4 Dimensionamento degli elementi costruttivi

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1 4 Dimensionamento egi eementi costruttivi 4.1 Eementi singoi sempici Piastri compressi e presso inessi Piastri soggetti a carico i punta La resistena spesso più vincoante per un eemento compresso è quea egata non tanto a un criterio i resistena ea seione (iustrato ne capitoo ), ma piuttosto a un criterio i stabiità e equiibrio. L equiibrio i un sistema eastico come queo i igura 4.1 può essere i tipo stabie oppure instabie a secona che i carico assiae agente sia, rispettivamente, minore, oppure non minore i un parametro etto carico critico. Ne caso i equiibrio stabie (N < N cr ), se a etto sistema viene imposto temporaneamente una piccoa eviaione aa posiione iniiae, i sistema tene a ritornare nea posiione iniiae; ne caso i equiibrio instabie (N N cr ), a seguito ea perturbaione, i sistema si aontana einitivamente aa coniione i equiibrio. N<N cr N > N cr Posiione iniiae Stabie Instabie Spostamento aterae imposto Figura 4.1 Stabiità i orma per un asta soggetta a carico i punta. Nei probemi i stabiità i carico critico viene eterminato consierano e equaioni i equiibrio in una coniguraione eormata e eemento, coniguraione che è egata ae coniioni i vincoo e sistema. I probema ea stabiità ei sistemi eastici è stato ormuato e risoto per a prima vota a Euero ne XVIII secoo proprio per i caso ea coonna compressa i igura 4.1. Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

2 76 CAPITOLO 4 L espressione generae eueriana e carico critico per asta compressa è a seguente: N cr E J = π (4.1) ove a unghea ibera i inessione varia a variare ee coniioni i vincoo come iustrato in igura 4.. =,5,7 1, 1,, Figura 4. Lunghee ibere i inessione per un asta soggetta a carico i punta per iverse coniioni i vincoo. La unghea ibera corrispone aa istana ra punti consecutivi i esso ea eormata critica. Spesso è più conveniente consierare espressione eo soro critico ivieno ambo i membri ea reaione i Euero per area ea seione: ove i λ Ncr π E J π E i π E cr = = = = (4.) A A λ è i raggio giratore i ineria ne piano i sbanamento e asta e che, ne caso comune i seione rettangoare i atea h (ne piano i inessione), pari a J h i = = (4.3) A 1 è a sneea e asta, pari a Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

3 DIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI COSTRUTTIVI 77 λ = (4.4) i Se si rappresenta graicamente espressione (4.), si ottiene iperboe i Euero, cioè una curva che rappresenta cr in unione ea sneea e eemento. Tae curva è vaia ne ipotesi i materiae a comportamento ineinitamente eastico ineare, mentre consierano i comportamento reae e materiae è possibie, per eterminate geometrie, che si superi a resistena a compressione sempice e materiae prima che si instabiii asta: per questo eve essere moiicata come nea igura 4.3, per tenere in consieraione i comportamento reae e materiae. c, cr c, ε λ cr λ Figura 4.3 I comportamento e materiae etermina a moiica ea curva i Euero. Si eve quini imporre a coniione i crisi ea coonna per raggiungimento ee tensioni massime c, in una seione = (4.5) Eguagiano a reaione (4.) con a reaione per i carico critico (4.5), e espicitano i termine ea sneea, si ottiene i vaore i sneea critica, cioè un parametro che rappresenta i iscrimine tra aste toe e aste snee cr c, E λ = π (4.6) Per λ λ cr (asta toa) risuta più stringente a veriica i resistena, mentre per λ > λ cr (asta snea) risuta più stringente a veriica i instabiità. La veriica a coasso ea coonna può essere quini riscritta ne moo seguente ove c c, (4.7) c 1 per λ λcr c = (4.8) 1 per λ λ cr λ re Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

4 78 CAPITOLO 4 Per aste toe c assume un vaore unitario (si ritrova quini a veriica i resistena riportata ne capitoo ), mentre per aste snee i vaore i c può essere acimente ricavato aa reaione i Euero, tramite a seguente einiione i sneea reativa λ re : λ λ c, λ c, c, λre = = = = λcr π E π E cr (4.9) Da essa, espicitano cr, si ritrova: ovvero a secona espressione i (4.8). re 1 cr = c, (4.1) λ N Ncr N N cr N e o Figura 4.4 Comportamento ieae e reae e asta compressa. La curva i instabiità rappresentata ae reaioni (4.8), escrive un comportamento ieae e asta (instabiità eueriana), non teneno in consieraione i comportamento non ineare e materiae, e ea presena i impereioni che si osservano nei casi reai. Nea teoria eueriana instabiità è raggiunta per biorcaione e equiibrio (si ha cioè un carico critico che rappresenta i iscrimine tra e coniioni i equiibrio stabie e instabie). Ne comportamento reae, a causa ee impereioni geometriche e meccaniche e sistema (per esempio un impereione iniiae e e asta), instabiità si raggiunge per un carico utimo N ineriore a N cr (igura 4.4). A ine i eterminare un espressione e carico critico che tenga in consieraione i comportamento reae e materiae, si iustra i seguito anaisi i stabiità i un asta in coniguraione eormata, con a presena i una impereione iniiae. Si accia rierimento aa igura 4.5, ove impereione geometrica iniiae ipotiata ha anamento sinusoiae con eccentricità massima pari a e : π x e( x) = e sen (4.11) L anaisi e secono orine impone i ricercare equiibrio nea coniguraione eormata, quini equaione ea inea eastica eve essere riscritta come segue: M N π x = = ( x) + e sen (4.1) x E J E J Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

5 DIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI COSTRUTTIVI 79 Integrano, si ottiene espressione ea eormaione massima in meeria pari a ( + e ) = e α N (4.13) max = ove α è i coeiciente i ampiicaione che vae (si vea, per esempio, Beui 1941) 1 α = (4.14) N 1 N cr N N e o e o x Impereione iniiae Coniguraione eormata Figura 4.5 Asta i Euero con impereione iniiae e sua coniguraione eormata. Si einisca un coeiciente re come segue: 1 re = (4.15) λ ricorano a einiione i λ re si può esprimere re come rapporto tra a soecitaione critica eueriana e a tensione massima i rottura c, : 1 cr re = = (4.16) λre c, motipicano e ivieno per re, i coeiciente i ampiicaione iventa quini: re re α = (4.17) c, re La tensione i essione massima in meeria si può scrivere come: c, Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

