EQUAZIONI ALLE RICORRENZE

Esercizi di Fodameti di Iformatica 1 EQUAZIONI ALLE RICORRENZE 1.1. Metodo di ufoldig 1.1.1. Richiami di teoria Il metodo detto di ufoldig utilizza lo sviluppo dell equazioe alle ricorreze fio ad u certo umero di passi per poi ricostruire ua legge geerale. Lo schema che si è soliti seguire è il seguete: 1) Si calcolao - passi dello sviluppo; ) Si esprime T() come sommatoria (qui ci vuole u po di ituizioe!); ) Si determiao i limiti superiore ed iferiore della sommatoria; 4) Si calcola la somma della sommatoria. Il metodo forisce ua idicazioe lasca sul valore della soluzioe. Per u metodo più preciso si rimada al successivo teorema Master. Di seguito vegoo riportate alcue formule che si ritegoo utili ai fii dei calcoli : Progressioe aritmetica k k+ 1 i x 1 (1) x x 1 i 0 Relazioe otevole log b () a logb a Progressioe geometrica () k ( 1 / ) ( + 1) k 1 Nel corso della trattazioe ci si riferirà a tali formule co i umeri idicati a fiaco a siistra. I primi esercizi soo risolti itegralmete, perché prevedoo l acquisizioe di ua metodologia e si ritegoo sigificativi. Nel seguito verrao riportati solo i passaggi chiave della soluzioe.

A. Fiume, F. Salvucci 1.. Esercizi risolti Esercizio (11/1/199) Si risolva mediate ufoldig la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T ( / + ) + / Soluzioe A oi iteressa l adameto asitotico della fuzioe T(): per sufficietemete grade la costate che si somma ad / ell espressioe della T() diveta trascurabile. Tutto accade come se l equazioe alle ricorreze da risolvere fosse la seguete : T() T(/) + /. Procediamo per ufoldig : passo 1. T(/)T(/4) + /4 T(/4)T(/8) + /8... Si ha quidi : T() / + T(/) / + (/4 + ( /8 + T(/8))) / + /4 + 9/8 + T(/8). passo. I forma compatta si puo scrivere T( ) estremo_sup i 0 i passo. Per trovare l estremo i impogo che l isieme di dati su cui opera la fuzioe T() al passo i-esimo della recursioe sia uguale ad 1, cioè ricorro alla codizioe di termiazioe. i da cui i log. passo 4. log + 1 1 log log log T( ) 1 O( ) 1 i cui si soo sfruttate le formule (1) e () ricordate sopra.

Esercizi di Fodameti di Iformatica Esercizio (17/0/1994) Si risolva, mediate il metodo dello sviluppo (ufoldig), la seguete equazioe alle ricorreze : T( ) 4T( / ) Soluzioe T(/) 4T(/4) + (/)^ T(/4) 4T(/8) + (/4)^... da cui: T ( ) + 4 + 4 + 4T ( /8) 4.Si ha allora 1 1 T( ) + + +... 4 estremo_sup i 0 i 1 O( ) Al solito per trovare la codizioe di termiazioe si è imposto i da cui i log. Il passaggio fiale è giustificato dal fatto che 1/<1 e quidi la sommatoria produce u umero fiito be preciso che o ci è ecessario cooscere i termii di ragioameto asitotico. Esercizio ( /7/1999 ) Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze mediate ufoldig: T( ) T ( / )

A. Fiume, F. Salvucci Soluzioe 1 passo Esprimiamo solo i primi - passi dello sviluppo : T()T(/)+ T(/)T(/4)+/ T(/4)T(/8)+/8.. passo Esprimiamo ora T() come sommatoria : passo Calcoliamo ora l estremo i della sommatoria. Basta porre 4 passo Per fiire svolgiamo u po i coti precedeti : Sfruttado le relazioi (1) e () itrodotte i precedeza. + + + + + + sup _ 0 16 4 16 4 ) ( estremo i i T T T i i log 1 ) ( 1 1 1 ) ( log log 1 log O T +

Esercizi di Fodameti di Iformatica Esercizio Si risolva mediate ufoldig la seguete equazioe alle ricorreze: T() T(/4) + >1 T() Soluzioe 1 passo T()T(/4)+ T(/4)T(/16)+/4 T(/16)T(/64)+/16 T()+(/4+(/16+T(/64))) passo Esprimiamo T() come sommatoria : T ( ) + + +... 4 estremo _ sup 1 i 0 i passo i log i 4 passo T()O() dato che cio che appare sotto il sego di sommatoria è ½<1.

