Capitolo 2 CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

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1 CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA AZIENDALE (Note didattiche) Bruo Chiadotto Fabrizio Cipollii Capitolo CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Il calcolo delle probabilità, ato el cotesto dei giochi d azzardo si è sviluppato teoricamete fio ad assumere u ruolo particolarmete rilevate ell aalisi dei feomei collettivi, divetado presupposto esseziale della teoria della statistica. La teoria delle probabilità è ua disciplia matematica astratta e altamete formalizzata pur coservado il suo origiale e rilevate coteuto empirico; i questa esposizioe ci limiteremo a esporre gli aspetti esseziali per la compresioe degli argometi trattati el seguito.. Esperimeto casuale, spazio campioario, eveti Defiizioe : Defiizioe di esperimeto casuale. Si dice esperimeto casuale, ogi feomeo il cui risultato o può essere previsto co certezza. Si evidezia che il termie esperimeto va qui iteso i seso lato. Ifatti comprede giochi di sorte (come il lacio di ua moeta, l estrazioe di u umero al lotto, l estrazioe di ua umero alla roulette), esperimeti di laboratorio (come il test di durata di u peumatico, la sommiistrazioe di u pricipio attivo ad u isieme di cavie o il umero massimo di battiti cardiaci di u paziete durate u test di sforzo), misurazioi fisiche (come la temperatura miima di domai i ua certa stazioe meteorologica o l itesità di ua certa scossa di terremoto) feomei ecoomici e sociali (come il umero di computer prodotti da u impresa del settore, il PIL italiao fra 5 ai, il umero di imprese che fallirao i Ighilterra el prossimo ao o il ROE di u impresa el prossimo esercizio) e più i geerale tutte le prove, operazioi, attività o feomei il cui esito o è prevedibile co certezza.

2 Defiizioe : Defiizioe di spazio campioario. Dato u esperimeto casuale, si dice spazio campioario l'isieme Ω di tutti i possibili risultati, esaustivi e mutualmete esclusivi, dell'esperimeto stesso. Tali possibili risultati soo detti puti campioari. Alcui esempi Se l'esperimeto casuale cosiste el lacio di ua MONETA a due facce, lo spazio campioario è dato da Ω {T, C} dove T è il puto campioario testa e C è il puto campioario croce. I questo esempio si è assuto (come si fa di solito) che gli uici risultati possibili siao T e C, e che quidi la moeta o possa rimaere i equilibrio sul bordo. Se ivece si ipotizza che ache questo risultato sia possibile, allora lo spazio campioario di questo esperimeto casuale è Ω {T, C, B}, dove B è il puto campioario moeta i equilibrio sul bordo. Ua situazioe aaloga al lacio della moeta si ha el caso i cui l'esperimeto casuale sia l esito di ua operazioe di fiaziameto di ua baca ad ua impresa cliete, i cui risultati possibili soo la restituzioe o meo del fiaziameto cocesso da parte dell impresa. I tal caso ifatti lo spazio campioario Ω è dato da Ω {R, NR}, dove R è il puto campioario fiaziameto restituito e NR il puto campioario fiaziameto o restituito. Se l'esperimeto casuale cosiste ell'estrazioe di u umero al lotto, lo spazio campioario è dato da Ω {,,, 90}, costituito, come è ovvio, da tutti i umeri iteri da a 90. Aalogamete se l'esperimeto casuale cosiste ell'estrazioe di u umero alla roulette, lo spazio campioario è dato da Ω {0,,,, 36}. Se l'esperimeto casuale cosiste el cotare il umero di difetti (ad esempio dei odi) i ua matassa di filato da 00 metri, lo spazio campioario è dato da

3 Ω {0,,, }. cioè da tutti i umeri iteri o egativi, dato che il umero di difetti è u umero itero e o è possibile stabilire a priori il umero massimo. Ua situazioe aaloga si ha se l esperimeto casuale cosiste el cotare il umero di accessi ad u certo sito iteret ell arco di u ao oppure el cotare il umero massimo di battiti cardiaci durate u test di sforzo. Se l'esperimeto casuale cosiste el test di durata di u peumatico, lo spazio campioario è costituito da Ω [0, + ), cioè tutti i umeri reali o egativi, dato che la durata è u umero che o può essere egativo. Ua cosiderazioe aaloga vale per l itesità di ua scossa di terremoto, dato che questa, se misurata si scala RICHTER, sarà u umero o egativo (0 se o c è stata essua scossa). Se l'esperimeto casuale cosiste el valutare il ROE di u impresa el prossimo esercizio, lo spazio campioario è costituito da Ω (, + ) dato che il ROE di u impresa può essere u qualsiasi umero reale. Se l'esperimeto casuale cosiste el misurare la temperatura (i gradi cetigradi) i ua certa stazioe meteorologica, lo spazio campioario è costituito da Ω [ 73, + ), dato che secodo la fisica la temperatura o può scedere sotto lo 0 assoluto (circa 73 C). Riepilogado, allora, lo spazio campioario è l isieme dei risultati possibili dell esperimeto campioario cosiderato. Dagli esempi riportati possiamo otare che lo spazio campioario può essere costituito da u umero fiito di puti campioari (come el caso del lacio della moeta, dei pezzi buoi/difettosi, delle pallie estratte da u ura o dell estrazioe alla roulette), oppure da u ifiità umerabile di puti campioari (come el caso del umero di computer prodotti, del umero di accessi ad u sito iteret o del umero di battiti cardiaci), o ifie da u ifiità o umerabile di puti campioari (come el caso del test di durata di u peumatico, del PIL italiao fra 5 ai, della temperatura di u luogo o del ROE di u impresa). 3

4 Defiizioe 3: Defiizioe di eveto. Dato uo spazio campioario Ω relativo ad u certo esperimeto casuale, u eveto è sempre u sottoisieme di Ω. Tuttavia: se Ω è costituito da u umero fiito o da u ifiità umerabile di puti campioari, è eveto ogi sottoisieme A di Ω; se ivece Ω è costituito da u ifiità o umerabile di puti, o tutti i possibili sottoisiemi di Ω soo eveti ma soltato i cosiddetti sottoisiemi ammissibili di Ω. I ogi caso, comuque, u eveto è u sottoisieme di Ω ed è quidi costituito da u isieme di puti campioari. Precisiamo ioltre che el caso i cui Ω sia costituito da u ifiità o umerabile di puti, i sottoisiemi o ammissibili soo piuttosto artificiosi da costruire: i sottoisiemi ai quali si è comuemete iteressati (vedremo poi alcui esempi) soo tutti ammissibili. Defiizioe 4: Verificarsi di u eveto. Dato uo spazio campioario Ω relativo ad u certo esperimeto casuale, l eveto A si verifica (si realizza) solo se il risultato dell esperimeto casuale è u qualsiasi puto campioario di A; i caso cotrario A o si verifica. Le due defiizioi precedeti ci cosetoo di precisare che soo eveti ache: Ω stesso, che coteedo tutti i puti campioari deve per forza verificarsi ed è quidi detto eveto certo (importate: i geerale tutti gli eveti certi possoo essere idicati co Ω). tutti gli eveti del tipo {ω}, cioè costituiti da u solo puto campioario ω, che come tali soo detti eveti elemetari; ø, che o coteedo alcu puto campioario o si potrà mai realizzare e che è quidi detto eveto impossibile (importate: i geerale tutti gli eveti impossibili possoo essere idicati co ø). 4

5 Alcui esempi Se l'esperimeto casuale cosiste el lacio di ua moeta a due facce, soo eveti: {T}, {C}, Ω {T, C}, ø. Questi soo ache gli uici eveti che possoo essere defiiti ell esperimeto casuale idicato. {T} e {C} soo eveti elemetari i quato costituiti da u solo puto campioario; Ω è l eveto certo (ifatti è certo che dal lacio vega T o C); gli eveti {BABBO} oppure {CANE, GATTO} soo impossibili e possoo essere rappresetati, come tutti gli eveti impossibili, col simbolo ø. I questo esperimeto casuale implicitamete abbiamo escluso che la moeta possa rimaere i equilibrio sul bordo. Quidi ache l eveto {B} è impossibile e può essere idicato co ø. Se ivece ell esperimeto della moeta a due facce è possibile che la moeta rimaga i equilibrio sul bordo allora soo eveti: {T}, {C}, {B}, {T, C}, {T, B}, {C, B}, Ω {T, C, B}, ø; questi soo ache gli uici eveti che possoo essere defiiti i questo esperimeto casuale. {T}, {C} e {B} soo eveti elemetari, metre {T, C} o è più l eveto certo (ifatti o è certo che vega T o C, dato che è possibile che la moeta rimaga sul B); {B} o è più impossibile metre rimagoo impossibili (e quidi idetificabili co col simbolo ø) gli eveti {BABBO} e {CANE, GATTO}. Se el lacio viee B allora si realizzao tutti gli eveti che cotegoo B ({B}, {C, B}, {T, B} ed ovviamete Ω), metre o si realizzao tutti quelli che o lo cotegoo ({C}, {T}, {T, C} ed ovviamete ø). Ua situazioe simile a quella del lacio della moeta si ha el caso i cui l'esperimeto casuale sia l esito di ua operazioe di fiaziameto di ua baca ad ua impresa cliete. [Lo studete provi per coto proprio a scrivere gli eveti che possoo essere costruiti i questo caso, idicado quali soo quelli che si verificao se l esito è NR] Se l'esperimeto casuale cosiste ell'estrazioe di u umero al lotto, costruire l eleco di tutti gli eveti possibili è u operazioe lughissima (e ache iutile!). Siccome lo spazio campioario cotiee u umero fiito di puti campioari tutti i sottoisiemi possibili di Ω soo eveti, ivi compresi Ω stesso e ø. Ad esempio {33}, {99}, { 0 }, {55, 58}, { 3,.5} {99, 5}, {umeri pari}, {umeri divisibili per 0}, {umeri reali}, soo tutti eveti. Fra questi {99}, { 0 } e { 3,.5} soo impossibili e possoo essere idicati co ø; gli altri soo ivece possibili (ivi compreso {99, 5}: se ifatti viee fuori il 5 questo eveto si realizza); {umeri reali} è certo e può essere idicato co Ω. Se viee estratto il 30 allora si verificao tutti gli eveti che cotegoo il 30 (ad esempio 5

6 si verificao {umeri pari}, {umeri divisibili per 0}, {30, 60, 90} e, aturalmete, Ω) metre o si verificao quelli che o lo cotegoo (ad esempio o si verificao {dispari}, {umeri divisibili per 7}, {,, 33} e, aturalmete, ø). Se l'esperimeto casuale cosiste el cotare il umero di difetti i ua matassa di filato da 00 metri, costruire l eleco di tutti gli eveti possibili è u operazioe impossibile, dato che Ω cotiee ua ifiità umerabile di puti campioari. Ache i questo caso, comuque, tutti i sottoisiemi di Ω soo eveti. Ad esempio soo eveti possibili {0}, {33}, {99}, {55, 58}, {99, 5}, {umeri pari}, {umeri divisibili per 0}; {umeri reali}, {umeri o egativi} coicidoo co l eveto certo Ω; soo ivece impossibili { 0 }, { 8}, { 3,.5}, {umeri egativi} che possoo essere quidi idicati co ø. Se l'esperimeto casuale cosiste el test di durata di u peumatico, allora o tutti i sottoisiemi di Ω soo eveti ma soltato quelli ammissibili; tuttavia, come idicato, quelli ai quali si è comuemete iteressati soo tutti ammissibili. Soo allora eveti possibili {0}, {33}, { 0 }, {3/4, 58}, [3,9), (, 5), {umeri divisibili per 0}; {umeri reali}, {umeri o egativi} coicidoo co l eveto certo Ω; soo ivece impossibili { 55}, [, ] che possoo essere quidi idicati co ø. [Lo studete provi per coto proprio a sviluppare i modo aalogo ai precedeti altri esempi di esperimeti casuali] E chiaro che poiché lo spazio campioario Ω cotiee solo i risultati possibili, e poiché gli eveti soo sottoisiemi di Ω, è coveiete ripulire gli eveti dai puti campioari impossibili quado li cotegoo. Per defiizioe tutti i risultati possibili devoo essere iclusi; tutto il resto è impossibile. Relativamete agli esperimeti casuali più semplici o s'icotrao, usualmete, difficoltà ell'idividuazioe e ella successiva eumerazioe dei puti campioari che e costituiscoo i possibili risultati. I esperimeti più complessi possoo risultare di aiuto alcue formule combiatorie (richiamate i appedice al capitolo) che facilitao tale operazioe. L utilità di tale eumerazioe sarà più chiara quado si parlerà di probabilità. 6

7 Riepilogado, lo spazio campioario Ω è l isieme dei risultati possibili dell esperimeto campioario cosiderato, metre u eveto è sempre u sottoisieme di Ω. Spesso è utile operare sugli eveti, combiadoli fra di loro i modo opportuo, per creare di uovi a secoda dell iteresse di chi studia il feomeo (esperimeto casuale) cosiderato. D altra parte poiché come detto gli eveti soo i tutto per tutto degli isiemi è iutile ivetare u modo uovo per operare sugli eveti: coviee predere a prestito dalla matematica gli strumeti della teoria degli isiemi. I questo ambito l'eveto certo Ω (coicidete co l'itero spazio campioario) o rappreseta altro che l'isieme uiversale, metre l'eveto impossibile ø corrispode all'isieme vuoto. Nelle pagie che seguoo si richiamao gli aspetti fodametali della teoria degli isiemi che risultao utili per operare sugli eveti. Le relazioi/operazioi della teoria degli isiemi che risultao di particolare iteresse per operare sugli eveti soo la relazioe di iclusioe ( ) e le operazioi di egazioe (o complemetazioe) A, di itersezioe ( ), di uioe ( ), e di differeza ( ). Per compredere e mettere i pratica queste relazioi ed operazioi soo utili i cosiddetti diagrammi di Ve. Relazioe di iclusioe. U eveto A è icluso ell'eveto B, e si scrive A B, se ogi puto campioario di A appartiee ache a B (o è detto che valga il viceversa). Relazioe di uguagliaza. Due eveti A e B soo uguali sse cotegoo gli stessi puti campioari, ovvero sse cotemporaeamete A B e B A Operazioe di egazioe. La egazioe (complemetazioe ella teoria degli isiemi) di u eveto A è l eveto A costituito da tutti i puti campioari di Ω che o appartegoo ad A. Il seguete diagramma di Ve illustra graficamete il cocetto di eveto icluso e di eveto egato. 7

8 Ω A B B Fig. - Diagramma di Ve per l iclusioe e la egazioe dove il quadrato rappreseta l itero spazio campioario Ω e A B. Operazioe di itersezioe. L'itersezioe tra due eveti A e B è l'eveto E A B costituito da tutti i puti campioari che appartegoo sia ad A che a B. Operazioe di uioe. L'uioe tra due eveti A e B è l'eveto E A B costituito da tutti i puti campioari che appartegoo ad almeo uo fra A e B. Il seguete diagramma di Ve illustra graficamete le due operazioi (itersezioe ed uioe). Ω Ω E A B A B E Fig. - Diagrammi di Ve per l itersezioe e l uioe. Il tratteggio evidezia l eveto itersezioe ella prima figura e l eveto uioe ella secoda figura. Operazioe di differeza. La differeza fra due eveti A e B è l eveto E 3 A B costituito da tutti i puti campioari che appartegoo ad A ma o a B. 8

9 I palati matematici più fii, oterao che ua volta itrodotte le operazioi di egazioe ed itersezioe si potrebbe fare a meo d'itrodurre le due ulteriori operazioi di uioe e di differeza. Ifatti queste due operazioi possoo essere defiite a partire dalle precedeti el modo seguete [lo studete verifichi tali relazioi utilizzado i diagrammi di Ve]: A B A B ( A B ) ( A B ) L'itroduzioe di queste due ultime operazioi è giustificata dalla semplificazioe che esse comportao quado si opera sugli eveti (isiemi). Si segala ache che la relazioe A B ( A B ) ( A B ) e la relazioe duale A B vegoo usualmete dette leggi di de Morga [si ivita lo studete a verificarle etrambe utilizzado i diagrammi di Ve]. Le operazioi di uioe e di itersezioe possoo, aturalmete, essere applicate ache a (>) eveti. L'itersezioe fra eveti A, A,, A forisce come risultato l'eveto A A A... A I A i che cotiee tutti i puti campioari comui ai eveti cosiderati. L'uioe tra gli stessi eveti dà come risultato l'eveto A A A... A U A i che cotiee tutti i puti campioari che appartegoo ad almeo uo dei eveti cosiderati. A questo puto possiamo elecare ua serie di proprietà di facile dimostrazioe che coseguoo dalle operazioi itrodotte. Lo studete è ivitato a dimostrarle utilizzado i diagrammi di Ve (il simbolo rappreseta la relazioe di implicazioe). A B A B A A B A B B 9

10 φ Ω Ω ø ø A Ω A ø ø A Ω A A ø A A Ω Ω A A ø A A Ω A (A B) (A B) A B (A B) (A B) B A B B A A B B A (proprietà commutativa) (proprietà commutativa) A A A 3 (A A ) A 3 A (A A 3 ) A A A 3 (A A ) A 3 A (A A 3 ) A (A A 3 ) (A A ) (A A 3 ) A (A A 3 ) (A A ) (A A 3 ) (proprietà associativa) (proprietà associativa) (proprietà distributiva) (proprietà distributiva) Le due ultime proprietà (distributive) per eveti divegoo A (U A (I A i ) U A i ) I (A A i ) (A A i ) Dopo aver elecato relazioi ed operazioi della teoria degli isiemi utili per operare sugli eveti, utilizziamo ora la teoria degli isiemi ache per defiire il cocetto importate di icompatibilità fra eveti. Due eveti A e B soo icompatibili se la loro itersezioe è l eveto impossibile, cioè 0

11 A B ø. I pratica ciò sigifica o che i due eveti che o hao puti campioari i comue, oppure che hao qualche puto i comue che però è impossibile (e quidi è come se o l avessero). U altro cocetto importate (e el quale di uovo si sfrutta la teoria degli isiemi) quado si opera sugli eveti è quello di codizioameto. Questo è utile quado si vuol aalizzare u certo eveto A (l eveto codizioato) avedo a disposizioe ua certa iformazioe B (l eveto codizioate). Per fare u esempio, el lotto l uscita alla secoda estrazioe del 5 el caso i cui (iformazioe) alla prima estrazioe sia uscito il 90. L'eveto A B (A codizioatamete ad B o, più semplicemete, A dato B) riguarda l aalisi di A assumedo verificato l'eveto codizioate (iformazioe) B. Si sottoliea che l espressioe assumedo verificato o sigifica ecessariamete che B si è verificato, ma solo che oi si ragioa come se si fosse verificato (si ragioa cioè sulla base dell iformazioe a disposizioe). Il codizioameto degli eveti si risolve i pratica i ua sorta di ridefiizioe dello spazio campioario el modo seguete. Ω A B Fig. 3 - Ridefiizioe degli spazi per eveti codizioati. Se si assume che l'eveto B si è verificato allora accadoo due importati cosegueze:. perdoo di rilevaza tutti i puti campioari che o appartegoo ad B; i pratica ell assumere che si è verificato B diviee ua specie di uovo eveto certo.. perdoo di rilevaza tutti i puti campioari di A o appartegoo ad B.

