Indice III Indice Unità 1 Perceione e comunicione visiv, 2 1.1 L soggettività dell perceione visiv, 4 1.2 Le leggi dell perceione, 6 1.3 Le illusioni ottiche, 8 1.4 L struttur dell form, 10 1.5 Forme struttur simmetric, 12 1.6 Forme derivnti d strutture modulri, 14 1.6.1 Strutture modulri pine, 14-1.6.2 Strutture modulri tridimensionli, 15 1.7 Forme derivnti d un legge di crescit, 16 1.8 L comunicione visiv, 17 1.9 Gli elementi bse dell comunicione visiv, 18 Esercii di comprensione,20 Unità 2 Introduione ll rppresentione grfic, 22 2.1 L crt, 24 2.2 Mine, mtite, penne, 25 2.3 Strumenti per cncellre, per trccire ngoli e linee rette, 27 2.4 Trccimenti di linee prllele e perpendicolri, 28 2.5 Altri strumenti per il disegno, 29 2.6 Trccimenti, 31 2.7 Scritte, 32 2.8 L squdrtur del foglio d disegno, 33 Esercii di comprensione,34 Unità 3 Costruioni geometriche, 38 3.1 Le origini dell geometri, 40 3.2 Definiioni e simbologi dell geometri pin, 42 3.2.1 Punto e linee, 42-3.2.2 Pini, 43-3.2.3 Angoli, 44-3.2.4 Poligoni, 45-3.2.5 Tringoli e qudrngoli, 46-3.2.6 Circonferene, 47 3.3 Costruioni geometriche, 48 3.3.1 Perpendicolri, 48-3.3.2 Prllele, 50-3.3.3 Angoli e bisettrici, 51-3.3.4 Tringoli, 52-3.3.5 Qudrilteri, 53-3.3.6 Poligoni regolri dto il lto, 55-3.3.7 Suddivisione dell circonferen, 57-3.3.8 Tngenti, 58-3.3.9 Rccordi, 60-3.3.10 Curve policentriche chiuse: ovli, 62-3.3.11 Curve policentriche chiuse: ovoli, 63-3.3.12 Curve policentriche perte: spirli, 64-3.3.13 Curve per punti: coniche, 66-3.3.14 Ellissi, 67-3.3.15 Prbole, 68-3.3.16 Iperboli, 70-3.3.17 Curve cicliche, 71 Esercii di comprensione, sviluppo e recupero,73 Unità 4 Proieioni ortogonli, 96 4.1 Le proieioni ortogonli: tecniche di rppresentione, 98 4.1.1 Introduione ll geometri descrittiv, 98-4.1.2 Monge e l doppi proieione ortogonle, 100-4.1.3 Principi generli delle proieioni ortogonli, 102-4.1.4 Le proieioni ortogonli di un oggetto, 104-4.1.5 L rppresentione dell oggetto, 106-4.1.6 L rppresentione dell oggetto dello spio, 107-4.1.7 Convenioni per l rppresentione grfic delle proieioni ortogonli, 108 4.2 Proieioni ortogonli di punti, rette, pini, 110 4.2.1 Proieioni ortogonli di punti e rette, 110-4.2.2 Proieioni ortogonli di segmenti, 112-4.2.3 Proieioni ortogonli di pini, 114-4.2.4 Condiioni di pprtenen, di prllelismo, di perpendicolrità, 116-4.2.5 Uso dei pini usiliri e loro ribltmento, 118-4.2.6 Ribltmento di un segmento inclinto rispetto due pini di proieione, 119-4.2.7 Esempi di ribltmento di pini proiettnti, 120 Esercii di comprensione, sviluppo e recupero, 121 4.3 Proieioni di figure geometriche pine, 126 4.3.1 Figure geometriche pine, 126-4.3.2 Figure geometriche su pini inclinti, 128-4.3.3 Figure geometriche comunque inclinte su pini inclinti, 130 Esercii di comprensione, sviluppo e recupero, 132 4.4 I solidi geometrici, 139 4.4.1 Poliedri regolri, 139-4.4.2 Poliedri semiregolri epoliedriprticolri,140-4.4.3-solididirotione, 141 4.5 Proieioni di solidi geometrici, 142 4.5.1 Proieioni ortogonli di solidi, 142-4.5.2 Proieioni ortogonli di solidi inclinti, 144-4.5.3 Proieioni ortogonli di gruppi di solidi o di solidi complessi, 149-4.5.4 Esempi di proieioni di gruppi di solidi, 150 Esercii di comprensione, sviluppo e recupero, 154
IV Indice Unità 5 L seione,170 Unità 8 Proieioni ssonometriche, 230 5.1 Come si rppresent l seione nel disegno geometrico, 172 5.2 L ver form dell seione, 174 5.2.1Comesiindividulverformdellseione, 174-5.2.2 Prismi e pirmidi, 176-5.2.3 Cilindri e sfere, 178 5.3 Seioni coniche, 180 5.4 Esempi di seioni coniche, 182 5.5 L rppresentione in proieioni ortogonli di solidi non geometrici, 184 Esercii di comprensione, sviluppo e recupero, 186 Unità 6 Interseione e compenetrione di solidi, 194 6.1 Interseioni e compenetrioni tr superfici pine di solidi, 196 6.2 Interseioni e compenetrioni tr superfici pine e curve di solidi, 198 6.3 Interseioni e compenetrioni tr superfici curve di solidi, 200 Esercii di comprensione, sviluppo e recupero, 203 8.1 L rppresentione ssonometric, 232 8.2 I vri tipi di ssonometrie, 233 8.3 Le ssonometrie ortogonli, 234 8.4 Le ssonometrie oblique, 235 8.5 Trccimenti, 236 8.6 Assonometri ortogonle, 237 8.6.1 Assonometri ortogonle isometric, 237-8.6.2 Assonometri ortogonle dimetric, 238-8.6.3 Trccimento di circonferene nell ssonometri ortogonle, 239 8.7 Assonometri cvlier, 241 8.7.1. Trccimento, 241-8.7.2 Trccimento di circonferene, poligoni e solidi, 242 8.8 Assonometri plnometric, 243 8.9 Assonometri plnometric ribsst, 245 8.10 Assonometrie confronto, 246 8.11 Confronto tr i vri metodi di trccimento delle circonferene, 248 8.12 Viste dll lto e dl bsso, 249 8.13 Esempio di trccimento, 250 8.14 Reticoli ssonometrici, 251 8.15 Applicioni prticolri dell ssonometri, 252 8.15.1 Lo spccto ssonometrico, 252-8.15.2 L ssonometri trsprente, 253-8.15.3 L esploso ssonometrico, 254-8.15.4 Uso descrittivo dell ssonometri, 255 Esercii di comprensione, sviluppo e recupero,256 Unità 9 L prospettiv, 266 Unità 7 Sviluppo di solidi, 208 7.1 Lo sviluppo dei solidi h origini lontne, 210 7.2 Sviluppo dei principli solidi geometrici, 211 7.2.1 Poliedri, 211-7.2.2 Coni, cilindri e sfere, 213 7.3 Sviluppo dell elic cilindric, 215 7.4 Sviluppo di solidi seionti, 