Elementi di Geotecnica - Spinta delle terre - Muri di sostegno. Giacomo Sacco

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1 Elemeni di Geoecnica - Spina delle erre - Muri di sosegno Giacomo Sacco Oobre 06

2 Indice Elemeni di geoecnica e spina delle erre. - Naura e classificazione delle rocce sciole pag Fondazioni superficiali pag Resisenza a roura del erreno... - Verifica delle fondazioni..3 - Crieri generali di progeo per le fondazioni superficiali.3 Indagini sui erreni pag..4 - Spina delle erre pag Teoria di Coulomb.4. - Meodo grafico di Poncele.4.3 Spina del erreno con sovraccarico Esercizi svoli modulo pag. 3. Muri di sosegno. - Generalià sui muri di sosegno pag. 5. Azioni saiche sul muro pag. 8.3 Azioni provocae dal sisma pag Verifiche.4. - Verifiche del complesso muro + fondazione.4. - Verifica a scorrimeno rispeo al erreno di fondazione Verifica a ribalameno del complesso muro + fondazione Verifica a schiacciameno del erreno di fondazione Verifica del solo muro Verifica a scorrimeno del solo muro Verifica a ribalameno del solo muro Esercizi modulo pag. 54

3 . - Naura e classificazione delle rocce sciole ura e classificazione delle rocce sciole Un modo molo semplice per classificare le rocce è quello di dividerle in due grandi gruppi: rocce lapidee e rocce sciole. La differenza ra i due ipi di roccia è daa dall inensià del legame esisene ra i vari componeni cosiueni una roccia. Possiamo definire rocce lapidee quelle che dopo una serie successiva di immersioni in acqua ed essiccameni, si manengono inalerae, menre le rocce sciole si disgregano in paricelle o frammeni. Nel seguio ci occuperemo dello sudio solo delle rocce sciole. Le rocce sciole sono compose da un insieme di più paricelle di varie dimensioni. La deerminazione del diamero delle diverse paricelle che compongono una roccia sciola, prende il nome di analisi granulomerica. Una suddivisione delle rocce sciole basaa sull analisi granulomerica è quella riporaa nella abella soosane, basaa sul diamero medio d delle paricelle che le compongono. Argilla d <0.00 mm Limo 0.00 < d < 0.0 mm Sabbia 0.0 < d < mm Ghiaia < d < 00 mm Blocchi d < 00 mm Tra le paricelle, che cosiuiscono una roccia sciola, è presene sempre l ario. In alcuni casi, olre all ario può esserci un alro legame ra le paricelle, comunque non sufficienemene fore da far considerare ali rocce come lapidee, ale legame è la coesione. In base alla presenza o meno della coesione, le rocce sciole vengono divise in erreni coereni, con coesione diversa da zero e erreni incoereni con coesione pari a zero. Un esempio di erreno incoerene è rappresenao dalla sabbia, menre un esempio di erreno coerene è rappresenao dall' argilla. Come è noo la forza di ario dipende dalla forza normale N applicaa sulla superficie di scorrimeno e dalla scabrezza delle superfici a conao, scabrezza che viene riassuna da una cosane chiamaa coefficiene di ario f a. La forza normale è cosiuia dal peso del erreno sovrasane la superficie che si sa prendendo in considerazione. La relazione che lega la resisenza dovua all ario, indicaa con T, alla forza normale N e al coefficiene di ario è la seguene: Se T N f a dividiamo primo e secondo ermine per l area A avremo: T A N A f a Ossia: τ σ f a Per capire in modo semplice l ario di un erreno, si può ricorrere ad un semplice esperimeno: prendere un secchio di sabbia e versarla a erra, oerremo un monicello di erreno, il cui angolo di inclinazione viene deo angolo di naural declivio o angolo di ario inerno del 3

4 erreno. Il coefficiene di ario f a, è proprio uguale alla angene di queso angolo che si indica, usualmene, con la leera ϕ. Quindi la relazione scria in precedenza divena: τ σ anϕ La coesione è la forza di adesione dei granelli di erra uno con l alro, essa non dipende dallo sforzo normale, ma solo dalla presenza di acqua e anche dalla granulomeria del erreno. L ario nasce sempre quando ci sono due superfici in conao, purchè si sia in presenza anche di una forza normale alla superficie. Nel caso dei erreni scioli ale azione è sempre presene, e dipende dalle caraerisiche fisiche del erreno: granulomeria, (ossia dimensione dei granelli che compongono il erreno), porosià del erreno ( rapporo ra volume dei vuoi e volume oale). La forza normale è cosiuia dal peso del erreno sovrasane la superficie che si sa prendendo in considerazione. La coesione, invece è una caraerisica che possono avere i erreni scioli, e dipende dalla naura chimica del erreno sesso, essa perano non è sempre presene. Esempio di erreno doao di coesione è l argilla, esempio di erreno privo di coesione, deo perciò incoerene, è la sabbia. I erreni scioli non possono essere sisemai in modo da avere una superficie perfeamene vericale, perché essi franano e vanno a disporsi secondo una superficie inclinaa dell angolo di ario, nel caso di erreni incoereni, e secondo un angolo maggiore, dipendene dal grado di coesione, nel caso di erreni coereni. Nel caso di erreni coereni, la resisenza a aglio del erreno, indicando con c la resisenza per unià di area dovua alla coesione, divena: τ σ anϕ + c Che rappresena l equazione di una rea non passane per l origine degli assi. 4

