3 Clcolo Integrle Nello studio del clcolo differenzile si è visto come si può ssocire d un funzione l su derivt. Il clcolo integrle si occup del problem inverso: dt un funzione f è possibile determinre un funzione F tle che F (x) = f(x)? Un funzione F con quest proprietà si dice primitiv di f. Ad esempio l funzione F(x) = x è un primitiv di f(x) = x. Ricordndo che l derivt di un funzione costnte è identicmente zero, si cpisce che il problem di nti-derivzione se h lmeno un soluzione ne h utomticmente infinite: se F è un primitiv di f llor nche F + c è un primitiv per qulunque scelt dell costnte rele c. Anzi si può dimostrre che in questo modo si individuno tutte le possibili primitive di un funzione dt. Lo sviluppo di tecniche che permettono l ricostruzione dell primitiv di un funzione h un ppliczione fondmentle: il clcolo di ree di figure pine. Considerimo inftti un funzione continu f definit su un certo insieme [, b] e e supponimo di poter ssegnre un re l trpezoide limitto dl grfico di f, dll sse delle x, dll rett x = e dll rett x = t con t [, b]. Denotimo quest funzione con A(t) (che in seguito chimeremo funzione integrle) e provimo clcolrne l derivt. Vrindo l posizione di t, d t t+h, l differenz A(t+h) A(t) corrisponde ll re del trpezoide che h per bse l intervllo [t, t + h]. M h m h A(t) t t + h Sino m h e M h rispettivmente il minimo e il mssimo vlore dell funzione sull intervllo [t, t + h] llor l differenz A(t + h) A(t) si può stimre con le ree dei rettngoli di bse [t, t + h] e ltezze m h e M h. m h h A(t + h) A(t) M h h.
Clcolo Integrle 77 Quindi A(t + h) A(t) m h M h. h Fcendo tendere h zero, dto che f è continu (per funzioni più irregolri l situzione è più complict) i numeri M h e m h tendono f(t) (ossi l mssimo e l minimo di f nell intervllo contrtto costituito dl solo punto t). Quindi A (t) = f(t) e A è un primitiv di f.. Definizione di integrle Nell introduzione bbimo prlto dell possibilità di ssegnre un re d un trpezoide. Or precisimo meglio come v intes quest ffermzione. Supponimo che f si un funzione limitt definit su un insieme [, b]. L ide è di pprossimre l re del trpezoide con delle unioni di rettngoli. Suddividimo [, b] in N sotto-intervlli di mpiezz uniforme inserendo i seguenti punti Or costruimo le due somme: x n = + n b N con n =,,, N. e dove s N = S N = N n= N n= m n (x n x n ) = b N M n (x n x n ) = b N N n= m n N M n. n= m n = inf {f(x) : x [x n, x n ]} e M n = sup {f(x) : x [x n, x n ]}. N = 5 = x x x x 3 x 4 x 5 = b
78 Roberto Turso - Anlisi Le somme s N e S N misurno le ree delle regioni formte di rettngoli rispettivmente iscritti e circoscritti l grfico e quindi rppresentno l stim inferiore e superiore (di ordine N) dell re d clcolre. L re del trpezoide è definit se questo procedimento di pprossimzione dl bsso e dll lto individu l limite un unico numero: lim s N = lim S N = Are del trpezoide. N N In questo cso l funzione f si dice integrbile nell intervllo [, b] e l re del trpezoide si indic b f(x) dx che si legge integrle tr e b di f in dx. Il simbolo di integrle è un S llungt che ricord l costruzione con le somme che bbimo ppen descritto. Anche se non tutte le funzioni limitte sono integrbili, si può dimostrre che le funzioni continue lo sono e nzi, come bbimo nticipto nell introduzione, il problem del clcolo dell integrle è direttmente correlto con l determinzione di un primitiv. Vle inftti il seguente teorem: Teorem fondmentle del clcolo integrle Si f un funzione continu in un intervllo [, b] llor () l funzione integrle è un primitiv di f. [, b] t t f(x) dx () Se F è un primitiv di f in [, b] llor b f(x) dx = [F(x)] b = F(b) F(). Se l funzione f è solo continu trtti llor l funzione integrle è continu ed è derivbile ll interno del dominio trnne nei punti in cui l f è discontinu. Esempio. Se f(x) = x llor, come già osservto, un primitiv di f è l funzione x. L funzione integrle reltiv d esempio ll intervllo [, 3] è ugule A(t) = t f(x) dx = F(t) F( ) = t ed è un funzione continu e derivbile l cui derivt coincide con f. Quindi l crescenz/decrescenz dell funzione integrle dipende dl segno dell funzione f:
Clcolo Integrle 79 l re sotto l curv, spzit vrindo t, per t = è null poi decresce diventndo negtiv (l re è contt negtiv se st sotto l sse delle x) e poi cresce d t = diventndo null in t = e positiv per t >. 3 t Supponimo or che l funzione f si discontinu. Ad esempio f(x) = { x per x < x + per x. In questo cso l funzione integrle reltiv ll intervllo [, 3] è ugule A(t) = t t f(x) dx = per t < t(t + ) per t L funzione integrle è continu e derivbile trnne nel punto t = dove c è un punto ngoloso:. A () = lim x f(x) = e A +() = lim x + f(x) =. 3 t
8 Roberto Turso - Anlisi. Clcolo delle primitive In quest sezione svilupperemo lcune tecniche utili per individure le primitive di un funzione continu. Per indicre l insieme delle primitive di un funzione f si utilizz l seguente notzione: f(x) dx che si legge integrle di f(x) in dx. È detto nche integrle indefinito perchè per or voglimo solo risolvere il problem dell ricerc delle primitive e gli estremi di integrzione non ci interessno. Tornndo l nostro esempio, possimo llor scrivere xdx = x + c. dove c è un costnte rbitrri. Altri esempi si trovno nell seguente tbell. x α dx = xα+ + c per α α + dx = log x + c x e x dx = e x + c sin xdx = cosx + c cosxdx = sin x + c dx = tn x + c (cosx) ( x ) x dx = rcsin + c per > + x dx = ( x ) rctn + c per > Il controllo dell vlidità di questi integrli si può fre in modo molto semplice: si deriv un primitiv e si verific che il risultto ottenuto si ugule ll funzione corrispondente nel suo dominio di definizione. Esempio. Dll tbell possimo dedurre che + x dx = ( ) x rctn + c Inftti ( ( ) ) d x dx rctn + c = ( x + ) = + x.
Clcolo Integrle 8 Esempio. Determinimo le primitive dell funzione x, ossi clcolimo l integrle indefinito x dx. In questo cso conviene distinguere due csi: per x bbimo che x dx = xdx = x + c, mentre per x x dx = ( x) dx = xdx = x + c. Or per scrivere le primitive di x per x R, dobbimo tener presente che queste sono funzioni continue e dunque devono coincidere nel punto di rccordo x =. Questo ccde se c = c e quindi x dx = { x / + c per x x / + c per x <. Esempio.3 Determinimo l funzione integrle per t R dove F(t) = t f(x) dx e x per x > f(x) = per x = 3x per x < Dto che l funzione f è discontinu in x = clcolimo le primitive seprtmente prim sinistr di questo punto e poi destr. Le primitive per x < sono f(x) dx = 3x dx = x 3 + c,. mentre per x > f(x) dx = e x dx = e x + c. Dto che l funzione integrle è continu dobbimo stbilire l relzione tr le costnti in modo d rccordre le due primitive nel punto x =. Si deve verificre che 3 +c = e + c e quindi c = c + e. Inoltre dto che F() = dobbimo imporre che 3 + c = ossi c =. Così, per t R, t { t 3 per t F(t) = f(x) dx = e t + e per t. Notimo che il vlore dell funzione f nel punto di discontinuità x = non h influenzto il clcolo dell funzione integrle F.
