x AÔP; A(x) = 1 2 r 2 sen x r 2 sen 120 x = r 2 ( 3sen x + 3cos x); A ʹ (x) = 0 3cos x 3sen x = 0 tg x = 3 x = 60 D C

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1 1 Fa i tiangoli isosceli inscitti in un cecio di aggio, si detemini quello di aea 1 massima. Sull aco di un settoe cicolae di aggio, cento e ampiezza π/, si penda un punto in modo ce l aea del quadilateo sia massima. Â; 0 < < 90 ; ˆ = 90 ; = sen( 90 ) = cos (teoema della cod () = 1 sen = sen cos ; cos ( cos sen ) = 0 tg = 1 = 0 ance ponendo come incognita l altezza, ecod ʹ () = 0 cos sen cos = 0 Inscivee in una semiciconfeenza di aggio R il tapezio di aea massima = 1 Ô; () = 1 sen + 1 sen 10 sen + 1 ( cos + sen ) = = ( sen + cos ); ʹ () = 0 cos sen = 0 tg = = 60 Inscivee in una semiciconfeenza di aggio R il tapezio di peimeto massimo. = cos ; b = sen ; () = + b = ( 1+ sen )cos ; ʹ () = 0 cos ( 1+ sen )sen = 0 1 sen sen sen = 0 sen + sen 1 = 0 sen = 1± = 0 ata una semiciconfeenza di diameto uguale, si tacci estenamente ad essa un segmento adiacente al diameto e a esso conguente. etto un punto sulla semiciconfeenza si detemini l angolo in modo ce sia massima la somma delle aee del quadato di lato e del ettangolo di lati e. = sen( 90 ) = cos; = sen () = + sen + cos; = 0 = 0 cos 1 sen ʹ () = 0 cos sen = 0 ato un cecio di aggio si deteminino sulla ciconfeenza due punti e simmetici ispetto al diameto in modo ce, ciamata Q la poiezione di sul diameto passante pe, sia massima l aea del tiangolo Q. (si indici con l angolo Q) = cos ; = + cos cos cos y() = + = ( 1+ cos + sen ); y ʹ () = 0 6cos sen + cos = 0 sen = 1 6 = acsen 1 6 ʹ Q = cos ; Q = sen ; Q = + sen = 1+ cos () = 'Q Q = cos ( 1 sen ); ʹ () = 0 sen 1+ sen + cos = 0 sen sen +1 sen = 0 sen + sen 1 = 0 sen = 1 9 = 0 ; ʹ = 5 + = Nell insieme dei tiangoli ettangoli inscitti in una semiciconfeenza di aggio, Nell insieme dei tiangoli isosceli inscitti in una ciconfeenza di aggio, detemina detemina quello pe il quale è massima la somma della poiezione di un cateto quello la cui somma della altezza e della base è massima. sull ipotenusa e l altezza elativa all ipotenusa. = sen = sen ( cos + sen ) = cos ; = sen = sen cos ; = = 1 cos y() = + = sen cos + sen y ʹ () = 0 cos sen + sen cos = 0 tg tg 1 = 0 1 no tg = 1± 1+ = 67,5 = cos ; = cos = cos ; = sen y() = + = ( cos + sen ); y ʹ () = 0 cos sen + cos = 0 sen = cos tg = = 1 actan

2 5 ata una semiciconfeenza di diameto uguale, si conduca una coda e sia 5 il punto medio dell aco. Si detemini l angolo il modo ce l aea del quadilateo sia massima. In una semiciconfeenza di diameto uguale si individui un punto in modo ce, se è il punto medio dell aco, isulti massima la somma +. = = sen ; = cos ; = cos; 1 = 1 cos sen = 1 cos cos sen = cos ( cos 1)sen ; () = 1 + = ( cos sen cos ) = cos sen ; ʹ () = 0 cos sen + cos = 0 = 0 sen +1 sen = 0 sen = 1 = 0 cos sen + cos 6 Fa tutti i ombi cicoscitti a un cecio di aggio, si detemini quello di peimeto 6 minimo. = 5cos = ( cos 1); = sen ; y() = + = cos 1+ sen y ʹ () = 0 cos sen + cos = 0 cos ( sen +1) = 0 = acsen 1 Sia un tiangolo ettangolo con ipotenusa e angolo pai a π/. Si