Liceo scientifico e opzione scienze applicate *

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1 PROVA D ESAME SESSIONE ORDINARIA Liceo scientifico e opzione scienze pplicte * Lo studente deve svolgere uno dei due problemi e rispondere quesiti del questionrio Durt mssim dell prov: ore È consentito l uso dell clcoltrice non progrmmbile PROBLEMA L mministrtore di un piccolo condominio deve instllre un nuovo serbtoio per il gsolio d riscldmento Non essendo soddisftto dei modelli esistenti in commercio, ti incric di progettrne uno che rispond lle esigenze del condominio Figur Figur Allo scopo di drti le necessrie informzioni, l mministrtore ti fornisce il disegno in figur, ggiungendo le seguenti indiczioni: l lunghezz L del serbtoio deve essere pri otto metri; l lrghezz l del serbtoio deve essere pri due metri; l ltezz h del serbtoio deve essere pri un metro; il profilo lterle (figur ) deve vere un punto ngoloso ll sommità, per evitre l ccumulo di ghiccio durnte i mesi invernli, con un ngolo i $ ; l cpcità del serbtoio deve essere pri d lmeno m, in modo d grntire l condominio il riscldmento per tutto l inverno effettundo solo due rifornimenti di gsolio; l centro dell prete lterle del serbtoio, lungo l sse di simmetri (segmento AB in figur ) deve essere instllto un indictore grduto che riporti l percentule di riempimento V del volume del serbtoio in corrispondenz del livello z rggiunto in ltezz dl gsolio Considerndo come origine degli ssi crtesini il punto A in figur, individu tr le seguenti fmiglie di funzioni quell che meglio può descrivere il profilo lterle del serbtoio per! intero positivo, motivndo opportunmente l tu scelt: f^ h _ i r, f^h + 9 +, f^h cos` j Determin il vlore di che consente di soddisfre i requisiti richiesti reltivmente ll ngolo i e l volume del serbtoio Al fine di relizzre l indictore grduto, determin l espressione dell funzione V(z) che ssoci l livello z del gsolio (in metri) l percentule di riempimento V del volume d riportre sull indictore stesso Qundo consegni il tuo progetto, l mministrtore obiett che essendo il serbtoio lto un metro, il vlore z del livello di gsolio, espresso in centimetri, deve corrispondere ll percentule di riempimento: cioè, d esempio, se il gsolio rggiunge un livello z pri cm vuol dire che il serbtoio è pieno l %; invece il tuo indictore riport, in corrispondenz del livello cm, un percentule di riempimento 9,7% * L prov è ugule quell delle scuole itline ll estero, Europ, Znichelli Editore,

2 Illustr gli rgomenti che puoi usre per spiegre ll mministrtore che il suo rgionmento è sbglito; mostr nche qul è, in termini ssoluti, il mssimo errore che si commette usndo il livello z come indictore dell percentule di riempimento, come d lui suggerito, e qul è il vlore di z in corrispondenz del qule esso si verific PROBLEMA Nell figur è rppresentto il grfico C dell funzione continu f : ; + " R, derivbile in ; +, e sono indicte le coordinte di lcuni suoi punti È noto che C è tngente ll sse in A, che B ed E sono un punto di mssimo e uno di minimo, che C è un punto di flesso con tngente di equzione + Nel punto D l rett tngente h equzione + e per $ il grfico consiste in un semirett pssnte per il punto G Si s inoltre che l re dell regione delimitt dll rco ABCD, dll sse e dll sse vle, mentre l re dell regione delimitt dll rco DEF e dll sse vle In bse lle informzioni disponibili, rppresent indictivmente i grfici delle funzioni fl^ h, F^h f^thdt Quli sono i vlori di f l^ h e f l^ h? Motiv l tu rispost Rppresent, indictivmente, i grfici delle seguenti funzioni: fl^ h, f^h l,, f ^ h specificndo l insieme di definizione di ciscun di esse Determin i vlori medi di f^h e di f^h nell intervllo [;, il vlore medio di fl^ h nell intervllo [; 7 e il vlore medio di F^h nell intervllo [9; Scrivi le equzioni delle rette tngenti l grfico dell funzione F() nei suoi punti di scisse e, motivndo le risposte QUESTIONARIO Figur È noto che + e d r Stbilire se il numero rele u, tle che u e d è positivo oppure negtivo Determinre inoltre i vlori dei seguenti integrli, motivndo le risposte: u 7 A e d, B u e d +, C e d u u Znichelli Editore,

