Metalli e Semiconduttori

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1 P. Brusch Aut d Comoet e Crcut Elettroc Metall e Semcoduttor Premesse. Legge d ohm mcroscoca I u coduttore, dett la destà d correte, σ la coducbltà ed E l camo elettrco Legge d ohm macroscoca σe ato u coduttore d lughezza L e sezoe A, la ressteza rsulta: R σ Isolat: Cosderamo er gl solat due arametr: Costate delettrca ε. I u codesatore a facce ae e arallele d area A e oste a dstaza d, che cotega tra due elettrod u solate d costate delettrca ε, la caactà rsulta: C εa d La costate delettrca è esressa soltamete da: ε ε r dove ε 0 è la costate delettrca del vuoto ( F/cm), metre ε r è la costate delettrca del materale. Rgdtà delettrca: è l massmo camo elettrco oltre l quale avvee ua scarca dsrutva che orta geeralmete alla erforazoe dell solate co erdta del otere d solameto Modello d rude er la coduzoe. L A ε 0 cetr d scatterg q Co q è dcata ua carca moble (.es u elettroe), cofata el volume del coduttore. S otzza er ora che essta el materale u solo to d carche mobl. Le carche soo cotuo movmeto a causa dell agtazoe termca (veloctà v th ) ed urtao cotro cetr d scatterg costtut da dfett retcolar dovut a macaza d atom (vacaze), da murezze o da vbrazo degl atom del retcolo dovute all eerga termca. L urto rovoca erdta d formazoe rguardo alla veloctà rma dell urto.

2 P. Brusch Aut d Comoet e Crcut Elettroc La reseza d u camo elettrco s traduce u uguale accelerazoe a tutte le carche. L accelerazoe rsulta ar a qe/m, dove E è l camo elettrco, q la carca dell elettroe e m la sua massa. etto δt l temo tra due urt successv, la veloctà aggutva (rsetto a quella termca) acqusta da u elettroe u state rma dell urto è ar al rodotto d δt er l accelerazoe. La veloctà meda tra due urt è a metà della veloctà massma. Ioltre, er calcolare veramete a quale veloctà meda s sosta l seme d tutt ortator, occorre trodurre l temo medo tra due urt, dcato co τ. Esso è ar al lbero cammo medo (λ) dvso er la veloctà termca v th. S ha qud: qe τ qλ veloctà meda (d drft): um E m mvth qλ efedo la mobltà: s ha: u m E mv th a ua semlce aaloga draulca: qum, dove è la cocetrazoe d carche mobl. La coducbltà è qud: σ q. I u metallo, dove la cocetrazoe d carche mobl (elettro) è costate, la coducbltà dede solo dalla mobltà che, all aumetare della temeratura dmusce (erchè aumeta v th ). Semcoduttor. Prederemo esame semcoduttor del I gruo. Esem: Slco, Germao. La struttura è mostrata ella seguete fgura, dove cerch dcato atom e segmet legam d to covalete. Cascu segmeto rareseta u elettroe codvso tra due atom. e semcoduttor ache a temeratura ambete gl elettro, a causa dell agtazoe termca, ossoo assumere u eerga suffcete a lberars dal legame. I tal caso assao uo stato smle a quello degl elettro lber el metallo (elettro d coduzoe) e al loro osto lascao u vuoto deomato lacua. La lacua s comorta come ua artcella ostva ach essa grado d mgrare. e - h + Formazoe d ua coa elettroe (e - ) lacua (h + ).