8 Roberto Turso - Anlisi Or che bbimo un po di esempi di primitive provimo vedere come si integrno funzioni più complicte. Come vedremo le tecniche di integrzione sono un semplice conseguenz delle regole di derivzione. Rispetto l clcolo dell derivt però, nel clcolo integrle spesso l difficoltà consiste nel cpire qule tecnic prticolre conviene usre: in fondo cercre un primitiv è come se, dopo ver derivto un funzione, uno cercsse di ricostruirl prtendo dll derivt! L prim proprietà si deduce direttmente dll linerità dell derivzione Linerità Per α, β R (α f(x) + β g(x)) dx = α f(x) dx + β g(x) dx. Esempio.4 Clcolimo l integrle (3 x + ) dx. x Per l linerità bbimo che (3 x + x + ) dx = 3 xdx + x dx dx or per determinre i singoli integrli possimo ricorrere ll tbell xdx = inoltre x dx = e infine (x) (x) + dx = + + c = 3 x3 + c, (x) dx = (x) + + + c = x + c dx = dx = x + c. Quindi, riportndo l costnte un sol volt, (3 x + x ) dx = x3 x + c. x L second proprietà è bst sull regol di derivzione del prodotto:
Clcolo Integrle 83 Integrzione per prti Se f e g sono funzioni derivbili llor f(x) dg(x) = f(x) g(x) inftti, ricordndo che g(x) df(x). df(x) = f (x) dx e dg(x) = g (x) dx, l formul enuncit si verific osservndo che f(x) dg(x) + g(x) df(x) = (f(x) g (x) + f (x) g(x)) dx = (f(x) g(x)) dx = f(x) g(x) + c. Esempio.5 Clcolimo l integrle x cosxdx. Applichimo l tecnic dell integrzione per prti integrndo prim il fttore cosx e portndo il risultto nel differenzile x cos xdx = xd(sin x) = x sin x sin xd(x) = x sin x ( cosx) + c = x sin x + cosx + c. Notimo che se si integrsse prim il fttore x llor l integrle diventerebbe più complicto: ( ) x x cosxdx = cosxd = x x cos x d(cosx) = x cosx + x sin xdx. L scelt del fttore giusto d integrre non è sempre semplice e lle volte è necessrio fre più di un tenttivo. Esempio.6 Clcolimo l integrle x e x dx.
84 Roberto Turso - Anlisi Integrimo prim il fttore e x : x e x dx = x d(e x ) = x e x e x d(x ) = x e x e x xdx = x e x xe x dx. Il nuovo integrle non si può risolvere direttmente come nell esempio precedente, m comunque simo sull buon strd perché l prte polinomile (il fttore x ) si è bbssto di grdo (è diventto x). Risolvimo l integrle che mnc in modo nlogo: xe x dx = xd(e x ) = xe x e x d(x) = xe x e x + c. Quindi x e x dx = x e x (xe x e x + c) = (x x + )e x + c. Esempio.7 Clcolimo l integrle log xdx. In questo cso per pplicre l integrzione per prti sceglimo come fttore d integrre l funzione costnte (che integrt dà x): log xdx = log xd(x) = x log x xd(log x) = x log x x x dx = x log x dx Esempio.8 Clcolimo l integrle = x log x x + c. x dx. Sppimo già che l generic primitiv di /x è l funzione log x + c, m provimo comunque d pplicre l integrzione per prti per vedere cos succede: x dx = x d(x) = x ( ) x xd = x ( x ) dx = + x x dx. L equzione ottenut sembrerebbe condurre ll contrddizione =, m in reltà il simbolo /xdx rppresent un insieme infinito di funzioni e dll semplificzione si ottiene solo che l differenz di due primitive di /x è un costnte.
Clcolo Integrle 85 L terz proprietà fornisce un ltr tecnic di clcolo e si ricv dll regol di derivzione di un funzione compost: Integrzione per sostituzione Se g è derivbile llor posto t = g(x) f(g(x)) dg(x) = f(t) dt = F(t) + c = F(g(x)) + c dove F è un primitiv di f. L formul si verific osservndo che (F(g(x))) = f(g(x)) g (x). Esempio.9 Clcolimo l integrle tnxdx. L integrle dto si può scrivere nel modo seguente sin x tn xdx = cos x dx. Or integrimo sin x: sin x cosx dx = d( cosx) = cosx cosx d(cosx). Quindi dobbimo ncor integrre /t nell vribile t = cos x ossi tnxdx = dt = log t + c = log cosx + c. t Esempio. Clcolimo l integrle x cos(x ) ( + sin(x )) dx. Come vedremo l funzione d integrre è l derivt di un funzione compost. L integrzione per sostituzione permetterà l ricostruzione dell funzione originle. Integrimo prim x: x cos(x ) ( + sin(x )) dx = cos(x ) ( + sin(x )) d(x ).
86 Roberto Turso - Anlisi Poi integrimo cos(x ) rispetto ll vribile x : cos(x ) ( + sin(x )) d(x ) = ( + sin(x )) d(sin(x )). Infine, dopo ver corretto il differenzile ggiungendo l costnte, integrimo /(+ sin(x )) rispetto ll vribile + sin(x ) ( + sin(x )) d( + sin(x )) = + sin(x ) + c. Esempio. Clcolimo l integrle x x dx. Alle volte l scelt del cmbio di vribile può essere suggerit dll struttur dell funzione d integrre. In questo cso conviene porre t = x: t = x e d(t ) = t dt = dx. Così sostituendo ottenimo x dx = x t t dt = t t t dt. Dto che t = (t + )(t ) + (bbimo diviso il polinomio t per il polinomio t + ) t ( t dt = t + + ) dt = t + t + log t + c. t Quindi risostituendo t = x x dx = x + x + log x + c. x 3. L integrzione delle funzioni rzionli Se per l integrzione di un generic funzione può essere difficile individure l combinzione dei metodi d usre, per un funzione rzionle ossi un rpporto di polinomi f(x) = P(x) Q(x) esiste un lgoritmo completo che permette di determinre in ogni cso un primitiv. L complessità di questo lgoritmo ument con il grdo del polinomio Q(x). Comincimo quindi con il cso in cui il grdo di Q(x) è ugule.
Clcolo Integrle 87 Esempio 3. Clcolimo l integrle 4x + x + dx Dto che il polinomio l numertore h grdo mggiore di quello l denomintore, possimo fre l divisione ottenendo Così 4x + = (x )(x + ) + 4x + (x )(x + ) + x + dx = dx x + ( = x + ) dx = x x + log x + + c. x + Or esmineremo il cso in cui il grdo del polinomio Q(x) si di grdo. A meno di fre un divisione, come nel cso dell esempio precedente, possimo supporre che il numertore P(x) si di grdo minore di. L lgoritmo distingue tre csi second dell ntur delle rdici del polinomio Q(x). Esempio 3. Clcolimo l integrle x + x + 5x + 6 dx Le rdici di x + 5x + 6 sono due e distinte: e 3. Decomponimo l funzione rzionle nel seguente modo: x + x + 5x + 6 = x + (x + )(x + 3) = A x + + B x + 3 dove A e B sono due costnti opportune. Svolgendo il clcolo ottenimo x + (A + B)x + (3A + B) = x + 5x + 6 (x + )(x + 3) e quindi { A + B = 3A + B = d cui ricvimo che A = e B =.
