La Disfida Matematica

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1 La Disfida Matematia Co questo artiolo vorrei riassumere la storia e i risultati a ui siamo arrivati i seguito alle soluzioi al problema proposto all iizio di quest estate. Risultati a mio avviso otevoli, ome otevole è il modo o ui siamo perveuti a questi risultati: la ollaborazioe alla soluzioe di u problema attraverso metodi diversi a permesso il ollegameto di diverse parti della matematia. Poié mi fa piaere pesare e questo artiolo possa essere letto ae da persoe e o siao matematii di professioe, ererò di alleggerire la trattazioe evitado il più possibile pesati dimostrazioi, preseti però ome appedii, e riporterò quidi solo la storia e i risultati fiali. Ripropoedomi di otiuare o i priipali artefii di questo lavoro, i ragazzi e ao aettato la disfida, per produrre ua ma questo o lo atiipiamo. Nel XVI seolo le pubblie sfide matematie erao estremamete di moda: esse erao lo strumeto attraverso il quale i otedeti potevao dimostrare le loro ompeteze e quidi aedere alla doeza presso le uiversità dell epoa. E iaro e, quado u matematio sopriva metodi risolutivi uovi per u determiato problema, questi erao teuti segreti, i quato ostituivao u arma otro i matematii avversari. Ai ostri giori le disfide matematie soo per lo più u mometo ludio, i ui due amii si mettoo alla prova a vieda. E o questo spirito e Salvatore, u paio di ai fa, mi propose questo problema: Trovare il più piolo umero itero N o la proprietà e N e N 0 siao etrambi 0 quadrati perfetti. Mostrare poi e ogi itero N o questa proprietà è u multiplo di N 0. 0 Ho sempre amato la teoria dei umeri, si da quado, iesperto ragazzio, avevo tetato la salata alla dimostrazioe del Teorema di Fermat, erroeamete ovito e la maaza di ua dimostrazioe di u teorema fosse dovuta all iapaità delle veie geerazioi. Per questo o rilaiato, el mese di giugo, sul sito del Lieo, lo stesso problema, aumetadoe la diffioltà o l ulteriore riiesta, erroea el testo Dimostra e il deimo umero della serie è Era ovvio e ero riusito a trovare ua formula e mi permetteva, i quale modo, di riavare l eesimo umero della serie e e, elle mie itezioi, pesavo e i avesse raolto la sfida avrebbe dovuto riavare ua formula aaloga. La mia formula era data da N 3 o otteibile attraverso la formula riorsiva 0 3 Il primo a forire ua soluzioe è stato Paolo Quadri, di 4F. Eo le due prime mail attraverso le quali i siamo oosiuti: L'altro gioro, erado la omposizioe delle lassi prime dell'ao prossimo (e o poi soperto sarebbero state pubbliate il gioro dopo), mi soo imbattuto i questo problema da lei proposto: ttp:// Volevo però iederle u iarimeto, ifatti il deimo umero della serie a me risulta essere , metre quello sritto da lei o è multiplo di 4 (e è il primo per ui la proprietà è valida). [R] Ha perfettamete ragioe. Il problema è e fare il alolo o EXCEL produe ua terribile approssimazioe di ui o mi soo reso oto ( ). Ciarito questo, osiderata la sua sempliità ed eoomiità, riporto itegralmete la soluzioe di Paolo Trova il più piolo tale e + e + soo etrambi dei quadrati perfetti + è dispari, può essere quidi sritto ome quadrato di u umero dispari +=(m+) =4m+4m+. Si dedue quidi e = m +m e += m +(m+) Allegato

