Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Funzione esponenzile Abbimo studito le progressioni geometriche ed bbimo visto che ci sono molte situzioni reli in cui il modello mtemtico sottostnte è proprio un progressione geometric. n Considerimo per esempio l successione n con n =,, ecc. Invece di limitrci i numeri nturli provimo desso considerre l funzione f : ( posso nche scrivere f ( ) oppure y ). Quest funzione risult definit per tutti i numeri reli? Provimo: n se n є N ( moltiplicto per se stesso n volte) n se n є Z n se m n є Q m n n m se è un numero irrzionle, per esempio possimo definire l elemento seprtore delle due clssi contigue di numeri reli come,,,.,5,,5. (dove si sono considerte le pprossimzioni per eccesso e per difetto di ). Quindi f ( ) risult definit cioè il suo dominio è. Chimimo funzione esponenzile un funzione del tipo y ( si trov ll esponente) dove è un numero rele positivo e diverso d e si chim bse dell funzione esponenzile. L funzione esponenzile h come dominio (insieme di definizione) l insieme dei numeri reli. Osservzione: si consider l bse > perché con bsi negtive non vrei sempre risultti reli: per esempio con < non è un numero rele. Osservzione: non si consider l bse = perché vremmo l funzione costnte y=.
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Come risult il grfico di y? Considerimo per esempio = : possimo fre un tbell ssegnndo vri vlori ll vribile e ottenimo y - - =/8 - - =/ - - = / = = = Osservzioni L funzione y h le seguenti crtteristiche: è crescente cioè se f ( ) f ( ) ; è iniettiv cioè d elementi distinti corrispondono immgini distinte (se f ( ) f ( ) ); è sempre positiv e quindi il grfico si trov sempre sopr ll sse ; h come sintoto l sse.
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Considerimo desso y. Come risult il suo grfico? y - 8 - - / / Osservimo che in questo cso l funzione è decrescente, m per il resto h le stesse crtteristiche. In conclusione quindi, in generle, vremo che y è un funzione crescente qundo l bse >, decrescente per < <. Il codominio (insieme delle immgini) di y è in ogni cso l insieme dei reli positivi y >. 5
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Funzione ritmic Il ritmo (in un dt bse) di un numero Riprendimo l esempio dell dupliczione dei btteri presentto nell sched delle progressioni geometriche: se per esempio il numero inizile dei btteri è N e sppimo che ogni btterio si duplic ogni or, possimo chiederci dopo qunto tempo l coloni srà costituit d milione di btteri Scrivendo il numero di btteri presenti l tempo (misurto in ore) come dovremo risolvere 6 N( ) M llor dovrà essere M qul è l esponente che dobbimo dre per ottenere? Scrivimo l tbell di tr 9 e. y e poiché 9 5 e è chiro che il nostro numero srà 9 9,96 Se continuimo provre: 5... 996 m 9, 97 e quindi se ci ccontentimo di due cifre decimli potremo dire che 9, 96. M è chiro che se dobbimo risolvere problemi di questo tipo cercre l esponente giusto ndndo per tenttivi non è molto prtico! I mtemtici hnno chimto N (che si legge ritmo in bse del numero N ) l esponente d dre ll bse per ottenere il numero N Quindi nel nostro esempio il numero che cercvmo er 6
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Not storic L ide su cui si bs il concetto di ritmo è molto ntic e se ne trov già trcci nelle opere di Archimede: considerimo un progressione geometric, per esempio di rgione, e indichimo ccnto ciscun termine il suo indice che è l esponente d dre per ottenerlo. Numero indice 8 6 5 6 6.. Si osserv che per moltiplicre due termini, per esempio 6 6, possimo rislire i rispettivi indici ( e 6 ), sommrli (+6=) e infine cercre nell tbell il termine con indice : = ed inftti 6 6 = 6 = Questo metodo quindi semplificv il clcolo del prodotto di due numeri purché fossero termini dell progressione. Il mtemtico scozzese John Npier,vissuto nel sedicesimo secolo, noto con il nome itlinizzto di Giovnni Nepero, coniò il termine ncor oggi utilizzto di ritmo, dl greco on rithmos, cioè numero dell rgione (intendendo l indice, cioè l esponente, per vere il numero dell tbell). M come si clcol il ritmo di un numero? 7
