Richiami di cinematica

Transcript

1 Rihimi di inemti rof. Giorgio Butto Dirtimento di Informti e Sitemiti Univerità di vi E-mil: utto@univ.it Sitemi rootii Sono itemi otituiti d un inieme di ori rigidi (link) onnei medinte giunti ttuti. DOF (degree of freedom) numero di giunti indiendenti Tii di giunto rotionle rimtio

2 Tii di root r rteino ρ ilindrio ϕ olre r Mnioltori ntroomorfi 5 4 ntroomorfo 6 4

3 Root rlleli 5 Root rlleli ittform di Sturt 6

4 7 rolem inemtio oiionre l in nello io in un dt oiione e on un dto orientmento rietto d un item di riferimento oluto. F Loione (,,, α,, ϕ) etul he eifi oiione e orientmento di un tern rietto un item di riferimento F F Soluione inemti Vlori dei giunti he ortno l in nell loione deidert 8

5 Rihimi di trogonometri r in( α ) inα o( α ) oα (inα) + (oα) r o r in in tg o rtn in( α + β ) inα o β + oα in β o( α + β ) oα o β inα in β tnα + tn β tn( α + β ) tnα tn β 9 Rihimi di trogonometri tg π/ π π/ π er riolvere il duio ul doio ngolo i u: tn(, )

6 Vettori + rtn omm + + differen rodotto lre n i i i o Eemio: + +

7 rodotto vettorile in gie ull erendiolre l ino di e il vero di è dto dll regol dell mno detr o dll regol dell vite r r r Determinnte Mtrii E definito olo er mtrii qudrte. er un mtrie vle: det er mtrii nn i h: oure: det det n i+ k ik ( ) detik k n k + j kj ( ) detkj k viluo ull rig i viluo ull olonn j ik è l mtrie (n-)(n-) ottenut d eliminndo l rig i e l olonn k. 4

8 5 Eemio Svilundo ull rig i h: det det det quindi: det det det det 8 6 Mtrii 5 4 Trot L trot di è l mtrie T he i ottiene d mindo le righe on le olonne: 5 4 T [ ij ] n,m T [ ji ] m,n Eemio

9 Inver Mtrii E definit olo er mtrii qudrte on determinnte divero d ero: dj det dove dj (dett ggiunt di ) è un mtrie nn i ui elementi vlgono: ' ij ( ) i+ j det ji Eemio verifire he - I dj det 7 lger delle mtrii Se [ ij ] n,m B [ ij ] n,m Somm Sottrione + B C [ ij + ij ] n,m B C [ ij ij ] n,m rodotto Se [ ij ] n, B [ ij ],m B C [ ij ] n,m ij k ik kj 8

10 Eemio B 4 4 Clolo dell elemento ij : rig i di olonn j di B [ i i i ] j j j ij i j + i j + i j C Mtrii: rorietà + B B + (+B) + C + (B+C) ( B) C (B C) (B + C) B + C B B omm ommuttiv omm oitiv rodotto oitivo ditriutiv rodotto non ommuttivo

11 Mtrii: ltre rorietà ( T ) T (+B) T T + B T ( B) T B T T I ( ) I ( B) B ( T ) ( ) T det ( T ) det () det (B) det det B det ( ) det () rngo: mimo numero di olonne indiendenti V e V ono indiendenti e k : V kv rngo() n det() rngo() < n det() Deriione ile oiione {} {} item di riferimento rteino deriione di rietto d {}

12 Rotione Deriione ile L rotione di un tern {B} rietto d un tern {} i definie erimendo i tre verori di {B} rietto d {}: B {B} {} R B [ X B YB Z B ] B Mtrie di rotione B Eemio Se l tern {B} è ruott di intorno B i h: B {} B o in B in o B {B} B B RB o in in o Mtrie di rotione 4

13 Frme Deriione ile Un tern {B} è omletmente deritt dll oiione dell u origine e dll rotione dei ui i rietto d {}: {} B B {B} B B { R } B, B Frme 5 Trformioni Conentono di mire l deriione di un oggetto d un tern di riferimento d un ltr. Trlioni ure {} B {B} B B + B B B B 6

14 Rotioni ure Trformioni B {B} {} R B B B B 7 Roto-trlioni Trformioni B {} {B} B B B B B RB + B 8

15 9 Trformioni omogenee B B B R + Conentono di derivere un roto-trlione er meo di un oertore mtriile: T B B Trformioni omogenee Utilino un rreentione vettorile in R 4 R R 4 unti: vettori: frme: v v v v v v { }, B B R R B B

16 Trformioni omogenee Nello io omogeneo i h: B T dove: B T B R B B Inftti: R B B B R B B + B TRNS B Eemi Trlioni ure d d d ROT B Rotioni ure r r r r r r r r r T B Roto-trlioni r r r d r r r d r r r d

17 Trformioni omogenee: rorietà Invertiilità {} {B} T B B T B T ( T B ) 4 Trformioni omogenee: rorietà NOT: L inver di un mtrie on olonne ortonormli è ugule ll u trot Quindi i h: o o o o n n n n o n o n o n