2 + deve essere quidi formato dalla somma di due quadrati oseutivi, deve essere quidi il quadrato dell elemeto superiore di ua tera pitagoria oseutiva ( = +). La più piola tera pitagoria oseutiva è 3,4,5, da ui si riava +=5: si ottiee la tera 4,5,49 e soddisfa la riiesta. Il più piolo e gode della proprietà A è quidi 4. Dimostra e il deimo umero della serie è Dato e a ogi + (e quidi ) orrispode ua tera pitagoria oseutiva, basta determiare la deima tera pitagoria oseutiva, formata da , e Il quadrato dell elemeto superiore è , e meo dà proprio Purtroppo le tere pitagorie oseutive possoo essere determiate solo a tetativi, verifiado se la somma dei quadrati di x e x+ è u quadrato perfetto. Può essere ae utile sapere e il limite del rapporto tra i ateti miori di due oseutive è 3+. Paolo aveva ormai ombiato il guaio: appea letta la sua soluzioe, dado per vero tutto quello da lui affermato i oda alla sua dimostrazioe, vi è stato u seodo sambio di mail Ho apprezzato la soluzioe ma ti vorrei iedere... sei siuro della o esisteza della formula delle tere pitagorie oseutive? Peré io redo proprio di averla trovata, asosta tra le ostre due soluzioi! [R] Ho fatto quale riera e o avevo trovato iete... Però effettivamete leggedo la sua dimostrazioe ae a me è veuto u dubbio... Ifatti, se io ero riusito a trovare ua formula per il alolo di N, e se il alolo di N poteva essere riodotto al alolo delle tere pitagorie oseutive, allora la mia formula poteva essere adattata al alolo di quest ultime. Ad aggiugere pepe alla vieda, i seguito ad ua mia riera su Iteret, eo il professor Giovai di Maria presetare alui algoritmi per il alolo delle tere pitagorie oseutive o etiaia di ifre. La terza parte dell artiolo è la più sigifiativa: Questo terzo artiolo poe fie alla riera sistematia di algoritmi e tetativi iterativi, i quato propoe ua formula diretta per il alolo e la determiazioe della Tera Pitagoria Partiolare, o distaza tra i ateti pari all uità. La formula risolutiva, aturalmete implemetabile su qualsiasi sistema e o qualsiasi liguaggio di programmazioe, a lo sopo di riavare direttamete, ed i tempi rapidissimi, la misura dei ateti e dell ipoteusa, rispettado la odizioe e i due ateti devoo essere a distaza, ioè la loro differeza deve esse pari all uità. Riordiamo e il più piolo triagolo rettagolo e orrispode a questa speifia è il seguete: I due ateti ao differeza e l ipoteusa alolata è itera. I preedeti due artioli, e ivito omuque a rileggere, presetavao metodi e algoritmi per la riera delle Tere Pitagorie Partiolari ma, appliado u metodo iterativo e riorredo a dei salti sofistiati, il tempo di alolo era iaettabile, speialmete all aumetare del umero delle ifre delle tre dimesioi. Eo peré mi soo messo alla riera di ua formula e, direttamete e veloemete, desse il risultato, seza appliare alu algoritmo ma eseguedo sempliemete alui aloli. Naturalmete, per la determiazioe di dimesioi titaie, ioè omposte da migliaia di ifre, è idispesabile u elaboratore elettroio ed u adeguato programma di alolo a preisioe illimitata. Riordiamo le odizioi base per l esisteza ed il alolo di ua tera pitagoria partiolare orretta: le tre dimesioi devoo soddisfare l equazioe + = ipo ; le dimesioi devoo essere umeri iteri, seza deimali; la misura di u ateto deve essere oseutiva (quidi distate di ua uità) all altro ateto. Giovai di Maria, ttp://

