I 1 + I 2 + I 3 = 0. Fig La solenoidalità di J e la prima legge di Kirchhoff. V 1 + V 2 + V 3 + V 4 = 0

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1 1. Intoduzione In egime stazionaio il modello cicuitale si ottiene senza appossimazioni dalle equazioni di Maxwell e dalle elazioni costitutive. La pima legge di Kichhoff è una immediata conseguenza della solenoidalità della densità di coente J (Fig. 1.1) e la seconda della iotazionalità del campo elettico E (Fig. 1.) J d = I 1 + I + I 3 = Fig La solenoidalità di J e la pima legge di Kichhoff. E dl = γ V 1 + V + V 3 + V 4 = Fig. 1.. L iotazionalità di E e la seconda legge di Kichhoff. u questa base è possibile intodue igoosamente l n-polo, componente ad n mosetti, il quale gode, come si icodeà, delle seguenti popietà associate alla sua definizione: 1) La somma delle coenti che attavesano i suoi teminali, con veso di ifeimento, ad esempio, uscente dalla supeficie limite, è istante pe istante uguale a zeo. ) La tensione ta qualunque coppia di mosetti, intesa come integale del campo elettico lungo una linea che li congiunge, è indipendente dal paticolae cammino, puché esso non foi nessuna supeficie limite. Essa è petanto espimibile come diffeenza di potenziale. 3) la elazione tensione coente ai mosetti dipende unicamente dalla costituzione fisica del componente. Vogliamo oa compendee i limiti di questa appossimazione, nell abbandonae il egime stazionaio e andando quindi a consideae condizioni di funzionamento dinamiche pe il sistema. In questo caso la densità di coente non è più solenoidale. Con ifeimento alla legge di continuità, si ha infatti dqint J ˆn d = (1.1) dove Q int è la caica contenuta all inteno della supeficie chiusa Analogamente, il campo elettico non è più consevativo: I cicuiti elettici ed il teoema di Poynting 1

2 . Il teoema di Poynting B E dl = nˆ d (1.) γ γ Pe affontae questo poblema in modo sistematico cominciamo a compendee come può essee impostato in ambito cicuitale e campistico il fondamentale poblema dello scambio enegetico ta le diffeenti pati del sistema elettico. Cominciamo peciò col ichiamae alcune consideazioni enegetiche nell ambito della teoia dei cicuiti. E ben noto che, in questo contesto, i componenti scambiano enegia solo attaveso i mosetti. In paticolae, la potenza assobita da un bipolo è data dal podotto vi, essendo v ed i la tensione e la coente ai mosetti del bipolo, definite con ifeimento alla convenzione dell utilizzatoe. Pe fissae le idee, si considei il cicuito di fig..1. Il modello del cicuito è descitto dalle equazioni di Kichhoff v=v L, v=v C, v=v G (.1) i= i L+ i C + i G (.) e dalle elazioni caatteistiche dil dvc v L = L, ic = C, ig = GvG (.3) Fig..1 Il cicuito GLC Con l obiettivo di ottenee una elazione che coinvolga il podotto vi, moltiplichiamo la elazione (.) pe v, e sostituiamo in essa le elazioni caatteistiche, ottenendo: dil dv vi = LiL + Cv + Gv (.4) 1 utilizzando la elazione udu = d( u ), possiamo iscivee la (.4) nella foma: dw vi = + Gv (.5) 1 1 dove W = LiL + Cv. Essendo stata ottenuta dalle sole leggi dei cicuiti, l eq. (.5) non contiene più infomazioni del modello iniziale. Essa ci consente peò di intepetae in modo efficace la dinamica del cicuito nei suoi aspetti fondamentali, consideando, in paticolae, solo alcuni casi estemi: dw e i teminali sono apeti (i=) e il esistoe è assente (G=), =, e quindi W è costante nel tempo. e G=, ma con coente i assobita ai mosetti, si ha: I cicuiti elettici ed il teoema di Poynting

