ei di Teoria dee assicurazioi Vautazioe di acue fore basiari di assicurazioi sua ita Probea di autazioe di ua redita di durata aeatoria Necessità di espriere a probabiità di sopraieza di u idiiduo: Fuzioi bioetriche
Le fuzioi bioetriche etta età itera, si idicao co: uero dee persoe ieti di età de isiee teorico cosiderato dae taoe di sopraieza d uero dee persoe di età che uoioo pria di aer raggiuto età successia
Fra esse esiste a reazioe: d I aori di decrescoo a crescere di fio a utia età rieata, detta età estrea ω L età estrea è tae che essu iete raggiuge età successia ω 0 quidi risuta: d ω ω
Utiizzado e fuzioi bioetriche si cacoao e probabiità di sopraiere e di orire ad ua certa data La probabiità che ua persoa di età raggiuga età, è detta tasso auo di sopraieza ed è data da: p La probabiità de eeto de eeto cotrario, ossia che a persoa di età uoia pria di raggiugere età, è detta tasso auo di ortaità e risuta: q p Iteressa cooscere e probabiità di sopraiere e di orire per assegati iterai di età d
ostruzioe di taoe di ortaità IPOTSI I LVORO La probabiità di orire e iterao di tepo ( t, t t) è espressa da ptt (, t) at () t O( t), at () 0 iò che aiee e iterao di tepo (t,t ) è idipedete da passato (t<t ) La probabiità di orte aa ascita è 0. Si ottiee faciete: π() t e t 0 az ( ) dz
MOLLO SMPLIFITO at () α βe γt π() t e αt β --e γt γ
La probabiità che ua persoa di età sia i ita dopo ai, detta probabiità di sopraieza dopo ai, è data da: p Si tratta di ua probabiità coposta e si ottiee da prodotto di tassi aui di sopraieza. p p p p
La probabiità di orte differita di ai e teporaea di ao, ossia a probabiità che ua persoa di età raggiuga età e uoia etro u ao, è ach essa ua probabiità coposta: d d q p q p q La probabiità cotraria è a probabiità di orte etro ai, ossia a probabiità che a persoa uoia pria di raggiugere età, è data da:
sepio. acoare per u uoo di 40 ai e probabiità: a) di sopraiere per u ao; b) di sopraiere per 5 ai; c) di orire etro 30 ai; d) di raggiugere gi 80 ai e di orire etro u ao. Ripetere i cacoo per ua doa di 40 ai. Utiizzado e taoe di sopraieza riferite ad u isiee teorico di 00.000 eoati aschi i Itaia e 98: a) p 95.05 95.4 4 40 40 0,99790 b) p 74.95 95.4 65 5 40 40 0,77963 c) d) q 95.4 63.075 95.4 40 70 30 40 40 q 3.846 95.4 80 40 40 40 d 0,039576 0,33764
Per ua doa di 40 ai. o i dati dea Taoa di sopraieza riferita ad u isiee teorico di 00.000 eoate i Itaia e 98 si ha: a) 4 97.068 p40 0, 998847 97.80 40 b) 5 p 40 65 40 87.009 97.80 0,895339 c) 30 q 40 40 40 70 97.80 80.69 97.80 0,7033 d) 40 q 40 d 80 40 3.846 97.80 0,039576
Tasso istataeo di ortaità La probabiità che u idiiduo uoia pria di raggiugere età è data: q Suppoedo a fuzioe deriabie e co deriata cotiua si può sostituire a detto icreeto i differeziae dea coettedo u errore che è ifiitesio di ordie superiore a q
Poedo: µ d og d è detto tasso istataeo di ortaità o µ forza di ortaità Pertato: q µ
Quado si coosce a forza di ortaità si può dedurre a corrispodete egge di sopraieza d og du u µ Itegrado e iterao [0, ] si ricaa: u ossia og [ ] 0 og u µ d µ ud u 0 e 0 0 0 0 u u µ u d u
u d u e 0 µ 0 a probabiità di sopraiere a età 0 si cosidera pari ad quidi Le arie probabiità si possoo espriere i fuzioe dea forza di ortaità, ad esepio: u u u u u u d d d e e e p µ µ µ 0 0
sepio acoare a probabiità per ua doa di 40 ai di sopraiere atri 5 ai ipotizzado che a forza di ortaità sia costate e pari ai 0,00: 65 p 40 e 65 0,00 d u 40 0,005 e 0,9753
ssicurazioi sua ita L assicurazioe sua ita è u cotratto co i quae assicuratore, erso i pagaeto di u preio, si obbiga a pagare a assicurato u capitae o ua redita, a erificarsi di u eeto attiete aa ita uaa. Otre a assicuratore iteregoo, i geere tre persoe che possoo o o coicidere: i cotraete i beeficiario assicurato. I cotratti sua ita si possoo distiguere i tre gruppi: assicurazioi i caso di ita, ee quai assicuratore si ipega a pagare a soa o e soe assicurate soo se assicurato è i ita; assicurazioi i caso orte, ee quai assicuratore è ipegato a pagare a soa assicurata i caso di orte de assicurato; assicurazioi iste, cobiazioi di assicurazioi i caso di ita e i caso di orte;