3 Dt un prbol di equzione, con si vogliono inscrivere dei rettngoli, con un lto sull sse, nel segmento prbolico delimitto dll sse Determinre in modo tle che il rettngolo di re mssim si nche il rettngolo di perimetro mssimo Un recipiente sferico con rggio interno r è riempito con un liquido fino ll ltezz h Utilizzndo il clcolo integrle, dimostrre che il volume del liquido è dto d: V r $ rh h Figur 7 Un test è costituito d domnde rispost multipl, con possibili risposte di cui solo un è estt Per superre il test occorre rispondere esttmente lmeno domnde Qul è l probbilità di superre il test rispondendo cso lle domnde? Un sfer, il cui centro è il punto K^; ; h, è tngente l pino P vente equzione + z 9 Qul è il punto di tngenz? Qul è il rggio dell sfer? Si stbilisc se l seguente ffermzione è ver o fls, giustificndo l rispost: «Esiste un polinomio P() tle che P^h cos^h #,! R» Un pedin è colloct nell csell in bsso sinistr di un sccchier, come in figur Ad ogni moss, l pedin può essere spostt o nell csell ll su destr o nell csell sopr di ess Scelto csulmente un percorso di mosse che porti l pedin nell csell d ngolo oppost A, qul è l probbilità che ess pssi per l csell indict con B? Figur 9 Dt un funzione f^h definit in R, f^h e ^+ h, individure l primitiv di f^h il cui grfico pss per il punto (; e) Dte le rette: t + + z * t ) z t e il punto P^ ; ; h determinre l equzione del pino pssnte per P e prllelo lle due rette Si f l funzione così definit nell ; + : t f^h dt ln t e Scrivere l equzione dell rett tngente l grfico di f nel suo punto di sciss e Znichelli Editore,

4 SOLUZIONE SESSIONE ORDINARIA Liceo scientifico e opzione scienze pplicte PROBLEMA Le funzioni proposte per ciscun fmigli sono tutte simmetriche rispetto ll sse, per ogni intero positivo Affinché un funzione descriv il profilo lterle del serbtoio, è necessrio che: f^h, f^! h, f+l^ h #tn, f ḻ^h $ tn Esminimo il comportmento delle funzioni di ogni fmigli; per l simmetri, limitimo il controllo gli compresi fr e Prim funzione f^ h _ i f^h ; f^h f + l^ h ^ h ; f + l^ h $ f+l^h #tn, 7 per # 7, " #,, 7 " # Poiché è intero positivo, bst scegliere fr,,, e ffinché l funzione descriv il profilo del serbtoio Second funzione f^h f^h $ + 9$ $ + ; f^h $ + 9$ $ " f^h per f+l^h +, che per divent f+l^h + ; f+l^h #tn Notimo però che l derivt second f+ll^h + si nnull in, è positiv prim e negtiv dopo L funzione f^h volge dunque l concvità verso l lto in B ; e verso il bsso in B ;, quindi non può descrivere il profilo del serbtoio Terz funzione r f^h cos` j r f^h cos^h ; f^h cos` j r r f+ l^h sin` j; f+l^h Quindi f+l^ h tn e f^h non può descrivere il profilo del serbtoio In conclusione, il profilo del serbtoio è descritto dll fmigli di funzioni: f^ h _ i, per,,,, Znichelli Editore,

