Esercizi di consolidamento

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1 Esercizi di consolidmento Risolvi le seguenti equzioni incomlete. esercizio guidto ¼ 0 Scomonimo rccogliendo : ð Þ ¼ 0 Alichimo l legge di nnullmento del rodotto: ¼ 0 _ ¼ 0! ¼ Le soluzioni sono: 0,. ¼ 0 þ ¼ 0 ½0, ; 0, Š þ ¼ 0 ¼ 0 0, ;0, ¼ 0 ¼ 0 0, ; 0, þ 0 ¼ 0 ¼ 0 0, ;0, esercizio guidto 9 ¼ 0 Ricvimo : ¼ 9 Alichimo l definizione di rdicle: rffi ¼ 9! ¼ 9 ¼ 0 ¼ ; 9 ¼ 0 ¼ 0 imossibile; 9 h ¼ 0 þ ¼ 0 i ; imossibile 0 ð0 Þ ð Þð þ Þ 0 ¼ð þ Þ þ þ þ ð Þð þ Þ ¼ ð þ Þ ½Š þ ð þ Þ ¼ ð Þð þ Þ þ þ ¼ ½Š ffiffi 0 þ ¼ þ Citolo - Le equzioni di secondo grdo e l rbol

2 Risolvi in R le seguenti equzioni di secondo grdo licndo l formul risolutiv. ¼ 0 ¼ 0, ;, þ ¼ 0 þ ¼ 0 ;, þ 0 ¼ 0 þ ¼ 0 ½, ; imossibileš þ ¼ 9 þ 9 þ ¼ 0, ; 9 9 esercizio guidto rffiffi ¼ 0 b Il coefficiente b è ri ed è quindi conveniente licre l formul ridott b c : Per licrl in modo semlice osservimo che il rimo termine ll interno dell rdice è semre il qudrto del termine esterno, quindi, un volt clcolto il vlore di b, bst elevrlo l qudrto; nel nostro cso b ¼ quindi b ¼ 9 ¼ ffiffi 9 þ ¼ ¼ 0 þ þ ¼ 0 þ ¼ 0 ½, ;, Š ¼ 0 þ ¼ 0 ½, ;, Š þ ¼ 0 þ 0 ¼ 0, ; þ ð þ Þ ¼ þ, þ ¼ þ ð Þ þ ½, Š þ ¼ þ, 0 ð Þþ þ ¼ð Þ ð Þþ, þ ¼ þ þ þ ½0, Š þ þ þ þ þ ¼ 0 9 þ ¼ þ ð þ Þ þ 0 ½ ð Þþ Šþ ð þ Þ ¼ ð þ Þð Þ ð Þð Þ [imossibile], Citolo - Le equzioni di secondo grdo e l rbol

3 ð Þ þ ð þ Þ ¼ ffiffi þ þ ¼ þ, þ þ þ ¼ 0, Risolvi in R le seguenti equzioni frzionrie di secondo grdo. esercizio guidto ¼ 0 Per l esistenz dell equzione deve essere ¼ ^ ¼ Il dominio dell equzione è quindi R,. Svolgimo i clcoli riconducendo l equzione ll su form normle: ð Þ ð Þð Þ ¼ 0ð Þ! ¼ 0 0! þ 0 ¼ 0 ð Þð Þ ffi 0 Alichimo l formul risolutiv: ¼ Entrmbe le soluzioni rtengono l dominio, quindi, ¼ þ þ ¼ þ þ þ ð þ Þ ¼ ð þ Þ ¼ ¼. ¼, ; 0, 0 ; 9, ¼ þ ½imossibile] 9 þ ¼ þ ð þ Þ þ þ ¼ 0 þ ¼ 0, þ þ ð Þþ þ ¼ 0 þ þ þ þ ¼ 0 þ,0 Citolo - Le equzioni di secondo grdo e l rbol

