Marcello Minenna, PhD - CONSOB

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1 VOLATILITA IMPLICITA, COVERED WARRANT E SCELTA DEGLI INVESTITORI Marcello Minenna, PhD - CONSOB L obiettivo della presente nota tecnica è dimostrare che derivare la volatilità implicita nel prezzo delle opzioni consente di apprezzare senza perdite di generalità il costo relativo di un opzione e, quindi, o rire all investitore un elemento informativo utile nella scelta tra opzioni, non particolarmente diverse per strike e scadenza. La volatilità implicita è il più semplice esempio di parametro statistico implicito nel prezzo di un opzione. È evidente che la volatilità implicita non è necessariamente uguale alla varianza del titolo sottostante, in quanto è estratta dal prezzo delle opzioni e non dai dati storici dell azione. Generalmente i due valori pertanto sono di erenti. Le considerazioni quantitative riportate sono esposte, per semplicità, fondamentalmente con riguardo ad opzioni europee, in quanto la loro esplicitazione nel caso di opzioni americane e barriera richiede solo l utilizzo di alcuni accorgimenti computazionali e non o re alcun ulteriore riferimento intuitivo. La nota si articola in quattro parti: a. la prima, introduttiva, mostra che, dato il prezzo di mercato delle opzioni, il calcolo del valore di volatilità implicita o re un indicazione importante per orientare comportamenti e decisioni sui mercati nanziari; a tal ne muovendo dalla de nizione del prezzo di un opzione (c.d. contingent claim) si dimostra analiticamente l importanza che il dato di volatilità implicita assume attraverso l analisi della densità di probabilità del sottostante; b. la seconda parte dimostra perchè il dato di volatilità implicita o re un importante e inequivocabile riferimento per interpretare insenso comparativo i prezzi delle opzioni; c. la terza parte mostra come avviene tecnicamente il calcolo della volatilità implicita ed illustra i relativi algoritmi. d. la quarta parte studia il comportamento degli operatori e degli investitori in presenza di questo nuovo elemento informativo. 1

2 1 Introduzione La teoria dell option pricing si è tradizionalmente focalizzata sullo sviluppo di metodi per la prezzatura e per la copertura delle opzioni. Solo di recente nuovi approcci cercano di utilizzare i prezzi di mercato delle opzioni per cogliere una risorsa informativa ulteriore per operare in maniera più e cace sui mercati nanziari. Mentre infatti si trovano eccellenti monogra e sulla prima problematica sia di livello base (Hull, 1994) che di livello avanzato (Musiela & Rutkowsky, 1993), la letteratura sulla seconda tematica è meno conosciuta ed è più recente. Il mercato delle opzioni è drasticamente cambiato da quando Black & Scholes nel 1973 pubblicarono il loro famoso articolo; oggi le opzioni sono negoziate su sottostanti liquidi e il pricing delle opzioni non è solo il frutto di algoritmi matematici ma anche dell interazione tra domanda e o erta. Sono conseguentemente cambiate anche le priorità degli operatori di mercato che, negli ultimi anni hanno concentrato l attenzione su una nuova direzione tesa ad acquisire dai prezzi informazioni utili per orientare le proprie decisioni e comportamenti. 1.1 La teoria dell option pricing e la volatilità implicita Il prezzo di un opzione al tempot,¼ t ; può essere de nito come il valore atteso, data la storia passata del titolo no al tempot, o in termini stocastici condizionato sulla sua naturale ltrazione z t ; dei ussi di cassax; attualizzati al tempo t; che rappresentano il pay-o dell opzione a scadenza: ¼ t (X) =B t E P (B 1 T X j z t) (1) ove il processo B rappresenta il fattore di sconto e, quindi, descrive il prezzo di un titolo privo di rischio tramite un equazione di erenziale che rappresenta l accumulazione del denaro attraverso un tasso di interesse composto nel continuo: db t =rb t dt la cui soluzione è B t =e rt 8t 2 [0;T] 2

