I.3. I vettori: qundo i numeri non stno Gli sclri: qundo i numeri stno I vettori: 1 più 1 f d 0 2 Le componenti di un vettore Le operzioni tr vettori ttrverso le componenti Scomposizione di un vettore I vettori e l descrizione del movimento L composizione vettorile delle velocità Esercizi svolti di clcolo vettorile Alger dei vettori lo sclre si ssoci d un numero 3.1 Gli sclri: qundo i numeri stno Trttndo delle grndezze fisiche nell ppendice dedict lle prolemtiche di mtemtic non imo ffrontto un questione che, invece, nei sistemi complessi si pone sempre e che f prte integrnte dell definizione di ogni grndezz fisic, l questione dell somm delle grndezze fisiche. Anche senz ver già svolto un corso di fisic, nessuno si sogneree di ffermre che unendo ½ litro di cqu 30 con ½ litro d cqu 50 si ottiene 1 litro d cqu 80. Sppimo nlogmente che se ci spostimo di 1 km verso nord e poi di 1 km verso est lo spostmento complessivo non è di 2 km verso nord est m inferiore. D ltr prte se lscio trscorrere ½ or di tempo e poi un ltr ½ or il tempo trscorso è di un or. Aimo visto il cso di 3 grndezze fisiche che, qundo vengono sommte fisicmente, producono tre lgere di tipo diverso. Due di esse (l tempertur e il tempo, che pure si sommno con leggi diverse) sono degli sclri. Lo spostmento invece è un vettore. Ci occuperemo in questo cpitolo di dre un significto queste due prole e nlizzeremo inoltre le nostre prime grndezze vettorili: il vettore posizione, il vettore spostmento e il vettore velocità. 3.1.1 COSA SONO GLI SCALARI Un grndezz fisic si dice di tipo sclre se è definit come un quntità che in qulunque sistem di riferimento corrisponde d un en definito numero che dipende dl sistem di unità di misur prescelto. Nello scrivere uno sclre isogn sempre indicre il suo vlore numerico ccompgnto dll unità di misur. Per esempio l = 3.2510 3 m Il vlore numerico, o grndezz, di uno sclre è inversmente proporzionle ll unità di misur inftti se indichimo con X un cert grndezz e- spress in due diverse unità [A] e [A ] vremo: X = [A] = ' [A'] o nche ' = [A'] [A] (I.3.1) 3.1.2 SCALARI ED UNITÀ DI MISURA L'equzione (I.3.1) ci consente di trovre l tecnic generle per pssre d un misur espress in un sistem l corrispondente vlore espresso in un ltro, inftti: ' = [A] [A'] Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 1
Per esempio, spendo che 1km/h / 1m/s = 3.6, potremo scrivere v = 2.59 m/s = 2.593.6 = 9.32 km/h Sono grndezze sclri il tempo, l lunghezz, l're, il volume, l tempertur, l mss, il lvoro e l'energi. L somm e il prodotto di grndezze sclri sono ncor uno sclre e, in generle, ogni operzione lgeric rigurdnte grndezze sclri produce ncor uno sclre. Bisogn infine osservre che qundo un espressione lgeric di grndezze sclri f d rgomento funzioni non lgeriche (trscendenti) llor tle rgomento deve essere un numero puro. Per esempio se l grndezz x è espress in metri [x] = m llor l espressione y = kx h significto solo se [k] = m 1. Anlogmente l'espressione x = A cos t h senso solo se [] = s 1. Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 2
3.2 I vettori: 1 + 1 f d 0 2 A B somm fisic come sovrpposizione il vettore come clsse di equivlenz di segmenti orientti = [AB] direzione e verso 3.2.1 NON CONFONDERE LA SOMMA FISICA CON LA SOMMA MATEMATICA In fisic sommre signific sovrpporre, fr gire insieme, costituire un unico sistem Si deve prendere tto in se ll esperienz dell esistenz di grndezze (misurili) che qundo vengono sovrpposte non producono un effetto risultnte pri ll somm numeric delle misure. All interno di questo gruppo di grndezze ne esiste un grn numero crtterizzto dl ftto di sommrsi con un delle possiili regole con cui si possono sommre i segmenti: quell che consiste nello spostrli senz mutre l loro direzione in modo di metterli uno dopo l ltro. Nell mito del corso, qundo vorremo indicre l somm fisic di due grndezze A e B delle quli non ci è not ncor l modlità con cui tle somm viene eseguit scriveremo genericmente A B 3.2.2 LA DEFINIZIONE DI VETTORE Poiché esistono numerose grndezze che si sovrppongono sempre u- sndo l stess regol di sovrpposizione si definisce un nuovo ente mtemtico ssegnndogli esttmente le proprietà crtteristiche di quell clsse di grndezze. L definizione di vettore si s sull costruzione di un nuov lger divers d quell dei numeri (che viene utilizzt per le grndezze sclri) nell qule vengono definite le operzioni che coinvolgono quest nuov entità. All se di tutto st l definizione di vettore come insieme di tutti i segmenti orientti dotti dell stess lunghezz, direzione e verso. Per quest rgione si dice che i vettori si possono trsportre nello spzio rimnendo prlleli se stessi. Qundo poi si pss dll mtemtic ll fisic si scopre che esistono vettori che si possono trnquillmente spostre (vettori non pplicti) e vettori che invece non si possono trsportre (vettori pplicti). A decidere se un vettore poss o non poss essere trsportto è l'esperienz, come vedremo nel seguito. Dunque un vettore è un grndezz che in ogni sistem di riferimento corrisponde d un clsse di equivlenz di segmenti orientti. Due segmenti orientti si dicono equivlenti se sono dotti dell stess lunghezz, dell stess direzione e dello stesso verso. Ne consegue che i vettori sono crtterizzti d un intensità (dett nche modulo o vlore ssoluto), direzione e verso. Alcune grndezze vettorili presentno nche un rett di ppliczione e/o un punto di ppliczione del proprio estremo. Avere dto un rppresentzione del vettore non è però sufficiente definirlo; fnno prte integrnte dell definizione nche le operzioni tr vettori. In ltri termini sremo utorizzti d ffermre che un cert grndezz fisic definit opertivmente è un vettore se tle grndezz, oltre che essere dott di un direzione verso e intensità, si comport nell sovrpposizione fisic rispettndo le regole di clcolo del clcolo vettorile che ci pprestimo fornire. Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 3