216 7.5 Sviluppo di interseioni e compenetrioni, 218 7.5.1 Compenetrione di prismi, 218-7.5.2 Compenetrione tr un cono e un prism, 220-7.5.3 Compenetrione di due cilindri, 222 Esercii di comprensione, sviluppo e recupero, 224 9.1 Introduione ll prospettiv, 268 9.1.1 Cenni storici, 268-9.1.2 Elementi bse dell prospettiv, 271-9.1.3 Tipi di rppresentioni prospettiche, 272-9.1.4 Cmpo visivo e punto di vist, 274 9.2 L prospettiv centrle, 276 9.2.1 L rppresentione grfic dell prospettiv centrle, 276-9.2.2 Prospettiv centrle di solidi, 279-9.2.3 Il prllelepipedo contenente l oggetto, 280-9.2.4 L pint usiliri, 281 9.3 L prospettiv ccidentle, 282 9.3.1 L rppresentione grfic dell prospettiv ccidentle, 282-9.3.2 Metodi dell prospettiv ccidentle, 283-9.3.3 Solidi in prospettiv ccidentle, 285 9.4 Reticoli prospettici, 286 Esercii di comprensione, sviluppo e recupero,287 Glossrio,294-Indice nlitico,296
test prospetto frontle. Come è ftto questo libro percorso L rppresentione dell seione nel disegno geometrico L definiione dell ver form dell seione prerequisiti Buon conoscen delle proieioni ortogonli, in prticolre delle tecniche di ribltmento dei pini obiettivi Comprendere i procedimenti che consentono di ottenere l ver form dell seione Le nimioni sono indicte vicino l titolo dell costruione reltiv e si possono trovre on line sul sito dell Cs Editrice www.seieditrice.com. 5 Qundo i bmbini rompono un giocttolo per vedere come è ftto dentro pplicno, in modo inconscio, il concetto di seione. L pplicione rionle di questo concetto consente di vedere l rppresentione dell interno di un oggetto sen necessrimente spccrlo o tglirlo relmente. È un po come eseguire un rdiogrfi, dove l pprecchitur è costituit dlle tecniche di rppresentione grfic. Tli tecniche permettono di definire l ver form dell seione di un oggetto, con le sue effettive dimensioni, ogni qul volt l seione non è contenut in un pino prllelo i pini coordinti, medinte il ribltmento del pino seiontore. Un second importnte opportunità dell seione consiste nell possibilità di descrivere nel dettglio le forme, le dimensioni, i mterili esistenti ll interno dell oggetto in corrisponden del pino seiontore, in questo cso si utilino specifiche procedure di disegno tecnico, come vedremo nelle unità d esso dedicte. L seione Le pgine di iniio Unità, oltre indicre il percorso, iprerequisiti e gli obiettivi, iutno, con il mterile illustrtivo, comprendere meglio l utilio nell reltà dei contenuti teorici proposti. Nei disegni viene utilito il colore per meglio comprendere gli elementi dell costruione. 154 unità 4 Proieioni ortogonli di solidi Diviso il foglio d disegno secondo le medine, trcci in ogni riqudro, rddoppindo le misure, le proieioni ortogonli dei solidi semplici qui proposte, completndole con l proieione mncnte su uno dei tre pini di proieione. 1 COMPRENSIONE SVILUPPO RECUPERO Gli Esercii sono strutturti in tre livelli: Esercii di comprensione, Esercii di sviluppo, Esercii di recupero. 2 3 4 168 unità 4 5 158 unità 4 SVILUPPO COMPRENSIONE SVILUPPO RECUPERO Disegn le proieioni ortogonli dei solidi qui proposti, ricvndo le dimensioni direttmente di disegni tridimensionli. Lefrecce indicno l vist del prospetto frontle. 23 26 Proieioni ortogonli di solidi Complet leproieioni ortogonli dei solidi semplici qui proposte rddoppindo le misure. 1 2 3 COMPRENSIONE SVILUPPO RECUPERO RECUPERO 4 5 6 schede 6 7 8 esercii test online 24 27 Disegn le proieioni ortogonli dei solidi qui proposti, rddoppindo le dimensioni che ricvi direttmente di disegni tridimensionli. Lefrecce indicno l vist del 7 8 L presen dei loghi Schede e Test online indic che per quell rgomento sono presenti ltri esercii sul fscicolo delle Schede oppure on line. online esercii schede 25 28 esercii 9 10 11
percorso Principi generli delle proieioni ortogonli Proieioni ortogonli di punti, rette, segmenti, pini Proieioni ortogonli di figure geometriche pine Proieioni ortogonli di solidi geometrici prerequisiti Sper utilire correttmente gli strumenti per il disegno geometrico Sper eseguire correttmente le costruioni geometriche delle principli figure pine obiettivi Sper rppresentre in proieioni ortogonli solidi geometrici e oggetti comunque disposti nello spio A prte il nome un po difficile, le proieioni ortogonli sono uno strumento di lvoro sempre più indispensbile in un mondo che progett e reli continumente di tutto. È l tecnic di rppresentione più ust, secondo precise regole, in tutto il mondo industrilito per esprimere l form, le dimensioni reli e nche, ttrverso l uso dell seione, il contenuto interno di qulsisi oggetto di produione industrile o edilii. Affronteremo nel testo ltre forme di rppresentione, come le ssonometrie e l prospettiv, m nessun è in grdo di descrivere nel dettglio come è ftto un oggetto nelle sue diverse fcce e nelle sue dimensioni effettive. Su questo rgomento chi vuole intrprendere un percorso tecnico gioc il suo successo scolstico e professionle. Per permettere un migliore e grdule pprendimento dell unità, vengono spiegte iniilmente le proieioni ortogonli di punti, rette e pini, per pssre successivmente d rgomenti più complessi quli le proieioni ortogonli di figure geometriche pine e infine di figure geometriche solide.
