Controllo ambientale degli agenti fisici: nuove prospettive e problematiche emergenti Vercelli, marzo 2009

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1 Turbolenza e modell d dspersone degl nqunant n ara: fondament fsc e teorc Enrco Ferrero Dpartmento d Scenze e Tecnologe Avanzate, Unverstà del Pemonte Orentale A. Avogadro, va Belln 5/g, Alessandra, enrco.ferrero@mfn.unpmn.t RIASSUNTO In questo contrbuto s ntende fornre una panoramca delle metodologe per lo studo della qualtà dell ara tramte modell d dspersone. Vengono ntrodott alcun concett fondamental della fsca della bassa troposfera e, n partcolare, l concetto d turbolenza alla base de fenomen d dspersone. Vengono qund dscuss prncpal parametr che caratterzzano la dnamca turbolenza e le loro parametrzzazon. La seconda parte è dedcata a modell d dspersone nelle loro dverse formulazon. Vengono presentat prncpal approcc e dscuss vantagg e gl svantagg n relazone alla dverse scale e tpologe d applcazone. Infne vene brevemente dscussa l mportanza delle msure spermental nello studo della bassa troposfera e della dspersone. 1. LO STRATO LIMITE PLANETARIO Lo strato d atmosfera pù vcno alla superfce terrestre è chamato strato lmte planetaro (Planetary Boundary Layer, PBL). Esso vene anche ndcato con l nome d strato lmte atmosferco (Atmospherc Boundary Layer, ABL) o semplcemente strato lmte (Boundary Layer, BL). E n questa regone dell atmosfera a pù stretto contatto col suolo, che process dspersv, avvengono. Qu hanno luogo rlasc d nqunant che vengono dffus e trasportat da mot atmosferc. Lo studo del PBL ha non solo una grande mportanza scentfca, ma anche molte applcazon pratche, n quanto tutte le attvtà umane e bologche hanno luogo n questo strato d atmosfera (Stull, 1988). La parte d atmosfera che va dal suolo ad una altezza meda d 11 km è chamata troposfera. Lo Strato Lmte Planetaro è defnto come quella parte della troposfera, stuata mmedatamente al d sopra del terreno, che è drettamente nfluenzata dalla presenza della superfce terrestre e rsponde alle forzant superfcal con temp d scala dell ordne dell ora o meno. La restante parte della troposfera è detta atmosfera lbera. Le prncpal forzant superfcal sono: * la resstenza aerodnamca causata dalla forza d attrto vscoso; * l trasfermento d calore da e verso l suolo, l evaporazone e la trasprazone; * le modfcazon del flusso d ara ndotte dalla conformazone caratterstca del terreno; * l emssone d grand masse d nqunant (dovute a sorgent natural o causate dall uomo) termcamente dsomogenee rspetto all ambente crcostante (l emssone d nqunant può n ogn caso costture una forzante dal punto d vsta ambentale). E dffcle defnre n manera precsa l altezza del PBL perché è molto varable: oltre a presentare un cclo durno, essa rsulta varable nel tempo e nello spazo secondo le condzon orografche e meteorologche del sto; l altezza comunque è generalmente compresa tra l centnao d metr ( m, nelle nott serene o con vento debole) e qualche chlometro ( m, o anche 3000 m, nelle gornate con elevato rraggamento solare o forte vento). Il flusso dell ara, coè l vento, può essere suddvso n tre component: vento medo, onde e turbolenza. Ognuna d queste component può esstere separatamente o n parzale presenza d cascuna delle altre, ma nella realtà onde e turbolenza sono comunemente sovrapposte al vento medo. Nel PBL la propagazone d quanttà qual calore, quanttà d moto, umdtà ed nqunant, è domnata orzzontalmente dal vento medo e vertcalmente dalla turbolenza. Il vento medo è ovvamente responsable del rapdo trasporto orzzontale (avvezone). I valor d veloctà orzzontale che caratterzzano l processo d avvezone sono comunemente compres nell ntervallo 10 ms -1 ; bsogna comunque notare che l attrto con l terreno causa una dmnuzone della veloctà orzzontale del vento medo vcno al terreno stesso. La veloctà vertcale del vento medo è puttosto modesta, generalmente dell ordne d mllmetr o centmetr al secondo (almeno su terreno patto e n condzon d debole rraggamento solare). Ad ogn modo, l flusso nel PBL è generalmente turbolento: la presenza della turbolenza è nfatt propro una delle caratterstche tpche che dfferenzano l PBL dagl strat superor dell atmosfera (dove la turbolenza è presente essenzalmente nelle nub convettve e n prossmtà delle corrent a getto). Il moto turbolento è consderato una condzone d flusso rregolare nel quale dverse quanttà mostrano varazon casual sa nel tempo sa nello spazo. La turbolenza è l meccansmo prncpale della dspersone d nqunant n atmosfera, prodott da attvtà antropogenche. La turbolenza è generata da effett non lnear che s sovrappongono al flusso medo e può essere vsualzzata come un nseme d vortc d dverse dmenson che nteragscono tra loro e con l flusso 1