tacci una semietta uscente da e appatenente all angolo in modo ce, dette e K le poiezioni otogonali su di essa di e, la somma delle misue dei segmenti e K sia massima. K = l cos ; l'aea di del tiangolo è: 1 l l cos sen, ma ance 1 l, da cui = l sen ; () = 8 sen ; ʹ cos () = 0 = 0 cos = 0 = 5 sen = l ; = l sen( 60 ) = l ( cos sen ); K = l sen y() = + K = l ( cos + sen ); y ʹ () = 0 sen + cos = 0 tg = = 60 7 Si vuole costuie un aquilone a foma di settoe cicolae con una supeficie ce misua 7 8 m. Si detemini l angolo α del settoe in modo ce il contono dell aquilone sia minimo. S = π α π = S α ; α f (α) = + α = = α; S ( α α + ) = S α + α ; ʹ = 0 α = α α + f (α) = 0 α a + α = 0 8 Fa le casseuole, di foma cilindica, aventi la stessa supeficie S pai a 10 dm (quella 8 lateale più il fondo) qual è quella di volume massimo? 008 odin S = π + π = S π V() = π S π π π = ( S π ) = S π V ʹ () = S π V ʹ () = 0 = S π = 10, cm 005 odin Si vuole costuie un aquilone a foma di settoe cicolae con un contono lungo m. Si detemini l angolo α del settoe in modo ce la supeficie sia massima. α = ; = + α = + α ; S(α) = π α π = 9 α α + ( + α ) α ( + α ) = 0 ( + α ) α = 0 α = ; ʹ S (α) = 0 I diigenti di una fabbica di bia si accogono ce le loo lattine costano toppo. ovendo consevae la foma cilindica e il volume ( cl), decidono di agie sulle dimensioni cecando, in paticolae, di minimizzae la supeficie totale della lattina. Il poblema è: come scegliee altezza e aggio di base della lattina in modo ce la supeficie totale sia minima, tenendo il volume costante? V = π = V π ; () = π + π = π + V () = π V ; ʹ () = 0 = = V π = π π V = 0 π π 0 < <,75cm = = = (la lattina ottima a il diameto uguale all'altezza, come i baattoli di venice)

3 9 aallelamente alla facciata di un palazzo alto più di 8 m, a distanza di 1 m si ege un 9 muo alto 8 m; qual è la lungezza minima di una scala ce, patendo dal suolo, si appoggi alla paete e passi pe la sommità del muo? La esistenza di una tave a sezione ettangolae è diettamente popozionale alla sua lagezza e al quadato del suo spessoe. Quanto valgono le dimensioni della tave (lagezza e spessoe) più esistente ce si può tagliae da un tonco cilindico di aggio? s 8m 1m l = 8 cos +1 8cos + sen ; l() = = = 8 sen cos sen cos sen + 1 cos l ʹ () = 8cos sen + sen cos ; l ʹ () = 0 sen 8cos = 0 tg = 8 tg = = actan; = cosα = l 8 m 1 m 1 1+ tg α ; l = 5 cos actan 8 tgactan = ; = 5 1+ = 5 5 = cos ; s = sen ; l = sen 90 f () = ls = 8 sen cos = 8( 1 cos )cos ; f ʹ () = 0 sen + cos sen = 0 sen ( cos 1) = 0 cos = 1 = 1 ; l = ; s = 1 1 = 10 Qual è la capacità massima, espessa in centiliti, di un cono di apotema 0 cm? 10 Ta tutti i coni aventi supeficie lateale di misua πα, qual è quello di volume massimo? 