3 Dopo settimae di studio, riera e tetativi, o trovato alui elemeti e aratterizzavao la suessioe ordiata delle Tere Pitagorie. Partiolari, e adesso vado ad evideziare Il rapporto tra u ateto di ua tera e lo stesso ateto preedete tede al umero irrazioale 5, Questo umero, studiato già i preedeza è equivalete all espressioe: 3 Il rapporto tra l ipoteusa ed u ateto tede al umero irrazioale,44356 e, ome si sa, equivale alla radie quadrata di : Eseguedo svariate iterpolazioi, allo sopo di appliare u adeguato urve fittig, o fialmete trovato la formula risolutiva per determiare la eesima tera pitagoria partiolare, seodo il modello di equazioe deomiato Modified Power : x ipoteusa ab Giovai Di Maria arriva pertato a questa formula x ipoteusa( x) ARROTONDA. ECCESSO D obbligo a questo puto otattore il professor di Maria: eo la mail Getilissimo prof. Di Maria Soo u doete di matematia di suola superiore o letto il suo artiolo sulle tere pitagorie oseutive i quato, partedo da u problema diverso, soo arrivato ad ua formula iterativa per il alolo di tali tere. Soo rimasto olpito dalla formula da lei presetata ipoteusa(x) = a b^x e poié vorrei srivere, a puro sopo didattio per la mia suola, qualosa sull'argometo, vorrei avere delle deluidazioi su ome è arrivata a questa elegatissima formula, se o u proedimeto dimostrativo o u'iterpolazioe. Ioltre, se avesse tempo, e ovviamete itado la fote, sarei oteto se potessi pubbliare, i modo ompresivo per dei ragazzi del trieio del lieo sietifio, ua relazioe su ome è giuto al alolo di a e b. La rigrazio per l'attezioe. Cordiali Saluti E a questo puto tutto si sarebbe oluso, se o fosse iterveuto u uovo protagoista, Ariel Laza, aluo di 4A. Egli iizia il suo approio al problema 3 o queste parole Siao y e x ; si oti e x e y devoo essere soluzioi itere positive dell equazioe (Pell-type): x y U uovo modo di affrotare il problema iiziale! Problema e però, a questo puto, perdeva ogi iteresse. La osa e più mi appassioava era e se il problema da me proposto si poteva riodurre alla riera di tere pitagorie oseutive da ua parte e alla soluzioe di u equazioe di Pell dall altra, allora l equazioe di Pell poteva essere utilizzata per la riera di tere pitagorie oseutive. Niete di uovo 4, sia be iaro: questa possibilità è ota da tempo ae se l approio e disede dal ostro proedimeto è leggermete diverso, u po più semplie a livello iterpretativo. 3 Allegato 4 Cristiao Teodoro, ttp://

4 E opportuo riassumere la situazioe: sia dato il problema di determiare u umero itero N per il quale N+ e N+ siao etrambi quadrati perfetti. Paolo osserva e posto y =N+ e x =N+ si arriva a N+=m +(m+) e quidi e il problema si riodue al alolo di ua tera pitagoria suessiva. Il legame tra il umero N riiesto e l ipoteusa i di tale tera è dato da i =N+ D altra parte Ariel i die e da N+=y e N+=x si ottiee e il problema origiario odue alla soluzioe dell equazioe x -y =-. Il legame tra il umero N riiesto e il valore y si ottiee da N+=y E ofrotado le due ultime relazioi poste i evideza si ottiee i =y Ma lo stesso Ariel i riporta u metodo 5 per il alolo delle soluzioi dell equazioe di Pell, e questo odue alla soluzioe 3 3 i y N il ui primo termie oiide o la formula del professor Di Bella metre il seodo termie, si dimostra elemetarmete, è u termie miore di uo, deresete a zero e e spiega quidi l arrotodameto all itero superiore riiesto dalla formula del professor Di Bella. Cito ifie il otributo 6 di Filippo Turai, lasse 3E, stimolate per le ipotesi da lui avazate. E a questo puto tutto si sarebbe oluso ma mi sembra di averlo già detto e dubito e mi abbiate reduto. Cosa spige u matematio a voler geeralizzare sempre più i propri risultati? No sempre oi isegati diamo ua risposta esauriete: ad esempio per giustifiare il passaggio dal alolo umerio a quello algebrio affermiamo e l uso della formula algebria risolve o ua, ma ifiite espressioi. Come se il alolo di (+3) dovesse oveietemete essere svolto seguedo la regola (a+b) =a +ab+b. La vera ragioe del proesso di geeralizzazioe osiste el fatto e il matematio è u rieratore di semi ; esso era l ordie ae dove sembra o esseri. Esattamete ome ell osservazioe di u paorama, più è alto il puto di vista più è faile avere ua ooseza ompleta di iò e i iroda, osì i matematia più geerale è u problema più è faile rioosere gli evetuali semi e e determiao la soluzioe. Ripartiamo dal problema di determiare u umero itero N per il quale N+d e N+d siao etrambi quadrati perfetti. Co aloli perfettamete aalogi a quelli del aso partiolare soo arrivato alla formula N 3 d o otteibile attraverso la formula riorsiva dove 0 è il più piolo umero per il quale d d è u quadrato perfetto. Nel aso e d sia u quadrato perfetto d il problema può essere riodotto, o aloli aora aalogi ai preedeti, al alolo di ua 5 Dusa Djuki, ttp://www-bf.us.edu/~lototsky/pimuep/pell-imo.pdf 6 Allegato 3