6 8 CAPITOLO 4 N max N e N e re m = = α = (4.18) W W W c, re c, Anano a vautare espressione i combinaione per soecitaioni i compressione e essione, ne ipotesi i comportamento eastico-ineare: c, m + = 1 (4.19) c, m a cui si ottiene: c, A e c, re 1+ = 1 (4.) W c, c, m re c, Per i piastri sottoposti a soo soro normae si vuoe giungere a una ormua i veriica e tipo i quea a compressione sempice, con un coeiciente c che tenga in consieraione anche gi eetti instabiità: c, c c, (4.1) I attore c = c, / c, può essere quini inserito nea (4.), otteneno A e c, re 1 c + = 1 (4.) W m re c espicitano c si perviene quini a un equaione i secono grao, 1 A e c 1 c + c + + re + re = (4.3) W m Risoveno tae equaione si può arrivare a seguente vaore per c, in unione i un parametro re re λ c = (4.4) λ Tramite un sempice passaggio espressione i c può essere riscritta nea orma in cui viene soitamente riportata nei iversi ocumenti normativi re λ + λ 1 c = = (4.5) λ re + λre + λre La einiione e parametro eriva aa trattaione anaitica appena esposta e c, = c, =, λ + + re,5 1 η λ λre (4.6) r m m re Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

7 DIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI COSTRUTTIVI 81 ove r = W/A è a semiiagonae e noccioo centrae i ineria, e aveno posto i vaore i impereione massima e in unione ea sneea ea trave tramite a seguente reaione: e = η λ r (4.7) In versioni preceenti ea normativa europea EN 1995:4 si prescrivevano per η vaori pari a,6 e,4 rispettivamente per i egno massiccio e per i egno ameare (ciò equivaeva a ipotiare una eccentricità iniiae ea coonna pari a circa /3 per i egno massiccio e a circa /5 per i egno ameare). Nee versioni più recenti ei ierenti ocumenti normativi si sono utiiate per i parametro espressioni moiicate come segue: ( 1+ β ( λ λ ) + ) =,5 c re re λre per λ re > re λ (4.8) in cui λ re è posto pari a,5 per i ocumento Nicoe, e,3 per EN 1995:4 e DIN 15:4. Si aotta β c =, ne caso i egno massiccio e β c =,1 per i egno ameare, quaora a membratura soisi aeguati imiti i rettiineità. Ne caso i eementi singoi compressi stabiiati a vincoi intermei, a eviaione iniiae aa rettiineità tra i supporti intermei ovrà essere contenuta entro 1/5 ea istana tra i vincoi intermei ne caso i eementi i egno ameare incoato, e entro 1/3 per tutti gi eementi i egno massiccio. Ne caso in cui si abbia λ re, λ re si può assumere c =1. Nonostante anaogia ormae, e curve i instabiità escritte aa reaione (4.8) erivano a metoi aternativi a queo anaitico appena escritto, basati sostaniamente su simuaioni numeriche in cui i piastri sono stati schematiati teneno conto ee proprietà e materiae e ee impereioni geometriche osservate in coonne reai. Nee simuaioni, a ogni piastro sono state assegnate in maniera casuae e proprietà i rigiea e i resistena nonché i vaori e eccentricità iniiae: per un vasto numero i piastri aventi stessa sneea e casse i resistena ierenti si ottiene una istribuione i vaori i carico utimo e si può eterminare i vaore caratteristico, otteneno quini un punto ea curva instabiità. Inotre i cacoo e carico utimo è stato eettuato teneno in consieraione e eormaioni pastiche e egno soggetto a compressione paraea ae ibre: questo approccio consente i ottenere curve i instabiità meno conservative e più aerenti aa reatà sperimentae rispetto a quee ottenute in preceena (Bass, 1995). Un conronto tra e iverse curve i instabiità, che escrivono inuena ea sneea sua capacità portante i piastri oppiamente incernierati, è riportato in igura 4.6. Approccio normativo Consierano un asta sottoposta a soro normae (vei igura 4.7), e veriiche i stabiità evono essere compiute sia con rierimento aa possibie inessione ne piano orte x ea seione e piastro (essione intorno a asse ), sia aa essione ne piano eboe x (essione intorno a asse ). Occorre inatti notare, come si evince aa igura 4.7, che entrambe e veriiche risutano necessarie, in consieraione ei possibii iversi grai i vincoo, e quini ee iverse unghee ibere i inessioni, nei ue piani. Ne caso i inessione ne piano eboe ea seione (essione intorno a asse ), a sneea reativa viene eterminata con un espressione erivata aa (4.1): λ re, = (4.9) c,, c, crit, Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

8 8 CAPITOLO 4 esseno i vaore caratteristico a compressione paraea ae ibre, mentre c,crit, è i carico critico eueriano per inessione ne piano x che, in accoro con a (4.), i iversi ocumenti normativi pongono pari a c,crit, E,5 λ π = (4.3) 1,,8 c,/ c,,6,4 EN 1995 Trattaione anaitica curva i Euero ocumento Nicoe EN 1993 (curva b),,,,5 1, 1,5,,5 3, λ re Figura 4.6 Conronto tra a curva i instabiità i Euero, espressione (4.6) erivata anaiticamente, e curve i instabiità ate a iverse normative per i egno ameare, a curva b) per acciaio secono EN Si noti che, trattanosi i un parametro coegato a carico utimo per instabiità, in questo caso per i mouo eastico paraeo ae ibre E,5 si aotta i rattie a 5 percentie e non, come avviene per esempio per i cacoo ea reccia, i vaore meio. La sneea λ e eemento rispetto aa inessione intorno a asse (inessione in ireione ), si etermina attraverso a seguente reaione: con, λ = (4.31) i J i = A (4.3) ove, è a unghea i ibera inessione attorno a asse (inessione nea ireione ); A è area ea seione trasversae e asta; J è i momento ineria ea seione rispetto a asse. Ne caso i trave con seione rettangoare b h (si vei igura 4.7) si ha: Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