4 þ ¼ 9 9 þ 9 ¼ þ þ þ þ þ ¼ þ þ : [imossibile] þ þ þ ¼ 0 ½Š Risolvi in R le seguenti equzioni letterli intere di secondo grdo. esercizio guidto ð þ Þ þ ¼ 0 L equzione si resent già in form normle e ossimo rocedere ll su risoluzione. Discutimo il coefficiente del termine di secondo grdo: l se þ ¼ 0 cioè se ¼ ossimo licre l formul risolutiv; visto oi che il coefficiente del termine di rimo grdo è divisibile er, ossimo usre l formul ridott. Clcolimo drim il discriminnte: ¼ ð þ Þð Þ ¼ þ ¼ 9 Alichimo l formul: ¼ þ ¼ þ þ þ ¼ l se þ ¼ 0 cioè se ¼ non ossimo licre l formul; sostituendo questo vlore nell equzione ottenimo: ð þ Þ þ ¼ 0! ¼ 0! ¼ Rissumendo: se ¼ :, ; se ¼ :. þ ¼ 0, 9 ð Þ ð Þ ¼ h i ð þ Þ þð Þ ½, Š 0 ð þ Þ ¼ðþÞ se : ffiffi þ ð þ þ Þþðþ Þð þ Þ ¼½ þ ð þ ÞŠ ½, ðþþš ð Þð þ Þþð þ Þ 9ð þ Þ¼0 h ffiffi i 0 ð Þþð Þ ¼0 ½, Š ð þ Þ ¼ ð Þ ¼ :,;¼: 9 Citolo - Le equzioni di secondo grdo e l rbol

5 ð Þ ¼ ð Þ ¼ :, ; ¼ : indetermint ð Þ þ ð Þþ ¼ þ þ ð Þ esercizio guidto þ ¼ Condizioni sul rmetro: ¼ 0 Riducimo l equzione in form normle: þ ¼ 0 ¼ ^ ¼ :, ; ¼ : R; ¼ : imossibile Abbimo già osto l condizione ¼ 0 reltiv l coefficiente di, ossimo quindi licre l formul risolutiv: ¼ ffiffi þ ¼ ¼ Rissumendo: se ¼ 0 :, se ¼ 0 : l equzione erde significto. ð þ Þ þð Þ ¼ ð þ Þ 9 ð þ Þ ¼ þ þ " # ¼ : ð þ Þ, ð Þ ; ¼ : l equzione erde significto ¼ : l equzione erde significto; ¼ : þ, Risolvi in R le seguenti equzioni letterli frzionrie di secondo grdo. 0 esercizio guidto ð Þ ð þ Þ ¼ ð þ Þ L equzione è frzionri e quindi deve essere ¼ 0; il dominio dell incognit è llor R f0g. Svolgimo i clcoli: ð þ Þ ð Þ ¼ð þ Þ! ð þ Þ þ ¼ 0! ð þ Þ ð þ þ Þþ ¼ 0 l se ¼ ossimo licre l formul risolutiv. Clcolimo innnzi tutto il discriminnte: ¼ ð þ þ Þ ðþ Þ ¼ þ þ þ ¼ ð þ Þ Alichimo l formul: ¼ ð þ þ Þð þ Þ ¼ ð þ Þ þ Citolo - Le equzioni di secondo grdo e l rbol

6 Stbilimo se le soluzioni sono ccettbili: l ¼ 0 l ¼ 0 ¼ 0 ¼ 0 ¼ condizione già ost þ l se ¼ l equzione divent ¼ 0! ¼. Dunque l se ¼ ^ ¼ 0: þ, l se ¼ 0 l second soluzione non è ccettbile, l rim divent, quindi l se ¼ :. þ ¼ þ þ ð Þ ¼ þ ¼ þ ð Þ ¼ þ þ ð Þð þ Þ ¼ : ; ¼ : ¼ 0 ^ ¼ ^ ¼ :, ¼ 0 : l equzione erde significto; ; h ¼ 0 ^ ¼ :, i ; ¼ 0 : ; ¼ : ¼ ^ ¼ 0 : ; ¼ _ ¼ 0 : l equzione erde significto ð þ Þ þ þ þ þ ¼ þ þ ¼ ^ ¼ ^ ¼ ^ ¼ :, ; ¼ _ ¼ : ; ¼ _ ¼ : þ ð þ Þ ð Þð Þ b b b þ þ b b ¼ ¼ þ ¼ ^ ¼ ^ ¼ 0 :, ; ¼ : ; ¼ : ; ¼ 0 : b ¼ : 0, b b þ ; b ¼ : l equzione erde significto; b ¼ : 0 Citolo - Le equzioni di secondo grdo e l rbol