5 Il volume del serbtoio è dto dll re dell sezione trsversle moltiplict per l lunghezz del serbtoio stesso: R V + S ^ h W V S$ L d$ ^ h dn $ $ ^ h d $ S W S + W T X + ^ h $ > $ + H + + Imponimo che il volume si lmeno di m : + $ " $ + " $ Considerndo che è intero e compreso fr e e,, deducimo che Sostituimo nell espressione del volume e ottenimo: $ + Il volume è dunque m Poiché,, il serbtoio con questo profilo h volume mggiore dei m richiesti Fissto il livello z di riempimento del serbtoio, rimne individut l sciss z tle che z z z f^h z " ^ h z " z In questo cso, il serbtoio contiene il seguente volume di gsolio (espresso in metri cubi): V^zh < z$ + ^ h df $ < z^ z h + ^ h df z z z zz $ : ^ h D z z : ^ + z h D z z z + z z z Figur L percentule di serbtoio riempito, qundo il livello di gsolio è ll quot z, è espress dl rpporto: () P z Vz z z V ^ h $ $ zz In bse ll formul precedente qundo il livello del serbtoio rggiunge i cm, cioè, m, l indictore mostr un percentule di riempimento pri : $ $ ` j 9, 7 " 97, % Znichelli Editore,

6 L percentule del % indict dll mministrtore è sbglit perché l sezione trsversle del serbtoio non è un rettngolo, form che porterebbe d vere un proporzionlità dirett fr l quot z rggiunt e l percentule di riempimento del serbtoio In questo cso, invece, il profilo curvo port il serbtoio essere più cpiente nell prte bss rispetto ll prte lt; pertnto, qundo il gsolio rggiunge l metà ltezz, il serbtoio è riempito per più del % Secondo l mministrtore, l percentule di riempimento srebbe espress (con z misurto in metri) dl rpporto: z P ^zh $ z L differenz fr le due percentuli è pri d^zh zz z z z Osservimo che d^h d^h, conferm che le due percentuli (% e %) coincidono serbtoio vuoto e pieno Cerchimo il mssimo per l funzione d(z) Clcolimo l derivt prim: dl^zh z, e studimo il suo segno: dl^zh " z " z 7, ; dl^zh per z e dl^zh per z L funzione differenz d(z) è quindi crescente per z e decrescente per z L errore mssimo nell vlutzione dell percentule si h in corrispondenz dell quot z e vle: d c m $ $ c m `,, % j " PROBLEMA Per prim cos determinimo l espressione nlitic dell funzione f per $ " Del grfico di fl^h possimo dire che: In deve presentre un sintoto verticle; in prticolre lim fl^h + Questo perché il " + grfico di f^h è tngente ll sse nel punto A e destr del punto f è crescente Per risult f l^ h perché f ^ h è crescente In, f l deve essere null perché B è un punto stzionrio di f In conoscimo l tngente e sppimo che ess h coefficiente ngolre Pertnto f l^h Il punto ^; h è un minimo locle per l funzione f l; inftti sppimo dl testo che C è un flesso di f Anche in conoscimo l tngente; nlogmente l punto sopr, possimo ffermre che f l^ h Per 7 risult f l^ h perché f ^ h è decrescente f l^ 7 h perché E è un punto stzionrio Per 7 risult f l^ h perché f ^ h è crescente Per $ risult che fl^h perché l semirett pssnte per F e G h coefficiente ngolre Possimo dunque trccire il grfico indictivo dell funzione f l (figur 7) Figur 7 Znichelli Editore,