A. Fiume, F. Salvucci 1.. Teorema master Riportiamo di seguito l euciato del teorema, che sfrutteremo a piee mai el seguito della trattazioe: Siao a>1,b>1 delle costati e T() ella forma: T()aT(/b)+f() Allora T() può essere limitato asitoticamete come segue: log b 1)Se f( ) O( a ε log b a ) per qualche costate ε > 0, allora T ( ) Θ( ) logb ) Se f( ) ( a logb Θ ) allora T( ) Θ ( a log ) log b ) Se f( ) ( a + ε Ω ) per qualche costate ε > 0 e (codizioe di regolarità) af( / b) cf( ) per qualche costate c<1 ed sufficietemete grade, allora T( ) Θ ( f( )). Esercizio (10//1996) Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 4T( / + 4) Si defiisca opportuamete il caso termiale della recursioe. Soluzioe I questo caso si ha che i parametri a e b valgoo rispettivamete a4(>1) e b. log Allora b a ed ioltre Ω( + ε ) co 0 < ε 1. Bisoga ifie vedere se è stata soddisfatta l ipotesi di regolarità e cioè se af( / b) cf( ) per qualche costate c<1 ed sufficietemete grade. E molto semplice redersi coto che c1/ fa al caso ostro. La risposta corretta all esercizio è duque che T ( ) Θ( ).

Esercizi di Fodameti di Iformatica Esercizio ( 7/0/1996 ) Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze : T( ) T( / ) + / 4 Soluzioe I questo caso a(>1) e b(>1). Segue che: log b a log 0.609 Mi chiedo allora se esiste u ε > 0 tale che log ( + ε Ω ) 4 Ora mi basta che < ε 1 log perché la limitazioe vega soddisfatta. 0 Ma il discorso o fiisce qui: debbo dimostrare che esiste ua costate c<1 per cui vega soddisfatta l ipotesi di regolarità del caso del teorema Master. Nel caso specifico risulta che c/6 va bee, quidi T ( ) Θ( ). Esercizio ( 0 / 1 /97 ) Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T ( / ) NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig). Soluzioe I questo esercizio si preseta il caso 1 del teorema Master, ifatti a, b e log log 1.464... b a. E evidete ora che ( log b a O ε ) co 0 < ε < log a 1. Come da teoria geerale T ( ) Θ( log ), che è la risposta corretta all esercizio. b

A. Fiume, F. Salvucci Esercizio ( 0//97 ) Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T( / 4) NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig). Soluzioe Siamo el caso del teorema Master. E facile redersi coto che a e b4. I particolare si ha che log b a log 4 0.79.... log b Ora cerco u ε > 0 tale che f( ) ( a + ε Ω ) per qualche costate. E immediato costatare che u qualuque 0 < ε < 1 log a fa al caso ostro. No resta che soddisfare la codizioe di regolarità, secodo cui se af( / b) cf( ) per qualche costate c<1 ed sufficietemete grade, allora T( ) Θ ( f( )). C/4 fa al caso ostro, duque la risposta corretta è T() (). Esercizio ( 11//1998 ) Si risolva mediate applicazioe del Teorema Master la seguete equazioe alle ricorreze: T() T(/) + 1/T(/) + 4 T(1) NB: o soo ammesse soluzioi mediate ufoldig. Soluzioe Ache questo esercizio appartiee al caso del teorema Master, duque procediamo idetificado per primi i valori di a e di b. L esercizio ci sembra iteressate per il gioco che è stato fatto el dare l espressioe esplicita della T(). E evidete che raccogliedo a fattor comue T() si ha che a10/ e che b. 4 ha la speraza di essere iferiormete limitato i seso asitotico e i maiera (10 / ) +ε 1.7... +ε lasca da log quado 0 < ε < 4 log (10 /). No resta che soddisfare la codizioe di regolarità, secodo cui se af( / b) cf( ) per qualche costate c<1 ed sufficietemete grade, allora T( ) Θ ( f( )). 4 10 4 Perché sia c basta che c10/96 (certamete miore di 1). Duque la risposta corretta al quesito è T() Θ( 4 ).

