone parallela all edge e meno nenso nella drezone ad esso perpendolare.. Pohé l flro s basa eslusvamene sul gradene de pel 4-vn, un puno faene pare d un edge sfumao vene flrao n modo pressohé uguale ad una zona omogenea. n ermn d effe vsv, problem nda orrspondono a perde d parolar mporan (soprauo nel aso delle mmagn RM), e addrura, n ondzon parolar d rumore, all elmnazone de bord on pendenza bassa, ompromeendo qund la qualà dell mmagne. 5. Possbl modfhe per la mglora del flro Tenuo ono de problem neren alla sruura del flro d Perona-Malk, per mglorare la sua performane, s dovrebbe agre dunque mglorando la sma de bord. Enramb problem pos n preedenza possono essere argna presando maggore aenzone alla sruura dell mmagne (presenza o meno d un bordo, n quano una semple varazone dell nensà lumnosa non orrsponde neessaramene alla presenza d un bordo; e la sua evenuale nlnazone on u modulare l azone del flro lungo la drezone orzzonale e verale) nell norno d ogn puno he s va a onsderare durane l applazone del flro. L equazone d dffusone dvenerebbe osì: ( ϕ) d( ϕ) d( ϕ) d( ϕ) 1, =, λ( d ver N N ver S S orz E E orz O O ), n u d(ϕ) ver e d(ϕ) orz sono de paramer funzone della drezone dell edge. La rera d un orenameno del paern nell norno d un mmagne, può essere rondoa al problema d rovare la perpendolare alla drezone prnpale n u vara l modulo del gradene, n quano, nuvamene, laddove s nonra una varazone de lvell d (5.1) 34

35 grgo, è pù probable (ma non ero, poes erraa su u s affda l flro d Perona e Malk ) he s sa araversando un edge. Fgura 5.1 Relazone fra drezone dell edge e drezone prnpale del gradene. Nella prossma sezone verrà presenao l meodo ulzzao per rovare la drezone n quesone. 5.3 Rera della drezone prnpale del gradene A sua vola, l problema d rovare la drezone prnpale del gradene, può essere paragonao al voler rovare un parolare angolo θ = ϕ π/ nella u drezone, n ogn puno dell norno onsderao, medamene, s abba la varazone massma del gradene drezonale. ma n n = 1 = 1 D (, y n v ) = ma n n 0 = 1 = 1 ( lm osθ, y n snθ ) (, y ) (5.) 35

36 36 Passando alle dervae lungo gl ass X ed Y (pù sempl da alolare per la naura dsrea marale delle mmagn dgal), la (eq. 5.) può essere sra ome: = = sn ), ( ), ( lm os ), ( ), ( lm ma n k y k y h y y h n n k h θ θ (5.3) oè sra n forma noazonale: = = = 1 1 sn os ma n y f f n n θ θ (5.4) Da u separando le sommaore e usendone valor osan s oene: = = = 1 1 sn os ma n y f f n n θ θ (5.5) = = = 1 1 sn os ma n y f f n n θ θ Per rovare l massmo s effeua la dervaa prma dell argomeno e s pone uguale a 0 la funzone osì oenua, gungendo a: 0 os sn 1 1 = = = n y f f n n θ θ (5.6) da u semplemene s rava l angolo θ erao:

37 37 = = = n n f y f 1 1 aran θ (5.7) Quesa espressone a u s è gun, nda he la drezone prnpale del gradene è daa semplemene dal rapporo delle mede armehe de graden dell mmagne nelle due drezon. 5.4 Prova empra del meodo Da quano deo prma è evdene ome, per la rera della drezone eraa, non sa mporane la dsrbuzone de graden, quano la loro sasa (n parolare la meda armea). A rprova empra d quano dmosrao, onsderare la seguene mmagne: Fgura 5. Deaglo d un edge

38 Se ne alolano graden rspevamene nelle drezone X ed Y: Fgura 5.4 Graden nelle due drezon Suessvamene s sosuse ad ogn valore della mappa del gradene osì oenua, la meda de valor n asuna delle due drezon, oenendo una nuova mappa del gradene avene, per osruzone ue le omponen ugual. negrando la mappa osì osrua s rsale ad una nuova mmagne: Fgura 5.5 negrazone della mappa del gradene Charamene quesa mmagne è dfferene dall orgnale, però, ome è fale vedere, l gradene s muove verso la medesma drezone dell mmagne orgnara. 38