5 tera pitagoria dove i x y d o y N d m ( m d) oppure alla soluzioe di u equazioe di Pell del tipo N d. Tutte le soluzioi si determiao attraverso la formula 7 x y x y 3, 0 0 x, y x y 3 i dove x 0 e y0 è la soluzioe miimale dell equazioe di Pell origiaria metre x i e y i soo le evetuali i soluzioi della stessa equazioe e soddisfao x i x0 y0 e x y 0 0 xi d yi. Coludiamo o u esempio: si suppoga di voler determiare le tere pitagorie di distaza 7. Quelle o ateto miore ompreso tra e soo le segueti i L equazioe di Pell orrispodete è x y 49o y e rappreseta l ipoteusa del triagolo rettagolo e x la somma dei due ateti. La soluzioe miimale x 0 e y0 è data da (,5) ma e esiste ua seoda soddisfaete le odizioi suesposte, e è (7,7). Le formule per il alolo di tali tere soo 8 le segueti y per quato riguarda la soluzioe (,5) e e y 7 Allegato 4 (i preparazioe) 8 Allegato 4 (i preparazioe

6 y e y per quato riguarda la soluzioe (7,7) Le formule geerao le segueti ipoteuse Prima formula Seoda formula Prima formula x 0 = ; y 0 =5 x 0 = ; y 0 =5 x 0 =7 ; y 0 = E, per ora, il quesito estivo può osiderarsi oluso!

7 Dimostrazioe di Agelo Toritti ALLEGATO Sia N u umero soddisfaete alle ipotesi dell euiato, ioè Da queste relazioi si riava N a e N b ( a ) N a e N ( a ) ( a ) Svolgedo i aloli ell ultima uguagliaza si perviee alla relazioe da ui a a 0 a Quidi, fissato, se la quatità è u quadrato perfetto, si ottiee u valore di a e permetterà di riavare il valore di N riiesto. Quidi N a 3 Di osegueza abbiamo otteuto ua formula e i osete di otteere i valori di N direttamete dalla ooseza di u solo parametro (la distaza dei due umeri a e b del testo): () N 3 Il problema proposto può osì essere failmete riodotto al seguete: trovare il più piolo itero della forma N 3. Il e è equivalete al seguete problema: determiare il più piolo valore di per il quale la quatità è u itero. Per = il termie i radie vale 3, e o è u quadrato perfetto, per = il termie i radie vale 9, e è u quadrato perfetto. Quidi il primo umero N 0 riiesto si ottiee per = ed è quidi N 0 =4. Co l aiuto di u foglio elettroio si verifia e: Valori di Valori di N