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Comincimo d pprofondire l rgomento e studimo prim di tutto l funzione ritmic y che risult l funzione invers dell funzione esponenzile. Se per esempio nell tbell dell funzione tbell dell funzione y. y inverto i ruoli delle vribili e y ottengo l Trccimo il grfico di y : y / - / - Not Osservimo che i grfici di y e di y sono simmetrici rispetto ll rett y poiché bbimo scmbito l con l y. (e questo ccde sempre qundo si considerno un funzione e l su invers) Osservimo che il dominio dell funzione ritmic è >, mentre il codominio sono tutti i numeri reli: dominio e codominio sono scmbiti rispetto ll funzione esponenzile. Il grfico h come sintoto verticle l sse y (l esponenzile vev invece l sse ) Se l bse > ottenimo un funzione crescente (come nel cso dell funzione esponenzile) Il grfico intersec l sse in (;) 8
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Trccimo or il grfico di y : / / / - - Osservimo che il grfico è in questo cso decrescente. Quindi se y è un funzione decrescente m per il resto bbimo sempre l sse y come sintoto verticle e il pssggio per (;). Not importnte Nel clcolo dei ritmi le bsi più uste sono l bse e l bse e ( e è un numero irrzionle il cui vlore pprossimto è,7 ed è prticolrmente importnte nello studio dell nlisi mtemtic). Se voglimo clcolre utilizzndo l clcoltrice dobbimo premere il tsto : = ecc. RICORDA: per indicre il ritmo in bse e si scrive ln (controll il tsto sull clcoltrice). M per clcolre il ritmo di un numero in un bse divers d e d e? Dobbimo studire lcune proprietà dei ritmi d cui ricveremo l regol del cmbimento di bse che ci permetterà di clcolre ritmi in bse qulsisi usndo il tsto dell clcoltrice. 9
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Proprietà dei ritmi ) ( m n) m n Inftti se ponimo llor m m cioè m e n y cioè y n y y n e quindi y ( m n) m ) m n n Inftti sempre ponendo m e n y bbimo che y m n m n y e quindi y n ) ( m ) n m Inftti se ponimo m cioè m vremo che m n ) n n ( e quindi n ( m n ) ) Cmbimento di bse m b b m Inftti se m b b m b b m b b m Esempio: per clcolre utilizzndo il ritmo in bse (nell clcoltrice bst premere per vere il ritmo in bse ) utilizzndo l relzione del cmbimento di bse vremo 9,96578... ed ecco finlmente il numero del nostro esempio inizile! Osservzione b b In prticolre bbimo b b b Esempio: (inftti mentre )
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Equzioni esponenzili L equzione esponenzile elementre è k (con k> ltrimenti non ci sono soluzioni) e per l definizione di ritmo si risolve così: k Ci sono poi equzioni che si possono ricondurre ll soluzione di equzioni esponenzili elementri. Vedimo degli esempi. Esempi.... Per ricondurre quest equzione d un equzione elementre cerchimo di vere lo stesso esponente: scrivimo quindi Dividimo entrmbi i membri per (o per ) e ottenimo: Se vessi diviso per vrei ottenuto Operndo però un cmbimento di bse ci ccorgimo che i due risultti sono uguli: inftti ( ) ( poiché ) 5. Ponimo y y y y y Quindi nessun soluzione.
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Esercizi sulle equzioni esponenzili. 8 [ ].. 9 6 [ ] [ ]. 5 [ 5] 5. [ ] 6. 7 8 [ ] 7. [ ] 8. 9 [ ] 9. 5 6. 5. 7 5. 5 9 5. 9. 6 [ ] [ ] 5 5 [ ] [ ] [ ] [ ] 5. 8 9 [ ]
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Disequzioni esponenzili Esempi cioè cioè In generle se bbimo un disequzione esponenzile elementre del tipo se,essendo l soluzione è se, essendo diseguglinz e l soluzione è k ( k ) un funzione crescente, si mntiene il verso dell diseguglinz e k un funzione decrescente k si inverte il verso dell Not: se dobbimo risolvere dl momento che è sempre positivo l disequzione srà sempre verifict. Quindi se bbimo k e k< l disequzione è verifict. Nturlmente considerzioni nhe vlgono per l risoluzione dell disequzione di k con k>. Se k< invece in ci srà nessun soluzione di k poiché è sempre positivo.
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Nturlmente un disequzione esponenzile può essere più compless m spesso può essere ricondott ll risoluzione di disequzioni esponenzili elementri. Vedimo degli esempi........ 5. Possimo risolvere quest disequzione ponendo y e sostituendo ottenimo : y y y y cioè che non h nessun soluzione 6. Ponimo y y y y e quindi 7. 9 Studimo il segno del numertore e del denomintore: 9 : N : D Quindi l soluzione è.