39 5.5 Modfa dell equazone d dffusone ansoropa Adesso he possedamo una sma mglore de bord nell norno del puno onsderao per l applazone del flro, è neessaro rovare le funzon d(θ) ver e d(θ) orz ndvduae preedenemene. Traandos d angol, la sela mmedaa per l po d funzone da ulzzare rade sulle funzon sn( ) e os( ), ma bsogna fare delle osservazon. Per manenere sable lo shema numero permeendo he sa anora valdo l prnpo del massmo (e d onseguenza l rero d ausalà dell equazone d dffusone) è neessaro he 1 d ( ϕ) ver N d( ϕ) ver S d( ϕ) orz E d( ϕ) orz O (5.8) λ A parre da quesa onsderazone, per mezzo della relazone fondamenale della gonomera: sn α os α = 1 (5.9) s possono seglere dverse funzon gonomerhe da ulzzare, n seguo a es effeua mglor rsula sono sa oenu ponendo: d d ( ϕ) ver = os ϕ ( ϕ) = sn ϕ ver (5.10) Qund, lo shema numero dsreo per l flro proposo sarà n defnva: 1, [ os ϕ( ) ( )] N N S S ϕ E E O O,, = λ sn (5.11) l quale, manenendo λ sempre ompreso fra 0 e ¼ rspea la (Eq. 5.8). Noare he, n aso d mananza d un orenazone spefa del paern (angolo ϕ = 45 ), d(θ) ver = d(θ) orz = 1, qund l equazone d dffusone (Eq. 5.11) s rondue all equazone d dffusone ansoropa sandard d Perona e Malk (Eq. 4.8). 39

40 5.6 Sela de paramer per l unng del flro Ulzzando le funzon d onduzone esamnae n preedenza: X k 1 X = e e X = (5.1) X 1 k S presena la neessà d seglere un valore k adao a seonda de dfferen as. Pohé l valore k amba l puno d massmo della funzone g( ), amba d onseguenza anhe l nervallo de valor enro l quale una varazone de lvell d grgo vene onsderaa dsonnuà (rumore) o bordo. La sela eora omale d k rsula essere quella per u vale g( σ ) σ = ma( g( )) (5.13) Nel aso k g( ) = e dervando rspeo alla s oene: X ( / k ) ( k e ) k (5.14) he rsola da: k = (5.15) da u k = (5.16) qund ulzzando la prma funzone d onduzone la sela omale d k è: k = σ (5.17) 40

41 Fgura 5.6 Valore omale d k nvee nel aso g( ) = dervando rspeo alla s oene: X 1 k he rsola da: ( k ) ( k ) k k = (5.19) (5.18) per u ulzzando la seonda funzone d onduzone la sela omale d k è: k = σ (5.0) Fgura 5.7 Valore omale d k 41

42 6. Tes e daase ulzza Per verfare spermenalmene rsula del flro proposo sono sa effeua de es su mmagn RM snehe [15, 16, 17, 18, 19] on dvers rappor d rumore, nfne è saa anhe effeuao un es su un mmagne onvenzonale. 6.1 Prmo es Tpo d mmagne: Snea Tena d sansone: SFLASH (Spoled FLASH) Repeon me: 18ms Flp Angle: 30 Eho Tme 10ms Nose Level 3% NU Feld Feld A NU ("RF") level 0% Numero erazon: 3 λ: 0.5 Equazone onduzone ulzzaa: X = e X k 4

43 mmagne Orgnale (rumorosa) mmagne Orgnale (senza rumore) Flro proposo Flro Perona-Malk Fgura 6.1 Confrono mmagn prmo espermeno Qualavamene s può vedere ome l azone d blurrng lungo gl edges è meno maraa rspeo al flraggo Perona-Malk, nolre pol deagl he vengono praamene perdu (Fg. 6.) on l flraggo d Perona-Malk rmangono ben defn e maggormene onrasa. 43

44 mmagne Orgnale (rumorosa) mmagne Orgnale (senza rumore) Flro proposo Flro Perona-Malk Fgura 6. Confrono deagl prmo espermeno 44

45 nfne ulzzando la sma del rapporo segnale-rumore proposa da Sbers, SNR = 1 N N = 1 σ f s rsonrano, medamene, mglore he s aesano su ra l 10% 45

46 6. Seondo es Tpo d mmagne: Snea Tena d sansone: SFLASH (Spoled FLASH) Repeon me: 18ms Flp Angle: 30 Eho Tme 10ms Nose Level 10% NU Feld Feld A NU ("RF") level 0% Numero erazon: 5 λ: 0.5 Equazone onduzone ulzzaa: 1 X = X 1 k 46

47 mmagne Orgnale (rumorosa) mmagne Orgnale (senza rumore) Flro proposo Flro Perona-Malk Fgura 6.3 Confrono mmagn seondo espermeno n queso aso, nonosane l mmagne orgnale on presenza d rumore sa praamene nulzzable, l flro mga noevolmene l azone del rumore sesso, rusendo a manenere un lvello d deaglo neamene superore al flro d Perona Malk: 47