3 P. Brusch Aut d Comoet e Crcut Elettroc h h h + () () (3) Mgrazoe d ua lacua come rsultato dello sostameto d elettro legat rogaggo de semcoduttor del I gruo. U semcoduttore uro ( cu o soo reset atom dvers da quell revst dalla comoszoe chmca del semcoduttore stesso) s dce trseco. Il drogaggo cosste ell aggugere murezze grado d adare a sostture alcu atom del semcoduttore. d drogaggo: o : egoo aggut atom del gruo (es. Fosforo, Arseco, Atmoo) o : egoo aggut atom del III gruo (es. Boro) eutralta` atomo drogate d carca del gruo (doatore) e carca fssa ar a q elettroe lbero e rogaggo d to ozzazoe del doatore 3

4 P. Brusch Aut d Comoet e Crcut Elettroc atomo drogate del III gruo (accettore) eutralta` d carca carca fssa ar a -q lacua lbera h + 4 rogaggo d to ozzazoe dell' accettore Per og atomo d drogate vee agguto u ortatore lbero e ua carca fssa. rogaggo : l ortatore è u elettroe, la carca fssa è ostva. rogaggo : l ortatore è ua lacua, la carca fssa è egatva. Legge d azoe d massa: I u semcoduttore avvegoo cotuamete due feome, a rescdere che esso sa trseco, drogato o drogato : Geerazoe: formazoe d coe elettroe lacua da rottura d legam ad oera dell eerga termca (agtazoe termca) Rcombazoe: cotro d ua lacua ed u elettroe, co relatva scomarsa d etramb. Rcordamo che la lacua è la macaza d u elettroe d legame. ella rcombazoe l elettroe lbero va a remre l legame macate e rsulta o ù moble. S defscoo: G tasso d geerazoe umero d coe elettroe-lacua geerate u volume utaro e ell utà d temo R tasso d rcombazoe umero d coe elettroe-lacua che sarscoo (rcombate) u volume utaro e ell utà d temo Cosderamo che, fssato u to d semcoduttore (slco, germao etc):. La geerazoe dede solo dalla temeratura (dsobltà d eerga er romere l legame). La rcombazoe dede dalla temeratura ma è tato maggore quato è maggore la reseza d elettro e lacue (maggore robabltà che u cotro lacua-elettroe avvega) S uò qud ragoevolmete scrvere: G f ( ) R f ( ) dove e soo le cocetrazo d elettro e lacue, metre f e f soo due fuzo crescet della temeratura. I equlbro la cocetrazoe d ortator o camba el temo, ertato tate coe elettroe- lacua s geerao, tate se e rcombao, ovvero RG. a cò derva: 4

5 P. Brusch Aut d Comoet e Crcut Elettroc R f( ) f ( ) Legge d azoe d massa: l rodotto u semcoduttore dede solo dalla temeratura (e o dal drogaggo). Rassumedo, la oolazoe d elettro e lacue è determata da seguet feome: Geerazoe: roduzoe d u elettroe lbero e ua lacua Rcombazoe: scomarsa d u elettroe lbero e d ua lacua Agguta d u atomo drogate e relatva ozzazoe: roduzoe d u elettroe lbero e d ua carca fssa ostva Agguta d u atomo drogate e relatva ozzazoe: roduzoe d u elettroe lbero e d ua carca fssa egatva I u semcoduttore trseco o v soo atom drogat, ertato ad og elettroe lbero geerato deve essere assocata ua lacua. Qud La cocetrazoe d elettro e lacue ell trseco s dca co e, ovvamete: Per la legge d azoe d massa questa equazoe deve valere er tutt valor d drogaggo e P d quel to d semcoduttore. S ot che cresce fortemete all aumetare della temeratura Cocetrazoe d elettro e lacue semcoduttor drogat. Predamo come rfermeto l slco. Per esso, a temeratura ambete, cm -3, ovvero 0 0 cm -6. Co drogaggo s dca la cocetrazoe d atom doator ( ) o accettor ( A ). utt drogagg d teresse ratco soo molto maggor d. Cosdereremo oltre drogagg molto feror alla cocetrazoe d atom d semcoduttore ( 0 cm -3 ). Per l slco cosderamo drogagg comres tra 0 4 cm -3 e 0 9 cm -3. Cosderamo u semcoduttore d to (drogato ). S uò dre che: Le lacue () dervao solo da geerazoe. Gl elettro dervao sa da geerazoe ( umero uguale alle lacue), sa da doator ozzat. Qud +. Pertato, er la legge d azoe d massa: ( + ) Se >>, dovrà essere ecessaramete <<, <<. Pertato s uò usare l esressoe semlfcata ovvero: 5