5 . - Fondazioni superficiali.. Resisenza a roura del erreno La resisenza di un erreno dipende, olre che dalle caraerisiche del erreno sesso (angolo di ario, coesione, peso specifico) anche dalla forma della fondazione. Si definisce carico limie del complesso erreno-fondazioni il carico per unià di area che pora a roura il erreno, ossia che fa aumenare noevolmene i cedimeni, deo in modo semplice diremo che la fondazione sprofonda soo quel carico. Per una fondazione di forma reangolare allungaa (L>>B), ad esempio una fondazione di un muro coninuo o di una rave), con piano di posa a profondià D sooposa a carichi vericali e cenrai e con piano di campagna orizzonale, l espressione del carico limie, (formula di Terzaghi) è la seguene: σ lim N C + N c q γ H f B + Nγ γ In cui g e g sono i pesi dell'unià di volume (pesi specifici) rispeivamene del erreno poso al disopra ed al disoo del piano di posa; C, φ, γ, sono la coesione, l'angolo d'ario e il peso specifico del erreno al disoo del piano di posa della fondazione; Nq, N c, Ng sono coefficieni adimensionali ricavai sulla base della eoria della plasicià e funzione dell'angolo di ario del erreno al disoo del piano di posa. I valori di ali coefficieni, in funzione dell angolo di ario del erreno, sono riporai nella abella TER. Carico limie per carico eccenrico rispeo al baricenro Il calcolo della ensione limie del complesso fondazione-erreno viene eseguia anche in queso caso mediane la formula di Terzaghi, modificaa però per enere cono della eccenricià del carico (indicao con V nella figura seguene). In praica, anziché fare riferimeno ad una fondazione larga B, si fa riferimeno ad una fondazione ridoa in modo che il carico, rispeo alla fondazione ridoa, sia ancora una vola applicaa al baricenro. Nella figura, con e abbiamo indicao la disanza ra il carico e il baricenro (eccenricià), con u la disanza ra il carico e il bordo più vicino, che è anche il più compresso, con B * la base ridoa della fondazione. Risula evidene che, noa la disanza u, la larghezza B * sarà: 5

6 B * B u; se vogliamo calcolare B* in funzione di e, eniamo cono che: u B e; quindi, sosiuendo: B B e B e; Per ener cono del fao che la eccenricià può anche essere negaiva, prendiamo e in valore assoluo (ricordiamo che B * deve essere sempre minore di B): B e Carico limie per carico inclinao Per enere cono della inclinazione della forza, si inroducono dei coefficieni che engono cono della componene vericale ed orizzonale della forza sessa. Quesi coefficieni sono indicai con i c, i q, i γ. La formula di Terzaghi divena: σ lim N C i + N c c q γ H f B iq + Nγ γ i γ Si riporano i coefficieni validi solo per erreni incoereni (c0): H H i γ ; i q ; V V In definiiva, la formula di Terzaghi da usare per erreni incoereni, con carico inclinao è: 3 σ lim Nq H f i q + N γ γ B i γ Per i erreni coereni i coefficieni iγ, iq, ic vanno calcolai con alre espressioni... - Verifica delle fondazioni Come sempre, per la verifica agli sai limie, i carichi vengono aumenai, moliplicandoli per dei coefficieni, diversi a seconda del ipo di carico permanene o variabile, menre i parameri di resisenza del erreno, vengono diminuii, dividendoli per alri coefficieni. A differenza di come si fa con gli alri maeriali di cosruzione, ali coefficieni non sono sempre gli sessi, ma variano a secondo della verifica che si sa eseguendo. Ovviamene, quali coefficieni usare, vola per vola, viene indicao dalla normaiva. Indicando con Ed il valore di progeo dell azione o dell effeo dell azione, con Rd è la resisenza a roura. Per la verifica deve aversi: Ed Rd dove Ed è il valore di progeo dell azione o dell effeo dell azione, Rd è la resisenza a roura. 6

7 Per i carichi, quando il suo effeo è favorevole alla sabilià della sruura, anziché amplificarlo, lo si prende col suo valore effeivo, oppure si riduce o non lo si considera affao, come nel caso dei carichi variabili. Quando il loro effeo è sfavorevole, li si amplifica sempre, in misura diversa se sono permaneni o variabili. Il uo secondo la seguene abella, dove sono riporai, per ogni ipo di carico, re diversi valori dei coefficieni: quelli riporai nella colonna EQU, A, A, ovviamene se ne usa uno solo, in combinazione con i valori riporai nelle colonne M ed M per le resisenze. Le combinazioni da uilizzare saranno espliciae nel seguio. CARICHI Permaneni Permaneni non sruurali Varabili EFFETTO Coefficiene parziale EQU (A) STR γ G 0,9 (A) GEO Favorevole Sfavorevole,,3 Favorevole γ Sfavorevole G,5,5,3 Favorevole γ Sfavorevole G,5,5,3 () Nel caso in cui i carichi permaneni non sruurali (ad es. i carichi permaneni porai) siano compiuamene definii, si poranno adoare gli sessi coefficieni validi per le azioni permaneni. Per i parameri di resisenza abbiamo la seguene abella: PARAMETRO GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE PARZIALE COEFFICIENTE PARZIALE (M) (M) γ M Tangene dell angolo di resisenza al aglio Tan φ γ φ,5 Coesione efficace c γ c,5 Resisenza non drenaa c uk γ cu,40 Peso dell unià di volume γ γ γ Per i coefficieni parziali si ha la seguene abella: VERIFICA COEFFICIENTE PARZIALE (R) COEFFICIENTE PARZIALE (R) COEFFICIENTE PARZIALE (R3) Capacià porane della fondazione γ R,0 γ R,8 γ R,3 Scorrimeno γ R,0 γ R, γ R, Lo sao limie ulimo delle fondazioni superficiali può essere raggiuno per roura del erreno o per roura degli elemeni sruurali che compongono la fondazione sessa. Nel caso di fondazioni posizionae su o in prossimià di pendii naurali o arificiali deve essere effeuaa la verifica anche con riferimeno alle condizioni di sabilià globale del pendio includendo nelle verifiche le azioni rasmesse dalle fondazioni. Le verifiche devono essere effeuae almeno nei confroni dei segueni sai limie: SLU di ipo geoecnico (GEO) - Roura del erreno collasso per carico limie dell insieme fondazione-erreno collasso per scorrimeno sul piano di posa sabilià globale SLU di ipo sruurale (STR) - Roura degli elemeni sruurali 7