48 mmagne Orgnale (rumorosa) mmagne Orgnale (senza rumore) Flro proposo Flro Perona-Malk Fgura 6.4 Confrono deagl espermeno 48

49 6.3 Terzo es Queso es è sao effeuao su un mmagne rumorosa onvenzonale. Numero erazon: 3 λ: 0.5 Equazone onduzone ulzzaa: X = e X k mmagne orgnale (rumorosa) Flro proposo Flro Perona-Malk Fgura 6.5 Confrono mmagn erzo espermeno 49

50 Un anals qualava dell mmagne mosra ome l flro proposo fornsa rsula mglor rspeo al Perona-Malk, bas vedere ome ques ulmo perda d defnzone, ad esempo lungo l armado (n alo a snsra) sompaono ue le venaure, he nvee vengono preservae ol flro proposo. Negav de deagl delle mmagn: mmagne orgnale (rumorosa) Flro proposo Flro Perona-Malk Fgura 6.6 Confrono deagl erzo espermeno 50

51 Appende A Esensone del flro proposo nelle re dmenson A.1 Ulzz del flro n re dmenson L esensone del flro proposo n re dmenson può avere una duple applazone: - Flraggo d modell RM volumer. - Flraggo d sequenze vdeo Nel prmo aso la erza dmensone vene nesa spazalmene (asse Z), nel seondo è nvee l empo. Quale he sa l sgnfao assegnao alla erza dmensone, le modfhe he devono essere apporae allo shema sono le sesse. A. Modfhe allo shema ompuazonale La mashera da ulzzare n queso aso dovrà enere ono de pel vn nello spazo e non pù nel pano, qund dverrà la seguene: 51

52 Fgura A.1 Mashera della dffusone 3D per u nuov oeffen d onduzone saranno seguen: (( ) ( 1/ ), z ) (( ) ( 1/ ), z ) (( ), ( 1/ ) z ) (( ), ( 1/ ) z ) (( ),, z ( 1/ )) (,, z 1/ ) = g (A.1) N,, z, = g (A.1) S,, z, = g (A.1) E,, z, = g (A.1) O,, z, = g (A.1) A,, z ( ) ( ) = g (A.1) D,, z Per quano rguarda nvee la sma della drezone degl edge, rovando nello spazo, gl angol da rovare sono due e non pù uno solano, ϕ e δ. Tuava l rero rovao per l aso D è anora valdo, per u: n f = ϕ aran y = n f = 1 1 π (A.) 5

53 e n f = δ aran y = n f = 1 z 1 π (A.3) La nuova equazone d dffusone dvenerà: 1, =, λ[4os ϕ sn δ ( N N S S ) ( ) 4sn ϕ sn δ E E O O 4sn ϕ os δ ( )] A A D D (A.4) n u l valore d λ, per onnuare ad essere valdo l prnpo del massmo, deve essere ompreso fra 0 e 1/6. A.3 Rsula spermenal Lo shema osì defno è sao esao su un se d mmagn snehe d magnudne d dmensone la u dsanza fra una fea e l alra è d 1mm. l rumore smulao sul se è del 5%, sono sae effeuae re erazon del flro. 53

54 Fgura A. (Pare ) Applazone del flro 3D su un modello RM volumero. 54

55 Fgura A. (Pare ) Applazone del flro 3D su un modello RM volumero. 55

56 Fgura A. (Pare ) Applazone del flro 3D su un modello RM volumero. 56

57 Appende B Code Sorgene B.1 rgfler.m % rgfler - Ansorop dffuson weghed by graden dreon. % % Usage: % dff = rgfler(m, ner, masksze, kappa, lambda, opon) % % Argumens: % m - npu mage % ner - number of eraons. % masksze - sze of mask for ompung he man dreon of he loal graden % kappa - onduon oeffen 0-100? % lambda - ma value of.5 for sably % opon - 1 Dffuson equaon No 1 % Dffuson equaon No % % Reurns: % dff - dffused mage. % % kappa onrols onduon as a funon of graden. f kappa s low % small nensy gradens are able o blok onduon and hene dffuson % aross sep edges. A large value redues he nfluene of nensy % gradens on onduon. % % lambda onrols speed of dffuson (you usually wan a a mamum of % 0.5) % % Dffuson equaon 1 favours hgh onras edges over low onras ones. % Dffuson equaon favours wde regons over smaller ones. % Referene: 57