I vettori sono solitmente rppresentti, qundo si scrive mno, ttrverso lettere minuscole con un frecci sopr di esse (,, ). In crtteri stmp si usno invece le lettere minuscole in grssetto (,, ). L intensità o modulo del vettore srà indict, senz uso del grssetto, con. Per rppresentre l clsse di equivlenz dei segmenti equivlenti d AB e che definiscono il vettore scriveremo = [AB]. 3.2.3 LA SOMMA E LA DIFFERENZA VETTORIALE Considerimo due vettori e ed indichimo con AB e BC due segmenti orientti consecutivi che li rppresentno. Si chim vettore somm c e si scrive: c = + (I.3.1) il vettore rppresentto dl segmento orientto AC, cioè il vettore che h come segmento rppresenttivo un vettore che v dll origine del primo ll estremo del secondo dopo che i due segmenti sono stti resi consecutivi (vedi Figur). Ecco spiegt l rgione del titolo del prgrfo. Due vettori di lunghezz unitri producono, qundo hnno l stess direzione e lo stesso verso, un vettore di lunghezz 2 mentre ne producono uno di lunghezz null qundo hnno verso contrrio. Ci sono poi tutte le infinite situzioni intermedie che si verificno qundo le direzioni sono diverse (vedi figur). Si dimostr in mnier molto semplice ttrverso considerzioni di geometri elementre che l somm vettorile così definit gode dell proprietà commuttiv e ssocitiv. L operzione di sottrzione vettorile è definit come operzione invers dell ddizione, pertnto diremo: = c c = + (I.3.2) L operzione in termini di segmenti orientti può essere interprett ncor sull Figur che definisce l somm e d ess si osserv un prim interessnte proprietà di cui godono i vettori: per eseguire l sottrzione c è sufficiente ddizionre c il segmento che rppresent con il verso cmito. 3.2.4 L OPPOSTO DI UN VETTORE A 1 + 1 f d 0 2 second dell direzione degli ddendi sottrzione vettorile è definit come operzione invers dell ddizione: c = + = c B c c l somm vettorile corrisponde mettere i segmenti uno dietro l'ltro (metodo punt cod) C Si chim opposto di un vettore e lo si indic con un vettore che ddizionto l primo produc il vettore di lunghezz null. È evidente, vist l definizione di ddizione ttrverso i segmenti consecutivi che l opposto di un vettore h come segmento rppresenttivo lo stesso segmento m con il verso cmito; si scrive pertnto: = [AB] = [BA] (I.3.3) Se tenimo presente qunto osservto circ il modo di esecuzione dell differenz vettorile come sequenz tr il primo segmento e il secondo con il verso cmito, vremo un regol semplicissim per l esecuzio- Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 4
l differenz può essere clcolt come somm con l'opposto = c = c + ( ) moltipliczione di un vettore per un numero prodotto dei moduli, stess direzione, verso dipendente dl segno ne dell sottrzione: il vettore differenz si ottiene ttrverso l somm con l opposto = c = c + ( ) (I.3.4) 3.2.5 UN PRODOTTO ETEROGENEO: SCALARE PER VETTORE In molte operzioni di fisic cpit di dover eseguire moltipliczioni e divisioni tr un vettore e uno sclre. Ce ne renderemo conto nel momento in cui dovremo definire l velocità e ci troveremo lle prese con un divisione tr un vettore (lo spostmento) e uno sclre (l intervllo di tempo). Pertnto precorrimo i tempi dndo l seguente definizione. Dto il vettore e il numero rele si chim prodotto tr il numero e il vettore un vettore così definito: l direzione è l stess, il verso è lo stesso se > 0 mentre è opposto in cso contrrio, il modulo è pri l prodotto dei moduli, cioè = Ovvimente, il cso dell divisione viene risolto osservndo che dividere per è l stess cos che moltiplicre per il numero 1/. È possiile definire ltri due tipi di prodotto coinvolgenti il vettore noti come prodotto sclre (gli operndi sono 2 vettori e il risultto è uno sclre) e il prodotto vettorile (gli operndi sono 2 vettori e il risultto è un vettore). In chive opertiv se ne trtterà qundo si incontrernno le grndezze fisiche che hnno reso opportuno dre le corrispondenti definizioni mtemtiche mentre ll fine di questo cpitolo si dedic un prgrfo lle definizioni ed lle principli proprietà. Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 5
3.3 Le componenti di un vettore 3.3.1 LA PROIEZIONE DI UN VETTORE SU UNA RETTA ORIENTATA Considerimo un rett orientt e munit di un sistem di unità di misur ed un segmento orientto complnre d ess come in Figur. Le proiezioni del segmento sull rett definiscono un nuovo segmento l cui lunghezz può essere rppresentt d un numero positivo o negtivo second che il segmento proiezione i o no lo stesso verso dell rett. Si = [AB]; indichimo con t l rett orientt e con A e B le proiezioni. Si indic solitmente con t l lunghezz con segno del segmento A B e l si chim componente del vettore lungo l rett orientt t. Si ricordi che t > 0 A B h lo stesso verso di t. 3.3.2 LE COMPONENTI DI UN VETTORE RISPETTO AD UN SISTEMA DI RIFERIMENTO Nello spzio vle un corrispondenz iunivoc tr vettori e terne di numeri reli. Tle corrispondenz si stilisce fcendo osservre che dto un vettore d esso corrispondono univocmente 3 numeri (le misure delle componenti) e vicevers dti 3 numeri d essi si può fr corrispondere univocmente un vettore (st disegnre i tre corrispondenti segmenti lungo gli ssi e poi ttrverso le prllele costruire il vettore). 1 In generle, un vettore può sempre essere proiettto sui 3 ssi di un generico sistem di riferimento come in Figur. A questo scopo st proiettre, per esempio sull sse z e determinre quindi z. Successivmente si proiett il vettore nel pino xy e si riesegue l stess operzione per gli ssi x e y. A l componente lungo un rett orientt è l misur con segno dell proiezione t = A'B' x A' z x 2 x 1 x t z B' B t y le componenti nello spzio un vettore può essere espresso come tern ordint di numeri reli y Le proiezioni del vettore srnno indicte con x, y e z e il suffisso indicherà il nome dell'sse su cui è stt eseguit l proiezione. Si ridisce che il simolo corretto è x e non x come cpit di leggere nelle verifiche di pprendimento di qulche studente prticolrmente disordinto. Se si riflette un ttimo si scoprirà che, oltre che non utilizzt, l scrittur x è poco senst linguisticmente perché dovree esprimere un proprietà dell sse x reltiv l vettore e non del vettore rispetto ll'sse. Se si indicno (x 1, y 1, z 1 ) le coordinte dell'origine del segmento e con (x 2, y 2, z 2 ) quelle dell'estremo si vede fcilmente che: x = x 2 x 1 y = y 2 y 1 z = z 2 z 1 (I.3.5) Per indicre simolicmente il ftto che un vettore h certe componenti scriveremo: = {x, y, z } (I.3.6) 1 L corrispondenz è iunivoc con i vettori e non con i segmenti orientti; inftti 3 numeri definiscono infiniti segmenti tr loro equipollenti che però corrispondono d un unico vettore. Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 6