7 b ¼ þ b b b 9 þ þ ¼ 0 þ þ 0 þ þ þ þ ð þ Þ ¼ 0 þ b ¼ 0 ^ b ¼ ^ b ¼ : b, bð bþ b ; b ¼ 0 : l equzione erde significto; b ¼ : ; b ¼ : ¼ ^ ¼ :, ; ¼ : ; ¼ : ¼ ^ ¼ ^ ¼ :, ; ¼ : l equzione erde significto; ¼ : 0; ¼ : Di due numeri sono noti l somm s e il rodotto ; determin tli numeri nei seguenti csi. esercizio guidto s ¼ ¼ Dobbimo risolvere l equzione ¼ 0! ¼ 0! ¼ I due numeri sono quindi: þ e. s ¼ ¼ 9 s ¼ ¼ s ¼ þ ¼ s ¼ ¼ s ¼ ¼ s ¼ ¼ s ¼ ¼ 9 s ¼ ¼ 0 s ¼ ¼ 0 0 s ¼ þ ¼ þ s ¼ ¼ s ¼ þ ¼ s ¼ ¼ s ¼ ¼ s ¼ ¼ s ¼ ¼ Scrivi l equzione che h er soluzioni i numeri dti. esercizio guidto ¼ _ ¼ þ ¼ ¼ e ¼ ð Þ ¼. L equzione cerct è þ ¼ 0. Citolo - Le equzioni di secondo grdo e l rbol

8 9 ¼ ¼ 90 ¼ ¼ 9 ¼ ¼ 9 ¼ þ ¼ 9 ¼ ¼ 9 ¼ ¼ b 9 ¼ ¼ 9 ¼ ¼ 9 ¼ ¼ 9 ¼ ¼ þ 0 99 ¼ þ ¼ 00 ¼ þ ¼ 0 ¼ b ¼ b 0 ¼ ¼ þ 0 ¼ ¼ þ 0 ¼ ffiffi ¼ ffiffi 0 ¼ b ¼ b 0 ¼ þ b ¼ b Scomoni in fttori i seguenti trinomi. 0 esercizio guidto þ Determinimo le soluzioni dell equzione ssocit: ffiffi 9 þ þ ¼ 0 ¼ ¼ ¼ Allor: þ ¼ þ ¼ þ ¼ð þ Þð Þ þ þ þ 0 þ þ þ þ þ þ ð þ Þ þ þ ð Þ ð þ Þ þ þ þ þ 0 þ 0 þ þ b þ b ð Þ Citolo - Le equzioni di secondo grdo e l rbol

9 Tenendo resenti le relzioni fr i coefficienti di un equzione di secondo grdo e le sue soluzioni, trov i vlori dei rmetri che soddisfno le condizioni richieste. esercizio guidto Dette e le soluzioni dell equzione þ ðk Þ k ¼ 0 determin il vlore del rmetro k ffinchè si:. ¼ b. ¼ c. þ ¼ d. ¼ Le soluzioni sono reli se 0: ðk Þ þ k 0 ðk þ Þ 0 k R In queste iotesi ffrontimo i quesiti.. Le soluzioni sono coincidenti se ¼ 0, cioè se k ¼ b. Il rodotto delle soluzioni è c e deve essere ugule : k ¼! k ¼ :::::::::: c. L somm delle soluzioni è b e deve essere ugule : k ¼! k ¼ :::::::::: >< ¼ d. Scrivi il sistem: þ ¼ k >: ¼ k Sostituendo nelle ultime due equzioni l esressione di ricvt dll rim ottieni (bbimo eliminto l rim equzione erché ci interess determinre solo k): þ ¼ k k >< >< ¼! >: ¼ k >: ¼ k Sostituendo infine nell terz equzione l esressione di ottieni l equzione: k ¼ k che, risolt, dà il vlore di k richiesto. b: k ¼ ; c: k ¼ ; d: k ¼ _ k ¼ 9 Determin il vlore del rmetro b in modo che l equzione ðb Þ b þ ¼ 0:. bbi il rodotto delle soluzioni ugule 9 b ¼ b. bbi l somm dei reciroci delle soluzioni ugule ½ 9bŠ c. bbi un soluzione ugule ½b ¼ _ b ¼ Š d. si di rimo grdo. ½b ¼ _ b ¼ Š (Suggerimento: b. þ, quindi...) þ è l somm dei reciroci delle soluzioni che uò nche essere scritt così 0 Dt l equzione ðk Þ þ k ¼ 0 ed indicte con e le sue soluzioni, determin il v- Citolo - Le equzioni di secondo grdo e l rbol