00 NI = l ; V = π = π l ; V ʹ () = 0 l l = 0 l l = 0 = l; V ma = π l 9 l cl Ripesentata nel: 007 dinam. quesito (con apotema=1 m) Ripesentata nel: 010 dinam. quesito 5 (con apotema=0,80 m) = 0 l = 0 11 Si veifici ce fa tutti i coni cicoscitti ad una sfea di aggio, quello di volume 11 minimo a l altezza uguale ad doppio del diameto della sfea este NI 10 Sia a l'apotema; S L = πa a = α ; = a = α = 1 V = 1 π = π α ; = α = α V ʹ () = 0 α α α = 0 α = 0 Si veifici ce fa tutti i coni cicoscitti ad una sfea di aggio, quello di supeficie lateale minima a l altezza pai a +. K y La ciconfeenza inscitta a cento nell'intesezione delle bisettici (incento); sia sia K il punto di tangenza; K = ( ) = ; sia y K = y + = ( y + ) (teo. itag. su ) = y y = V () = π y = π ; V ʹ () = 0 ( ) = 0 = La ciconfeenza inscitta a cento nell'intesezione delle bisettici (incento); sia sia K il punto di tangenza; sia y K = ; K = simili quindi K = y + y = + ; () = π y = π ( + ) + ( + ) = π + ʹ () = π ; ʹ () = 0 = + ;i tiangoli K e sono

4 1 Sia una coda di una ciconfeenza di aggio, a distanza / dal cento. etto un 1 punto del minoe dei due aci, si detemini l angolo in modo ce il peimeto di sia massimo. ata la semiciconfeenza di diameto = e cento, sia un punto di tale ciconfeenza pe il quale l angolo = π/6. Si detemini, sull aco, il punto pe il quale isulta massima l aea del tiangolo. = cos0 = ; = sen = acsen = 10 ; = 60 ; = sen( 60 ) = ( cos sen ); = sen ; () = + ( cos sen ) + sen = ( + cos + sen ); ʹ () = 0 sen + cos = 0 tg = 1 = 0 = ʹ () = = cos sen sen cos ; ʹ ; = cos 0 + cos sen 1 1+ tg = = 1 = 0 ; () ( cos sen )sen () = 0 tg + tg = 0 1 Si considei un cono cicolae etto ottenuto dalla otazione di un tiangolo isoscele 1 intono all altezza popiamente detta. Sapendo ce il peimeto del tiangolo è costante, stabilie quale appoto deve sussistee fa il lato del tiangolo e la sua base affincé il cono abbia volume massimo. 00 stao p l + b l = p b ; = l b = 1 ( p b) b = 1 p pb ; ʹ V (b) = π b 1 pb p 5b p pb b p pb; V ʹ () = p p b b = 5 p = ( 5 l + b ) l b = V (b) = odin 1 Si calcoli l altezza del cono di volume massimo inscitto in una sfea di aggio e si 1 veifici ce esso a ance supeficie lateale massima odin In un tiangolo di base = a e altezza = si insciva il ettangolo, con un lato su e i vetici opposti sugli alti due lati, ce in una otazione completa attono alla etta genea il solido di volume massimo. Sai l'altezza del ettangolo, pe la similitudine dei ettangoli si a: b = a b = a ( a ); V () = π = 0 = = π a ( ); V ʹ () = 0 In un cono cicolae etto avente pe aggio di base e pe altezza ispettivamente i segmenti e si insciva il cilindo avente la base sul piano di base del cono e il volume massimo. ' R La ciconfeenza cicoscitta a cento nell'intesezione degli assi (cicocento); sia = = ; V () = π ( + ) = π ( + ) ( ); V ʹ () = 0 = poposto come quesito in 008 uenos od. (con damigiana) sia il aggio di base del cilindo e ʹ la sua base; = ʹ V () = π ( ); V ʹ () = 0 = ipoposta come quesito in 008 Staod. quesito ʹ = ( ) 15 Su di un piedistallo di altezza è posta una statua di altezza a. Si ciede a quale distanza 15 ata la semiciconfeenza di diameto =, sia = 8/5 una coda. Si detemini dal piede del piedistallo ci si deve poe, sul piano oizzontale passante pe la base del sull aco il punto pe il quale l aea del quadilateo sia massima. (poe piedistallo, affincé la statua sia vista sotto l angolo visuale massimo. l angolo = ) a α γ α -γ α ( a + ) = tgα tgα = a + ; tg α ± β = = tg α γ a tgγ = a + γ ʹ () = tgα tgγ 1+ tgα tgγ = = a + tgγ 1+ a + tgγ tgα ± tg β 1 tgα tg β + γ () = actan a ( a + ) + ; 1 a( ( a + ) + ) a ; ʹ a ( ( a + ) + ) 1+ ( a + ) + 1+ a + tgγ = a + tgγ γ () = 0 = ( a + ) 8 5 = senα α = acsen 5 ; = 180 α; = sen( α ) = = ( senα cos cosα sen ) = ( cos sen ) 5 = sen = 5 5 ( cos sen sen ); l'aea del quadil. saà massima se è ma ʹ () = 0 sen + cos 6sen cos = 0 tg + tg = 0 tg = ± no = actan 1