2 medo; l energa assocata a cascuna scala d vortc defnsce lo spettro della turbolenza. La maggor parte della turbolenza del PBL è causata da forzant collegate alla presenza del terreno. Per esempo: * l rscaldamento del terreno causato dall rraggamento solare causa la rsalta d masse d ara calda (corrent termche); * l attrto che l terreno esercta sul flusso causa lo shear (varazone con la quota) del vento che a sua volta è causa d turbolenza; * la presenza d ostacol (come, ad esempo, alber ed edfc) perturba l flusso e può anche causare la formazone d un vortce sottovento (rcrcolo o dstacco). Due sono qund tp d sorgent per la turbolenza nel PBL: una d orgne meccanca ed una d orgne termca. L attrto dell ara con l suolo è la causa meccanca, n quanto determna una dmnuzone dell ntenstà del vento medo man mano che dalle quote pù elevate c s avvcna al contatto con l suolo. A seguto d cò s manfesta un gradente vertcale d veloctà che produce nstabltà nel flusso d ara e genera un moto turbolento: se s prende una partcella d ara e la s sposta verso l alto o verso l basso, essa s troverà ad avere una veloctà orzzontale mnore o maggore rspetto all ambente crcostante creando così nstabltà. Rguardo agl effett termc, quando v è un sgnfcatvo rscaldamento del suolo e qund degl strat d ara ad esso adacent, s genera turbolenza d orgne termca. Durante l gorno l sole rscalda la superfce terrestre medante radazone ad onde corte. La dfferenza che s genera tra la temperatura del suolo e quella dell ara soprastante manfesta l suo effetto tramte accelerazon vertcal e mot ascensonal: s nstaurano coè de fenomen d tpo convettvo, dovut alla forza d galleggamento, che provocano mot d ara calda verso l alto, a qual, per l prncpo d conservazone della massa, sono assocat mot dscendent d ara fredda verso l basso. A questo fenomeno s dà l nome d turbolenza convettva. La natura casuale della turbolenza rende dffcle una descrzone determnstca, per cu dventa necessaro un approcco statstco esteso sa a procedment con cu s msurano le varabl atmosferche, sa alle equazon che le governano. La veloctà del vento non vara n modo molto marcato ma è compresa n un range lmtato. E qund msurable e defnble l ntenstà della turbolenza; essa è soltamente defnta n modo admensonale secondo la seguente relazone: I = σ m / M dove σ m è la devazone standard del modulo del vento (o della varable n questone) e M è l suo valor medo (n valore assoluto). Esstono temp d scala dvers per varazon dverse dell ntenstà del vento. Se prendamo pcch d veloctà d un determnato ordne d grandezza, notamo che la separazone temporale è dversa da quella per pcch d ordne d grandezza dfferente. Da cò s deduce che l ntenstà del vento vara n modo casuale ntorno al valore medo con perodo molto breve. Questo valore medo a sua volta non è costante nel tempo ma lentamente varable con perodo molto pù grande delle pccole fluttuazon casual. Una spegazone d questo fatto vene dalla presenza nel PBL d vortc, orzzontal e vertcal, d vare dmenson (da qualche mllmetro a dvers chlometr), che mess asseme costtuscono la parte turbolenta del moto atmosferco. A fluttuazon del vento con perodo pccolo sono assocat vortc d pccole dmenson che s sovrappongono a vortc d dmenson maggor relatv a fluttuazon con perod maggor: coè pccol vortc hanno perod caratterstc pù brev de grand vortc. La scala de vortc pù grand è detta scala ntegrale: L = R( r) dr R(0) 0 dove R e' la funzone d autocorrelazone spazale delle veloctà defnta come: R ( r) = ( x) ( x + r) Qund L rappresenta la massma dstanza a cu le veloctà turbolente sono correlate e qund la dmensone de vortc pù grand (fg. 1).

