Profitto Iniziale Netto, a due tassi, di un progetto finanziario con poste fuzzy

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1 Riera eettuata ell'ambito del progetto FAR ANNO 23 Proitto Iiziale Netto, a due tassi, di u progetto iaziario o poste uzzy CESARE ZUCCOTTI Uiversità di Pavia Dipartimeto di Rierhe Aziedali Sezioe di Matematia Geerale ed Appliata zuotti@eouipvit Sommario Itroduzioe PARTE I - PROFITTO INIZIALE NETTO, A DUE TASSI Ipotesi di base 2 Progetto iaziario mooperiodale Esempio Osservazioi Progetto iaziario pluriperiodale Esempio Osservazioi PARTE II PROGETTO FINANZIARIO CON POSTE FUZZY: IL PIN 2 Isiemi uzzy 22 Poste uzzy di u progetto iaziario 23 Progetto iaziario pluriperiodale a poste uzzy Esempio Osservazioi RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Abstrat Nella prima parte di questa ota, atto u breve eo al Redimeto Eoomio Attualizzato di u omue progetto iaziario, a poste esigibili o ertezza, si mostra ome sia possibile assoiare al progetto stesso alue opportue operazioi iaziarie itegrative, mooperiodali, sia di ostituzioe di u apitale he di iaziameto Sulla base di tali operazioi, determiate i modo uivoo, assuti i rispettivi tassi di valutazioe, il progetto è via via ridotto o ua suessioe di sottoprogetti, a esso equivaleti, iasuo di durata ieriore al preedete Ua volta idividuato il sottoprogetto di durata uitaria relativo al primo periodo, il proesso ha termie o il alolo dell importo moetario he rappreseta il proitto etto del progetto iaziario, all epoa zero Sulla base del sego di tale valore, ioltre, è possibile aratterizzare il progetto ome avorevole - savorevole oppure idierete all operatore iaziario i relazioe ai due tassi he egli ha riteuto più opportui per le valutazioi Le operazioi itegrative he aratterizzao il progetto, iie, possoo essere utilizzate per ua qualiiazioe soggettiva del progetto stesso, ome ivestimeto, iaziameto o misto, ai due tassi adottati dall operatore Nella seoda parte di questa ota, atto u breve eo alla logia uzzy, viee osiderato u progetto iaziario a poste uzzy esigibili o ertezza e, sulla base di quato idiato ella prima parte, si preseta ua metodologia atta alla determiazioe del proitto iiziale etto di tale progetto A ompletameto della presete ota, iie, per redere più agevole l aalisi dei progetti iaziari i esame, è allegata ua artella di lavoro EXCEL sia o rierimeto ai omui progetti iaziari he a quelli o poste uzzy Itroduzioe Il Redimeto Eoomio Attualizzato (REA) di u progetto eoomio iaziario, ome oto, è u importo moetario, all epoa iiziale del progetto, otteuto dall attualizzazioe delle poste del progetto stesso Le valutazioi iaziarie soo eettuate al tasso riteuto più adeguato dall operatore iaziario he aalizza il progetto Comuemete, però, l appliazioe di tale uio tasso sia alle poste egative he a quelle positive, susita egli operatori otevoli perplessità Per superare ahe tale aspetto egativo del REA, ella presete ota si propogoo modalità per idividuare u idie di progetto, deomiato proitto iiziale etto (PIN) Al progetto iaziario i esame soo aiaate, i odizioi di ertezza, opportue operazioi iaziarie itegrative, mooperiodali, sia di ostituzioe di u apitale e sia di iaziameto, iasua a u adeguato tasso di valutazioe Tali operazioi itegrative, he dipedoo dal sego delle poste del progetto stesso, permettoo di ridurre il progetto iaziario o ua suessioe di sottoprogetti iasuo dei quali è di u periodo più breve del preedete ma è a esso equivalete i quato preseta ome ultima posta il proitto del progetto residuo L ultimo sottoprogetto, rierito al primo periodo, è mooperiodale e, operado all opportuo tasso, è possibile otteere il proitto iiziale etto del progetto i esame wwwea2it - 23 wwwea2it