7 Per trccire il grfico dell funzione integrle F possimo fre un serie di considerzioni Osservimo che F^h e F ^ h Inftti F^h f^hd f^hd+ f^hd Ai vlori e corrispondernno punti stzionri di F perché sono zeri di f Fl^h f^h e quindi Fm^ h fl^ h Dll nlisi del grfico di fl^h deducimo che fl^h per o 7 e quindi in questi intervlli F^h volge l concvità verso l lto Sul pino qulittivo possimo dire che in corrispondenz dei vlori e 7 F presenterà dei flessi perché in B e in E f h due punti stzionri Per $ il grfico di F vrà l ndmento dell prbol di equzione + 7 Inftti su questo intervllo l funzione f coincide con l semirett, dunque: F^h f^thdt + ^t hdt + t t@ + 7 Ottenimo quindi un funzione che h l ndmento qulittivo riportto lto Come già osservto in precedenz, conoscimo i vlori di f l^h e f l^ h ; li vevmo ricvti interpretndo l pendenz delle due tngenti ssegnte dl testo come vlore dell derivt di f Figur Per ottenere il grfico di fl^ h è sufficiente simmetrizzre i vlori negtivi di f l rispetto ll sse, ribltndoli dl qurto l primo qudrnte L insieme di definizione di fl^ h coincide con quello di fl^ h, ed è ; + (il vlore v escluso perché in corrispondenz di esso f present un sintoto verticle) Per ottenere il grfico di f Figur 9 ^ h l distinguimo i vlori positivi di f d quelli negtivi Per i vlori strettmente positivi f f, dunque f l fl : il grfico h l ndmento già mostrto in figur 7 Per i vlori strettmente negtivi, f f, dunque f l fl: il grfico si ottiene sottoponendo quello di f l ll simmetri di sse già menziont in precedenz Il grfico cercto h il seguente ndmento qulittivo Figur 7 Znichelli Editore,

8 I vlori e in cui f risult null non pprtengono ll insieme di definizione di f l; inftti lim fl^h! lim f^h e lim fl^h! lim f^h come emerge chirmente dl grfico L insieme di " + " " + " definizione di f l risult quindi ; + " ;, L insieme di definizione è ; + ; ^ h clcolre, dove è possibile, il reciproco dei vlori dell funzione già noti Trccimo or il grfico di f Al: Al A ; Al A " Al^; h Bl: Bl B ; Bl B " Bl` ; j Cl: Cl C ; Cl " Cl` ; C j El: El E 7; El " El` 7; E j Gl : Gl G ; Gl " Gl` ; j ", Comincimo col Inoltre, sppimo che non si nnull mi ed è positiv qundo f è positiv, negtiv qundo f f è negtiv Nei punti D e F f ssume vlore nullo; pertnto presenterà in corrispondenz di f e sintoti verticli Inoltre, cresce qundo f decresce e decresce qundo f cresce f Per $ possimo scrivere l espressione nlitic di : f f^h Quest è l equzione di un iperbole equilter di ssi e Per vere un ide più precis dell ndmento clcolimo l derivt nei punti in cui bbimo informzioni sufficienti per frlo L espressione generle dell derivt è: fl^ h l f^h In ottenimo fl^ h l ; in, lim fl^h +, dunque lim " f " ^ h A questo punto, trccimo il grfico Ricordimo l definizione di medi integrle: l medi integrle dell funzione f sull intervllo [ ; è il rpporto: f^hd Per vlutre gli integrli ricorrimo lle informzioni reltive lle ree fornite dl testo Clcolimo il vlor medio di f nell intervllo [; : f^hd, Clcolimo il vlor medio di f nell intervllo [; : f^h d +, Figur Znichelli Editore,

9 Clcolimo il vlor medio di f l nell intervllo [; 7 ricorrendo l teorem fondmentle del clcolo integrle: 7 fl^ hd f^h@ 7 9, 79 Per determinre l ultimo integrle ricordimo che, nell intervllo in esme, l funzione F coincide con un rco di prbol di equzione + 7: F^hd 9 ^ + 7hd 9 + 7B + 7 +, 9 Essendo F l funzione integrle di f, il coefficiente ngolre dell tngente F nel punto di sciss è f() Inftti per definizione f è l derivt di F Deducimo quindi che l tngente F in è un rett di pendenz f^h Quest rett pss dll origine perché F^h f^hd L rett è dunque Anlogmente l pendenz dell tngente in è ; poiché F^h, l tngente cerct è l rett orizzontle QUESTIONARIO e + Osservimo innnzitutto che l integrle indefinito e d non è risolvibile nliticmente Di conseguenz, bbozzimo il grfico dell funzione f^h Osservimo che l funzione f^h e è un gussin centrt nell origine Ricordimo le sue proprietà L funzione è definit e continu su tutto R È pri perché: ^ f^ h e h e f^h,! R, perciò il grfico dell funzione è simmetrico rispetto ll sse L funzione è positiv su tutto R perché è un funzione esponenzile H un sintoto orizzontle,, perché lim e Infine, fl^h e "! se e solo se, ovvero l funzione è crescente e decrescente ; + e ssume il suo mssimo ssoluto in Notimo che: + e d e d r Figur L funzione F^h e t dt è monoton crescente Inftti, Fl^h e,! R Poiché F^h r e F^uh r, quindi u Determinimo i vlori integrli A, B e C Per clcolre l integrle A, osservimo che l funzione f e 7 ^ h è dispri Inftti, 7 ^ h 7 f^ h ^ h e e f^h,! R 9 Znichelli Editore,