88 Roberto Turso - Anlisi Osservimo che per trovre le costnti A e B possimo nche rgionre così: se moltiplichimo l equzione x + (x + )(x + 3) = A x + + B x + 3 per x +, dopo ver semplificto, ottenimo x + x + 3 = A + B x + x + 3 e ponendo x =, trovimo immeditmente che A =. In modo nlogo, se moltiplichimo per x + 3, ottenimo x + x + = A x + 3 x + + B e ponendo x = 3, trovimo che B =. Quindi ( x + x + 5x + 6 dx = x + + ) dx x + 3 = log x + + log x + 3 + c (x + 3) = log + c. x + Esempio 3.3 Clcolimo l integrle x + 3 x + 4x + 4 dx. Il polinomio x + 4x + 4 = (x + ) h un unic rdice: di molteplicità due. Se ponimo t = x + llor dt = dx e x + 3 x + 4x + 4 dx = x + 3 t + (x + ) dx = dt t ( = t + ) dt = log t t t + c = log x + x + + c. Esempio 3.4 Clcolimo l integrle 4x x + x + 3 dx.
Clcolo Integrle 89 Il polinomio x + x + 3 h due rdici complesse coniugte: ± i. Il primo psso consiste nel fre un sostituzione in modo d eliminre il termine di primo grdo. In generle, per un polinomio x + bx + c, questo si ottiene con un trslzione dell vribile nel punto medio delle soluzioni ossi ponendo t = x + b. Nel nostro cso con t = x + il polinomio x + x + 3 divent t + e dunque 4x 4t 5 x + x + 3 dx = t + dt = 4 t t + dt 5 Risolvimo il primo integrle ( ) t t + dt = t t + d = t + d(t + ) = log(t + ) + c. t + dt L ssenz del termine di primo grdo nel polinomio l denomintore ci permette di determinre subito il secondo integrle t + dt = ( ) t rctn + c. Quindi, riunendo i risultti e tornndo ll vribile x 4x x + x + 3 dx = log(x + x + 3) 5 ( ) x + rctn + c Se il polinomio l denomintore Q(x) h grdo mggiore di llor bisogn determinrne un fttorizzzione complet (rele) ossi scriverlo come prodotto di fttori di primo grdo e fttori di secondo grdo irriducibili (con < ) e quindi si costruisce l decomposizione dell funzione rzionle P(x)/Q(x) come combinzioni lineri di frzioni più semplici: () d ogni fttore (x x ) n si ssocino le n frzioni semplici x x, (x x ),, (x x ) ; n () d ogni fttore irriducibile (x + bx + c) m si ssocino le m frzioni semplici x x + bx + c, x (x + bx + c),, x (x + bx + c) m, x + bx + c, (x + bx + c),, (x + bx + c) m.
9 Roberto Turso - Anlisi Esempio 3.5 Clcolimo l integrle x x 4 + x dx. L fttorizzzione complet del polinomio l denomintore è x 4 + x = x (x + ) Al fttore x si ssocino le frzioni semplici x e x mentre l fttore irriducibile x + si ssocino le frzioni semplici Quindi l decomposizione è x x + e x +. x x (x + ) = A x + B x + Cx x + + D x + dove A, B, C e D sono costnti d determinre. Svolgimo i clcoli e dunque x x (x + ) = (A + C)x3 + (B + D)x + Ax + B x (x + ) A + C = B + D = A = B = d cui ricvimo che A =, B =, C = e D =. Quindi ( x x (x + ) dx = x x x x + + ) dx x + = log x + x log(x + ) + rctnx + c = log x x + + x + rctnx + c 4. L integrle definito Or che bbimo un po di prtic con l ricerc delle primitive clcolimo qulche integrle definito ricordndo il teorem fondmentle.
Clcolo Integrle 9 Esempio 4. Clcolimo l integrle definito x + x dx. Prim determinimo un primitiv dell funzione d integrre ( ) x + x dx = x + x d = + x d( + x ) = log( + x ) + c. Quindi vlutimo x + x dx = [ log( + x ) ] = log. Esempio 4. Clcolimo l integrle definito e /e log x x dx. In questo cso il clcolo procede integrndo prim /x e log x e /e x dx = log xd(log x) = [ log x ] e /e = ( ) =. /e L presenz degli estremi di integrzione permette di individure un ltr interessnte proprietà: l intervllo di integrzione può essere suddiviso. Additività rispetto ll intervllo di integrzione Se f è integrbile in [, b] e c b llor b f(x) dx = c f(x) dx + b c f(x) dx. Si noti inoltre che se si invertono gli estremi di integrzione llor l integrle cmbi di segno b f(x) dx = b f(x) dx.
9 Roberto Turso - Anlisi Esempio 4.3 Clcolimo l integrle definito 3 x dx. Conviene decomporre l intervllo di integrzione inserendo un punto di suddivisione in dove l funzione x cmbi segno. In questo modo possimo sbrzzrci del vlore ssoluto: 3 3 ] [ ] x dx = ( x ) dx + (x ) dx = [x x3 x 3 3 + 3 3 x = 3. Esempio 4.4 Clcolimo l integrle definito Prim pplichimo l linerità: (x + ) rctnxdx = (x + ) rctnxdx. x rctn xdx + rctnxdx. Or osservimo che l funzione rctnx è dispri (f( x) = f(x)) e quindi il suo integrle sull intervllo simmetrico rispetto ll origine [, ] vle zero: rctn xdx =. Inoltre, l funzione x rctnx è pri (f( x) = f(x)) e quindi il suo integrle sull intervllo simmetrico [, ] vle il doppio di quello su [, ]: x rctn xdx = Allor l integrle d clcolre divent (x + ) rctnxdx = 4 Proseguimo il clcolo integrndo per prti ( ) x 4 x rctnxdx = 4 rctn xd [ ] x = 4 rctnx 4 = π x rctn xdx. x x rctn xdx. x + x dx = π = π [ x rctn x ] = π. d (rctnx) ( ) + x dx
Clcolo Integrle 93 5. L integrle improprio Nell sezione precedente bbimo visto qulche clcolo di integrle definito. Le funzioni d integrre erno continue su tutto l intervllo limitto [, b]. Or provimo d mplire l definizione di integrle nche l cso in cui l funzione si continu solo su [, b): b f(x) dx = lim t b t Se l intervllo non è limitto ossi b = + si pone + f(x) dx = lim t + t f(x) dx. f(x) dx. Se il limite esiste finito llor l integrle improprio si dice convergente e l funzione si dice integrbile su [, b). Il cso in cui l funzione si continu solo su (, b] è ssolutmente nlogo: b f(x) dx = lim t + Esempio 5. Considerimo l funzione b t f(x) dx. f(x) = x per x R \ {}. Sppimo già che dx = log x + c. x Allor l integrle improprio su [, + ) vle + Inoltre l integrle improprio su (, ) vle dx = [log x ]+ = +. x x dx = [ log x ] + = +. In entrmbi i csi gli integrli impropri non sono convergenti. Esempio 5. Considerimo l funzione f(x) = x α per x R \ {}
94 Roberto Turso - Anlisi con α > e diverso d. Abbimo visto che x α dx = xα α + c. Allor l integrle improprio su [, + ) vle + [ x α x dx = α α ] + = { α se α > + se α < Quindi l integrle su (, + ) è convergente se e solo se α >. Inoltre l integrle improprio su (, ) vle [ ] x α { x dx = se α < α α α + se α > + = Quindi l integrle su (, ) è convergente se e solo se α <. f(x) = x α Esempio 5.3 Clcolimo l integrle + per β R. x(log x) β Allor x(log x) dx = β L integrle improprio su (e, + ) vle + e e d(log x) = (log x) β x(log x) β dx = Quindi l integrle è convergente se e solo se β >. (log x) β + c se β β log log x + c se β = { β se β > + se β
Clcolo Integrle 95 Esempio 5.4 Clcolimo l integrle /e dx per β R. x log x β Se cmbimo vribile ponendo y = /x possimo ricondurre questo integrle improprio l precedente: e + y log /y β ( dy ) + = y e Quindi l integrle è convergente se e solo se β >. Esempio 5.5 Clcolimo l integrle improprio + e 3 x (log x 4) dx { y(log y) dy = se β > β β + se β L funzione dt è continu in [e 3, + ). Per clcolre il vlore dell integrle improprio dobbimo prim determinre un primitiv. Per x > x (log x 4) dx = log d(log x) = x 4 t 4 dt. dopo ver posto t = log x. Decomponimo l funzione rzionle t 4 = (t + )(t ) = 4 t 4 Or possimo completre il clcolo dell primitiv x (log x 4) dx = 4 t dt 4 t +. t + dt = 4 log t log t + + c 4 = 4 log log x log x + + c. Or bst vlutre l primitiv gli estremi di integrzione [ ] 4 log log x + log x + = 4 log 3 3 + = log 5 4. e 3 6. Criteri di convergenz per integrli impropri In molti csi è possibile dire se un integrle improprio converge o meno senz ffrontre il problem dell fticos determinzione di un primitiv. Esistono inftti dei criteri di convergenz del tutto simili quelli già studiti per le serie (nche gli integrli sono delle somme infinite ).