9 DIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI COSTRUTTIVI 83 b i = (4.33) 1 i conseguena espressione per a sneea λ è pari, in accoro con (4.31), a:,, λ = = 1 (4.34) i b a cui a seguente espressione ea sneea reativa λ re, : 1 c,,, λ re, = (4.35) π E, 5 b Ne ipotesi i egno ameare i coniera si può aottare, a avore i sicurea, i rapporto minimo E,5 / 38,8, trovato tra e cassi i resistena in EN 1194:, otteneno a seguente espressione sempiicata per i cacoo ea sneea reativa λ re, : λ re, =, 57 (4.36) b In maniera anaoga si etermina, ne caso i inessione ne piano orte ea seione (essione intorno a asse, inessione in ireione ), a sneea reativa λ re,. Ne caso i trave con seione rettangoare b h, e ne ipotesi i E,5 / 38,8, si può ottenere a seguente espressione sempiicata per i cacoo ea sneea reativa λ re, λ re, =, 57 (4.37) h Ne caso i veriica i stabiità i una singoa membrature a interno i una struttura ignea, i iversi ocumenti normativi (EN 1995:4, DIN 15:4, ocumento Nicoe), prescrivono che a coniione i stabiità ebba essere veriicata con i metoo ea coonna moeo. La veriica i instabiità si eettua tramite un cacoo a compressione, con una ormuaione anaoga aa (4.1), utiiano, per a einiione i c, una unghea ibera i inessione che tenga in consieraione e reai coniioni i vincoo ea struttura (si vea a igura 4.). Nea maggior parte ei casi pratici si possono utiiare e ormue che saranno iustrate ne capitoo 5 (tabea 5.1) Piastri pressoinessi Ne caso più generae i asta pressoinessa sottoposta a soro normae e essione nei piani x e x (igura 4.7), in mancana i vautaioni approonite su eetto combinato i instabiità assiae e essotorsionae, a normativa europea EN 1995:4 impone una sempice ormuaione i interaione i tipo ineare. Con rierimento a un eemento sottoposto a soro normae e essione nei piani x e x (igura 4.7), evono essere veriicate e seguenti coniioni c,,,, + + m 1 (4.38) ove c, c,, c, c,, c,, +, m,,,, +,,, 1 (4.39) Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

10 84 CAPITOLO 4 è a tensione i compressione erivante aa ora normae;, e, sono e tensioni i essione ovute, rispettivamente, a carico q ne piano x e a carico q ne piano x; c, e c, sono i coeicienti i tensione critica; m è i coeiciente già introotto per a veriica essionae ea seione (vei capitoo ). Queste ormuaioni ineari sono a ato ea sicurea: iversi Autori hanno osservato che, a causa e contributo ea non inearità e materiae in compressione, possono conurre a una eccessiva sottostima ea reae prestaione e eemento. x x Figura 4.7 Sistema i rierimento utiiato per asta presso-inessa Travi inesse e presso inesse Travi inesse Le seioni egi eementi strutturai in egno presentano spesso un atea moto maggiore ea arghea per garantire un aeguata capacità portante e rigiea a essione ne piano, generamente, verticae. Per tae ragione, spesso, risuta importante eettuare consieraioni sua possibiità i instabiità ea trave per essione piana, ovvero occorre cautearsi nei conronti eo svergoamento ea trave ne piano eboe. Questo si sviuppa quaora a ora i compressione che nasce in una parte e eemento (tipicamente quea superiore, ne caso i membrature in sempice appoggio caricate verticamente verso i basso) provochi uno sbanamento ee seioni i tipo roto-trasaionae: questo enomeno comporta un inessione aterae su un ianco ea trave e una rotaione intorno a asse ongituinae x e eemento (vei igura 4.8), anche se eemento risuta caricato soo ne piano verticae. Voeno ora trovare, anaogamente a quanto già atto per i piastro soggetto a carico i punta, un espressione per i momento critico che provoca tae svergoamento, ci si rierisca a caso sempice i trave sempicemente inessa, soggetta a momento ettente costante M con piano i soecitaione verticae (piano -x i igura 4.8). Tae probema può essere trattato secono a teoria eastica, imponeno equiibrio nea coniguraione eormata. Si osservino, nea meesima igura 4.8, e coniioni i ue istinte seioni ungo asse Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

11 DIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI COSTRUTTIVI 85 ea trave, S(x) e S 1 (x+x). Nea seione S(x) sono unque presenti momenti M (piano i soecitaione verticae -x) e momenti torcenti M t, nea seione S 1 (incinaione ϕ rispetto aa seione S) si ha sempre a presena i M mentre per M t (S 1 ) (ipotiano piccoo angoo ϕ ): M = ϕ ϕ ϕ (4.4) t( S 1 ) M t( S ) cos + M sen M t( S ) + M In einitiva si può anche scrivere, visto che e seioni sono posiionate a istana x M t ϕ = M (4.41) x x M A M x ξ A Mt(S) cos ϕ b M ϕ ϕ Mt(S) M sin ϕ h M M M (ξ) M S r Mt(S) ϕ S1 M asse eormato Mt(S1) ϕ+ϕ Se A-A x x+x x Figura 4.8 Instabiità esso-torsionae i trave. Poiché espressione ea curvatura ne piano oriontae x- è ϕ /x = 1/r = ξ/x aa preceente equaione si ricava a seguente: M t ξ = M (4.4) x x Aveno chiamato ϑ angoo che einisce a rotaione torsionae ea seione, si può ricavare i momento ettente M (piano eboe i seione) come componente e momento ettente M: Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