10 + u 7 Possimo concludere che e d u u u 7 7 perché e d e d Per clcolre B, possimo suddividere l re l di sotto del grfico dell funzione in tre prti, venti re D, B ed E Notimo che D E per simmetri e che: Figur + u E e d e d r Di conseguenz: u + u B e d e d E Clcolimo l integrle C: + + ^ h C e d e d Sostituimo ", d Quindi: C + d + e e d r r ^ r h r d, per ", " e per " +, " + Per qulunque vlore di l prbol è simmetric rispetto ll sse, pss per il punto (; ) e per i punti c! ; m e h concvità verso il bsso Il punto generico P dell prbol h coordinte ^ ; h P P Il rettngolo inscritto nel segmento prbolico delimitto dll sse h vertici di coordinte A^P; h, B^P; P h, C^P; P h e D^P; h, con l condizione # P # Possimo esprimere perimetro e re del rettngolo ABCD come funzioni dell sciss P : Figur p^ph P+ ^ Ph " p^ph P + P + ; A^Ph P^ Ph ^P Ph, con # P # Per determinre per qule vlore di l re del rettngolo è mssim clcolimo l derivt prim dell funzione che esprime l re e studimone il segno: Al^P h P con # P # Al^ Ph " P " P " P! L rdice esiste sempre poiché, per ipotesi, Siccome simo interessti ll sciss positiv considerimo P e osservimo che P Al^ Ph " P " P Al^ Ph " P Znichelli Editore,

11 Quindi P è punto di mssimo ed è un punto interno ll intervllo ; ; E Procedimo llo stesso modo per determinre per qule vlore di P il perimetro ssume vlore mssimo Clcolimo l derivt prim e studimo il suo segno: pl^ph P+ con # P # pl^ph " P+ " P Osservimo che per e che $ per # pl^ph " P pl^ph " P Quindi P è punto di mssimo se, ossi se P è interno ; ; E Uguglimo le due espressioni in che bbimo trovto per P per determinre il vlore di : ", che è ccettbile perché L equzione dell prbol che soddisf le condizioni del problem è: Per comodità rppresentimo il recipiente orientto orizzontlmente Il recipiente sferico di rggio r può essere rppresentto come l sfer ottenut dll rotzione di un ngolo r di un circonferenz di equzione + r, centrt nell origine di un sistem crtesino O e di dimetro r Si P il punto che rppresent il livello rggiunto dl liquido L su sciss vle h r, con h r Figur Lo spzio occupto dl liquido nel recipiente corrisponde ll clott sferic genert dll rotzione dell rco AP Determinimone il volume V L equzione dell rco AP è: f^h r, con r # # h r Clcolimo il volume del recipiente sferico: h r h r h r ^h rh r V r f^h@ d r ^r hd r: r D r; r ^hrh + r E r r Figur h r r h r: rhr + + hr hr + r D rhr r Znichelli Editore,