12 Quidi se si cosidera l'eveto codizioato A B, B si trasforma i Ω ed A si trasforma ell'eveto A B. Ulteriori dettagli su questo cocetto sarao dati el seguito parlado di probabilità codizioata. Ifie u ultimo importate cocetto: quello di algebra. Poiché tale cocetto o è di semplice compresioe, facciamolo precedere da alcue cosiderazioi ituitive. Nelle pagie precedeti, dopo avere dato la defiizioe di eveto abbiamo aalizzato alcui esempi. Abbiamo visto che quado lo spazio campioario Ω è composto da pochi puti campioari è semplice costruire la lista di tutti gli eveti: basta fare l eleco di tutti i sottoisiemi di Ω. Se ivece Ω è composto da u umero sempre fiito ma abbastaza elevato puti campioari, esplicitare tale lista è u operazioe alquato tediosa. Operazioe che risulta addirittura impossibile se Ω è costituito da u umero ifiito di puti campioari. D altra parte, abbiamo otato che esplicitare l isiemoe di tutti gli eveti, talvolta chiamato spazio degli eveti, o è u operazioe molto utile. Quello che ivece è importate è stato, seppure implicitamete, evideziato dopo: operare sugli eveti co le operazioi della teoria degli isiemi produce come risultato altri eveti. I altri termii è importate operare i u isieme chiuso. Possiamo sitetizzare tutto ciò el modo seguete: lo spazio degli eveti (facile da esplicitare solo i casi particolarmete semplici) è u isieme chiuso rispetto alle operazioi di egazioe e di itersezioe (e quidi ache rispetto all uioe e alla differeza che possoo essere derivate dalle precedeti). Esplicitiamo ora questo cocetto i modo più rigoroso. U algebra è u isieme chiuso rispetto alle operazioi di egazioe e di itersezioe fra isiemi (e quidi ache rispetto a quelle di uioe e differeza che possoo essere defiite a partire dalle precedeti): ciò sigifica che se prediamo elemeti apparteeti all isieme, allora ache il risultato delle operazioi di egazioe e di itersezioe fatte su di essi appartegoo all isieme. Più i particolare, se l isieme è chiuso rispetto ad u umero fiito di operazioi, si parla di algebra di Boole o, più semplicemete, di algebra; se il sistema è chiuso rispetto ad u ifiità umerabile di operazioi, si parla di algebra di Boole completa o, più semplicemete, di σ-algebra. Nella successiva esposizioe si assumerà che dato u esperimeto casuale e lo spazio campioario Ω ad esso relativo, gli eveti che possoo essere costruiti a partire da Ω

13 formio ua σ-algebra A. Quidi lo spazio degli eveti A sarà ua σ-algebra e il risultato di u umero fiito o ifiito umerabile di operazioi fatte su eveti (elemeti di A) sarà acora u eveto (elemeto di A). Torado a ua distizioe fatta i precedeza, se Ω è costituito da u umero fiito oppure da u ifiità umerabile di elemeti allora A cotiee tutti i possibili sottoisiemi di Ω; se ivece Ω è costituito da u ifiità o umerabile di elemeti allora A cotiee solo i sottoisiemi ammissibili di Ω. Dato u esperimeto casuale, la coppia (Ω, A), dove Ω è lo spazio campioario e A è la σ-algebra geerata da Ω, è detta spazio misurabile.. La probabilità Oguo di oi ha i testa ua idea, almeo vaga, del cocetto di probabilità. Per itrodurre il cocetto di probabilità partiamo proprio da questa idea ituitiva. Se volessimo spiegare il cocetto co parole semplici, potremmo dire che la probabilità di u eveto A è il grado di certezza, su ua scala da 0 ad, attribuito al verificarsi di tale eveto: più è la probabilità è vicia a più è sicuro che A si verifichi; più la probabilità è vicia a 0 meo è sicuro che A si verifichi. Facedo per il mometo affidameto su questa idea ituitiva di probabilità, il primo problema che occorre affrotare ella pratica è come attribuire la probabilità, dal puto di vista umerico, ei sigoli casi cocreti. Tra le iumerevoli defiizioi proposte i letteratura, e presetiamo presetao soltato tre: la defiizioe classica, la defiizioe frequetista e la defiizioe soggettiva. Defiizioe 5: Defiizioe classica della probabilità. La probabilità di u eveto A è data dal rapporto P(A) A umero dei casi favorevoli umero dei casi possibili purché tutti i casi siao ugualmete possibili. 3

14 Alla defiizioe classica di probabilità soo state rivolte critiche di varia atura. La prima critica è di ordie logico e riguarda la circolarità della defiizioe: affermare che tutti i casi soo ugualmete possibili sigifica dire che soo ugualmete probabili (o si può defiire u cocetto utilizzado se stesso). Altre due critiche, decisamete più rilevati dal puto di vista pratico, riguardao l operatività della defiizioe: o soo affatto rare le situazioi reali elle quali o è possibile procedere all eumerazioe dei casi favorevoli e dei casi possibili; ioltre, ache elle situazioi i cui si può effettuare ua tale eumerazioe, o è ifrequete la circostaza i cui o tutti i casi soo ugualmete possibili. Per superare questi icoveieti è stata itrodotta la seguete defiizioe di probabilità. Defiizioe 6: Defiizioe frequetista della probabilità. La probabilità di u eveto ripetibile A è data dal rapporto fra A, il umero di volte i cui A si è verificato, ed, il umero delle prove, quado il umero delle prove tede ad ifiito P(A) A lim, supposto che tutte le prove siao effettuate elle stesse codizioi. La probabilità, secodo questa defiizioe, può essere quidi itesa come ua sorta di idealizzazioe della frequeza relativa che verrà itrodotta el cotesto della statistica descrittiva. Talui autori ritegoo, ifatti, che probabilità e frequeza relativa o siao altro che l'aspetto teorico e quello empirico di uo stesso cocetto ed iterpretao la frequeza relativa di u eveto come misura approssimata (per fiito) della probabilità. Ache alla defiizioe frequetista soo state rivolte critiche di varia atura. Azitutto quella relativa al limite irraggiugibile (+ ) imposto al umero delle prove; ma a tale critica si rispode accettado la frequeza relativa di u umero fiito (ma sufficietemete elevato) di prove come misura approssimata della probabilità. Più problematiche soo la critica relativa alla ripetibilità delle prove (esperimeto) i situazioi ivariate e, soprattutto, quella che fa riferimeto alle situazioi reali, e o 4

15 soo affatto ifrequeti, elle quali o è possibile procedere all effettuazioe di alcua prova. Ua defiizioe che supera le critiche, sia di ordie logico che operativo, rivolte alla defiizioe classica e alla defiizioe frequetista di probabilità è la defiizioe seguete. Defiizioe 7: Defiizioe soggettiva della probabilità. La probabilità di u eveto A è defiita come il grado di fiducia che u idividuo razioale attribuisce al verificarsi di u eveto. La misura (soggettiva) di probabilità si deriva poedo l'idividuo (razioale) di frote ad u'operazioe di scommessa chiededo quato è disposto a putare per ricevere el caso i cui l'eveto i questioe si realizzi. Ache alla defiizioe soggettiva di probabilità soo state rivolte critiche: la prima riguarda proprio la soggettività isita ella defiizioe; la secoda è relativa alla difficoltà di tradurre i u valore umerico il grado di fiducia. Alla prima critica si rispode osservado che qualuque probabilità deve essere itesa i seso codizioato, cioè codizioatamete all iformazioe dell idividuo (razioale). Pertato, ache se apparetemete due idividui diversi attribuiscoo ua diversa misura di probabilità ad uo stesso eveto, gli stessi idividui si riferiscoo a due diversi eveti essedo diversa l iformazioe sulla base del quale formulao il proprio grado di fiducia. Alla secoda critica si rispode che, oostate alcue difficoltà operative, alla misura di probabilità si perviee, come detto, attraverso l attivazioe di u processo relativamete semplice (almeo sul piao cocettuale) che è quello di porre l idividuo di frote ad ua operazioe di scommessa. Le tre defiizioi itrodotte, cui si può far ricorso per otteere ua valutazioe umerica della probabilità, o soo ecessarie per lo sviluppo del calcolo delle probabilità. A tal fie ifatti è sufficiete ua defiizioe di carattere più formale che ivece di stabilire come attribuire i valori di probabilità ei casi cocreti, fissa semplicemete le regole che la probabilità deve rispettare. A questa defiizioe 5

16 assiomatica si farà riferimeto egli sviluppi teorici che seguoo, metre le tre defiizioi o assiomatiche sarao utilizzate i alcui esempi. Defiizioe 8: Defiizioe assiomatica della probabilità. Siao dati u esperimeto casuale, co il suo spazio campioario Ω e la corrispodete σ-algebra A (l isieme degli eveti geerati da Ω). Allora la probabilità è ua fuzioe che ad ogi eveto (elemeto di A) associa u umero fra 0 e, i simboli P: A [0,] A a P(A), che soddisfa le segueti proprietà:. P(A) 0 (ridodate, ma è bee sottoliearla). P(Ω) 3. Se A B ø (cioè A e B soo icompatibili), allora P(A B) P(A) + P(B). Questa defiizioe assiomatica della probabilità, dovuta a Kolmogorov, o ha sollevato obiezioi sostaziali da parte degli studiosi. Ifatti precisa e chiarisce soltato i coteuti sitattici, cioè le regole formali che deve rispettare la probabilità, regole sulle quali è più facile trovare l'accordo. Dall'altro lato il cosiderare i soli aspetti formali esclude ogi operatività della defiizioe, i quato o dice iete su come attribuire la probabilità, dal puto di vista umerico, ei sigoli casi cocreti. Quado si vuol utilizzare la probabilità per risolvere problemi reali si dovrà, quidi, fare ecessariamete ricorso alle defiizioi precedeti, elle quali l'aspetto sematico, cioè del sigificato, viee privilegiato. Notiamo che la distizioe fra aspetto sitattico (o delle regole formali) e aspetto sematico (o del sigificato) è la stessa distizioe che c è, ello svolgimeto di u tema, fra l aspetto grammaticale, che riguarda solo le regole della ligua i cui si scrive, e l aspetto dei coteuti e delle idee che el tema soo esposte. I due o vao ecessariamete isieme: u tema può essere buoo come forma ma povero di idee o viceversa u po sgrammaticato ma dai coteuti iteressati. 6

17 Si evidezia ifie che tutte e tre le defiizioi o assiomatiche soddisfao le regole della defiizioe assiomatica di probabilità. Ricollegadosi alla defiizioe assiomatica, è facile dimostrare che da tale defiizioe seguoo alcue utili relazioi: P(A) P(ø) 0 A B P(A) P(B) P(A B) P(A) + P(B) P(A B) L'ultima relazioe per 3 eveti diveta P(A B C) P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) che ovviamete si riduce a P(A B C) P(A) + P(B) + P(C) quado i 3 eveti soo tra loro icompatibili. Per eveti tale relazioe diveta P U A i i P + K + che ovviamete si riduce a ( Ai ) P( Ai A j ) + P( Ai A j Ah ) i j i + ( ) P I Ai P U quado i eveti soo tra loro icompatibili. A i P(Ai ) i j i h i, j I coclusioe u ultima otazioe. Alla fie della sezioe abbiamo detto che dato u esperimeto casuale, la coppia (Ω, A), dove Ω è lo spazio campioario e A è la σ- algebra geerata da Ω, è detta spazio misurabile. Se a questa coppia aggiugiamo la (fuzioe) probabilità otteiamo la tripletta (Ω, A, P(.)) detta spazio probabilistico. 7

18 3. La probabilità codizioata Nella sezioe abbiamo euciato il cocetto di codizioameto fra eveti. Ricordadoe gli elemeti fodametali, (per maggiori dettagli si veda la sezioe idicata) il codizioameto è utile quado si vuole aalizzare u certo eveto A (l eveto codizioato) avedo a disposizioe ua certa iformazioe B (l eveto codizioate): l'eveto A B (detto A codizioatamete a B o A dato B) riguarda quidi l aalisi di A assumedo verificato l'eveto codizioate (iformazioe) B. Si ricorda ache che l espressioe assumedo verificato o sigifica ecessariamete che B si è verificato, ma solo che si ragioa come se si fosse verificato (cioè prededo per buoa l iformazioe a disposizioe). Abbiamo ache detto che il codizioameto degli eveti si risolve i pratica i ua sorta di ridefiizioe dello spazio campioario. Ifatti se si assume che B si è verificato e cosegue che:. perdoo di rilevaza tutti i puti campioari che o appartegoo a B, cosicché B diviee ua specie di uovo eveto certo;. perdoo di rilevaza tutti i puti campioari di A che o appartegoo a B, cosicché l uica parte di A che acora può verificarsi è soltato A B. La seguete defiizioe di probabilità codizioata rispode perfettamete a questa logica. Defiizioe 9: Defiizioe di probabilità codizioata. Assumedo P(B) > 0, la probabilità di A B è data da P(A B) P ( A B) P( B) I pratica, allora, P(A B) o è altro che P(A B) riproporzioato sulla base di P(B) (la probabilità dell eveto codizioate). Si può dimostrare [si ivita lo studete a provare per coto proprio] che la probabilità codizioata è ua vera e propria probabilità, cioè è ua fuzioe P(. B): A [0,] A a P(A B) che soddisfa gli assiomi di probabilità,, 3 di cui alla defiizioe 8. Ifatti 8

19 se A ed A soo icompatibili. Valgoo ioltre P(A B) 0 P(B B) P(A A B) P(A B) + P(A B) A A P (A B) P (A B) P( A B) P(A B) P(A A B) P(A B) + P(A B) P(A A B) Si evidezia che le regole della probabilità valgoo per l eveto a siistra del (l eveto codizioato), metre l eveto codizioate, l iformazioe, è teuto fermo. E ovvio che se il ruolo dei due eveti è ivertito rispetto alla defiizioe, cioè siamo iteressati ad B avedo A come iformazioe (co P(A) > 0), allora basta scambiare i due eveti ella defiizioe per ricavare P(B A): P(B A) ( B A) P( A) P. Dalla defiizioe di probabilità codizioata e dalle cosiderazioi precedeti possoo poi essere derivate ua serie di formule assai utili ella pratica per il calcolo di certe probabilità.. La prima è ota come formula delle probabilità composte ed è data da P(A B) P(A B) P(B) P(B A) P(A). Tale relazioe si dimostra ricavado P(A B) i fuzioe degli altri elemeti sia ella defiizioe di P(A B) che di P(B A) (si ricorda che, per la proprietà commutativa, A B B A e quidi P(A B) P(B A)).. La secoda è ota come formula della probabilità margiale ed è data da P(B) P(B A) P(A) + P(B A ) P( A ) Questa formula può essere dimostrata, sfruttado le proprietà delle operazioi fra eveti e della probabilità, attraverso i segueti passaggi: P(B) P(B Ω) P[B (A A )] P[(B A) (B A )] P(B A) + P(B A ) P(B A) P(A) + P(B A ) P( A ), 9

20 dove fra le altre cose si sfrutta il fatto che (B A) e (B A ) soo icompatibili (lo studete è ivitato a verificare ciò utilizzado i diagrammi di Ve) e la formula delle probabilità composte. 3. La terza è ota come formula di Bayes ed è data da P(A B) ( B A) P( A) P( B) P Tale formula può essere ricavata immediatamete dalla formula delle probabilità composte. Si sottoliea che ella pratica il deomiatore P(B) è spesso calcolato a partire da P(B A), P(B A ), P(A) e P( A ) utilizzado la formula della probabilità margiale.. Sulla base delle cosiderazioi precedeti possiamo ora discutere più i dettaglio l utilizzo pratico della probabilità codizioata. E baale osservare (ma spesso gli studeti se lo dimeticao!) che la formula ella defiizioe di probabilità codizioata è ua uguagliaza: quidi dati due elemeti (qualsiasi!) della stessa il terzo può essere ricavato. Di cosegueza tale defiizioe può essere utilizzata i tre modi:. Uso diretto. E l utilizzo più immediato: sapedo P(B) e P(A B) si ricava P(A B) utilizzado direttamete la defiizioe.. Uso idiretto via pricipio delle probabilità composte: sapedo la probabilità codizioata P(B A) e quella margiale P(A), si vuol ricavare la probabilità dell itersezioe P(A B). I questo caso la defiizioe è utilizzata idirettamete perché si ricava la probabilità dell itersezioe i fuzioe della probabilità codizioata. 3. Uso idiretto via formula di Bayes: sapedo le probabilità codizioate P(B A) e P(B A ) e quella margiale P(A) (da cui si ricava ache e P(B A )), si vuol otteere P(A B). I questo caso la defiizioe è utilizzata idirettamete perché si ricava ua probabilità codizioata i fuzioe di altre probabilità. Alcue delle relazioi precedeti possoo essere estese ache a più di eveti.. Il formula delle probabilità composte può riguardare ache u umero qualsiasi di eveti A, A, A 3, Si avrà allora P(A A A ) P(A ) P(A A ) P(A 3 A A )... P(A A A ), 0

21 che è detta ache regola della catea.. La formula della probabilità margiale può essere estesa ache ad ua partizioe dello spazio campioario Ω più fie di quella vista i precedeza fra A e A. Ma vediamo prima cos è ua partizioe. Ua partizioe di Ω (ma la defiizioe di partizioe vale per u qualsiasi eveto B) è ua suddivisioe di tale spazio i tati eveti A, A,..., A che siao esaustivi ed icompatibili: esaustivi i quato devoo esaurire Ω, cioè U A i Ω; icompatibili i quato o devoo avere puti campioari i comue, cioè A i A j ø per ogi i j. Per avere u idea possiamo immagiare la partizioe come le mattoelle di u pavimeto: la loro uioe forma il pavimeto (esaustività) ma fra loro o vi soo sovrapposizioi (icompatibilità). Detto cos è ua partizioe, la formula della probabilità margiale per ua geerica partizioe A, A,..., A di Ω è data da P(B) P(B A i ) P(A i ). Ache questa formula può essere dimostrata sfruttado le proprietà delle operazioi fra eveti e della probabilità. I passaggi soo i segueti: P(B) P(B Ω) P[B (U A i )] P[U P(B A i ) P(A i ), (B A i )] P(B A i ) dove fra le altre cose si sfrutta il fatto che i (B A i ) soo fra loro icompatibili. 3. Aalogamete alla formula della probabilità margiale, ache la formula di Bayes può essere estesa ad ua geerica partizioe A, A,..., A di Ω. I tale caso la formula di Bayes è ua semplice riscrittura di quella vista i precedeza: P(A i B) P ( B Ai ) P( Ai ) P( B),

22 dove ormalmete P(B) è ricavato sulla base della formula della probabilità margiale precedete. Precisiamo che da u puto di vista pratico la formula di Bayes assume ua rilevaza particolare quado i eveti A i possoo essere iterpretati come possibili cause dell'eveto B. I tale cotesto: P(A i B) è detta probabilità a posteriori della causa A i ; P(A i ) è detta probabilità a priori della stessa causa e P(B A i ) è detta verosimigliaza dell'eveto B. La formula di Bayes esprime i maiera molto semplice il processo di appredimeto dall'esperieza i cotesti o determiistici. Della realtà si possiede ua coosceza probabilistica, che viee espressa i termii di probabilità (a priori) P(A i ); queste probabilità si trasformao, al verificarsi dell'eveto B (acquisizioe di ulteriore iformazioe), elle probabilità (a posteriori) P(A i B). Come molte volte ripetuto, ifatti, le probabilità codizioate si usao per riassegare le probabilità agli eveti ua volta che siao state acquisite ulteriori iformazioi relative ad ua realizzazioe parziale di u esperimeto casuale. Ω A A 3 A4 A A A 5 Fig. 4 - Partizioe dello spazio campioario Ω i cique eveti A, A, A 3, A 4 ed A 5 possibili cause dell eveto B. Vediamo adesso u altro cocetto di fodametale importaza ell ambito della probabilità: quello di idipedeza fra eveti (importate: o cofoderlo co quello di icompatibilità!). Avere l iformazioe che si è realizzato u certo eveto B, o è detto che modifichi ecessariamete la probabilità di verificarsi di u altro eveto A; può accadere cioè che la valutazioe di probabilità rimaga la stessa che si aveva seza avere l iformazioe, ovvero

