Mtemtic e-lerig - Corso Zero di Mtemtic I Rdicli Prof. Ersmo Modic ersmo@glois.it A.A. 2009/200 I umeri turli 2 Le rdici Abbimo visto che l isieme dei umeri reli è costituito d tutti e soli i umeri che possoo essere rppresetti i form decimle. Si h: R è u umero rziole se l prte decimle è fiit o periodic; R è u umero irrziole se l prte decimle è ifiit e o periodic. 2. Le rdici qudrte Defiizioe 2.. Si dicoo rdici qudrte di u umero rele tutti quei umeri che, elevti l qudrto, do come risultto. Osservzioe 2.. Lo 0 h come uic rdice qudrt se stesso! Perché i umeri reli egtivi o mmettoo lcu rdice qudrt? Il termie rdice qudrt deriv dl ftto che esprime il lto di u qudrto di re.
Ersmo Modic Corso Zero di Mtemtic L rispost ll domd è semplice, bsti pesre l ftto che qulsisi umero rele elevto l qudrto dà come risultto u umero positivo! Notzioe: Il simbolo utilizzto per idicre l rdice qudrt di u umero è s 2, m i reltà esso idic solmete il vlore ssoluto delle rdici qudrte del umero, cioè: { se 0, 2 = = se < 0. Per tle rgioe il simbolo suddetto prede il ome di rdice qudrt ssolut. Bisog quidi stre tteti e ricordre che ell isieme dei umeri reli: ogi umero positivo mmette due rdici qudrte opposte tr loro: ±, lo zero mmette come uic rdice qudrt se stesso, i umeri egtivi o mmettoo lcu rdice qudrt. Dlle precedeti cosiderzioi ppre evidete che di frote ll, si deve vere: 0, perché i umeri reli egtivi o mmettoo rdice qudrt; 0, perché il simbolo rppreset l rdice qudrt ssolut. Qudo ci si trov di frote ll rdice qudrt di u umero rele si possoo verificre i due csi segueti: il umero è u qudrto perfetto e quidi l su rdice qudrt ssolut è u umero itero: d esempio 4 = 2; il umero o è u qudrto perfetto e quidi l su rdice qudrt ssolut è u umero irrziole: d esempio 2 =, 442... Cocludimo questo prgrfo osservdo che, se si cosidero i soli umeri reli o egtivi, l rdice qudrt ssolut o ritmetic è l operzioe ivers dell elevzioe l qudrto: ( ) 2 = 2 Simbolo itrodotto dl mtemtico tedesco Christoph Rudolff (550-545) come bbrevizioe dell prol rdix. 2
Ersmo Modic Corso Zero di Mtemtic 2.2 Le rdici cubiche Defiizioe 2.2. Si dice rdice cubic 3 di u umero rele, quel umero che, elevto l cubo, dà come risultto. Si osserv fcilmete che l rdice cubic di u umero mtiee sempre lo stesso sego del umero i quto sppimo che il cubo di u umero rele coserv sempre lo stesso sego dell bse. Esempio 2.. 3 8 = 2 3 25 = 5 3 0 = 0 Qudo ci si trov di frote ll rdice cubic di u umero rele si possoo verificre i due csi segueti: il umero è u cubo perfetto e quidi l su rdice cubic è u umero itero; il umero o è u cubo perfetto e quidi l su rdice cubic è u umero irrziole. 2.3 Le rdici -me Defiizioe 2.3. Si dicoo rdici -me di u umero rele quei umeri che, elevto d, do come risultto : ( ) = Lvordo co le rdici -me di u umero rele, è ecessrio fr ttezioe ll idice dell rdice che può essere pri o dispri. Si possoo presetre iftti i segueti csi: se l idice è dispri l rdice è defiit per qulsisi vlore di R, ioltre è egtiv se < 0, positiv se > 0 e ull se = 0; se l idice è pri l rdice è defiit solo per i vlori di 0 e si h che 0. v. 3 Il termie rdice cubic deriv dl ftto che 3 v esprime il lto di u cubo di volume 3
