dx =? 1 + y ) dy = 2( y ln 1 + y ) + C = 2 ( sin x ln 1 + sin x ) + C. N.B.: si sarebbe potuta eettuare n dall'inizio la sostituzione y = sin x.
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- Mauro Ladislao Fumagalli
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1 CALCOLO INTEGRALE per Informaica Risolzione dell'eserciazione n., aprile Es.. Calcolare i segeni inegrali indenii (i primi con pochi passaggi: + cos cos + osservando che D(cos + = cos = ( + cos, la sosizione = g( = cos + d = g ( = ( + cos implica + cos d cos + = = ln +C = ln cos + +C = ln(cos ++C, dove si è olo il modlo poiché cos + > per ogni R. cos + osservando che D = cos, la sosizione = d = cos implica cos + = d +. E' opporno riporarsi a fnzioni razionali e qindi eeare la sosizione y = dy = d. Allora, d = dy = ydy (se cambio variabile deve comparire solo la nova, qindi oeniamo: d + = y + y dy = y + y dy. Aggingendo + a nmeraore e separando in de addendi, oppre eeando la divisione ra il polinomio a nmeraore e qello a denominaore, oeniamo y + y dy = ( + y dy = ( y ln + y + C = ( ln + + C. N.B.: si sarebbe poa eeare n dall'inizio la sosizione y =. cos + osservando che cos = sin = ( ( +, si semplica il denominaore con no dei faori del nmeraore oenendo cos ( ( + + = = ( = + cos( = sin = cos = cos + sin( + C.
2 + Non essendovi na facile sosizione, come nei casi precedeni, e raandosi di na fnzione razionale delle fnzioni e cos, ilizziamo le formle che esprimono ali fnzioni in fnzione della angene dell'angolo : = an( + (an(, cos = (an( + (an(. Infai poi, con la sosizione = an d = ( + an, qindi = d, + oeniamo n inegrale di na fnzione razionale nella variabile, e qindi n inegrale che si sa risolvere: + = d = + ( + ( + + d = ( + ( + d. Si pó rasformare la fnzione inengranda nella somma di qaro fnzioni di ci conosciamo le primiive: ( + ( + = A + + B + + C + + D ( + = = (A + B( C( + ( + + D( + ( + ( + = = (A + C + (A + B + C + D + (A + B + C + B + C + D ( + ( + Imponendo che il polinomio a nmeraore dell'lima frazione sia gale al polinomio a nmeraore della prima e sapendo che de polinomi sono gali se e solo se hanno ordinaamene gali i i coecieni, si oiene il sisema Allora A + C = A + B + C + D = A + B + C = B + C + D = C = A A + B + D = B = B = A + D = B = C = A D = A D = + A, B = C = A D = A A = + A A = A = = C D =. + = ( + ( + d = ( + d = ( + = arcan C = + + an( + C.
3 Es. +. Calcolare l'inegrale con l'aio della formla (+ (a + = ( n a (n + (n (a + n (a + n Risolzione: + ( + = ( + + ( + Per il primo inegrale a secondo membro eeiamo la sosizione = + d =, oenendo ( + = 9 d = 9 = 9 + =. Per il secondo inegrale siamo la formla indicaa nell'esercizio, con a = e n =, oenendo ( + = ( + + = ( + arcan( Meendo insieme i rislai si oiene = ( + + = ( + arcan(. + ( + = arcan(. + ( = Es.. ln( + E' opporno riporarsi a fnzioni razionali e qindi eeiamo la sosizione = d =. Allora, = d = d, e oeniamo (ricordando di cambiare anche gli esremi di inegrazione: ln( + = ln( + d = ln( + d Non sappiamo inegrare la fnzione logarimo di n polinomio, ma la sa derivaa è na fnzione razionale, qindi na fnzione che sappiamo inegrare. Allora inegriamo per pari ponendo U( = ln( +, qindi V ( = V ( = : ln( + d = ln( + + d = ln( + d.
4 Eeando la divisione ra i de polinomi (o aggingendo e ogliendo a nmeraore e separando in de frazioni oengo + d = d = arcan( = arcan( = π +. Qindi ln( + ( π ( π = ln( + = ln( Qando il polinomio a nmeraore ha grado maggiore (o gale a qello del denominaore, eeo la divisione ra i polinomi e poi scompongo il denominaore, oenendo: = + + ( + ( + Poiché il polinomio + ha radici complesse, non possiamo scomporlo ancora, ma poremo scriverlo poi come somma di de qadrai e possiamo ora rasformare la fnzione razionale nella somma di ermini che sappiamo inegrare: + ( + ( + = A + C +B( + + = A( + + B( ( + + C( + ( + ( + = = (A + B + ( A + B + C + A B + C ( + ( + La prima ed lima frazione hanno lo sesso denominaore, qindi percheé siano gali devono avere lo sesso nmeraore, qindi i polinomi a nmeraore devono avere i coecieni ordinaamene gali. Allora oeniamo A + B = A + B + C = A B + C = A = B + B + B + C = 8B B + C =. A = B C = 6B C = 9 + B 9 + B = B 6 B = B = 8, A = 9, C =. Allora = + 8 = ln + ln( ( + ( + = =
5 = 9 ln + ln( + + arcan( + C. Ho viso che per inegrare si pó sare la sosizione = sin (vedi Adams CD Ÿ6.. In qeso caso, = (, qindi pongo = sin = sin = cos d. Per, ho che sin =, qindi scegliendo = arcsin( si ha arcsin(, arcsin(. Per non dover indicare qesi esremi di inegrazione, calcolo prima solo l'inegrale indenio (considerando peró che ineressa solo per in n sooinervallo di π, π, qindi si ha sin = cos : = sin cos d = sin cos d = cos d = + cos( = d = + sin( + C = + sin cos + C = = arcsin( + + C. Qeso inegrale rienra in qelli che si rovano anche slle abelle di inegrali. Vericare che abbiamo oeno lo sesso rislao. Per l'inegrale di parenza si oiene (enendo cono che siamo inegrando na fnzione pari: = = arcsin( + = arcsin( +
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