12 86 CAPITOLO 4 π M = M cos ϑ = M senϑ M ϑ (4.43) L espressione meccanica ea curvatura ne piano x- (oriontae) e equaione iereniae per a trave soecitata torsionamente così si scrivono: ξ B = M x M ϑ (4.44) ϑ ϑ M t ϑ ξ Ct = M t a cui: Ct = e C t = M (4.45) x x x x x esseno C t e B, rispettivamente, e rigiee torsionae e essionae (ne piano eboe): C t = G J t (4.46) B = EJ (4.47) ove si sono inicati con J t i momento ineria torsionae e con J i momento ineria ea seione ne piano eboe. Motipicano ora membro a membro a (4.44) e a (4.45), e eiminano i attore non nuo ξ / x, si ottiene unque a seguente equaione iereniae (conosciuta come e- quaione i Prant-Miche, 1899): ϑ B C t = M ϑ (4.48) x Osservano che, per i caso i igura 4.8 i trave soggetta a momento costante, i rapporto M B = α C (4.49) t risuta evientemente costante con x, si può riscrivere equaione (4.48) nea orma: ϑ x = α ϑ (4.5) che presenta i seguente integrae generae ϑ = C1 sen α x + C cosα x (4.51) Nea igura 4.8 e coniioni a contorno si iniviuano acimente osservano che, in corrisponena e vincoo i estremità, si ha rotaione ibera con asse vettore Y, rotaione ibera con asse vettore Z, rotaione boccata con asse vettore X, impeimento aa trasaione ungo e ungo (vincoo torsionae). Appicano quini e coniioni i angoo i torsione nuo ϑ = a contorno (cioè per x = e x = ), si ottiene: C sen α (4.5) 1 = C = (4.53) Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

13 DIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI COSTRUTTIVI 87 e quini a coniione i esistena i una coniguraione eormata, otre a quea banae, porta a: α = nπ (4.54) e, per n = 1: π α = (4.55) Ricorano a posiione (4.49) si ottiene unque a seguente coniione i momento ettente critico: π M cr = B C t (4.56) Nea etteratura scientiica (Timoscheno, Beui ecc.) si ritrovano e souioni eastiche per a eterminaione e momento critico per coniioni i carico e i vincoo iverse a caso i trave su appoggi torsionai e soggetta a momento costante. Nea iscussione i tai casi particoari, è tuttavia invasa a pratica i mantenere a orma e equaione i Prant-Miche: π M cr = E J G J t (4.57) e aceno variare i vaore ea unghea eicace e in unione ee coniioni i carico e i vincoo. Per esempio, ne caso i trave con vincoi torsionai agi appoggi si ha che e = per un momento costante (equaione i Prant-Miche), con carico istribuito e =,9, con carico concentrato in meeria e =,75. Occorre sottoineare a sostaniae iversità tra e e a unghea ibera i inessione e caso e instabiità per carico i punta, proprio per non incorrere in banai errori ne cacoo i e per coniioni i vincoo e i carico iversi a quei i igura 4.8 (si vea a tabea 4. riportata ne seguito). Ne caso i asta prismatica a seione rettangoare i momento ineria ne piano eboe J e i momento torcente J t porgono rispettivamente i seguenti vaori: b 3 h J = (4.58) 1 b h J t = b 3 1 +, 6 h 3 (4.59) è quini immeiato ricavare espressione generae e momento critico per aste a seione rettangoare: M cr π e = 3 b h E G 6 b 1 +,6 h π e 3 b h E G 6 con una approssimaione ingegneristicamente accettabie per rapporti h/b >4. (4.6) Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

14 88 CAPITOLO 4 Voeno esprimere questa reaione in termini tensionai si ottiene quini espressione generae ea tensione critica a essione ne piano verticae: 6 M cr π b crit = E G (4.61) b h e h Un utima osservaione rimane a are a riguaro ea soecitaione statica presente. I caso teorico svoto meiante a trattaione i Prant-Miche riguara una trave soggetta, sua uce, a momento ettente costante M con piano i soecitaione verticae. Evientemente ci si può riportare a tae caso teorico anche in presena i soecitaioni o isposiioni i carico iverse. A questo riguaro si eve anche evieniare che e isposiioni i carico, in seione, inicate in igura 4.8 sono iversamente inuenti su enomeno, poteno are un contributo positivo (pos. 1), negativo (pos. 3) o ininuente (pos. ) a enomeno i instabiiaione. Nea etteratura prima citata si possono trovare e souioni eastiche a probema e momento critico, che tengono in consieraione e contributo stabiiante, instabiiante o inierente ato aa posiione in seione e carico appicato. Anche in questo caso è possibie mantenere invariata a orma e equaione i Prant-Miche, ageno soamente sui vaori ea unghea eicace e. Approcci normativi A ine i garantire a stabiità essotorsionae ee membrature sempicemente inesse, i iversi ocumenti normativi impongono a veriica ea seguente isuguagiana: crit (4.6) ove crit è un coeiciente che consiera a riuione i resistena ovuta ao sbanamento aterae, pari quini a: crit crit = (4.63) ove crit si etermina con a teoria i Prant-Miche. Si einisce a sneea reativa a essione λ re,m in maniera anaoga a quanto atto ne preceente paragrao per instabiità i coonna, e quini pari a: otteneno: λ = (4.64) re,m /crit crit crit 1 = = (4.65) λ m, re, m I iversi ocumenti normativi presi in consieraione propongono tae espressione per crit /,5, e quini per λ re,m >1,4. Per vaori i λ re,m <,75 si è imostrato sperimentamente che i carico i coasso per essione precee queo per instabiità: ne intervao,75 < λ re,m < 1,4 si utiia un interpoaione ineare. In einitiva i vaore i crit, ne caso i eementi con eviaione aterae iniiae rispetto aa sagoma rettiinea contenuta nei imiti introotti a punto preceente per i piastri, risuta quini pari a: Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

15 DIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI COSTRUTTIVI 89 crit 1 = 1,56,75λ 1/ λ m per λ re, m per,75 < λ re, m re, m re, per 1,4 < λ re, m,75 1,4 (4.66) Quaora o sbanamento aterae e ato compresso sia impeito per tutta a sua unghea, così come a rotaione torsionae agi appoggi, crit si può assumere unitario. crit 1,,5 1/ λ re,m,75 1, 1,4 λ re,m Figura 4.9 Curva i instabiiaione essotorsionae secono iversi ocumenti normativi. Per eterminare i vaore ea tensione i essione critica crit, si a rierimento a espressione generae i Prant - Miche (4.57) per i momento critico, utiiano i vaori i rigiea corrisponenti a rattie 5%. Per membrature con seioni simmetriche a ormuaione generae eastica porge espressione: M,crit π E,5 J G,5 J tor crit = = W e W (4.67) ove: E,5 è i vaore e mouo eastico paraeo ae ibre, rierito a rattie 5%; G 5 è i vaore e mouo i tagio paraeo ae ibre, rierito a rattie 5%; J è i momento ineria ea seione attorno a asse eboe ; J tor è i momento ineria torsionae; e è a unghea cosietta eicace ea trave, come preceentemente einita; W è i mouo i resistena ea seione attorno a asse orte. Ne caso particoare i asta prismatica a seione rettangoare, si ottiene quini: π b π b E,5 Gmean crit = E,5G5 (4.68) e h e h E,mean ove: b h G mean E,mean è a base ea trave; è atea ea trave; è i vaore e mouo eastico tangeniae meio; è i vaore e mouo eastico meio paraeo ae ibre. Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