18 Trformioni omogenee: rorietà Comoniilità {B} B T C {C} {} T B T C T C T B B T C 5 Trformioni omogenee: rorietà L omoniilità non è ommuttiv T T T T Si: T TRNS(, L) T ROT(, ) T T L TT L L 6

19 Cinemti dei root {B} {W} Cinemti dirett: Cinemti inver: B T W (,, n ) i f i (,,, α, β, γ ) loione del olo 7 Si di rreentione L onfigurione di un mnioltore N grdi di liertà uò eere deritt nei eguenti i di rreentione: Sio rteino: Sio dei giunti: Sio di ttuione: R 6 R N α R M vettore he erime l loione del olo vettore delle vriili dei giunti vettore delle vriili dei motori (M N) in. dirett io di ttuione io dei giunti io rteino R M R N in. inver R 6 8

20 Convenioni i trformione omogene he derive {i} rietto {i } T i trformione omogene he derive {i} rietto {} i i- T i T i i 9 Eemio : root rteino D T 4

21 4 Eemio : rotioni oggetti D rolem: Trovre le oordinte dei vertii del tringolo nello io di riferimento fio T 4 Eemio : lolo oordinte L (L, ) (, H) (, -H) H H i T i + + L L + H H + H H

22 Eemio : rogrmm old old ; t urrent_time(); T mling_eriod; while () { inut(v, tet); v v * o(tet); v v * in(tet); old + v*t; old + v*t; delete_ojet(old, old); drw_ojet(, ); old ; old ; t t + T; lok_until(t); } 4 Eemio : root dof L H L H L L 44

23 Eemio : lolo di T L L T L + L H T H + L + L imologi in( + ) o( + ) in( + + ) o( + + ) 45 Cinemti inver - Conite nel rivre le oordinte del olo in funione delle oordinte dei giunti: Il olo è deritto dll trformione T * α T * α α α α H L + L T H + L + L 46

24 Cinemti inver - Eguglindo T * on T i ottiene: α + + L + L H + L + L () () () Ririvimo l () e l () ome egue: L + L H L + L Qudrndo e ommndo i h: 47 Cinemti inver - D ui i riv: E quindi: + ( H) L +L + L L ± + ( H ) L L L tn(, ) L L elt del egno diende dll onfigurione del gomito deidert: gomito in u + gomito in giù 48

25 Cinemti inver - 4 Configurione gomito u ( < ): < Configurione gomito giù ( > ): > 49 Cinemti inver - 5 Rivto, riolvimo l () e l () in termini di : L + L L (L + L ) (L ) H L + L + L (L + L ) + (L ) onendo k L + L k L i h: k k H k + k 5

26 Cinemti inver - 6 Srivimo k e k ome: k r oγ k r inγ r + k k γ tn(k, k ) Quindi: r γ r γ r o(γ+ ) H r γ + r γ r in(γ+ ) Ovvero: tn( γ + ) H 5 Cinemti inver - 7 E quindi: tn( H, ) γ dove: γ tn(k, k ) tn(l, L +L ) Infine, dll () i riv: α 5

27 Root 4 dof: lolo mtrii e H L imologi i in i i o i 5 Root 4 dof: lolo mtrii e L L imologi i in i i o i 54

28 55 imologi in( + ) H L L L L L ) ( ) ( H L L L L L L L L T o( + ) 4 in( ) 4 o( ) Root 4 dof: lolo mtrie T 4 56 Root 4 dof: inemti inver - * T α α ϕ ϕ α ϕ α ϕ ϕ ϕ α ϕ α ϕ ρ ρ Il olo è deritto dll trformione: 4 4 ρ ϕ 4 α

29 Root 4 dof: inemti inver - Eguglindo T * on T 4 i ottiene: α + + () 4 ϕ () ρ L L + L () H L + L (4) Qudrndo e ommndo l () e l (4) i h: (ρ L ) + ( H) L +L + L L 57 Root 4 dof: inemti inver - D ui i riv: E quindi: ( L ) ρ ± tn(, ) + ( H ) L L L L L elt del egno diende dll onfigurione del gomito deidert: gomito in u + gomito in giù 58

30 Root 4 dof: inemti inver - 4 Rivto, riolvimo l () e l (4) in termini di : ρ L (L + L ) (L ) H (L + L ) + (L ) onendo k L + L k L i h: ρ L k k H k + k 59 Root 4 dof: inemti inver - 5 Srivimo k e k ome: k r oγ k r inγ r + k k γ tn(k, k ) Quindi: ρ L r γ r γ r o(γ+ ) H r γ + r γ r in(γ+ ) Ovvero: tn( γ + ) H ρ L 6

31 Root 4 dof: inemti inver - 6 E quindi: tn( H, ρ L ) γ dove: γ tn(k, k ) tn(l, L +L ) Infine, dll () i riv: 4 α 6