96 Roberto Turso - Anlisi Criterio del confronto Sino f e g due funzioni continue tli che Allor () Se () Se b b f(x) g(x) per x [, b). g(x) dx converge llor nche f(x) dx = + llor nche Esempio 6. Provimo che l integrle improprio + e x dx b b f(x) dx converge. g(x) dx = +. è convergente. In questo cso l determinzione di un primitiv dell funzione positiv e x srebbe ddirittur proibitiv (si dimostr inftti che esiste un primitiv, m che quest non è esprimibile come composizione di funzioni elementri!). Il ftto che l funzione tend zero molto velocemente per x + ci suggerisce però di pplicre il punto () del criterio del confronto. Si trtt llor di individure un funzione che mggiori quell dt e il cui integrle improprio si convergente. L funzione e x h proprio quest proprietà: e x e x per x e + e x dx = [ e x] + = e. Quindi l integrle dto è convergente e + e x dx + e x dx = e Esempio 6. Il criterio del confronto può essere nche utile per determinre se un cert serie converge o meno. Ad esempio vedimo come con quest tecnic possimo provre che l serie + /n diverge. Dto che l funzione /x è decrescente per x > bbimo che n x per x [n, n + ]
Clcolo Integrle 97 e quindi integrndo su questo intervllo ottenimo che n+ n = n+ n n dx n x dx. Infine sommimo fcendo vrire l indice n d infinito n= + n n= n+ n + x dx = dx = +. x Criterio del confronto sintotico Sino f e g due funzioni continue positive [, b) tli che f(x) lim x b g(x) = L. Se < L < + ossi f Lg per x b. Allor b f(x) dx converge se e solo se b g(x) dx converge. Per l ppliczione del criterio del confronto sintotico bbimo bisogno di un repertorio di integrli impropri di cui conoscimo le proprietà di convergenz. Qui rissumimo i risultti di cui vremo bisogno e che in prte sono già stti dimostrti negli esempi precedenti. () Se < b llor Integrli impropri principli b { converge se α < (x ) = α + se α () Se > llor + { converge se α > oppure se α = e β > x α (log x) = β + se α < oppure se α = e β (3) Se < b < llor b x α log x β = { converge se α < oppure se α = e β > + se α > oppure se α = e β
98 Roberto Turso - Anlisi Esempio 6.3 Determinimo per quli vlori di R l funzione ( ) e x 5 e x + x (log( + x)) è integrbile sull intervllo (, + ). L funzione dt è continu sull intervllo (, + ) e quindi dobbimo fre un nlisi sintotic si per x + che per x +. Comincimo con x + ( e x e x + ) 5 ( x ) 5 x (log( + x)) x (x) 5 x + 5 = 5 x 3. Dunque l funzione è integrbile vicino + se α = 3 < ossi se < 4. Vedimo cos succede per x + ( ) e x 5 e x + x (log( + x)) x (log x). Dunque l funzione è integrbile verso + se α = (l esponente del logritmo è > ). Unendo le due condizioni bbimo che < 4. Esempio 6.4 Determinimo per quli vlori di R l funzione cos x 3 x (sin x) è integrbile sull intervllo (, π). Per determinre l convergenz bst fre un nlisi sintotic gli estremi dell intervllo di integrzione. Per x + cos x 3 x (sin x) x / x /3 x x +/3 = x 5/3. Dunque l funzione è integrbile vicino + se α = 5/3 < ossi se < 8/3. Invece, per x π cosx 3 x (sin x) = cos x 3 x (sin(π x)) 3 π (π x). Dunque l funzione è integrbile vicino π se α = <. Unendo le due condizioni bbimo che <.
Clcolo Integrle 99 Concludimo con un cenno l problem dell integrbilità impropri per un funzione di segno non costnte. In questo cso inftti i criteri precedenti non sono pplicbili. Vle però il seguente risultto (nlogo quello per le serie). Criterio dell convergenz ssolut Se b f(x) dx converge llor nche b f(x) dx converge. Esempio 6.5 Provimo che l integrle improprio converge. Per x > + sin x x dx sin x x, x inoltre /x è integrbile in [, + ) e quindi per il criterio del confronto nche l funzione (positiv) sin x/x è integrbile in [, + ). Quindi l integrle improprio converge per il criterio dell convergenz ssolut. Si osservi che nche l integrle improprio + sin x x dx converge, nche se il rgionmento precedente non è pplicbile perchè l funzione /x non è integrbile in [, + ). f(x) = sin x x L convergenz si può invece spiegre osservndo il grfico dell funzione: si trtt di oscillzioni modulte dlle funzioni ±/x. L integrle improprio d clcolre è l serie i cui termini corrispondono lle ree delle singole gobbe. Tli ree hnno segno lterno (perché stnno lterntivmente sopr e sotto l sse x) e decrescono in vlore ssoluto zero (quest ffermzione ndrebbe dimostrt!). Quindi l serie (e nche l integrle) converge per il criterio di Leibniz.
Roberto Turso - Anlisi Esercizi. Clcolre l integrle indefinito x + x dx.. Clcolre l integrle indefinito (log x) dx. 3. Si F l primitiv di f(x) = e x tle che F() = e. Determinre F( ). 4. Clcolre l integrle indefinito sin(3x) e x dx. 5. Clcolre l integrle indefinito 6. Clcolre l integrle indefinito 7. Clcolre l integrle indefinito x cos xe x dx. x 8 log xdx. + log x dx. x 8. Clcolre l integrle indefinito rctn xdx. 9. Clcolre l integrle indefinito x + 4x + 5 dx. x. Clcolre l integrle definito x (x + ) dx.