4 Proieioni ortogonli
98 unità 4 4.1 Le proieioni ortogonli: tecniche di rppresentione 4.1.1 Introduione ll geometri descrittiv Come è già stto detto in preceden, l geometri descrittiv ffront e risolve il problem di crere, con metodi grfici, un effettiv corrisponden tr l form rele di un oggetto e l su rppresentione su di un pino (il foglio d disegno) e vicevers. Il suo sviluppo è legto l contributo di tre mtemtici frncesi: René Descrtes (1596-1650) filosofo e mtemtico più conosciuto con il nome di Crtesio, Girrd Désrgues (1593-1661) rchitetto e mtemtico, fondtore dell geometri proiettiv, e Gsprd Monge (1746-1818), uno dei promotori dell Ecole Polthecnique, che, in un suo trttto del 1798, usò per l prim volt l espressione geometri descrittiv. I metodi dell geometri descrittiv L geometri descrittiv rppresent gli oggetti medinte sistemi di proieione (il termine proieione deriv dl ltino proiecere che signific gettre vnti nello spio ) e di seione (il termine seione deriv dl ltino sectio che signific tglio ). In prtic ess si bs sul principio di immginre di vedere l oggetto d un punto, detto punto di proieione (o punto di vist) mndndo (o proiettndo) d quel punto un fscio di rggi (o rette proiettnti)tngentillformdell oggettoconsiderto e di intersecrli con un pino (o qudro), in modo d ottenere su questo l immgine proiettt (proieione)dell oggetto. 1 Proieioni prllele Proieioni ortogonli Proieioni ssonometriche Teori delle ombre Sorgente luminos ll infinito Assonometri ortogonle Assonometri obliqu
Proieioni ortogonli 99 2 Proieioni centrli Prospettiv Teori delle ombre Sorgente luminos puntiforme 3 L fotogrfi in lto ci tre in ingnno perché le due ste di legno sembrno incontrrsiin un punto, mentre in reltà questo non vviene: le ste sono collocte in pini diversi.l geometri descrittiv ci iut definire l posiione delle entità geometriche nello spio. Sistemi di rppresentione I sistemi di rppresentione si differenino in bse ll posiione del punto di proieione rispetto l qudro in due gruppi: ) Proieioni prllele [figur1]: il punto di proieione, ossi l sorgente dei rggi proiettnti, è immginto un distn infinit rispetto l qudro; in queste condiioni i rggi risultno fr loro prlleli. È questo il cso del metodo delle proieioni ortogonli,delmetodo delle proieioni ssonometriche e dell teori delle ombre con sorgente luminos ll infinito. b) Proieioni centrli [figur 2]: il punto di proieione è posto un distn finit dl qudro e i rggi proiettnti formno un fscio divergente con origine nel punto di proieione. È questo il cso del metodo dell prospettiv e dell teori delle ombre con sorgente luminos puntiforme distn finit. L teori delle ombre, utilit nelle rppresentioni del disegno e del disegno rchitettonico per ggiungere un componente relistic ll definiione dei volumi, non trov pplicioni nel cmpo del disegno tecnico, in qunto non fornisce informioni specifiche legte lle forme e lle dimensioni, pertnto non viene trttt in questo corso. Ortogonle Dl ltino orthogonus = ngolo retto. Assonometri Deriv dl greco e signific misur sugli ssi. Prospettiv Dl ltino perspicere = vedere chirmente o prospicere = gurdre vnti.
100 unità 4 4.1 Le proieioni ortogonli: tecniche di rppresentione 4.1.2 Monge e l doppi proieione ortogonle 2 1 I rggi proiettnti, incontrndo i verticidell figur,proiettno l su form in dimensionireli se l figur è perpendicolre ll direione dei rggi, in dimensioni scorcite se l figur è inclint. 3 Nell second metà del Settecento Gsprd Monge giunse ll formulione delle leggi dell geometri descrittiv e in prticolre del metodo delle proieioni ortogonli, che consentiv l rppresentione complet su un pino di un oggetto tridimensionle e il problem inverso, ossi l ricostruione delle crtteristiche di un oggetto prtire dll su rppresentione. Le sue teorie furono coperte subito d segreto militre, m in seguito, prtire dl 1794, qundo gli fu consentit l divulgione, le sue teorie ebbero un grnde diffusione: er nt l scien degli rtisti e degli rtigini ; in ltre prole er stto messo punto un linguggio di comunicione tecnic comprensibile d coloro che dovevno eseguire un oper progettt e visulit secondo tle linguggio. Ecco il procedimento illustrto d Monge e denominto metodo dell doppi proieione ortogonle: l oggetto è proiettto ortogonlmente su due pini fr loro perpendicolri detti primo pino di proieione (corrispondente un pino verticle) e secondo pino di proieione (corrispondente un pino oriontle). Questi pini si intersecno secondo un line chimt d Monge bse d élévtion e che noi chimimo line di terr [figur 2]. A conclusione del procedimento, uno dei due pini viene ruotto intorno ll line di terr fino frlo coincidere con il pino oriontle: l rppresentione finle dell oggetto vviene così su un solo pino [figure 3e4]. Pint, prospetto frontle, prospetto lterle Le proieioni ortogonli di un oggetto forniscono disegni privi di ogni connotione di rilievo o di profondità: questo spetto è un delle crtteristiche del metodo. Ogni fcci dell oggetto è rppresentt in vist frontle e non present quindi deformioni di misure o di ngoli. Il sistem consente inftti l rppresentione di un oggetto visto di fronte (prospetto frontle), dll lto (pint), di finco (prospetto lterle), per cui è fcile nche l definiione delle sue dimensioni. Inoltre è possibile ricorrere tnte viste frontli qunte sono le fcce del solido. A questi vntggi si oppone un cert difficoltà iniile, per le persone poco esperte, di cogliere, ttrverso le proieioni ortogonli, l form complessiv dell oggetto.