6 P. Brusch Aut d Comoet e Crcut Elettroc ; () Co aaloghe cosderazo s trovao le cocetrazo d ortator u semcoduttore drogato to : A; () A Corret e semcoduttor. Corret d drft Aalogamete er metall, s uò alcare l modello d rude a semcoduttor, teedo coto erò che qu esstoo due t d ortator d carca. Le corret dovute all effetto del camo elettrco vegoo dcate come corret d drft (trascameto). Co semlc cosderazo s arrva alle esresso: ( drft ) drft + drft drft drft q E, q E dove e dcao le comoet della destà d correte d drft dovute rsettvamete a elettro e lacue, metre e soo le mobltà d elettro e lacue. alor delle mobltà u semcoduttore trseco o oco drogato* 400 cm - s cm - s - * er elevat drogagg la mobltà dmusce oché ache gl atom d drogate soo cetr d scatterg e rovocao ua rduzoe del lbero cammo medo. Corret d dffusoe Fluss d ortator ossoo essere reset ache asseza d u camo elettrco. Ua causa alteratva alla mgrazoe d oolazo d artcelle, attva ache co artcelle eutre qual atom e molecole, è l gradete d cocetrazoe. ella fgura seguete soo mostrate due rego adacet cu ella rma () la cocetrazoe è maggore rsetto alla secoda (). S ot che ur o essedoc er le sgole artcelle ua tedeza a mgrare, ell utà d temo è maggore l umero d artcelle che, muovedos caotcamete, vao da a due che quelle che da vao a. 6

7 P. Brusch Aut d Comoet e Crcut Elettroc () () > el caso d elettro e lacue, cò roduce sostameto d carca e qud ua destà d correte deomata d dffusoe. L esressoe delle corret d dffusoe el caso udmesoale rsulta: dff d q, dff q d dove e soo deomate costat d dffusoe er gl elettro e er le lacue. Per comredere la ragoe de seg dscord, s tega resete che fluss d artcelle s sostao er dffusoe semre da dove soo d ù a dove soo d meo. Qud se er esemo la cocetrazoe cresce lugo x, ovvero la dervata è ostva, le artcelle s mgrao drezoe oosta all asse x. La correte d lacue, cocorde co l flusso d artcelle, è qud egatva metre la correte d elettro, oosta al flusso d artcelle, erchè ess soo egatv, è ostva. Le corret total rsultao qud: + q q E + q E q d d al equazo raresetao l cosddetto modello drft-dffuso delle corret u semcoduttore. Codzoe d equlbro termco. I equlbro termco o v è tedeza a mgrare er essu geere d artcelle. Qud 0. el caso moodmesoale, cosderado che E-d/, s ottegoo le equazo: q q d d + q q d d 0 0 d d d d d [ l( ) ] d [ l( ) ] Prma d assare all tegrazoe s cosder che le mobltà e le costat d dffusoe soo legate dalle relazo d Esta: 7

8 P. Brusch Aut d Comoet e Crcut Elettroc 8 q k Itegrado s ottegoo due utl relazo, che ermettoo d legare le cocetrazo d ortator alle dffereze d otezale all tero d u semcoduttore equlbro termco: l l e e està d carca. A rescdere dal drogaggo, e semcoduttor esstoo due ortator d carca, lacue (carca q) e gl elettro (carca q). e semcoduttor d to, v soo oltre carche ostve dervat da doator ozzat. Cascu atomo d doatore troduce ua carca ar a q. e semcoduttor d to v soo vece carche egatve dovute agl accettor ozzat e og atomo d accettore troduce ua carca ar a q. La destà d carca d rsulta ercò: ( ) ( ) + δ semcoduttore drogato semcoduttore drogato A q q Cocetto d Bulk U sstema d equazo determato er le destà d carca e l otezale u semcoduttore equlbro è l seguete, el quale soo reset le equazo gà vste e l equazoe d Posso. S fa rfermeto a u uto x 0 d u semcoduttore el quale le cocetrazo d ortator assumoo u valore che dcheremo 0 e 0, metre l otezale lo assumeremo covezoalmete ar a zero. Come esemo faremo rfermeto ad u semcoduttore d to, ma le stesse detche cosderazo valgoo er u semcoduttore d to. ( ) ε δ + δ Posso) (eq. 0 0 S d q e e