3 e quindi: dw vi = t vi = W ( t) W () e W()= e la potenza assobita è positiva, ad un tempo finale t si ha a disposizione una enegia totale W(t), indipendentemente da come sono vaiate nell intevallo di tempo v ed i. Pe imuovee tale enegia dal sistema è sufficiente invetie il segno di vi fino a che l integazione ha idotto W a zeo. Poiché il pocesso è evesibile, diciamo che l enegia W è immagazzinata nell induttoe e nel condensatoe. e i teminali sono di nuovo apeti (i=), ma il esistoe è pesente, si ha che l enegia immagazzinata deve decescee nel tempo: dw = Gv Poiché il pocesso è ievesibile, diciamo che in questo caso l enegia è dissipata nel esistoe. L equazione (.5) appesenta un esempio di teoema di consevazione dell enegia. In paticolae notiamo, in accodo con questo teoema, che l enegia elettica in geneale non è consevata. In paticolae, l enegia fonita al sistema in pate è immagazzinata nel condensatoe e nell induttoe ed in pate è dissipata nel esistoe, dove, come già sappiamo, non è consevata in foma elettica, ma dissipata in caloe. Notiamo altesì che, il bilancio è limitato, nell eq. (.5) alla sola pate elettica, non essendoci nessun ifeimento dietto alla dissipazione oa ichiamata. Pe affontae meglio il discoso è necessaio come vedemo ta poco, aggiungee ulteioi consideazioni diettamente collegate al modello temodinamico. Vediamo oa di impostae un bilancio simile, utilizzando le leggi del campo. La potenza pe unità di volume eogata alle caiche in moto, segue diettamente dalla espessione della foza di Loentz (almeno nello spazio libeo): f = q ( E + v B) Il lavoo pe unità di tempo su una caica in moto è quindi f v = q E v e la densità delle caiche pe unità di volume è N ed è pesente una sola tipologia di potatoi, il lavoo pe unità di tempo nel volume elementae d è il seguente: Ndf v = Nqv Ed = J Ed Consideiamo oa la elazione costitutiva in un mezzo conduttoe: J = σ ( E + Ei ), dove σ è la conducibilità del mezzo ed Ei l eventuale campo elettomotoe pesente. Moltiplicando scalamente entambi i membi di questa elazione pe J ed integando nel volume, si ha: J d = J Ed + J E i d σ si sostituisca oa nel pimo addendo a secondo membo J con l espessione deivata dalla seconda legge di Maxwell: J = H i ha: I cicuiti elettici ed il teoema di Poynting 3

4 J d = σ H Ed Ed + J E i d (.6) i considei l identità vettoiale: E H H E = ( E H) e l espessione del otoe di E che scatuisce dalla pima equazione di Maxwell B E = ostituendo nella (.6), si ottiene: J B ( E H) d = d + Hd + Ed σ I cicuiti elettici ed il teoema di Poynting 4 J E d Pe i mezzi lineai si ha che B B B H = E E E = ε Applicando poi il teoema della divegenza all integale a pimo membo, si ottiene J d B B E E J Eid = d + + ε d + E H nˆ d, (.7) σ dove è la supeficie chiusa che delimita. E questa l espessione del teoema di Poynting, secondo cui il lavoo compiuto pe unità di tempo sulle caiche elettiche dal campo elettomotoe pesente in una geneica egione (integale a pimo membo) è uguale alla somma di te temini: 1) la potenza dissipata pe effetto Joule nel conduttoe contenuto in ; ) la vaiazione nel tempo di un temine che coisponde alla somma delle enegie associate al campo elettico e magnetico; 3) il flusso uscente dalla supeficie del campo vettoiale: P = E H detto vettoe di Poynting. Il significato di tale bilancio può essee meglio chiaito con ifeimento al pimo pincipio della J temodinamica. A tale scopo, tenendo conto che E i = E, sciviamo la (.7) nella foma σ equivalente: d B B E E E H nˆ d + J Ed + + ε d = (.8) Il temine J Ed può essee intepetato come lavoo compiuto, pe unità di tempo, dal campo elettico sulle caiche contenute in. Moltiplicando tutti i temini pe, la (.8) può essee scitta nella foma seguente: Φ + δ L + dw = (.9) dove em Φ è il flusso di P uscente da, δl 1 è il lavoo effettuato dal campo elettico nell intevallo elementae sulle caiche contenute in, e dwem la concomitante vaiazione dell enegia associata ai campi elettici e magnetici pesenti in. Dal pimo pincipio della temodinamica, applicato alla mateia contenuta in, si ottiene: 1 Il simbolo δl indica che δl è una quantità molto piccola, ma non è un diffeenziale esatto nel senso matematico. L infatti non è funzione dello stato del sistema, come lo è invece W em. i

