Appendice A Alcuni modelli per l ingegneri gestionle A.1 Il modello rgntel Un clssico modello dinmico dell interzione tr domnd e offert è descitto d un equzione lle differenze del primo ordine. Il funzionmento del modello può inoltre essere descritto grficmente medinte le curve di domnd e di offert. Il digrmm risultnte d quest nlisi ricord un rgntel e d questo ftto deriv il nome del modello. Il modello consider un solo bene o servizio, per esempio il grno. L richiest d di questo bene dipende dl suo prezzo p trmite un funzione d(p). Siccome l quntità del bene che i consumtori comprno decresce l crescere del prezzo, llor l funzione d(p) è un funzione monoton decrescente. Assumeremo per semplicità che tle funzione si linere d(p) = D p dove D e sono costnti positive. Anche l quntità q di bene messo disposizione di produttori dipende dl prezzo p trmite un funzione q(p). Generlmente, q(p) è un funzione crescente (se il prezzo di vendit del grno cresce, i contdini tendernno pintre e produrre più grno). Anche in questo cso, per semplicità, ssumeremo che l funzione q(p) si linere q(p) = Q + bp dove b è un costnte positiv. All equilibrio l domnd deve uguglire l offert per cui il prezzo p e nell situzione di equilibrio srà tle che D p e = Q + bp e I
II APPENDICE A. MODELLISTICA e cioè p e = D Q (A.1) + b Tle prezzo viene però rggiunto solo dopo un serie di ggiustmenti tr consumtori e produttori e nel seguito si studierà proprio l dinmic di tli ggiustmenti. I produttori bsno l loro produzione durnte il periodo k sul prezzo p(k) del bene in tle periodo. Il bene però, cus di un ritrdo dovuto i tempi di produzione (l crescit del grno d esempio), è disponibile i consumtori solo il periodo seguente, cioè il k+1-esimo. Durnte tle periodo, il prezzo del bene srà determinto dll funzione di domnd e il prezzo si stbilizzerà d un vlore tle che tutto il bene prodotto si venduto e l domnd si completmente soddisftt. Questo nuovo prezzo p(k + 1) viene quindi considerto di produttori che devono decidere qunto bene produrre nel periodo corrente, cioè il k + 1-esimo, ed il ciclo ricominci. L equzione q(k + 1) = Q + bp(k) rppresent il ftto che il bene disponibile durnte il periodo k + 1 è determinto dl prezzo p(k) del bene nel periodo precedente ttrverso l funzione di offert. L equzione d(k + 1) = D p(k + 1) rppresent il ftto che l domnd durnte il periodo k + 1 è determint dl prezzo corrente p(k + 1) ttrverso l funzione di domnd. Imponendo che il prezzo durnte il periodo k + 1 si stbilizzi d un vlore tle che l domnd si ugule ll offert, si ottiene Q + bp(k) = D p(k + 1) che può essere riscritt come un usule equzione lle differenze p(k + 1) = b p(k) + D Q (A.2) Il prezzo di equilibrio può essere quindi trovto imponendo p e = p(k + 1) = p(k) e si h effettivmente il vlore (A.1). È necessrio però verificre se tle equilibrio veng effettivmente rggiunto o se il prezzo tend invece divergere. L soluzione generle dell equzione lle differenze del primo ordine (A.2) può essere trovt medinte l uso dell trsformt zet. Trsformndo entrmbi i termini dell equzione si h: zp (z) z p(0) = b P (z) + z D Q z 1
A.1. IL MODELLO A RAGNATELA III d cui P (z) = z z p(0) + z + b (z 1) ( ) D Q z + b Antitrsformndo 1 l precedente equzione si ottiene quindi 2 p(k) = ( [ ) b k ( p(0) + 1 b ) ] k D Q + b Se b < llor, l crescere di k, il termine ( b/) k tenderà zero ed il prezzo p(k) tenderà quindi l vlore di equilibrio p e indipendentemente dl vlore di p(0). L condizione b < è in reltà necessri e sufficiente ffinché questo ccd. Se invece b >, il prezzo tenderà divergere in qunto il termine ( b/) k tenderà ll infinito l crescere di k. Vedimo or l interpretzione grfic di tle dinmic. Si consideri d esempio l figur A.1 che corrisponde l cso in cui b <. IL prezzo p(0) determin il prodotto q(1) ttrverso l curv di offert q(p) e, imponendo che tutto il prodotto veng venduto, si determin l domnd d(1) e quindi il prezzo p(1). Quindi il ciclo ricominci e si viene formre un spirle rettngolre convergente