ssicurazioe eeetare di ita (o di capitae differito) Ua persoa, di età, si assicura u capitae, esigibie ad ua deteriata scadeza, soo se sarà i ita. t Idichiao co a scadeza. Se i capitae assicurato è uitario, i suo aore attuae aa stipuazioe de cotratto è dato da: ( i) osideriao a ariabie casuae S, che rappreseta i aore attuae dee soe che sarao pagate a assicurato: s p 0 q
Preio uico puro di ua assicurazioe di capitae differito Suppoiao che assicurato si ipegi a pagare i u uica souzioe e che i preio tega coto soo dee prestazioi che assicuratore si obbiga a pagare aa scadeza. I ta caso si para di preio uico puro e si idica geeraete, co a ettera U. Quato è disposta a pagare ua persoa di età, per assicurarsi u capitae uitario, ad ua scadeza fissata, a codizioe di essere i ita? U p 0 q p Se i capitae è pari a, i preio uico puro è dato da: U
Posto Si può espriere i aore atteso ache i u atro odo: La gradezza X era (o è tutt ora) tabuata. : a pari risuta atteso aore i
I fattore attuariae di scoto è detto fattore attuariae di scoto ed è i aore attuariae di u capitae uitario,, esigibie da ua persoa di età dopo ai se sarà i ita. ssedo: < p Poiché p < È detto fattore attuariae di capitaizzazioe e perette di cacoare i otate fra ai di u capitae uitario ersato oggi da ua persoa di età, otate esigibie soo se a persoa sarà i ita
ssicurazioe di redita itaizia L assicurato si garatisce ua successioe di capitai, dette rate, esigibii periodicaete a codizioe di essere i ita ae scadeze fissate. Si distiguoo quattro tipi di redite itaizie: iediate iiitate; differite iiitate; iediate teporaee; differite teporaee. Redita itaizia iediata iiitata Rappresetiao operazioe co uo schea teporae: X X ω t L assicurato di età ottiee, ae scadeze fissate, u capitae uitario se è i ita, eo schea abbiao cosiderato ua redita aticipata.
I preio uico (i aore attuae attuariae dea redita ) è dato da: N a N a a U ω ω ω ω Se a rata è R, i preio uico risuta: a R U Se a redita è posticipata ed uitaria, i aore attuariae è dato: N a a U ω ω
Redita itaizia differita iiitata Ua redita è differita se a pria rata scade dopo ai daa stipuazioe de cotratto. questa data assuiao che assicurato abbia età. Ne caso a rata sia uitaria e ega corrisposta aticipataete, i preio uico è dato da: U a a ω Se a rata dea redita è R, i preio uico risuta: U R a Se a redita è posticipata a si può trasforare: a a N
Redita itaizia iediata teporaea La pria rata iee corrisposta aa stipuazioe de cotratto (quado assicurato ha età ) per ai. acoiao i preio puro e caso a redita sia uitaria: N N a ) ( ) ( ω ω Quidi i preio uico puro per u assicurazioe di redita iediata aticipata uitaria teporaea per ai è: N N a
Redita itaizia differita teporaea Ua persoa di età si garatisce i godieto di rate co iizio fra ai. osiderado ua rata uitaria i preio da pagare si ricaa: a a U I ueratore si può scriere coe quidi: N N N N a
sepio U uoo di 40 ai uoe garatirsi ua redita itaizia di 0.000,00 aue. eteriare i preio uico ei segueti casi: a) a redita duri tutta a ita e a pria rata sia esigibie subito; b) a redita sia iiitata co a pria rata scadete a copieto dei 55 ai; c) a redita abbia ua durata di 5 ai, co a pria rata scadete dopo u ao; d) a redita abbia ua durata di 0 ai co a pria rata scadete a copieto dei 50 ai a) U 0.000,00 ā 40 0.000,00 N 40 40 84.7,5 b) U 0.000,00 5 ā 40 0.000,00 c) U 0.000,00 5 a 40 0.000,00 d) U 0.000,00 00 ā 40 0.000,00 N 7.64,30 55 40 N4 N66 46.89,37 40 N4 N 40 66 83.403,86
ssicurazioe i caso di orte Le assicurazioi i caso di orte ipegao assicuratore a pagaeto dea soa assicurata durate i periodo preisto da cotratto. Vi soo ari tipi di assicurazioe secodo i periodo assicurato. osideriao per pria assicurazioe eeetare di orte. L assicuratore si ipega a pagare i capitae di u euro fra ai se assicurato orirà e ao copreso fra e età e. osideriao, pertato, a ariabie casuae S, che rappreseta i aore attuae dee soe che assicuratore dee pagare. ssa assue i aore se assicurato uore e ao copreso fra e età e, 0 i caso cotrario : S q 0 q I aore atteso che rappreseta i preio uico puro, risuta: q 0 U ( q ) q
d d d d q Trasforado questa reazioe si può scriere.