2 Proitto Iiziale Netto, a due tassi, di u progetto iaziario o poste uzzy Parte I Parte I PROFITTO INIZIALE NETTO, A DUE TASSI Allo sopo di presetare o gradualità la proedura di alolo del proitto iiziale etto, a due tassi, di u progetto, preisate le ipotesi di base, si a rierimeto, prima, a u progetto mooperiodale e, poi, a u progetto pluriperiodale, etrambi o poste ome usualmete osiderate Ipotesi di base Si osideri u progetto iaziario P ostituito da lussi moetari i etrata (rediti) e i usita (debiti), rispettivamete, assuti o sego positivo e egativo, p, p,, p,, p, rispettivamete, esigibili i desritti da u vettore a ompoeti [ ] odizioi di ertezza alle orrispodeti epohe h, o h =,,, Alue di tali poste possoo essere ulle, ma, ome usualmete assuto, o tutte hao lo stesso sego e l ultima posta p è o ulla 2 Cosiderato u tasso d'iteresse periodale i, o i >, i regime di apitalizzazioe omposta, è idiato o Vt () i il valore a u istate t, o t, delle poste del progetto, otteuto ome segue: t h h ( ) V () i = p + i t h= Nel aso sia t =, la gradezza V () i rappreseta il REA del progetto Sia Q h l operazioe itegrativa mooperiodale, relativa al periodo h, o h=,2,,, le ui poste qh e qh soo esigibili, rispettivamete, alle epohe h e h Nel aso l operazioe Qh sia, rispettivamete, di ostituzioe di u apitale oppure di iaziameto il tasso periodale da utilizzare per le valutazioi è i e i Quato idiato ei oroti dei tassi i e i, ostati per l itera durata del progetto, può essere rierito a tassi i h e ih relativi a ogi periodo h Tali tassi soo utilizzati, ome esempio, i uo dei ogli di lavoro della artella EXCEL allegata alla presete ota h Le epohe di esigibilità delle etrate e delle usite moetarie soo assute periodihe, di periodo uitario, ma iò o limita la geeralità della trattazioe i quato, ome oto, qualuque suessioe di poste, esigibili alle sadeze [ t, t,, t ], o j <, [ tk < t k + ], k =,,, j, può essere riodotta allo shema idiato o l'itroduzioe delle eessarie etrate ed usite ulle e o rierimeto a ua opportua uità di misura del tempo 2 Nella teoria relativa ai progetti iaziari usualmete si assume he ahe la posta p sia o ulla, ma ella presete ota è sigiiativo ahe il aso i ui sia p = e il progetto preseti almeo due poste o ulle di sego opposto 2 23 wwwea2it -

3 Proitto Iiziale Netto, a due tassi, di u progetto iaziario o poste uzzy Parte I 2 Progetto iaziario mooperiodale Sia P u progetto iaziario mooperiodale, ome su deiito o =, ostituito, quidi, da due sole poste di sego opposto, ua esigibile all epoa h = e l altra all epoa h = Nel aso di u ivestimeto, la prima sarà di sego egativo e la seoda di sego positivo, metre el aso di u iaziameto i segi sarao tra loro sambiati Seodo la proedura proposta ella presete ota, allo sopo di alolare il proitto iiziale etto, PIN, del progetto, all epoa t =, l operatore iaziario ipotizza l attivazioe, a itegrazioe del progetto, di u operazioe Q mooperiodale o poste q e q Tale operazioe itegrativa potrà essere di due tipi ome segue: p ostituzioe di u apitale, al tasso i, o poste q = e q = p; + i iaziameto, al tasso i, o poste q p = e q = p + i I partiolare si avrao i due asi el seguito esamiati Se la posta p, a ie periodo, è positiva (il progetto P è u ivestimeto), l operatore, all iizio del periodo, ipotizza u iaziameto, al tasso, per il massimo importo he potrà essere rimborsato, a ie periodo, utilizzado la posta p resa dispoibile dal progetto P La somma algebria tra le poste p e q, a ie periodo, è, periò, ulla, metre quella tra le poste, all epoa h =, orise il proitto iiziale etto W erato: W = p + q Nel aso W sia positivo, tale valore rappreseta il apitale he l operatore può distogliere dal progetto P seza ompromettere l attivazioe del progetto stesso o il iaziameto q Il valore W è u beeiio etto, all epoa h =, he l operatore può otteere dal progetto e il progetto può essere osiderato FAVOREVOLE all operatore i relazioe al tasso adottato i Nel aso W sia egativo, tale valore rappreseta il apitale he l operatore dovrebbe aggiugere alla posta q del iaziameto per poter attivare il progetto Il apitale W è, quidi, u oere etto per l operatore e il progetto può essere osiderato a lui SFAVOREVOLE i relazioe a quel tasso Se la posta p, a ie periodo, è egativa (il progetto P è u iaziameto), l operatore, all iizio del periodo, ipotizza u operazioe di ostituzioe, al tasso i, per otteere a ie periodo u apitale q ol quale ar rote all impiego di apitale p previsto dal progetto La somma algebria tra le poste p e q, a ie periodo, è, periò, ulla, metre quella tra le poste, all epoa h =, orise il proitto iiziale etto W erato, o, ome già preisato: W = p + q Nel aso W sia positivo, tale valore rappreseta il apitale he l'operatore può distogliere dal progetto ome beeiio etto all'epoa h =, utilizzado la parte residua della posta p, pari a q, allo sopo di ostituire u apitale pari a p da rimborsare a ie periodo Il progetto può essere osiderato FAVOREVOLE all'operatore i relazioe al tasso adottato i - 23 wwwea2it 3 i