8 La verifica di sabilià globale deve essere effeuaa secondo l Approccio : Combinazione : (A+M+R) La rimaneni verifiche devono essere effeuae seguendo almeno uno dei due approcci: Approccio : Combinazione : (A+M+R) Combinazione : (A+M+R) Approccio : (A+M+R3). Nelle verifiche effeuae con l approccio che siano finalizzae al dimensionameno sruurale, il coefficiene γ R non deve essere porao in cono CRITERI GENERALI DI PROGETTO PER LE FONDAZIONI SUPERFICIALI La profondià del piano di posa della fondazione deve essere scela e giusificaa in relazione alle caraerisiche e alle presazioni della sruura in elevazione, alle caraerisiche del soosuolo e alle condizioni ambienali. Il piano di fondazione deve essere siuao soo la colre di erreno vegeale nonché soo lo srao ineressao dal gelo e da significaive variazioni sagionali del conenuo d acqua. In siuazioni nelle quali sono possibili fenomeni di erosione o di scalzameno da pare di acque di scorrimeno superficiale, le fondazioni devono essere pose a profondià ale da non risenire di quesi fenomeni o devono essere adeguaamene difese..3 - Indagini sui erreni Per deerminare le caraerisiche dei erreni è necessario eseguire delle indagini su di esso. Abbiamo due caegorie di indagini: indagini in sio ed indagini in laboraorio. Sono indagini, ovviamene di naura diversa che presenano enrambi vanaggi e svanaggi. Le indagini in sio hanno il vanaggio di esaminare il erreno nel suo sao naurale, ossia indisurbao, menre quelle di laboraorio esaminano campioni di erreno che necessariamene vengono prelevai dal erreno e quindi in qualche modo disurbai Indagini in sio Con ali indagini possiamo rilevare le caraerisiche geologiche dei erreni, ma anche di resisenza. Abbiamo indagini di ipo direo, quando l esame avviene ramie il prelievo di campioni di erreno, e indireo, quando invece usiamo arezzaure che ci permeono di raccogliere informazioni senza prelevare campioni di erreno. Sondaggi direi a roazione (caroaggi) Si eseguono con una speciale rivella che preleva da diversa profondià campioni di erreno (caroe), esaminando le quali si ricosruisce la sraigrafia del erreno. 8

9 Indagine indirea ramie sonda geoelerica Di facile esecuzione e poco cososa, quesa indagine permee specialmene di rilevare la presenza di falde acquifere. Si esegue generando una correne coninua ramie una semplice baeria e misurandone le cadue di ensione ad una cera disanza dove vengono posizionai degli elerodi collegai con cavi all unià di misurazione. Araverso ali cadue di ensione si risale alla resisivià delle rocce e quindi alla sua naura. Indagini Geosismiche Si basa sulla propagazione di onde elasiche nelle rocce e sulla riflessione di esse causaa dai vari srai di rocce. Le onde sismiche vengono generae mediane microesplosioni e rilevae mediane geofoni. Prove peneromeriche Permeono di rilevare la resisenza del erreno ai carichi vericali. Il conceo è molo semplice, in praica si raa di infiggere una puna di acciaio di forma ronco-conica nel erreno. La puna è avviaa alla esremià di un asa in acciaio sulla cui sommià viene poso un incudine che viene bauo su un maglio che può essere azionao sia manualmene che meccanicamene. Il maglio viene sempre fao cadere dalla sessa alezza, in modo da rasmeere alla puna sempre la sessa energia. Il numero dei colpi necessari per infiggere la puna di una deerminaa quanià (ad esempio 0 cm) rivela la resisenza alla puna del erreno. Elaborando opporunamene i dai oenui è possibile oenere la ensione ammissibile del erreno. E evidene che ale ensione non iene cono delle caraerisiche della fondazione. La prova va eseguia per una profondià pari a due re vole la larghezza della fondazione. La resisenza alla puna viene deerminaa mediane una relazione, noa come formula olandese o degli olandesi. Dove: Con M ed m, misurai i n Kg, H ed h in cm e A in crn, a formula è la seguene: R M H N d A h ( M + m) M è la massa del maglio; H la volaa del maglio; N il numero di colpi necessario per un affondameno pari ad h; A è l area della puna; h è l affondameno pari a 0 cm; m è la massa baua (incudine + ase + porapuna). La ensione ammissibile viene calcolaa assumendo per N la media dei colpi calcolaa per una profondià pari a 3 vole la larghezza della fondazione e dividendo per 0: R d σ amm dn / cmq. 0 9