3 exèuna funzione del sottostantes T ovverox =h(s T ): Nel caso di un opzione call:x =max(s T K;0) e nel caso di una put:x =max(k S T ;0) Da qui, sostituendo la de nizione di valore atteso e di B si ha che il prezzo di un opzione¼ t (X) è dato da: ¼ t (X) =e r(t t)r 1 0 hp(h)dh dovep è la funzione di densità di probabilità della variabile casualeh(s T ) che rappresenta il valore dei pay-o dell opzione alla scadenza futurat. Ipotizzando che l evoluzione del processo del prezzo dell azione S nel tempo sia descritta per il tramite di un equazione di erenziale stocastica ed, in particolare, da un moto geometrico browniano: ds t =¹S t dt +¾S t dw t (2) dove ¹ è il tasso di rendimento dell azione variabile in relazione alle caratteristiche del titolo sottostante; ¾ è una misura di dispersione di tale tasso; W t ove t 2 [0; T ] ; è il moto Browniano unidimensionale de nito sullo spazio ltrato delle probabilità (Ω; z W ; P ) con z = z W ; si può dimostrare che la misura di probabilità p dell opzione è una martingala, dipendente dalla de nizione del ¹, ed è la stessa misura del processo sottostante S: La [1] si può riscrivere, quindi, come: Z 1 ¼ t (X) =e r(t t) h(s T )p(s T )ds T (3) 0 Considerato che ¹ varia in relazione alle caratteristiche del titolo sottostante l opzione, è evidente che ci saranno anche diverse misure di probabilità p.il problema del pricing consiste, perciò, nel trovare tra tutte le misure di probabilità disponibili quella misura che escluda la possibilità di arbitraggio. Questa condizione è su ciente per trovare l unica misura martingala di probabilitàq equivalente ap che ci o re il prezzo di un contingent claim (Harrison & Kreps, 1978). In particolare, si può dimostrare che, considerando il processo stocastico scontato del sottostantes t = St ; si può Bt 3

4 de nire una unica misura di martingalaqche consente di valutare¼ t (X). Infatti, la scelta del processo scontatos equivale a modellizzare l evoluzione del sottostante tramite una nuova equazione di erenziale stocastica rispetto alla [2]: ds t =(¹ r)s t dt+¾s t dw t Inoltre, ponendo la derivata di Radom-Nykodym pari a: dq =er ¹ dp ¾ W T 1 (r ¹) 2 2 ¾ 2 T e de nendo tramite un applicazione del teorema di Girsanov: W t =W t r ¹ ¾ T ovew t è ancora un moto browniano standard, si può descrivere il processo scontatos, associato alla nuova misura di probabilitàq attraverso la seguente equazione: ds t =¾S t dw t ed, in particolare, si può individuare anche il nuovo processo per il sottostante S associato alla nuova misura Q: ds t =rs t dt+¾s t dw t (4) Questo cambio di misura di probabilità consente di sostituire nella [2] il tasso di rendimento del sottostante¹con il tasso di interesse risk-freer: L univocità nel valore dir consente di dire cheq rappresenta l unica misura equivalente di martingala che descrive l andamento del sottostante S. È immediata la dimostrazione che tale misura sia l unica che garantisca l assenza di arbitraggio 1. Per quanto precede, se si denota con q t;t la funzione di densità condizionale del prezzo di un azione a scadenza S T sotto la misura Q, condizionato sulla sua naturale ltrazione z t ; allora il prezzo di ogni derivato ¼ t (X ) con payo h X veri ca: Z 1 ¼ t (X) =e r(t t) h(s T )q t;t (S T )ds T (5) 0 1 A livello intuitivo si può cogliere il senso di questa dimostrazione, in quanto tale misura garantisce che in media il rendimento di un azione sia equivalente a quella di un titolo privo di rischio. 4