Clcolo Integrle. Clcolre l integrle definito. Clcolre l integrle definito x + x (x + )(x + )(x + 3) dx. x x + 5 ( + x ) dx. 3. Clcolre l integrle definito e x(3 + log x) dx. 4. Clcolre l integrle definito 5. Clcolre l integrle definito 6. Clcolre l integrle definito 7. Clcolre l integrle definito 8. Si Clcolre l integrle definito 9. Clcolre l integrle definito 3/ π 4 π x 3 x dx. sin xdx. tn(x/) + x dx. x 8 3 sin x + cos x dx. x x per x f(x) = x per x = f(x) dx. rcsin xdx.
Roberto Turso - Anlisi. Clcolre l integrle definito 6 x + 3 x + dx.. Clcolre l integrle definito /4. Clcolre l integrle definito π 3. Clcolre l integrle definito π e 4. Clcolre l integrle definito e 4 5. Clcolre l integrle definito 6. Clcolre il limite 7. Clcolre il limite 8. Clcolre il limite 6 /4 π x (cos(πx)) dx. cos(3x) cos(4x) dx. min(x, /x) log xdx. mx(log x, log(/x)) dx. min(3 x 3, ) dx. t lim rcsin(3x) dx. t t 4 t lim sin (x) dx. t t 3 t lim t + t 5e t e t 9. Clcolre l vrire di α > il limite e t log x dx. lim t + t α 3. Clcolre l integrle improprio 3t t e x + e x sin(x 3 ) dx. log xdx.
Clcolo Integrle 3 3. Clcolre l integrle improprio cos( π dx. x) 3. Clcolre l integrle improprio + x(log x) dx. 3 33. Determinre per quli vlori di R l funzione e (sin x) x 3 (x + 5) 4 è integrbile sull intervllo (, ). 34. Determinre per quli vlori di R l funzione e x x x 4 è integrbile sull intervllo (, + ). 35. Determinre per quli vlori di R l funzione x log(ex ) è integrbile sull intervllo (, + ). 36. Determinre per quli vlori di R l funzione (x ) log x 3 x è integrbile sull intervllo (, 3). 37. Determinre per quli vlori di > l funzione 4 + x log(3e x + ) log 5 è integrbile sull intervllo (, + ). 38. Determinre per quli vlori di R l funzione e /(+x ) 3 x log x è integrbile sull intervllo (, + ). 39. Determinre per quli vlori di > l funzione log( + x ) (log( + x)) x sin x (π x) /
4 Roberto Turso - Anlisi è integrbile sull intervllo (, π). 4. Clcolre l integrle improprio + x (3 + (log x) ) dx. 4. Clcolre l integrle improprio + dx. x + ( x) 3 4. Determinre per quli vlori di R l funzione è integrbile sull intervllo (, + ). 43. Se + qunto vle (log x) 3 (x ) (log( + x x )) 5 + e x dx = π e x +x dx?
Clcolo Integrle 5 Soluzioni. Clcolre l integrle indefinito x + x dx. R. Procedimo effettundo il cmbio di vribile t = x ossi x = t e dx = t dt. Quindi dx = x + x t dt = t + t dt = log + t + c + t Se tornimo ll vribile x ottenimo dx = log( + x) + c. x + x. Clcolre l integrle indefinito (log x) dx. R. Integrimo per prti (log x) dx = = x(log x) xd((log x) ) = x(log x) x log x dx x = x(log x) log xdx. Ricordndo che un primitiv di log x è x log x x si h che (log x) dx = x(log x) (x log x x) + c = x((log x) log x + ) + c. 3. Si F l primitiv di tle che F() = e. Determinre F( ). f(x) = e x
6 Roberto Turso - Anlisi R. Per x bbimo che e x dx = e x dx = e x + c, mentre per x e x dx = e x dx = e x + c, Le primitive di e x per x R sono funzioni continue e dunque devono coincidere nel punto di rccordo x =. Questo ccde se + c = + c ossi se c = + c. Quindi { e e x dx = x + c per x e x + + c per x <. L primitiv F tle che F() = e + c = e si ottiene per c =, dunque F( ) = e ( ) + + c = e +. 4. Clcolre l integrle indefinito sin(3x) e x dx. R. Spostimo il fttore e x nel differenzile e integrimo per prti per due volte ( ) e sin(3x) e x x dx = sin(3x) d = sin(3x) ex e x d(sin(3x)) = sin(3x)ex 3 e x cos(3x) dx = sin(3x)ex 3 ( ) e x cos(3x) d = sin(3x)ex 3 4 cos(3x)ex + 3 e x d(cos(3x)) 4 = sin(3x)ex 3 4 cos(3x)ex 9 sin(3x)e x dx. 4 Or che l integrle rimsto coincide con quello inizile conviene gire lgebricmente spostndo gli integrli tutti sinistr e ggiungendo l costnte rbitrri destr: ( + 9 ) sin(3x) e x dx = 4 sin(3x)ex 3 4 cos(3x)ex + c, e quindi sin(3x) e x dx = 3 ex ( sin(3x) 3 cos(3x)) + c. Si noti che l divisione di c per 3/4 è comunque un costnte rbitrri che indichimo ncor con l letter c.
Clcolo Integrle 7 5. Clcolre l integrle indefinito x cosxe x dx. R. Spostimo il fttore e x nel differenzile e integrimo per prti x cosxe x dx = x cosx d(e x ) = x cosxe x e x (cosx x sin x) dx = x cosxe x cosxe x dx + x sin xe x dx. Or clcolimo seprtmente l ultimo integrle x sin xe x dx = x sin x d(e x ) = x sin xe x e x (sin x + x cosx) dx = x sin xe x sin xe x dx x cosxe x dx. Quindi rissumendo: x cos xe x dx = [ x(cosx + sin x) e x sin xe x dx ] cos xe x dx. I due integrli rimsti si possono determinre con l stess tecnic: cosxe x dx = (sin x + cosx) ex + c sin xe x dx = (sin x cos x) ex + c. Or possimo finlmente scrivere l integrle cercto x cosxe x dx = [x(cosx + sin x) ex sin xe x ] + c. 6. Clcolre l integrle indefinito x 8 log xdx. R. Procedimo per prti integrndo prim il fttore x ( ) x x 8 9 log xdx = log xd = x9 x 9 9 9 log x d(log x) 9 = x9 9 log x x 9 x9 dx = 9 x 9 log x x 8 dx 9 = x9 9 log x x9 8 + c.
8 Roberto Turso - Anlisi 7. Clcolre l integrle indefinito + log x dx. x R. Integrndo prim il fttore /x ottenimo + log x dx = + log xd(log x) x = ( + log x) d( + log x) = 3 ( + log x)3/ + c. 8. Clcolre l integrle indefinito rctn xdx. R. Procedimo per prti rctn xdx = x rctnx Or risolvimo prte l integrle rimsto ( ) x + x dx = x + x d = xd(rctnx) = x rctn x x + x dx. + x d( + x ) = log( + x ) + c. Quindi rctn xdx = x rctnx log( + x ) + c. 9. Clcolre l integrle indefinito x + 4x + 5 dx. x R. Possimo intnto fre l divisione (i polinomi hnno lo stesso grdo) x + 4x + 5 x = + 4x + 6 x così x + 4x + 5 x dx = x + 4x + 6 x dx.