verso il prezzo di equilibrio p e. Si consideri infine l figur A.2 che corrisponde l cso in cui b >. In questo cso, l spirle rettngolre è divergente ed il prezzo tende d llontnrsi dl vlore di equilibrio con oscillzioni sempre più mpie. D quest nlisi si può dedurre l regol generle che ffinché l equilibrio si h 1 Per effetture l ntitrsformt si noti che, medinte lo sviluppo in frzioni przili, z (z 1) ( z + b ) = Az z 1 + Bz z + b con A = B = + b 2 Si potev giungere llo stesso risultto scrivendo l rppresentzione esplicit dell (A.2). Posto inftti A = b D Q, B = C = 1, D = 0, u(k) = k 0 si h k p(k) =Ψ(k)p(0) + W (k i)u(i) = CA k p(0) + D Q k CA k 1 B = i=0 i=1 ( = b ) k p(0) + D Q k ( b k 1 ( [ = ) ) b k ( p(0) + 1 b ) ] k D Q + b i=1
IV APPENDICE A. MODELLISTICA d(p) d(1) d(3) q(3) q(1) q(p) q(2) d(2) p(1) p(3) p(2) p(0) p D Q + b Figur A.1: Equilibrio sintoticmente stbile veng rggiunto, i produttori devono essere meno sensibili vrizioni di prezzo di qunto non lo sino i consumtori. A.2 Il modello rgntel multidimensionle Le domnde per beni o servizi simili fr loro sono di solito dipendenti l un dll ltr. Se il prezzo di un bene ument llor l su domnd diminuisce e di conseguenz ument l domnd per i beni similri, che quindi possono vlere come sostituti del bene in oggetto. Come esempio si consideri l funzione di domnd per due beni simili fr loro i cui prezzi sono p 1 e p 2 : d(p) = D Ap p = ( p 1 p 2 ) T dove D è un vettore di dimensione 2 1 con componenti positive e ( ) 1 δ A = 21 δ 12 2 dove i e δ ij sono costnti positive e det(a) 0. Le costnti δ ij modellno l influenz del prezzo del bene i-esimo sul prezzo del bene j-esimo.
A.3. MODELLO DEL SISTEMA ECONOMICO NAZIONALE V d(p) d(3) q(3) q(p) d(1) q(1) q(2) d(2) p(3) p(1) p(0) p(2) p Figur A.2: Equilibrio instbile Le produzioni dei due beni sono di solito indipendenti per cui l funzione di offert q(p) è q(p) = Q + Bp dove B è un mtrice digonle con coefficienti positivi: ( ) b1 0 B = 0 b 2 Come nel modello unidimensionle, si ssum che l quntità di beni disponibili durnte il periodo (k + 1)-esimo dipend di prezzi nel periodo k-esimo. Uguglindo l domnd con l offert si ottengono le equzioni che determinno l dinmic dei prezzi: d cui si ricv Q + B p(k) = D A p(k + 1) p(k + 1) = A 1 B p(k) + A 1 (D Q) (A.3) A.3 Modello di Smuelson del sistem economico nzionle Esistono diversi semplici modelli dell dinmic del sistem economico di un nzione. Il modello che qui si consider è dovuto Smuelson ed è un
VI APPENDICE A. MODELLISTICA modello tempo discreto con periodo pri d un nno. Il modello consider quttro vribili: 1. il reddito nzionle o prodotto interno R(k); 2. i consumi C(k); 3. gli investimenti I(k); 4. l spes pubblic S(k); L vribile R(k) rppresent il reddito complessivo di tutt l popolzione durnte il k-esimo nno oppure il vlore totle di beni e servizi prodotti dll economi del pese durnte il k-esimo nno. L vribile C(k) rppresent l spes complessiv di tutt l popolzione per beni e servizi durnte l nno k-esimo. L vribile I(k) rppresent il totle degli investimenti ftti durnte l nno k-esimo e l vribile S(k) l spes totle ftt dllo stto. Il modello di Smuelson ssume che, in ogni periodo, 1. il reddito nzionle R(k) si ugule ll somm dei consumi C(k), degli investimenti I(k) e dell spes pubblic S(k); 2. i consumi C(k) sino proporzionli l reddito nzionle dell nno precedente, cioè R(k 1); 3. gli investimenti I(k) sino proporzionli ll umento dei consumi rispetto ll nno precedente, cioè C(k) C(k 1). Il modello è dunque R(k) = C(k) + I(k) + S(k) C(k + 1) = α R(k) I(k + 1) = µ [C(k + 1) C(k)] con α, µ > 0, e può essere fcilmente ridotto d un sistem del secondo ordine: ( ) ( ) α α α x(k + 1) = x(k) + u(k) = A x(k) + B u(k) µ(α 1) µα µα y(k) = ( 1 1 ) x(k) + u(k) = C x(k) + D u(k) (A.4) dove lo stto del sistem è x(k) = ( C(k) I(k) ) T, l ingresso è l spes totle dello stto u(k) = S(k) e l uscit è il prodotto interno y(k) = R(k). È quindi possibile nlizzre come diverse scelte di spes influenzino il prodotto interno nzionle.