5 δ L + δlg = δq + dw (.1) dove δ Lg è il lavoo compiuto nell intevallo sui potatoi di caica dal campo elettomotoe, e δ Q e dw sono ispettivamente la quantità di caloe uscente da nell intevallo e la vaiazione di enegia intena associata alle paticelle contenute in. Ricavando δ L dalla (.1) e sostituendolo nella (.9), si ottiene: δ L = δq + dw + Φ (.11) g tot dove dwtot = dwem + dw è la vaiazione dell enegia intena totale, somma dell enegia intena della mateia e dell enegia intena del campo nel volume. Tale elazione mosta che il flusso del vettoe di Poynting coisponde ad un veo e popio temine di enegia che nell unità di tempo fuoiesce (in senso algebico) dalla egione attaveso la supeficie. Infatti, dalla (.11) si vede che il lavoo compiuto nel tempo dal campo elettomotoe agente sui potatoi di caica pesenti in è pai alla somma di una quantità di caloe uscente da nell intevallo, una vaiazione dell enegia intena totale in ed un temine popozionale, come detto, al flusso del vettoe di Poynting uscente dalla supeficie chiusa che delimita. 3. Il vettoe di Poynting e la potenza assobita da un n-polo upponiamo, pe fissae le idee di ifeici ad un geneico doppio-bipolo, identificato dalla supeficie chiusa, accessibile solo attaveso le coppie di mosetti (vedi fig. 3.1). Fig Il geneico doppio bipolo upponiamo che: 1. su sia tascuabile il contibuto ad E dell induzione magnetica ( E ). Alloa E = V e quindi: E H nˆ d = V H nˆ d = ( VH V H) nˆ d = V H nˆ d (3.1) poiché pe il teoema di Gauss, tenendo conto che A =, isulta VH nˆ d = ( VH) d = Utilizzando la legge di Ampèe pe espimee il otoe di H, la (3.1) può essee iscitta nel modo seguente: E H nˆ d = V J + nˆ d (3.). su sia tascuabile il contibuto della coente di spostamento. In questo caso la potenza entante nel sistema si iduce a: E H nˆ d = VJ nˆ d (3.3) L integale a secondo membo è limitalo alle sole egioni dove sono pesenti i mosetti. Essendo i mosetti conduttoi pefetti, essi possono essee consideati equipotenziali (icodiamo comunque I cicuiti elettici ed il teoema di Poynting 5