23 P(A B) P(A). E ragioevole defiire questa situazioe come idipedeza, e più i particolare A idipedete da B. D altra parte se ciò accade, sostituedo tale relazioe ella formula di Bayes per P(B A) si ottiee immediatamete P(B A) P(B), ovvero che B è idipedete da A. Questo sigifica che la relazioe di idipedeza fra due eveti è biuivoca, cioè se c è i u seso c è ache ell altro: di cosegueza si può parlare o solo di idipedeza di u eveto da u altro ma di idipedeza fra due eveti. Ioltre se la relazioe P(A B) P(A) si sostituisce ella formula delle probabilità composte si ricava subito che P(A B) P(A) P(B), che esprime quidi la formula delle probabilità composte per eveti idipedeti. Riassumedo allora possiamo dare la seguete defiizioe. Defiizioe 0: Defiizioe di idipedeza. Due eveti A e B soo fra loro idipedeti se (ua qualsiasi implica le altre due): P(A B) P(A), oppure P(B A) P(B), oppure P(A B) P(A) P(B). Più i geerale, eveti A, A,..., A soo idipedeti se P ( A A K A ) P( A ) P( A )... P( A ) i i per ogi sottoisieme di eveti A i, i s A i,, i i A i s co s, 3,...,. Ad esempio tre eveti A, B, C soo idipedeti se valgoo tutte le segueti relazioi P(A B) P(A) P(B) P(A C) P(A) P(C) P(B C) P(B) P(C) P(A B C) P(A) P(B) P(C) i s 3

24 Si sottoliea che le prime tre relazioi (idipedeze doppie) o implicao la quarta (idipedeza tripla). Così come la quarta relazioe o implica le prime tre. 4. Variabili casuali I estrema sitesi possiamo riassumere le sezioi precedeti ello spazio probabilistico (Ω, A, P(.)), dove: Ω è lo spazio campioario; A è la σ-algebra geerata da Ω, cioè lo spazio di tutti gli eveti dell esperimeto casuale; P(.) è la fuzioe di probabilità (si veda la parte fiale della sezioe ). A partire da tale spazio probabilistico (e da tutto quello che ci sta dietro, ovviamete!) possiamo itrodurre u ulteriore cocetto fodametale ello sviluppo del calcolo delle probabilità e della statistica: quello di variabile casuale (che spesso abbrevieremo i v.c.). Defiizioe : Defiizioe di variabile casuale. Dato uo spazio probabilistico (Ω, A, P(.)), ua variabile casuale è ua fuzioe che ad ogi puto campioario associa u umero reale, i simboli X: Ω R ω a X(ω), che soddisfa la seguete proprietà: ogi isieme del tipo {ω Ω: X(ω) } è u eveto, cioè u elemeto di A. I parole semplici ua variabile casuale è u modo di trasformare i puti campioari i umeri. Siccome ci soo ifiiti modi di fare questo, di solito si sceglie il modo che più ci fa comodo e, magari, ache quello più ovvio. Il motivo ritrasformare i puti campioari i umeri è semplice: lavorare sui umeri è molto più semplice che lavorare sui puti campioari, ache perché questi ultimi possoo essere di atura assai diversa fra u esperimeto casuale ed u altro. La codizioe tecica che {ω Ω: X(ω) } deve apparteere a A, cioè deve essere u eveto (ricordiamo che A è l isieme di tutti gli eveti di u esperimeto casuale) deriva dal fatto che su A abbiamo defiito ua 4

25 probabilità. Questa probabilità, defiita sugli elemeti di A, o vogliamo perderla, ma vogliamo trasferirla ai sottoisiemi di R, cioè ai umeri. Alcui esempi Cosideriamo l esempio della moeta a due facce i cui Ω {T, C}. Come v.c. possiamo cosiderare quella che trasforma T i e C i 0, cioè X(T) X(C) 0. Cosideriamo l esempio dell ura co 0 pallie umerate da a 0. I tal caso Ω {,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }. Come v.c. possiamo cosiderare quella che associa ad ogi pallia il umero riportato sulla stessa, cioè X( co umero i) i. Potrebbe però accadere, ello spesso esempio, di o essere iteressati al umero i sé, ma solo a distiguere fra pari e dispari. I tal caso potremmo cosiderare la v.c. X( co umero pari) X( co umero dispari) 0. Come ulteriore esempio cosideriamo ua certa popolazioe di N imprese idustriali. Poiché ciascua impresa è idetificata dalla sua ragioe sociale, lo spazio campioario è dato da Ω {ω,, ω N }, dove ω i è la ragioe sociale della impresa i. Se di tali imprese iteressa studiare la redditività, ad esempio misurata dall idice ROE, possiamo cosiderare la v.c. X che associa a ciascua impresa il suo ROE, cioè X(ω) ROE dell impresa ω. Aggiugiamo che i questi casi per idicare la v.c. cosiderata si utilizza l espressioe abbreviata X è la v.c. ROE, itededo X è la v.c. che associa a ciascua impresa il suo ROE. Nella stessa situazioe delle N imprese potremmo cosiderare la v.c. ragioe sociale, distiguedo, ad esempio, fra società di persoe, società di capitali e società cooperativa. I tal caso potremmo utilizzare la v.c. X strutturata el modo seguete: X(ω) se ω è ua società di persoe X(ω) se ω è ua società di persoe X(ω) 3 se ω è ua società cooperativa 5

26 Ache i questo caso per idicare la v.c. cosiderata si utilizza l espressioe abbreviata X è la v.c. atura giuridica, itededo X è la v.c. che associa a ciascua impresa u opportuo codice che idetifica la sua atura giuridica. Ache se ai fii di u aalisi corretta abbiamo isistito molto sull aspetto che la v.c. trasforma i puti campioari i umeri i modo da coservare la probabilità prima defiita sugli eveti, be presto ci dimeticheremo di tale probabilità e, più i geerale, dello spazio probabilistico (Ω, A, P(.)) che sta a mote di ogi v.c. Spesso lo spazio probabilistico sarà semplicemete sottiteso seza esplicitarlo (questo però o vuol dire che o c è!). Per questo motivo è bee allora avere u immagie facilmete compresibile e immediata di cos è ua v.c., co l avverteza che tale immagie deve aiutare a capire cos è ua v.c. ma o deve sostituire la defiizioe rigorosa. Possiamo allora pesare ua v.c. come u oggetto casuale, cioè u qualcosa di cui o possiamo sapere co certezza cosa verrà fuori ma, al massimo, possiamo descrivere cosa può veire fuori e co quale probabilità. Per avere qualche esempio pesiamo al umero estratto al lotto, alla quotazioe di u titolo azioario fra u mese, al voto che prederemo all esame di statistica: tutti esempi di oggetti casuali, cioè di feomei di cui o si coosce co certezza il risultato (data la preseza del caso) ma, al massimo,. quali risultati si possoo avere;. co che probabilità ciascu risultato può veire fuori. Vedremo questo più i dettaglio ella prossima sezioe. 5. Distribuzioe di ua variabile casuale Riassumedo, allora, la variabile casuale serve a due scopi: primo a trasformare i puti campioari i umeri; secodo a trasferire ai umeri (ma è più corretto dire ai sottoisiemi di R) la probabilità prima defiita sugli elemeti di A. Per idetificare ua variabile casuale dobbiamo allora idicare due cose (teerlo sempre be presete!):. quali valori può assumere;. come la probabilità è distribuita su tali valori. 6

27 Relativamete ai valori che la variabile casuale può assumere, come ovvio questi cambiao da caso a caso, e i seguito e vedremo umerosi esempi. Tuttavia, per motivi che vedremo i seguito, vegoo distite i discrete e cotiue. Ua v.c. si dice: a. discreta, se può assumere u umero fiito oppure u'ifiità umerabile di valori; b. cotiua, se può assumere u isieme cotiuo (e quidi o umerabile) di valori. Relativamete a come la probabilità è distribuita (potremmo dire spalmata ) sui valori che la variabile casuale può assumere, questo può essere idicato i diversi modi, ciascuo utile per scopi i parte diversi. Noi e vedremo 3: la fuzioe di ripartizioe (defiita sia per v.c. discrete che cotiue), la fuzioe di massa (defiita solo per v.c. discrete) e la fuzioe di desità (defiita solo per v.c. cotiue). Defiizioe : Defiizioe di fuzioe di ripartizioe (o fuzioe delle probabilità cumulate). Data ua variabile casuale X, la fuzioe di ripartizioe di X è la fuzioe F() P(X ), dove è u qualsiasi umero reale. La fuzioe di ripartizioe di ua variabile casuale, quidi, è semplicemete P(X ), cioè, al variare di, la probabilità che questa assuma valori miori o uguali ad : solo per brevità è idicata co F(), ma dobbiamo sempre pesare che suo sigificato è, apputo, P(X ). A questo proposito il termie, mutuato dall iglese, di fuzioe delle probabilità cumulate, rede sicuramete meglio l idea: la probabilità è cumulata da fio al puto. Si ota ioltre che la fuzioe di ripartizioe rappreseta (o a caso) la probabilità degli eveti {ω Ω: X(ω) } di cui alla defiizioe di variabile casuale, cioè P(X ) è la scrittura abbreviata per P{ω Ω: X(ω) }. Come già detto, ifatti, la proprietà che {ω Ω: X(ω) } sia u eveto serve per poter trasferire la probabilità dagli eveti ai sottoisiemi di R (X(ω) sigifica ifatti X(ω) (, ] che apputo è u sottoisieme di R). Aalizzeremo i seguito le proprietà più importati della fuzioe di ripartizioe. Per adesso facciamo soltato osservare che cooscedo la fuzioe di ripartizioe di X è 7

28 possibile ricavare la probabilità che X assuma valori i u qualsiasi itervallo (, ]. Ifatti P( < X ) P(X ) P(X ) F( ) F( ). Torado a quato detto sopra, la fuzioe di ripartizioe rispode allora perfettamete all esigeza espressa: idicare come la probabilità è distribuita sui valori che la v.c. può assumere. La fuzioe di ripartizioe fa questo idicado, al variare di, la probabilità di X assumere valori miori o uguali ad. Questo modo di specificare come la probabilità è distribuita sui valori che la variabile casuale può assumere, ha dei pregi e dei difetti. Il pregio pricipale è che la fuzioe di ripartizioe è defiita allo stesso modo sia per v.c. discrete che per v.c. cotiue. Il difetto più importate, ivece, è che è riferita ad itervalli, i particolare itervalli aperti a siistra del tipo (, ]. Ifatti per molte esigeze (i particolare la semplicità di iterpretazioe) è utile sapere come la probabilità si distribuisce su ciascu valore che la v.c. può assumere piuttosto che sugli itervalli (, ]. E per ovviare a questo icoveiete che si itroducoo la fuzioe di massa (per v.c. discrete) e la fuzioe di desità (per v.c. cotiue). Defiizioe 3: Defiizioe di fuzioe di massa (di probabilità). Sia X ua v.c. discreta che assume valori, ordiati i seso crescete,,, (evetualmete è se la v.c. assume u ifiità umerabile di valori). La fuzioe di massa di X è la fuzioe f() P(X ). Tale fuzioe vale quidi f( i ) P(X i ) se i,,, metre vale 0 per gli altri valori di. La fuzioe di massa di ua v.c. discreta, quidi, è semplicemete P(X ), cioè la probabilità che X sia uguale ad : solo per brevità è idicata co f(), ma dobbiamo sempre pesare che suo sigificato è, apputo, P(X ). Come idicato ella defiizioe, tale probabilità sarà maggiore di 0 solo per i valori che la v.c. può assumere, metre sarà 0 per tutti gli altri valori di. 8

29 Rispetto alla fuzioe di ripartizioe, la fuzioe di massa ha il grosso pregio di essere più itelligibile, perché la probabilità è riferita a ciascu puto ivece di essere cumulata da a. D altra parte c è u rovescio della medaglia: la fuzioe di massa o può essere defiita per le v.c. cotiue. Ua spiegazioe esauriete del motivo richiederebbe sofisticati strumeti matematici ai quali o è il caso di fare riferimeto; ci limiteremo quidi ad ua spiegazioe basata su argometi ituitivi. Ua v.c. cotiua, come detto può assumere valori i u isieme cotiuo. Ora el cotiuo, e questo vale ache se si prede u itervallo piccolio, ci soo tati valori, assai più che ell ifiito umerabile. Se X avesse probabilità positiva, ache piccolissima, i ciascuo di questi valori, sommado tali probabilità otterremmo che la probabilità che X assuma u valore qualsiasi (eveto certo) sarebbe ifiito, cotravveedo ad ua delle regole fodametali della probabilità secodo le quali P(Ω). Quidi: primo, o ci possoo essere più di u ifiità umerabile di puti co probabilità maggiore di 0 (e di questo e abbiamo già teuto coto quado abbiamo parlato della fuzioe di massa); secodo, el cotiuo P(X ) 0 i ogi. Pertato el cotiuo la fuzioe di massa o può essere defiita e occorre u altro modo per vedere cosa accade sulle sigole : la fuzioe di desità. A questo scopo aggiugiamo u altra cosiderazioe. Come idicato, el cotiuo parlare di probabilità el sigolo puto o serve a molto, dato che questa è sempre 0. Ha ivece seso parlare di probabilità che la X assuma valori i u certo itervallo, ache piccolissimo, purché di ampiezza maggiore di 0. Ad esempio ha seso la probabilità che X appartega ad u itervallo di ampiezza piccola a piacere d, cioè P( < X + d). Idealmete, possiamo allora pesare di far scorrere da siistra a destra (ogi volta partedo dall estremo superiore dell itervallo precedete) e di calcolare, al variare di, la probabilità che X assuma valori ell itervallio (, + d]. Tali probabilità avrao u certo adameto, che può essere il più vario. La cosa che qui iteressa, però, o è tato il valore di tali probabilità ma di quato cambia tale probabilità da ua alla successiva. Iteressa cioè il tasso: quato vale la probabilità i rapporto all ampiezza dell itervallo (d), ovvero ( < X d) P + d. 9

30 La fuzioe di desità è esattamete tale tasso per l itervallio di ampiezza ifiitesima. Defiizioe 4: Defiizioe di fuzioe di desità (di probabilità). Sia X ua v.c. cotiua che assume valori ell itervallo (a, b) (evetualmete a può essere e b + ). La fuzioe di desità di X è la fuzioe f() ( < X + d) P lim. 0 d d La fuzioe di desità i, allora, rappreseta quato vale la probabilità itoro ad i rapporto all ampiezza di tale itoro. Il termie fuzioe di desità serve proprio ad evocare quato illustrato: quato è desa la probabilità i ciascu puto. A questo puto riassumiamo quato visto fiora. Prima abbiamo defiito il cocetto di variabile casuale; successivamete abbiamo affermato che ua variabile casuale si idetifica dado: i valori che questa può assumere e come la probabilità si distribuisce su questi valori. Ifie abbiamo detto che quest ultima cosa, cioè la distribuzioe della probabilità sulle, può essere data i tre modi diversi: fuzioe di ripartizioe, fuzioe di massa e fuzioe di desità. Ciascua co pregi e difetti. Rimae ua cosa da vedere: che i diversi modi di idicare la distribuzioe di ua v.c. soo fra loro equivaleti. E chiaro che deve essere così: preso u esperimeto campioario, la probabilità è distribuita sugli eveti i u solo modo. Pertato fuzioe di ripartizioe fuzioe di massa (per v.c. discrete) e fuzioe di ripartizioe fuzioe di desità (per v.c. cotiue) soo fra loro strettamete collegate: si può passare dall ua all altra a secoda di quello che fa comodo e di quello che iteressa. Isieme a questa equivaleza fra le diverse fuzioi illustreremo ache alcue proprietà importati delle stesse. Cosideriamo prima il caso discreto. Sia X ua v.c. discreta che assume valori, ordiati i seso crescete,,, (evetualmete è se la v.c. assume u ifiità umerabile di valori). Allora per ricavare la fuzioe di massa dalla fuzioe di ripartizioe e viceversa possiamo utilizzare le segueti relazioi: Poiché d può essere ache egativo, i tale caso il umeratore è da itedere come P( d < X ) +. 30

31 f( i ) F( i ) F( i ) F( i ) f(). La verifica delle due relazioi è immediata. La prima si ricava dal fatto che f( i ) P(X i ) P(X i ) P(X i ); la secoda dal fatto che i j F( i ) P(X i ) P(X j ) i j i j f( j ). Cosideriamo ora il caso cotiuo. Sia X ua v.c. cotiua che assume valori ell itervallo (a, b) (evetualmete a può essere e b + ). Allora per ricavare la fuzioe di desità dalla fuzioe di ripartizioe e viceversa possiamo utilizzare le segueti relazioi: f() F (); F() a f(y) dy. Ache i questo caso la verifica delle due relazioi (ricordado u po di matematica!) è immediata. Ifatti ricordado la defiizioe di derivata e il fatto che P( < X ) F( ) F( ) si ottiee f() ( < X + d) P lim 0 d d lim d 0 F ( + d) F( ) d F () e di cosegueza ache l altra i base al teorema fodametale del calcolo itegrale. Ripercorredo le defiizioi della fuzioe di distribuzioe, della fuzioe di massa e della fuzioe di desità, risulta immediata l idividuazioe delle pricipali proprietà che tali fuzioi soddisfao. Proprietà della fuzioe di ripartizioe. La fuzioe di ripartizioe essedo ua probabilità gode ovviamete delle proprietà della probabilità; i particolare 0 F(). Valgoo i limiti lim F() 0 e lim F() + 3. F() mootoa o decrescete 3

32 4. F() cotiua a destra el caso discreto (i puti di discotiuità si collocao i corrispodeza dei valori,,..., assuti dalla variabile) e assolutamete cotiua (cotiua e derivabile quasi ovuque) el caso cotiuo. Proprietà della fuzioe di massa. La fuzioe di massa essedo ua probabilità gode ovviamete delle proprietà della probabilità; i particolare 0 f( i ). f( i ). Proprietà della fuzioe di desità. f() 0. b a f() d Ifie è opportuo esplicitare due formule utili per ricavare la probabilità che X appartega ad u dato itervallo, distiguedo a secoda che vogliamo ricavare quato iteressa dalla fuzioe di ripartizioe oppure dalla fuzioe di massa o dalla fuzioe di desità. Tali relazioi si ricavao facilmete dalle formule precedeti.. Se X è ua v.c. discreta allora. Se X è ua v.c. cotiua allora P( h X ) F( ) F( h ) h f( i ). P( X ) F( ) F( ) f() d. Come prototipo per la compresioe dei cocetti itrodotti cosideriamo i segueti esempi: il risultato del lacio di ua moeta oesta e il risultato del lacio di u dado oesto. 3

33 Esempio Nel lacio di ua moeta oesta gli uici risultati possibili soo testa (T) e croce (C), etrambi co probabilità /. Cosideriamo allora la v.c. che associa a T e 0 a C. Poiché le probabilità si coservao el passare dai puti campioari ai umeri, la fuzioe di massa di questa v.c. è data da f() / / 0 se 0 se altrimeti da cui si ricava facilmete ache la fuzioe di ripartizioe [si ivita lo studete a farlo]. Fuzioe di massa e fuzioe di ripartizioe per la v.c. i oggetto soo riportate i Fig Fig. 5 Fuzioe di massa e fuzioe di ripartizioe per la v.c. 0/ el lacio di ua moeta oesta. Esempio Nel lacio di u dado oesto gli uici risultati possibili soo le facce putiate da a 6 putii, ciascua co probabilità /6. Cosideriamo allora la v.c. che associa a ciascua faccia il umero dei putii. Poiché le probabilità si coservao el passare dai puti campioari ai umeri, allora la fuzioe di massa di questa v.c. è data da / 6 se,,3,4,5,6 f() 0 altrimeti 33