Esercizi di Fodameti di Iformatica 1.4. Esercizi proposti 1.4.1. Esercizi svolti I queste pagie vegoo proposti alcui esercizi la cui soluzioe è simile a quella dei temi d esame svolti. Esercizio del 07/0/96 T( ) T( / ) + / 4 [ Soluzioe :T() Θ() ] Esercizio del /0/96, 16/06/97 Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T ( / 4) + NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig). [Soluzioe :T() Θ( )] Esercizio del 10/0/96, 08/10/98 Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 4T( / + 4) Si defiisca opportuamete il caso termiale della recursioe. NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig). [Soluzioe : T() Θ( )] Esercizio del /11/96 Si risolva mediate ufoldig la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 8T( / ) + T( / 8) [Soluzioe :T() Ο( log)]

A. Fiume, F. Salvucci Esercizio del /11/96, 16/0/99 Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 4T( / ) + NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig). [Soluzioe :T() Ο( log)] 1.4.. Ulteriori esercizi Esercizio del 10//94 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 4T( / ) mediate il teorema master mediate il metodo dello sviluppo (ufoldig). Esercizio del 1/06/94 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 4T( / ) Esercizio del 18//94, 4/09/98 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze mediate applicazioe del teorema Master: T( ) 4T( / ) Esercizio del 1/9/94 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T( / ) + log Esercizio del 10//94, 4/07/98 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T( / ) mediate il teorema master mediate il metodo dello sviluppo (ufoldig).

Esercizi di Fodameti di Iformatica Esercizio del 1//94 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T( / ) Esercizio del 1/6/94 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 8T( / ) Esercizio del 8/6/94 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 4T( / ) Esercizio del 1/9/94 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 4T( / ) Esercizio del 17/10/94 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T( / ) Esercizio del 16/1/94 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze mediate ufoldig: T( ) T( / ) + 1 Esercizio del 16/1/94 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze mediate ufoldig: T( ) T( / ) + log Esercizio del 16/1/94 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze mediate ufoldig: T( ) T( / ) Esercizio del 16/1/94 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze mediate ufoldig: T( ) T( / )

A. Fiume, F. Salvucci Esercizio del 0/07/94 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze mediate ufoldig: T( ) T( 1) + 1 Esercizio del 16/1/94 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze mediate ufoldig: T( ) T( 1) Esercizio del 16/1/94 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze mediate ufoldig: T( ) T( 1) Esercizio del 06/0/9 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T( ) Esercizio del 1/01/9 0/07/99 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze mediate ufoldig: T( ) T ( / ) Esercizio del 14/0/9 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze mediate ufoldig: T( ) T ( / ) Esercizio del 8/0/9 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze mediate ufoldig: T( ) T ( / ) Esercizio del 8/6/94 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 4T( / ) Esercizio del 19/06/9 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T ( / 7)

Esercizi di Fodameti di Iformatica Esercizio del 1/09/9 Si risolva mediate ufoldig la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T( / 4) Esercizio del 7/09/9 Si risolva mediate ufoldig la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 4T( / 4) Esercizio del 7/10/9 Si risolva mediate ufoldig la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T( / 4) + log Esercizio dell 11/1/9 Si risolva mediate ufoldig la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T ( / + ) + / Esercizio dell 11/1/9 Si risolva mediate ufoldig la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 4T( / + 7) + / Esercizio dell 11/1/9 Si risolva mediate opportue semplificazioi e applicazioe del il teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T ( / + ) + / Esercizio dell 11/1/9 Si risolva mediate opportue semplificazioi e applicazioe del il teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 4T( / + 7) + / Esercizio dell 11/1/9 Si risolva mediate opportue semplificazioi e ufoldig la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T( / 4) + T( / ) Esercizio dell 11/1/9 Si risolva mediate opportue semplificazioi e applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T( / 4) + T( / )