4 Proitto Iiziale Netto, a due tassi, di u progetto iaziario o poste uzzy Parte I Nel aso W sia egativo, tale valore è u oere etto per l operatore e rappreseta il apitale he egli dovrebbe aggiugere alla posta p per otteere la posta q eessaria alla ostituzioe del apitale q o ui ar rote, all epoa h =, al apitale p previsto dal progetto Il progetto P, periò, è SFAVOREVOLE all operatore i relazioe a quel tasso Quato su esposto può essere shematizzato ome segue p q q Q i q q W = p + q P + + FINANZIAMENTO i p p + i + COSTITUZIONE i p p + i + FAVOREVOLE SFAVOREVOLE + FAVOREVOLE SFAVOREVOLE Esempio Per u più agevole approodimeto delle aratteristihe della proedura proposta per il alolo del proitto iiziale etto W di u progetto, el seguete esempio, si osiderao due operatori iaziari L operatore A assume i tassi periodali i ed i, rispettivamete, pari al % e al 6%, metre l operatore B assume tali tassi pari al 2% e al % Sia P u progetto di ivestimeto, dotato di u Tasso Itero di Redimeto (TIR) del % periodale, rappresetato el seguete modo: h P : p h, +, Tale progetto è itegrato dall operazioe Q di iaziameto la ui posta q è alolata al tasso, assuto dall operatore, otteedo, ei oroti di iasuo dei i due operatori, i valori ome rappresetato el seguete prospetto h P : p h, +, q h W operatore tasso A 6% +3,77, B % +96,9, A 6% + 3,77 B % 3,5 Dall esame di quato sopra si osserva he la posta p del progetto P, a ie periodo, permette il rimborso di u iaziameto, stipulato all epoa h =, dagli operatori A e B per u importo, rispettivamete, di 3,77 e di 96,9 Teedo oto della posta p, il progetto P assiura all operatore A u beeiio 23 wwwea2it -

5 Proitto Iiziale Netto, a due tassi, di u progetto iaziario o poste uzzy Parte I etto, oggi, di importo 3, 77 Per quato riguarda, ivee, l operatore B il iaziameto otteibile oggi o è suiiete all attivazioe del progetto e, quidi, l operatore B dovrebbe sosteere u esborso di importo 3, 5 Gli importi da iassare e da ivestire, rispettivamete, pari a 3,77 e 3,5, orrispodoo al proitto iiziale etto W del progetto per gli operatori A e B, rispettivamete, pari a + 3,77 e 3,5 I osiderazioe del sego di W, il progetto P, ioltre, può essere osiderato, ei oroti dei due operatori e al tasso i assuto, rispettivamete FAVOREVOLE e SFAVOREVOLE Si osserva he tale diversità di valutazioe da parte dei due operatori è dovuta alla selta dei tassi i assuti da A e B, rispettivamete, ieriore e superiore al TIR, del progetto P Sia ora P il progetto di iaziameto, o poste di sego opposto rispetto a quelle di, rappresetato el seguete modo: P h -P : p h +,, Tale progetto è itegrato dall operazioe Q di ivestimeto la ui posta q è alolata al tasso i, assuto dall operatore, otteedo, ei oroti di iasuo dei due operatori, i valori ome rappresetato el seguete prospetto h -P : p h +,, q h operatore tasso A % 5,77 +, B 2% 98,2 +, W A % 5,77 B 2% +,79 Dall esame di quato sopra si osserva he, per ar rote all esborso ostituito dalla posta p del progetto P, a ie periodo, gli operatori A e B ipotizzao di attivare, all epoa h =, ua operazioe di ostituzioe di apitale o u importo, rispettivamete, di 5,77 e di 98,2 Teedo oto della posta p, il progetto P impoe all operatore A u esborso, all epoa h =, di importo 5,77 Per quato riguarda, ivee, l operatore B, la posta p, superiore al apitale da ivestire oggi, osete u beeiio etto di importo pari a,79 Gli importi da ivestire e da iassare all'epoa h =, rispettivamete, pari a 5,77 e,79 orrispodoo al proitto iiziale etto W del progetto per gli operatori A e B, - 23 wwwea2it 5