16 9 CAPITOLO 4 Poiché i vaore G 5 non è ato nei proii caratteristici (vei capitoo 1), si ipotia che i vaore e rapporto G 5 /G mean sia ientico a queo E,5 / E mean. Ricorano a einiione i sneea reativa a essione λ re,m possiamo quini scrivere: λ h e m,,mean re, m = = (4.69) cr π b E G,5 mean Nee ipotesi i utiio i egno ameare i coniera si possono aottare, a avore i sicurea, i rapporto minimo E,5 / m 33,56 e i rapporto massimo E,mean / G mean 17,3 eterminabii aa EN 1194:, otteneno a seguente espressione sempiicata per i cacoo ee sneea reativa a essione λ re,m : e h h e λ re, m,63 =, 63 (4.7) b b h Da questa reaione è quini possibie, teneno conto anche i quanto riportato in igura 4.9, ricavare a tabea 4.1, che può essere utie come ausiio per a progettaione. E Tabea 4.1 Vaori massimi i e /h necessari per avere crit = 1 (cioè λ re,m =,75) a variare i h / b. h/b e /h 141,7 35,43 15,75 8,86 5,67 3,94,89,1 1,75 1,4 1,17,98,84,7,63 Nea secona riga sono riportati, a variare i h / b, i vaori massimi i e / h necessari per avere λ re,m,75, ovvero crit = 1: con questi vaori è possibie stimare rapiamente a istana massima tra ue ritegni torsionai necessaria per evitare una veriica i instabiità i trave. Nee igura 4.1 sono riportati in unione i h / b, i coeiciente crit i instabiità essotorsionae, a variare ei rapporti i e / h. Determinaione i e Come si è già osservato a unghea eicace e ea trave ipene aa tipoogia i carico, aa posiione in cui è appicato i carico e ae coniioni i vincoo. Nea maggior parte ei casi pratici i trave su ue o più appoggi iversamente caricata è possibie assumere a avore i sicurea e, ove è a istana tra ue ritegni torsionai successivi. A titoo i esempio riportiamo a reaione proposta aa norma teesca DIN 15:4 per a unghea eicace e : ove: a a 1 e a e = a a1 1 a B T (4.71) è a unghea ea trave è a istana e punto i appicaione ea ora a baricentro i seione (vei igura 4.11); sono coeicienti tabeati; Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

17 DIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI COSTRUTTIVI 91 B = E J è a rigiea essionae attorno a asse T = G J t è a rigiea torsionae. Per una seione rettangoare si ha E b 3 h B = 1 (4.7) G b h T = 3 (1 +,6 b / h) (4.73) a cui, con una approssimaione ingegneristicamente accettabie per rapporti h / b > 4, si ottiene a seguente espressione per a unghea eicace e : e = a1 1 a 3 a E G,mean mean (4.74) La tabea 4. ornisce i vaori a 1 e a, per varie coniguraioni i vincoo e i carico: per carichi appicati sena eccentricità (a =, igura 4.11), si ritrovano immeiatamente i vaori i e già richiamati in commento a equaione (4.57). 1,,9,8,7 crit,6,5,4,3, e /h =,1, h/b Figura 4.1 Curve i instabiità essotorsionae a variare ei rapporti e /h. Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

18 9 CAPITOLO 4 p a h Z b Figura 4.11 Coniguraione ea seione per i cacoo ei coeicienti a 1 e a, ne ipotesi i centro i carico coinciente con i centro i tagio Travi pressoinesse Ne caso ea trave ipotiata nea trattaione i Prant-Miche, se i momento M è accompagnato a compressione assiae P, a meesima trattaione anaitica svota per a trave porge, teoricamente, a seguente coniione i equiibrio inierente: M E J G J tor P + E J π = (4.75) Se P è i traione i segno positivo iventa negativo; nei casi imite P = o M = si ritrovano, rispettivamente, i momento critico già visto e i carico eueriano. In moo perettamente uae, si può ire che se P = P eueriano si ritrova un momento critico nuo, anaogo ragionamento ne caso M = M cr, per cui P =. La normativa europea EN 1995:4 porge, in peretta sintonia con i caso teorico, un espressione anaoga aa (4.75) ne caso i momento M agente attorno a asse orte, contemporaneamente a una ora i compressione ongituinae N c crit + c, ove è a tensione i compressione i progetto; è a tensione i essione i progetto; è a resistena i progetto a compressione in ireione ea ibratura; c, è i coeiciente introotto a paragrao (4.76) Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

19 DIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI COSTRUTTIVI 93 Tabea 4. Coeicienti i ribatamento a 1 e a (a tabea E. DIN 15:4) Sistema Anamento e momento a 1 a v = v'' =, = x,,v Mensoa M,crit 1,7 1,3 M,5 1,5,crit,v v = v'' =, = x, Trave a oppio incasro in pianta M,crit M,crit 6,81,4 5,1,4,v v = v'' =, = x, Trave intermeia i una trave a più campate in pianta M,crit M,crit 1,7 1,6 1,3 1,6 v = v'' =, = M,crit 1,77,v x, M,crit 1,35 1,74 Trave a singoa campata con ritegni aterai M,crit 1,13 1,44 in pianta M,crit 1 Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