58 % P. Perona and J. Malk. % Sale-spae and edge deeon usng ansorop dffuson. % EEE Transaons on Paern Analyss and Mahne nellgene, % 1(7):69-639, July % % by Robero Gallea 004 funon dff = rgfler(m, ner, masksze, kappa, lambda, opon) % Chek orre sze of he npu f ndms(m)==3 error('ths versone of rgfler only operaes on D grey-sale mages'); end m = double(m); [rows,ols] = sze(m); dff = m; % eeue eraons for = 1:ner fprnf('\reraon %d',); % Consru dffl whh s he same as dff bu % has an era paddng of zeros around. dffl = zeros(rows, ols); dffl(:rows1, :ols1) = dff; % Norh, Souh, Eas and Wes dfferenes delan = dffl(1:rows,:ols1) - dff; delas = dffl(3:rows,:ols1) - dff; delae = dffl(:rows1,3:ols) - dff; delaw = dffl(:rows1,1:ols) - dff; % ges loal graden dreon parameers 58

59 [horz,ver] = gedreonvalues(dff,masksze); % Conduon parameers f opon == 1 N = ep(-(delan/kappa).^); S = ep(-(delas/kappa).^); E = ep(-(delae/kappa).^); W = ep(-(delaw/kappa).^); elsef opon == N = 1./(1 (delan/kappa).^); S = 1./(1 (delas/kappa).^); E = 1./(1 (delae/kappa).^); W = 1./(1 (delaw/kappa).^); end % he dffuson equaon dff = dff lambda*(ver.*n.*delan ver.*s.*delas horz.*e.*delae horz.*w.*delaw); % Unommen he followng o see a progresson of mages % subplo(el(sqr(ner)),el(sqr(ner)), ) % mages(dff), olormap(gray), as mage end fprnf('\n'); B. gedreonvalues.m % gedreonvalues - Esmaes loal graden dreons o be used n % dreon-weghed ansrop dffuson equaon % % usage % [omponens, yomponens] = gedreonvalues(, masksze) % % Argumens: % - npu mage 59

60 % masksze - sze of mask for ompung he man dreon of he loal graden % % Reurns: % omponens - values used for weghng as omponens % yomponens - values used for weghng y as omponens % % by Robero Gallea 004 funon [horz,ver]=gedreonvalues(,masksze); % Chek orre sze of he npu f mod(masksze,) == 0 error('mask sze mus be odd'); end; warnng off MATLAB:dvdeByZero; = double(); [rows,ols]=sze(); horz = zeros(rows,ols); ver =zeros(rows,ols); padsze = (masksze-1)/; dff = ; % Consru dffl whh s he same as dff bu % has an era paddng of zeros around. dffl = zeros(rows, ols); dffl(:rows1, :ols1) = dff; dffl(rows,:)=dffl(rows1,:); dffl(:,ols)=dffl(:,ols1); % Souh (veral) and Wes (horzonal) dfferenes delas = abs(dffl(3:rows,:ols1) - dff); delaw = abs(dffl(:rows1,1:ols) - dff); 60

61 % loop over he graden map for =padsze1:rows-padsze for =padsze1:ols-padsze % seup he onaner of he samples o % ompue loal sass pop = zeros((masksze^),); ouner = 1; % loop over he loal graden map for k=-padsze:padsze for z=-padsze:padsze pop(ouner,1) = abs(delas(k,z)); pop(ouner,) = abs(delaw(k,z)); ouner = ouner 1; end; end; % ompue sasrs % along dreon md = sum(pop(:,1))/(masksze^); % along y dreon mdy = sum(pop(:,))/(masksze^); % ompue an of he man graden dreon % general ase an = mdy/md; % an = nfne f md == 0 urrve = p/; else urrve = an; end; % fll he, omponen of oupus: % horzonal 61

62 horz(,)=*((os(aan(urrve))))^; % veral ver(,)=*((sn(aan(urrve))))^; end; end; B.3 rgfler3d.m % rgfler - Ansorop dffuson weghed by graden dreon for 3D models. % % Usage: % dff = rgfler(m, ner, masksze, kappa, lambda, opon) % % Argumens: % m - npu mage % ner - number of eraons. % masksze - sze of mask for ompung he man dreon of he loal graden % kappa - onduon oeffen 0-100? % lambda - ma value of.16 for sably % opon - 1 Dffuson equaon No 1 % Dffuson equaon No % % Reurns: % dff - dffused mage. % % kappa onrols onduon as a funon of graden. f kappa s low % small nensy gradens are able o blok onduon and hene dffuson % aross sep edges. A large value redues he nfluene of nensy % gradens on onduon. % % lambda onrols speed of dffuson (you usually wan a a mamum of % 0.5) % 6