A. Fiume, F. Salvucci Esercizio del 07/0/96 Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T( / ) + / 4 Esercizio del /0/96, 16/06/97 Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T ( / 4) + NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig). Esercizio del 10/0/96, 08/10/98 Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 4T( / + 4) Si defiisca opportuamete il caso termiale della recursioe. NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig). Esercizio del 18/06/96 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze: T() T(/) + log >1 T() Esercizio del 1/06/96, 0/0/99 Si risolva mediate ufoldig la seguete equazioe alle ricorreze: T() T(/4) + log >1 T() Esercizio del /11/96 Si risolva mediate ufoldig la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 8T( / ) + T( / 8) Esercizio del /11/96, 16/0/99 Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 4T( / ) + NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig).

Esercizi di Fodameti di Iformatica Esercizio del /11/96 Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 4T( / ) + T( / 16) NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig). Esercizio del /11/96 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 4T( / ) + T( / 16) Esercizio del /11/96 Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 8T( / ) NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig). Esercizio del /11/96 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 4T( / ) + Esercizio del /11/96 Si risolva mediate ufoldig la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 8T( / ) Esercizio del /11/96 Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 8T( / ) + T( / 8) NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig). Esercizio del 0/01/97 Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T ( / ) NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig). Esercizio del 0/0/97 Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze:

A. Fiume, F. Salvucci T( ) T( / 4) NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig). Esercizio del 19/0/97 Si risolva mediate il teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T( / ) NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig). Esercizio del 6/11/97 Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T( / 4) NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig). Esercizio del 6/11/97 Si risolva mediate ufoldig la seguete equazioe alle ricorreze: 4 T( ) T( / ) + T( / 4) Esercizio del 6/11/97 Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: 4 T( ) T( / ) + T( / 4) NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig). Esercizio del 6/11/97 (. puti) Si risolva mediate ufoldig la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T( / 4) + T( / 16) Esercizio del 6/11/ 97 Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T( / 4) + T( / 16) NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig). Esercizio del 6/11/97 Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: 4 T( ) T( / ) NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig).

Esercizi di Fodameti di Iformatica Esercizio del 6/11/97 Si risolva mediate ufoldig la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) T( / 4) Esercizio del 6/11/97 Si risolva mediate ufoldig la seguete equazioe alle ricorreze: 4 T( ) T( / ) Esercizio del 8/01/98 Si risolva mediate ufoldig la seguete equazioe alle ricorreze: T() T(/) + 1/T(/) + T(1) Esercizio dell 11/0/98 Si risolva mediate applicazioe del Teorema Master la seguete equazioe alle ricorreze: T() T(/) + 1/T(/) + 4 T(1) NB: o soo ammesse soluzioi mediate ufoldig. Esercizio del /0/98 Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T() T(/) + / Τ(1) NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig). Esercizio del 1/11/98 Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T() T(/) + log Τ(1) NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig). Esercizio del /1/98 Si dimostri che il teorema master o è applicabile alla seguete equazioe alle ricorreze e la si risolva mediate sviluppo (ufoldig): T() T(/) + log Τ(1) Esercizio del /0/99 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze: T() T(/) + 1/T(/) + T(1)

A. Fiume, F. Salvucci Esercizio del 0/0/99 Si risolva la seguete equazioe alle ricorreze: T() T(/) + log Τ(1) mediate sviluppo (ufoldig) mediate l applicazioe del teorema master. Esercizio del 17/07/99 Si risolva mediate applicazioe del teorema master la seguete equazioe alle ricorreze: T( ) 8T( / ) NB: o verrao cosiderate valide soluzioi mediate sviluppo (ufoldig).

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