20 94 CAPITOLO Resistena i instabiità Comparaione tra iversi approcci normativi I caso i instabiità i eementi pressoinessi viene arontato secono approcci iversi ae ierenti normative. L approccio ea normativa europea è queo i istinguere eemento coonna pressoinessa, nee ormuaioni (4.77) e (4.78), e eemento trave pressoinessa, nea ormuaione (4.79). Secono tae approccio risuta comunque iicie stabiire a priori, o in moo automatiato, in quae casistica possa rientrare eemento consierato (ovvero se eemento pressoinesso abbia imensioni geometriche e coniioni i vincoo nee ue ireioni principai tai a essere riguarato come piastro oppure come trave). Approccio EN 1995:4 c, +,, + m,, 1 (4.77) c, + m,, +,, 1 (4.78), crit, + c, 1 (4.79) Voeno brevemente commentare tae approccio, conrontanoo poi con i ocumenti Nicoe e DIN 15:4, si possono riportare e ormue (4.77), (4.78) e (4.79) in un piano coorinato ortogonae x-, in cui ascissa x rappresenta i parametro, / ( crit, ) e orinata i parametro / ( c, ), ne ipotesi i momento ettente ne piano eboe nuo (q =, quini, =, si vea a igura 4.7) e per acune situaioni abbastana tipiche. Le preceenti isuguagiane possono essere, quini, così riscritte come coniioni imiti i veriica c, c, + x = 1 crit (EC5 a) + m crit x = 1 (EC5 b) + x = 1 (EC5 c) Ipotiano un eemento i unghea oppiamente incernierato in entrambe e possibii ireioni i inessione, si ha, =, = (4.8) Come si è visto ne paragrao , nea maggior parte ee coniioni i carico si può assumere a unghea eicace e ea ormua i Prant-Miche pari aa istana tra ue ritegni torsionai successivi, per cui e (4.81) Assumeno per c, e c, espressione ata aa curva i Euero si può quini scrivere Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

21 DIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI COSTRUTTIVI 95 c, λre, = c, λre, Ricorano e espressioni (4.36) e (4.37) si ha quini (4.8) c, λ re, h = = (4.83) c, λre, b Ricorano espressione (4.64) per λ re,m, e ipotiano i avorare, a avore i sicurea, con un vaore /h 5, si ottiene a seguente espressione h λ re, m =, 3 (4.84) b Da queste reaioni è possibie riportare nei graici i igura 4.1 e espressioni (EC5 a), (EC5 b), (EC5 c), nee ipotesi i h/b = 1 e h/b =. I iagrammi i igura 4.1 mostrano quini che già per vaori moesti i sneea i trave (h/b = ), e per ati vaori i, / ( crit, ) (cioè quano eemento è soecitato maggiormente come trave piuttosto che come piastro ), equaione (EC5 c) iventa eterminante nea veriica e eemento strutturae. I ocumenti Nicoe e DIN 15:4 propongono invece una ormua uniicata per e- ementi snei in cui sono si introucono contemporaneamente i coeicienti i instabiità i trave e i coonna. Approccio Nicoe e DIN 15:4 c, + m crit,, +,, 1 (4.85) c, + crit,, + m,, 1 (4.86) Anche in questo caso, per una più agevoe comparaione, si possono rappresentare tai reaioni ne soito piano coorinato ortogonae x-, in cui ascissa x rappresenta i parametro, / ( crit, ) e orinata i parametro / ( c, ), ne ipotesi i momento ettente ne piano eboe nuo (q =, quini, =, si vea a igura 4.7). Si ottengono, quini, e seguenti coniioni imiti i veriica + m x =1 (Nicoe A) c, c, + x = 1 (Nicoe B) Per comprenere e ierene tra e ormuaioni proposte a Nicoe e a DIN 15:4, rispetto ae ormue in EN 1995:4, si rappresentano tai reaioni in igura 4.13 ne ipotesi i momento ettente ne piano eboe nuo e i h/b = 1 e h/b = 5. Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

22 96 CAPITOLO 4 h/b=1; c, / c, = 1, CRIT =1 h/b=; c, / c, = 4, CRIT =1 1, 1, EC5.C EC5.C EC5.A,75,75 / c,,5 EC5.A EC5.B / c,,5 EC5.B,5,5,,,,4,6,8 1,, / crit,,,,,4,6,8 1,, / crit, Figura 4.1 Coniioni i veriica secono approccio normativo europeo. La igura 4.13a iustra come approccio ei ocumenti Nicoe e DIN 15:4 ne caso i c, / c, = 1, cioè ne caso in cui e imensioni geometriche e e coniioni i vincoo nee ue ireioni principai sono tai per cui eemento può essere genericamente einito piastro, sia praticamente coinciente con queo ea norma EN 1995:4. La igura 4.13b iustra invece come approccio ei ocumenti Nicoe e DIN 15:4 ne caso i c, / c, = 5, cioè ne caso in cui e imensioni geometriche e e coniioni i vincoo nee ue ireioni principai sono tai per cui eemento può essere genericamente riguarato come trave, sia più conservativo per vaori più bassi e rapporto, / ( crit, ) (cioè quano eemento è soecitato maggiormente come piastro piuttosto che come trave ), mentre per ati vaori i, / ( crit, ) (cioè quano eemento è soecitato maggiormente come trave ) è approccio EN 1995:4 a risutare più conservativo. Occorre tuttavia osservare che, in questo caso, i ocumento EN 1995:4 non consiera a possibiità i avere momento ettente anche ne piano eboe Travi speciai (travi curve, rastremate e centinate) Ne presente paragrao si trattano e travi con atea variabie ea seione o con asse curviineo, per e quai i iversi ocumenti normativi prescrivono particoari veriiche, proprio perché e oro caratteristiche geometriche e tensionai si iscostano a quee egi eementi sempici visti nei preceenti paragrai. Per queste ragioni, soitamente, queste tipoogie i eementi vengono inicate come travi speciai. Segueno a cassiicaione proposta aa normativa e travi speciai trattate in questo paragrao sono: e travi curve; e travi rastremate (a sempice e oppia rastremaione); e travi centinate Queste tipoogie i travi sono utiiate prevaentemente ne caso i coperture (piscine, paaetti sportivi, capannoni aibiti a vario genere), nei casi in cui si ebbano ottenere grani uci (anche sotto carichi consierevoi), con orme architettoniche iverse a quee traiionai. La igura seguente iustra acuni esempi reaiativi, tra cui quei trattati in questo paragrao. Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