Ersmo Modic Corso Zero di Mtemtic Defiizioe 2.4. Sio α R, co α > 0 e N, si chim rdice ritmetic -esim di α e si idic co α l uico umero rele e positivo β tle che β = α. Se α = 0 si poe, di coseguez, β = 0 (ovvero 0 h come uic rdice -esim se stesso). Si ritiee utile ribdire i cocetti precedetemete discussi medite le segueti osservzioi. Osservzioe 2.2.. Se = 2 si prl di rdice qudrt e l scrittur idic tutti quei umeri reli che, elevti l qudrto, do come risultto. Ogi umero positivo mmette due rdici qudrte opposte tr loro: ±, iftti: ( ) ( ) = e (+ ) (+ ) = ; 2. 0 0 = 0 3. 4 o esiste perché o esistoo le rdici -esime di umeri egtivi qudo è pri. 4. 3 8 = 2 perché l rdice cubic di u umero mtiee sempre lo stesso sego del umero, i quto sppimo che il cubo di u umero rele coserv sempre lo stesso sego dell bse, m si può geerlizzre e dire che esistoo le rdici -esime di umeri egtivi qudo è dispri. Osservzioe 2.3. Attezioe! Se si clcol l rdice ritmetic di 2 poiché 2 0 l scrittur h sigificto m o sppimo priori se è positivo o egtivo, quidi è u errore scrivere: È ivece corretto scrivere: 2 = 2 = Se si cosidero i soli umeri reli o egtivi, l rdice qudrt ssolut o ritmetic è l operzioe ivers dell elevzioe l qudrto: 2 = I questo cso o si ricorre l vlore ssoluto perché l scrittur h sigificto se 0 e quidi il qudrto dell rdice ritmetic di u umero positivo è il umero stesso. 4
Ersmo Modic Corso Zero di Mtemtic 2.4 Poteze espoete rziole 2.4. Espoete positivo L obiettivo che ci si poe i questo prgrfo è quello di scrivere l rdice -esim di u umero rele 0 sotto form di potez di, voglimo cioè che si: = x Elevdo mbo i membri dell ugugliz otteimo: ( ) = ( x ) = x Trttdosi di due poteze co bse 0 uguli tr loro, tle ugugliz è res possibile solo dll ugugliz dei due espoeti, cioè deve essere: Possimo quidi scrivere che: = x x = = relzioe vlid che el cso i cui = 0. Cosiderimo u umero itero positivo m e scrivimo: quidi si h che: m = ( m ) = m m = m = ( ) m Esempio 2.2. Clcolre 27 2 3. ( ) 3 2 27 2 3 = 27 = 3 2 = 9 2.4.2 Espoete egtivo Per poter defiire l potez d espoete rziole egtivo è ecessrio imporre l restrizioe 0, iftti: m = m = ( ) m 5
Ersmo Modic Corso Zero di Mtemtic Esempio 2.3. Clcolre 27 2 3. 27 2 3 = ( 3 27 ) 2 = 3 2 = 9 Defiizioe 2.5. Si dice potez espoete rziole di u umero rele positivo l espressioe: m = m = ( ) m co m Q, Z \ {0} Perché bbimo dovuto escludere dll defiizioe il cso < 0? Prtimo dll espressioe: = co N \ {0}. Se è dispri, l potez è sempre defiit per ogi vlore dell bse; se è pri, è defiit solo per 0. Cosiderdo il umero m Z, si h: ) m ( m = ( = ) m Quest ultim ugugliz è fls se < 0! Iftti cosiderimo: ( 2) 6 6 = [( 2) 6 ] 6 = ( 6 2 ) 6, i cui 6 2 o è defiit i R. ( 2) 6 6 = [ ( 2) 6 ] 6 = 64 6. Si ot che i u cso perveimo d u risultto metre ell ltro o. Per estedere l defiizioe l cso di bsi egtive srebbe ecessrio stbilire u ordie di priorità delle operzioi, ovvero u regol di precedez: ) m ( m = ( = ) m m ciò drebbe cotro l proprietà commuttiv del prodotto degli espoeti di u potez di potez. 6
Ersmo Modic Corso Zero di Mtemtic 2.5 Operzioi co le rdici Proprietà ivritiv t mt = m, co t N \ {0} Moltipliczioe di rdici co lo stesso idice b = b Divisioe di rdici co lo stesso idice : b = b Potez di rdici ( ) m = m Rdice di rdice m = m Moltipliczioe di rdici co lo stesso rdicdo m q p = q mq+p Divisioe di rdici co lo stesso rdicdo m : q p = q mq p Riduzioe di rdici llo stesso idice q b = q q q b 2.5. Moltipliczioe e divisioe di rdici co lo stesso rdicdo Per effetture l moltipliczioe o l divisioe tr due rdici veti lo stesso rdicdo bst trsformrle sotto form di poteze co espoete rziole e utilizzre le proprietà delle poteze. Esempio 2.4. Eseguire l moltipliczioe 5 3 4 3. 5 3 4 3 = 3 5 3 4 = 3 5 + 4 = 3 9 20 = 20 3 9 Esempio 2.5. Eseguire l divisioe 5 3 : 4 3. 5 3 : 4 3 = 3 5 : 3 4 = 3 5 4 = 3 20 = 20 3 2.5.2 Riduzioe di più rdicli llo stesso idice Per ridurre due o più rdicli llo stesso idice è ecessrio portrli d u idice comue, detto miimo comue multiplo degli idici, utilizzdo l proprietà ivritiv. Esempio 2.6. Ridurre i rdicli 5 3 e 4 2 llo stesso idice. Il miimo comue idice è 20, quidi si h: 5 ( ) 4 3 = 3 5 = 3 4 20 = 3 20 20 = 3 4 4 ( ) 5 2 = 2 4 = 2 5 20 = 2 20 20 = 2 5 7