Clcolo Integrle 9 Or clcolimo l integrle rimsto. L fttorizzzione complet del polinomio l denomintore è x = (x + )(x ) e dunque l decomposizione è 4x + 6 x = A x + + B x dove A e B sono costnti d determinre. Svolgendo i clcoli 4x + 6 x = (A + B)x + (B A) x e si ricv fcilmente che A = e B = 5. Quindi x ( + 4x + 5 dx = x + x x + + 5 ) dx x = x log x + + 5 log x + c x 5 = x + log x + + c.. Clcolre l integrle definito x (x + ) dx. R. Il polinomio l denomintore è già fttorizzto e l decomposizione è x (x + ) = A x + B x + C x + + D (x + ) dove A, B, C e D sono costnti d determinre. Svolgimo i clcoli e dunque x (x + ) = (A + C)x3 + (A + B + C + D)x + (A + B)x + B x (x + ) A + C = A + B + C + D = A + B = B = d cui ricvimo che A =, B =, C = e D =. Quindi ( x (x + ) dx = x + x + ) x + + (x + ) dx = log x + log x + x x + + c = log x + x x x + + c.
Roberto Turso - Anlisi e l integrle definito richiesto è [ x (x + ) dx = log. Clcolre l integrle definito x + x x x + x + x (x + )(x + )(x + 3) dx. ] = log 3 4 + 3. R. Il polinomio l denomintore è già fttorizzto e l decomposizione è f(x) = x + x (x + )(x + )(x + 3) = A x + + B x + + C x + 3. Dto che l molteplicità degli zeri del denomintore è possimo determinre le costnti A, B e C nel seguente modo: Quindi A = lim t (x + ) f(x) = lim t x + x (x + )(x + 3) =, B = lim t (x + ) f(x) = lim t x + x (x + )(x + 3) =, C = lim t 3 (x + 3) f(x) = lim t 3 x + x (x + )(x + ) =. x + x (x + )(x + )(x + 3) dx =. Clcolre l integrle definito ( x + + x + + ) dx x + 3 = [ log x + + log x + + log x + 3 ] [ ] = log (x + )(x + 3) x + = log 6 log 6 =. x x + 5 ( + x ) dx. R. Il polinomio l denomintore è già fttorizzto e l decomposizione è x x + 5 ( + x ) = Ax + B + x + Cx + D ( + x )
Clcolo Integrle dove A, B, C e D sono costnti d determinre. Svolgimo i clcoli e dunque x x + 5 = Ax3 + Bx + (A + C)x + (B + D) ( + x ) ( + x ) A = B = A + C = B + D = 5 d cui ricvimo che A =, B =, C = e D = 4. Quindi x ( ) x + 5 dx = ( + x ) + x x ( + x ) + 4 dx ( + x ) = rctnx + + x + 4 ( + x ) dx. Clcolimo l integrle che rimne per prti + x ( + x ) dx = x dx ( + x ) ( ) = + x x x dx ( + x ) = rctnx + ( ) xd + x x = rctnx + ( + x ) = rctnx + x ( + x ) + c. + x dx Così x x + 5 ( + x ) dx = 3 rctnx + + x + x + c e l integrle definito richiesto è [ x x + 5 dx = 3 rctnx + + x ] ( + x ) + x 3. Clcolre l integrle definito e x(3 + log x) dx. = 3π +. 4
Roberto Turso - Anlisi R. Per x >, integrimo prim /x e poi ggiungimo 3 nel differenzile x(3 + log x) dx = d(log x) (3 + log x) = (3 + log x) d(3 + log x) = 3 + log x + c. Quindi e [ x(3 + log x) dx = 3 + log x ] e =. 4. Clcolre l integrle definito 3/ R. Effettuimo il cmbio di vribile x 3 x dx. x = sin t e dx = cos t dt. Invece di clcolre prim l primitiv e poi l integrle definito provimo trsformre direttmente l intervllo di integrzione: [ ] 3 [ t=rcsin x x, t, π ]. 3 Quindi 3/ x 3 π/3 dx = x sin 3 t cost costdt = π/3 sin 3 t dt. Or proseguimo il clcolo osservndo che sin 3 t = sin t ( cos t) π/3 sin 3 t dt = = π/3 π/3 5. Clcolre l integrle definito sin t ( cos t) dt = π/3 [ cos (cos 3 t t ) d(cost) = 3 π sin xdx. ( cos t) d( cost) ] π/3 cost = 5 4.
Clcolo Integrle 3 R. Clcolimo prim l integrle indefinito con il metodo dell integrzione per prti sin xdx = sin xd( cosx) = sin x cosx ( cosx) d(sin x) = sin x cos x + cos xdx. Per continure osservimo che cos x = sin x. Quindi ( sin xdx = sin x cosx + sin x ) dx = sin x cosx + x sin xdx. Or possimo esplicitre l integrle che stimo cercndo sin xdx = sin x cosx + x + c. Quindi π 6. Clcolre l integrle definito sin xdx = [ sin x cosx + x ] π = π. tn(x/) + x dx. x 8 R. Possimo dividere l integrle in due prti tn(x/) x 8 dx + x x 8 dx. Nel primo integrle l funzione è dispri e l intervllo è simmetrico rispetto e quindi tn(x/) x 8 dx =. Nel secondo integrle l funzione è pri e l intervllo è simmetrico rispetto e quindi x x 8 dx = x x 8 dx = x x 4 dx. Continuimo lo svolgimento del secondo integrle x ( x 4 dx = + 4 ) dx = [ x ] x 4 + 4 (x )(x + ) dx ( = + x ) [ ] dx = + log x x + x + = log 3. Dunque tn(x/) + x dx = log 3. x 8
4 Roberto Turso - Anlisi 7. Clcolre l integrle definito π 4 3 sin x + cos x dx. R. Rccogliendo cos x l denomintore, l integrle divent π 4 π 3 sin x + cos x dx = 4 Quindi integrimo il fttore / cos x 8. Si π 4 Clcolre l integrle definito 3 sin x + cos x dx = 3 3 = 3 π 4 3 tn x + cos x dx. d(tn x) tn x + 3 [ rctn( 3tn x) x x per x f(x) = x per x = f(x) dx. R. L funzione d integrre è continu in [, ] \ {}: lim f(x) = e lim f(x) = x x + ] π 4 = π 3 3. e quindi conviene dividere l intervllo di integrzione rispetto l punto di discontinuità f(x) dx = Si verific fcilmente che f(x) dx + e così l integrle d clcolre divent f(x) dx = x dx = x log + c x dx + f(x) = [ ] x log + [ ] x log = 5 log. x dx.
Clcolo Integrle 5 9. Clcolre l integrle definito R. Comincimo integrndo per prti: rcsin xdx. rcsin xdx = [x rcsin x] xd(rcsin x) == π x dx. x Or clcolimo prte l integrle che mnc x ( ) dx = x d = x x x d ( x ). Quindi ggiustimo il differenzile in modo che diventi ugule x : x dx = ( x ) d( x ) = [ ] ( x ) =. x Dunque rcsin xdx = π.. Clcolre l integrle definito 6 x + 3 x + dx. R. Qui conviene fre l sostituzione t = x così t = x, t dt = dx. Trsformndo nche l intervllo di integrzione ottenimo 6 x + 3 x + dx = 4 t t + 3t + dt. Or integrimo l funzione rzionle: l decomposizione in questo cso è t t + 3t + = t (t + )(t + ) = A t + + B t + dove A e B sono costnti d determinre. Svolgendo i clcoli t t + 3t + = (A + B)t + (A + B) t + 3t + e si ricv fcilmente che A = e B = 4. Quindi 4 t 4 ( t + 3t + dt = t + + 4 ) dt t + ] 4 (t + ) = [log = log 36 t + 5 log 4 = log 9 5.