34 da cui si ricava facilmete ache la fuzioe di ripartizioe [si ivita lo studete a farlo]. Fuzioe di massa e fuzioe di ripartizioe per la v.c. i oggetto soo riportate i Fig Fig. 6 Fuzioe di massa e fuzioe di ripartizioe per la v.c. umero di putii el lacio del dado oesto. 6. Idici sitetici di ua variabile casuale Nelle due sezioi precedeti, prima abbiamo defiito ua v.c. e successivamete abbiamo aalizzato alcui modi di rappresetare la distribuzioe della v.c. Riepiloghiamo. U esperimeto casuale è u feomeo il cui risultato o è prevedibile co certezza, ovvero è frutto del caso: esso geera gli eveti co ua certa probabilità. La v.c. trasforma i risultati dell esperimeto casuale i umeri; ma poiché tali risultati soo frutto del caso, ache i valori che la v.c. assume soo frutto del caso. Ne possiamo cooscere il valore solo dopo che l esperimeto è stato effettuato, ma prima il massimo che possiamo sapere soo: i valori che questa assume e co quale probabilità. Cooscere queste due cose sigifica cooscere completamete la v.c.; ifatti la distribuzioe idetifica la v.c., el seso che e descrive completamete il massimo che della v.c. possiamo cooscere: il suo comportameto probabilistico. Per particolari esigeze, si può tuttavia essere iteressati o alla distribuzioe della v.c. cosiderata, ma più semplicemete a delle sitesi della stessa. Può, cioè, risultare utile, descrivere ua variabile casuale co degli idici caratteristici, aziché procedere ad 34

35 ua sua rappresetazioe completa mediate la fuzioe di distribuzioe, la fuzioe di massa o la fuzioe di desità. A questo scopo, come riferimeto per questa sezioe supporremo che X sia: o ua v.c. discreta che assume valori, ordiati i seso crescete,,, (evetualmete è se la v.c. assume u ifiità umerabile di valori) co fuzioe di massa f(); oppure ua v.c. cotiua che assume valori ell itervallo (a, b) (evetualmete a può essere e b + ) co fuzioe di desità f(). 6.. Mometi di ua variabile casuale Ci soo vari modi di costruire idici caratteristici di ua variabile casuale. Uo fra i più utilizzati è quello di procedere al calcolo di uo o più valori attesi (mometi) della v.c. Defiizioe 3:Defiizioe di valore atteso (mometo). Sia X ua v.c. co fuzioe di massa o fuzioe di desità f() e sia g(x) ua trasformazioe di X. Il valore atteso di g(x) è dato da E[g(X)] b a g g ( ) f ( ) i ( ) f ( ) i d se la v.c. è discreta. se la v.c.è cotiua Si evidezia che u valore atteso è ua costate. Quidi u valore atteso è effettivamete ua sitesi della v.c. el seso descritto sopra, dato che, apputo, sitetizza la distribuzioe della v.c. i u valore. La defiizioe evidezia ache che tale sitesi è realizzata secodo la seguete logica: scelta ua opportua trasformazioe g(.) di X, i valori trasformati secodo tale fuzioe, g(), vegoo sommati (o itegrati) dopo averli pesati co la loro probabilità (o desità). I sitesi, allora, u valore atteso è la somma pesata, sulla base della distribuzioe della v.c., di ua opportua trasformazioe dei valori assuti dalla v.c. stessa. 35

36 Ovviamete possiamo otteere tati mometi diversi a secoda della trasformazioe g(.) cosiderata. Nelle pagie che seguoo vedremo che alcue trasformazioi hao u ruolo particolare i quato possoo essere iterpretati i modo abbastaza semplice. Prima di aalizzare i mometi più importati è però opportuo illustrare alcue proprietà che valgoo per i mometi i geere. Si evidezia che tutte le proprietà che euceremo dipedoo, come è ovvio, da quelle degli operatori e : sostazialmete si tratta delle proprietà delle somme, dato che è ua somma geeralizzata metre è ua sommatoria el cotiuo [si ivita lo studete a rivedere le proprietà di questi due operatori!]. Valore atteso di ua costate. Se g(x) costate, allora E[g(X)] E(). I parole, questa proprietà può essere ricordata co la frase il valore atteso di ua costate è uguale alla costate stessa. La verifica di tale proprietà è del tutto simile ei casi discreto e cotiuo ed pressoché immediata ricordado che la sommatoria della fuzioe di massa e l itegrale della fuzioe di desità soo sempre (si veda sez. 0). Nel discreto: el cotiuo: E() f( i ) f( i ) ; b E() a b f() d f() d. a Proprietà di omogeeità. Sia c è ua costate, allora E[c g(x)] c E[g(X)]. I parole, questa proprietà può essere ricordata co la frase il valore atteso di ua costate per g è uguale alla costate per il valore atteso di g. 36

37 Tale proprietà deriva da quella aaloga di omogeeità di cui godoo sia la sommatoria che l itegrale: come si può verificare facilmete osservado i segueti passaggi, soo del tutto simili. Nel discreto: el cotiuo: E[c g(x)] c g( i ) f( i ) c g( i ) f( i ) c E[g(X)]; b E[c g(x)] a b c g() f() d c g() f() d c E[g(X)]. a Proprietà di additività. Siao g (.) e g (.) due fuzioi. Allora E[g (X) + g (X)] E[g (X)] + E[g (X)]. I parole tale proprietà può essere ricordata co la frase il valore atteso di ua somma è uguale alla somma dei valori attesi. Tale proprietà deriva da quella aaloga di additività di cui godoo sia la sommatoria che l itegrale. Nel discreto: el cotiuo: E[g (X) + g (X)] [g ( i ) + g ( i )] f( i ) g ( i ) f( i ) + g ( i ) f( i ) b E[g (X) + g (X)] a E[g (X)] + E[g (X)]; b [g () + g ()] f() d a E[g (X)] + E[g (X)]. b g () f() d + g () f() d a Le proprietà di omogeeità e di additività possoo essere fuse i u uica proprietà, quella di liearità. Proprietà di liearità. Siao c e c due costati, g (.) e g (.) due fuzioi. Allora E[c g (X) + c g (X)] c E[g (X)] + c E[g (X)]. 37

38 I parole tale proprietà può essere ricordata co la frase il valore atteso di ua combiazioe lieare è uguale alla combiazioe lieare dei valori attesi. [Lo studete provi a dimostrarla direttamete servedosi delle proprietà della sommatoria e dell itegrale] Iiziamo adesso l aalisi dei pricipali mometi. Mometo r-mo dall origie Se si poe g(x) X r, per r 0,,,..., si ottiee il mometo r-mo dall origie, defiito da µ r E(X r ) r i b r a f ( i ) f ( ) d el discreto. el cotiuo Per r 0 si ottiee µ 0, il mometo dall origie di ordie 0. Tale mometo o è però iteressate, dato che risulta sempre uguale ad. Ifatti µ 0 E(X 0 ) E(), ricordado che il valore atteso di ua costate è la costate stessa. Per r si ottiee µ, il mometo primo dall origie: µ E(X). Tale mometo viee di solito chiamato valore atteso o media ed è spesso idicato co µ. Il valore atteso E(X) è l idice sitetico più utilizzato per mettere i evideza quato c è di tipico ella variabile casuale i quato esprime il valore itoro al quale si collocao i valori che la v.c. X assume. Altri mometi di u certo iteresse soo il mometo secodo dall origie µ E(X ), il mometo terzo dall origie µ 3 E(X 3 ), ed il mometo quarto dall origie µ 4 E(X 4 ) 38

39 Mometo r-mo cetrale Se si poe g(x) (X µ) r, per r 0,,,..., dove µ E(X), si ottiee il mometo r-mo cetrale, defiito da µ r E[(X µ) r ] b a ( µ ) i ( µ ) r r f ( i ) f ( ) d el discreto el cotiuo Oltre a µ 0, il mometo cetrale di ordie 0 (che risulta sempre per gli stessi motivi di µ 0 ), o è iteressate eppure µ, il mometo cetrale primo. Ifatti questo risulta sempre uguale a 0, come è facile verificare: µ E(X µ) E(X) µ µ µ 0. La trasformazioe g(x) X µ rappreseta ua traslazioe dell origie el puto medio µ ed è spesso detta variabile scarto. Qualuque variabile casuale scarto ha, pertato, sempre valore atteso 0.. Per r si ottiee µ, il mometo primo dall origie: µ E[(X µ) ]. Tale mometo viee di solito chiamato variaza ed è spesso idicato co σ, co V(X) o co Var(X). Assume ua particolare rilevaza i quato è l idice più utilizzato per sitetizzare la variabilità di ua variabile casuale. Si ota che la variaza σ, può essere ricavata ache a partire dai mometi dall origie primo e secodo, secodo la relazioe σ µ µ. Questa proprietà, spesso utile per fare i coti, può essere verificata el modo seguete: σ µ E[(X µ) ] E[X + µ µx] E(X ) + µ µe(x) µ + µ µ µ µ Come misura di variabilità è assai utilizzata ache la radice quadrata della variaza, cioè σ [ ] σ ( X µ ) E, che prede il ome di scostameto quadratico medio o deviazioe stadard. 39

40 Essedo la media e la variaza gli idici caratteristici più utilizzati per sitetizzare i u solo valore, rispettivamete, la tipicità e la variabilità di ua variabile casuale X, si icotrao spesso situazioi i cui iteressa valutare l effetto sulla media e sulla variaza di particolari trasformazioi di X. Ua delle trasformazioi di maggiore iteresse è la trasformazioe lieare (cambiameto del sistema di riferimeto che si risolve ella traslazioe dell origie e el cambiameto dell uità di misura co cui è espressa la variabile): Y a + bx. Se co µ X e σ X si idicao rispettivamete la media e la variaza di X, allora la media e la variaza della variabile trasformata Y risultao µ Y a + bµ X σ Y b σ X cioè, la media di ua trasformazioe lieare è uguale alla trasformazioe lieare della media origiaria, metre la variaza di ua trasformazioe lieare è pari alla variaza origiaria per il quadrato del coefficiete agolare della trasformazioe. Tali proprietà possoo essere dimostrate sfruttado le proprietà dell operatore valore atteso el modo seguete µ Y E(Y) E(a + bx) a + be(x) a + b µ X σ Y E[(Y µ Y ) ] E[(a + bx a bµ X ) ] E[b (X µ X ) ] b E[(X µ X ) ] b σ X. Mometo r-mo stadardizzato Se si poe g(x) X σ µ r per r 0,,,..., dove µ E(X) e σ ottiee il mometo r-mo stadardizzato, defiito da E[(X µ) ], si r X µ µ r E σ b a µ σ i r µ σ r f ( i ) f ( ) d el discreto. el cotiuo 40

41 Oltre ai mometi stadardizzati di ordie 0 ( µ 0 ) e primo ( µ ) ache il mometo stadardizzato secodo è del tutto irrilevate, dato che risulta sempre uguale ad. Ifatti X µ µ E σ σ E[(X µ) ] σ. σ X µ La trasformazioe g(x), (che come si può vedere facilmete è ua σ trasformazioe lieare: basta porre a µ/σ e b /σ) è detta stadardizzazioe ed è iteressate i quato oltre a procedere alla traslazioe el puto medio µ utilizza come uova uità di misura il valore assuto dalla deviazioe stadard σ. Per r 3 si ottiee µ 3, il mometo terzo stadardizzato: 3 [( X µ ) ] 3 X µ E µ µ 3 E σ 3 σ σ che misura il grado di simmetria, rispetto a µ, della distribuzioe della v.c. X ed è di solito idicato co γ. Per r 4 si ottiee µ 4, il mometo quarto stadardizzato: 4 [( X µ ) ] 4 X µ E µ µ 4 E σ 4 σ σ che misura la curtosi, cioè l appiattimeto rispetto alla distribuzioe ormale (che verrà aalizzata elle pagie successive) della distribuzioe della v.c. X, ed è di solito idicato co γ Come esempio per il calcolo di idici caratteristici della distribuzioe di ua v.c. casuale cosideriamo i due esempio discussi al termie della sez. precedete: la moeta oesta e il dado oesto. 4

42 Esempio Dalla fuzioe di massa relativa all esito di ua moeta oesta (codificata i 0/) si ricava: E(X) E(X ) E γ 3 E γ 4 V(X) E(X ) E(X) [( X µ ) ] σ 3 4 [( X µ ) ] σ 4 [(0 0.5) ( 0.5) 3 0.5]/(0.5) 3 0 [(0 0.5) ( 0.5) 4 0.5]/(0.5) 4 Esempio Dalla fuzioe di massa relativa umero di putii di u dado oesto si ricava: E(X) /6 + / /6 /6 3.5 E(X ) /6 + / /6 9/ γ 4 γ 3 E E 3 [( X µ ) ] σ 3 4 [( X µ ) ] σ 4 V(X) E(X ) E(X) 9/6 (/6).9 6 [( 3.5) 3 /6 + + (6 3.5) 3 /6]/(.9 6) 3/ 0 [( 3.5) 4 /6 + + (6 3.5) 4 /6]/(.9 6) 4/ Altri idici caratteristici I mometi o soo tuttavia l uico modo di sitetizzare la distribuzioe di ua v.c. Molto utilizzati, soprattutto a livello applicato, soo ache i quatili. Defiizioe 5: Defiizioe di quatile. Sia X ua v.c. co fuzioe di ripartizioe F(). Il p-mo quatile, co 0 < p <, è il valore Q(p) che lascia a siistra ua probabilità p, cioè tale che P[X Q(p)] p. 4

43 Facciamo osservare che P[X Q(p)] p poteva essere scritto ache mediate la fuzioe di ripartizioe, cioè F[Q(p)] p. Il p-mo quatile, quidi, lascia a siistra ua probabilità p e a destra ua probabilità ( p). Tuttavia metre per le v.c. cotiue è possibile operare la suddivisioe co ua proporzioe esatta p di casi a siistra ed ua proporzioe ( p) esatta di casi a destra di Q(p), ciò o è sempre possibile per le v.c. discrete. Ifatti, per le v.c. discrete la fuzioe di ripartizioe varia a scatti, cosicché scelto u p, può accadere, che o esista alcu valore per il quale F() p. I tal caso il quatile viee allora idividuato i corrispodeza del valore Q(p) el quale si riscotra il salto della fuzioe di ripartizioe da u valore iferiore a p ad u valore superiore a p. Ioltre, sempre per le variabili casuali discrete può accadere che la relazioe F() p valga per u itervallo di valori di, i questo caso per covezioe si prede come quatile la semisomma degli estremi dell itervallo. Alcui quatili assumoo u ruolo particolare. Il quatile Q(0.5) è detto mediaa ed è idicato col simbolo M e. Come il valore atteso µ, ache la mediaa mette i evideza quato c è di tipico ella variabile casuale, esprimedo il valore itoro al quale si collocao i valori che la v.c. X assume. I particolare la mediaa è il valore i corrispodeza del quale si registra ua probabilità / di valori iferiori e / di valori superiori. I quatili Q(0.5) e Q(0.75) soo detti quartili. I particolare: Q(0.5) è detto o quartile, è idicato spesso co Q, ed è il valore che lascia /4 di probabilità a siistra e 3/4 a destra; Q(0.75) è detto 3 o quartile, è idicato spesso co Q 3, ed è il valore che lascia 3/4 di probabilità a siistra e /4 a destra. I quatili possoo essere utilizzati ache per costruire idici di variabilità. A questo proposito è spesso utilizzato l idice IQ Q 3 Q, detto scarto iterquartile. U altro idice caratteristico è la moda, idicata spesso co M o. La moda di ua distribuzioe è il valore della modalità cui corrispode la probabilità (el caso discreto) o la desità di probabilità (el caso cotiuo) più elevata. Quado il massimo o è uico si parla di distribuzioi plurimodali, cocetto questo che può essere esteso ache 43

44 a situazioi i cui si cosiderao o solo il massimo assoluto (della probabilità o della desità di probabilità) ma ache i massimi relativi (massimi locali). 7. Variabili casuali multiple Nelle pagie precedeti soo state itrodotte le variabili casuali. Dato uo spazio probabilistico (Ω, A, P(.)), ua variabile casuale è u modo di trasformare ciascu puto campioario i u umero reale coservado sui umeri la probabilità defiita sugli eveti di A. Successivamete abbiamo descritto la distribuzioe di ua v.c., che forisce ua rappresetazioe completa della v.c. stessa el seso che la idetifica completamete, e abbiamo visto alcui idici caratteristici di ua distribuzioe. Per la precisioe le v.c. viste i precedeza soo v.c. semplici, el seso che ad ogi puto campioario è associato u solo umero reale. Talvolta, però, è opportuo associare ad ogi puto campioario o u solo umero ma più umeri. Per redersi coto di ciò basta pesare ad u esempio già visto i precedeza. Cosideriamo ua certa popolazioe di N imprese idustriali. Ciascua impresa è idetificata dalla sua ragioe sociale per cui lo spazio campioario è dato da Ω {ω,, ω N }, dove ω i è la ragioe sociale della impresa i. Se di tali imprese iteressa soltato studiare la redditività, ad esempio misurata dall idice ROE, possiamo cosiderare soltato la v.c. X che associa a ciascua impresa il suo ROE. I breve X è la v.c. ROE. D altra parte assai spesso oltre all aalisi di ua variabile i sé, è iteressate studiare tale variabile cogiutamete ad altre, per vedere se tra queste ci soo relazioi, descriverle e valutare l importaza. Può essere allora opportuo associare a ciascua impresa o solo il suo ROE, ma ache altre gradezze: ad esempio altri idici di bilacio (idici di rotazioe, di idebitameto, di solvibilità, ecc.), addirittura ciascua voce del bilacio, il settore merceologico, l età dell impresa, la provicia di resideza, la ragioe sociale, ecc. I tale caso dobbiamo cosiderare più v.c. cotemporaeamete e ricorrere ad u aalisi multidimesioale o multivariata, cioè a più variabili. Tale aalisi può essere sviluppata co u ordie degli argometi simile a quello visto per le v.c. semplici. Poiché i cocetti di base soo gli stessi visti per le v.c. semplici, molte cosiderazioi soo aaloghe ed eviteremo di ripeterle. Per semplicità, ioltre, 44

45 dopo la defiizioe ci limiteremo pricipalmete al caso bivariato, cioè di v.c. doppie, facedo ceo al caso geerale solo per gli aspetti più iteressati L estesioe del cocetto di v.c. al caso multivariato o preseta difficoltà di ordie logico. Si tratta, ifatti, di defiire ua fuzioe che associa a ciascu puto campioario o più u umero ma ua -upla ( ) ordiata di umeri reali. Defiizioe 6: Defiizioe di variabile casuale multipla. Dato uo spazio probabilistico (Ω, A, P(.)), ua variabile casuale multipla - dimesioale X (X,..., X ) è ua fuzioe che ad ogi puto campioario associa ua -pla ordiata di umeri reali, i simboli X (X,..., X ): Ω R ω a X(ω) (X (ω),, X (ω)) che soddisfa la seguete proprietà: ogi isieme del tipo {ω Ω: X (ω),..., X (ω) }, dove (,,..., ) è u qualsiasi elemeto di R, è u eveto, cioè u elemeto di A. Quidi ua variabile casuale a dimesioi è ua fuzioe a compoeti che fa corrispodere a ciascu puto campioario ua -upla ordiata di umeri reali i modo da coservare la probabilità (precedetemete defiita sugli eveti, come riassuto dallo spazio probabilistico). Si cosideri ora il caso. La v.c. (X, X ) è ua v.c. doppia; per semplificare la simbologia la idetificheremo co (X, Y). Ua v.c. doppia (X, Y), allora, è ua fuzioe che ad ogi puto campioario associa ua coppia ordiata di umeri reali, cioè (X, Y): Ω R ω a (X(ω), Y(ω)), che soddisfa la proprietà che ogi isieme del tipo {ω Ω: X(ω), Y(ω) y}, dove (, y) è u qualsiasi elemeto di R, è u eveto, cioè u elemeto di A. 45

