Cpitolo 5 Le omotetie 5. Richimi di teori Definizione Sino fissti un punto C del pino ed un numero rele. Si chim omoteti di centro C e rpporto ( che si indic con il simolo O, ) l corrispondenz dl pino in sé, che d ogni punto P del pino f corrispondere il punto P in modo tle che: CP 5. CP. Figur Il centro C dellomoteti è un punto unito di quest corrispondenz. Tlvolt unomoteti si indic nche semplicemente con il simolo.
Si noti che, se, llor lomoteti "ingrndisce" le figure. Se, invece,, llor lomoteti "rende più piccole" le figure. Figur Per = - lomoteti è un simmetri centrle di centro C (vedere il cpitolo ). Invece, se =, i punti P e P coincidono, dunque lomoteti è l trsformzione identic. Se =, llor lomoteti è un trsformzione costnte; inftti d ogni punto P del pino ess f corrispondere il punto C. Come nel cso delle isometrie, per studire le proprietà delle omotetie, può essere conveniente riferire il pino d un sistem di coordinte crtesine ortogonli O; in tl modo, dt unomoteti C,, possimo trovre le equzioni che permettono di ottenere le coordinte del punto C, (P) = P = (, ) trmite le coordinte del punto P = (, ). Supponimo che il centro C dellomoteti C, i coordinte: C = (, ); dto il punto P = (, ), si C, (P) = P = (, ) il suo corrispondente. Dll formul.6 del cpitolo si h: CP i j e CP i j. Poiché deve essere CP CP, dlluguglinz precedente si ottiene:
; j i j i uguglindo le componenti, si h:, d cui si ottengono le equzioni dellomoteti di centro C = (, ) e rpporto : 5. l cui mtrice ssocit è. Si noti che, nel cso in cui =, le equzioni 5. ssumono l form seguente: ; dunque, in tl cso, lomoteti, come er già stto osservto, ssoci d ogni punto del pino il centro C = (, ). Se il centro dellomoteti è lorigine O degli ssi crtesini, llor le equzioni 5. diventno: 5., che rppresentno le equzioni di unomoteti con il centro nellorigine. Se, si può dimostrre che lomoteti è un corrispondenz iunivoc dl pino in sé.
Poiché unomoteti con è un corrispondenz iunivoc, llor esiste lomoteti invers C, ; le sue equzioni sono: 5.4. Perciò linvers di unomoteti di centro C = (, ) e rpporto è unomoteti che h lo stesso centro e rpporto. Si può rrivre questo risultto nche considerndo l invers dell mtrice che è proprio. Definizione Due figure che si corrispondono in un omoteti sono chimte figure omotetiche. Si h il seguente risultto: l corrispondente r di un rett r del pino per mezzo di unomoteti di costnte è un rett prllel ll rett r.
Figur Il prossimo risultto rigurd invece i trsformti dei segmenti per mezzo di unomoteti: il trsformto di un segmento AB per mezzo di unomoteti di rpporto è un segmento AB prllelo l segmento AB, l cui misur è AB. Dl risultto precedente si h dunque che in unomoteti di rpporto è costnte il rpporto delle misure di due segmenti non nulli corrispondenti, cioè: A B AB 5.5. Ne consegue che il rpporto di due poligoni che si corrispondono in unomoteti di rpporto è. Si dimostr che il rpporto delle ree di due poligoni che si corrispondono in unomoteti di rpporto è. Unomoteti con il rpporto diverso d trsform un circonferenz in un circonferenz.