23 DIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI COSTRUTTIVI 97 h/b=1; c, / c, = 1, CRIT =1 h/b=5; c, / c, = 5, CRIT =,4 1, 1, / c,,75,5 EC5.C EC5.A = NICOLE A EC5.B = NICOLE B / c,,75,5 NICOLE.B EC5.C EC5.B NICOLE.A,5,5,,,,4,6,8 1,, / crit,,,,,4,6,8 1,, / crit, Figura 4.13 Conronto tra iversi approcci normativi Travi curve La moerna tecnica e egno ameare incoato permette a abbricaione i eementi curvi sena grosse iicotà prouttive: e amee vengono piegate easticamente con a curvatura richiesta e inserite nei ispositivi i serraggio per i tempo necessario a incoaggio. Con questa sempice tecnica è possibie ottenere eementi curvi a sempice curvatura (archi), oppure eementi geometricamente più compessi (travi a ona etc.). Come già evieniato ne capitoo 1, i imiti i questa tecnica sono a iniviuare negi stati i coaione inotti aa curvatura ea tavoa. Consierano a amea posiionata a intraosso e eemento curvo i Errore. L'origine rierimento non è stata trovata., e soecitaioni essionai agenti ai embi ea tavoa possono essere eterminate meiante sempici consieraioni eastiche, che portano aa scrittura e equaione (1.53), qui richiamata. t E,mean max = (4.87) r Nea pratica costruttiva è invasa a regoa, tra atro erivata a prescriione contenute nea normativa DIN 15, i porre un imite massimo a rapporto t / r pari a t r max = 1 (4.88) Poiché, come si è visto ne capitoo 1, o spessore ee amee è soitamente pari a 33 m a questa prescriione si può acimente erivare un vaore i raggio interno minimo pari a 6,6 m che si può avere nei tratti curvi i membrature ignee, a meno i non coneionare a trave con amee i spessore minore. La soecitaione interna ettente massima per o stato i coaione inotto aa curvatura, assume, quini, i seguente vaore (poneno, per esempio, E,mean = 1 MPa) 1 t 1 1 m = E = MPa = 5 MPa (4.89) r Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

24 98 CAPITOLO 4 Figura 4.14 Esempi i reaiaioni con travi i orme ierenti a quee traiionai (oto Hobau S.p.a) Tae vaore risuta moto eevato, i atto paragonabie ai vaori caratteristici inicati per a resistena a rottura per essione (capitoo 1). Di conseguena una trave con tae geometria non potrebbe teoricamente sopportare acun contributo suppementare i soecitaione. Tuttavia tai tensioni si riucono in maniera consierevoe, in conseguena ei enomeni i riassamento ee tensioni (uage). In reatà e tensioni resiue, che possono comunque essere consistenti, incrementano soo ocamente o stato tensionae, sena quini moiicare sostaniamente i vaore i m reativo aa tabea prestaionae consierata. Per tai ragioni, a iveo normativo, si è inserito soamente un coeiciente r i riuione ea resistena essionae. Le soecitaioni ettenti agenti su un eemento curvo assumono un anamento iperboico aniché ineare, come avviene invece ne caso i travi a seione rettangoare costante. Questo comportamento è acimente comprensibie consierano i comportamento eastico ineare e materiae e i principio i conservaione ee seioni piane. Ragionano inatti su un tratto curviineo i unghea L ea trave, sottoposto a essione pura, per i principio ea conservaione ee seioni piane (principio i Bernoui) si ottiene, a parità i rotaione θ e ne ipotesi i asse neutro in meeria, un aungamento ee ibre estraosso uguae in vaore assouto a queo intraosso ( ext = int). [ ] Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

25 DIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI COSTRUTTIVI 99 Tabea 4.3 Vaori e rapporto /(M/W) per tensione i essione paraea aa ibratura nee travi curve h /ρ ρ / h Teoria i Winer- Resa Teoria e easticità Formua approssimata DIN 15:1969 Formua approssimata a normativa (Din15:4, Nicoe, EN 1994:4),14 7 1,5 1,5 1,7 1,5, 5 1,7 1,7 1,1 1,7,5 1,17 1,17 1,5 1,19,1 1 1,34 1,35 1,5 1,41, 5 1,71 1,7 1,1 1,94,5 4 1,9 1,91 1,15 1,15,5 1, 1,3 1,5 1, ,53 1,58 1,5 1,95 Formue aottate ae normative La normativa europea EN 1995:4, a normativa DIN 15:4 e i ocumento Nicoe aottano a seguente ormua i cacoo per a tensione i essione nea ona i como per travi curve a seione rettangoare 6M ap, m, = bh (4.9) ap esseno hap hap = 1+,35 +, 6 (4.91) r r e h ap e r, ne caso i geometria curva, vagono h ap =atea e tratto curvo; r = r int + h ap / (corrisponente a ρ nea trattaione atta in preceena). Una preceente versione ea norma teesca DIN 15 riportava anche a seguente ormua sempiicata: M h ap max = 1+ (4.9) W r esseno r i raggio meio i curvatura ea trave e W i mouo i resistena ea seione 1 6 r = r int + h/; = W b h La tensione ortogonae aa ibratura nea ona i como per travi curve a seione rettangoare viene eterminata in accoro con e già citate normative ne moo seguente: [ ] ap Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