Proieioni ortogonli 101 5 4 6 L conformione dell oggetto è invece immeditmente evidenit dlle rppresentioni del medesimo in ssonometri [figur5]o in prospettiv [figur6], che però non consentono, d sole, di vlutre correttmente le dimensioni delle vrie fcce. Nelle rppresentioni tecniche di un peo meccnico si utili il sistem delle proieioni ortogonli integrto, se necessrio, d viste in ssonometri [figur 7]. Nelle rppresentioni di un oggetto d uso o di un edificio, ll rppresentione in proieioni ortogonli, si ffincno viste si ssonometriche si prospettiche. Comincimo con l ffrontre in questo cpitolo l rppresentione di un oggetto medinte le proieioni ortogonli. 7 L rppresentione dell oggetto in proieioni ortogonli non è di immedit comprensione, mentre l vist ssonometric (in bsso destr)ci permette di cogliere immeditmente l formdell oggetto.
102 unità 4 4.1 Le proieioni ortogonli: tecniche di rppresentione 4.1.3 Principi generli delle proieioni ortogonli 1 2 3 Un oggetto è definito d lmeno due proieioni ortogonli. Che cos si intende per proieione ortogonle Sino dti un pino verticle e un punto P collocto nello spio dvnti l pino. Se dl punto P si conduce un rett ortogonle 1 l pino, ess lo incontrerà nel punto P [figur 1]. Poiché l proieione del punto P in P è stt scelt ortogonle l pino, l operione compiut prende il nome di proieione ortogonle 2 e l rett pssnte per P-P viene chimt rett o rggio proiettnte, mentre il pino sul qule vviene l proieioneèdettopino di proieione o qudro. Individuione di un punto nello spio L figur 2f vedere come il rggio proiettnte pssnte per il punto P può incontrre sul suo percorso infiniti punti llineti P 1, P 2, P 3, P 4,... Esso pertnto non è sufficiente definire l distn del punto P dl pino verticle. Per individure il punto P nello spio definito d un diedro, si deve utilire un ltro rggio proiettnte, pssnte per P m perpendicolre l precedente, che incontr, quest volt, un pino oriontle nel punto P (in reltà un punto P è univocmente definito nello spio solo se riferito i tre pini del triedro, come vedremo in 4.1.6 ). A mggior rgione non è possibile definire in modo univoco, con un sol operione di proieione, le posiioni di due oggetti diversi m di ugule perimetro di bse [figur 3]. Si noti, d esempio, come i due oggetti di figur 3, pur essendo diversi, hnno egule bse: essi sono pertnto rppresentti nello stesso modo sul pino oriontle e sen l iuto dell proieione sul pino verticle non srebbe possibile distinguerne l differen. Il metodo delle proieioni ortogonli di Monge richiede dunque sempre lmeno un doppi proieione su due pini diversi. 1. Si ricordi che il termine ortogonle è sinonimo di perpendicolre. 2. Esistono, oltre quell ortogonle, nche ltre forme di proieione, dette oblique.
Proieioni ortogonli 103 PIANO DI RIFERIMENTO VERTICALE PIANO LATERALE PIANO DI RIFERIMENTO ORIZZONTALE DIEDRO RETTO II DIEDRO I DIEDRO TRIEDRO TRIRETTANGOLO II TRIEDRO I TRIEDRO III DIEDRO IV DIEDRO 4 5 III TRIEDRO IV TRIEDRO Pini di riferimento fondmentli Il sistem delle proieioni ortogonli è pertnto costituito d rggi proiettnti i punti in senso perpendicolre due pini di riferimento fondmentli, uno verticle e uno oriontle, che si intersecno loro volt ortogonlmente, chimti: pino di riferimento verticle () e pino di riferimento oriontle (). Per comodità di rppresentione questi pini vengono disegnti come superfici qudrngolri definite, sebbene le loro dimensioni sino teoricmente illimitte [figur 4]. L line di interseione dei pini P.O e prende il nome di line di terr (). I due pini di riferimento intersecndosi formno quttro diedri retti che dividono lo spio in quttro settori [figur 4]. L geometri descrittiv consider le proieioni su tutti i quttro settori m in prtic, nelle proieioni ortogonli, ci limitimo operre sempre nel primo. Pini di riferimento usiliri Ai due pini di riferimento fondmentli possono ggiungersi, in lcuni csi, ltri pini detti usiliri. Il pino usilire più utilito è il pino lterle () che intersec perpendicolrmente il P.O e il [figur 5]. I due pini fondmentli e quello lterle formno quttro triedri retti [figur 5]: ciscun triedro prende il nome di triedro trirettngolo. Anche in questo cso opereremo solo nel primo triedro. Diedro retto È l prte di spio delimitt d due semipini che formno fr di loro un ngolo retto. Triedro retto (triedro trirettngolo) È l prte di spio delimitt d tre pini fr di loro ortogonli.
104 unità 4 4.1 Le proieioni ortogonli: tecniche di rppresentione 4.1.4 Le proieioni ortogonli di un oggetto 1 2 3 4 L proieione degli spigoli di un solido, medinte rggi proiettnti ortogonli, consente di definire sui pini l form del solido in relione ll direione d cui rrivno i rggi proiettnti. L figur1indic le direioni d cui fr pervenire i rggi proiettnti per ottenere le rppresentioni dell oggetto in prospetto frontle,inpint einprospetto lterle. L oggetto d rppresentre è sempre posto tr l osservtore e il pino sul qule si effettuno le proieioni ortogonli.