Si h inoltre che unomoteti trsform un semirett in un semirett ; nturlmente llorigine A dell semirett corrisponde lorigine A dell semirett. Figur 4 Si h inoltre che unomoteti trsform ngoli congruenti in ngoli congruenti. Si dice nche che unomoteti conserv le mpiezze degli ngoli. Dl ftto che unomoteti conserv le mpiezze degli ngoli e che il rpporto di due segmenti corrispondenti è costnte, segue che ess trsform, d esempio, rettngoli in rettngoli, romi in romi, qudrti in qudrti, tringoli isosceli in tringoli isosceli, trpezi in trpezi. Si è visto che il centro di unomoteti è un punto unito; è nturle chiedersi se unomoteti h ltri punti uniti. L rispost è negtiv per le omotetie con rpporto diverso d, cioè lunico punto unito di unomoteti con rpporto è il suo centro. Ponendo nelle equzioni 5. - = m e - = n, si ottiene che le equzioni 5. di unomoteti possono essere scritte nell form più semplice:
5.6 m n l cui mtrice ssocit è m n. Notimo che per = le equzioni 5.6 rppresentno le equzioni di un trslzione (vedere le equzioni. del cpitolo ). Si chim diltzione un trsformzione dl pino in sé che è unomoteti oppure un trslzione. Perciò le 5.6 rppresentno le equzioni di un generic diltzione. Il centro C di unomoteti di equzioni 5.6 e divers d un trslzione è: m n 5.7 C,. Oltre i punti uniti, unomoteti può vere nche delle rette unite; è opportuno ricordre che un rett si dice unit se l sue corrispondente è l rett stess. E nturle chiedersi d qunte condizioni è determint unomoteti. Si h che unomoteti (con il rpporto ) è determint se si conoscono il rpporto ed il corrispondente di un punto, oppure se si conoscono il centro ed il corrispondente di un punto, oppure se si conoscono i corrispondenti di due punti. Per qunto rigurd l composizione di omotetie, si h che l composizione di due omotetie di centro qulunque è sempre unomoteti. 5. Esercizi svolti. Determinre il corrispondente del punto A = (, ) nell omoteti di centro C = (, -) e rpporto. Le equzioni dellomoteti sono.
Si h: A, A,7.. Determinre il corrispondente del tringolo di vertici A = (, ), B = (, ), C = (, 4) nellomoteti di centro lorigine e rpporto. Dll formul 5. si h che le equzioni dellomoteti sono:. Tenendo conto di queste equzioni, si ottiene: A, A,, B, B,, C,4 C,. Quindi il tringolo ABC viene trsformto nel tringolo di vertici:,, C,. A B,,. Determinre, se esiste, unomoteti di centro C = (-, ) e rpporto tle che i punti A = (, ) e A = (, ) sino corrispondenti. Non esiste lcun omoteti che soddisf il prolem, poiché, se esistesse, i punti corrispondenti e il centro dovreero risultre llineti, mentre C, A ed A non lo sono. Inftti lequzione dell rett che unisce i punti A e A è: = +, e tle equzione non è soddisftt dlle coordinte del punto C.
4. Dt l rett r di equzione = +, determinre lequzione dell rett d ess corrispondente nell omoteti di centro lorigine e rpporto. Le equzioni dell omoteti dt sono:, d cui si h:. All rett r corrisponde l rett di equzione:, ovvero = + 9. Si noti che le due rette r e r hnno lo stesso coefficiente ngolre, perciò sono prllele, come dltr prte è noto dlle proprietà delle omotetie. 5. Dimostrre nliticmente che l corrispondente r di un rett r per mezzo di unomoteti di costnte è un rett prllel ll rett r. Dt unomoteti, possimo considerre un sistem di riferimento crtesino O con lorigine O coincidente con il centro dellomoteti. Perciò le equzioni dellomoteti sono le 5.. D queste equzioni possimo ricvre le equzioni dellomoteti invers: 5.9.
Si dt un generic rett r del pino di equzione + + c = ; sostituendo l posto di ed i vlori dti dlle equzioni 5.9, si ottiene lequzione dell rett corrispondente r: c, d cui si h: 5. + + c =. Le rette r ed r hnno gli stessi coefficienti delle incognite, perciò esse sono prllele. 6. Determinre, se esiste, lomoteti di centro lorigine che f corrispondere l tringolo di vertici A = (-, ), B = (, ), C = (, ) il tringolo di vertici A,, B,, C,. Considerimo le equzioni 5. di generic omoteti di centro lorigine. Ai vertici A, B, C devono corrispondere rispettivmente i vertici A, B, C; pertnto considerndo, d esempio, lsciss di A si h:. Per tle vlore di, tuttvi, si ottiene un omoteti nell qule non si corrispondono i punti C e C. D ciò segue che non esiste unomoteti che soddisf le condizioni del prolem.
7. Indicre quli delle seguenti coppie di equzioni rppresentno unomoteti di centro lorigine: ), 5 ), c), d), 4 4 e), 5 5 f), g). Le c) e le e) rppresentno unomoteti di centro lorigine e rpporto rispettivmente e 5 ; le equzioni f) rppresentno unomoteti di rpporto. L g) rppresent unomoteti, m non di centro lorigine. Le ltre coppie di equzioni non rppresentno delle omotetie. 8. Dimostrre che l composizione di due omotetie è ncor unomoteti. Usndo le mtrici ssocite lle due omotetie, si ottiene: n m n m = n n m m. Dunque l composizione di due omotetie è ncor unomoteti. 9. Verificre che lunico punto unito di unomoteti di centro C e rpporto e è il suo centro.