Nelle ppliczioni che seguirnno, per non ppesntire inutilmente i disegni, ci riferiremo vettori che gicciono in un pino e utilizzeremo pertnto sistemi di riferimento con due soli ssi coordinti. Così fcendo non si h lcun perdit di generlità perché nel pssre dl pino llo spzio st scrivere, invece di 2, le 3 componenti. il modulo o lunghezz del vettore si clcol con il teorem di Pitgor 3.3.3 IL MODULO DI UN VETTORE ESPRESSO ATTRAVERSO LE COM- PONENTI Il modulo di un vettore, o intensità, è uno sclre pri ll lunghezz del segmento rppresenttivo del vettore. Lo si indic con o più semplicemente con. Se si pplic il teorem di Pitgor si ottiene: = x 2 + y 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2 (I.3.7) Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 7
3.4 Le operzioni tr vettori ttrverso le componenti 3.4.1 BASTA LA SOMMA ALGEBRICA DELLE COMPONENTI Poiché le componenti si ottengono proiettndo e poiché l proiezione di un somm di segmenti è pri ll somm lgeric delle proiezioni si ottiene un importntissim proprietà dei vettori: tutte le operzioni su vettori si possono ridurre lle corrispondenti operzioni lgeriche sulle componenti (che sono dei numeri). Si trtt di un risultto importntissimo per l enorme semplificzione nei clcoli che ciò comport. Bst operre con le componenti e ricostruire il vettore finle solo ll fine c = + c x = x + x c y = y + y (I.3.8) c z = z + z Si presti ttenzione l ftto che le somme tr le componenti sono somme lgeriche, possono cioè rigurdre somme di numeri discordi. Dl ftto che le operzioni si possono eseguire sulle componenti imo un ennesim dimostrzione del ftto che l somm vettorile gode dell proprietà commuttiv e ssocitiv. L ddizione ripetut può essere eseguit grficmente ttrverso il metodo poligonle di ddizione dei vettori: per ddizionre due o più vettori, per esempio 1, 2, 3, 4 e 5 st collocre il punto inizile del secondo vettore in corrispondenz di quello finle del primo, e così vi. All fine si costruisce un nuovo vettore che vd dll'inizio del primo ll fine dell'ultimo. Questo ultimo lto del poligono è il vettore risultnte corrispondente ll somm cerct. Così: = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 3.4.2 TRIANGOLI E PARALLELOGRAMMI L somm di due vettori può nche essere ottenut con il metodo del prllelogrmm sto sull costruzione del prllelogrmm definito di due ddendi con l digonle fre d vettore somm. M per sommre più di due vettori risult più prtic l costruzione st sul metodo dell poligonle. Poiché l differenz di due vettori è definit come quel vettore che ddizionto l sottrendo dà il minuendo, cioè come l operzione invers dell ddizione l su costruzione grfic si può ottenere, molto semplicemente, fcendo coincidere i punti inizili del minuendo e del sottrendo. Il vettore c che v dll fine del sottrendo ll fine del minuendo è il vettore differenz richiesto. Per le proiezioni dei vettori: c x = x x c y = y y c z = z z (I.3.9) 3.4.3 NUMERI MOLTIPLICATI PER VETTORI In se l teorem di Tlete i segmenti individuti su due trsversli d un fscio di rette prllele (quelle che servono costruire le proiezioni) c y y y y x c x c x l somm vettorile corrisponde ll somm lgeric delle componenti 2 1 3 5 l somm ripetut si esegue gevolmente e rpidmente con l poligonle 1 2 1 2 1 x 4 2 il prllelogrmm può sostituire il metodo puntcod m conviene solo con 2 vettori il vettore differenz corrisponde l terzo lto del tringolo qundo si disegnno i due vettori con l'origine in comune Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 8
nel prodotto per un numero st moltiplicre le componenti principio di composizione dei movimenti i movimenti nello spzio possono essere studiti come sovrpposizione di tre moti rettilinei lungo gli ssi del sistem di riferimento sono proporzionli; pertnto l relzione che vle sui vettori vle nche sulle componenti e si h che: = x = x y = y z = z (I.3.10) 3.4.4 RITORNIAMO ALLA FISICA Al termine dell definizione delle operzioni tr i vettori osservimo che tli definizioni sono stte dte in mnier di descrivere esttmente il movimento. Si pensi, per esempio ll nozione di spostmento: se vdo d A B e poi d B C, mi sono spostto d A C. L rgione per cui sono stte dte le definizioni in quel modo è però ncor più sottile: grzie l ftto che gli spostmenti si sommno fisicmente con legge vettorile e l ftto che le componenti di un vettore sono le sue proiezioni lungo gli ssi del sistem di riferimento, un generico movimento nello spzio può essere studito come sovrpposizione di tre movimenti rettilinei lungo gli ssi del sistem di riferimento e pertnto le leggi già trovte per il moto rettilineo, come leggi sclri, possono essere uste per studire il movimento in generle. Questo è uno dei grndi risultti ottenuti d Glilei nell mito dello studio del movimento dei proiettili condotto nei Discorsi e dimostrzioni intorno due nuove scienze. Per quest rgione lo studio del moto è inizito d quelli rettilinei: essi non solo sono i più semplici, m sono nche rppresenttivi del cso generle perché il moto curvilineo nello spzio può sempre essere studito come sovrpposizione di opportuni moti rettilinei. Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 9