5 Questo non signi ca ovviamente che i prezzi delle azioni siano processi privi di un rendimento tendenziale (c.d. drift) pari a ¹ e che la misura Q contenga le caratteristiche storiche e ettivamente comprese nella misura originariap. La misuraqela sua densitàq t;t sono meramente un passante matematico che consente di collegare, per nalità computazionali e predittive del processo stocastico S, i prezzi di di erenti opzioni conmedesima maturità e, pertanto, ha un contenuto informativo equivalente ma ben diverso da quello della densità storicap t;t. È per questo motivo che, dalla de nizione del prezzo delle opzioni e ssata l unica misura di probabilitàq, è possibile attraverso il suo studio e ettuare analisi comparative tra le diverse opzioni. Inoltre, lo studio dell equazioneds sotto la nuova misuraq consente di apprezzare le informazioni relative al valore di ¾, cioè la volatilità incorporata nel prezzo di un opzione (c.d. volatilità implicita o implied volatility). Questo valore è infatti contenuto nella densità di probabilitàq t;t. Quanto precede signi ca, quindi, che le informazioni implicite nel prezzo delle opzioni sono interamente contenute nella conoscenza della densita di probabilitàq t;t : Questo ha portato in letteratura a metodi che, partendo dal valore delle opzioni, ricercano la densità di probabilità q. Questa distribuzione q è chiamata implied distribution, e quando q è lognormale la sua varianza è proprio il valore della volatilità implicita nel prezzo delle opzioni. Si descrivono di seguito alcuni metodi utilizzati per estrarre questa funzione di densità di probabilità. Si possono distinguere tre metodi fondamentali: i metodi a espansione, i metodi parametrici e i non parametrici. Questi ultimi hanno il vantaggio di non fare riferimento alla lognormalità della distribuzione del sottostante, in quanto sono sconnessi da ipotesi statistiche di base. Nella presente trattazione tale ipotesi distributiva mantiene comunque una sua centralità e, pertanto, tali modelli vengono tralasciati. Si ricorda comunque che i principali metodi sono: la kernel regression (Ait-Sahalia, Y. & Lo, A.H., 1996 e Breeden, D. & Litzenberger, R., 1978) e la tecnica della maximum entropy (Buchen, P.W. & Kelly, M., 1996). I metodi a espansione hanno in comune, quale strumento per arrivare alla densitàq; l utilizzo di una espansione in serie: La metodologia parte da una densità di probabilità di tipo lognormalep 0 e con successive correzioni costituite dal secondo termine della formula e basate sull osservazione di un 5

6 numero nito di prezzi di opzioni, fornisce una approssimazione parametrica alla densità cercata: 1X P(S T S t x) =P 0 (x) + u k P k (x) Il limite di tali approcci è che la considerazione di un ordine nito di approssimazione per rappresentare una distribuzione di probabilità può condurre a valori di probabilità negative, soprattutto se si includono nel calcolo opzioni deep-(out/in)-the-money. I principali metodi a espansione sono: le lognormal Edgeworth expansions (Jarrow, R. & Rudd, A., 1982), le cumulant expansions (Potters M., Cont R. & Bouchaud, J.P., 1998) e le Hermite polynomials (Abken P., Madan D.B. & Ramamurtie, S., 1996). I metodi parametrici, centrali nella presente trattazione, determinano, invece, la densità Q inferendo dal prezzo delle opzioni il valore dei parametri che la de niscono e, quindi, i diversi momenti centrati e non centrati tra i quali appunto la volatilità implicita. Tra questi metodi si menzionano: a. l implied binomial trees (Rubinstein, M., 1994) che usando il modello dell albero binomiale determina un albero implicito che rappresenta i prezzi delle opzioni osservate. L albero implicito contiene lo stesso tipo di informazioni della densitàq: Il limite è che questa procedura numerica richiede una serie di parametri particolarmente ampio la cui stabilità non è garantita; infatti le probabilità di transizione implicite tra un nodo e l altro cambiano al passare del tempo e vanno, quindi, continamente aggiornate. b. la combinazione di lognormali: (Melick, W.R. & Thomas, C.P., 1997) che assembla diverse lognormali a diverse varianze che per ipotesi rappresentano i diversi prezzi delle opzioni osservate: q(s T ;T;t;S t ) = NX k=1 k=1! k LN( S t ¹ k ¾ k p T ) NX! k =1 doveln(x) è la distribuzione lognormale con varianza unitaria e media pari al tasso di interesse risk-free r. Il limite di questi metodi consiste nella assenza di una giusti cazione teorica o economica e il rischio di arrivare ad un processo stocastico per il sottostante non aderente a quello ipotizzato dal modello di pricing; viceversa il loro principale pregio consiste nella forte aderenza alla realtà osservata. 6 k=1