10 .3. - Indagini in laboraorio Tali indagini si eseguono su campioni prelevai sul poso ed esaminai in laboraorio. E di fondamenale imporanza che ali campioni siano disurbai il meno possibile. Le prove in laboraorio consenono di rilevare, olre al peso specifico e ad alre caraerisiche dei erreni, l angolo di ario e la coesione. A ale risulao si può giungere mediane due ipi diversi di prove: la prova di aglio direo e la prova riassiale. Con enrambi le prove si può racciare la rea: τ σ anϕ + c Per racciare ale rea sarebbero sufficieni due prove, ma, a causa dell'incerezza sperimenale sono indispensabili re prove. Esercizio N. Calcolare il carico limie erreno-fondazione. La fondazione sia reangolare allungaa, il erreno abbia le segueni caraerisiche: peso specifico 8 KN/m 3 ; angolo di ario 3, coesione KN/m. Soluzione: Dalla abella TER rileviamo i coefficieni: Nc 3,49; Nq3,8; Ng30,; B σ lim Nq D + Nc C + Nγ ; σ,4 3,8 8,4 + 3,49 0, + 30, 8 KN m N mm lim 968,6 / 0,97 / 0

11 Esercizio N. Verificare la fondazione reangolare lunga, con sezione come in figura, sooposa ad un carico cenrao, per ogni mero, di dn. Tale carico è composo da dn derivani da carichi permaneni, e da dn derivani da carichi variabili. Il erreno ha le segueni caraerisiche: angolo di ario 30, coesione 0,0 dn/cm ; peso specifico del erreno.800 dn/m 3. Usiamo per la verifica l'approccio : A+M+R3. Calcoliamo il carico di progeo: F D F g γ g + F q γ q 0.000, , dn; Calcolo del carico limie. Si osserva che i coefficieni da uilizzare per i parameri del erreno, riporai nella colonna M, sono ui pari ad, perano i parameri geoecnici del erreno non vengono modificai. σ lim B Nc c + Nq D + Nγ σ, 30, ,40.800,4 +, dn m lim / La resisenza per ogni mero di fondazione, sarà: R σ lim A 73.57,0, dn; La resisenza si calcola applicando il coefficiene della abella R3: R D R dn; γ D.3 Poichè risula dn > dn, la fondazione non è verificaa.

12 Tab. TER - Coefficieni per il calcolo del carico limie ϕ N c N q N γ N q /N c ang ϕ 0 5,4,00 0,00 0,0 0,00 5,38,09 0,07 0,0 0,0 5,63,0 0,5 0, 0,03 3 5,90,3 0,4 0, 0,05 4 6,9,43 0,34 0,3 0,07 5 6,49,57 0,45 0,4 0,09 6 6,8,7 0,57 0,5 0, 7 7,6,88 0,7 0,8 0, 8 7,53,06 0,86 0,7 0,4 9 7,9,5,03 0,8 0,6 0 8,35,47, 0,30 0,8 8,80,7,44 0,3 0,9 9,8,97,69 0,3 0, 3 9,8 3,6,97 0,33 0,3 4 0,37 3,59,9 0,35 0,5 5 0,98 3,94,65 0,36 0,7 6, ,06 0,37 0,9 7,34 4,77 3,53 0,39 0,3 8 3,0 5,6 4,07 0,40 0,3 9 3,93 5,80 4,68 0,4 0,34 0 4,83 6,40 5,39 0,43 0,36 5,8 7,07 6,0 0,45 0,38 6,88 7,8 7,3 0,46 0,40 3 8,05 8,66 8,0 0,48 0,4 4 9,3 9,60 9,44 0,50 0,45 5 0,7 0,66 0,88 0,5 0,47 6,5,85,54 0,53 0,49 7 3,94 3,0 4,47 0,55 0,5 8 5,80 4,7 6,7 0,57 0,53 9 7,86 6,40 9,34 0,59 0, ,4 8,40,40 0,6 0,58 3 3,67 0,63 5,99 0,63 0, ,49 3,8 30, 0,65 0, ,64 6,09 35,9 0,68 0, ,6 9,44 4,06 0,70 0, , 33,30 48,03 0,7 0, ,59 37,75 56,3 0,75 0, ,63 4,9 66,9 0,77 0, ,35 48,93 78,03 0,80 0, ,87 55,96 9,5 0,8 0, ,3 64,0 09,4 0,85 0, ,86 73,90 30, 0,88 0, ,7 85,38 55,55 0,9 0, , 99,0 86,54 0,94 0, ,37 5,33 4,64 0,97 0, ,88 34,88 7,76,0, ,0 58,5 330,35,04, ,64 87, 403,67,08, ,6,3 496,0,, 49 9,93 65,5 63,6,5, ,89 39,07 76,89,0,9

13 .4 - Spina delle erre I erreni scioli non possono essere sisemai in modo da avere una superficie vericale o che si avvicini alla vericale, perché essi franano e vanno a disporsi sponaneamene secondo una superficie inclinaa di un angolo pari all angolo di ario, se si raa di erreni incoereni, e secondo un angolo maggiore, dipendene dal grado di coesione, nel caso di erreni coereni. Volendo sisemare un erreno, in modo da avere una superficie vericale, è allora necessario realizzare una opera che impedisca al erreno di franare. Tale opera in generale viene dea opera di sosegno ed è cosiuia, nei casi più frequeni, da un muro di sosegno. Il muro di sosegno impedisce al erreno di franare, esso riceve quindi dal erreno sesso una spina che ende a ribalare o comunque a far muovere il muro. Il muro sesso deve essere in grado di resisere a ale spina e perano deve essere adeguaamene dimensionao. E necessario quindi, per poer correamene dimensionare il muro, conoscere la spina che il erreno può eserciare su di esso. La spina del erreno può venire calcolaa solo in modo approssimao, visa la incerezza del maeriale, per fare ciò esisono diverse eorie, sia numeriche che grafiche, le quali danno risulai acceabili. Ci occuperemo nel seguio della spina dei erreni incoereni ed in zona non soggea a erremoi. Tale spina dipende dal peso specifico del maeriale, dall angolo di ario del erreno, dall inclinazione della superficie del erreno rispeo all orizzonale, dalla inclinazione del parameno inerno del muro rispeo alla vericale, e dall ario ra la superficie inerna del muro ed il erreno sesso. La superficie di scorrimeno, secondo cui frana il erreno, è di forma concava, come può vedersi osservando la superficie del erreno dopo che si è verificaa una frana. Tale superficie, uavia, viene consideraa piana per semplificare il problema. Diverse sono le eorie che permeono di deerminare la spina del erreno, una di quese è dovua a Coulomb e si basa sull equilibrio delle forze che agiscono sul erreno. Di seguio viene riporaa la dimosrazione di come si oiene la spina di un errapieno nel caso più semplice, ossia nel caso di superficie del erreno orizzonale, paree inerna del muro (quella a conao col erreno) vericale e rascurando l ario ra erreno e muro di sosegno. 3