46 Ache per idetificare ua v.c. doppia (e più i geerale ua v.c. multipla) occorre idicare. quali valori può assumere;. come la probabilità è distribuita su tali valori. Relativamete ai valori che la variabile casuale può assumere, ovviamete questi cambiao da caso a caso. Tuttavia è coveiete raggrupparle i v.c. discrete, v.c. cotiue e v.c. miste come segue. Ua v.c. doppia (e più i geerale multipla) è a. discreta, se ciascua compoete è discreta [rivedersi il sigificato]; b. cotiua, se ciascua compoete è cotiua [rivedersi il sigificato]; c. mista, se alcue compoeti soo discrete ed altre cotiue. Relativamete a come la probabilità è distribuita sui valori assuti dalla v.c., ache i questo caso può essere defiita mediate la fuzioe di ripartizioe, la fuzioe di massa (se discreta) o la fuzioe di desità (se cotiua). La fuzioe di ripartizioe (o fuzioe delle probabilità cumulate) della v.c. doppia (X, Y) è defiita da i modo aalogo a quella delle v.c. semplici, ovvero F(, y) P(X, Y y). Ache i questo caso possiamo otare che la fuzioe di ripartizioe rappreseta (o a caso) la probabilità degli eveti {ω Ω: X(ω), Y(ω) y}, di cui alla defiizioe di v.c. doppia; i altri termii P(X, Y y) è la scrittura abbreviata per P{ω Ω: X(ω), Y(ω) y}. Ifatti, come idicato dallo spazio probabilistico sugli eveti è defiita ua probabilità. Poiché, come esplicitato ella defiizioe di v.c., quello i oggetto è u eveto, su di esso è data ua probabilità che tramite la fuzioe di ripartizioe è trasferita a certi sottoisiemi di R. Ache la fuzioe di massa per la v.c. discreta (X, Y) può essere defiita i modo aalogo a quella delle v.c. semplici. Se (X, Y) è ua v.c. discreta le cui compoeti assumoo valori, ordiati i seso crescete, rispettivamete,, h e y,, y, (h e possoo evetualmete essere + ), allora la fuzioe di massa di (X, Y) è la fuzioe f(, y) P(X, Y y), 46

47 che vale quidi f( i, y j ) P(X i, Y y j ), se i,, h e j,,, metre vale 0 per qualsiasi altra coppia (, y). Ifie ache la fuzioe di desità per la v.c. cotiua (X, Y) può essere defiita i modo aalogo a quella delle v.c. semplici. Se (X, Y) è ua v.c. cotiua le cui compoeti assumoo valori rispettivamete ell itervallo (a, b ) e (a, b ) (evetualmete a e/o a possoo essere, b e/o b + ), allora la fuzioe di desità di (X, Y) è la fuzioe f(, y) P ( < X + d, y < Y y + dy) lim. d, dy 0 ddy Si osserva che il umeratore del limite esprime la probabilità che la v.c. doppia (X, Y) si trovi i u rettagolio di lati d - dy. Aalogamete alle v.c. semplici, ache per le v.c. multiple, fuzioe di ripartizioe e fuzioe di massa (per le v.c. discrete) e fuzioe di ripartizioe e fuzioe di desità (per le v.c. cotiue) soo equivaleti, el seso che è possibile da ua ricavare l altra e viceversa. Ifatti: per le v.c. discrete F( i, y j ) i j u v f( u, y v ) f( i, y j ) F( i, y j ) F( i, y j ) F( i, y j ) + F( i, y j ) per le v.c. cotiue y F(, y) a a f(u, v) du dv f(, y) F(, y) y Proseguedo il parallelo co le v.c. semplici, ache fuzioe di ripartizioe, fuzioe di massa e fuzioe di desità delle v.c. doppie godoo di particolari proprietà. Tuttavia a proprietà aaloghe a quelle viste per le v.c. semplici se e aggiugoo altre, relative i particolare alla relazioi tra v.c. doppie e le v.c. semplici che le compogoo. Per 47

48 distiguerle da quella doppia, le v.c. semplici compoeti soo ache dette v.c. margiali e le distribuzioi corrispodeti soo dette distribuzioi margiali. Proprietà della fuzioe di ripartizioe. Essedo ua probabilità gode ovviamete delle proprietà della probabilità e i particolare 0 F(, y). Valgoo i limiti: lim F(, y),, y + cioè la fuzioe di ripartizioe vale quado tutti gli argometi tedoo a + ; lim F(, y) 0 lim F(, y) 0 y cioè la fuzioe di ripartizioe vale 0 se uo qualsiasi degli argometi tede a ; lim F(, y) F(y) + y + lim F(, y) F() cioè la fuzioe di ripartizioe perde l altra compoete quado uo solo fra o y tede a +. Quest ultima proprietà è assai utile: sigifica che per ricavare la fuzioe di ripartizioe di ua v.c. margiale (ad es. X) occorre fare il limite della fuzioe di ripartizioe della v.c. doppia per l altra variabile (ell es. Y) che tede a + ifiito. 3. è mootoa o decrescete rispetto a tutti gli argometi 4. è cotiua a destra rispetto a tutti gli argometi el caso discreto, è assolutamete cotiua (cotiua e derivabile quasi ovuque) rispetto a tutti gli argometi el caso cotiuo. Proprietà della fuzioe di massa. La fuzioe di massa essedo ua probabilità gode delle proprietà della probabilità; i particolare 0 f(, y) h. j f( i, y j ) h 3. f( i, y) f(y) j f(, y j ) f() 48

49 Quest ultima proprietà è assai utile: per ricavare la fuzioe di massa di ua v.c. margiale (ad es. X) basta sommare la fuzioe di massa della v.c. doppia rispetto all altra variabile (ell es. Y). Proprietà della fuzioe di desità. f(, y) 0 b b. a a f(, y) d dy b 3. f(, y) d f(y) a a b f(, y) dy f() Di uovo questa proprietà è utile per ricavare la fuzioe di desità di ua v.c. margiale (ad es. X): basta itegrare la fuzioe di desità della v.c. doppia rispetto all altra variabile (ell es. Y). Fiora abbiamo sviluppato i cocetti itrodotti per le v.c. multiple i modo parallelo a quato fatto per le v.c. semplici, i modo da facilitare la compresioe e la memorizzazioe degli stessi. D altra parte abbiamo detto all iizio che le v.c. multiple soo utili i particolare per lo studio delle relazioi fra le variabili che compogoo ua v.c. multipla. Il cocetto che segue, quello di variabile casuale codizioata, va proprio i questa direzioe. [A questo riguardo si ivita lo studete a rivedere quato detto elle sezioi precedeti riguardo alla probabilità codizioata] Sia (X, Y) ua v.c. doppia. Spesso risulta iteressate aalizzare ua delle variabili (ad es. Y) per certi particolari valori dell altra variabile (ell es. X). Ifatti può accadere che sia il comportameto di ua ad ifluezare l altra; tale iflueza può essere studiata aalizzado la distribuzioe di ua variabile per diversi valori dell altra: i termii ituitivi, se la distribuzioe rimae sostazialmete stabile è chiaro che ci sarà poca iflueza; se ivece differisce i modo sigificativo allora il legame risulta evidete. Teedo presete la defizioe di probabilità codizioata di cui alle sezioi precedeti, la v.c. (Y X ) (che si legge Y codizioata a X oppure Y dato X ) ha ua distribuzioe defiita da 49

50 f(y ) f (, y) f ( ) dove: f(, y) è la fuzioe di massa (se etrambe le v.c. soo discrete) oppure la fuzioe di desità (se etrambe le v.c. soo cotiue) della v.c. doppia; f() è la fuzioe di massa (se X è discreta) oppure la fuzioe di desità (se X è cotiua) della v.c. semplice X; la risultate f(y ) sarà ua fuzioe di massa se Y è ua v.c. discreta e ua fuzioe di desità se Y è ua v.c. cotiua. I modo aalogo è defiita la v.c. codizioata (X Y y): basta ivertire il ruolo delle due variabili ella defiizioe data [si ivita lo studete a farlo per coto proprio]. Si sottoliea u aspetto importate: (per ovvie ragioi) la fuzioe di massa/desità della v.c. codizioata (Y X ) è defiita solo per i valori di per i quali f() > 0. Questo implica che: se X è discreta, allora (Y X ) ha seso solo per i valori che la v.c. X assume co probabilità positiva (tali valori sarao quidi u umero fiito o u ifiità umerabile); se ivece X è cotiua, allora (Y X ) ha seso solo per le che hao desità maggiore di 0 (quidi sarao u ifiità o umerabile). Si evidezia u altro aspetto, già mezioato ma che merita di essere sottolieato ulteriormete: la distribuzioe codizioata riguarda la distribuzioe di ua v.c., ad es. Y, per fissato u valore dell altra variabile (ell es. X). Di cosegueza i questa ottica si aalizza la distribuzioe di Y i corrispodeza di u preciso valore di X. Pertato la distribuzioe codizioata di (Y X ) o deve essere assolutamete cofusa co la distribuzioe margiale di Y, che ivece riguarda la distribuzioe di Y come se X o ci fosse, cioè dimeticadosi completamete dell altra v.c. X. Altra osservazioe. Le v.c. codizioate viste soo i tutto e per tutto delle v.c. semplici. Di cosegueza ache per queste possoo essere defiiti degli idici caratteristici (mometi, quatili, ecc.) i modo del tutto aalogo a quato fatto per le v.c. semplici [o lo faremo esplicitamete ma si ivita lo studete a farci mete locale]. Ovviamete tali idici caratteristici riguardao la v.c. codizioata, dato che quella codizioate, come idicato sopra, è come se fosse fissata ad u certo valore. 50

51 Sempre facedo riferimeto all aalogo cocetto illustrato relativamete alla probabilità di eveti, risulta immediato il cocetto di idipedeza fra v.c. Sia (X, Y) ua v.c. doppia. Allora X ed Y soo idipedeti se per ogi e per ogi y vale ua qualsiasi delle segueti relazioi (le altre soo cosegueze) f(, y) f() f(y) f( y) f() f(y ) f(y) Possiamo otare che solo i caso di idipedeza la distribuzioe codizioata coicide co la distribuzioe margiale della v.c. corrispodete. La fuzioe di ripartizioe, la fuzioe di massa e la fuzioe di desità descrivoo i modo completo sia la variabile casuale doppia che le variabili casuali semplici (variabili casuali margiali) compoeti la variabile casuale doppia oché le variabili casuali codizioate. Come già evideziato a proposito delle variabili casuali semplici può risultare comuque coveiete ua descrizioe sitetica (e quidi parziale) delle variabili casuali doppie mediate idici caratteristici. U modo per procedere ella sitesi, aalogamete a quato si è fatto per le variabili casuali semplici, è quello di calcolare il valore atteso di opportue trasformazioi delle variabili casuali doppie. Siao (X, Y) ua v.c. doppia e g(x, Y) ua geerica trasformazioe della v.c. doppia (X, Y). Allora il valore atteso di g(x, Y) è defiito da E[g(X, Y)] h j b b a a g g (,y ) f (,y ) se ( X, Y ) i j i (,y) f (,y) ddy se ( X, Y ) j è ua v.c. discreta è ua v.c. cotiua Poedo g(x, Y) X r Y s, per r, s 0,,,..., si ha µ rs E(X r Y s ) h j b b r a a y s y f f (,y ) se ( X,Y ) (,y) ddy se ( X,Y ) detto mometo misto di ordie r-s rispetto all origie. r i s j i j è ua v.c. discreta è ua v.c. cotiua, 5

52 Risulta facile verificare che tutti i mometi misti µ r0 e µ 0s soo i corrispodeti mometi delle variabili casuali margiali X ed Y; ifatti, si ha, ad esempio: µ r0 E(X r Y 0 ) E(X r ) e aalogamete per µ 0s. Questo sigifica che i mometi misti rispetto all origie i cui r oppure s soo 0, soo i corrispodeti mometi della v.c. margiale: quidi possoo essere calcolati da questa e per gli stessi valgoo le regole date per i mometi delle v.c. semplici. Il mometo misto dall origie più sigificativo quello di ordie - µ E(XY) cioè il valore atteso del prodotto fra X e Y. Poedo g(x, Y) (X µ X ) r (Y µ Y ) s, per r, s 0,,,..., si ha µ rs E[(X µ X ) r (Y µ Y ) s ] che viee detto mometo misto di ordie r-s cetrale. Ache i questo caso risulta facile verificare che i mometi misti cetrali i cui r oppure s soo 0 soo i corrispodeti mometi della v.c. margiale; ifatti, si ha, ad esempio: µ r0 E[(X µ X ) r (Y µ Y ) 0 ] E[(X µ X ) r ] e aalogamete per µ 0s. Particolarmete iteressate risulta ivece il mometo misto di ordie - cetrale: µ E[(X µ X ) (Y µ Y )]. Tale mometo misto è detto covariaza ed è spesso idicato co σ XY, co Cov(X, Y) o co C(X, Y). Si evidezia che, per come è defiita, la covariaza è simmetrica rispetto agli argometi, cioè C(X, Y) C(Y, X). Si fa otare ache che C(X, X) V(X), cioè la covariaza fra X e se stesso è la variaza di X. La covariaza è u idice assoluto di correlazioe (o di cocordaza) tra le due compoeti e può assumere valore positivo, egativo o ullo. La covariaza risulta positiva quado X e Y variao tedezialmete ella stessa direzioe, cioè al crescere della X tede a crescere ache Y e al dimiuire della X tede a dimiuire ache Y. I questo caso si ha che a scarti positivi (egativi) (X µ X ) 5

53 corrispodoo, tedezialmete, scarti positivi (egativi) (Y µ Y ), cosicché il prodotto degli scarti risulta mediamete positivo. La covariaza risulta ivece egativa quado le due variabili variao tedezialmete i direzioe opposta, cioè quado al crescere di ua variabile l altra variabile tede a dimiuire (e viceversa). I questo caso a scarti positivi di ua variabile corrispodoo, tedezialmete, scarti egativi dell altra variabile, cosicché il prodotto di tali scarti risulta mediamete egativo. Come idicato la covariaza può ache risultare zero. Ciò accade quado o vi è alcua tedeza delle variabili a variare ella stessa direzioe o i direzioe opposta. Quado σ XY 0 si dice ache che X ed Y soo icorrelate o liearmete idipedeti (maggiori dettagli sarao foriti quado parleremo del coefficiete di correlazioe). Si ota che la covariaza σ XY, può essere ricavata ache a partire dai mometi dall origie, secodo la relazioe σ XY E(XY) E(X) E(Y). Questa proprietà, spesso utile per fare i coti, può essere verificata el modo seguete: σ XY E[(X µ X ) (Y µ Y )] E(XY Xµ Y µ X Y + µ X µ Y ) E(XY) µ X µ Y µ X µ Y + µ X µ Y E(XY) E(X) E(Y) Ifie si può dimostrare atti si può dimostrare che vale la relazioe σ X σ Y σ XY σ X σ Y cioè la covariaza fra X e Y i valore assoluto è sempre miore o uguale al prodotto delle deviazioi stadard di X e di Y (ache i questo caso maggiori dettagli sarao foriti quado parleremo del coefficiete di correlazioe). Poedo g(x, Y) X µ σ X X r Y µ Y σ Y s, per r, s 0,,,, si ha µ rs X µ E σ X X r Y µ Y σ Y che viee detto mometo misto di ordie r-s stadardizzato. Il mometo misto stadardizzato più sigificativo è quello di ordie -, s 53

54 µ X µ Y µ X Y XY E σ X σ. Y σ Xσ Y Tale mometo misto è usualmete detto coefficiete di correlazioe ed è idicato ache co ρ, co ρ XY, o co Corr(X, Y). Come la covariaza ache il coefficiete di correlazioe è simmetrico rispetto ai suoi argometi, cioè Corr(X, Y) Corr(Y, X), metre Corr(X, X) è ovviamete. Ache il coefficiete di correlazioe, come la covariaza, è u idice di correlazioe (o di cocordaza), ache se relativo (la covariaza è ivece u idice di correlazioe assoluto). Ifatti, poiché come idicato parlado della covariaza, vale la relazioe σ X σ Y σ XY σ X σ Y, allora ρ XY σ XY σ σ X Y [, ], ovvero il coefficiete di correlazioe è sempre compreso fra e +. I pratica, quidi, il coefficiete di correlazioe è ua specie di covariaza relativizzata i modo che il suo valore sia compreso fra ed (ivece che fra σ X σ Y e σ X σ Y ). Si fa otare che il sego di ρ XY è ovviamete il sego di σ XY, cioè il sego del coefficiete di correlazioe dipede dal sego della covariaza. Si può dimostrare che ρ XY ± (ovvero σ XY ± σ X σ Y ) solo quado le due v.c. X ed Y soo liearmete dipedeti cioè quado esistoo due costati a e b tali che Y a + bx. I questo caso il sego di ρ XY è lo stesso di b, il coefficiete agolare della retta. Quado ρ XY < 0 (che equivale a σ XY < 0) si dice che X e Y soo correlati egativamete (o iversamete), cioè all aumetare di uo l altro tede a dimiuire (e viceversa); quado ρ XY > 0 (che equivale a σ XY < 0) si dice che X e Y soo correlati positivamete (o direttamete), cioè all aumetare di uo ache l altro tede ad aumetare; quado ivece ρ XY 0 si dice che X e Y soo icorrelati (o liearmete idipedeti). Si evidezia che l icorrelazioe è ua forma molto particolare di macaza di associazioe tra variabili e o esclude affatto la preseza di u possibile legame di atura diversa tra le due compoeti X ed Y della v.c. doppia. Ifatti potrebbe sussistere tra le due compoeti u legame fuzioale molto stretto, ad es. Y a + bx, e risultare ρ XY 0. σ 54

55 Si sottoliea poi che X, Y idipedeti X, Y icorrelati. Ifatti, se le due compoeti X ed Y soo idipedeti allora f(, y) f() f(y) e quidi (cosiderado a titolo di esempio il caso cotiuo) b b a a b b σ XY E[(X µ X ) (Y µ Y )] a a ( µ X ) (y µ Y ) f() f(y) ddy ( µ X ) f() d b a ( µ X ) (y µ Y ) f(, y) ddy b a (y µ Y ) f(y) dy µ 0 µ 0 0 Viceversa l icorrelazioe, come già acceato, o implica l idipedeza statistica a meo di casi particolari; su uo di questi casi si avrà modo di soffermare l attezioe parlado della v.c. Normale doppia. Sempre relativamete ai valori attesi, aggiugiamo seza dimostrazioe (per la verità tali relazioi o soo difficili da dimostrare) alcue relazioi che possoo risultare utili. Le prime due riguardao valore atteso e variaza della combiazioe lieare (i alcui cotesti detta portafoglio ) di due v.c.: E(c X + c Y) c E(X) + c E(Y) V(c X + c Y) c V(X) + c V(Y) + c c C(X, Y). La prima dice che il valore atteso di ua combiazioe lieare è uguale alla combiazioe lieare dei valori attesi ; la secoda che la variaza di ua combiazioe lieare è ua particolare combiazioe lieare delle variaze e delle covariaze. Ovviamete se le v.c. X e Y soo icorrelate (cioè C(X, Y) 0) la prima rimae ialterata e la secoda diviee V(c X + c Y) c V(X) + c V(Y). [Sulla base di queste due relazioi si ivita lo studete ad esplicitare quato valgoo valore atteso e variaza di X + Y e di X Y el caso geerale, quado X e Y soo icorrelate e quado soo idipedeti]. Le altre due riguardao ivece relazioi fra mometi margiali e mometi codizioati: E(Y) E[E(Y X)] (associatività) V(Y) V[E(Y X)] + E[V(Y X)] (scomposizioe della variaza) 55