Proieioni ortogonli 105 d b e c 5 nimione online L rppresentione spile del sistem delle proieioni ortogonli Per ottenere le proieioni ortogonli di un oggetto occorre immginre di collocrlo ll interno di un diedro formto di due pini fondmentli o ll interno di un triedro formto di due pini fondmentli e dl pino usilirio lterle. Nel primo cso si vrnno le sole proieioni sul e sul, mentre nel secondo si ggiungono le proieioni sul L rppresentione sui due pini di riferimento fondmentli [figur2,3e4]è sufficiente per definire figure geometriche pine e solidi geometrici semplici disposti con un pino perpendicolre l pino verticle () o l pino oriontle (). Per definire solidi più complessi o con inclinioni vrie è necessrio ricorrere nche ll uso del prospetto lterle e quindi del pino usilirio lterle [figur 5]. Se si vuole, d esempio, rppresentre un sedile [figur 5] medinte proieioni ortogonli, utilindo solo due pini fondmentli [figur 5b] si ottiene un risultto incompleto e non sufficiente definire completmente l oggetto; ricorrendo invece nche l pino lterle [figur 5c] l su rppresentione risult del tutto esuriente. Inftti, se si toglie l oggetto dl triedro, l su immgine risult perfettmente definit ttrverso le sue proieioni ortogonli sui tre pini fondmentli [figur5d]. Le linee di riferimento che si trccino nell rppresentione sono molto utili per llinere visivmente i punti e le linee corrispondentiiverticieiltideglioggettisuivripinidelle proieioni ortogonli. Nel cso dell figur [figur 5e] esse consentono, per esempio, di consttre che le proieioni dell oggetto sul e sul sono ll stess lte rispetto ll
106 unità 4 4.1 Le proieioni ortogonli: tecniche di rppresentione 4.1.5 L rppresentione dell oggetto 1 c 2 b Per riportre sul pino, costituito dl foglio d disegno, le proieioni visulite spilmente nel triedro retto [figur 1], bisogn immginre di ribltre il pino oriontle e quello lterle [figur 1b]. Il pino oriontle si riblt lungo l verso il bsso fino d ssumere l posiione verticle (A), il pino lterle del triedro si riblt sul lto fino d ssumere l posiione del pino verticle (B). In questo modo le proieioni sono stte riportte tutte su un unico pino che corrisponde l foglio d disegno: esso conterrà l line di terr, l trcci verticle del pino lterle che f d divisione tr il pino verticle e il pino lterle ribltto, le proieioni in pint, in prospetto frontle e in prospetto lterle [figur 1c]. Grficmente il ribltmento si reli puntndo il compsso nel punto O di interseione tr l e l trcci del [figur 2]e riportndo le dimensioni dell oggetto dll pint 3 ll line di terr; in lterntiv ll uso del compsso si possono trccire linee inclinte di 45 [figur3]. In questo volume si è scelto di utilire il primo metodo.
Proieioni ortogonli 107 4.1 Le proieioni ortogonli: tecniche di rppresentione 4.1.6 L rppresentione dell oggetto nello spio 1 2 Trccimento grfico. 3 4 5 6 I pini di riferimento ortogonli Il disegno tecnico si bs, ormi comunemente, su procedimenti di rppresentione grfic reliti con il computer e l utilio di progrmmi CAD. Essi consistono nell rppresentione di figure pine o tridimensionli medinte l individuione dei punti significtivi di queste ttrverso le coordinte riferite i tre ssi,, fr loro ortogonli e un origine comune O, definit dl punto di interseione degli ssi. I tre ssi,, (detti ssi coordinti o crtesini 1 ) derivno dll interseione del pino verticle con il pino oriontle (sse ), dll interseione del pino lterle con il (sse ) e d quell del con il (sse ) [figur 1]. Sembr opportuno dottre fin d or questo pproccio che troverà mpio sviluppo in seguito. Visuliione tridimensionle dei pini coordinti e del diedro Gli ssi,,, derivnti dll incontro dei pini ortogonli fr loro, srnno rppresentti con tre semirette formnti ngoli di 120 [figur2]; lo stesso vle per il e il del diedro. Mntenimo invece l rppresentione tipic,, e nel loro incrocio, nel cso dell esemplificione di proieioni ortogonli che richiedono l utilio del solo diedro - [figur 3]. L rppresentione dei punti nello spio medinte le proieioni ortogonli Un qulsisi punto P può essere rppresentto in proieioni ortogonli su due pini, m non è spilmente definito, inftti tutti gli ltri punti che si trovno sull rett r prllel l e l hnno proieioni uguli rispetto i due pini [figur 4]. Affinché il punto P si spilmente definito, occorre conoscere le sue coordinte P, P, P, rispetto i tre ssi coordinti e ll loro origine O [figur 5]. Qulsisi oggetto dto, spilmente definito rispetto i tre pini coordinti, può essere rppresentto in proieioni ortogonli medinte le coordinte di ogni suo punto significtivo riferite i tre ssi,, e ll loro origine O. Vicevers, dte le coordinte dei vri punti, si può rislire ll form dell oggetto nell su collocione spile [figur 6]. 1. Gli ssi coordinti,, corrispondono gli ssi crtesini usti in geometri.