A.4. MODELLI A STRUTTURA D ETÀ VII A.4 Modelli struttur d età I modelli demogrfici vengono usti per descrivere e prevedere l ndmento di un determint popolzione nel tempo. In prticolre, scelto un determinto periodo di tempo di riferimento di nni, si desider descrivere l struttur dell popolzione ll fine di ogni periodo. Per fre ciò, l popolzione viene divis in n gruppi di età di mpiezz pri l periodo di riferimento scelto (e spesso nche in bse l sesso). Questo vuol dire che il primo gruppo è composto dgli individui con un età compres tr 0 e nni, il secondo gruppo dgli individui con un età compres tr e 2 nni, e così vi. Il modello che descrive l ndmento dell popolzione è un sistem dinmico tempo discreto con periodo pri l periodo di riferimento. Per semplicità, ssumimo per or che l popolzione mschile e quell femminile sino identiche cosicché ci si poss limitre descrivere il solo ndmento dell popolzione femminile. Si f i (k) il numero di individui di sesso femminile pprtenenti l gruppo i-esimo, cioè con un età compres tr (i 1) e i nni ll inizio del periodo k-esimo. All fine del periodo k-esimo, se nessun individuo morissse, tutti gli individui f i (k) srebbero invecchiti di nni ed pprterrebbero quindi l gruppo i + 1-esimo, cioè f i+1 (k + 1) = f i (k) Per tenere conto dell morte di un certo numero di individui f i (k) prim dell fine del periodo k-esimo, si introduce un coefficiente β i 1 che rppresent il tsso di soprvvivenz degli individui del gruppo i-esimo durnte un periodo di tempo. Si h quindi f i+1 (k + 1) = β i f i (k) L unico gruppo che non può essere descritto dll precedente equzione lle differenze è il primo gruppo, cioè il gruppo composto dgli individui con un età compres tr 0 e nni. Il numero di individui di questo gruppo ll fine del periodo k-esimo dipende inftti dl numero di neonti durnte un periodo e può quindi essere descritto dll seguente equzione f 1 (k + 1) = α 1 f 1 (k) + α 2 f 2 (k) + + α n f n (k) dove α i è il numero di individui di sesso femminile nti (ed ncor vivi ll fine del periodo) medimente d ogni individuo di sesso femminile pprtenente l gruppo i-esimo. In generle, dividendo l popolzione nche in bse l sesso e tenendo
VIII APPENDICE A. MODELLISTICA conto di possibili flussi migrtori, il modello è il seguente: dove f 1 (k + 1) = α 1 f 1 (k) + α 2 f 2 (k) + + α n f n (k) + uf 1 (k) f i (k + 1) = β i 1 f i 1 (k) + uf i (k) k > 1 m 1 (k + 1) = γ 1 f 1 (k) + γ 2 f 2 (k) + + γ n f n (k) + um 1 (k) m i (k + 1) = δ i 1 m i 1 (k) + um i (k) k > 1 f i (k) [m i (k)] denot il numero di individui di sesso femminile [mschile] pprtenenti l gruppo i-esimo, cioè con un età compres tr (i 1) e i nni ll inizio del periodo k-esimo; uf i (k) [um i (k)] rppresent il bilncio tr le immigrzioni ed emigrzioni di individui di sesso femminile [mschile] pprtenenti l gruppo i-esimo durnte il periodo k-esimo; α i [γ i ] è il numero di individui di sesso femminile [mschile] nti (ed ncor vivi ll fine del periodo) medimente d ogni individuo di sesso femminile pprtenente l gruppo i-esimo; β i [δ i ] sono i tssi di soprvvivenz degli individui di sesso femminile [mschile] pprtenenti l gruppo i-esimo. Di solito si h: α i = β 0 σ i s γ i = δ 0 σ i (1 s) dove s è l pecentule di individui di sesso femminile fr le nscite, β 0 [δ 0 ] sono i tssi di soprvvivenz ll nscit degli individui di sesso femminile [mschile] e σ i è il tsso di fertilità degli individui di sesso femminile pprtenenti l gruppo i-esimo.