5 16 Un blocco di peso deve essee tascinato lungo un piano di un tavolo da una foza F 16 Una lampada è appesa al soffitto in coispondenza del cento di un tavolo otondo di ce foma un angolo θ con la diezione del moto (con 0 θ π/). Sia μ il coefficiente di aggio. quale altezza dal tavolo deve essee collocata la lampada pe ottenee la attito statico fa blocco e tavolo. Qual è l angolo θ pe il quale la foza F necessaia a massima intensità di illuminazione al bodo del tavolo? vincee l attito è minima? Sia I l'intesità luminosa della lampada; se è la distanza della lampada dal cento del F - Fsenθ F Fcosθ tavolo d = + è la distanza della lampada dal bodo; bisogna massimizzae la componente pependicolae al tavolo di I diviso d cioè I // d = I cosα ; siccome = d cosα + d I ( + ) f () = ( + ) ; f () = 0 + = 0 ( + ) + = 0 La componente pependicolae al piano di F vale: F senθ; la foza pependicolae netta ce peme conto il tavolo è dunque = F senθ; La foza di attito vale F = µ = µ ( F senθ ); il blocco si muove quando la componente paallela al piano di F è uguale alla foza di attito cioé quando: F cosθ = µ ( F senθ ) F(θ) = g(θ) = cosθ + µ senθ; g ʹ (θ) = senθ + µ cosθ; g ʹ (θ) = 0 θ = actan µ µ ; pe minimizzae F massimizziamo cosθ + µ senθ = 17 Sul lato di un tiangolo, la cui base misua a e la cui altezza elativa ad uen 1 essa misua, si penda un punto E. e E si tacci la paallela a ce inconta in. ongiunto E con, si detemini la posizione di E pe cui il solido ottenuto facendo uotae il tiangolo E di una otazione completa attono alla etta abbia volume massimo uen Sul lato = a del tiangolo equilateo si penda il punto M tale ce, condotte pe esso la pependicolae e la paallela al lato ed indicate con e Q le intesezioni di queste ette con i lati e del tiangolo, isulti massimo il volume del solido geneato dal quadilateo MQ in una otazione completa attono ad. Q E ' sia E e k EE ʹ ; a k = ( a a ) pe la similitudine dei tiangoli E e di a: a = k il volume geneato dalla otazione dei tiangoli ʹ e EE ʹ è equivalente a quella di un cono di aggio di base k e altezza a pe cui il volume geneato dalla otazione del tapezio E vale: π k + π k ( a ) = π k + a da cui V E = V E V E = π k ( + a) π k a = π k = π E' a ( a ) V ʹ () = 0 ( a ) + ( a ) = 0 ( a ) ( + a ) = 0 = a V = 1 π a a = π a equivalente ai due coni di aggio di base l'altezza del tiang. V QM = π ; V M = π a V () = π a a = a a + a M 0 ; a (no) a ( a ) = π 16 a vedi consideaz. pobl. accanto V ʹ () = 0 + ( a ) = 0 + a a = 0 18 É dato il segmento = a; sia M il punto medio di. In uno dei due semipiani 18 É dato il tiangolo ettangolo avente ipotenusa = l e l angolo in = π/. limitati dalla etta si fissi un punto tale ce M = π/. osto l angolo M = isegnata la semiciconfeenza