56 Per cocludere questa sezioe occorre fare qualche ulteriore cosiderazioe sulle v.c. multiple X (X,, X ), dove può essere ache maggiore di. Iizialmete abbiamo dato la defiizioe di v.c. multipla per ua geerica v.c. -dimesioale; tuttavia per evitare l eccessiva complessità formale che il caso geerale comporta abbiamo limitato l aalisi alle v.c. doppie. A questo puto possiamo affermare che le defiizioi e i cocetti dati possoo essere facilmete estesi al caso geerale a prezzo, ripetiamo, di ua maggiore complessità delle formule: fuzioe di ripartizioe, fuzioe di massa, fuzioe di desità, proprietà di queste fuzioi e relazioi fra queste fuzioi, v.c. codizioate, idipedeza fra v.c., mometi possoo essere tutti estesi al caso geerale. [Lo studete iteressato può adarsi a vedere uo dei testi di utile cosultazioe a supporto di questo corso] Per quato ci riguarda ci limiteremo ad alcue cosiderazioi aggiutive o immediatamete evideti da quato detto fiora ma che risulterao utili el seguito. Il cocetto di codizioameto è essezialmete aalogo a quello visto per le v.c. doppie. Nel caso geerale, però, possiamo addirittura pesare di codizioare u sottoisieme di v.c. ad u altro sottoisieme di v.c. ell ambito delle v.c. compoeti la v.c. multipla. Il cocetto di idipedeza fra v.c. ache se del tutto aalogo a quello delle v.c. doppie merita di essere esplicitato. v.c. (X,, X ) soo idipedeti se la fuzioe di massa o di desità della v.c. multipla è uguale al prodotto delle fuzioi di massa o di desità delle v.c. margiali, cioè f(,, ) f( ) f( ) f( i ). Valgoo le segueti geeralizzazioi di alcue relazioi viste i precedeza sui mometi di ua combiazioe lieare di v.c. casuali (i talui cotesti detta portafoglio ) E c i X i c E i ( X ) i 56

57 V c i X i c i V ( X i ) + cic jc( X i, X j ) j i Di uovo: La prima dice che il valore atteso di ua combiazioe lieare è uguale alla combiazioe lieare dei valori attesi ; la secoda che la variaza di ua combiazioe lieare è ua particolare combiazioe lieare delle variaze e delle covariaze. Ovviamete se le v.c. soo tutte fra loro icorrelate (cioè C(X i, X j ) 0 per ogi i j) la prima rimae ialterata e la secoda diviee V c i X i c i V ( X ) i. 8. Alcue tipiche distribuzioi Fiora abbiamo trattato le v.c. i geerale. Adesso è opportuo illustrare alcui particolari tipi di v.c., cioè alcui particolari modelli probabilistici che si soo dimostrati particolarmete utili i vari campi della ricerca applicata. Si tratta cioè di particolari modelli di comportameto casuale che oostate la (relativa) semplicità soo comuque capaci di rappresetare bee il comportameto probabilistico di molti feomei reali. [Per ua corretta memorizzazioe delle diverse distribuzioi illustrate, si ivita lo studete a schematizzare ciascua ei segueti puti:. defiizioe (cioè valori che la v.c. può assume e co quale fuzioe di massa o di desità);. esperimeto tipico che può essere associato a tale v.c. (questo vale i particolare per le v.c. discrete); 3. pricipali idici caratteristici; 4. proprietà] 8.. Distribuzioi discrete 8... Beroulli La v.c. X ha ua distribuzioe di Beroulli, i simboli X ~ Be(p), se la sua fuzioe di massa è: 57

58 dove p [0,] e q p. p q per 0, f(; p) 0 altrimeti Fig. 7 Fuzioe di massa e fuzioe di ripartizioe per X ~ Be(p) (p 0. a siistra e p 0.3 a destra). La v.c. di Beroulli assume quidi due soli valori: X, co probabilità p; X 0, co probabilità q. La probabilità di otteere ua qualsiasi altra è ivece 0. Per questo motivo, il modello di Beroulli è utilizzato per rappresetare tutti gli esperimeti casuali di tipo dicotomico, che cioè possoo origiare due soli risultati fra loro esclusivi: sì/o, vero/falso, successo/isuccesso, fallito/o fallito, sao/malato, ecc. Il risultato che iteressa è idetificato co e l altro co 0. Per comodità, tuttavia, spesso ci si riferisce ad come SUCCESSO e a 0 come INSUCCESSO. L esperimeto tipico spesso associato al modello di Beroulli è quello dell ura co ua proporzioe p di pallie BIANCHE e q p di pallie NON BIANCHE, del quale 58

59 iteressa la probabilità di otteere BIANCA (e complemetarmete quella di NON BIANCA) i ua estrazioe. Per questa v.c. è assai semplice determiare il valore dei pricipali idici caratteristici: E(X) p V(X) pq Tale risultato si ricava facilmete dai valori attesi di cui alle pagie precedeti. Ifatti E(X) p + 0 q p E(X ) p + 0 q p V(X) E(X ) E(X) p p p( p) pq 8... Biomiale La v.c. X ha ua distribuzioe di biomiale, i simboli X ~ Bi(, p), se la sua fuzioe di massa è: dove f(;, p) p q 0!, p [0,] e q p.!( )! per 0,, K, altrimeti

60 Fig. 8 Fuzioe di massa e fuzioe di ripartizioe per X ~ Bi(, p) ( 0; p 0.8 a siistra e p 0.9 a destra). La v.c. biomiale può assumere allora solo valori iteri da 0 a, metre la probabilità di otteere ua qualsiasi altra è 0. Ache la distribuzioe biomiale, come quella di Beroulli, è utilizzata i caso di esperimeti dicotomici del tipo SUCCESSO/INSUCCESSO (/0) e di uovo l esperimeto tipico è quello dell ura co ua proporzioe p di pallie BIANCHE e q p di pallie NON BIANCHE. A differeza del caso Beroulliao, tuttavia, si effettuao prove idipedeti (cioè elle stesse codizioi) delle quali si è iteressati a determiare la probabilità di otteere SUCCESSI (e ovviamete INSUCCESSI). L'iterpretazioe della formula della fuzioe di massa della v.c biomiale è allora immediata: la probabilità di ua specifica successioe di successi e ( ) isuccessi è pari (formula delle probabilità composte per eveti idipedeti) a p p p q q q 443 K 443 K volte volte ( ) p q ; o essedo iteressati all'ordie di presetazioe dei successi, ma solo al loro umero, tali probabilità dovrao essere sommate (formula delle probabilità totali per eveti icompatibili) tate volte quate soo le permutazioi di oggetti di cui ed ( ) soo uguali tra loro, apputo (si veda appedice). Da quato detto risultao due importati relazioi della biomiale co la Beroulli. 60

61 . Se allora Bi(, p) Be(p), dato che su ua sola prova la somma dei SUCCESSI è se ella prova vee fuori SUCCESSO e 0 se viee fuori INSUCCESSO.. Poiché, come detto, le estrazioi soo idipedeti, è ovvio che ciascua estrazioe è esattamete ua prova di Beroulli. Quidi se X i è la v.c. risultato della i-ma prova, allora X i ~ Be(p). D altra parte, ciascua X i sarà 0 (se INSUCCESSO) o (se SUCCESSO) e quidi la somma delle X i sarà semplicemete la somma degli, ovvero la somma dei SUCCESSI che però, per quato visto i questa sezioe, ha ua distribuzioe biomiale. Riassumedo, allora X i ~ Be(p) idipedeti i,, X X i ~ Bi(, p), che può essere ricordato co la frase la somma di Beroulli idipedeti è ua biomiale. Se utile, ioltre, tale relazioe può essere utilizzata ache el modo seguete: ua biomiale può essere sempre rappresetata come somma di tate Beroulli idipedeti. La relazioe precedete semplifica ache il calcolo dei pricipali idici caratteristici della v.c. biomiale. Ifatti rappresetado X ~ Bi(, p) come somma di tate Beroulli idipedeti e utilizzado le proprietà dei valori attesi si ottiee E(X) p; V(X) pq. Ifatti E(X) E( X i ) E(X i ) p p; V(X) V( X i ) V(X i ) pq pq. Strettamete collegata alla v.c. biomiale è la v.c. biomiale relativa. Come detto, X ~ Bi(, p) rappreseta il umero di successi i prove di Beroulli idipedeti ciascua co probabilità p. Tuttavia accade spesso di essere iteressati o al umero di successi X X ma alla proporzioe di successi Y. I tal caso si dice che Y ha ua 6

62 distribuzioe biomiale relativa (da iterpretare come biomiale relativizzata ) co parametri e p: Y X ~ BiRe(, p). La v.c. Y assumerà quidi valori 0, /, /,,. Ache se si può farlo o e scriviamo la fuzioe di massa i quato o è molto utile: tutti i coti che iteressao possoo essere ifatti effettuati lavorado o sulla proporzioe di successi Y ma sul umero di successi X. Ad esempio se iteressa la probabilità che la proporzioe di successi sia compresa i u certo itervallo [c, c ] abbiamo X P(c Y c ) P(c c ) P(c X c ). Come si vede il calcolo è stato ricodotto a quello di ua probabilità per la v.c. X umero di successi. I pricipali idici caratteristici della biomiale relativa, ivece si ricavao facilmete da quelli della biomiale utilizzado le proprietà dei valori attesi: E(Y) p V(Y) pq Ifatti: E(Y) E( X ) E(X) p p X V(Y) V( ) V(X) pq pq Esempio Assumedo che la probabilità di ascita di u maschio o ua femmia sia uguale, cioè p p 0.5, si vuol determiare la probabilità che i ua famiglia co 4 figli vi sia: a. almeo u maschio; b. almeo u maschio ed ua femmia. Idichiamo co X la v.c. umero di maschi. Allora X ~ Bi( 4, p) ( è pari a 4, il umero di figli). a. Il procedimeto più breve è far riferimeto all eveto complemetare, cioè P(almeo u maschio) P(X ) P(X 0), dato che il umero di maschi è u itero o egativo. D altra parte 6

63 P(X 0) , per cui P(X ) b. almeo u maschio ed ua femmia sigifica che il umero dei maschi deve essere almeo (ovviamete) e o più di 3 (per permettere che almeo sia ua femmia): P(almeo u maschio ed ua femmia) P( X 3) P(X ) + P(X ) + P(X 3) Esempio I ua serie di esperimeti su cavie è stata riscotrata ua mortalità del 60%. Voledo predisporre u ulteriore esperimeto i modo tale che, co ua probabilità superiore all'80%, almeo due aimali sopravvivao, si chiede quale dovrà essere il umero miimo di cavie da sottoporre ad esperimeto. Sia X la v.c. umero di cavie sopravvissute. Allora X ~ Bi(, p 0.4) (la probabilità di SUCCESSO cavia sopravvissuta i ua prova è ). Il problema da risolvere è determiare il più piccolo (umero di cavie da sottoporre ad esperimeto) capace di soddisfare la disuguagliaza P(X ) > 0.8. Questo problema si risolve procededo per tetativi sul valore di, teedo però coto che, come è facile ituire, la probabilità al primo membro cresce al crescere di (ifatti più cavie si utilizzao più è probabile che almeo sopravvivao). Proviamo a partire da u valore tetativo (ma adrebbe bee u qualsiasi) facedo fita che (il umero miimo di cavie sopravvissute) sia ache il valore atteso. Allora dalla formula di E(X) si ottiee / Se fosse 5 allora P(X ) P(X 0) P(X ) che come si ota è iferiore a è allora troppo piccolo. Proviamo 6: P(X ) P(X 0) P(X ) ,

64 che è acora iferiore a 0.8. Proviamo 7: P(X ) P(X 0) P(X ) Ci siamo! Il umero miimo di cavie da sottoporre ad esperimeto è quidi Ipergeometrica La v.c. X ha ua distribuzioe di ipergeometrica, i simboli X ~ IG(, N, K), se la sua fuzioe di massa è: f(;, N, K) K N K N 0 per itero i dove, N e K soo iteri positivi co N e K N. [ ma{ ( N K )},mi{, K} ] altrimeti La v.c. ipergeometrica può assumere allora solo valori iteri compresi fra u certo miimo, dato da ma{0, (N K)} e u certo massimo, dato da mi{, K}. Al di là della defiizioe, per compredere la distribuzioe ipergeometrica coviee ripredere i cosiderazioe le due v.c. precedeti ell iterpretazioe che si rifà al liguaggio dell'estrazioe casuale da u'ura. Si cosideri allora u'ura coteete N pallie, di cui K BIANCHE e N K NON BIANCHE. La probabilità di estrarre pallia K biaca (SUCCESSO) i ua prova sarà allora p. N Se el cotesto precedete si effettua ua sola estrazioe, la v.c. esito di tale estrazioe K (SUCCESSO/INSUCCESSO) si distribusce secodo ua Be(p ). N Se ivece si effettuao estrazioi co ripetizioe, cioè co reiserimeto della pallia ell ura, i risultati delle estrazioi soo idipedeti e la v.c. umero di successi si K distribuirà secodo ua Bi(, p ). N Si ivece si effettuao le estrazioi seza ripetizioe, cioè seza rimettere ogi volta la pallia estratta ell'ura, i risultati delle estrazioi o soo più idipedeti, dato 64

65 che la probabilità di estrarre u certo colore alle estrazioi successive è legato ai colori estratti i precedeza. I questa situazioe la probabilità di estrarre esattamete BIANCHE è data dalla fuzioe di massa della ipergeometrica, come si può facilmete verificare mediate le formule del calcolo combiatorio. L iterpretazioe dell estrazioe dall ura seza reimmissioe cosete ache di spiegare facilmete il motivo per il quale è compreso fra ma{0, (N K)} e mi{, K}. Che deve essere compreso fra 0 ed è ovvio. D altra parte se (N K) > 0, cioè il umero di estrazioi è maggiore del umero di NON BIANCHE (N K), ella peggiore delle ipotesi si pescao tutte le (N K) NON BIANCHE, ma le rimaeti (N K) estratte devoo essere per forza BIANCHE; se ivece < K, cioè il umero di estrazioi è miore del umero di BIANCHE K, ella migliore delle ipotesi si pescao tutte le K BIANCHE, ma le rimaeti devoo essere per forza NON BIANCHE. I pricipali idici caratteristici della v.c. ipergeometrica soo E(X) N K p V(X) N K K N pq N N N N dove co p N K abbiamo idicato la proporzioe di BIANCHE ell ura. La pricipale proprietà della distribuzioe Ipergeometrica è data dalla sua relazioe co la distribuzioe Biomiale. Oltre alla aalogia delle situazioi alle quali le due distribuzioi possoo essere applicate, ifatti, si può dimostrare che per N sufficietemete grade la distribuzioe Ipergeometrica può essere approssimata co la Biomiale, cioè: K IG(, N, K) Bi(, p ). N Ache seza dimostrazioi si può ituire la correttezza di tale relazioe se si pesa che per N grade, ache i caso di reimmissioe la probabilità di estrarre la stessa uità è prossima a 0. 65

66 8..4. Poisso La v.c. X ha ua distribuzioe di Poisso, i simboli X ~ Po(λ), se la sua fuzioe di massa vale: dove, λ 0. f(; λ) λ e! 0 λ per 0,,, K altrimeti Fig. 9 Fuzioe di massa e fuzioe di ripartizioe per X ~ Po(λ) (λ 0.9 a siistra e λ.3 a destra). La v.c. di Poisso può assumere allora solo valori iteri da 0 a +, metre la probabilità di otteere ua qualsiasi altra è 0. Si può dimostrare che i pricipali idici caratteristici della v.c. di Poisso soo: E(X) λ V(X) λ, 66

67 da cui emerge che il parametro caratterizzate la distribuzioe di Poisso, coicide co la media e la variaza della variabile casuale. Ua proprietà importate della distribuzioe di Poisso è l additività: se X,..., X soo v.c. Poisso idipedeti, allora la loro somma è acora Poisso co parametro pari alla somma dei parametri delle sigole Poisso; i simboli X i ~ Po(λ i ) idipedeti i,, X X i ~ Po( λ i ). Ua secoda proprietà iteressate della distribuzioe di Poisso è data dalla sua relazioe co la distribuzioe Biomiale. Si può ifatti dimostrare che per sufficietemete grade e p sufficietemete prossima 0 allora Bi(, p) Po(λ p). La distribuzioe di Poisso è u eccellete modello (o comuque u modello da teere i cosiderazioe) i tutte le situazioi i cui iteressa il umero di volte che accade u certo eveto el tempo o ello spazio: umero di difetti di u tessuto per m, umero di arrivi ad u proto soccorso per miuto, umero di icideti ogi ora i u certo tratto della rete stradale, ecc. Strettamete collegata alla v.c. di Poisso è la v.c. Poisso relativa. Ipotizzado che il umero di volte i cui u certo eveto accade, diciamo X, sia distribuito secodo ua Poisso, può accadere di essere iteressati o a tale umero di volte ma alla X X proporzioe di volte Y. I tal caso si dice che Y ha ua distribuzioe Poisso relativa (da iterpretare come Poisso relativizzata ) co parametri e λ: X Y ~ PoRe(, λ). La v.c. Y assumerà quidi valori 0, /, /, 3/, Ache se si può farlo o e scriviamo la fuzioe di massa i quato o è molto utile: come per la Biomiale relativa, tutti i coti che iteressao possoo essere ifatti effettuati lavorado o sulla proporzioe di volte Y ma sul umero di volte X. Ad esempio se iteressa la probabilità che la proporzioe di volte sia compresa i u certo itervallo [c, c ] abbiamo 67

68 P(c Y c ) P(c X c ) P(c X c ). Come si vede il calcolo è stato ricodotto a quello di ua probabilità per la v.c. X umero di volte. I pricipali idici caratteristici della Poisso relativa, ivece si ricavao facilmete da quelli della Poisso utilizzado le proprietà dei valori attesi: E(Y) λ V(Y) λ Ifatti: E(Y) E( X ) E(X) λ X V(Y) V( ) V(X) λ Alcue cosiderazioi sulle distribuzioi: Beroulli, Biomiale, Ipergeometrica, Poisso La distribuzioe Biomiale può essere cosiderata u'eccellete modello probabilistico per molte situazioi sperimetali. Ifatti, tale distribuzioe può servire per studiare ad es. l'atteggiameto dei cittadii ei cofroti di u determiato provvedimeto legislativo (favorevoli o cotrari alla elezioe diretta del Presidete della Repubblica), per aalizzare la produzioe di u determiato macchiario (pezzi regolari e pezzi difettosi), per valutare la propesioe a restituire o meo il fiaziameto cocesso (fiaziameto restituito, fiaziameto o restituito) ecc. Serve cioè, i geerale, ello studio di tutti quei feomei che possoo essere caratterizzati da u eveto che può realizzarsi o meo, cioè del tipo SUCCESSO/INSUCCESSO dove, SUCCESSO vuol dire estrazioe di pallia biaca, essere favorevole alla elezioe diretta del Presidete, pezzo regolare, fiaziameto restituito, ecc., metre isuccesso vuol dire estrazioe di pallia era, essere cotrari alla elezioe diretta, pezzo difettoso, fiaziameto o restituito, ecc. La distribuzioe Ipergeometrica ha lo stesso campo di applicabilità della distribuzioe Biomiale, e dovrà essere ad essa sostituita tutte le volte che gli eveti relativi alle sigole prove o possoo essere cosiderati idipedeti. 68