6 che siamo in una egione in cui il campo elettico è iotazionale). Tenendo conto che la nomale nˆ è uscente si ottiene infine: ' ' ' ' ' ' E H nˆ d = v ( i ) + v ( i ) + v ( i ) + v ( i ) = ( v v ) i + ( v v i [ ] ) ' ' i noti che le posizioni i 1 = i 1 e i = i, legate all alimentazione, sono ammissibili peché compatibili con la solenoidalità di J, assunta pe ipotesi nella egione occupata dagli elettodi ( = H = J ). 4. Esempio Consideiamo la semplice stuttua illustata in fig. 4.1 e costituita da due dischi conduttoi di aggio b, distanti d l uno dall alto, immesi nel vuoto. Un insieme di geneatoi collegato ai due dischi è unifomemente distibuito lungo la loo peifeia, in modo tale da assicuae al sistema condizioni di simmetia cilindica. Poiché i dischi sono conduttoi pefetti il campo elettico è pependicolae alla loo supeficie. Fig. 4.1 Due dischi pefettamente conduttoi alimentati da sogenti distibuite unifomemente lungo la peifeia upponiamo di essee nelle ipotesi (da veificae successivamente) di pote tascuae il contibuto ad E dell induzione magnetica. In questo caso (quasi stazionaio elettico), le equazioni di Maxwell si iducono come segue: E = (4.1) H = J + (4.) B= (4.3) D=ρ (4.4) Le equazioni in questo caso si disaccoppiano. E possibile quindi calcolae pima il campo elettico e poi il campo magnetico. Dalla (4.1) discende immediatamente che E = V. Nel sistema piano che stiamo consideando, isulta alloa immediatamente che il campo è costante ta le amatue (non essendoci caiche) e popozionale alla diffeenza di potenziale E : E = E ˆi z = E ˆ i z (4.5) d La caica infatti è localizzata sui piatti dove è distibuita con densità supeficiale unifome data dalla legge di Coulomb (( D D ) nˆ 1 = σ ), tenendo conto che il campo è nullo all esteno e costante ta i piatti: ε E; z = d σ = (4.6) ε E; z = Utilizziamo oa la legge di continuità in foma integale pe legae la caica supeficiale alla coente eogata dai geneatoi. Integiamo petanto l equazione di continuità (1.1) su una supeficie che abbacci completamente uno dei piatti. Poiché il sistema gode di simmetia di otazione la coente supeficiale che si distibuisce su ciascun piatto è dietta adialmente ed I cicuiti elettici ed il teoema di Poynting 6

7 indipendente dalla coodinata angolae ϑ. Il temine integando J nˆ d è petanto dato da J bdϑ = K bdϑ, avendo assunto pai a K la componente adiale della coente supeficiale definita facendo tendee a zeo lo spessoe dei piatti. Poiché la caica è distibuita unifomemente su una supeficie di aea π b, la caica totale sul piatto è Q = σπb. La equazione di continuità si scive alloa d K b πb = ( ε Eπb ) (4.7) = i noti che il temine a sinista dell equazione (4.7) è la coente i uscente dal piatto situato a z=. Ricodiamo che la capacità C del sistema è data dalla espessione seguente: πb C = ε (4.8) d L equazione (4.7) può alloa essee iscitta come: de i = C (4.9) Essa appesenta la equazione caatteistica del condensatoe, avendo adottato, come è immediato veificae, la convenzione del geneatoe. Cechiamo di stimae oa l eoe commesso nel tascuae il contibuto ad E dell induzione magnetica. Nell appossimazione che stiamo consideando, il campo magnetico può essee calcolato utilizzando la legge di Ampèe (4.) in foma integale ed il campo elettico dato dalla (4.5). i calcoli la cicuitazione di H lungo una ciconfeenza γ di aggio e cento sull asse di simmetia del sistema. Poiché la coente di spostamento è paallela al campo elettico ed è quindi dietta lungo z si assuma come supeficie olata da γ un cechio di giacitua paallela ai dischi di nomale z. Alloa, de Hϑ π = ε π (4.1) e quindi de H ε ϑ = (4.11) A sua volta, il campo magnetico H induce un ulteioe campo elettico E, legato ad H dalla legge dell induzione (equazione (1.)). In consideazione della simmetia del sistema scegliamo un linea chiusa che abbia due lati veticali otogonali ai piatti alle ascisse adiali b ed congiunti da due tatti adiali che si sviluppano tangenti ai due dischi (vedi fig. 4.), dove la componente di campo elativa è nulla pe l ipotesi di elevata conducibilità dei dischi stessi. Assumiamo ancoa che il campo elettico indotto dall induzione B sia indipendente da z. Utilizzando l espessione del campo H appena ottenuta, si ha: b B ε d d E ε d d E E dl = [ E ( ) ( )] ˆ z b Ez d = nd = ' d' = ( b ) 4 γ γ Fig. 4.. ezione del sistema con evidenziata la cuva pe il calcolo della cicuitazione di E I cicuiti elettici ed il teoema di Poynting 7