3.5 Scomposizione di un vettore 3.5.1 PERCHÉ CONVIENE SCOMPORRE I VETTORI Esminndo prolemi sul moto cpit sovente di esminre il moto stesso secondo direzioni prticolri perché lungo tli direzioni l nlisi risult più semplice. L stess cos ccde con le forze per le quli può risultre più fvorevole un riferimento diverso d quello nturle. Per esempio, se un corpo si muove lungo un pino inclinto, invece di rgionre sull orizzontle e l verticle può essere più utile frlo lungo il pino inclinto e lungo l perpendicolre l pino stesso. 3.5.2 COME EFFETTUARE LA SCOMPOSIZIONE Scomporre un vettore in due componenti signific trovre due vettori, e c tli che = + c. Si osservi che, in se l metodo poligonle, i tre vettori formno un tringolo. Così come è stto formulto, senz fissre delle direzioni privilegite, il prolem present infinite soluzioni perché su di un segmento di lunghezz ssegnto si possono costruire infiniti tringoli (gli ltri due cteti del tringolo sono i vettori cercti). Se però si fissno le due direzioni dei vettori componenti il prolem mmette un sol soluzione. Si trccino per l origine e l estremo del vettore ssegnto due linee rette prllele lle direzioni ssegnte. Si consider poi il tringolo così ottenuto e su di esso si costruiscono due vettori: il primo prte dll'origine di e termin nel punto di incontro delle due prllele; il secondo prte d tle punto e termin nell'estremo di. I due vettori trovti hnno le direzioni ssegnte e, inoltre, per costruzione, è = + c. 3.5.3 LA RELAZIONE TRA LE COMPONENTI, IL MODULO E L ANGOLO Fino d or imo imprto determinre le componenti di un vettore per vi grfic eseguendo delle proiezioni su un o più rette. Esiste però un metodo, sto sull utilizzo delle funzioni goniometriche studite nel cpitolo 0, che consente di determinre le componenti qundo sono noti il modulo e l ngolo e vicevers. In effetti, le due componenti di un vettore dto che formi un ngolo con l'sse delle x vlgono rispettivmente: x = cos y = sen (I.3.11) Poiché però l'ngolo considerto può essere indifferentemente compreso tr 0 e 360 e i vri csi corrispondono componenti si positive si negtive le funzioni goniometriche seno, coseno e tngente che vevmo riferito i soli ngoli cuti dei tringoli rettngoli vengono generlizzte utilizzndo le relzioni (I.3.11) per tener conto di questo spetto (vedi figur) e l situzione, nei quttro qudrnti risult l seguente: Qudrnte I II III IV Seno + + Coseno + + 3 y y x determinzione nlitic delle componenti il seno qundo l'ngolo è opposto, il coseno qundo è dicente ll componente c c 3 x < 0 1 d 1 d 2 scomposizione lungo due direzioni si trccino le prllele pssnti per gli e- stremi del vettore y c 2 c 1 un vettore si può scomporre in infiniti modi e ciò determin l possiilità di strtegie diverse di soluzione di uno stesso prolem x y < 0 il segno delle componenti di un vettore è strettmente legto i qudrnti x 2 Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 10
In ltri termini le relzioni (I.3.11) diventno si lo strumento di clcolo delle componenti di un vettore, si l definizione delle funzioni seno e coseno. L'ngolo, visto che i vettori possono trnquillmente essere trslti prllelmente se stessi, può indifferentemente essere considerto l'ngolo formto tr l'sse x e l rett di ppliczione o, nel cso di vettore trslto nell'origine, l'ngolo formto tr l'sse x e il vettore. Per comodità di memorizzzione riportimo sinteticmente le relzioni che legno il vettore lle sue componenti. sin = y cos = x tn = y x = sin cos 3.5.4 ESERCIZI SVOLTI DI CALCOLO VETTORIALE Esercizio: Determinzione del vettore somm = x 2 + y 2 Sono ssegnti i vettori e con le seguenti crtteristiche: = 6.4; = 45 ; = 6.9; = 74. Clcolre il modulo e l'ngolo del vettore c somm (risultti con lmeno 4 cifre decimli) x = cos = 6.4 cos 45 = 4.5255 y = sin = 4.5255 nlogmente x = cos = 6.9 cos 74 = 1.9019 y = sin = 6.6327 c x = x + x = 6.4274 c y = y + y = 2.1072 c = cx 2 + c 2 y = 6.7640 = tn c 1 y c = 18.1518 x Nell determinzione dell'ngolo formto d un vettore isogn tener presente che l mcchin clcoltrice fornisce sempre nell inversione dell tngente un ngolo compreso tr 90 e +90. M un vettore può essere collocto nche nel II e III qudrnte. Per qunto rigurd il vettore d si riportno i segmenti orientti consecutivmente (metodo punt-cod) e si ottiene qunto riportto in lu. Per qunto rigurd il vettore e si utilizz ncor il metodo punt-cod m riportndo i vettori opposti di e c in modo di clcolre l diffe- c d e Pertnto, dopo ver determinto con l clcoltrice isogn, sull se dei singoli segni delle componenti, verificre se l soluzione d prendere non corrispond + 180 che present lo stesso vlore dell tngente m risult rispettoso nche dei singoli segni delle componenti. Trccimento dei vettori corrispondenti d un dt operzione Esercizio:Dti i vettori, e c come in figur rppresentre nel modo più semplice, i vettori: d = + + c e e = c Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 11
renz come somm con l'opposto. Si ottiene così il vettore e riportto in rosso. Determinzione priori delle crtteristiche di un vettore Esercizio: Sono dti i vettori e diversi tr loro con l condizione =. Cos si può dire dei vettori + e (l proprietà rigurd le direzioni reltive)? Qundo ccde che + =? In se ll definizione + e sono le digonli di un prllelogrmm di lti e ; l condizione = implic che il prllelogrmm si un romo e le due digonli sono pertnto perpendicolri. Qundo ccde che + = vuol dire che le digonli sono uguli e il romo diviene un qudrto; ciò si verific se i due vettori sono tr loro perpendicolri Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 12