108 unità 4 4.1 Le proieioni ortogonli: tecniche di rppresentione 4.1.7 Convenioni per l rppresentione grfic delle proieioni ortogonli ''' ''' '' '' 1 Si intende per convenione un ccordo sull uso di prticolri simbologie grfiche. ) Pini di riferimento Poiché i pini di riferimento sono spilmente illimitti, si conviene di disegnre sul foglio solo le trcce del loro incontro che coincidono con gli ssi coordinti,,. Per l rppresentione su un unico pino (quello del foglio) l sse viene ribltto in senso verticle in e in senso oriontle in (vedi nche punto d) [figur 1]. b) Spessore delle linee 2.6 Gli ssi coordinti,,,,lelineediproieioneediriferimento, quelle che indicno un ribltmento, le trcce dei pini inclinti dovrnno essere disegnti con line continu fine. Le linee di contorno degli oggetti srnno disegnte con line continu gross, gli spigoli nscosti con line trtti fine [figur 2]. c) Individuione delle entità geometriche elementri Ogni entità geometric elementre (punto, rett, pino) è in- dict con un letter: miuscol per i punti, minuscol per le rette, minuscol dell lfbeto greco 3.2.2 per i pini. d) Ordine delle proieioni Nell normtiv tecnic internionle (UNI 3969/1984 e UNI EN ISO 5456/2001) si è scelto di considerre, slvo csi prticolri, come prim proieione quell sul pino verticle (), in qunto è l più rppresenttiv dell form dell oggetto, come second proieione quell sul pino oriontle () e come ter quell sul pino lterle (). e) Apici Per indicre sui differenti pini di proieione le entità geometriche (punti, rette, pini), si ggiungono lle rispettive lettere dei segni simili d postrofi, detti pici, in lto destr. Così, d esempio, si indic con A il punto rele, con A l proieione del punto A sul, con A l proieione del punto A sul e con A l proieione del punto A sul Lo stesso vle per le lettere minuscole che individuno le rette e per quelle dell lfbeto greco che individuno i pini.
Proieioni ortogonli 109 spigoli nscosti line di riferimento ''' line di contorno '' trcce dei pini 2 3 f ) Pedici Sono così definiti i numeri che compiono in bsso destr di un letter (d esempio P 1, P 2, ). g) Proieioni sovrpposte Qundo due punti hnno le proieioni sovrpposte, sono definiti coincidenti e si indicno legndo le due lettere che individuno le proieioni dei punti con tre trttini oriontli prlleli, d esempio A E (A coincidente con E ) [figur 3]. Lo stesso vle per le lettere che individuno le rette e i pini. Qundo vi sino rgioni di spio o di chire nell esecuione del disegno, è possibile omettere i tre trttini di legme tr i punti coincidenti rppresentndoli con le sole lettere seprte d un trttino (d esempio A B divent A -B ). h) Proieioni ribltte Un entità geometric ribltt viene indict tr prentesi. Ad esempio il punto A ribltto divent (A ). i) Disposiione delle lettere Le lettere che individuno l incontro degli spigoli di un oggetto si dispongono in ordine lfbetico prtendo dlle fcce superiori del solido in senso ntiorrio oppure in senso orrio. Il senso ntiorrio deriv dlle costruioni geometriche, mentre il senso orrio è di più immedit pplicione. Essendo quest operione finlit d gevolre l reliione di disegni volte complessi, si è scelto di usre nelle esemplificioni il senso orrio [figur3]. Qundo si è rggiunt un buon prtic nell esecuione delle proieioni, l uso delle lettere può essere omesso o ridotto.
110 unità 4 4.2 Proieioni ortogonli di punti, rette, pini 4.2.1 Proieioni ortogonli di punti e rette Proieioni di punti in posiioni prticolri In questi csi è sufficiente l rppresentione sul diedro [figur1]. 1 Proieioni di rette Le rette vnno sempre indicte con letter minuscol. Un rett r è rppresentt d r sul, d r sul e d r sul Qulsisi rett intersec lmeno uno dei pini di proieione: il punto di interseione prende il nome di trcci ed è indicto con Tr [figur 2]. Si vrà quindi il punto T r se l trcci è sul, T r seèsul, T r seèsul 2
Proieioni ortogonli 111 L ndmento di un rett perpendicolre un pino di riferimento, e quindi prllel gli ltri due, è definito dll su trcci sul pino [figur 3]. L ndmento di un rett inclint è definito d due trcce [figur 2]o d un punto e un trcci su un pino di riferimento [figur 4], o d due punti [figur 5]. b 3 4 Proieionidiunrettdefinitdunpunto P e un trcci T r sul 5 Proieioni diun rett definit dduepunti P e Q. 6 Proieionidiunrettinclintdi60 rispetto l Inquesto cso perdefinire lrett occorrono tre proieioni.
112 unità 4 4.2 Proieioni ortogonli di punti, rette, pini 4.2.2 Proieioni ortogonli di segmenti Un segmento è un prte di un rett delimitt d due punti, di conseguen l su proieione non è ltro che l congiungente delle proieioni dei suoi due punti estremi sul pino oriontle e verticle. Le figure [figur 1]rppresentno lcune posiioni nello spio di segmenti e le loro proieioni ortogonli. Nei csi in cui il segmento non è prllelo uno dei due pini di riferimento fondmentli, è utile per l su definiione l uso del pino lterle [figur 2]. 1 2 nimione online
Proieioni ortogonli 113 Determinione dell lunghe rele di un segmento obliquo rispetto i tre pini di proieione Qundo un segmento è inclinto rispetto i tre pini di proieione, tutte le sue proieioni risultno di dimensioni minori dell su dimensione rele, in qunto ciscun proieione determin un vist scorcit (ossi il segmento rele è visto d un ngolione che ne riduce visivmente le dimensioni) [figur 3]. In questo cso, per vere l dimensione rele del segmento occorre che esso veng ribltto in modo d risultre prllelo un pino di proieione, come esemplificto nelle figure [figur4 6]. I punti ribltti sono indicti tr prentesi. Un ltro procedimento che conduce gli stessi risultti consiste nel ribltre il pino che contiene il segmento 4.2.5. A' B' A A'' B B'' 4 B' (B') A' B A (B'') A'' B'' 5 B' (B') A' misur rele A'' (B'') 3 L lte del prllelepipedo ppre com è relmente se lo si osserv d un punto di vist frontle (in lto); di mno inmno che ilpunto di vist sivvicinll direione dell sse verticle, l lte sembr diminuire dndo luogo ll effetto chimto scorcio (in bsso). 6 B''
114 unità 4 4.2 Proieioni ortogonli di punti, rette, pini 4.2.3 Proieioni ortogonli di pini I pini sono enti geometrici dimensionlmente illimitti che vengono, per semplicità, rppresentti come qudrilteri [figure1e2]. Essi sono sempre indicti con un letter dell lfbeto greco: α, β, γ ecc. Un pino intersec un ltro pino secondo un rett chimt trcci. Le trcce di interseione di un pino α sui pini di riferimento si individuno con le lettere t α sul, t α sul, t α sul Un pino che intersec il triedro determin un o più trcce in bse ll su posiione rispetto i pini di riferimento [figure2 9]. I pini perpendicolri un pino di riferimento prendono il nome di pini proiettnti sul 1, 2 o 3 qudro; mpi è l loro utiliione per risolvere molti problemi di geometri descrittiv legti ll rppresentione delle proieioni. 1 2 Pino perpendicolre l el 3 Pino perpendicolre l el 4 Pino perpendicolre l el
Proieioni ortogonli 115 5 Pino perpendicolre l e inclinto rispetto l el 6 Pino perpendicolre l einclinto rispetto l 7 Pino perpendicolre l e inclinto rispetto l e l e l P' P''' t''' t' t'' ''' P'' '' b 8 Pino pssnte per l : l trcci del pino proiettnte t α t α coincide con l L inclinione del pino è individut dll proieione di un punto pprtenente l pino ()oppure dll su trcci sul edll ngolo sue trcce srnno inclinte su tuttiipini diproie- 9 Pino inclinto rispetto i pini fondmentli.le che form con il (b). ione.