69 L'esperieza mostra che l'applicazioe della distribuzioe di Poisso i svariati campi dell'aalisi coduce a dei risultati piuttosto soddisfaceti. Si cosideri ad es. il umero delle particelle emesse da ua sostaza radioattiva i u certo itervallo di tempo e si idichi tale umero co X, si potrà accertare che, per u coveiete valore di λ, la variabile casuale X ha ua distribuzioe di probabilità approssimativamete poissoiaa. Si pesi acora al umero di difetti riscotrabili i u maufatto, al umero delle chiamate telefoiche i u certo itervallo di tempo, al umero degli arrivi, sempre i u determiato itervallo di tempo, a u casello autostradale o a uo sportello bacario. I tutti questi casi si può pesare ad u processo di geerazioe di umeri casuali (difetti, chiamate, ecc.) i u determiato itervallo temporale o spaziale, approssimativamete poissoiao. Altre distribuzioi discrete frequetemete usate soo: la distribuzioe geometrica e la distribuzioe biomiale egativa. 8.. Distribuzioi cotiue 8... Normale La distribuzioe ormale, o gaussiaa, o degli errori accidetali, può essere cosiderata la più importate tra le distribuzioi cotiue per le segueti ragioi: a. ua vasta serie di esperimeti casuali ha associata ua variabile casuale la cui distribuzioe è approssimativamete ormale; b. alcue v.c. che o soo distribuite ormalmete, possoo essere rese tali mediate trasformazioi relativamete semplici (log,, ecc.); c. alcue distribuzioi complicate o addirittura impossibili da determiare esattamete possoo essere approssimate sufficietemete bee dalla distribuzioe ormale; d. alcue v.c., che soo alla base di procedure di ifereza statistica, o soo distribuite ormalmete o derivao da tale distribuzioe; e. gode di proprietà otevoli dal puto di vista matematico (alcue delle quali soo esclusive della ormale). Si deve, comuque, sottolieare che i passato si è esagerato sull'importaza, pure otevolissima, della distribuzioe ormale. U tale fatto è derivato soprattutto dal ruolo 69

70 fodametale che la distribuzioe ha giocato ella "teoria degli errori accidetali" e che ha spito diversi studiosi a riteere che essa potesse riguardare praticamete tutti i feomei aturali. I realtà, la giustificazioe teorica del ruolo importatissimo che svolge la distribuzioe ormale ella ricerca scietifica risiede soprattutto el teorema del limite cetrale; di questo teorema si tratterà i seguito. La v.c X ha ua distribuzioe Normale, i simboli X ~ N(µ, σ ), se la sua fuzioe di desità è f(; µ, σ ) πσ µ ep σ dove è u qualsiasi umero reale, µ R e σ

71 Fig. 0 Fuzioe di desità e fuzioe di ripartizioe per X ~ N(µ, σ ) (Blu: µ 3, σ 4; Rosa: µ 5, σ 4; Verde µ 5, σ 7.84). Attraverso uo studio di fuzioe si cotrolla facilmete che la fuzioe di desità della v.c. ormale ha u adameto a campaa co le segueti caratteristiche: ha massimo i µ; è simmetrica rispetto a tale puto di massimo; ha due flessi i corrispodeza dei puti µ σ e µ + σ; per ± (le code) la desità f() tede asitoticamete a 0. Nell ambito delle v.c. ormali, come vedremo assume u ruolo particolare la v.c. Normale stadard. La v.c. X ha ua distribuzioe Normale stadard se X ~ N(0, ), cioè se è Normale co µ 0 e σ. La sua fuzioe di desità è quidi la stessa riportata sopra i cui al posto di µ e di σ si poe rispettivamete 0 e. Si può dimostrare che i pricipali idici caratteristici della v.c. ormale soo dati da E(X) µ V(X) σ γ 0 γ 3 Qualche commeto. Primo: valore atteso e variaza di ua v.c. ormale coicidoo co i due parametri della distribuzioe (la simbologia o è scelta caso!). Notare ache che la variaza o dipede dal valore atteso, al cotrario di molte di quelle viste fiora (Beroulli, Biomiale, Poisso, Ipergeometrica). Secodo: l idice di asimmetria γ risulta pari a 0: u risultato del tutto ovvio visto che la fuzioe di desità della v.c. ormale è simmetrica. Si ricorda a questo proposito che tale idice assume risulta egativo i caso di asimmetria a siistra, metre risulta positivo i caso di asimmetria a destra della fuzioe di desità (cfr. Fig. ). Terzo: l idice di curtosi γ risulta pari a 3. Metre l asimmetria è u cocetto defiito i termii assoluti, la curtosi è cocetto relativo; ifatti, ua distribuzioe è platicurtica o leptocurtica solo co si fa riferimeto alla distribuzioe ormale. Poiché quest ultima v.c. ha u idice di curtosi pari a 3, si dice platicurtica la distribuzioe co γ < 3 e leptocurtica la distribuzioe co γ > 3 (cfr. Fig. ). 7

72 Si fa otare che γ 0 e γ 3 soo codizioi ecessarie ma o sufficieti per la ormalità della distribuzioe; i altri termii esistoo v.c. co γ 0 e γ 3 che però o soo ormali. Asimmetria egativa γ < 0 Asimmetria positiva γ > 0 µ M e M o M o M e µ Distribuzioe leptocurtica γ > 3 Distribuzioe ormale γ 3 Distribuzioe platicurtica γ < 3 Fig. - Forma delle distribuzioi La fuzioe di ripartizioe della v.c ormale è: F() πσ y µ ep σ dy. Questo sigifica che la fuzioe di ripartizioe di ua v.c. ormale rimae defiita implicitamete dall operatore di itegrale; ifatti l itegrale idefiito di cui sopra è uo di quelli che o si possoo risolvere (i termii più corretti la fuzioe di desità della ormale o ha ua primitiva i forma aalitica). D altra parte poiché la fuzioe di ripartizioe (o comuque l itegrale della fuzioe di desità) soo idispesabili per determiare la probabilità di eveti el caso i cui X sia ormale, occorre ugualmete u modo per calcolare l itegrale defiito di cui sopra. Il modo più semplice di fare questa operazioe è quello di ricorrere alla v.c. stadardizzata Z X µ. σ 7

73 Nella sezioe sui mometi abbiamo evideziato che se X è ua v.c. co media µ e variaza σ, allora qualsiasi sia la forma della sua distribuzioe si ha che X µ X µ E 0 V. σ σ Tuttavia el caso particolare i cui la v.c. oltre ad avere media µ e variaza σ sia ache Normale, si può dimostrare che ache la v.c. stadardizzata ha ua distribuzioe Normale, ovviamete co media 0 e variaza. I simboli X ~ N(µ, σ X µ ) Z ~ N(0, ). σ Poiché i valori della fuzioe di ripartizioe della Normale stadard soo stati tabulati (o possoo essere calcolati co u computer attraverso particolari algoritmi: ache Ecel e ha uo) il calcolo della probabilità che ua v.c. Normale stadard assuma valori i u certo itervallo (z, z ] può essere fatto el modo seguete: P(z < Z z ) P(Z z ) P(Z z ), dove le probabilità P(Z z ) e P(Z z ) soo apputo i valori della fuzioe di ripartizioe della Normale stadard i z e z che possoo essere letti ella tavola. Come ulteriore aiuto per il calcolo delle probabilità di cui sopra, si fa otare che la simmetria rispetto a 0 della fuzioe di desità della Normale stadard implica P(Z z) P(Z z) (si ivita lo studete a evideziare graficamete questa proprietà). Questo comporta che, el caso i cui si ricorra alle tavole, la tabulazioe per valori di z 0 è sufficiete ache per calcolare valori probabilità per z egative. I base alla logica seguita, il calcolo della probabilità che ua geerica v.c. Normale assuma valori i u certo itervallo (, ] può essere ricodotto a quello della v.c. Normale stadard el modo seguete: P( < X ) µ X µ µ P < P(z < Z z ) P(Z z ) P(Z z ) σ σ σ µ dove z e z σ distribuzioe N(0, ). µ soo calcolati e Z σ X µ ha come detto ua σ Si ricorda ache che se X è ua v.c. cotiua allora P(X ) 0 per ogi. Di cosegueza se ell esempio di cui sopra avessimo calcolato probabilità che X assuma 73

74 valori i [, ], oppure i (, ) o acora i [, ) avremmo otteuto lo stesso idetico risultato. Come detto ad iizio sezioe, la distribuzioe Normale è importate perché sotto certe codizioi approssima bee molte distribuzioi. Ad esempio, relativamete alle distribuzioi aalizzate si dimostra che: per sufficietemete grade, la distribuzioe Biomiale può essere bee approssimata dalla distribuzioe ormale co la stessa media e la stessa variaza della Biomiale, cioè Bi(, p) N(µ p, σ pq) per λ sufficietemete grade, la distribuzioe di Poisso può essere bee approssimata dalla distribuzioe Normale co la stessa media e la stessa variaza della Poisso, cioè Po(λ) N(µ λ, σ λ) per sufficietemete grade, la distribuzioe χ (che vedremo successivamete) può essere approssimata abbastaza bee dalla distribuzioe ormale co la stessa media e la stessa variaza della χ, cioè χ N(µ, σ ) per sufficietemete grade, la distribuzioe T di Studet (che vedremo successivamete) può essere approssimata abbastaza bee dalla distribuzioe Normale co la stessa media e la stessa variaza della T, cioè T N(µ 0, σ ) Ifie si eucia u altra proprietà importatissima della distribuzioe Normale. Trattado delle v.c. multiple, abbiamo illustrato quato valgoo il valore atteso e la variaza di ua combiazioe lieare di v.c. Tali proprietà riguardavao solo valore atteso e variaza, seza dire iete altro sulla forma della distribuzioe. Ebbee si può dimostrare che le v.c. di parteza oltre ad avere u certo valore atteso e ua certa Si fa otare che molte delle approssimazioi riportate soo giustificabili via teorema limite cetrale (si veda sez. 9). 74

75 variaza soo Normali allora ache ua qualsiasi combiazioe lieare è Normale. I simboli X i ~ N(µ i, σ i ) i,, c i X i ~ N c + iµ i, ci σ i cic jσ ij, j i dove c i soo delle costati e σ ij soo le covariaze fra la v.c. i-ma e j-ma. Si può otare che rispetto alla proprietà del valore atteso e della variaza di ua combiazioe lieare, i più c è solo la Normalità di c i X i, dato che media e variaza coseguoo come detto dalle proprietà dei valori attesi per v.c. multiple. E ovvio che, sempre ell ipotesi di ormalità delle X i, se le v.c. soo fra loro icorrelate, cioè le σ ij soo tutte 0, allora c i X i ~ N c i µ i, ci σ i. U altro caso particolare molto importate (cui faremo sovete riferimeto i ambito ifereziale) si ha quado le X i oltre ad essere distribuite ormalmete soo ache idipedeti, co la stessa media µ e co la stessa variaza σ. I questo caso, sfruttado i risultati precedeti si dimostra facilmete che la distribuzioe della media aritmetica delle v.c. X i ha la seguete distribuzioe X X i ~ N(µ,σ /). Per perveire a questo risultato basta ricordare che l idipedeza implica l icorrelazioe e quidi sfruttare la formula corrispodete co c i /, µ i µ e σ i σ per tutte le i. Esempio Sia X ~ N(µ, σ 0.5). Si vuol determiare il valore della costate c i modo da soddisfare le relazioi: a. P(X c) 0.; b. P( c X ) 0.5; c. P(c X c ) 0.95; 75

76 Utilizzado la tavola della fuzioe di ripartizioe della ormale stadard, si ottiee: X µ c µ a. 0. P(X c) P P(Z z) P(Z z) i base σ σ al quale dalla tavola si ricava z Poiché z e z si ricava c µ + σz c µ, sostituedo i valori di µ, σ σ c µ X µ µ b. 0.5 P( c X ) P P(z Z ) P(Z ) σ σ σ P(Z z) da cui P(Z z) P(Z ) implica z c µ Poiché z, sostituedo i valori di µ, σ e z si ricava c µ σz σ 0.5 ( 0.06).03. c. Ci soo ifiiti itervalli [c, c ] tali che P(c X c ) Tuttavia a meo che particolari ragioi o idichio di procedere i modo diverso, ormalmete iteressa l itervallo più stretto, che elle distribuzioi simmetriche coicide o quello simmetrico rispetto alla media. Allora 0.95 P(c X c ) c µ X µ c µ P P( z Z z), da cui P(Z z) e quidi z σ σ σ.96. A questo puto si possoo ricavare c µ σz e c µ + σz Esempio Le lamie d'acciaio prodotte dalla THESTEEL devoo avere u determiato spessore. Tuttavia la produzioe subisce delle piccole variazioi (i termii di spessore) aveti carattere accidetale. Il feomeo, spessore delle lamie d'acciaio prodotte, può essere coveietemete rappresetato dalla v.c. X. L esperieza acquisita garatisce che X ha ua distribuzioe Normale co media µ 0 mm e variaza σ mm. Si vuol determiare la percetuale attesa di lamie difettose ei segueti casi: a. siao difettose le lamie co spessore iferiore a 9.97 mm; b. siao difettose le lamie co spessore superiore a 0.05 mm.; c. siao difettose le lamie che si discostao dalla media per più di 0.03 mm; 76

77 Si chiede ioltre: d. Quale valore dovrebbe assumere la costate c affiché la percetuale attesa di lamie che si discosta da 0 mm per ua quatità o superiore a c sia pari a 0.95; e. come varierebbe la percetuale attesa di cui al puto d, relativamete al valore della costate c trovato, el caso i cui si avesse µ 0.0. Usado la tavola della fuzioe di ripartizioe della Normale si ottegoo i segueti risultati: X µ a. P(X < 9.97) P < P(Z <.5) σ 0.0 X µ b. P(X > 0.05) P > P(Z >.5) P(Z.5) σ 0.0 X µ X µ c. P(X 9.97) + P(X 0.03) P + P σ 0.0 σ 0.0 P(Z.5) + P(Z.5) P(Z.5) [ P(Z.5)] c X 0 c d P( c < X 0 < c) P < < P( z < Z < z) implica z σ σ σ.96, da cui c σ z 0.0٠ e. P( < X < ) P( < X < 0.039) X P < < P(.46 < Z <.46) P(Z < ) P(Z <.46) ( ) Gamma e χ (di Pizzetti-Pearso) La v.c. X ha ua distribuzioe Gamma, i simboli X ~ Ga(α, β), se la sua fuzioe di desità è β f(; α, β) Γ( α ) α α 0 e β se > 0 altrimeti dove α e β soo due reali positivi e Γ(α) è la fuzioe Gamma, ua particolare fuzioe che vale 77

78 + ( ) α Γ α e d. 0 Valori particolari della fuzioe Gamma soo Γ(), Γ(/) π e Γ() ( )! se è u itero positivo. Ioltre si dimostra per iduzioe che vale la relazioe Γ(α + ) Γ(α). La v.c. Gamma può assumere allora solo valori positivi. Si può dimostrare che i pricipali mometi della distribuzioe Gamma soo dati da α α E(X) V(X) β. β I realtà, per quato riguarda questo corso o utilizzeremo spesso la distribuzioe Gamma, ma piuttosto u suo caso particolare: la v.c. χ (Chi-quadrato). Quest ultima è apputo u caso particolare della Gamma quado α / e β /; quidi χ () Ga(α /, β /). Di cosegueza la v.c. Chi-quadrato ha fuzioe di desità f(; ) / Γ( / ) / / 0 e se > 0 altrimeti dove è u itero positivo detto gradi di libertà (il sigificato di questa espressioe sarà chiarito ei capitoli successivi). 78

79 Fig. Fuzioe di desità per la v.c. X ~ χ () (Blu: ; Rosa: ; Verde: 3; Celeste: 4; Viola: 5). La v.c. χ può allora assumere solo valori positivi. Ache i questo caso uo studio di fuzioe evidezia che questa fuzioe di desità: è mootoa decrescete per e, metre per > ha u massimo el puto. Tuttavia, a meo di ua esplicita ecessità, si ivita lo studete a o memorizzarla. Ifatti capita raramete di dover utilizzare la fuzioe di desità della χ, metre si utilizzao assai più spesso le sue proprietà. La prima proprietà collega la Chi-quadrato alla Normale stadard: se Z è ua v.c. ormale stadard, allora la v.c. Z è ua v.c. χ co grado di libertà; i simboli Z ~ N(0, ) Z ~ χ (). La secoda è la proprietà di additività del Chi-quadrato: se X,..., X soo v.c. Chiquadrato idipedeti, allora la loro somma è acora Chi-quadrato co gradi di libertà pari alla somma dei gradi di liberta delle sigole Chi-quadrato; i simboli X i ~ χ ( i ) idipedeti i,, X X i ~ χ ( i ). 79

80 Sulla base dei mometi della Gamma si ricava facilmete che i pricipali idici caratteristici della v.c. Chi-quadrato soo: E(X) V(X) Esempio Sia X ~ χ (5). Si voglioo determiare le costati c, c e c i modo che sia: a. P(X c) 0.0 b. P(X > c) 0.05 c. P(c < X c ) 0.95 Utilizzado le tavole della distribuzioe χ si ha a. P(X c) F(c) 0.0 c.6 b. P(X > c) P(X c) F(c) 0.05 c. c. Esistoo ifiite coppie di valori c, c capaci di soddisfare la codizioe posta al puto c. Si potrebbe ad esempio suddividere la probabilità 0.05 i modo da avere u livello pari a 0.0 alla siistra di c ed u itervallo 0.04 alla destra di c, oppure 0.0 a siistra di c e 0.03 a destra di c ecc. Usualmete, a meo che o vi siao particolari ragioi per operare i modo diverso, si suddivide la probabilità i parti uguali. Così facedo si avrà P(X c ) F(c ) 0.05 c 0.83 P(X > c ) P(X c ) 0.05 c T (di Studet) La v.c. X ha ua distribuzioe T di Studet, i simboli X ~ T(), se la sua fuzioe di desità è + Γ f(; ) + Γ π + 80

81 dove è u umero reale e è u itero positivo detto gradi di libertà Fig. 3 Fuzioe di desità della v.c. X ~ T() (Blu: ; Rosa: 3; Verde: 0; Celeste: + (ovvero N(0,))). La distribuzioe T, itrodotta dal chimico W.S. Gosset el 908 sotto lo pseudoimo di "Studet", può assumere allora qualsiasi valore reale. Ache i questo caso uo studio di fuzioe è utile per evideziare che fuzioe di desità ha u adameto a campaa co le segueti caratteristiche: è simmetrica; ha u massimo el puto 0; le code tedoo asitoticamete a 0. Ache i questo caso, a meo di ua esplicita ecessità, si ivita lo studete a o memorizzare la fuzioe di desità. Ifatti capita raramete di doverla utilizzare metre più spesso si utilizzao le sue proprietà. La proprietà pricipale, che utilizzeremo spesso i seguito, è la seguete. Siao Z ua v.c. Normale stadard e Y ua v.c. χ co gradi di libertà, co Z e Y idipedeti. Si Z può dimostrare che la v.c. X ha ua distribuzioe T co gradi di libertà. I Y / simboli Z ~ N(0, ), Y ~ χ Z () idipedeti X ~ T(). Y / 8

82 U altra proprietà iteressate è data dal fatto che al crescere di la distribuzioe T tede alla distribuzioe Normale stadardi; u buoa approssimazioe si ottiee già per relativamete piccolo ( 30). Si può ifie dimostrare che i pricipali idici caratteristici della v.c. T soo: E(X) 0 per (o esiste per < ) V(X) per 3 (o esiste per < 3) Esempio Sia X ~ T(9). Si voglioo determiare i valori della costate c che soddisfao le relazioi: a. P(X > c) 0.05; b. P(X < c) 0.05; c. P( c < X c) 0.99; d. P(0 < X c) Utilizzado le tavole della distribuzioe T e ricordado che tale distribuzioe è simmetrica, si ottiee a P(X > c) P(X c) P(X c) 0.95, da cui c.833 b. P(X c) 0.05 P(X c) 0.95, da cui c.833 e quidi c.833. c P( c < X c) P(X c) 0.995, da cui c d P(0 < X c) P(X c) 0.975, da cui c F (di Fisher-Sedecor) La v.c. X ha ua distribuzioe F (Fisher-Sedecor), i simboli X ~ F(, ), se la sua fuzioe di desità è 8