12 Considerimo l vribile csule X corrispondente l numero di risposte estte Per ognun delle domnde, l probbilità di dre l rispost corrett è L vribile csule X h quindi un distribuzione di probbilit binomile (o di Bernoulli) di prmetri n e p Questo signific che l probbilità che le risposte estte sino è: P X ^ h ` j` j ` j, con! ",,, f,, L probbilità di superre il test è dunque: P^X$ h P^X h+ P^X 9h+ P^X h 9 9 ` j` j ` j + ` j ` j + ` j` j ` j $ 9 $ $ + $ 9 $ + $ $ + + $ Determinimo il punto di tngenz T tr l sfer di centro K^; ; h e il pino di equzione r: + z 9 Il punto T è l intersezione tr il pino r e l rett s ortogonle r che pss per K Determinimo un equzione vettorile dell rett s In generle, se un pino h equzione + b + c + d il vettore n ^; bc ; h è ortogonle l pino Quindi nel nostro cso il vettore ^; ; h è ortogonle l pino r e un equzione vettorile di s quindi è: ^; ; zh ^; ; h+ t^; ; h con t numero rele Scrivimo l equzione in form prmetric: * + t t z + t Sostituimo nell equzione del pino r le espressioni trovte per, e z: ^ + th^ th+ ^+ th 9 + t+ + t+ + t 9 t Per t trovimo il punto T^; ; h, che è il punto di tngenz cercto Determinimo or il rggio dell sfer, ossi l lunghezz del segmento TK: TK ^ h + ^ + h + ^ h + + L sfer quindi h rggio Per completre lo svolgimento, nche se non è esplicitmente richiesto dl quesito, osservimo che un equzione dell sfer è: ^+ h + ^+ h + ^z h 9 n Qulunque polinomio P^h + + f +, di grdo n $, h limite n n n lim P ^ h + "! Znichelli Editore,

13 Poiché cos è un funzione limitt, i cui vlori sono compresi tr e +, bbimo lim P^h cos lim P^h +, "! "! che è quindi mggiore di D ltr prte, per un polinomio di grdo zero, P^h P^h cos cos, risult Poiché cos è un funzione limitt, i cui vlori sono compresi tr e +, si h m! R cos + È quindi flso ffermre che esist un polinomio P() tle che P^h cos #,! R 7 Osservimo per prim cos che ogni percorso dll csell inizile ll csell indict con A è costituito d 7 mosse dell pedin verso destr e d 7 mosse verso l lto, che possono essere effettute in qulunque ordine Il numero totle dei percorsi possibili è ugule quindi l numero di modi in cui si possono scegliere le mosse verso destr tr le mosse d effetture (le mosse verso l lto srnno quindi le 7 mosse rimnenti) Pertnto, il numero di percorsi è: C 7 77!!, 7 ` j! Clcolimo desso il numero di percorsi dll csell inizile ll csell A che pssno per l csell B Ciscuno di questi percorsi può essere scomposto in un percorso dll csell inizile B e in un percorso dll csell B ll csell A Per ndre dll posizione inizile B bisogn compiere mosse, di cui verso destr e verso l lto Quindi il numero di percorsi è:! C, ` j!! Per ndre d B d A bisogn compiere ltre mosse, di cui verso destr e verso l lto Quindi il numero di percorsi è:! C, ` j!! Quindi, per ndre dll posizione inizile d A pssndo per B possimo scegliere uno qulunque dei percorsi dll posizione inizile B e uno qulunque dei percorsi d B d A In totle, sono: C $ C ` j` j $,, L probbilità cerct è ugule l rpporto tr il numero di percorsi pssnti per B e il numero totle di percorsi: C, $ C ` P j` j, C, 7 ` 7 j, % Con un rgionmento simile, i percorsi dl punto inizile d A possono essere ottenuti dlle permutzioni con ripetizione di elementi di cui 7 uguli (mosse verso l lto) e 7 uguli (mosse verso destr) per un totle di: ^ P 77 ; h 77!!! percorsi Znichelli Editore,