6 Proitto Iiziale Netto, a due tassi, di u progetto iaziario o poste uzzy Parte I rispettivamete, pari a 5,77 e a +,79 I osiderazioe del sego di W, il progetto P, ioltre, può essere osiderato, ei oroti dei due operatori e al tasso assuto, rispettivamete SFAVOREVOLE e FAVOREVOLE i La diversità di valutazioe da parte dei due operatori, ome già osservato ei oroti del progetto P, è dovuta alla selta dei tassi assuti da A e B, rispettivamete, ieriore e superiore al Tasso Itero di Costo, ah esso del %, del progetto P Osservazioi Si osserva he il proitto iiziale etto, PIN, rierito a u progetto mooperiodale P di ivestimeto o di iaziameto, oiide o il REA del progetto, al tasso i, rispettivamete, pari a oppure a Emerge, però, il sigiiato diverso tra il PIN e il i i REA appliado tali idii ai progetti P e P Nel aso del REA, alolato al tasso i, ad esempio del 5%, o rierimeto a etrambi i progetti, il valore otteuto è uguale i valore assoluto Nel aso del PIN o si veriia la stessa situazioe i quato le valutazioi soo eettuate ei oroti di speiihe operazioi itegrative di ostituzioe di apitale e di iaziameto e, i tal aso, è usuale adottare tassi diversi Per tale motivo il proitto iiziale etto W di P risulta diverso da quello di P Negli esempi su osiderati è stato utilizzato di volta i volta uo solo dei due tassi adottati dall'operatore, metre tali tassi, di solito, soo etrambi utilizzati el aso di u progetto pluriperiodale P ostituito da u umero di poste o ulle superiore a due Tale situazioe iaziaria è esamiata el paragrao he segue 3 Progetto iaziario pluriperiodale Sia P u progetto iaziario pluriperiodale ome preedetemete deiito, o >, del quale si voglia determiare il proitto iiziale etto, PIN, a due tassi A tale sopo, i relazioe all ultimo periodo ;, si idividua l operazioe itegrativa Q [ ] ome preisato i rierimeto a u progetto mooperiodale Nel aso l ultima posta p sia egativa oppure positiva, l operazioe itegrativa Q è, rispettivamete, ua ostituzioe di apitale, al tasso i, o u iaziameto, al tasso, ed è aratterizzata dalla prima posta q e dalla seoda posta, i e all epoa La posta, della posta p metre la posta q rispettivamete esigibili all epoa valore, all epoa della posta p del progetto Si ha, quidi, quato segue: q q ha importo pari al ha importo pari all opposto p q - q Q i q - q p + + FINANZIAMENTO i p + i + COSTITUZIONE i p + i p 6 23 wwwea2it -

7 Proitto Iiziale Netto, a due tassi, di u progetto iaziario o poste uzzy Parte I Determiata la posta q, valore della posta p del progetto, all epoa, è possibile alolare il proitto del progetto residuo w, alla stessa epoa, ome somma algebria tra le poste p e q ; si ha quidi w = p + q Si osserva a tal proposito he w è il proitto etto, all epoa, delle poste del progetto P he o preedoo tale epoa Il progetto origiario P può essere ridotto a u sottoprogetto P o le poste oiideti o quelle p h del progetto P, o h =,,, 2, metre la posta all epoa è assuta pari a w Il sottoprogetto P ha durata ed ha lo stesso proitto iiziale etto del progetto P Si può, poi, ripetere per ogi sottoprogetto P h, o h =,,, quato su preisato aedo rierimeto all ultima posta w di, proitto del progetto residuo, all epoa h, relativo, ioè, alle poste di P h P h he o preedoo l epoa h Quato su idiato per ogi sottoprogetto P h può essere preisato ome segue: w h q h- q h Q h i q h- q h wh + + FINANZIAMENTO i w + i h wh + COSTITUZIONE i w + i h Ua volta idividuata l operazioe itegrativa Q rierita al primo periodo, il proedimeto ha termie o il alolo del proitto del progetto residuo w, all epoa h = Tale valore rappreseta, el seso sopra desritto, il proitto iiziale etto del progetto P Il proitto iiziale etto W del progetto P, qualora positivo, permette di aratterizzare il progetto ome FAVOREVOLE all operatore iaziario ed è il apitale he, ome già preisato, può essere distolto dal progetto, all epoa h =, metre il progetto può essere attivato dall operatore seza ulteriori esborsi o iassi di apitali ma solo eseguedo le suessive operazioi itegrative he soo state via via evideziate Tali operazioi, iatti, al tasso he le aratterizza, garatisoo ei oroti del progetto, per tutta la sua durata, l immissioe di apitale o l assorbimeto dei lussi positivi, alle epohe previste Nel aso si abbia W =, il progetto può essere osiderato INDIFFERENTE all'operatore iaziario e il progetto può essere attivato seza esborsi o iassi di apitale Nel aso si abbia W <, il progetto può essere osiderato SFAVOREVOLE all'operatore iaziario e il progetto per essere attivato rihiede l immissioe iiziale di apitale per u importo pari a W Esempio A illustrazioe di quato su esposto si osidera il progetto P 5 aratterizzato dalle - 23 wwwea2it 7