83 + Γ f(; ) ( + ) / Γ Γ 0 / / dove e soo due iteri positivi detti gradi di libertà. ( + ) / per > 0 altrimeti Fig. 4 Fuzioe di desità della v.c. X ~ F(, ) (Blu:, ; Verde: 8, ; Celeste: 5, 5; Viola: 0, 0). La v.c. F può allora assumere solo valori positivi. Ache i questo caso uo studio di fuzioe evidezia che questa fuzioe di desità ha ua forma simile a quella della χ. Di uovo, a meo di ua esplicita ecessità, si ivita lo studete a o memorizzare l equazioe della fuzioe di desità. Ifatti capita raramete di doverla utilizzare, metre più spesso si utilizzao le sue proprietà. La proprietà pricipale della v.c. F è la seguete. Siao X e X due v.c. χ rispettivamete co ed gradi di libertà, co X e X idipedeti. Si può dimostrare X che la v.c. X X / / ha ua distribuzioe F co ed gradi di libertà. I simboli X ~ χ ( ), X ~ χ X ( ) idipedeti X X Si oti che l'ordie dei gradi di libertà ed è fodametale. / / ~ F(, ). 83

84 Da questa cosegue immediatamete ua secoda proprietà: se X ha ua distribuzioe F(, ) allora il reciproco di X, cioè /X, ha ach esso ua distribuzioe F ma co i gradi di libertà ivertiti F(, ). I simboli X ~ F(, ) /X ~ F(, ) Si può ifie dimostrare che i pricipali idici caratteristici della v.c. F soo E(X) Esempio V(X) ( + ) ( ) ( 4) Sia X ~ F(7, 0). Si voglioo determiare i valori della costate c che soddisfao: a. P(X c) 0.95; b. P(X c) 0.0. Utilizzado la tavola della distribuzioe F si ottiee a P(X c) c b. 0.0 P(X c) P(/X /c) P(/X /c) 0.99, da cui /c 6.60 e quidi c Distribuzioi multiple Normale doppia La fuzioe di desità della v.c. ormale doppia o v.c. ormale bivariata è data da f(, y; µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ XY ) πσ X σ Y ρ XY ep ( ρ XY ) µ σ X X ρ XY µ σ X X y µ Y σ Y + y µ Y σ Y per, y +, dove i parametri che caratterizzao la distribuzioe coicidoo co gli idici caratteristici più sigificativi della distribuzioe stessa µ 0 E(X) µ X µ 0 E(Y) µ Y 84

85 µ 0 E[(X µ X ) ] σ X µ 0 E[(Y µ Y ) ] X µ X Y µ Y σ XY µ E ρ XY ρ σ X σ Y σ Xσ Y σ Y YX E possibile verificare seza eccessiva difficoltà le relazioi segueti + f ( ) f (, y) dy ep ( µ ) X πσ σ X + f ( y) f (, y) d ep ( y µ ) Y πσ σ Y f (, y) σ X f ( y) y µ Y ρ XY µ Y f ( y) πσ σy X ep ( ρ ) σ X ( ρ XY ) XY ep ( ρ ) σy ( ρ XY ) X Y ( y ) f (, y) σy f ( y ) y µ Y ρ XY µ X f ( ) π σ σ X Y XY ( ) che evideziao la ormalità sia delle distribuzioi margiali che delle distribuzioi codizioate. Dalle relazioi sopra scritte si desumoo ache le medie e le variaze delle distribuzioi codizioate che dipedoo da medie e variaze delle distribuzioi margiali e dal coefficiete di correlazioe. Se ρ XY ρ YX 0, le due variabili casuali compoeti soo idipedeti (cioè f(, y) f() f(y)) e le distribuzioi codizioate, per l idipedeza, o risetoo più del codizioameto e risultao uguali alle distribuzioi margiali. Nella Fig. 5 è riportata la forma della fuzioe di desità e le sezioi orizzotali e verticali della variabile casuale ormale doppia le cui compoeti soo icorrelate (idipedeti) ed hao uguale variaza. 85

86 σ y Fig. 5 Fuzioe di desità di ua v.c. ormale doppia co ρ XY ρ YX 0 e σ σ. Nella Fig. 6 soo riportate le sezioi orizzotali di variabili casuali ormali doppie icorrelate (ρ XY 0) co relazioe diversa tra le variaze delle due distribuzioi margiali. Fig. 6 - Sezioi orizzotali di ua variabile casuale ormale doppia co ρ XY ρ YX 0 86

87 X σ Y Fig. 7 Sezioi orizzotali di ua v.c. ormale doppia co σ. Fig. 8 - Sezioi orizzotali di ua variabile casuale ormale bivariata co σ X 4 e σ Y. 87

88 Nella Fig. 7 soo riportate le sezioi orizzotali di ua variabile casuale ormale doppia, le cui compoeti hao stessa variaza σ X σ Y, per diversi livelli di correlazioe; metre ella Fig. 8 le sezioi soo relative a diversi livelli di correlazioe e diversa variaza ( σ X 4 e σ Y ). Osservado Fig. 6, Fig. 7 e Fig. 8, si rileva l icideza del valore assuto da parametri caratteristici sulla forma della fuzioe di desità. La forma campaulare perfetta si ha solo quado ρ XY ρ YX 0 e σ X σ Y. Se ρ XY ρ YX ±, cioè se esiste u legame lieare tra le due compoeti, si avrà u completo schiacciameto della distribuzioe doppia che degeera i ua distribuzioe semplice. Cosa questa peraltro desumibile immediatamete ache per via aalitica e dal puto di vista logico; o ha più seso, ifatti, parlare di variabilità su due compoeti essedo la variabilità dell ua (ad es. la Y) strettamete determiata dalla variabilità dell altra (valedo la relazioe Y a + bx) Triomiale (o Biomiale doppia) Si suppoga di poter effettuare prove idipedeti e che il risultato di ciascua prova sia ω o ω o ω 3 ; i tre risultati soo ecessari e icompatibili, el seso che i ciascua prova, uo dei tre deve ecessariamete presetarsi ed il presetarsi di u risultato esclude la possibilità del presetarsi dell altro. Si suppoga che le probabilità associate ai tre possibili risultati siao, rispettivamete, p, p e p 3 (p + p + p 3 ). Si defiisca ora la variabile casuale doppia (X, Y) come coppia ordiata di umeri reali i cui la prima compoete X rappreseta il umero delle volte i cui si è presetato il risultato ω elle prove, metre Y rappreseta il umero delle volte i cui si è presetato il risultato ω. Ovviamete, il umero delle volte i cui si preseta il risultato ω 3 o può essere iserito come terza variabile essedo lo stesso umero uivocamete determiato per differeza ( y). Se, per semplicità di otazioe, si poe 88

89 89 [ ] q p p Y X P P p p Y P P p p X P P p y y 0) ( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 ω ω ω si avrà [ ] y y y q p p y y y Y X P y f )!!(!! ) ( ) ( ), ( dove: rappreseta il umero delle volte i cui si è presetato il risultato ω elle prove ed y il umero delle volte i cui si è presetato il risultato ω ; potrà, pertato, assumere i valori 0,,,, metre y potrà assumere i valori 0,,,,, ed ache, y 0,,,, co il vicolo + y. Si verifica facilmete che le v.c. margiali e le variabili casuali codizioate soo variabili casuali biomiali, così come risulta facile verificare le uguagliaze sotto riportate relative ad alcui mometi misti µ 0 µ X p X, µ 0 µ y p Y ) (, ) ( 0 0 y y y p p p p σ µ σ µ ) ) ( (, y y y y y y y p p p p p p ρ ρ µ σ σ µ y y p p y y X E p p Y E ) ( ) (, ) ( ) ( L espressioe aalitica delle due distribuzioi codizioate è y y y p q p p y y y f )!!( )! ( ) ( y y y p q p p y y y f )!!( )! ( ) / ( L estesioe al caso > è immediata: ifatti basterà cosiderare prove idipedeti ed ipotizzare che i ciascua prova si possa presetare uo dei + risultati ecessari ed icompatibili ω, ω,, ω, ω +. Si potrà itrodurre la variabile casuale multiomiale a dimesioi (X, X,, X ), dove le compoeti rappresetao il

90 90 umero delle volte i cui, elle prove, si è presetato, rispettivamete il risultato ω, ω,, ω. Il umero delle volte i cui si preseta il risultato ω + o viee cosiderato risultado il suo valore per differeza i i Multiomiale e Ipergeometrica multipla Se co i p i q p p p,...,,, si idicao le probabilità dei risultati (puti campioari) ω, ω,, ω +, la fuzioe di massa di probabilità della variabile casuale multiomiale è i i i i q p p p f...!!!...!! ),...,, ( dove,,, 0,,,,, co il vicolo i i. Se ella situazioe sopra cosiderata si fa riferimeto ad prove o idipedeti che, rifacedosi allo schema di estrazioe da u ura, sigifica effettuare estrazioi seza ripetizioe, si deriva la versioe a dimesioi della variabile casuale ipergeometrica (X, X,, X ) che ha fuzioe di massa di probabilità N N N N N N f i i i i... ),...,, ( dove N, N,, N, N + ( + i N N i ) rappresetao le pallie, rispettivamete, del colore,,, e + preseti ell ura. Ovviamete, i questo caso, il valore umerico assumibile dalle varie compoeti sarà codizioato, oltre che dal vicolo i i ache dai valori N, N,, N.

91 9. Alcui teoremi fodametali del calcolo delle probabilità Alcui teoremi del calcolo delle probabilità cosetoo la derivazioe di risultati di carattere geerale co otevoli implicazioi operative; foriscoo, cioè, tipologie iformative che si collocao ad u livello itermedio tra la coosceza completa, seppure spesso approssimata, della realtà espressa dal modello e la coosceza sitetica espressa dagli idici caratteristici (mometi). Tra questi teoremi uo dei più oti e sigificativi è quello usualmete oto come disuguagliaza di Bieaymé-Cebiçev a cui si perviee facilmete attraverso ua opportua specificazioe di u teorema più geerale. Teorema : Teorema di Marov. Siao: X ua v.c. co fuzioe di massa (se discreta) o di probabilità (se cotiua) f(); g(.) ua fuzioe a valori reali o egativa; e c ua costate positiva. Allora P[g(X) c] [ g( X ] E ) c Cosiderado, seza perdere i geeralità, il caso cotiuo, il teorema si dimostra co relativa facilità attraverso i segueti passaggi + E[g(X)] g ) f ( ) d g { : g( ) c} da cui la tesi del teorema. ( ( ) f ( ) c f ( ) d + g { :0 g( ) < c} ( ) f ( ) d c P[g(X) c], { : g( ) c} d g( ) f ( ) d { : g( ) c} Di particolare iteresse risulta il seguete corollario del teorema, oto come disuguagliaza di Bieaymé-Cebiçev. Teorema : Disuguagliaza di Bieaymé-Cebiçev. Siao: X ua v.c. co valore atteso E(X) µ e variaza V(X) σ. Allora se > 0 9

92 P[ X µ σ]. Il risultato sta ad idicare che, per qualuque variabile casuale, la probabilità dei valori che si collocao i u itoro della media di ampiezza ± σ è sempre superiore ad. Ovviamete la disuguagliaza assume sigificato solo per >. La dimostrazioe di questa disuguagliaza segue facilmete dal teorema di Marov poedo g(x) X µ, c σ, cosicché da cui la tesi. P[ X µ σ] P[(X µ) σ ] E [( X µ ) ] σ σ σ Se si fa riferimeto ad ua particolare distribuzioe e si cosidera ua specifica fuzioe g(.) si perviee ad u altro iteressate risultato. Teorema 3: Teorema di Beroulli. Sia X ~ Bi(, p). Allora X lim P p < c. + Questo sigifica che siccome c può essere scelto piccolo a piacere, al crescere del umero delle prove (se le prove soo idipedeti e ripetute i codizioi aaloghe) la frequeza relativa di u eveto X/ coverge, i probabilità, alla probabilità p dell eveto stesso. Il teorema si dimostra applicado il teorema di Marov per g(x) X p, da cui quidi X E p X X p q P p c P p c ; c c 9

93 X lim P p c + da cui segue lim + p q c X lim P p < c. + 0 Il teorema di Beroulli è stato geeralizzato i vario modo; la geeralizzazioe più iteressate è quella che estede il risultato ad ua successioe qualsiasi di variabili casuali X, X,, X, idipedeti, ideticamete distribuite (i.i.d.) e co media E(X i ) µ. Teorema 4: Teorema di Kolmogorov (legge forte dei gradi umeri). Sia X, X,, X, ua successioe di v.c. idipedeti e ideticamete distribuite, di media µ fiita. Allora per la variabile casuale X X i vale la relazioe P lim X µ. + Se alle ipotesi sopra itrodotte si aggiuge la codizioe che le variabili abbiao variaza σ > 0 fiita si può, ricorredo alla disuguagliaza di Bieaymé-Cebiçev, dimostrare facilmete al cosiddetta legge debole dei gradi umeri. Teorema 5: Legge debole dei gradi umeri. Sia X, X,, X, ua successioe di v.c. idipedeti e ideticamete distribuite, di media µ e variaza σ > 0 fiite. Allora per la variabile casuale X X i vale la relazioe ( X < c) lim P µ. + Sulla rilevaza operativa, tutt altro che margiale, delle leggi dei gradi umeri si avrà modo di soffermare l attezioe successivamete. 93

94 Il teorema di Beroulli occupa ua posizioe di tutto rilievo ell ambito della probabilità e della statistica ma acora più rilevate è, come si avrà modo di approfodire ache successivamete, il ruolo svolto dal teorema del limite cetrale, qui se e propoe ua versioe particolare, quella usualmete attribuita a Lidberg-Levy. Teorema 6: Teorema del limite cetrale. Sia X, X,, X, ua successioe di v.c. idipedeti ed ideticamete distribuite (i.i.d.) di media µ e variaza σ > 0 fiita; si cosideri la variabile casuale (media aritmetica dei primi elemeti della successioe) X che avrà valore medio E( X i variabile casuale stadardizzata X ) µ e variaza V( X ) σ /; allora la Z X µ σ / per + tede alla distribuzioe ormale stadard. L implicazioe più rilevate del teorema e che per abbastaza grade la variabile casuale X può essere approssimata dalla distribuzioe ormale di media µ e variaza σ / seza fare alcua assuzioe circa la forma della distribuzioe delle X i. La botà dell approssimazioe dipede, come è facile ituire, dal tipo di distribuzioe delle X i : tato più è simile a quella della Normale (simmetria, code sottili ecc.) tato migliore è l approssimazioe ache per o troppo gradi. I letteratura si ritrovao versioi geeralizzate del teorema quali, ad esempio, quella i cui o si richiede più che le variabili casuali della successioe abbiao idetica distribuzioe, si matiee l ipotesi di idipedeza, si iseriscoo alcue ipotesi geerali di regolarità delle distribuzioi tra le quali la codizioe che le medie E(X i ) µ i e le variaze V(X i ) σ i > 0 siao fiite. I questo caso, aturalmete, la variabile che tede alla variabile casuale ormale stadardizzata è 94

95 dove: X X i Z X µ σ /, µ µ i, σ σ i. Appedice - Calcolo combiatorio Il primo cocetto utile è quello delle permutazioi di oggetti distiti. Si defiisce permutazioe di oggetti il umero dei gruppi che possoo essere formati dagli dati scambiado di posto gli oggetti stessi. Se A, B e C soo i tre oggetti ( 3), le possibili permutazioi sarao (A, B, C) (A, C, B) (B, A, C) (B, C, A) (C, A, B) (C, B, A) Per idividuare il umero delle possibili permutazioi di oggetti basta cosiderare che vi soo modi diversi di occupare la prima posizioe, a ciascua di queste va associato uo degli modi diversi di occupare la secoda posizioe (dagli oggetti residui) che potrà, a sua volta essere associato ad uo degli modi diversi di occupare la terza posizioe e così via Le permutazioi di oggetti distiti sarao pertato pari a: P ( ) ( )...! (si ricordi che per covezioe e coveieza matematica, 0! ). Se fra gli oggetti ve e soo ( ) uguali tra loro, ( ) uguali tra loro, fio h a h ( h ) uguali tra loro, co i, e si vuol procedere alla determiazioe del umero dei gruppi diversi che possoo essere formati, si dovrà teer coto del fatto che lo scambio di posto fra due oggetti uguali o modifica il gruppo; ad esempio se i tre oggetti soo A, A e B, si verifica, immediatamete che i possibili gruppi diversi soo soltato 3: (A, A, B) (A, B, A) (B, A, A). 95

96 Soo stati, cioè, elimiati dai 6 gruppi iiziali i 3 gruppi che comportavao uo scambio di posto dello stesso oggetto A; il umero delle permutazioi i questo caso è dato da 3!!!. I geerale il umero delle permutazioi di oggetti, di cui uguali tra loro, uguali tra loro,... h uguali tra loro, che vegoo dette co ripetizioe, proprio per il ripetersi di alcui oggetti, è dato da P,,..., h!!!... h! h i dove La quatità P,,..., h!!!... h!,,, h viee usualmete detta coefficiete multiomiale i quato rappreseta il coefficiete ella espasioe multiomiale (poliomio di Leibiz)... a a... a ( a + a + + ah ),,, h h h h U altro importate cocetto di raggruppameti possibili è quello relativo al umero di gruppi che si possoo formare da oggetti distiti prededoe ( ) alla volta e cosiderado diversi i gruppi che differiscoo o per u elemeto o per il posto che l'elemeto occupa. Ache i questo caso risulta facile il coteggio basadosi sullo stesso schema di ragioameto fatto sopra. Il primo, dei posti, potrà essere occupato i modi diversi (cioè da ciascuo degli oggetti dati) a ciascuo di questi dovrà essere associato al secodo posto che potrà essere occupato i modi diversi (cioè da ciascuo degli oggetti residui) e così via fio al -esimo posto che potrà essere occupato i ( ) + modi diversi (gli oggetti residui soo meo oggetti che soo stati utilizzati per occupare le prime posizioi). La formula, detta delle disposizioi di elemeti i classe sarà D, ( ) ( )...( + ) Naturalmete!. ( )! 96

97 D,! P, cioè le disposizioi di elemeti i classe coicidoo co le permutazioi di elemeti. Se dispoedo di oggetti, diversi o per ordie o per elemeto, si cosiderao tutti i possibili gruppi che si possoo formare prededoe ( ) dagli dati ma ammettedo che ciascu oggetto possa essere preso fio a volte (cioè i oggetti vegoo scelti co ripetizioe degli dati), risulta facile, sulla scorta delle cosiderazioi sopra fatte, arrivare alla determiazioe del umero di disposizioi co ripetizioe, di classe, che è dato da r, D i quato ciascuo dei posti può essere occupato da ciascuo degli oggetti (... ). Se ci si propoe di determiare i possibili gruppi che possoo essere formati prededoe (seza ripetizioe) dagli dati i modo che ciascu gruppo differisca dall'altro per almeo u elemeto, il umero dei possibili gruppi, cioè delle combiazioi di elemeti i classe, si ottiee escludedo dal umero delle disposizioi di classe tutte quelle che differiscoo tra loro solo per l'ordie degli elemeti, cioè D,! C, P!( )!, dove rappreseta ache il -esimo termie dello sviluppo del biomio di Newto (a + b) a b e viee usualmete detto coefficiete biomiale. Si tratta, ovviamete, di ua particolarizzazioe del poliomio di Leibiz per h. Si oti ioltre che le combiazioi di elemeti di classe coicidoo co le permutazioi co ripetizioe di elemeti dei quali uguali tra loro ed ( ) uguali tra loro C,! P,!( )! 97

98 98 Le formule sopra itrodotte delle permutazioi (co e seza ripetizioe), delle disposizioi (co e seza ripetizioe) e delle combiazioi si rivelerao estremamete utili ella misura delle probabilità di eveti o elemetari i quato cosetoo i modo abbastaza immediato la determiazioe del umero degli eveti elemetari associati ad esperimeti casuali complessi. Si riportao ifie alcue relazioi di uguagliaza tra formule combiatorie utili el calcolo delle probabilità. + + per,, e 0, ±, ±, ( ) +