10 lore di k in modo che si:. ¼ b. ¼ ½: k ¼ _ k ¼ 9; b: k ¼ Š c. ¼ d. ¼ c: k ¼ ; d: k ¼ Nell equzione m þ m 9 ¼ 0, determin il vlore del rmetro m in modo che sino verificte le seguenti condizioni:. þ ¼ b. ¼ : m ¼ 9 _ m ¼ ; b: m ¼ c. ¼ 0 d. ¼ ½c: m ¼; d: m ¼Š Nell equzione þ ðk Þ þ ¼ 0 determin il vlore del rmetro k in modo che:. ¼ b. ¼ 9 : k ¼ ; b: k ¼ c. þ ¼ d. ¼ ½c: k ¼ 0 _ k ¼ ; d: 9kŠ Determin il vlore del rmetro k ffinché l equzione k ðk Þ þ k ¼ 0 bbi:. rdici coincidenti k ¼ b. l somm delle rdici ugule ½9kŠ c. soluzioni reciroche ½9kŠ d. l somm dei reciroci delle rdici ugule k ¼ Dt l equzione þ ð mþ m ¼ 0 determin il vlore del rmetro m ffinchè:. il doio rodotto delle soluzioni si ugule ll loro somm m ¼ b. le due soluzioni coincidno m ¼ c. non si bbino soluzioni reli ½9mŠ Dt l equzione þ ð Þð kþ ¼ determin il vlore del rmetro k in modo che:. il doio del rodotto delle soluzioni si ugule ½k ¼ Š b. il rodotto delle soluzioni sueri di l loro somm k ¼ c. il rorto fr le soluzioni si ugule k ¼ _ k ¼ Dt l equzione ð Þþ þ ¼, riscrivil nell form normle e determin oi il vlore del rmetro ffinché:. un soluzione si ugule ¼ b. si bbino due soluzioni coincidenti uguli ½9Š c. si bbino due soluzioni coincidenti uguli ½ ¼ Š d. il rodotto delle soluzioni si ugule ¼ Citolo - Le equzioni di secondo grdo e l rbol

11 Dt l equzione ð Þ ð Þð Þþ ¼ 0, riscrivil nell form normle e determin oi il vlore del rmetro ffinchè:. il rodotto delle soluzioni si ugule ½ ¼ _ ¼ Š b. un soluzione si ugule ¼ _ ¼ c. le soluzioni sino ooste ¼ Problemi di ntur lgebric Trov due numeri nturli consecutivi il cui rodotto si 0. ½, Š 9 Trov due numeri consecutivi tli che l somm dei loro qudrti si. ½, _, Š 0 Trov due numeri ositivi consecutivi ri tli che l somm dei loro qudrti si 00. ½, Š Determin in R þ un numero tle che il rodotto fr il numero stesso diminuito di e il numero stesso sommto si ugule 9. þ Il qudrto di un numero rzionle è ugule l numero stesso umentto di. Trov il numero. ½ _ Š Trov tre numeri interi consecutivi tli che l somm dei qudrti del rimo e del terzo sueri di il secondo. ½,, Š Il doio del qudrto di un numero rele sommto è ugule volte il numero stesso umentto di. Qul è il numero? _ Di tre numeri nturli consecutivi si s che il rodotto dei rimi due ddizionto l rodotto del secondo e del terzo è ugule l qudrulo dell loro somm. Quli sono i tre numeri? ½,, Š Determin il numero di due cifre in cui l cifr delle unità suer di due quell delle decine sendo che il suo qudrto, umentto del doio dell somm delle cifre, è ugule. ½Š L differenz fr il multilo di un numero secondo e l inverso del numero stesso è. Trov tle numero. _ L somm dei qudrti di due numeri nturli consecutivi è ugule l doio del minore di essi. Trov i due numeri. ½imossibileŠ Problemi nel mondo rele 9 In un torneo di tennis fr mici ognuno gioc con ciscuno degli ltri un sol volt. Se le rtite giocte sono in tutto, qunti sono i gioctori? ½Š 0 L somm delle età di due mici è. Fr due nni il rodotto delle loro età srà 0. Qunti nni h ciscun mico? ½, Š Citolo - Le equzioni di secondo grdo e l rbol