3 Fgura 1 Funzone d autocorrelazone, L ndca la scala ntegrale In turbolenza omogenea e sotropa (lontano dalla superfce) vale l'potes d localtà d Kolmogorov (prma potes): "Le propretà mede de vortc a pccola scala d ogn flusso turbolento a grand numer d Reynolds sono uncamente determnate dalla vscostà cnematca del fludo e dal tasso medo d dsspazone dell'energa cnetca turbolenta". Questa potes è valda nel range d equlbro: µ < l < L dove 3 ν µ = ε è la scala d Kolmogorov, ν e la vscostà (cnematca) molecolare ed ε l rateo d dsspazone l energa cnetca turbolenta e. La seconda potes d Kolmogorov è la seguente: "Per grand numer d Reynolds esste un subrange del range d equlbro nel quale le propretà mede del flusso sono determnate solo dal tasso medo d dsspazone dell'energa cnetca turbolenta". Tale sub-range è detto nerzale ed è defnto dalla dsuguaglanza η < l < L, dove νe η = ε è la mcroscala d Taylor scala dove gl effett vscos dventano mportant. In questo range l'energa non vene ntrodotta nel sstema e non vene dsspata, s ha solamente un trasfermento dalla grande scala alla pccola scala. La trattazone teorca d un fenomeno d natura ntrnsecamente stocastca, com è la turbolenza, avvene tramte l anals spettrale che consste nel supporre l andamento della veloctà del vento come rsultante della sovrapposzone d onde regolar d frequenza ben defnta, essendo cascuna frequenza assocata alla corrspondente scala d varazone temporale della veloctà. Utlzzando, noltre, quella nota come potes d Taylor (o frozen turbulence ), è possble stablre una corrspondenza tra la scala d varazone temporale d cascun vortce e le sue dmenson spazal, rconducendos così a descrvere la turbolenza come rsultante dalla sovrapposzone d vortc d vara msura. Questa potes nfatt afferma che vortc turbolente vengono trasportat dal vento medo U senza cambare le loro caratterstche. In questo modo e' possble passare dalla coordnata temporale t a quella spazale x con la semplce trasformazone x=ut. Tramte strument matematc (dell anals spettrale) è possble analzzare l contrbuto dato da cascuna frequenza (coè da cascuna scala d varazone temporale ovvero da cascuna dmensone de vortc) all energa cnetca totale: s ottene così lo spettro d potenza del vento. 1/ 4 1/ 3

4 La presenza dello spectral gap tra le grand e le pccole scale permette d ottenere un mportante semplfcazone per le vare scale assocate mot atmosferc, scrvendo la veloctà del vento orzzontale come (potes d Reynolds): u = U + dove U rappresenta l valore medo che vara con un perodo d tempo superore ad un ora, mentre u rappresenta la varazone dovuta alla turbolenza che nteressa perod nferor ad un ora. Il dscorso può essere amplato anche alla componente vertcale della veloctà del vento e ad altre varabl come la temperatura potenzale, l umdtà, la concentrazone d nqunant n atmosfera ecc. La procedura d meda può essere defnta n dfferent mod, come meda spazale, temporale, o meda d nseme. Quest'ultma presuppone che fluss atmosferc sano membr d un nseme le cu realzzazon ndvdual obbedscono alle equazon d Naver-Stokes. Nella pratca le mede s consderano equvalent e generalmente le mede rcavate da msure sono mede temporal. Possamo qund scrvere le nove component del flusso turbolento d quanttà d moto come l seguente tensore smmetrco detto tensore degl stress d Reynolds: dove u, v e w sono le component delle fluttuazon d veloctà prese rspetto ad un sstema d rfermento cartesano e la barra ndca l operazone d meda. Per quanto rguarda l flusso medo cnematco turbolento d calore n analoga con quanto detto prma possamo scrvere le tre component come: u ' θ ', θ ' 4, θ ' dove θ è la