ssicurazioe di orte iediata ita itera L assicurato co questo cotratto garatisce agi eredi u capitae esigibie aa fie de ao dea sua orte i quauque epoca egi uoia. Questa assicurazioe è a soa di tate assicurazioi eeetari di orte ciascua per u ao, da età a età. Se i capitae è uitario, i preio uico puro risuta pari a: M M U ω ω ω ω
ssicurazioe di orte iediata e teporaea L assicuratore si ipega a pagare agi eredi i capitae assicurato aa fie de ao i cui aerrà a orte de assicurato, se e soo se a orte aerrà etro ai daa stipua de cotratto. Se i capitae è uitario i preio uico è dato da: M M M M U
ssicurazioe di orte differita ita itera L assicuratore pagherà a soa stabiita soo se assicurato orirà dopo ai daa stipuazioe de cotratto. Se i capitae è uitario, i preio uico puro risuta pari a: M U ω ω
ssicurazioe di orte differita teporaea L assicuratore pagherà a soa stabiita soo se assicurato orirà dopo ai daa stipuazioe de cotratto ed etro gi ai successii. Se i capitae è uitario, i preio uico puro è dato da: M M U
Fiora abbiao ipotizzato che i capitae uitario ega corrisposto aa fie de ao i cui aiee a orte de idiiduo cosiderato Se si uoe cosiderare i caso che esso ega corrisposto a oeto dea orte ossia a tepo y co y copreso tra zero e uo, i aore attuae, che idichereo co Ā X, iee stiato co i aore attuae otteuto per i aore atteso di y ossia co. L assicuratore per copesare gi iteressi di ezzo ao, aggiora i prei uici dee assicurazioi i caso orte capitaizzadoi per (i). Per ua assicurazioe i caso orte a ita itera, si ha: ( i )
ssicurazioe ista sepice o questo tipo di cotratto, assicuratore, si ipega a corrispodere u capitae dopo ai se assicurato sarà i ita a età, o aa orte de assicurato se questa aerrà pria de età. I cotratto si copoe, pertato, di u capitae differito e di ua teporaea i caso orte. Se i capitae è uitario, i prei uico puro è dato: U M M ssicurazioe ista a capitae raddoppiato L assicuratore si ipega a corrispodere u capitae aa orte de assicurato, a quauque età egi uoia, ed u atro capitae soo dopo ai, se idiiduo sarà i ita. Se i capitae è uitario, i etrabi i casi, i preio uico è dato da: U M
sepio. U uoo di 3ai stipua u assicurazioe ista sepice per i capitae di 70.000,00, scadete a 60 ai co pagaeto aa fie de ao de decesso. acoare i preio uico puro. M U 70.000,00 * 60 3 60 3.786,9 3. Ua doa di 36 ai stipua u assicurazioe ista a capitae raddoppiato per i capitae di 60.000,00 co scadeza de capitae a 56 ai. acoare i preio uico puro e caso che i capitae ega corrisposto agi eredi a atto de decesso. M U 60.000,00 * 56 M 36 38.39,40 36
Prei aui Nea aggior parte dei cotratti di assicurazioe è preisto i pagaeto di prei periodici, i geere aui. Per assicuratore i prei aui puri, essedo i oro pagaeto codizioati da esisteza i ita de assicurato, costituiscoo ua redita itaizia aticipata, i geerae teporaea, i cui aore attuariae, per i pricipio di equiaeza fiaziaria, è uguae a preio uico puro. Idicato co P i preio auo costate per h ai si ha a reazioe: da cui è possibie ricaare P U P h a N N Per e assicurazioi di redite iediate o è cocesso i pagaeto de preio auo. Per e assicurazioi di orte ita itera,i preio può essere pagato per tutta a ita de assicurato e i ta caso si para di preio itaizio pari a: P U a N h
sepio. U uoo di 35 ai stipua ua assicurazioe ista sepice per i capitae di 00.000,00 co scadeza a 55 ai, co capitae pagabie agi eredi a atto di orte( per ipotesi i4%). eteriare i preio auo che dorà pagare per tutta a durata. U 00.000,00 ( 0 35 0 Ā 35 ) 00.000,00 55 (M 35 -M 55 ),04 35 ssedo: P U 0 a 35 U N 35 35 N 55 00.000 55 ( M 35 N 35 M N 55 ) (.04) 55 3.384,5