12 Un ll è lncit verticlmente verso l lto rtire dl suolo con un velocità inizile v 0 ¼ 9,m/s. Doo qunto temo l ll srà 9,m di ltezz dl suolo? Interret i risultti ottenuti. (Suggerimento: il moto è uniformemente decelerto e l equzione orri è s ¼ v 0 t gt ) ½s, sš Un coro rte con velocità inizile di m/s e subisce un ccelerzione di 0,m/s ercorrendo un certo szio y. Un secondo coro rte con velocità inizile di m/s e subisce un ccelerzione di 0,m/s ercorrendo lo stesso szio y. Qunto dur il moto di ognuno dei due cori? Qul è lo szio ercorso? ½0s, 0mŠ Problemi di ntur geometric In un rllelogrmm ABCD l digonle AC è erendicolre l lto AD; si s inoltre che AB ¼ e che l re del rllelogrmm è 00. Clcol l misur delle digonli. 0, 0 ffiffi In un tringolo isoscele l bse suer il lto obliquo di cm e l ltezz è cm. Determin l lunghezz dell cord rllel ll bse che divide il tringolo in due rti equivlenti. 9 cm In un cerchio di dimetro AB si conduc l cord BC, che misur, in modo che l su roiezione sul 9 dimetro si i del dimetro stesso. Doo ver trovto l lunghezz del dimetro, clcol il erimetro e l re del tringolo ABC. AB ¼ ;¼, re ¼ È dto il tringolo scleno ABC nel qule le roiezioni dei lti AB e AC sul lto BC sono risettivmente uguli i ei del lto AB. Sendo che l ltezz AH è lung 0cm clcol il erimetro e l re del h tringolo. ¼ 0 þ i cm, re ¼ 00cm Un tringolo ABC h gli ngoli dicenti ll bse AB di 0 e. Sendo che l su re è þ, trovne il erimetro. þ þ Su un segmento AB lungo 0cm consider un unto P e costruisci il tringolo APD rettngolo in A con l ngolo APD d che misur 0 o. Determin l lunghezz del segmento AP in modo che tle tringolo si equivlente l rettngolo di lti AP e BP diminuito di 9 cm. 0 0 AP ¼ cm _ cm 9 Su un segmento AB ¼ rendi un unto P e trcci le circonferenze di dimetri AP e PB; si r un delle tngenti comuni lle due circonferenze non erendicolre d AB. Detti R ed S i unti di intersezione con le circonferenze, determin l lunghezz del segmento PB in modo che RS ¼. _ 0 Dto il tringolo equiltero ABC di lto AB ¼, si r un rett rllel l lto CB che intersec in D ein E i lti AC e AB. Sur, ed esternmente l tringolo, consider un unto P in modo che PD ffi DE. Determin come deve essere trccit l rett r in modo che PA þ PK ¼ 9 essendo K il iede dell ltezz uscente dl vertice A. PD ¼ Citolo - Le equzioni di secondo grdo e l rbol

13 In un rllelogrmm vente il erimetro di 0cm l digonle AC è erendicolre l lto AD ed il loro rorto è. Doo ver determinto le lunghezze dei lti del rllelogrmm, determin un unto P su AD in modo che PC ¼ DC. ½AP ¼ 0cmŠ In un semicirconferenz di dimetro AB ¼ r e di centro O, consider un unto C su OA ed un unto D su OB in modo che CO ffi OD. Indicti risettivmente con P e con Q le intersezioni delle erendicolri l dimetro in C e D con l semicirconferenz, determin l misur, in funzione del rggio, del segmento OD in modo che: CP þ DQ ¼ 9 CD. OD ¼ r In un tringolo isoscele gli ngoli ll bse sono di 0 e l re misur cm. Clcol il erimetro del tringolo. þ cm Sul segmento AB di misur determin un unto P in modo che, disegnt l circonferenz di dimetro AP e trccit l tngente BT d ess uscente d B, si verifict l relzione BT þ AP ¼ PB. AP ¼ ffiffi Un trezio isoscele è inscritto in un semicirconferenz di rggio 0cm; di esso si s che l ltezz è i h i dell bse minore. Clcol il erimetro e l re del trezio. ¼ 0 þ cm; A ¼ 00cm Citolo - Le equzioni di secondo grdo e l rbol