9 P. Brusch Aut d Comoet e Crcut Elettroc La soluzoe d queste equazo o è esrmble forma chusa. uttava, cosderado ccol valor d (ovvero muovedos u toro del uto x 0 ), s ossoo arossmare gl esoezal co uo svluo d aylor al rmo orde e, doo semlc sosttuzo s ottee: q ε εs d q S La soluzoe d questa equazoe dfferezale è data da u valore costate (terme forzate) sovraosto alla combazoe leare d due esoezal d cu uo crescete verso le x ostve, l altro verso le x egatve. Se l uto x 0 è suffcetemete lotao da ua qualche suerfce d dscotutà (. es gl estrem del semcoduttore, l uto assaggo ad u altro to d materale etc.) etramb due esoezal hao sazo er crescere fo a valor fscamete o accettabl, ertato dovrao essere etramb ull. Lotao da suerfc d dscotutà, l uca soluzoe fscamete accettable è qud quella costate, che mlca che l camo elettrco ( d/) è ullo. Sccome abbamo rcavato le equazo recedet cosderado come covezoe che l otezale x 0 è ar a zero, esso deve essere zero ovuque. Sosttuedo 0 ell equazoe recedete s ottee la codzoe: ovvero x o la destà d carca è ulla. Poché, data la costaza del otezale, e o cambao allotaados da x o, la carca deve rmaere ulla ovuque. La regoe d u semcoduttore abbastaza lotaa dalle suerfc che cofao l volume del semcoduttore stesso s deoma bulk. Il cocetto d abbastaza lotao è legato a quato velocemete crescoo gl esoezal. I ratca u semcoduttore equlbro la codzoe d bulk s ragguge al massmo och mcro lotao dalle suerfc d dscotutà. S ot che u cambameto elle equazo e qud ua dscotutà s ha ache a causa d varazo d drogaggo ( ), ertato la codzoe d bulk rchede va d rco ache che l drogaggo sa costate. el bulk d u semcoduttore d to, dato che la destà d carca è ulla (codzoe d eutraltà) allora: 0 Cò comorta: +, qud > < << 9 (dato che >> ) Ma queste esresso soo roro quelle che hao cosetto, er altra va, d arrvare alle cocetrazo date dalle formule () e () le qual qud devoo valere el bulk. co a ua suerfce d dscotutà, vece, s uò avere otezale varable e camo elettrco e destà d carca o ull, erché la soluzoe esoezale che cresce sostados verso la suerfce stessa uò essere o ulla, quato la sua crescta o rosegue oltre la suerfce (erchè cambao le equazo ed essa o ha ù sgfcato) e qud o dà luogo a codzo fscamete o accettabl.

10 P. Brusch Aut d Comoet e Crcut Elettroc ella tabella seguete rassumamo le cocetrazo reset el bulk, estededo er aaloga quato rcavato er l semcoduttore al semcoduttore drogato. La tabella troduce ache la omeclatura co la quale soo dcate le cocetrazo a secoda della zoa d semcoduttore e della codzoe. omeclatura rguardat le cocetrazo. rogaggo o d ortator Geercamete All equlbro All equlbro el bulk elettro (maggortar) 0 0 lacue (mortar) 0 0 / lacue (maggortar) 0 0 A elettro (mortar) 0 0 / A 0