7 Dallo studio dei metodi parametrici emerge l importanza del parametro di volatilità. Su tale base, una branca della moderna teoria della nanza si è focalizzata, quindi, su una parte piùristretta del problema e, invece, di studiare l insieme dei parametri che compongono la densità di probabilità q t;t, ha centrato la propria attenzione sul dato di volatilità implicita, ritenendo che la misura di probabilitàqdeterminata dai prezzi delle opzioni fosse stabile e consistente con le ipotesi sottese al modello di pricing utilizzato. Si pensi a puro titolo esempli cativo al concetto di implied volatility quale elemento base per inferire sul comportamento futuro della volatilità (Schmalensee & Trippi, 1978 e Dumas, Fleming, Whaley, 1998) o per fare test di e cienza del mercato (Chiras & Manaster, 1978). In particolare, lo studio delle volatilità implicite, quale fattore critico per la previsione del valore delle volatilità del titolo sottostante, è stato a rontato anche attraverso l implementazione di algoritmi di calcolo. Una semplice procedura consiste nel determinare la volatilità futura del sottostante come una media ponderata delle volatilità implicite di opzioni diverse per strike à e scadenza(cox & Rubinstein, 1985): ¾ P = J P wj w j!¾ (t j ;K j ) j=1 j Un altro approccio ha de nito un algoritmo di ricerca del valore critico di volatilità implicita attraverso la minimizzazione di una quantità che studia i rapporti relativi tra i valori di mercato e i valori teorici delle opzioni al variare della volatilità (Beckers, 1981): P min J M(t j;k j ) C(t j ;K j ) j=1 C(tj;Kj) ove M sono i valori di mercato e C i valori teorici dell opzione al variare di ¾: Questa breve rassegna di contributi teorici, attraverso l option pricing theory, ha evidenziato l importanza attribuita in letteratura alla stima della densità di probabilità q ed, in particolare, del valore della volatilità implicita. Inoltre, come si dimostrerà nel paragrafo che segue, questo valore: a. ssato il prezzo di un opzione è unico; b. è legato da una relazione monotona crescente con il prezzo dell opzione; 7

8 c. non è in uenzato nella sua interpretabilità dalla stima del tasso di interesse e di dividendo. Quanto precede consente di a ermare senza perdite di generalità che la volatilità implicita o re una chiave interpretativa univoca in termini di comparabilità del prezzo di diverse opzioni. 2 La volatilità implicita e il prezzo delle opzioni 2.1 Un prezzo, una volatilità Nel noto modello di Black-Scholes, ma tali risultati sono facilmente estendibili anche ad opzioni americane e barriera, il prezzo della call è la soluzione della nota equazione di erenziale parziale (c.d. PDE): C t b¾2 S 2 C SS +rc S =rc (6) con condizione nale nel problema di Cauchy: C(S;T) = (S K) + e condizioni limite per: S! 0 S! 1 C(S;T)! 0 C(S;T)!S Tale soluzione è data dalla nota formula: C(S;t;K;T;r) =SN(d 1 ) e r(t t) KN(d 2 ) (7) dove i coe cientid 1 ed 2 sono dati da: d 1 = lns t K +(r+1 2 ¾2 )(T t) ¾ p T t d 2 = lns t K +(r 1 2 ¾2 )(T t) ¾ p T t e N(x) è la distribuzione normale standard cumulativa. Calcolando le derivatec ;C ;C SS C e sostituendo valori nella [6] si veri ca che la formula di Black-Scholes 2 soddisfa la relativa 8

9 PDE solo ed esclusivamente a condizione che il valore di volatilità implicita espressa nella PDE risulti uguale a quello della formula [7]: C t = Sn(d 1)¾ 2 p T t rke r(t t) N(d 2 ) C S =N(d 1 ) C SS = n(d 1) S¾ p T t Infatti, sostituendo nella [7] le derivate parziali si ottiene: Sn(d1)¾ 2 p rke r(t t) N(d T t 2 ) b¾2 S 2 n(d1) S¾ p +rsn(d T t 1) = r[sn(d1) e r(t t) K N (d2)] sempli cando la precedente espressione si ha: 0 = Sn(d 1)¾ 2 p T t b¾2 S n(d 1) ¾ p T t È evidente che solo a condizione che b¾ =¾ si può ulteriormente procedere alle sempli cazioni necessarie per risolvere l equazione 2. In tal modo si dimostra che, dato il prezzo di un opzione, il valore di volatilità implicita è unico. Risultati analoghi si possono ottenere per opzioni più complesse quali le americane e le barriera in quanto anche queste devono soddisfare la l equazione di erenziale parziale di Black-Scholes. 2.2 Il rapporto tra volatilità e prezzo Lo studio di questa relazione evidenzia che al crescere della volatilità il prezzo aumenta. Tale relazione è vera sia per le call che per le put. A tal ne si prendano opzioni europee call e put partendo dalle relative formule di Black-Scholes (ma i risultati sono facilmente estendibili ad opzioni americane e barriera): C =SN(d 1 ) Ke r(t t) N(d 2 ) P =Ke r(t t) N( d 2 ) SN( d 1 ) Si calcola, quindi, la derivata del prezzo in relazione alla volatilità detto @¾ SN(d1 ) Ke r(t t) N(d 2 ) 2 Si omette la parte nale della dimostrazione che il limite del prezzo della call per t che va a T risulti pari esattamente al valore intrinseco. 9