3.6 I vettori e l descrizione del movimento 3.6.1 LA DESCRIZIONE DEL MOTO A PIÙ DIMENSIONI Nei cpitoli precedenti, dopo ver introdotto lcune considerzioni inizili sul moto trsltorio e su quello rottorio ci simo dedicti llo studio del moto rettilineo. L rgione è stt duplice: il moto rettilineo è più semplice d studire O y r 1 P 1 r r 2 x P 2 il moto curvilineo può essere nlizzto come composizione di moti rettilinei Considerimo or il moto di un punto mterile nel pino (2 ). L posizione del punto nel sistem di riferimento vviene ttrverso un vettore detto vettore posizione che prte dll origine del sistem di riferimento e termin nel punto. I vettori posizione si indicno solitmente con r e, nel cso rppresentto in figur vremo, vettore posizione e vettore spostmento r = OP (I.3.12) Se il punto mterile si spost e pss d P 1 P 2 cmierà nche il vettore posizione. Il vettore che corrisponde ll differenz dei vettori posizione r 1 e r2 corrispondenti gli istnti t1 e t 2 viene chimto vettore spostmento e come tutte le differenze dell fisic srà indicto ttrverso l letter. r = r2 r1 = P1 P 2 (I.3.13) Not Bene: Con l definizione che è stt dt l componente del vettore spostmento corrisponde esttmente llo spostmento del moto rettilineo, così come l componente del vettore posizione corrisponde ll coordint spzile (o posizione) sull rett. Lo spostmento non v confuso con lo spzio percorso lungo l triettori; in effetti gli spostmenti sono dei segmenti mentre gli spzi percorsi lungo l triettori sono, in generle, degli rchi di curv. I due concetti si identificno solo nel cso in cui il moto si rettilineo e vveng nello stesso verso. Accettimo per or, con considerzioni purmente geometriche, il crttere vettorile degli spostmenti, m ricordimo che tle crttere srà pienmente sncito solo dopo ver osservto come si compongono fisicmente gli spostmenti e ver verificto che l sovrpposizione fisic corrisponde d un sovrpposizione vettorile. 3.6.2 IL VETTORE VELOCITÀ MEDIA L definizione del vettore velocità medi procede, per generlizzzione, d quell del vettore spostmento. 2 Come si è già chirito l restrizione l pino non pone prolemi perché si pss d 2 3 dimensioni solo ggiungendo un componente in più i vettori. Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 13
Si chim vettore velocità medi il vettore definito trmite il rpporto tr il vettore spostmento e l intervllo di tempo cui tle vettore si riferisce. Si scrive: < v > = r t = r 2 r1 (I.3.14) t 2 t 1 Come sppimo l divisione del vettore r per lo sclre t determin un nuovo vettore con l stess direzione e verso di r. Di conseguenz l velocità h l stess direzione e verso dello spostmento. Anche per il vettore velocità medi vlgono le osservzioni ftte per il vettore spostmento proposito dei legmi con il moto rettilineo e del crttere vettorile di quest nuov grndezz. O y r vettori spostmento e velocità medi hnno l stess direzione e lo stesso verso x < v > 3.6.3 IL VETTORE VELOCITÀ ISTANTANEA Proseguendo sull strd delle generlizzzioni prleremo di vettore velocità istntne clcolndo l velocità medi reltivmente d intervlli di tempo piccoli picere l punto d poter essere considert istntne. r v = lim t = r (I.3.15) t t 0 Ci si può chiedere l rgione per l qule si si dt un definizione di ntur vettorile dello spostmento e dell velocità. L rgione di quest scelt risiede nel ftto che le grndezze così definite rispettno il principio di sovrpposizione. Ciò signific che qundo si ttu l sovrpposizione fisic di due velocità l velocità risultnte risult essere proprio l somm vettorile. In ltri termini: non si è inventto il clcolo vettorile e poi si sono definite le grndezze fisiche in se d esso. Si è visto invece che un corrett fisic richiedev l'utilizzo di un tle strumento di clcolo e si sono degute d esso le definizioni. Quest questione srà ulteriormente ripres nei prossimi prgrfi. l velocità istntne in senso vettorile è definit con le stesse modlità di quell sclre ed è sempre tngente ll triettori 3.6.4 LA VELOCITÀ ISTANTANEA È DIRETTA COME LA TRAIETTORIA Aimo già osservto che, indipendentemente dll form dell triettori il vettore velocità medi present l direzione ed il verso del vettore spostmento cioè, meno di un fttore di scl, è rppresentto dl segmento di rett secnte costruito lungo due punti dell triettori. Qundo t 0 l direzione dell cord si vvicin quell dell tngente e l limite il vettore spostmento infinitesimo e il vettore velocità i- stntne ssumono l direzione dell rett tngente ll triettori. In conclusione, il vettore velocità istntne di un prticell che si muov lungo un triettori curviline h l direzione dell rett tngente ll triettori stess. Nel cso del moto curvilineo più semplice, quello circolre, poiché l tngente d un circonferenz è sempre perpendicolre l rggio, potremo già concludere che il vettore velocità è sempre perpendicolre l vettore posizione. Si fcci ttenzione non confondere l tngente ll triettori, che ci dà l direzione dell velocità istntne, con l tngente l digrmm orrio che, ttrverso l su inclinzione ci inform del vlore di velocità. Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 14
3.6.5 LE COMPONENTI DEL VETTORE VELOCITÀ Le proiezioni del vettore spostmento sono: r x = x 2 x 1 = x r y = y 2 y 1 = y (I.3.16) r z = z 2 z 1 = z e le corrispondenti proiezioni del vettore velocità istntne sono x v x = lim t = x t t 0 y v y = lim t = y t t 0 (I.3.17) z v z = lim t = z t t 0 Il modulo v del vettore velocità istntne viene chimt rpidità e vle in lingu inglese si usno due prole diverse per indicre l velocità in senso sclre e l velocità in senso vettorile: speed e velocity; d noi si potree prlre di rpidità e velocità v = v 2 x + v 2 y + v 2 z (I.3.18) Mentre in lingu inglese si dispone di due termini distinti per indicre il vettore velocità (velocity) e il modulo dell stess (speed) in itlino si tende d utilizzre il termine velocità in entrmi i sensi. Episodicmente si utilizz il termine rpidità per indicre l speed. Solitmente, dl contesto, si evince se ci si st riferendo l vettore o l suo modulo. Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 15