Ersmo Modic Corso Zero di Mtemtic 3 I rdicli Defiizioe 3.. Si dice rdicle u espressioe del tipo b, co e b umeri reli, b 0 ed N. Il umero prede il ome di coefficiete del rdicle. Operre co i rdicli è simile l modo di operre co i moomi. Iftti è possibile effetture somme lgebriche soltto se i rdicli ho lo stesso idice e lo stesso rdicdo, metre si possoo sempre effetture moltipliczioi e divisioi dopo verli ridotti llo stesso idice. Si trtt co rdicli ritmetici se l rdice -esim è u rdice ritmetic, ltrimeti si trtterà co rdicli lgebrici. Defiizioe 3.2. Due rdicli si dicoo simili se ho lo stesso idice e lo stesso rdicdo. 3. Operzioi co i rdicli Resto vlide tutte le operzioi electe per le rdici -esime. È possibile effetture somme lgebriche soltto se i rdicli soo simili: 3 2 + 2 3 2 = ( + 2) 3 2 = 3 3 2 Iftti l somm 3 2 + 2 5 2 o si può scrivere come uico rdicle perché l idice è diverso; ivece l somm 3 2 + 2 3 3 o si può scrivere come uico rdicle perché è diverso il rdicdo. Ivece si possoo sempre effetture moltipliczioi e divisioi dopo ver ridotti i rdicli llo stesso idice: 3 3 2 7 5 3 = 3 5 2 5 7 5 3 3 = 2 5 2 5 3 3 = 2 5 864 3 3 2 : 7 5 3 = 3 5 2 5 : 7 5 2 5 3 3 = 2 5 5 32 = 2 33 27 3.2 Portre detro il sego di rdice Per portre detro il sego di rdice bst elevre il coefficiete del rdicle ll idice dell rdice e lo si riscrive sotto il sego di rdice: b = b 8
Ersmo Modic Corso Zero di Mtemtic Esempio 3.. Portre il coefficiete del rdicle 2 3 5 detro il sego di rdice. 2 3 5 = 3 2 3 5 = 3 40 3.3 Portre fuori dl sego di rdice È possibile portre fuori dl sego di rdice quei fttori veti come espoete u umero che si mggiore o ugule ll idice dell rdice. I geerle si prte d: m co m si divide m per e si port fuori il termie elevto l quoziete dell divisioe iter, cioè q, metre rime detro il sego di rdice il termie elevto l resto dell divisioe iter, cioè r. Quidi si h: m = q r co m = q + r Esempio 3.2. Portre fuori dl sego di rdice il mggior umero di fttori ell espressioe 3 5 b 7 cd 3. 3 5 b 7 cd 3 = b 2 d 3 2 bc 3.4 Rziolizzzioe Rziolizzre u frzioe vuol dire trsformrl i u frzioe equivlete vete deomitore u umero che o si u rdicle. I Cso: Rziolizzzioe dell frzioe b Per rziolizzre u tle frzioe bst moltiplicre si umertore che deomitore per b, che prede il ome di fttore rziolizzte: = b = b b b b b II Cso: Rziolizzzioe dell frzioe b m Il fttore rziolizzte di quest frzioe è b m, quidi si h: 9
Ersmo Modic Corso Zero di Mtemtic b m = b m bm b m = b m b = b m b III Cso: Rziolizzzioe dell frzioe b m c I questo csi, utilizzdo il prodotto otevole ( + b) ( b) = 2 b 2, si h: b m c = b m + c = ( b m + c ) ( b m c ) ( b m + = ( b m + c ) c ) b m c ( b m c ) ( b m + c ) ( b m = ( b m c ) c ) b m c IV Cso: Rziolizzzioe dell frzioe 3 b± 3 c Per rziolizzre tle frzioe si utilizz l ugugliz x 3 ± y 3 = (x ± y) (x 2 xy + y 2 ) e si ottiee: 3 b ± 3 c = ( 3 b 2 3 bc + 3 c 2 ) ( 3 b ± 3 c) ( 3 b 2 3 bc + 3 c 2 ) = ( 3 b2 3 bc + 3 c 2 ) ± b 3.5 Rdicli doppi Defiizioe 3.3. Si dice rdicle doppio u espressioe del tipo: ± b Teorem 3.. : Per i rdicli doppi vle l seguete formul di trsformzioe: ± + b = 2 b ± 2 b 2 2 Dimostrzioe. Elevdo l qudrto mbo i membri dell precedete formul si h: ( ± 2 b) = ± b 0
Ersmo Modic Corso Zero di Mtemtic ( + 2 b ± 2 ± ) 2 2 b = + 2 b+ 2 b (+ ±2 2 b) ( 2 b) = 2 2 2 4 2 ( 2 b ) 2 = ± 2 2 + b = ± b Osservzioe 3.. Quest formul trov u utile ppliczioe solo el cso i cui l espressioe 2 b è u qudrto perfetto. Esempio 3.3. Trsformre il rdicle doppio 7 40. Dopo ver osservto che 7 2 40 = 49 40 = 9 = 3 2, utilizzdo le formule di trsformzioe si ottiee: 7 7 + 3 7 3 40 = = 5 2 2 2