26 3 CAPITOLO Esempi Di seguito si iustrano acuni esempi signiicativi per i cacoo i eementi strutturai sempici. Per e veriiche i eemento si vea quanto riportato nei paragrai preceenti, mentre per e veriiche i seione quanto è stato riportato ne capitoo. La normativa i rierimento per i seguenti esempi è i ocumento Nicoe; tuttavia, per acune probematiche (come e ormue per gi eementi pressoinessi), verranno iustrate anche gi approcci seguiti a atri ocumenti normativi. [ ] N G T G T Neve T Vento h N Neve b Penena 1% x Piastro Figura 4.15 Schema statico e carichi agenti. Si consieri a veriica ei piastri in un capannone inustriae reaiato competamente in egno ameare, a cui struttura principae è rappresentata a teaio iustrato in igura Lo schema statico ei piastri è quini queo i asta incastrata aa base e ibera in sommità. La trave curva i copertura risuta sempicemente appoggiata ai piastri tramite appoggi essotorsionai costituiti a orcee, e i carichi oriontai trasmessi aa trave a piastro si consierano agenti a un atea h = 6 mm a suoo: tai carichi agiscono ne piano e teaio e sono riconucibii ae aioni verticai (neve e permanenti) e ae a- ioni e vento. Inotre su piastro agisce uno soro normae i compressione ovuto ae aioni permanenti e ea neve. Pur non esseno moto requente nea pratica costruttiva, o schema statico i piastro incastrato aa base nee ue ireioni può essere ottenuto utiiano un coegamento aa base con barre incoate, anaogamente a quanto iustrato ne capitoo 3. Dati i progetto Seione b h = mm; A = 7, 1 3 mm = 59 = 118 mm W = /6 = 1, mm 3 W = /6 = 15, mm 3 Si può osservare che a base e piastro è superiore a imite i prouione pari a mm per gi eementi in egno ameare (si vea i capitoo 1). Ne caso in esame si consiera a Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

27 DIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI COSTRUTTIVI 31 possibiità, tavota utiiata nea pratica costruttiva, i incoare tra oro eementi i egno ameare i seione b h = 568 mm. Caratteristiche e materiae Legno ameare GL8c; massa voumica ρ = 38 g/m 3 Casse i serviio: ; casse i urata e carico: istantanea mo = 1,1 Vaori i resistena Vaori caratteristici Vaori i progetto, (MPa) 8,31, (MPa) 4,91, (MPa) 3,37, (MPa) 6,7 t,, (MPa) 16,68 t,, (MPa) 14,68 t,9, (MPa),4 t,9, (MPa),35 (MPa) 4, (MPa) 1,1 c,9, (MPa),7 c,9, (MPa),38 v, (MPa),7 v, (MPa),38 Vaori i mouo eastico E,mean = 16 MPa E,5 = 1 MPa G mean = 7 MPa Aioni interne Le aioni interne agenti sui piastri sono: Soro normae (vaori caratteristici) N G = 135,3 N N neve = 689 N Aioni tagianti (vaori caratteristici) T G = 1,35 N T neve = 9, N T v = 16,55 N Queste aioni sono intese essere agenti a una atea pari a h = 6 mm a suoo, atea che non coincie con quea eettiva e piastro, ma corrispone a baricentro e punto i appicaione ei carichi oriontai. I momenti ettenti aa base ei piastri si possono ottenere sempicemente motipicano gi sori tagianti per tae atea h. Appicano a seguente combinaioni i carico agi SLU, aottano i carico neve come principae: γ + gg + γ qq1 γ qψ Q (ne caso i carico a neve e a vento, a normativa itaiana prescrive ψ =,7). La combinaione i carico più gravosa è quea che ha i carico a neve come carico variabie principae. Si ottiene quini: N = 1,35 135,3 + 1,5 689 = 116, T, = 1,35 1,35 + 1,5 9, + 1,5,7 16,55 = 33,1 N otteneno quini i seguente vaore per i momento ettente i progetto intorno a asse -: N Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

28 3 CAPITOLO 4 M, = 33,1 6, = 5, Nm a cui si ottiene i seguente vaore ea soecitaione ettente: M, 5, m = = W 1,58 e i seguente vaore ea soecitaione assiae: Veriiche SLU: resistena, = N c,, = 116, = = b h 7, 9,54 MPa 5,35 MPa Poiché =, si ottiene che a veriica più severa a pressoessione risuta: quini:,35 1,1 Veriiche SLU: stabiità 9,54 + = 4,91 +,, 5 1 (,5) +,38,45 < 1 Si cacoano apprima i raggi giratori nee ue ireioni principai: i 568 = h = i = b = 115 mm 1 1 Date e coniioni i vincoo e piastro, a unghea ibera i inessione è a meesima nee ue ireioni: = = = = 59 = 118 mm Le sneee ei piastri nee ue ireioni principai sono λ = i = 7 mm 118 λ = = 1 i 115 Le sneee reative ei piastri possono essere eterminate come segue: λre, 7 = π 4 1 1,11 Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

29 DIMENSIONAMENTO DEGLI ELEMENTI COSTRUTTIVI 33 1 λre, = π I coeicienti i tensione critica c risutano ,58 c, = = + λ re, 1,15 + 1,15 1,11 1 c, = = + λre, 1,8 + 1,8 1,58 I coeicienti e sono stati ricavati utiiano, in accoro con i ocumento Nicoe, λ =,5 re =,5 ( 1+,1 ( 1,11,5) + 1,11 ) 1, 15 1+,1 ( 1,58,5) + 1,58 1, ( ) 8 1 1,7,38 =,5 Poiché =, per a veriica i stabiità secono i ocumento Nicoe si ha c, c, + + m, crit,, crit, I coeiciente i sbanamento aterae crit è assunto unitario visto che a seione è moto toa (esseno i rapporto h / b 1,4). Se si assume e =, inatti, si può veriicare come risuti ampiamente λ re,m <, h e λ re, m =,63,8 <,75 b h Quini a veriica i stabiità secono i ocumento Nicoe impone ( crit = 1) 5,35,38 +,7 1,1 9,54 4,91,67 +,7 =,94 1 Aottano invece per e veriiche i stabiità a normativa europea EN 1995:4 si hanno e seguenti isequaioni, risutano = c, + m,,,, m + 1 c,, Assumeno c, e c, pari rispettivamente a,37 e,67 (i coeicienti e vagono in questo caso rispettivamente 1,81 e 1,16, esseno stati ricavati, in accoro con a norma europea, utiiano λ =,3), si ha quini re 1 Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5

30 34 CAPITOLO 4 5,35 +,67 1,1 5,35 +,7,37 1,1 9,54 4,91 9,54 4,91,38 +,38 =,76 1,68 +,7 =,95 1 5,35 9,54 +,68 +,14 =,8 1,37 1,1 4,91 Si ascia a Lettore a veriica i tagio aa base e piastro. [ ] Estratto a Piaa-Tomasi-Moena Strutture in egno, Hoepi, 5