6 Roberto Turso - Anlisi. Clcolre l integrle definito /4 /4 π x (cos(πx)) dx. R. Dopo ver osservto che l funzione d integrre è pri e l intervllo è simmetrico rispetto, integrimo per prti /4 /4 Per qunto visto e quindi π x /4 dx = 4π (cos(πx)) π/4 Quindi l integrle richiesto vle x (cos(πx)) dx = 4 = 4 [x tn(πx)] /4 4 = 4 π π/4 tnxdx. /4 tn xdx = log cosx + c /4 tn(πx) dx tnxdx = [ log cosx ] π/4 = log. /4 /4 π x log dx =. (cos(πx)) π xd(tn(πx)). Clcolre l integrle definito π π cos(3x) cos(4x) dx. R. Operimo utilizzndo il metodo dell integrzione per prti π π ( ) sin(4x) cos(3x) cos(4x) dx = cos(3x) d 4 π π = 4 [cos(3x) sin(4x)]π π 4 = 3 4 π π sin(3x) sin(4x) dx. π π sin(4x) d (cos(3x))
Clcolo Integrle 7 In modo simile Allor π π sin(3x) sin(4x) dx = π π π π ( sin(3x) d cos(4x) ) 4 = 4 [sin(3x) cos(4x)]π π + 4 = 3 4 π π cos(3x) cos(4x) dx = 9 6 ossi l integrle d determinre vle. 3. Clcolre l integrle definito R. Siccome per x (, e] l integrle divent e e min(x, /x) = min(x, /x) log xdx = Per il primo integrle si h che x log xdx = Mentre per il secondo e cos(3x) cos(4x) dx. π π min(x, /x) log xdx. π π cos(3x) cos(4x) dx { x sex (, ] /x se x (, e] ( ) [ x x log xd = log x log x x dx = e x log xdx + ] e [ (log x) log xd(log x) = Quindi l integrle richiesto vle /4 + / = /4. cos(4x) d (sin(3x)) log x x dx. x x dx = ] e =. ] [ x = 4 4.
8 Roberto Turso - Anlisi 4. Clcolre l integrle definito e 4 mx(log x, log(/x)) dx. R. Prim osservimo che log(/x) = log x. Quindi, dto che per x (, e 4 ] mx(log x, log x) = { log x se x (, ] log x se x (, e 4 ]. L integrle divent e 4 Per il primo integrle si h che mx(log x, log(/x)) dx = log xdx + e 4 log xdx Mentre per il secondo log xdx = [x log x x] =. e 4 Quindi l integrle richiesto vle + 3e 4. 5. Clcolre l integrle definito log xdx = [x log x x] e4 = 3e4 +. 6 min(3 x 3, ) dx. R. Notimo che 3 x 3 se e solo se x 3 ossi per x [, 4]. Quindi { 3 x 3 se x R \ [, 4] min(3 x 3, ) =. se x [, 4] L integrle llor si svolge nel seguente modo 6 min(3 x 3, ) dx = = = = [ x (3 x 3 ) dx + 4 (3 (3 x)) dx + 4 + xdx + 4 + ] 6 4 [ x + 4 + dx + 6 4 (6 x) dx ] 6 4 = 5. 6 4 (3 x 3 ) dx (3 (x 3)) dx
Clcolo Integrle 9 6. Clcolre il limite t lim rcsin(3x) dx. t t 4 R. Si trtt del limite di un rpporto di infinitesimi. Procedimo pplicndo il teorem di de l Hôpitl. Per clcolre l derivt del numertore utilizzimo il teorem fondmentle del clcolo integrle: se F(x) è un primitiv dell funzione rcsin(3x) llor F (x) = rcsin(3x). Dunque l derivt del numertore è d dt ( ) t rcsin(3x) dx = d ( F(t ) F() ) = F (t )(t ) = t rcsin(3t ) dt mentre l derivt del denomintore è (t 4 ) = 4t 3. Dto che rcsin t t per t che tende, bbimo che 7. Clcolre il limite t lim rcsin xdx H t rcsin(3t ) = lim t t 4 t 4t 3 t lim sin (x) dx. t t 3 t 6t 3 = lim t 4t = 3 3. R. Applichimo il teorem di de l Hôpitl. Se F(x) è un primitiv dell funzione sin (x) llor l derivt del numertore è ( ) d t sin (x) dx = d ( F(t ) F(t) ) = sin (t ) (t ) sin (t) (t) dt t dt = t sin (t ) sin (t). mentre quell del denomintore è (t 3 ) = 3t. Dto che sin t t per t che tende, bbimo che t lim sin (x) dx H t sin (t ) sin (t) 8t 5 4t = lim = lim = 4 t t 3 t t 3t t 3t 3. 8. Clcolre il limite lim t + t e t 5e t e t log x dx.
Roberto Turso - Anlisi R. Per pplicre efficcemente il teorem di de l Hôpitl conviene risistemre i termini in modo d vere l numertore solo l integrle: ( ) 5e t ( ) / e t lim t + e log x dx. t t L form indetermint è /. Se F(x) è un primitiv dell funzione / logx llor l derivt del numertore è ( ) d 5e t dt e log x dx = d ( F(5e t ) F(e t ) ) = 5et dt log(5e t t ) et log(e t ) ( ) = e t 5 t + log 5 = e t 3t + 5 log log 5 t + log (t + log 5)(t + log ) 3et t mentre quell del denomintore è ( ) d e t = et dt t t + et t et t. Quindi il limite richiesto è ugule 3. 9. Clcolre l vrire di α > il limite lim t + t α 3t t e x + e x sin(x 3 ) dx. R. Per x che tende l funzione f(x) = ex + e x sin(x 3 ) ( + x + x 4 /) + ( x + x 4 /) x 3 x. Quindi f(x) è integrbile vicino e si F(x) un su primitiv. Dto che il limite richiesto è un rpporto di infinitesimi possimo pplicre il teorem di de l Hôpitl. L derivt del numertore è d dt ( 3t t f(x) dx ) = d dt ( F(3t ) F(t ) ) =f(3t ) (3t ) f(t ) (t ) =f(3t ) 6t f(t ) t. mentre quell del denomintore è (t α ) = αt α. Dto che per t che tende f(t) t, bbimo che lim t + t α 3t t e x + e x sin(x 3 ) dx H = f(3t ) 6t f(t ) t lim t + αt α 6 = lim t + α t4 α = = lim t + 8t 3 t 3 αt α per < α < 4 4 per α = 4 + per α > 4.
Clcolo Integrle 3. Clcolre l integrle improprio log xdx. R. Come bbimo già visto log xdx = x log x x + c. Quindi log xdx = [x log x x] = lim x +(x log x x) = 3. Clcolre l integrle improprio cos( π dx. x) R. L funzione dt è continu e negtiv sull intervllo (, ]. Prim di provre clcolre un primitiv verifichimo se l funzione è integrbile sull intervllo. Possimo utilizzre il criterio del confronto sintotico perché l funzione h segno costnte nell intervllo di integrzione. Per x + cos( π x) = cos( π (x ) + π ) = sin( π (x )) π x. Quindi l integrle diverge (il segno meno è dovuto l ftto che l funzione / cos(πx/) è negtiv in un intorno di + ). 3. Clcolre l integrle improprio + x(log x) dx. 3 R. Integrimo prim il fttore /x + e e + [ x(log x) dx = d(log x) = 3 e (log x) 3 (log x) ] + e =.