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Esercizi sulle disequzioni esponenzili. 5 5 [ ]. 7 7 [ ].. ( ) [ ] [ ] 5. 7 [ ] 6. ( ) ( ) 7. 8. 8 [ ] [ ] [ ] 9. 5 [ 5 ]. 5 5. 8 6. 9. 9 [ 5 5 ] [ ] [ ] [nessun soluzione]. [ ] 5. 6. [ ] [ ] 5
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Equzioni ritmiche Si dice equzione ritmic ogni equzione in cui l incognit compre come rgomento di un ritmo. L equzione ritmic elementre è quindi: k ( ) k Molte equzioni ritmiche possono essere ricondotte ll risoluzione di equzioni ritmiche elementri. Vedimo lcuni esempi. Esempi.. ( ) 9. ( ) ( 5) In questo cso è importnte determinre l condizione di ccettbilità delle soluzioni (determinre il dominio dell equzione) ricordndo che l rgomento di un ritmo deve essere strettmente positivo. Quindi nel nostro cso vremo: 5 5 5 Risolvendo l equzione ritmic bbimo: Quindi l soluzione dell equzione è. 5 ccettbile 6
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi -. ( ) ( ) non ccettbile Quindi l equzione non h soluzioni. 5. In questo cso occorre operre un cmbimento di bse. Per esempio possimo portre tutto in bse ponendo Quindi : 5 6. ( 5) ( ) (Se non scrivimo l bse si intende che ci si riferisce sempre d un stess bse e che non è importnte conoscerl per risolvere l equzione). Impostimo innnzitutto il sistem per vere le condizioni di ccettbilità delle soluzioni: 5 5 Possimo in questo cso pplicre le proprietà dei ritmi: 5 6 Quindi l unic soluzione è. ( 5) ( ) ( 5) ( ) 6 ccettbile non ccettbile 7
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Esercizi sulle equzioni ritmiche.. ( ). ( ). ( ) (9 ) 5. ( 8) [ ] 5 [ ] [ ] [ ] [ ] 6. 5 [ ] 7. ( ) ( ) 9 8. ( 5) ( ) 9. ( 5) ( ). ( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) [ ] 7 [ ] 8 [ ] [nessun soluzione] [ ] [ ]. 5 [ ]. ( ) ( 5) [nessun soluzione] 5. 5 9 6 9 [ ] 6. ( ) 5 ( ) 6 [ 9] 5 8
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Disequzioni ritmiche L disequzione ritmic elementre è del tipo e si risolve così: se se diseguglinz) k ( con > ) k (essendo k (essendo crescente si mntiene il verso dell diseguglinz) decrescente si inverte il verso dell Esempio Poiché per y è un funzione crescente, si mntiene l diseguglinz. Poiché per y è un funzione decrescente, si inverte l diseguglinz e v tenuto conto del dominio del ritmo. E chiro che se devo risolvere k (con > ) vrò: Esempio: se se k k 9
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Nturlmente le disequzioni ritmiche possono essere più complesse m spesso si possono ricondurre ll risoluzione di disequzioni elementri. Vedimo lcuni esempi. Esempi... 5 ( ) 5 6. ( ) 7 5. ( ) ( ) In questo cso possimo risolvere un unico sistem in cui mettimo il dominio dei ritmi e l risoluzione dell disequzione cioè: L soluzione è: 6. ( ) ( ) L soluzione è :
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Esercizi sulle disequzioni ritmiche. ( ). ( 5). ( ). 5. 6. ( 8) 7. 8. ( ) ( ) 9. (6 ). ( ) ( ) ( ). ( ). ( ). 5 5. ( ) ( ) 7 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 9] [ ] 7 [ ] [nessun soluzione] [ ] [ ] [ ] [ 5] 5 [ ] 5. ( ) ( ) [ ] ( ) 6. ( ) 7. [ ] [ con ]
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Esercizi di ricpitolzione (Equzioni e disequzioni esponenzili e ritmiche). 9 [ ]. [ 6]. 5 5 6. ( ) 9 5. 5 5 8 6. 7. 5 ( ) 5 ( ) 5 [ 5 5 ] [ ] [ 5 ] [ ] [ ] 8. (5 ) (5 ) 6 [ ] 5 9. ( ) ( ). ( ). ( ) ( ) 8. ( ) [nessun soluzione] [ ] [ 5] [ ]
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi -. 9 9 [, ]. 5 [ 9 ] 5 5 5. 9 6 7 7 [ ] 6. [ ] 9 7. [ ] 8. [ ] 6 [ 5 9. 6 ] [, ].. [ ]. [ ]. 5 [ ]
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Sched di pprofondimento Logritmi e chimic In chimic l concentrzione molre di ioni simbolo [ H ] e si h: H presenti in un soluzione viene indict con il [ H ] per un soluzione di mssim cidità; [ H [ H ] ] 7 per un soluzione neutr; per un soluzione di minim cidità (bsic). Si definisce il ph di un soluzione come e quindi bbimo che: ph [ H ] se [ H ] ph 7 se [ H ] ph 7 se [ H ] ph soluzione di mssim cidità; soluzione neutr; soluzione di minim cidità (bsic) Problemi ) Dto il ph di un soluzione, per esempio ph=8, qunto risult l concentrzione di ioni [ H ]?... b) Un umento del ph corrisponde d un umento o un diminuzione dell concentrzione di ioni H?... c) Se l soluzione X h un ph doppio dell soluzione Y, come risult l concentrzione degli ioni H presenti nelle due soluzioni?......