8 Come si vede o soo molti gli e soddisfao la proprietà e sia u itero. No è però diffiile alolarseli tutti: essi ifatti si ottegoo i base ai risultati del seguete TEOREMA: Tutti i umeri per i quali la quatità è u quadrato perfetto e e pertato risultao essere i semi dei umeri N del problema geerale si ottegoo o la formula riorrete 0 3 () Passiamo alla dimostrazioe della formula di riorreza. Ciediamoi azitutto quado la quatità ( ). Co aloli elemetari si arriva alla olusioe e deve essere ovvero Quidi: (O) 0 se esiste u valore tale e la quatità è u quadrato perfetto allora esiste u valore tale e è u quadrato perfetto. Ciediamoi adesso quado la quatità è u quadrato perfetto. Co aloli assolutamete idetii ai preedeti oludiamo e Quidi: (O) ( ) 0 se esiste u valore tale e la quatità è u quadrato perfetto allora esiste u valore tale e è u quadrato perfetto. Questo legame simbiotio tra e osete di operare le segueti deduzioi: a. Siome per 0 si a e è u quadrato perfetto, per la O esiste u per il quale è u quadrato perfetto. 0 0 b. Ma allora per la 0 esiste u tale e è u quadrato perfetto E iterado il ragioameto

9 Sostituiamo il valore ell ultima equazioe i modo da avere ua formula oteete solo i termii. Otteiamo la seguete formula riorrete 4 6 ) ( Formula diffiile da digerire. Ma basta u trasporto sulla siistra e u elevameto al quadrato per otrollo e il gioo è fatto. Il teorema è osì dimostrato ed abbiamo ua formula matematia per il alolo della suessioe degli i e di osegueza degli i N

10 Soluzioe di Ariel Laza ALLEGATO

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14 ALLEGATO 3 Cosiderazioi di Filippo Turai Per quato riguarda il primo obiettivo della disfida ( Trovare il più piolo umero itero N 0 + o la proprietà e N 0 + e N 0 + siao etrambi quadrati perfetti.), avedo già letto le soluzioi iviate, oordo o esse e o sarei i grado di propore altre diverse da quelle. Cosiderado il seodo puto, ivee, ( Mostrare poi e ogi itero N o questa proprietà è u multiplo di N 0. Dimostra e il deimo umero della serie è ) o solo provato a erare soluzioi più veloi e immediate ed effettivamete esisterebbe u modo partiolarmete sbrigativo per trovare le misure delle ipoteuse delle tere pitagorie oseutive. Questo evita e si proeda a tetativi per trovare queste tere. Primo Metodo: ome ae lo srittore Clifford Pikover rivela i u suo libro, per otteere queste ipoteuse oorre iiziare da e proedere moltipliado per la ostate k = ( + ) = 3 + ~ 5,8847 (irrazioale). È eessario usare u approssimazioe per troameto all uità, ioè predere i osiderazioe solo il valore itero e sartare la parte deimale del risultato. I questa irostaza 5 è il valore da osiderare (e 5 è difatti l ipoteusa della tera pitagoria per eelleza, e ae oseutiva 3,4,5). È possibile proedere i questo modo all ifiito, trovado valori delle ipoteuse sempre più gradi: i = k i 0 dove i è la uova ipoteusa da trovare, k la ostate e i 0 è l ipoteusa della preedete tera pitagoria oseutiva. Cotiuado l esempio preedete: o i 0 = 5 e k = 3 + la uova ipoteusa i = 5(3 + ) ~ 9,4356 e per approssimazioe è 9. Per otteere le misure dei ateti e delle rispettive tere esiste u metodo aora molto veloe spiegato dalla formula:, = + i e i ateti si ottegoo dall approssimazioe per difetto e per eesso del risultato. Sempre osiderado l esempio di prima, si a:, = ~ 0,50609 quidi u ateto misura 0 e l altro. Questa tera risulta (0,, 9). Nel ostro quesito quidi:

15 Come dedotto da Paolo, è possibile e il umero riiesto sia il quadrato perfetto dell elemeto maggiore della deima tera pitagoria, ioè quella o ipoteusa I suoi ateti, rappresetati da umeri oseutivi, soo e Il deimo umero della serie è quidi = Questo è solo u metodo, seza dimostrazioe, più rapido per rierare tere pitagorie oseutive; spero sia utile! Seodo Metodo (leto): partedo dalla ooseza di ua formula apae di geerare tutte le tere pitagorie primitive è possibile riavarsi le tere oseutive o molti lugi tetativi e prove (i famosi tetativi di ui parla Paolo Quadri). I ateti e e l ipoteusa i di u qualsiasi triagolo rettagolo dipedoo da queste operazioi: = m = m i = m + Queste formule si trovao ae i uo sritto di Eulide e geerao ua tera pitagoria primitiva se e solo se m e (m > ) soo oprimi ed uo di loro è dispari e l'altro pari. Ua tera pitagoria per essere oseutiva deve soddisfare la relazioe: =, quidi =. Sostituiamo mateedo le variabili m e : m = m. Svolgedo quale alolo e spostado tutto al primo membro risulta: m m + ( ) = 0 m, = = () () o > A questo puto è eessario proedere per tetativi, ed è iò e ralleta tutto il proesso di riera delle tere. Si assegao valori iteri a per verifiare se ae m risulta itero (ifatti la radie può geerare umeri irrazioali oppure iteri se è u quadrato perfetto). Per esempio, () =, m = () =, m = 0 () =, m = + 7 () =, m = 7 = 3 per = e m = si a la tera fodametale = 4 i = 5 per =, m risulta irrazioale, quidi o aettabile. per = 3 e = 4 le tere o soo aettabili. () = 5, m = = () = 5, m = 5 7 = = 9 la tera pitagoria oseutiva () è = 0 i = 69 Per trovare la tera pitagoria (), ivee, è eessario svolgere u passaggio i più: dal mometo e uo dei ateti risulterebbe egativo per il valore m =, bisoga porre ua odizioe importate, il valore assoluto. Di osegueza, d ora i poi, la soluzioe () risulterà m = peré m sarà sempre egativo. Difatti per fare e > 0 avviee e >. A questo puto la () prevede = 5 e m =. Ma, seodo l ipotesi, m >. Allora si sambiao i due parametri aturali e m otteedo la oppia (, 5) aettabile e geeratrie della tera oseutiva = = 0 i = 9

16 o i ateti e e ovviamete possoo essere ivertiti, mateedo uguale il triagolo. Armati di pazieza bisoga provare o quasi tutti i umeri aturali mettedo, ma mao, i ordie resete le ipoteuse trovate fio a e si arriva alla deima oppia (dai valori estremamete elevati) (, m) (378, 574) e origia la tera da oi erata = = i = È ae utile otare, dalla seguete tabella appea otteuta, e: Attribuedo al parametro u valore di u ipoteusa di ua tera oseutiva appea otteuta, ad esempio 9, si ottiee u altra ipoteusa di ua tera pitagoria oseutiva rispettivamete dopo p + posizioi oppure dopo p posti, dove p è il posto e l ipoteusa osiderata oupa ella lassifia. Per questo motivo la sala di ipoteuse è ordiata osì ome mostra l ultima oloa della tabella. Per esempio, se = 9, m = 70 e l ipoteusa i () = m + = 574, e si trova a 3 posizioi dall ipoteusa 9. La i () = m + = 985 e si trova a p posizioi, ioè, dalla 9. Geeralizzado, per le formule () + le uove ipoteuse otteute si trovao a p + posizioi dalla ipoteusa osiderata ome ; per le formule () le uove ipoteuse otteute si trovao a p posizioi dalla ipoteusa osiderata ome. Purtroppo per questa idea, sempre e sia orretta, o mi è aora veuta i mete ua dimostrazioe, ma può osiderarsi uo sputo e può essere raolto e portato avati da altri oltre a me. Nel aso riusissi a portare a termie questa idea o ua dimostrazioe valida le farò sapere al più presto! Grazie per l attezioe e spero e il oteuto ed i oetti espressi i questo file siao orretti. I ogi aso aspetto oferma delle mie proposte. Nel aso questi miei suggerimeti siao sbagliati,ererò di apire gli errori, ma ulla toglie e questa disfida mi abbia davvero divertito molto! Grazie aora, arrivederi!