116 unità 4 4.2 Proieioni ortogonli di punti, rette, pini 4.2.4 Condiioni di pprtenen, di prllelismo, di perpendicolrità P' r P' r P ' P'' T''r P'' ' t' t'' ' T''r t' T''r t'' ' 1 2 T''r 1. Condiione di pprtenen di un punto un rett [figur1] Un punto pprtiene un rett qundo le sue proieioni pprtengono lle proieioni omonime dell rett. Si dicono omonime le proieioni che hnno lo stesso pice. 2. Condiione di pprtenen di un rett un pino [figur2] Un rett pprtiene un pino se le sue trcce pprtengono lle trcce omonime del pino. P' r P t' T's P' P t' t'' P'' ' T''r 3 4 t'' t' T''r P' ' P'' r ' s' P'' T''r s s'' t'' T''s T's P' t' s' ' t'' P'' T''r s'' T''s 3. Condiione di pprtenen di un punto un pino [figur3] Un punto pprtiene un pino se le sue proieioni stnno sulle proieioni di un rett pssnte per P pprtenente l pino. 4. Condiione di pprtenen di un punto P e un rett r non pssnte per il punto con un pino [figur4] Se fccimo pssre per il punto P un rett s prllel ll rett dt r, le trcce del pino generico α pssernno per le trcce dell rett s edellrettr.
Proieioni ortogonli 117 T's T's s r P' s' r P t' P P' P P'' s' ' s'' T''r T''s P'' s'' T''s ' T''r 5 6 ' t'' P'' T''r t'' t' P' ' P'' T''r 5. Interseione di due rette incidenti [figur5] Due rette sono fr loro incidenti in un punto P qundo le loro proieioni si incontrno nell proieione di P. 6. Interseione di un rett con un pino [figur6] Il punto di interseione di un rett con un pino è individuto dl punto in comune tr un proieione dell rett e un trcci del pino. T's T's s' t'b b r ' s' s s'' T''r T''s ' T''r s'' T''s t' t'' t''b t' t'b t'' t''b 7 8 7. Condiione di prllelismo fr rette [figur7] Due rette prllele nello spio hnno proieioni omonime prllele. 8. Condiione di prllelismo fr pini [figur8] Due pini sono prlleli qundo le rispettive trcce (trcce omonime) sono prllele fr loro. 9. Condiione di perpendicolrità fr pini Due pini sono perpendicolri qundo le rispettive trcce sono perpendicolri fr loro.
118 unità 4 4.2 Proieioni ortogonli di punti, rette, pini 4.2.5 Uso dei pini usiliri e loro ribltmento Spesso le entità geometriche sono contenute su pini non prlleli uno dei tre pini di proieione e di conseguen, come bbimo già visto, le loro proieioni hnno misure diverse d quelle reli. Per superre questo inconveniente, si ricorre ll uso di un pino inclinto che contiene l entità geometric, detto pino usilirio [figure1e2]. Ribltndo il pino usilirio lungo un su trcci su uno dei tre pini di proieione, si ottengono le misure reli. Il problem del ribltmento di un pino si present semplice nel cso in cui il pino usilirio è ortogonle uno dei pini di proieione e inclinto rispetto gli ltri due (pino proiettnte), mentre è più complesso qundo esso è inclinto rispetto tuttietreiqudri. In tutti i csi vle l regol per cui, dopo il ribltmento, l prim trcci, d esempio (t α), form con l second, d esempio t α, lo stesso ngolo che formv prim del ribltmento. Ricordimo che i ribltmenti di punti, rette, pini si indicno con le reltive lettere tr prentesi. t' 90 (t') 90 t'' () 1 Ribltmento sul del pino proiettnte α lungo l su trcci t α esu rppresentione in proieioni ortogonli. P' P t' (t') t'' P'' (P) () 2 Ribltmento di un punto P del pino α sul e su rppresentione in proieioni ortogonli.
Proieioni ortogonli 119 4.2 Proieioni ortogonli di punti, rette, pini 4.2.6 Ribltmento di un segmento inclinto rispetto due pini di proieione t' B' Per ottenere le misure reli di un entità geometric, per esempio un segmento AB, inclinto rispetto i tre pini di proieione, si utili un pino proiettnte, ortogonle uno dei tre pini di proieione, che conteng il segmento. Il ribltmento del segmento vviene ribltndo le sue proieioni ssieme l ribltmento del pino proiettnte [figur 1]. A' B A A'' t'' B'' (t') (A) lunghe rele (B) () 1 Ribltmento di un segmento inclinto AB del pino α sulperdeterminrel su lunghe rele e su rppresentione in proieioni ortogonli. t' B' A' b b A'' (A) lunghe rele 90 B'' t'' (B) b 2 Procedimento diribltmento semplificto Si può immginre di ribltre direttmente il segmento AB lungo l trcci t α del pino proiettnte che lo contiene. In questo cso bst riportre le ltee degli estremi del segmento dll in sensoperpendicolre ll t α e congiungere i punti (A) e(b).