Roberto Turso - Anlisi 33. Determinre per quli vlori di R l funzione è integrbile sull intervllo (, ). (sin x) x 3 (x + 5) 4 R. L funzione dt è continu sull intervllo (, ] e quindi dobbimo fre un nlisi sintotic solo per x + (sin x) x 3 (x + 5) 4 x x 3 5 4 5 4 x 3 Dunque l funzione è integrbile sull intervllo (, ) se e solo se α = 3 < ossi se >. 34. Determinre per quli vlori di R l funzione è integrbile sull intervllo (, + ). e x x x 4 R. Dto che il dominio dell funzione d integrre è (, + )\{}, i punti d indgre sono tre:, e +. Per x + e x x x x 4 x = x quindi, per l integrbilità, α = < ossi <. Per x ( e x x x ) 4 e x 4 quindi, per l integrbilità, α = 4 < ossi <. 4 Per x + e x x x 4 x x 4 x 5 quindi, per l integrbilità, α = 5 > ossi > 5. Unendo le tre condizioni bbimo che 5 < < 4. 35. Determinre per quli vlori di R l funzione x log(ex )
Clcolo Integrle 3 è integrbile sull intervllo (, + ). R. Siccome il dominio dell funzione d integrre è (, + ) \ {log }, dobbimo fre l nlisi sintotic in, log e +. Per x + bbimo x log(ex ) x / log x quindi, dto che α = / <, l condizione di l integrbilità vicino + è soddisftt per qulunque. Per x log bbimo che l infinitesimo di riferimento è (x log ) e log(e x ) = log(e x log ) log((+(x log )) ) = log(+(x log )) (x log ). Così x log(ex ) = log (x log ) log x log quindi l condizione di l integrbilità vicino log è soddisftt per α = <. Per x + bbimo x log(ex ) x / x = x +/ dunque l funzione è integrbile verso + se α = + / > ossi se > /. Quindi l condizione di integrbilità sull intervllo (, + ) è: / < <. 36. Determinre per quli vlori di R l funzione è integrbile sull intervllo (, 3). R. I punti d indgre sono due: e 3. Per x + bbimo (x ) log x 3 x = (x ) log x 3 x ((x )(x + )) log( + (x )) 3 x (x ) x = quindi, per l integrbilità, α = < ossi >. Per x 3 bbimo (x ) log x 3 x 8 log 3 (3 x) quindi è integrbile vicino 3 perché <. Così l unic condizione per l integrbilità sull intervllo (, 3) è: >. (x )
4 Roberto Turso - Anlisi 37. Determinre per quli vlori di > l funzione è integrbile sull intervllo (, + ). R. I punti d indgre sono due: e +. Per x + bbimo 4 + x log(3e x + ) log 5 4 + x 4 + log(3e x + ) log 5 = x log( + 3(e x )/5) x /4 3(e x )/5 x /4 3x /5 5 x quindi, per l integrbilità, α = < ossi >. Per x + bbimo 4 + x log(3e x + ) log 5 x/4 log(3e x ) = x /4 x + log 3 x (/4) quindi è integrbile verso + se α = (/4) > ossi < 4. Così l condizione per l integrbilità sull intervllo (, + ) è: < < 4. 38. Determinre per quli vlori di R l funzione è integrbile sull intervllo (, + ). e /(+x ) 3 x logx R. Il dominio dell funzione d integrre è (, + ) \ {} e dunque dobbimo fre l nlisi sintotic in, e +. Per x + bbimo e /(+x ) 3 x log x e x /3 log x quindi, dto che α = /3 <, l condizione di l integrbilità vicino + è soddisftt per qulunque. Per x bbimo che l infinitesimo di riferimento è (x ) e e /(+x ) 3 x log x = e /(+x ) 3 x log( + (x )) e / x quindi l condizione di l integrbilità vicino è soddisftt per α = <. Per x + l esponente /( + x ) è infinitesimo e dunque ( e /(+x) + ) + x x.
Clcolo Integrle 5 Allor e /(+x ) 3 x log x /x x /3 log x = x 7/3 log x e l funzione è integrbile verso + se α = 7/3 > ossi per qulunque. Quindi l condizione di integrbilità sull intervllo (, + ) è: <. 39. Determinre per quli vlori di > l funzione è integrbile sull intervllo (, π). log( + x ) (log( + x)) x sin x (π x) / R. Dobbimo fre l nlisi sintotic in +, π. Per x + bbimo log( + x ) (log( + x)) x sin x x 4 / + o(x 4 ) (x x / + o(x )) x (π x) / x x / π / x 3 π / x = +/ π / x 5/ quindi, l condizione di integrbilità α = 5/ < è soddisftt per < 7/. Per x π bbimo che l infinitesimo di riferimento è (π x) e log( + x ) (log( + x)) x sin log( + π ) (log( + π)) x (π x) / π (π x) /+/ quindi l condizione di integrbilità α = / + / < è soddisftt per >. Dunque l funzione dt è integrbile sull intervllo (, + ) se e solo se < < 7/. 4. Clcolre l integrle improprio + x (3 + (log x) ) dx. R. L funzione dt è continu in [, + ) e se fccimo un nlisi sintotic per x + vedimo subito che l funzione dt è integrbile: x (3 + (log x) ) x (log x). Per clcolre l integrle dobbimo prim determinre un primitiv. Per x > Quindi x (3 + (log x) ) dx = + ( ) log x d(log x) = rctn + c 3 + (log x) 3 3 x (3 + (log x) ) dx = [ ( )] + log x rctn = π 3 3 3.
6 Roberto Turso - Anlisi 4. Clcolre l integrle improprio + dx. x + ( x) 3 R. L funzione dt è continu e positiv in (, + ). Inoltre su questo intervllo è integrbile per il criterio del confronto sintotico: per x +, x + ( x) 3 per x + x x + ( x) 3 Per il clcolo del vlore dell integrle improprio determinimo un primitiv: ponimo t = x, così t = x, t dt = dx e dx = t x + ( x) 3 t + t dt = 3 + t dt = rctn(t) + c = rctn( x) + c. Or vlutimo l primitiv gli estremi di integrzione + x 3 x + ( x) 3 dx = [ rctn( x) ] + = π. 4. Determinre per quli vlori di R l funzione è integrbile sull intervllo (, + ). (log x) 3 (x ) (log( + x x )) 5 R. L funzione dt è continu e positiv in (, + ). e dunque i punti d esminre sono + e +. Per x + (log x) 3 (x ) (log( + x x )) 5 (x ) 3 (x ) (log ) = 5 (log ) 5 (x ) 3 e quindi l integrle converge vicino + se 3 < ossi se < 4. Per x + (log x) 3 (log x)3 (x ) (log( + x x 5 )) x (log(x x )) 5 = x +5 (log x) e quindi l integrle converge verso + se + 5 ossi se 4. Così l condizione di integrbilità cerct è [ 4, 4)..
Clcolo Integrle 7 43. Se + π e x dx = qunto vle R. Dto che l funzione e x è pri + + e x +x dx? e x dx = π = π. Inoltre x + x = (x ) + e quindi ponendo t = x ottenimo + e x +x dx = + e t + dt = e + e t dt = e π.