14 Nello stesso modo clcolimo il numero dei percorsi dl punto inizile B: ^ ;! P h!! e d B d A: ^ ;! P h!! ; ; ^ h ^ h Ottenimo i csi fvorevoli dl prodotto P $ P $ Quindi, l probbilit è: csi fvorevoli P csi possibili Osservimo che il risultto è lo stesso che vevmo ottenuto con il metodo precedente Considerimo l funzione f^h e ^+ h definit in R Determinimo l insieme di tutte le sue primitive G^h F^h + c con c! R clcolndo l integrle indefinito: G^h f^hd e ^+ hd Clcolimo l integrle pplicndo più volte il metodo di integrzione per prti: e d e e d e ^ + h ^ + h ^ + h + e ^+ he + e d e + e e e + e + c e + c L fmigli delle primitive è dunque: G^h e + c Imponimo l grfico di G^h il pssggio per il punto (; e): G^h e " e+ c e " c e L primitiv cerct è: G^h e + e 9 Denotimo con r l rett espress in form prmetric e con r quell in form crtesin e nlizzimo l posizione reciproc tr le due rette e il punto P dto Osservimo che P non pprtiene né r, né r, inftti, sostituendo,, z, rispettivmente, i vlori,,, entrmbi i sistemi risultno impossibili Per vedere se r e r sono coincidenti, incidenti o disgiunte (prllele o sghembe), studimo il sistem seguente in equzioni e incognite: Z t t [ z t + + z \ Ottenimo: Z t t [ z t t+ t+ t \ t t Znichelli Editore,

15 d cui: Z t t [ z t t \ Poiché esiste ed è unico il vlore di t per cui il sistem h soluzione, possimo concludere che r ed r sono incidenti e il loro punto d intersezione è Q` ; ; j Allor esiste un pino v che contiene r ed r L equzione del pino r pssnte per P e prllelo lle due rette è il pino per P prllelo v Per clcolre l equzione di v possimo procedere in due modi diversi Primo metodo: Considerimo un pino generico espresso in form crtesin + b + cz + d, con (; b; c)! (; ; ) e imponimo il pssggio per r ed r Poiché r ed r sono incidenti e ogni rett è univocmente determint d due suoi punti, è sufficiente imporre il pssggio del pino per Q, che pprtiene d entrmbe, per un ltro punto di r, d esempio, Q (; ; ), e per un ltro punto di r, d esempio, Q (; ; ) Quindi studimo il sistem: Z b c $ + $ + $ + d [ $ + b$ + c$ + d \ $ + b$ + c$ + d d cui b, c d Scegliendo b, ottenimo v: Secondo metodo: Considerimo il fscio di pini pssnti per r, vmn: m^+ + z h+ n^ h, con ^mn ; h! ^ ; h e imponimo il pssggio per r Poiché Q r+ r, Q^ ; ; h! r, per trovre v, è sufficiente imporre il pssggio di v mn per Q, cioè studire il seguente sistem: Z m^+ + z h+ n^ h [ \ z d cui m Scegliendo n, ottenimo v: Ricordimo che un pino + b + cz + d è perpendicolre l vettore (; b; c) Nel nostro cso, il pino v: è perpendicolre l vettore (; ; ) Di conseguenz, il pino r che stimo cercndo, deve essere perpendicolre llo stesso vettore, per poter essere prllelo v Imponendo il pssggio per P: Z + d [ \ z ottenimo ; b ; c ; d, cioè r: Znichelli Editore,

16 Alterntivmente, scrivendo l rett r in form prmetric: * s s z s osservimo che r è prllel l vettore (; ; ) Ricordndo che r è prllel l vettore (; ; ), il generico pino pssnte per P, cioè: ^ h+ b^ h+ cz ^ + h ; con (; b; c)! (; ; ) è prllelo lle rette r ed r se il vettore ^ ; ; z + h è prllelo (; ; ) e (; ; ) E questo è vero se e solo se z + Sviluppndo i clcoli, ottenimo come prim r: L equzione dell rett tngente l grfico di un funzione fl^ h^ h f^h in un suo punto ( ; ) è dell form: Nel nostro cso, e L funzione integrle f^h è continu e derivbile nel suo dominio Clcolimo i vlori di e fl^ h Per clcolre il vlore di sostituimo il vlore e e nell equzione dell funzione: e t f^h f^ e h dt ln t e Per clcolre il vlore di fl^ h, clcolimo l derivt di f^h pplicndo il teorem fondmentle del clcolo integrle e l regol di derivzione delle funzioni composte: fl^h $ ln ln ln Sostituimo il vlore e nell equzione dell derivt: fl^ ^ e h eh e e e ln e ln e e L equzione dell rett tngente l grfico dell funzione f^h nel punto ^ e ; h è: e e^ eh " e e e Znichelli Editore,