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Sched di pprofondimento Logritmi e decibel Ricordimo che l intensità I di un ond sonor è definit come l quntità di energi che ttrvers in secondo un superficie di m dispost perpendicolrmente ll superficie di propgzione dell ond e si misur quindi in W / m. L intensità minim percepit d un orecchio normle (ll frequenz di riferimento di Hz) è I W m (sogli di udibilità). / Si definisce livello sonoro, che indichimo con l s, misurto in decibel (db): Quindi se I I l db Problemi s se I I l db se I I ls db ecc. s I I l s (db) ) Un mplifictore di un impinto Hi-Fi emette un suono che d un dt distnz h un livello sonoro di 8 db. Rddoppindo l potenz dell mplifictore e quindi l intensità I del suono, come risulterà (in quell stess posizione) il livello sonoro? b) L intensità del suono (per l frequenz di riferimento di Hz) che provoc un senszione di dolore l timpno è I W / m : qul è il livello sonoro corrispondente? c) Rppresent in un grfico (I, s l ) l ndmento del livello sonoro (in db) rispetto ll intensità I del suono. 5
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - Problemi. Supponimo che nell sterilizzzione del ltte ll tempertur costnte di C il numero n(t) delle spore del microrgnismo Bcillus Sterothermophilus si regolto dll legge n( t), 98 t dove t è l durt in secondi del processo di sterilizzzione. Rppresent l ndmento di n(t) e determin il tempo di dimezzmento del numero delle spore cioè dopo qunti secondi il loro numero è dimezzto rispetto quello inizile. [, s]. Un bioo h scoperto che il numero N(t) di un dto tipo di btteri presenti l tempo t (misurto in ore) in un coltur rddoppi ogni or. Spendo che ll inizio (t=) il numero dei btteri er 5 scrivi l espressione di N(t). Dopo qunto tempo il numero di btteri è mggiore di milione? t [ N( t) 5 ;, h]. Un sostnz rdiottiv si dimezz ogni or. Indicndo con Q l quntità di sostnz rdiottiv inizile, determin l espressione dell quntità Q(t) di sostnz rdiottiv l tempo t misurndo t in ore. Dopo qunto tempo l quntità di sostnz rdiottiv si riduce meno di / dell quntità inizile? E dopo qunto meno di /? [ Q( t) Q ; 6,6 h; h]. In qunti nni rddoppi un cpitle inizile C se l bnc pplic un interesse composto del %? [ 5 nni] t 5. Se sppimo che il nostro cpitle inizile rddoppierà in nni, qul è il tsso di interesse composto pplicto dll nostr bnc? [ 7% ] 6. Dopo l fecondzione, per scissione dell cellul mdre nel processo chimto mitosi, si hnno due cellule figlie ogni ore. 6
Progetto Mtemtic in Rete - Esponenzili e ritmi - ) Qunte cellule si hnno dopo 5 giorni dll fecondzione? b) qunti giorni devono pssre dll fecondzione per vere circ cellule? (circ un milione) [6 ; 5 giorni ] 7. )Un bnc pplic un tsso di interesse composto del % con cpitlizzzione d nno (ogni nno l interesse viene ggiunto l cpitle). Scrivi qunto risult il cpitle, prtendo d un cpitle inizile C (euro), dopo 5 nni. b) Un ltr bnc pplic lo stesso tsso composto del % m con cpitlizzzione 6 mesi cioè ogni 6 mesi l interesse si somm l cpitle. In questo cso, sempre prtendo d euro, qunto risult il cpitle dopo 5 nni? [circ ; circ 8 ] 8. Un copert misur 5 cm 8 cm ed è spess, cm. Ogni volt che l pieghi in due l su superficie si dimezz e rddoppi il suo spessore. Se devi metterl in un sctol 5 cm cm cm ( c m ltezz dell sctol), qunte volte dovri ripiegrl? L copert strà nell sctol? (controll lo spessore) [ 6 piegture ; sì] 9. Abbimo bisogno di un prestito e confrontimo le proposte di due bnche: l prim ci propone un tsso composto del % con durt di 5 nni (cioè dovremo restituire qunto bbimo vuto in prestito con l interesse mturto in 5 nni), l second un tsso del % con durt nni. Qul è l propost migliore?qunto dobbimo restituire ll prim bnc? E ll second? (Indic con C il vlore inizile del prestito) [l prim;,8 C ;, 86 C ]. Il numero di btteri in un cert coltur rddoppi in ( minuti). Spendo che il numero inizile è N 5 scrivi come risult il numero N (t ) di btteri presenti dopo t minuti. Dopo qunto tempo i btteri sono milione? t [ N( t) 5 ; circ 9 cioè h 9 ] 7