3.7 L composizione vettorile delle velocità 3.7.1 GLI SPOSTAMENTI SI COMPONGONO VETTORIALMENTE Come imo già ripetutmente sottolineto, dietro l definizione vettorile delle grndezze cinemtiche st un legge fisic: gli spostmenti si compongono con legge vettorile. Ciò vuol dire che se un punto mterile suisce uno spostmento r 1 e, contempornemente, è soggetto nche d un ltro spostmento r 2 lo spostmento risultnte è proprio r 1 + r2. Un situzione del genere si verific, per esempio, qundo si h che fre con due sistemi di riferimento in moto l'uno rispetto d un ltro. In quel cso r 1 può rppresentre lo spostmento di un corpo rispetto d un sistem di riferimento mentre r 2 è lo spostmento del primo sistem di riferimento rispetto d un secondo sistem. Si osserv che, un tle cso lo spostmento del corpo rispetto l secondo sistem è r 1 + r2. 3.7.2 E QUINDI ANCHE LE VELOCITÀ FANNO LA STESSA COSA Le stesse considerzioni si pplicno lle velocità, che sono definite dividendo il vettore spostmento per uno sclre. Poiché nelle ppliczioni prtiche cpit molto spesso di essere ssliti d dui sul segno d utilizzre fornimo or un regol prtic per l scrittur corrett delle relzioni. Tle regol trov un fondmento in un proprietà mtemtic conness l clcolo vettorile e che si trov perfettmente rispecchit nche dlle componenti. In mtemtic ess è not come identità di Chsles. Pres un successione di punti, P 1, P 2,, P n collocti picere nel pino si h sempre: [P 1 P 2 ] + [P 2 P 3 ] + + [P n-1 P n ] = [P 1 P n ] (I.3.19) ed equivlentemente: x 12 + x 23 + + x n-1,n = x 1n (I.3.20) Considerimo due sistemi di riferimento in moto trsltorio tr loro con un velocità reltiv v OO (che rppresent il movimento dell origine O rispetto ll origine O). Supponimo che un punto mterile P si muov nel riferimento O con velocità v. Esso visto d O vrà un velocità v ' divers. Come si scrive il legme tr le due? Poiché: r P = [OP] = [OO ] + [O P] = ro' + r 'P (I.3.21) l relzione si conserv qundo si pss gli spostmenti e si conserv ncor qundo si pss lle velocità producendo: v = voo' + v ' (I.3.22) gli spostmenti si compongono fisicmente con le leggi del clcolo vettorile Michel Chsles 1793 1880: le relzioni del clcolo vettorile possono essere scritte senz isogno di riferirsi d un figur perché operno su grndezze con segno (le componenti) composizione vettorile delle velocità per non sglire usre sempre un doppio indice e usre l identità di Chsles Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 16
L velocità di P rispetto d O è dt dll somm dell velocità di O rispetto d O con l velocità di P rispetto d O. Se ho tre indici qulsisi 1, 2, 3 il legme nell composizione è sempre del tipo: 1 3 = 1 2 + 2 3 (I.3.23) Se un rc si muove con velocità v c rispetto ll corrente e l corrente si muove con velocità v rc rispetto ll riv, l velocità dell rc rispetto ll riv v r è legt lle ltre dll relzione: v r = vrc + vc (I.3.24) 3.7.3 UN ESEMPIO DI COMPOSIZIONE DELLE VELOCITÀ v cu v tc y v cu v tc v tu x Esercizio:Supponimo che un uomo si muov con velocità v cu su un crro ferrovirio e che l direzione dell velocità formi un ngolo con l direzione in cui si muove il crro con velocità v tc rispetto ll terr. Voglimo determinre l velocità vtu con cui l'uomo si muove rispetto terr. In se ll (I.3.24) l relzione tr le velocità dte è: v tu = vtc + vcu L figur riport l composizione vettorile e ci f vedere con chirezz che dovremo determinre il modulo dell velocità v tu e l ngolo che il vettore form con l sse x. Il prolem si risolve determinndo in primo luogo le proiezioni del vettore v cu: v cux = v cu cos v cuy = v cu sin e quindi quelle del vettore v tc v tcx = v tc v tcy = 0 Di conseguenz: v tux = v cux + v tcx = v cu cos + v tc v tuy = v cuy + v tcy = v cu sin Il modulo dell velocità con cui l'uomo si muove rispetto terr vle: v tu = v tux 2 + v tuy 2 = v cu 2 cos 2 + v tc 2 + 2 v tc v cu cos + v cu2 sin 2 = = v cu 2 + v tc 2 + 2 v cu v tc cos e l su direzione è determint d: sin = v tuy v tu = v cu sin v cu 2 + v tc 2 + 2 v cu v tc cos Il prolem che è stto presentto costituisce oltre che un esempio di ppliczione delle relzioni trovte un modello di come si pplichino le relzioni del clcolo vettorile qundo si de procedere d un determinzione nlitic delle grndezze in gioco. Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 17
3.8 Esercizi svolti di clcolo vettorile 3.8.1 SOMMA E DIFFERENZA TRAMITE LE COMPONENTI Esercizio: Dti i vettori {2, 1} e { 1,3} determinre grficmente ed nliticmente il vettore somm s = + e il vettore differenz d = L costruzione è stt eseguit trccindo il vettore prtire dll'origine e quindi riportndo, dopo di esso, il vettore ( ci si spost sinistr di 1 e si sle di 3). Per trccire il vettore d si è usto il ftto che d = = +( ). Si è pertnto ottenuto un vettore di componenti 3 e 4 che è stto disegnto prtire d un origine qulsisi scelt con l'unico criterio di rimnere ll'interno dell grigli già predispost (ricordimo che i vettori sono crtterizzti d direzione, verso e modulo, mentre il punto di ppliczione, in generle, è ritrrio). Per qunto rigurd l determinzione nlitic si h: s x = x + x = 2 1 = 1 s y = y + y = 1 + 3 = 2 s = s 2 x + s 2 y = 1 2 + 2 2 = 5 tn = s y s x = 2 = tn 1 2 63.43 3.8.2 SOMMA E DIFFERENZA TRAMITE MODULO E ANGOLO Esercizio: Dti i vettori e con le seguenti crtteristiche = 3, = 34, = 4, = 265 determinre nliticmente le componenti dei due vettori e quindi clcolre il vettore differenz. Applicndo le equzioni (I.3.11) i vettori dti si h: x = cos = 3cos34 = 2.48 y = sen = 1.68 x = cos = 0.35 y = sen = 3.98 Pertnto, posto d = si h: d x = x x = 2.83 d y = y y = 5.66 3.8.3 STUDIO DI UN MOTO NEL PIANO Esercizio: Un moto è composto dll composizione di due moti che vvengono con le seguenti leggi: x = 12.0 + 3.20 t 7.12 t 2 y = 2.00 4.61 t + 3.12 t 2 Determinre il vettore posizione r i tempi t0 = 0.00 s e t 1 = 2.35 s. Quindi clcolre il vettore spostmento r = r1 r0 y s d x Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 18