14 . 4. La eoria di Coulomb La eoria di coulomb si basa sull equilibrio limie di ue le forze che agiscono sul erreno. In figura, la pare coloraa ABC rappresena il erreno che ende a franare, essa viene chiamaa cuneo di spina perché ha forma riangolare e profondià di,00 meri. In rosso è rappresenao il piano di scorrimeno del erreno, ale piano è inclinao di un angolo rispeo all orizzonale, angolo che non si conosce, f è l angolo di ario inerno del erreno, S è l azione che il muro esercia sul cuneo di spina che è uguale e conraria all azione che il erreno esercia sul muro, P è il peso del erreno, N è la reazione normale del erreno soosane, T è la reazione angenziale del erreno soosane ed è dovua all ario, R è la risulane ra N e T ed è inclinaa di f rispeo alla normale n alla superficie di scorrimeno, infai la forza di ario T deve essere: T N an(ϕ). Per deerminare la spina S imponiamo l equilibrio ra ue le forze. Per avere l equilibrio è necessario che la somma dei momeni di ue le forze, rispeo ad un puno generico si pari a zero e che la somma delle forze si anche uguale a zero. La prima condizione pora a concludere che le re forze convergono in un puno, infai in al caso la somma dei momeni rispeo a quel puno è zero essendo nulle le disanze delle forze sesse dal puno. La seconda condizione, somma delle forze pari a zero è soddisfaa se il poligono delle forze è chiuso, come mosrao in figura. Si ha allora, che: S S P an P an( ε ) Per deerminare ε osserviamo che l angolo β, angolo formao dalla orizzonale e la normale alla superficie di scorrimeno è pari a: β90 -α; e che si ha: β +ϕ+ε e quindi: ε 90 ϕ - β ( ) α ϕ () ε 90 ϕ (90 α) α-ϕ; perano si ha : () 4

15 Per calcolare il peso P, calcoliamo prima il lao BC h. ang(90 α); BC h P ; P h an 90 ( 90 α ) h γ h an( α ) dove con γ abbiamo indicao il peso specifico del erreno. Sosiuendo nella () si ha: ( 90 α ) ( α ϕ ) S γ h an g an g (3) Il valore della spina varia al variare dell angolo a che come deo è incognio, a noi ineressa il valore massimo di ale spina. Si può dimosrare che ale massimo si ha quando l angolo a è ale che la superficie di scorrimeno sia biserice dell angolo 90 f, ossia si abbia: 90 ϕ 90 + ϕ α ϕ + ; sosiuendo nella (3) si ha: ϕ + ϕ S γ h an g 90 an g ϕ ; ϕ ϕ S γ h an g an g ; 90 ϕ S γ an h g ; 90 ϕ Se indichiamo con: K an S γ a g si ha: h K a K a viene deo coefficiene di spina aiva del erreno. Una formula generale, che permee di enere cono anche dell angolo di ario erra-muro δ, dell angolo formao ra la superficie del erreno e l orizzonale ω, dell angolo formao ra la paree inerna del muro e la vericale β è la seguene: K a Cos β Cos ( β + δ ) Cos ( ϕ β ) Sen( ϕ + δ ) Sen( ϕ ω) Cos( δ + β ) Cos( β ω) + I coefficieni di spina aiva K a, calcolai secondo ale formula nel caso di erreno orizzonale e paree inerna del muro, quella a conao col erreno, vericale, sono riporai nella seguene abella. Si è considerao nel calcolo l ario ra erreno e paree inerna del muro. ϕ Ka ϕ Ka ϕ Ka ϕ Ka ϕ Ka

16 .4. - Meodo grafico di Poncele Tale meodo permee di calcolare la spina enendo cono della inclinazione del erreno sulla orizzonale ω, della inclinazione del parameno inerno del muro β, rispeo alla vericale, dell angolo di ario erra-muro δ. La spina S sarà inclinaa rispeo alla normale al muro, dell angolo δ, (quindi di un angolo β+δ rispeo alla orizzonale) e sarà applicaa ad un erzo dell alezza. Per uilizzare ale meodo è necessario eseguire in scala il disegno riporao in figura. Dopo avere disegnao il parameno inerno del muro e la superficie del erreno si eseguono le segueni operazioni: si raccia, a parire da puno A, una rea inclinaa dell angolo di ario ϕ, fino ad inersecare la superficie del erreno nel puno C; si raccia una rea, con angolo ϕ + δ rispeo al parameno inerno del muro, a parire da puno B, fino ad inconrare la rea A C nel puno F, ale rea prende il nome di rea di direzione; 3 si raccia il semicerchio A-C; 4 si raccia, a parire dal puno F, la perpendicolare alla rea A-C, fino ad inconrare il semicerchio nel puno G; 5 facendo cenro in A e con aperura di compasso A-G, si raccia un arco di cerchio, fino ad inconrare, nel puno E, la rea A-C; 6 si raccia il segmeno E-D, parallelo alla rea di direzione; 7 si raccia il segmeno D-H, a parire dal puno D, perpendicolare alla rea A-C; J n Il valore della spina S sarà : S ; J ed n dovranno essere lei nella scala delle lunghezze del disegno. 6