temperatura potenzale. Per descrvere statstcamente l PBL coè, per rcostrure le funzon denstà d probabltà (PDF) occorre specfcare almeno prm tre moment delle fluttuazon delle veloctà w ' (n genere uguale a zero), e 3, poché l momento d ordne tre ne msura l grado d vertcal: asmmetra (Ferrero and Anfoss, 1998). I MODELLI DI DISPERSIONE Smulare l comportamento d un nqunante, rlascato n atmosfera, sgnfca determnare l campo d concentrazone da esso prodotto n qualunque punto dello spazo e n qualunque stante successvo all emssone. Esstono sostanzalmente due mod per smulare la dspersone d nqunant n atmosfera. Il prmo, e l punto d vsta Eulerano, nel quale s utlzzano coordnate fsse nello spazo. In questa manera s determnano valor d concentrazone n punt fss, rfert al sstema scelto, utlzzando l equazone d conservazone della massa della sostanza rlascata. Il secondo utlzza coordnate che seguono le partcelle nel loro moto e vene detto Lagrangano..1 I MODELLI LAGRANGIANI STOCASTICI A PARTICELLE Le partcelle d nqunant possono essere trattate, da un punto d vsta dnamco, come partcelle d ara, qund soggette alle stesse forze e caratterzzate nel loro moto dagl stess fenomen che caratterzzano l moto d partcelle d ara (trasporto, turbolenza etc.). Esstono var modell d questo tpo qual, nella maggoranza de cas usano per descrvere l moto d partcelle n un campo turbolento l equazone d Langevn, gà vsta nel precedente captolo. Il pù dffuso d quest modell è quello proposto da Thomson (1987). Ne modell stocastc a partcelle s usa l equazone d Langevn per descrvere l evoluzone temporale delle veloctà delle partcelle d nqunant rlascate n atmosfera, n condzon turbolente. Perché questo possa essere fatto n manera corretta è necessaro, per quanto vsto nel captolo precedente, poter consderare le veloctà come un processo stocastco Markovano. Cò è vero, se s consderano veloctà separate temporalmente da un t maggore d τ n, tempo d scala d Kolmogorov, e mnore d T L, tempo Lagrangano d correlazone delle veloctà (da poch second a qualche centnaa). In una dmensone l equazone d Langevn per le veloctà turbolente può essere scrtta come segue: ed è accoppata all equazone per lo spostamento: du( t) = a( x, u) dt + b( x, u) dw

5 dx( t) = u( t) dt. dw rappresenta un processo d rumore banco, con meda zero e varanza dt: dw dw ( t) = 0 ( t) dw ( t' ) = δ ( t t' ) dt dt' b(x,u) puo essere dervata dalla teora d Kolmogorov sull sotropa locale nell ntervallo nerzale (Monn and Yaglom (1975). Defnendo la funzone d struttura delle veloctà Lagrangane, n una dmensone, come: D = ( u( t) u( t + t) ) se la frequenza 1/ t cade nell ntervallo nerzale coè t n t T L allora: D = C ε t 0 dove ε è l rateo d dsspazone dell energa cnetca turbolenta e C 0 una costante, rcavata emprcamente, d solto posta uguale a. Applcando questo rsultato all equazone d Langevn medando e consderando sol termn dell ordne d dt ottenamo: D = du = b dw = b dt = C ε dt da cu: b = C0 ε Defnendo b(x,u) n questo modo possamo rcavare a(x,u) tramte la condzone d well mxed condton (Thomson, 1987). Quest ultma mplca che la PDF delle partcelle d nqunant dopo un certo perodo d tempo, raggunta una condzone stazonara, sa uguale a quella delle partcelle d ara. Sotto questa condzone e sotto le condzon d markovantà e contnutà a cu obbedscono le veloctà delle partcelle d ara s può rcavare a(x,u) a partre dall equazone d Fokker-Planck (Gardner, 1990) nel caso stazonaro: ( ( ) ( )) ( ) ( ) u x t P x u u a x u P x u 1,, =,, +, u ( ) ( b ( x) P( x u) ) dove la well mxed condton mpone che la P(x,u) delle partcelle sa uguale (abba ugual moment) a quella dell ara. D fondamentale mportanza