8 Il campo E z (b) al bodo è fissato dai geneatoi e vale petanto E. Risulta quindi che il capo elettico alla geneica ascissa è dato dalla seguente espessione: E z ( ) = E ε 4 + ( b ) d E (4.1) Pe stimae questa vaiazione del campo elettico lungo, assumiamo che il campo elettico vaii sinusoidalmente nel tempo: E ( t) = Acosωt (4.13) Il tempo caatteistico associato a tale dinamica è ovviamente il peiodo popozionale ad ω 1. ostituendo nella (4.11), il campo eoe Eeoe = E Ez ( ), appotato al campo imposto alla peifeia dei dischi è E 1 eoe = ω ( ε b ) (4.14) E 4 Il campo eoe è tascuabile ispetto al campo elettostatico se 1 ω ε b 4 << 1 (4.15) pe tutti i valoi di <b. Tenendo conto dell espessione della espessione della velocità della luce c = 1 e della ε conseguente espessione della lunghezza d onda λ pecosa da un onda elettomagnetica in un π π peiodo ( λ = c ), deve essee necessaiamente ω ω b << ( λ / π ) (4.16) La caatteistica del condensatoe piano in esame, espessa dalla eq. (4.9) è quindi valida, ad esempio alla fequenza di 1 MHz, a patto che il aggio dei piatti sia molto minoe della lunghezza d onda che a questa fequenza è di 3 m. Riesaminiamo oa lo stesso caso alla luce del teoema di Poynting. Tascuando sempe il contibuto ad E dell induzione magnetica, i campi E ed H da utilizzae nell espessione del vettoe di Poynting sono ispettivamente dati dalle (4.5) e (4.11). Consideiamo alloa la eq. (.7), valutata sul volume pesente ta i due dischi. Il vettoe di Poynting è in questo caso dato dalla seguente espessione: ε dv P = E H = v ˆi (4.17) d L unico contibuto al flusso è quello attaveso la supeficie lateale =b, peché il vettoe di Poynting è otogonale alla nomale alla supeficie supeioe e infeioe. Poiché P è costante pe =b, e su tale supeficie nˆ = ˆ i, l integazione si iduce ad una moltiplicazione pe l aea della supeficie lateale: b ε dv d 1 E H nˆ d = (πbd) v = Cv, d dove la capacità C è data dalla (4.8). i noti che il secondo temine è popio la vaiazione dell enegia immagazzinata nel condensatoe. Essa coincide con l enegia immagazzinata nel campo elettico, come è facile veificae, utilizzando l espessione (4.5) pe il campo elettico stesso: I cicuiti elettici ed il teoema di Poynting 8

9 d 1 d 1 v d 1 ε E Ed = ε ( dπb ) = Cv (4.18) d Dal punto di vista dei campi l enegia fluisce attaveso la supeficie lateale ed è immagazzinata sottofoma di enegia elettostatica nel volume ta i piatti. Nell appossimazione quasi-stazionaia utilizzata pe calcolae il campo elettico, l enegia magnetica è stata tascuata, peché è una quantità piccola ispetto all enegia elettostatica. Vefichiamo quest ultima affemazione, calcolando l enegia magnetica associata al campo dato dalla (4.11). Otteniamo: 1 b 1 1 ε dv ε b dv H Hd = = d πd C (4.19) d 16 Paagonando questa espessione con quella nella eq. (4.18), otteniamo che l appossimazione intodotta è valida se: ε b dv 1 C << Cv 16 Nel caso di eccitazione sinusoidale la disuguaglianza pecedente diventa ε b ω << 1 (4.) 8 in accodo con la stima pecedentemente data dalla (4.15). In conclusione quindi possiamo affemae che il vincolo che il tempo di popagazione b/c di un onda elettomagnetica sia piccolo ispetto al peiodo π / ω dell eccitazione è equivalente al vincolo che l enegia immagazzinata sotto foma magnetica sia tascuabile ispetto a quella immagazzinata nel campo elettico. I cicuiti elettici ed il teoema di Poynting 9