17 Diagramma delle pressioni Su ogni puno della paree che viene messa per sosenere il erreno ed impedirgli di franare il erreno esercierà una pressione, la somma di ue quese pressioni è proprio la spina che abbiamo calcolao in precedenza. Tale pressione è zero alla sommià del muro e massima alla base dello sesso, ossia ha un andameno riangolare, come mosrao in figura. La spina, essendo la somma di ue quese pressioni, è anche l'area del riangolo delle pressioni e poichè la risulane di ali pressioni deve essere applicaa nel baricenro del riangolo, la essa è appuno applicaa ad un erzo dell'alezza h, dove si rova il baricenro del riangolo. Se vogliamo calcolare la pressione massima calcoliamo prima l'area del riangolo, area che è uguale alla spina S: quindi calcoliamo la pressione massima: P max h S Quesa formula ci sarà uile inseguio. P max S h Spina del erreno con sovraccarico Se sul erreno che sovrasa il muro insise un carico ripario, esso produce un incremeno della spina sul muro. Per deerminare la spina, in quesa siuazione, si rasforma il carico in alezza di erreno avene le sesse caraerisiche del erreno che insise sul muro. Allora, dea h l alezza di erra equivalene al carico disribuio, si ha: ' h Q ; e quindi: Q h ' γ 7

18 Quindi abbiamo una siuazione fiizia mosraa in figura, col diagramma delle pressioni sul muro che ha una forma rapezoidale: La spina è pari all'area del rapezio: S P max + P min h Occorre calcolare le pressioni massima e minima. Noi sappiamo calcolare la spina che agirebbe su un muro di alezza h+h', indichiamola con S': S' ( h + h') K a Siccome, per quano deo nel paragrafo precedene, essa è l'area del riangolo, possiamo uilizzarla per calcolare Pmax: P max S h + h γ (h + h ) K a h + h semplificando, si ha: P max γ (h + h ) K a Per calcolare Pmin si può fare una proporzione ra riangoli che omeiamo. Il risulao sarà: P min γ h K a. Avendo quesi due valori possiamo calcolare la spina sul muro: S [γ (h + h ) K a + γ h K a ] h ; meendo in evidenza Ka e γ, si ha: S γ (h + h + h ) h K a moliplicando e dividendo per h, si ha la formula finale: S γ ' h h + K a h Il puno di applicazione della spina si rova nel baricenro del rapezio. La disanza del baricenro dalla base si calcola con: ' h h + 3h y ' 3 h + h 8

19 Esempio N. Calcolare la spina che un erreno, con peso specifico 8 KN/m 3, angolo di ario di 8 ; coesione 0, esercia su un muro di alezza pari a m. 3,00. Svolgimeno: S γ h K a 8 3 0,3 6 KN; Esercizi modulo Esercizio N. Daa la fondazione in figura, calcolare la ensione ammissibile. γ 9 KN; γ 0 KN; a, m; b,0 m. Esercizio N. Ricercare la spina massima che si ha al variare dell angolo α secondo la formula : ( 90 α ) ( α ϕ ) S γ h an g an g facendo variare l angolo α da ϕ a 90 di 5. Verificare che la massima spina si ha per Dai: ϕ 6 ; h 3,0 m ; γ 8 KN ϕ α Esercizio N. 3 Calcolare la spina di un errapieno di alezza m 3,40, ϕ34, γ 9 KN, superficie del erreno inclinaa di 0 rispeo all orizzonale. Esercizio N. 4 Calcolare la spina del errapieno dell esercizio 3 col meodo grafico di Poncele. Esercizio N. 5 Calcolare la spina del errapieno con sovraccarico di 0 KN/m ed il suo puno di applicazione. 9

20 - Generalià sui muri di sosegno I muri di sosegno sono opere che si uilizzano per impedire il verificarsi di frane di erreni. Sono molo usai nelle cosruzioni sradali per limiare la lunghezza delle scarpae sia in serro che in riporo. Possiamo dividerli in muri di sosegno a gravià e in muri di sosegno in cemeno armao. I primi devono la loro resisenza principalmene grazie al loro peso, e possono essere realizzai sia in calcesruzzo semplice che in muraura, generalmene di pierame, i secondi devono la propria resisenza, principalmene alla loro forma, essendo più leggeri di quelli a gravià. La forma dei muri di sosegno in calcesruzzo semplice può essere reangolare, per muri di modesa alezza, rapezoidale con enrambe le facce inclinae o solo una inclinaa e l alra vericale, o a parallelogramma, inclinao verso il erreno. Ecco alcune delle più comuni sezioni dei muri in cls: I muri in calcesruzzo armao, hanno in genere forma a T rovesciaa. Gli spessori di ali muri sono modesi se paragonai a quelli in cls, la fondazione è solidale con il muro grazie all effeo di collegameno delle armaure, menre nei muri in cls, la fondazione ed il muro vanno consederae separai. Muro in c.a. con suola di mone e di valle di lunghezza paragonabili. Muro con dene di fondazione. Si usa ale soluzione nel caso in cui non si riesca a soddisfare la verifica a scorrimeno. Muro con suola a mone molo larga e suola a valle quasi assene. Può essere adoaa nel caso in cui non è possibile invadere con l opera il erreno a valle. In alri casi può essere necessaria la siuazione opposa, ossia suola a valle esesa e suola a mone quasi assene. In queso ipo di muro il conribuo più imporane per la sabilià viene fornia dal erreno che insise sulla suola di mone. Muri a conraffori Si usano per alezze imporani. I conraffori possono essere enro erra, come l esempio in figura, o fuori erra, ossia all eserno. 0