10 @ 1 N(d (d 1) Ke 2 N(d d 2 ricordando ched 2 =d 1 ¾ p T t: =S N 0 (d (d 1) Ke r(t t) N 0 (d 2 d1 ¾ p T sempli cando e raccogliendo a (d 1): = S N 0 (d 1 ) Ke r(t t) N 0 (d (d 1) Ke r(t t) N 0 (d 2 ) p T t Si dimostra che 3 : S N 0 (d 1 ) =Ke r(t t) N 0 (d 2 ) e pertanto utilizzando questo risultato =S N0 (d 1 ) p T t (8) Questa relazione, come facilmente dimostrabile, è identica nel caso dell opzione put. L analisi della [8] evidenzia una correlazione positiva tra volatilità e prezzo delle opzioni. Infatti, essendod 1 sempre maggiore di zero, anche il valore di densità della probabilità della normale standard è sempre maggiore di zero e lo stesso dicasi pers e per p T t: Pertanto, al crescere della volatilità cresce anche il prezzo dell opzione. 2.3 La volatilità implicita, la stima dei tassi di interesse e dei dividendi Si evidenzierà in questo paragrafo che il diverso valore di tasso di interesse o di stima di dividendo non altera l univocità di risultato nel calcolo della volatilità implicita né le sue caratteristiche rilevate nei paragra precedenti. 3 Ciò in quanto se si ipotizza vera la tesi ne consegue: S 1 p 2¼ e d2 1 2 = K 1 p 2¼ e d2 2 2 r(t t) da qui prendendo il logaritmo: ln K S d d r(t t) = 0 esplodendo e sempli cando: ln K S d (d2 1 + ¾ 2 (T t) 2d 1 ¾ (T t)) + r(t t) = 0 ln S K + ¾2 St ln (T t) 2 0 = 0 c.v.d. K +(r+1 2 ¾2 )(T t) ¾ p T t ¾ (T t) + r(t t) = 0 10

11 In particolare, si dimostrerà che a condizione che queste stime siano uguali per tutte le opzioni in analisi, non risulta alterata la comparabilità relativa dei dati di volatilità implicita e, quindi, la loro capacità di apprezzare il costo relativo delle opzioni. Con riferimento alla stima del tasso di interesse è infatti su ciente considerare invece del processo stocastico dello spot prices T il processo del prezzo forward F ed, in particolare, ipotizzando che l evoluzione del processo del prezzo forward dell aziones nel tempo sia descritto per il tramite di un equazione di erenziale stocastica ed in particolare da: la cui soluzione si dimostra essere 4 : df =¾FdW (9) F(t) =e r(t t) S(t) (10) Il prezzo dell opzione in tale caso ci viene dal modello di Black (Black, F., 1976): C(F;t;K;T;r) =FN(d 1 ) KN(d 2 ) dove i coe cientid 1 ed 2 sono: d 1 = lnf K +(1 2 ¾2 )(T t) ¾ p T t d 2 = lnf K +(1 2 ¾2 )(T t) ¾ p T t 4 Tale risultato è facilmente ottenibile applicando la regola di Ito: df = df df dt + dt dw dw t e ricordando che: ³ r ¾2 2 S T = S t e Pertanto, si ha: d 2 F dt dw 2 (T t)+¾(w T W t) F (T) = F (t)e ¾2 2 dt+¾dwt e calcolando le derivate: df dt = ¾2 2 F df dw = ¾F d 2 F dw = ¾ 2 F 2 e sostituendole in df le derivate si ha: df = ¾2 2 F dt + ¾dW t ¾2 Fdt sempli cando si ha: df = ¾F dw c.v.d. 11