di diameto, non passante pe, condue pe una deteminae pe quale valoe di è massimo. semietta ce inconti in M e la semiciconfeenza in. osto l angolo =, deteminae pe quale valoe di l aea del tiangolo M è massima. M 5 60 M e tovae il punto costuiamo il quadato ce a M come diagonale; sia uno degli alti vetici del quadato, tacciamo la ciconfeenza di cento e aggio ; il punto si tova sulla ciconfeenza; a M; 0 < < 15 ; sen 5 = M sen M = asen = M + M M Mcos( 5 + ) = a sen + a a sen cos sen = a ( sen sen +1); f ʹ () = 0 8sen cos cos = 0 tg = 1 = actan 1 = 6,56 1, (min) ,56 10, (ma) = = l sen ; M sen = () = 1 M sen 90 ʹ () = sen cos sen l sen 10 l sen M = sen 10 sen cos = l sen( 10 ) ; + sen cos cos( 10 ) sen ( 10 ) sen 10 + sen cos ( sen cos ) = 0 ( cos sen ) cos + sen ; ʹ () = 0 cos + cos sen sen cos sen + sen cos cos sen = 0 tg tg = 0 tg ( tg + tg + ) = 0 = 60

6 poblemi di ma min (pof. M. Savaese) 19 É dato un catone ettangolae di dimensioni a e b, con a > b. i quatto vetici si 19 itagliano quatto quadati uguali in modo da costuie, ipiegando come in figua, una scatola a foma di paallelepipedo. Quanto deve valee il lato del quadato itagliato in modo da ottenee la massima capienza? Si insciva in una semisfea di aggio R il tonco di cono di massima supeficie lateale, avente la base maggioe coincidente con quella della semisfea. (nota: indicae con il aggio della base minoe; la supeficie lateale di un tonco di cono è uguale alla lungezza della ciconfeenza della sezione mediana pe la lungezza dell apotema) Sia il lato del quadato; V() = (a )(b ) = ( a + b) + ab V ʹ () = 1 (a + b) + ab V ʹ () = 0 1; = a + b a + b ab 6 ; 1 = a + b a + b ab 6 (ma) = R ; S l = π R + a = π(r + ) (R ) + = π R(R + ) R ( R + ) (R + ) S l ʹ () = π R R R = π R R R = π R R R S l ʹ () = 0 = R = R = R R 9 = R 0 opo ave scitto l equazione della paabola con asse paallelo a quello delle y, passante 0 ata la paabola di equazione y = ½ +, sia il suo punto di ascissa 1. opo ave pe ( ; 0), pe (1; ) e ivi tangente alla etta di equazione y = + 5, si tacci la condotto la tangente e la nomale in alla cuva, sia l ulteioe intesezione della etta paallela ad e tale ce i suoi punti di intesezione con la cuva appatengono nomale con la paabola. Si detemini sull aco un punto in modo ce, indicate con all aco. Indicati con e tali punti e con e le loo poiezioni otogonali su e le sue poiezioni otogonali sulla tangente e sulla nomale, sia massima l aea del, si detemini l equazione della etta in modo ce sia massima l aea del ettangolo ettangolo.. y (1) = a + b = a = 1 y( ) = 0 a b + c = 0 b = 0 y = + ; y(1) = a + b + c = c = la etta pe e è: y = + ; la paallela tangente alla paab. si tova imponendo y () = 1 punto di tangenza; y = +17 (etta tangente); quindi: < k < 17 ; T 1 ;15 y = k = 0 1; = y = + k 1 k +17 ;pe tovae la distanza = consideiamo ce foma un angolo di 5 con l'asse, quindi = = k +17 ; = ( k ) 1 ; (k) = = k +17 ( k ); (k) = 0 ( k ) + k +17 = 0 k + k k +17 = 0 k = 7 k +17 (1; ); y = +1 (tangente); y = + 5 (nomale); (5; 5 ); d 1 = y m + q 0 0 = 1 1+ m = d = ( > 0 pe 1 < < 5) () = d 1 d = = () = = 0 ( 1) ( ) = 0 = (sempe 0)