21 . - Azioni saiche sul muro Consideriamo il muro di sosegno in calcesruzzo semplice in figura. Le azioni saiche che agiscono su di esso, in assenza di erremoo sono quelle mosrae, e sono: Peso proprio del muro, diviso, per comodià, nelle componeni P, P, P f Spina del erreno S, scomposa nelle sue componeni orizzonali e vericali, rispeivamene So ed S v. Peso del erreno sulla fondazione P Calcolo delle azioni saiche Le azioni saiche si calcolano, per l esempio in figura, nel modo seguene: Pesi del muro Indicando con γ c è il peso specifico del calcesruzzo semplice (in genere pari a 400 dan/m 3 ) si ha: P B H m γ c ; P B H m γ c ; P f B f H f γ c ; Peso del erreno insisene sul dene di fondazione: P D H m γ dove γ è il peso specifico del erreno; S γ H K a; Spina saica del erreno: Dove: H Hm + Hf nel caso di verifica del complesso muro + fondazione H Hm nel caso di verifica del solo muro. Ka è il coefficiene di spina aiva in condizioni saiche, cioè calcolao in assenza di erremoo: Cos ( ϕ β ) Le componeni orizzonali e vericali della K a spina, saranno: Sen ( ) ( ϕ + δ ) Sen( ϕ ω) Cos ( β ) Cos β + δ + Cos( δ + β ) Cos( β ω) So S*Cos(δ) ; Sv S*Sen(δ) Dove δ è l angolo di ario erra muro che può assumersi pari a ϕ. 3 Nel caso di erreno orizzonale (ω0), parameno inerno del muro vericale (β0), e rascurando l ario ra erreno e muro di sosegno (δ0), per Ka ò si uilizzare pu la formula seguene, che rascura l'ario ra erreno e muro di sosegno: K a 90 ϕ an In queso caso la spina deve per forza essere consideraa orizzonale.

22 .3 - Verifiche Soo l azione della spina del erreno il muro può ribalarsi o sposarsi orizzonalmene. A ali movimeni si oppongono le forze peso del muro insieme alla componene vericale della spina ed al peso del erreno che grava direamene sulla fondazione. Nei muri in calcesruzzo semplice, inolre, il muro in elevazione e la fondazione, non sono un unico corpo, sia perché i gei del calcesruzzo non vengono eseguii nello sesso empo, sia perché il calcesruzzo non resise a razione, è possibile quindi, che il muro si ribali o si muova, indipendenemene dalla fondazione, come mosrao nelle segueni figure. 3 4 ) Muro e fondazione scivolano insieme ) Il muro scivola sulla fondazione 3) Il muro e la fondazione si ribalano insieme 4) Il muro in elevazione si ribala sulla fondazione. Le verifiche di sabilià da eseguire allora sono: - verifica a scorrimeno del complesso muro fondazione rispeo al erreno di fondazione; - verifica a scorrimeno del solo muro rispeo alla fondazione; - verifica a ribalameno del complesso muro fondazione, come se fossero un unico corpo; - verifica a ribalameno del solo muro. Olre a ali verifiche, va eseguia la verifica a schiacciameno del erreno di fondazione e la verifica di sabilià globale del complesso erreno muro di sosegno. Quando si esegue la verifica, sia a scorrimeno che a ribalameno del solo muro, la spina va calcolaa enendo cono della sola alezza del muro. Quando invece, si devono eseguire le verifiche a scorrimeno, a ribalameno del muro insieme alla fondazione, e quella a schiacciameno, la spina va calcolaa, sommando all alezza del muro l alezza della fondazione. Le verifiche dovranno essere eseguie col meodo degli sai limie. Si possono uilizzare in alernaiva, i due approcci: Approccio : Combinazione : (A+M+R) ; Combinazione : (A+M+R) Approccio : - Unica combinazione (A+M+R3)

23 Per la sola verifica a ribalameno si deve uilizzare necessariamene la combinazione: (EQU+M+R) I coefficieni da usare sono riporai nelle abelle segueni. Rispeo alle fondazioni superficiali, cambiano i valori solo dei coefficieni di ipo R. CARICHI Permaneni Permaneni non sruurali Varabili EFFETTO Coefficiene parziale EQU (A) STR γ G 0,9 (A) GEO Favorevole Sfavorevole,,3 Favorevole γ Sfavorevole G,5,5,3 Favorevole γ Sfavorevole G,5,5,3 () Nel caso in cui i carichi permaneni non sruurali (ad es. i carichi permaneni porai) siano compiuamene definii, si poranno adoare gli sessi coefficieni validi per le azioni permaneni. Per i parameri di resisenza abbiamo la seguene abella: PARAMETRO GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE PARZIALE COEFFICIENTE PARZIALE (M) (M) γ M Tangene dell angolo di resisenza al aglio Tan φ γ φ,5 Coesione efficace c γ c,5 Resisenza non drenaa c uk γ cu,4 Peso dell unià di volume γ γ γ Per i coefficieni parziali, abbiamo la seguene abella: VERIFICA COEFFICIENTE PARZIALE (R) COEFFICIENTE PARZIALE (R) COEFFICIENTE PARZIALE (R3) Capacià porane della fondazione γ R,0 γ R,0 γ R,4 Scorrimeno γ R,0 γ R,0 γ R, 3