12 ove il prezzo della call soddisfa la versione forward della Black-Scholes PDE: con condizione nale: C(F;T) = (F K) + e appropriate condizioni limite per: F! 0 F! 1 C(F;T)! 0 C(F;T)!F 0 =C t b¾2 F 2 C SS (11) Considerato che: C t = Fn(d1)¾ 2 p T t C SS = n(d1) F¾ p T t e sostituendo tali derivate parziali nella equazione [11] è facile notare che la formula di Black è una soluzione della PDE se e solo se b¾ è uguale a¾; e cioè se il valore di volatilità implicita nel prezzo di un opzione è unico. Questo risultato è estendibile facilmente anche ai dividendi considerando un altro processo stocastico che includa tale tasso di rendimento. Infatti, qualora si ipotizzi un tasso di dividendo continuo pari a y; attraverso alcune manipolazioni algebriche le medesime conclusioni risultano immediate. Queste considerazioni consentono di a ermare che: a. il dato di volatilità implicita nel prezzo di un opzione rimane unico al variare delle stime di dividendo e di tasso di interesse, a condizione che i processi stocastici che li descrivono siano tra loro indipendenti; b. utilizzando medesime stime dei tassi di interesse e di dividendo per le diverse opzioni analizzate, l unicità del valore di volatilità e la circostanza che unica è la relazione che raccorda volatilità e prezzo consente al dato di volatilità implicita, prescindendo dai valori di tali stime, di o rire una percezione univoca del costo relativo di un opzione. 3 Il calcolo della volatilità implicita Nel modello di Black-Scholes, tutti i prezzi delle opzioni sono descritti quindi da un singolo parametro: la volatilità del titolo sottostante. Pertanto, 12

13 la conoscenza del prezzo dell opzione o della volatilità consente di calcolare l altro parametro e viceversa. Nella pratica, la volatilità non è sempre osservabile, mentre i prezzi delle opzioni lo sono. L inversione della formula potrebbe, pertanto, essere utile per arrivare al valore di volatilità e cioè determinare il valore¾ BS che restituisce il prezzo osservato sul mercato attraverso la formula di Black-Scholes. In sintesi: 9¾ BS (K;T); C(S t ;K;¾ BS (K;T);T) =P Questo valore come già detto è chiamato volatilità implicita (Schmalensee, R. & Trippi, R.R., 1978))¾ BS (K;T) e può essere ottenuto attraverso una soluzione numerica, in quanto la formula di Black-Scholes essendo non lineare non è invertibile analiticamente. Il più semplice algoritmo di soluzione è l algoritmo di ricerca binomiale. Il primo passaggio della procedura consiste nel ssare un sigma su cientemente alto da restituire un prezzo calcolato più alto di quello osservato (¾ h ). Viene assegnato a¾ l un valore piccolo a piacere che restituisca un prezzo piu basso di quello osservato. Quindi, il valore reale di sigma viene calcolato per bisezioni successive dello spazio tra¾ h e¾ l (ponendo¾pari alla media dei due valori, calcolando con tale valore il prezzo dell opzione e assegnando a¾ h ovvero a¾ l il valore di¾ calcolato ad ogni iterazione, a seconda che il prezzo calcolato sia maggiore o minore del prezzo osservato) no a ottenere uno scostamento su cientemente piccolo (errore di approssimazione) tra prezzo teorico e prezzo reale. In formule se: f(x) = 0 è l equazione che vogliamo risolvere, dato una stimax max tale chef(x max )>0 e una stimax min tale chef(x min )<0, si itera utilizzando la formula: x i+1 = (x max x min ) 2 e ponendo: x max =x i+1 sef(x i )> 0 x min =x i+1 sef(x i )< 0 no a che: jf(x i+1 )j<" dove " è il grado di accuratezza della stima. Nel nostro caso, come detto, la funzione f (x) è una funzione in ¾ data da: c BS (¾) c 0bs 13