Per determinre i due vettori posizione st sostituire i vlori di tempo ssegnti nelle rispettive leggi orrie. Così fcendo si trovno le componenti. Si clcol poi il vettore spostmento ttrverso l differenz delle componenti. x 0 = 12.0 y 0 = 2.00 x 1 = 12.0 + 3.20 2.35 7.12 2.35 2 = 19.8 y 1 = 2.00 4.61 2.35 + 3.12 2.35 2 = 4.40 r x = x 1 x 0 = 31.8 r y = y 1 y 0 = 6.40 A C v v v B l composizione delle velocità C cso con 2 soluzioni A v " C A v '' v v v v ' v v ' B B l soluzione limite v = v sin 3.8.4 STUDIO GENERALE DI UN MOTO COMPOSTO Esercizio: Un person deve pssre d un punto A d un punto B di un fiume l cui velocità rispetto lle rive è v utilizzndo un rc in grdo di sviluppre un velocità mssim rispetto lle cque v. Discutere l relzione tr tle velocità e il tem- po di percorrenz. Si conoscono AC = e BC = (C indic l proiezione di A sull'ltr spond). Osservimo in vi preliminre che dovrà essere, in se ll legge di composizione delle velocità: v = v + v e ciò ci port costruire l figur d cui si osserv che l rc dovrà muoversi in un direzione incognit crtterizzt dll ngolo tle d formre il tringolo in figur. Osservimo ncor che l ngolo è invece completmente determinto dll conoscenz di e e in effetti si h: tn = sin = 2 + 2 Il prolem presentto, dl punto di vist grfico, si prest d un interessnte interpretzione presentt in Figur: se sono fissti il vettore v (cioè l velocità dell corrente) e l direzione del vettore v (cioè l direzione AB) second del ftto che v si mggiore o minore di v l circonferenz di rggio v intersec il segmento AB in uno, due, o nche nessun punto (qundo v è troppo grnde). Se v > v il prolem mmette un sol soluzione con ngolo > 90 Se v sin < v < v il prolem mmette due soluzioni un con ngolo cuto e l ltr con ngolo ottuso. Se v = v sin il prolem mmette l soluzione con il minor vlore di velocità dell rc rispetto ll cqu. Osservimo inoltre che, qundo sono possiili due soluzioni, esse corrispondono due direzioni di puntmento d prte dell rc nel verso dell corrente ed in verso contrrio. Ancor, fronte del ftto che si determinno dei vettori v di differente lunghezz, si hnno, conseguentemente, dei tempi di percorrenz più o Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 19
meno lunghi in mnier proporzionle visto che il percorso AB è sempre lo stesso. Pssimo or d nlizzre nliticmente il prolem. Se indichimo con t il tempo di percorrenz e scomponimo il moto nelle due componenti lungo AC e CB vremo: AC = = v sin t CB = = (v - v cos ) t. (L relzione vle nche per ottuso perché in tl cso cos < 0) D queste due relzioni possimo ricvre sin e cos in funzione di t e, sfruttndo l relzione tr seno e coseno determinre le condizioni cui deve soggicere t perché il prolem mmett soluzione. 1 Dll si h che sin = e dll cos = v t v (v - ) e di qui t poiché sin 2 + cos 2 = 1 (v 2 - v 2)t 2-2 v t + ( 2 + 2 ) = 0 L equzione, essendo di II grdo, mmette soluzioni reli qundo il discriminnte dell equzione è 0. 4 = ( v )2 - ( 2 + 2 )(v 2 - v 2) = ( 2 + 2 ) v 2-2 v 2 0 M ciò equivle richiedere, risolvendo l disequzione, che si: v v 2 + 2 = sin Si trtt dell stess condizione già ritrovt per vi grfic. Quest condizione è sicurmente verifict qundo l velocità dell rc rispetto ll'cqu è mggiore dell velocità dell corrente (come vviene di solito) perché in tl cso il rpporto è mggiore di 1. In questo cso si hnno le due soluzioni: v 4 t = (v 2 - v 2) Poiché il denomintore dell è qusi sempre negtivo si h, normlmente un sol soluzione ccettile crtterizzt d un t > 0 e precismente t = 4 - v (v 2 - v 2) Se però il denomintore è positivo può ccdere che si trovino due soluzioni, entrme ccettili, come nel seguente esempio numerico: Si AC = 1 km, CB = 3 km, v = 2 km/h e v = 1 km/h. Sostituendo 2 nell si ottiene: 7 2 t 2-12 t + 10 = 0 t = 10 7 h 2 h Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 20
3.9 Alger dei vettori x i l rppresentzione degli ssi trmite versori i = {1,0,0} j = {0,1,0} k = {0,0,1} z k j y 3.9.1 I VERSORI Qundo si utilizzno i vettori è comodo introdurre tre prticolri vettori (detti versori) crtterizzti dll proprietà di rppresentre i 3 ssi crtesini trmite dei vettori unitri (di modulo 1) e con l direzione e il verso dei rispettivi ssi. I tre versori sono indicti rispettivmente con i, j, k e hnno come componenti: i = {1,0,0} j = {0,1,0} k = {0,0,1} (I.3.25) Se si utilizzno i versori un qulunque vettore ={ x, y, z}può sempre essere scritto come somm di tre vettori diretti come i versori e proporzionli lle componenti nell form: = x i + y j + z k (I.3.26) Quest modlità di rppresentzione è prticolrmente utile nel clcolo (come vedremo nei prossimi prgrfi) perché consente di trdurre tutte le proprietà del clcolo in proprietà delle componenti del vettore. Nel seguito ci riferiremo prevlentemente l cso di vettori nel pino e quindi restringeremo, se possiile, le considerzioni l solo pino xy. 3.9.2 LA DEFINIZIONE DI PRODOTTO SCALARE Dti due vettori, e indicto con l ngolo formto tr essi si chim prodotto sclre (dot product 3 ) il numero c così definito: prodotto sclre vlut trmite il prodotto l composizione tr un vettore e l proiezione dell ltro c = = cos (I.3.27) Poiché moltiplicre per il coseno equivle trovre l componente di un vettore lungo l rett rispetto cui viene misurto l ngolo potremo nche scrivere che: c = = = (I.3.28) Il prodotto sclre, in fisic, f d se ll definizione del Lvoro che, su volt st ll se dell definizione di energi e dunque h un importnz notevole. 3.9.3 LE PROPRIETÀ DEL PRODOTTO SCALARE o proprietà commuttiv = in effetti scmindo i due vettori si pss dll ngolo ll ngolo che h lo stesso coseno o ortogonlità = 0 = 90 o prllelismo = 3 I due prodotti del clcolo vettorile sono detti dot product e cross product di simoli e usti per rppresentrli. Per un trdizione consolidt e che cre confusione nell trdizione ccdemic itlin (e solo in quell) si usno i simoli e. In questo testo ci tterremo sempre ll convenzione internzionle. Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 21
o prodotto per se stesso = 2 o segno 0 [-90,90 ] 0 [90,270 ] o moltipliczione per uno sclre k ssocitiv k( ) = (k ) = (k ) o versori i j = 0 i i = j j = 1 (I.3.29) o distriutiv c ( + ) = ( c ) + ( c ) (I.3.30) L dimostrzione di quest proprietà si s sull (I.3.26) e sul ftto che nell somm vettorile si sommno lgericmente le componenti e l lscimo e per esercizio l lettore che utilizzerà l immgine qui lto. o prodotto sclre trmite le componenti c s c c = x x + y y (I.3.31) st osservre che, indicti con e gli ngoli formti di due vettori con l sse x, l ngolo tr essi è prodotto sclre trmite le componenti = x x + y y + + z z = cos ( ) = (cos cos + sin sin ) = x x + y y L dimostrzione si può svolgere elegntemente nche sfruttndo le proprietà dei versori e ciò equivle dimostrre indirettmente nche l formul del coseno dell differenz (lscimo l dimostrzione come esercizio). Si osservi che l proprietà ppen dimostrt (e che vle nche qundo si oper 3 