8 Proitto Iiziale Netto, a due tassi, di u progetto iaziario o poste uzzy Parte I segueti ique poste: h P 5 : p h + 68,8 5, 2,33, +,, e se e alola il proitto iiziale etto eettuado le valutazioi ai tassi periodali di ostituzioe di apitale i e di iaziameto i, rispettivamete, del % e del 6% Osservato he l ultima posta p 5 è egativa, l operazioe itegrativa Q 5 è ua ostituzioe di apitale La posta q rappreseta il apitale da ivestire all epoa h =, al tasso del %, o lo sopo di ostituire, alla ie del quito periodo, la posta q5 di importo, orrispodete al lusso egativo p 5 del progetto P 5 I relazioe all operazioe itegrativa Q 5, il alolo di q5, di q e del proitto del progetto residuo w, soo eettuati ome segue: q5 = p5 =+,, q = = 96,5, w = p + q =+ 3,85 +, L operazioe itegrativa mooperiodale Q 5 e il sottoprogetto P possoo essere shematizzati ome segue: h P 5 : p h + 68,8 5, 2,33, +,, Q 5 : q h 96,5 +, w +3,85 P : p h +68,8 5, 2,33, +3,85 Determiato, ome su preisato, il sottoprogetto P, si osserva he l ultima posta w è positiva e, quidi, l operazioe itegrativa Q è u iaziameto La posta q3 rappreseta il apitale he otteuto i iaziameto, all epoa h = 3, al tasso del 6%, è possibile rimborsare, alla ie del quarto periodo, o la posta q di importo 3,85, orrispodete al lusso positivo w del sottoprogetto P I relazioe all operazioe itegrativa Q, il alolo di q, di q3 e del proitto del progetto residuo w, soo eettuati ome segue: 3 + 3,85 q = w = 3,85, q3 = =+ 3,7, w3 = p3 + q3 +,6 =+ 3,7 L operazioe itegrativa Q e il sottoprogetto P3 possoo essere shematizzati ome segue: h P : p h + 68,8 5, 2,33, + 3,85 Q : q h + 3,7 3,85 w 3 + 3,7 P 3 : p h + 68,8 5, 2,33 + 3, wwwea2it -

9 Proitto Iiziale Netto, a due tassi, di u progetto iaziario o poste uzzy Parte I Osservato he l ultima posta w 3 del sottoprogetto P3 è positiva, l operazioe itegrativa Q 3 è u iaziameto e si ha quato segue: + 3,7 q3 = w3 = 3,7, q2 = =+ 2,33, w2 = p2 + q2 = +,6 L operazioe itegrativa Q 3 e il sottoprogetto P2 possoo essere shematizzati ome segue: h P 3 : p h + 68,8 5, 2,33 + 3,7 Q 3 : q h + 2,33 3,7 w 2, P 2 : p h + 68,8 5,, Nell esempio i esame il sottoprogetto P2 preseta la posta w2 ulla e, periò, l operazioe itegrativa Q ha etrambe le poste ulle Si ha, quidi, quato segue: 2 h P 2 : p h + 68,8 5,, Q 2 : q h,, w 5, P : p h + 68,8 5, La seoda posta w del sottoprogetto P è egativa, e quidi l operazioe itegrativa è ua ostituzioe di apitale; si ha, iie, quato segue: Q 5 +, q = w =+ 5,, q = = 8,8, w = p + q =+ 2, = W Osservato he il proitto del progetto residuo w è il proitto iiziale etto W del progetto P5, all epoa h =, l operazioe itegrativa Q può essere shematizzata ome segue: h P : p h + 68,8 5, Q : q h 8,8 + 5, W + 2, Il progetto P 5, periò, ha il PIN pari a +2, e il progetto può essere osiderato FAVOREVOLE all'operatore iaziario - 23 wwwea2it 9