n questo modello è la defnzone della PDF n quanto a(x,u) dpende esplctamente da questa scelta. In partcolare nel caso generale n cu tale dstrbuzone sa non-gaussana (e qund s fa rfermento prncpalmente alla PDF delle veloctà vertcal), bsogna costrure degl algortm n grado d generare dstrbuzon con un numero d moment non null superore a due (Ferrero and Anfoss, 1998).. I MODELLI EULERIANI Rsolvono drettamente l equazone d avvezone-dffusone per la concentrazone c d nqunante, su un grglato trdmensonale che ne defnsce l domno d calcolo: c t c u c = ν + + dove ν e la dffusvtà cnematca, n genere trascurable rspetto alla dspersone turbolenta, S e l termne d sorgente ed u la componente della veloctà. Nella formula precedente e nelle successve s sottntende la somma su ndc rpetut. Ponendo =< >, dove u = u e c c + c' + u e < c > sono valor med e u, c le fluttuazon, trascurando l termne cnematco, sosttuendo e medando s ottene: < > < c > < c' > + u = c t S 0 + S < c ' è da determnare tramte una u s rcava dalle msure o da modell meteorologc, mentre l termne > chusura, s deve coè esprmere questa quanttà n funzone delle varabl mede. Se come potes d chusura s assume la relazone flusso-gradente: < c' u ' >= K < c > 5

6 con K coeffcente d dffusone. Supponendo condzon stazonare e lontano dalla sorgente s ottene la seguente equazone, nota come Modello K : c c u < > < = K > S not che la precedente potes mette n relazone termn d cross-correlazone delle fluttuazon della concentrazone e della componente del vento con l gradente, lungo la drezone relatva a tale componente, della concentrazone meda, chudendo l equazone d avvezone dffusone. S possono avere soluzon analtche con K e u costant (modello Gaussano), o con K e u funzon d potenza d z e soluzon numerche (Pasqull, 1974). 3 LE MISURE Lo studo della turbolenza e della dspersone n atmosfera rcheda una conoscenza dettaglata dal punto d vsta spermentale de fenomen fsc. Tuttava la grande varetà d fenomen e d scale convolte rende cò un sfda veramente dffcle. Anche dal punto d vsta della modellstca è necessaro dsporre d data-set dettaglat e con la pù rcca nformazone possble sa per la realzzazone d parametrzzazon delle quanttà atmosferche adatte alle dverse tpologe meteo-dspersve, sa per la valdazone de modell. Questo è nfatt un punto fondamentale, ogn modello prma d poter essere applcato deve essere accuratamente valdato con dat msurat n campo aperto e affdabl. A tal fne sono stat svluppat n quest ann sofstcat sstem d msura meteorologc sa per la msura locale (post n centralne al suolo o su pal meteorologc) sa sstem d msura remot per l anals dell ntero strato lmte atmosferco (telerlevamento). Tra gl altr mertano senz altro d essere menzonat gl anemometr sonc, strument n grado d camponare ad elevate frequenze (tpcamente dell ordne de 0 Hz) e qund d msurare non solo l vento medo ma anche le quanttà turbolente, fondamental nello studo della meteorologa dello strato lmte e della dspersone. BIBLIOGRAFIA Arya S.P., 1988, Introducton to Mcrometeorology Academc Press Ferrero, E. and Anfoss, D., 1998, Comparson of PDFs, closures schemes and turbulence parameterzatons n Lagrangan Stochastc Models. Int. J. Envronment and Polluton, 9, Gardner C.W., 1990, Handbook of Stochastc Methods Sprnger-Verlag Monn A. and Yaglom A., 1975, Statstcal flud mechancs, MIT Press, Cambrdge, Mass., vol. 1, Pasqull F., 1974, Atmospherc dffuson nd ed. Ells Horwood Stull R.B., 1988, An ntroducton to Boundary Layer Meteorology, Kluwer Academc Publshers Thomson D.J., 1987, Crtera for the selecton of stochastc models of partcle trajectores n turbulent flows. J. Flud Mech., 180,