dimensioni) permette di determinre l ngolo tr due vettori qundo sono note le componenti e questo, in prticolre 3 dimensioni, risult un metodo rpido ed elegnte per determinre gli ngoli. x 3.9.4 LA DEFINIZIONE DI PRODOTTO VETTORIALE Il prodotto vettorile h un definizione piuttosto inconsuet e che deriv dll esistenz in fisic di prticolri leggi che, scritte trmite il prodotto vettorile, risultno espresse in mnier comptt ed elegnte. Le grndezze fisiche coinvolte nel prodotto vettorile sono il momento delle forze, il momento ngolre e l forz mgnetic. Ciò che crtterizz tutte queste grndezze è di essere ortogonli due ltri vettori e di vere un intensità che dipende di moduli dei due vettori e dl seno dell ngolo compreso (cioè dll componente di uno di essi in direzione ortogonle ll ltro). L definizione di prodotto vettorile è l seguente: = c è l pino c c = sin (I.3.32) verso di c vite che vnz d verso Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 22
Di solito ci si confonde nell determinzione del verso. Si teng presente, in proposito che un regol nlog è quell fornit dlle dit dell mno sinistr che fnno d modello d un tern crtesin ntiorri: medio (sse x) indice (sse y) c pollice (sse z) N.B. L ngolo tr e rispetto cui effetture l rotzione ntiorri è sempre quello convesso (compreso tr 0 e ) ed è questo che consente di definire in mnier univoc il verso di c. Il modulo del prodotto vettorile rppresent sempre l re del prllelogrmmo di lti e ; pertnto esso è nullo qundo e sono prlleli ed è mssimo qundo e sono. 3.9.5 LE PROPRIETÀ DEL PRODOTTO VETTORIALE Il prodotto vettorile present le seguenti proprietà: o nticommuttiv = (I.3.33) deriv dl ftto che scmindo i vettori si pss dll ngolo ll ngolo e pertnto il prodotto vettorile cmi verso o ssocitiv con gli sclri m( ) = (m ) (I.3.34) pplicre l definizione e distinguere m > 0 e m <0. o distriutiv ( + ) c = ( c ) + ( c ) (I.3.35) dimostrzione lung e noios; d quest proprietà e dll precedente si deduce che si possono sviluppre i clcoli lgerici con le tecniche del clcolo vettorile (tenendo presente però l nticommuttività) o versori i j = 1 i i = 0 dll definizione o rppresentzione medinte i versori = i j k x y z (I.3.36) x y z quest proprietà si dimostr trmite le proprietà formli del prodotto vettore dopo ver rppresentto i due operndi trmite i versori e le rispettive componenti. Si ricord che il determinnte del III ordine rppresentto signific = i (y z z y ) + j (z x x z ) + k ( x y y x ) (I.3.37) o il prodotto misto x y z ( c ) = x y z c (I.3.38) x c y c z st tener conto dell proprietà del prodotto sclre come somm dei prodotti delle componenti. Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 23
Il prodotto misto come si vede nell figur qui lto si prest d un interessnte interpretzione: poiché il modulo del prodotto vettore è l re del prllelogrmm e l quntità c cos che compre nel prodotto sclre è l ltezz del prllelepipedo formto di tre vettori il prodotto misto rppresent sempre il volume del prllelepipedo. Ne consegue che qundo il prodotto misto si nnull (volume nullo) i 3 vettori gicciono in uno stesso pino e quest rppresent un comod condizione sufficiente per verificre l complnrietà di 3 vettori qulsisi. c cos c Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 24
3.10 Indice nlitico ddizione: metodo poligonle - 8 componente del vettore: lungo un rett - 6 componenti: di un vettore - 6 componenti di un vettore: funzioni goniometriche - 11 composizione degli indici nei moti composti - 17 determinnte del III ordine: prodotto vettorile - 23 determinre l ngolo tr due vettori: trmite il prodotto sclre - 22 Esercizio: clcolo vettorile medinte le componenti - 18; clcolo vettorile trmite modulo e ngolo - 18; composizione delle velocità - 17; composizione di moti rettilinei nel pino - 18; determinzione del vettore somm - 11; proprietà di vettori prticolri - 12; studio generle di un moto composto - 19; trccimento di vettori risultto di operzioni - 11 generico movimento nello spzio: sovrpposizione di tre moti rettilinei - 9 identità di Chsles: notzioni sull composizione di spostmenti e velocità - 16 modulo: ttrverso le componenti - 7 modulo del prodotto vettorile: re di un prllelogrmmo - 23 principio di sovrpposizione: vettore velocità e spostmento - 14 prodotto misto: medinte determinnte; interpretzione come volume - 23 prodotto sclre: definizione e principli proprietà - 21; trmite le componenti - 22 prodotto tr il numero e il vettore - 5 prodotto vettorile: definizione - 22; legme con leggi fisiche - 22; proprietà - 23 rpidità: speed e velocity - 15 sclre: definizione - 1; unità di misur - 1 sclri: funzioni non lgeriche - 2 sclri e vettori: generlità - 1 somm e differenz: digonli di un pllelogrmm - 8 somm fisic: simolo - 3 somm vettorile: commuttiv e ssocitiv - 4 sommre: significto; sovrpposizione - 3 sottrzione vettorile: operzione invers dell ddizione - 4 spostmento: spzio percorso, differenze - 13 tngente: rischi di confusione - 14 versori: definizione - 21 vettore: clsse di equivlenz - 3; scomposizione - 10 vettore differenz: somm con l'opposto - 5 vettore opposto: simolo e proprietà - 4 vettore posizione: definizione - 13 vettore somm: definizione - 4 Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 25
vettore spostmento: definizione; differenz dei vettori posizione - 13 vettore velocità istntne: definizione - 14; diretto come l tngente ll triettori - 14 vettore velocità medi: definizione - 13 vettori: operzioni trmite le componenti - 8; rppresentzione; direzione, verso, modulo - 4 Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 26
grndezze sclri: invrinz, numero e unità di misur grndezze vettorili: riferimento, somm di tipo nuovo prodotto sclre prodotto vettore c = + c = vettore: clsse di segmenti orientti c x = x + x x = vettore: tern di numeri reli scomposizione di un vettore Vettori e descrizione del moto posizione r spostmento r velocità v composizione velocità r v x = x x = x v 13 = v 12 + v 23 t Prim prte: Il moto e le forze - Cp 3 - I vettori: qundo i numeri non stno pg. 27