10 Proitto Iiziale Netto, a due tassi, di u progetto iaziario o poste uzzy Parte I Osservazioi I relazioe al problema della selta tra progetti iaziari si può osservare he il proitto iiziale etto, PIN, determia u quasi-ordie totale 3 ell isieme dei progetti attibili e alterativi relativi all operatore iaziario; i tale ambito, aturalmete, sarà preeribile il progetto o il massimo PIN Co partiolare riguardo a u progetto pluriperiodale, si osserva he il PIN, i geere, è diverso dal REA del progetto stesso I due valori oiidoo solo qualora al progetto siao assoiate operazioi itegrative tutte di ostituzioe di apitale o tutte di iaziameto e il REA sia alolato, rispettivamete, al tasso i ed i Il proitto iiziale etto di u progetto, ioltre, permette di superare quegli aspetti del REA he susitao perplessità egli operatori dovuti all utilizzo di u uio tasso di valutazioe sia per le poste positive he per quelle egative La proedura qui proposta, seppur simile per alui aspetti a quella del TRM, osete di assoiare al progetto ua suessioe di tassi, i geere, diversa da quella assoiabile o l utilizzo del TRM Nel presete aso, iatti, l operazioe itegrativa ed il relativo tasso soo determiati dal sego del proitto del progetto residuo alla ie di iasu periodo, metre, el aso del TRM, la selta del tasso, per il alolo di u saldo, è eettuata sulla base del sego del saldo all iizio del periodo La oppia di tassi, uo il tasso i di ostituzioe di apitale, l altro il tasso iaziameto, assuta dall operatore iaziario, per il alolo del proitto iiziale etto del progetto, permette di idividuare ua suessioe di tassi he dipede i modo uivoo dalle poste del progetto stesso Per tale motivo, la suessioe idividuata può essere utilizzata per la qualiiazioe del progetto ome progetto di ivestimeto o di iaziameto o misto, i rierimeto a quei tassi, a seoda he, rispettivamete, tutti i tassi i preedao, oppure seguao i tassi i oppure o presetio essuo dei due ordii di preedeza ome veriiatosi el aso del progetto P 5 Nello stesso tempo, ioltre, si determia ua suessioe di operazioi itegrative di ivestimeto e di iaziameto sulla base delle quali è possibile la qualiiazioe del progetto ome progetto di ivestimeto o di iaziameto o misto, i rierimeto a quei tassi, a seoda he, rispettivamete, tutte le operazioi di iaziameto preedao quelle di ivestimeto oppure o presetio essuo dei due ordii di preedeza ome veriiatosi el aso del progetto P 5 Per u immediato alolo del proitto iiziale etto di u progetto, seodo la proedura presetata ella presete ota, è possibile utilizzare la artella di lavoro EXCEL allegata Co tale strumeto, allo sopo di eettuare ua ompleta e approodita aalisi dei progetti, è possibile erare gli itervalli di valori relativi ai tassi i ed i i modo he, se è il aso, al progetto siao assoiate etrambi i tipi di operazioi itegrative oppure e sia assoiato uo solo dei due tipi, oppure le operazioi itegrative di u tipo preedao tutte le operazioi itegrative dell altro tipo Iteressate è, altresì, la riera degli itervalli di valori relativi ai tassi he osetoo di aratterizzare il progetto ome avorevole all operatore iaziario e, i 3 L ordiameto idotto è totale perhé tutti i progetti soo dotati di PIN ed è u quasi-ordie, perhé progetti diversi possoo avere lo stesso PIN i di 23 wwwea2it -

11 Proitto Iiziale Netto, a due tassi, di u progetto iaziario o poste uzzy Parte I tale ambito, l idividuazioe dei tassi he osetoo il massimo PIN Nella artella di lavoro EXCEL si a rierimeto sia ai omui progetti iaziari, ome desritti i tale prima parte della presete ota, e sia ai progetti iaziari o poste erte, di tipo uzzy, ome presetato ella seoda parte he segue La Parte II è su altro ile Per aprirlo, torare alla pagia iiziale della RIVISTA - 23 wwwea2it