Se P = (, ) è un punto unito, si h che il suo corrispondente è il punto P stesso; perciò, sostituendo nelle equzioni 5. dellomoteti ed l posto di e rispettivmente, si ottiene il seguente sistem:, che h per soluzione il punto (, ), cioè il centro C dellomoteti. Dunque il centro è lunico punto unito.. Determinre il centro dellomoteti di rpporto che f corrispondere l punto A = (-, ) il punto A = (, ). Dll formul 5. si ottiene che l generic omoteti di rpporto e centro C = (, ) h equzioni:. Per mezzo di tle omoteti l punto A = (-, ) corrisponde il punto A = (- -, 6 - ). pertnto le coordinte del centro C = (, ) si trovno risolvendo lequzione: (- -, 6 - ) = (, ), che è equivlente l sistem:, d cui si h:. Dunque si ottiene: C = (-, ).
. Determinre il centro dellomoteti che f corrispondere i punti A = (, ) e B = (, ) i punti A = (, ) e B = (, ). Ricordndo l definizione di omoteti si h che il suo centro C pprtiene si ll rett AA che ll rett BB; pertnto le coordinte del centro sono dte dll soluzione del sistem formto dlle equzioni delle suddette rette:, d cui si h:. Perciò si h: C,.. Determinre il tringolo ABD corrispondente del tringolo di vertici A = (, ), B = (, ), D = (, ) nellomoteti di centro C = (, ) e rpporto -. Verificre che si h: re(abd) = re(abd). Lomoteti h equzioni 4 e quindi si ottiene: A B D, A,,, B 4,6,, D,6.
Ricordndo l formul dellre di un tringolo (vedere nche lesercizio del cpitolo ), si ottiene: re(abd) =8, re(abd) =, d cui si h: re(abd) = re(abd).. Dimostrre per vi nlitic che unomoteti di rpporto diverso d trsform un circonferenz in un circonferenz. Senz perdere in generlità, possimo considerre un sistem di riferimento crtesino O con lorigine O coincidente con il centro dellomoteti. Dunque le equzioni dellomoteti sono le 5.. Un circonferenz con centro nel punto P e rggio r h equzione:,. r Sostituendo in quest equzione l posto di,, le espressioni ottenute per mezzo delle equzioni 5., si h lequzione dell curv corrispondente : r, d cui si ottiene:. r Dunque l corrispondente dell circonferenz è l circonferenz di centro P e rggio r. Notimo che P è proprio il corrispondente del punto P per mezzo dellomoteti.,
5. Esercizi proposti. Unomoteti di centro lorigine e rpporto trsform un punto A in un punto A in modo tle che OA OA. Qule è il vlore di? R... Si unomoteti di centro O = (, ) e rpporto e unomoteti vente lo stesso centro e rpporto. Dimostrre che o e o sono ncor omotetie e determinre i rpporti. R. In entrmi i csi il rpporto è.. Determinre lequzione dell circonferenz corrispondente ll circonferenz di equzione 6 per mezzo dellomoteti di centro lorigine e rpporto e vlutre il rpporto dei loro rggi. r r R. 9,. 4. Dt lomoteti di equzioni: 5 determinre le coordinte del suo centro. R. (, -5). 5. Determinre lequzione dell prol pssnte per il punto A = (, ) e corrispondente nellomoteti di centro O = (, ) ll prol di equzione. R.. 6. Unomoteti trsform il tringolo T di vertici A = (, ), B = (-, ), D = (-, ) nel tringolo T di vertici A = (, ), B = (, ), D = (, ). Determinre le equzioni dellomoteti. R. 5.
7. Determinre il rpporto dellomoteti di centro C = (-, -) che trsform A = (, ) in A = (, 4). R. = 4. 8. Lomoteti di centro C = (, ) e rpporto trsform i punti A = (, ) e B = (-, ) rispettivmente nei punti 8 5 A, e, B. Verificre che l punto medio M del segmento AB corrisponde il punto medio M del segmento AB. 9. Determinre, se esiste, lomoteti che f corrispondere l rettngolo di vertici A = (, ), B 9 = (, ), D = (, ) e E = (, ) il rettngolo di vertici A = (5, -), B = (, 4), D, 7 e E,. R. Non esiste.. Determinre le equzioni dellomoteti di centro lorigine che f corrispondere l qudrto di perimetro situto nel primo qudrnte, il qudrto di perimetro 6 situto nel terzo qudrnte. R..