14 ove c BS (¾) è il valore teorico dell opzione c 0bs è il prezzo osservato dell opzione Alternativamente a questo algoritmo si può utilizzare il metodo di ricerca della radice di un equazione Newton-Raphson. Sef(x) = 0 è l equazione che vogliamo risolvere, data una prima stima di provax o, si itera utilizzando la formula: x i+1 =x i f(xi) f 0 (x i ) no a che: jf(x i )j<" dove" è il grado di accuratezza della stima. Nel nostro caso la stima della volatilità implicita nisce per utilizzare il valore del vega dell opzione. In particolare, la funzionef(x) è una funzione in ¾ data da: c 0bs c BS (¾) e per ogni nuova iterazione calcoleremo: ¾ i+1 =¾ i c 0bs c BS (¾ i BS BS =vega Entrambi i metodi possono essere utilizzati con il modello di Cox-Ross- Rubinstein adattato per il pricing di opzioni americane. 4 Il comportamento degli operatori e degli investitori Gli operatori che, in un mondo sempli cato ove si negozino solamente opzioni call e put, vogliano determinare i valori di volatilità implicita relativi, si trovano, alla luce di quanto dianzi esposto, a utilizzare e studiare le formule che seguono; nel caso della call: Z 1 C(S t ;K;T t;r) =e r(t t) max(s T K;0)q t;t (S T )ds T (12) 0 e nel caso della put: 14

15 Z 1 P(S t ;K;T t;r) =e r(t t) max(k S T ;0)q t;t (S T )ds T (13) 0 Queste formule infatti, come è noto, calcolano il valore di un opzione europea dati il prezzo del sottostante, la durata del contratto, il tasso di interesse, il prezzo strike e la volatilità. In questo modello esiste pertanto un solo parametro che non può essere direttamente stimato: la volatilità dell azione sottostante. È, quindi, evidente l opportunità per gli operatori per nalità di trading e di risk management di quotare i prezzi delle opzioni in termini di volatilità implicita. Tale approccio, infatti, consente di considerare speci che caratteristiche dell opzione e non le singole oscillazioni di prezzo del sottostante il cui monitoraggio è connesso esclusivamente a nalità di hedging statico, tipicamente basato sul calcolo del delta e del gamma. Questo non implica, nè signi ca che gli operatori ritengano che il modello di Black-Scholes per le opzioni europee o di Cox-Ross-Rubinstein adattato per le opzioni americane sia perfetto, ma solamente che l analisi del valore della volatilità implicita rende le loro quotazioni dei prezzi delle opzioni più e cienti e oggettive (Schonbucher, 1998). Infatti, i trader di opzioni invertono la formula prevista dai modelli citati in quanto consente di ricavare rapidamente dal prezzo la volatilità e viceversa.(chiras, Donald P., Manaster, Steven, 1978) Per quanto concerne il punto di vista dell investitore che voglia investire in opzioni e abbia la possibilità di scegliere tra più opzioni sul medesimo sottostante, ma simili per strike e scadenza, questi e ettua generalmente la scelta esclusivamente sulla base di un apprezzamento qualitativo, di dubbia e cacia, di tali parametri in relazione al prezzo osservato. In altri termini, la di erenza tra i prezzi esposti analizzati qualitativamente in relazione ai diversi valori dello strike e della scadenza non è in grado di rendere comparabili in termini di costo relativo le opzioni. Per comparare diverse opzioni può, invece, essere e cacemente utilizzata, per quanto in precedenza illustrato, la volatilità implicita. Questa, infatti se resa disponibile all investitore o rirebbe la possibilità di apprezzare il costo di un opzione al netto delle sue caratteristiche strutturali. 15

16 È comunque da precisare che questo dato deve essere utilizzato dall investitore solo a condizione che le opzioni siano simili per struttura ovvero per strike e scadenza, altrimenti la sua osservazione potrebbe risultare fuorviante. Si ricordano, infatti, a puro titolo esempli cativo, i lavori di Derman e altri riportati in bibliogra a che hanno evidenziato la presenza di una variabilità della volatilità in relazione alle caratteristiche strutturali di un opzione. 16

17 Glossario T scadenza dell opzione w i pesi all interno di una ponderazione ¼ t prezzo di un opzione al tempot B prezzo di un titolo privo di rischio S valore del sottostante di un opzione S valore del sottostante scontato di un opzione F valore del sottostante forward di un opzione X =h(s T ) funzione del sottostantes K prezzo strike di un opzione P;Q misure di probabilità del sottostantes p;q funzioni di densità di probabilità dih(s T ) ¹ tasso di rendimento dis ¾ deviazione standard del tasso di rendimento di S ¾ BS volatilità implicita nel prezzo delle opzioni determinato per inversione del modello di Black-Scholes r tasso di rendimento risk-free W moto browniano unidimensionale N(x) distribuzione normale LN(x) distribuzione lognormale c BS (¾ ) valore teorico dell opzione restituito dalla formula di Black-Scholes c0bs prezzo osservato dell opzione 17

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