120 unità 4 4.2 Proieioni ortogonli di punti, rette, pini 4.2.7 Esempi di ribltmento di pini proiettnti Si riportno lcuni esempi dei metodi più utiliti reltivi l ribltmento di un pino proiettnte (pino perpendicolre uno dei pini di proieione e inclinto rispetto gli ltri due) [figure1 3]. () (t''') t''' t' (t'') 90 90 t'' 1 Ribltmento sul di un pino proiettnte α sul t''' t' (t') t'' 2 Ribltmento sul di unpino proiettnte α sul (t''') () t' t''' t'' (t''') 3 Ribltmento sul di unpino proiettnte α sul () (t')
COMPRENSIONE SVILUPPO RECUPERO Proieioni ortogonli 121 Proieioni ortogonli di segmenti e rette Per eseguire lcuni degli esercii che seguono, puoi dividere il foglio d disegno secondo le medine, ottenendo quttro rettngoli uguli. Riport nei riqudri di sinistr il disegno del triedro (ricvto d un esgono regolre inscritto in un circonferen di rggio 4 cm), così come compre nel disegno proposto, e nei riqudri di destr le proieioni ortogonli complete di pici. 1 Disegn l proieione di un segmento AB prllelo l e perpendicolre l con il vertice A pprtenente l b Disegn l proieione di un rett oriontle inclint di 45 rispetto l e l A A' B' A''' B''' 45 '' r T'''r B A'' ' B'' b 2 Disegn l proieione di un rett prllel l e inclint di 45 rispetto l b Disegn l proieione di un rett inclint rispetto l, l e l 3 Rddoppindo le misure, disegn un spet ABCDEF simile quell propost e complet le proieioni sul T''r 4 r 45 ' T'''r '' b Rddoppindo le misure, disegn un spet ABCDEF simile quell propost e complet le proieioni sul r ' '' T''r esercii
122 unità 4 COMPRENSIONE SVILUPPO RECUPERO Proieioni ortogonli di pini 5 Disegn l proieione di un pino perpendicolre l e inclinto di 30 rispetto l di cui, in bsso, ti viene fornit l trcci di proieione del pino α sul 6 Disegn l proieione di un pino perpendicolre l e inclinto di 45 rispetto l el 7 Disegn l proieione di un pino perpendicolre l e inclinto di 45 rispetto l Ribltmento di pini proiettnti 8 Complet il ribltmento di un pino α intorno ll su trcci t α sul t' t''' 45 t'' 9 esercii Complet il ribltmento di un pino α intorno ll su trcci t α sul t' 45 t''' t''
COMPRENSIONE SVILUPPO RECUPERO Proieioni ortogonli 123 10 Complet il ribltmento di un pino α intorno ll su trcci t α sul e del segmento AB gicente sul pino. (t''') (t'') t' t''' B' B''' 90 A' 45 A''' ''' B' t' t''' A' 45 B B''' A''' A'' B'' t'' A A'' B'' t'' '' 11 Complet il ribltmento di un pino α intorno ll su trcci t α sul e del segmento AB gicente sul pino. t' t''' B' B''' (t') A' 45 A''' ''' A' t' B' 45 t''' B B''' A''' A'' B'' esercii A B'' t'' t'' A'' ''
124 unità 4 COMPRENSIONE SVILUPPO SVILUPPO RECUPERO Proieioni ortogonli di punti, rette, pini 12 Disegn l proieione di un punto P pprtenente l 13 Disegn l proieione di un semirett con origine sull, pprtenente un pino perpendicolre l e l, e inclint di 60 rispetto l 14 Disegn l proieione di un pino α pssnte per l e inclinto di 30 rispetto l 15 Disegn l proieione di un pino α inclinto di 30 rispetto l e perpendicolre l 16 Disegn l proieione di un segmento AB pprtenente un pino inclinto di 45 rispetto l e perpendicolre l 17 Disegn l proieione di un segmento AB pprtenente un pino α prllelo l e perpendicolre l e l 18 Disegn un triedro di lto 6 cm (seguendo le indicioni presenti in 4.1.6 ) e l suo interno il pino α perpendicolre l e l individuto dlle sue proieioni ortogonli. t' 20 Disegn un triedro di lto 6 cm (seguendo le indicioni presenti in 4.1.6 ) e l suo interno il pino α individuto dlle sue proieioni ortogonli. 21 t'' t' t' 60 t''' P '' Disegn l proieione di un punto P, pprtenente l pino α, e del suo ribltmento intorno ll trcci t α. t''' ''' ''' 30 t'' esercii 19 t'' t' t'' '' Disegn un triedro di lto 6 cm (seguendo le indicioni presenti in 4.1.6 ) e l suo interno il pino α perpendicolre l e inclinto rispetto l e l individuto dlle sue proieioni ortogonli. '' t''' ''' 22 Disegn l proieione dell spet ABCD, pprtenente l pino α, e del suo ribltmento intorno ll trcci t α. 23 C t' t'' A t''' D B 60 Consider il disegno dell eserciio precedente e disegn l proieione dell spet ABCD, pprtenente l pino α, e del suo ribltmento intorno ll trcci t α.
COMPRENSIONE RECUPERO SVILUPPO RECUPERO Proieioni ortogonli 125 1 5 Disegn l proieione di un semirett r pssnte per, prllel l e inclint di 60 rispetto l r Disegn l proieione del pino α rppresentto in figur. t' t''' 60 T''r 60 t'' 2 6 Disegn l proieione di un rett r prllel l, che intersec il in T r e il in T r. r T'''r Disegn l proieione del pino α rppresentto in figur. t' 45 t''' 45 t'' 3 7 Disegn l proieione di un segmento AB inclinto di 30 rispetto l, prllelo l e con l estremo B pprtenente l A 30 B Disegn il ribltmento del pino α intorno ll trcci t α. t' t''' 45 t'' 4 Disegn l proieione dell spet ABC con il lto AB pprtenente l e il lto BC prllelo l C B 90 8 Disegn il ribltmento del pino α e del segmento AB, pprtenente l pino α, intorno ll trcci t α. t' A 45 t'' B t''' esercii A