24 .3. - Verifica a scorrimeno del complesso muro+fondazione La forza che ende a fare scivolare l insieme muro + fondazione rispeo al erreno sono le forze orizzonali, cosiuie, in queso caso, solo dalla componene orizzonale della spina. La forza che si oppone a ale scorrimeno, è la forza di ario che nasce ra fondazione e erreno. Tale forza di ario è proporzionale alla forza normale agene sul erreno e ad un coefficiene di ario che dipende dalla naura delle superfici a conao, in queso caso calcesruzzo con erreno, ale coefficiene di ario può calcolarsi con la formula: f a ang φ * con φ* si è indicao l angolo di ario ra erreno e fondazione. Scelo l'approccio di verifica, calcoliamo le forze moliplicae per gli opporuni coefficieni dedoi dalle abella A ed M. Calcolo della spina saica. Essa dipende dall'angolo di ario del erreno. Essendo un paramero di resisenza, prima di calcolare la spina va modificao secondo i coefficieni della abella M. In queso caso, la abella indica di inervenire sulla angene di φ, quindi, se indichiamo con φ' l'angolo modificao si procede così: φ ang angφ γ φ ; la spina deve essere calcolaa con queso nuovo angolo φ' e non con φ. Il coefficiene γ φ deve essere assuno enendo presene che l'angolo di ario è favorevole alla sabilià a scorrimeno. S γ H T K a; Le componeni orizzonali e vericali della spina saranno: S o S v S Cosδ - componene orizzonale della spina; S Senδ - componene vericale della spina. Per l angolo δ si può assumere δ 3 φ ; Le forze peso sono quelle che danno sabilià allo scorrimeno, esse vanno moliplicae per il relaivo coefficiene γ G della abella A, ranne la componene vericale della spina cui è sao già applicao il coefficiene relaivo a φ: Fv ( P + P + Pf + P ) G + Sv La resisenza dovua all'ario ra la fondazione in calcesruzzo ed il erreno è daa da: F A F V angφ γ R φ* può essere assuno pari a: φ 3 φ ; 4

25 La forza che ende a fare sliare il muro è daa dalla somma delle forze orizzonali. In queso caso abbiamo solo la componene orizzonale della spina: Fo S F ; S o Per la verifica deve risulare: F S F A Poiché, di solio, la verifica a scorrimeno è la più gravosa, si può uilizzare, per il dimensionameno di massima di un muro di sosegno in calcesruzzo semplice, la seguene formula, che iene cono appuno, del soddisfacimeno della verifica a scorrimeno. La formula, da valori approssimai. 0,64 B 0,6 p H fa Dove si sono indicai con: m ' 3h +, H B lo spessore in sommià del muro; fa il coefficiene di ario ra erreno e fondazione; h l alezza del erreno equivalene al sovraccarico; H m l alezza del solo muro; p pendenza del parameno eserno. Esercizio Dimensionare un muro di sosegno in calcesruzzo semplice, per il errapieno avene le segueni caraerisiche: alezza Hm m 3,00; angolo di ario inerno del erreno ϕ30 ; peso specifico del erreno γ 800 dn/mc; superficie del erreno orizzonale (ω0); parameno inerno del muro vericale (β 0); sovraccarico Q900 dn/mq. Calcolo dell alezza di erreno equivalene al sovraccarico: m ' Q h γ ,50m Per il predimensionameno del muro, con parameno inerno vericale, parameno eserno avene scarpa pari a p, uilizziamo la seguene formula : 0,64 B 0,6 p H fa m ' 3h +, H m Assumendo una scarpa p0% e come angolo di ario fondazione-erreno φ/3, si ha: 0,64 3 0,50 B 0,6 0, 3,00 +,39 m,40 m; 0,364, 3,00 La base del riangolo di valle sarà: B 0,0*H0,*3,00 0,60 m. Definiamo le alre dimensioni: Hf 0,60 m; D D0,0 m; B f D + B +B + D 0,0 +,40 + 0,60 + 0,0,40 m. 5

26 Esercizio Verificare a scorrimeno rispeo al erreno di fondazione, il muro dell esercizio precedene. La forza che ende a fare scivolare l insieme muro + fondazione rispeo al erreno sono le forze orizzonali, cosiuie, in queso caso, solo dalla componene orizzonale della spina. La forza che si oppone a ale scorrimeno, è la forza di ario che nasce ra fondazione e erreno. Tale forza di ario è proporzionale alla forza normale agene sul erreno e ad un coefficiene di ario che dipende dalla naura delle superfici a conao, in queso caso calcesruzzo - erreno, ale coefficiene di ario può calcolarsi con la formula: f a ang φ * ; con φ* si è indicao l angolo di ario ra erreno e fondazione. Per la verifica uilizziamo l approccio (A+M+R3) Vediamo come modificare i parameri di carico e di resisenza, in base ai coefficieni fornii dalla normaiva e riporai nelle abelle precedeni. TABELLA COEFFICIENTI A Carichi Effeo Coefficiene parziale γ Peso proprio del muro favorevole Peso proprio erreno sul dene di fondazione favorevole Carico accidenale sul dene di fondazione favorevole 0 Carico accidenale ai fini del calcolo della spina sfavorevole.5 TABELLA COEFFICIENTI M Grandezza Valore Coefficiene parziale Formula Valore correo Peso specifico erreno.800 dn/mc γ γ.800 dn/mc γ γ γ Tanφ an(30) γ φ anϕ γ γ 0.577; φ30 Calcolo del peso proprio del muro P B H m c,40 3, dan ; P B H m c 0, dan Pf B f H f c,40 0, dan ; Calcolo del peso del erreno insisene sul dene di fondazione P D H m dan ; 6

27 Calcolo del coefficiene di spina aiva (rascuriamo l'ario erra-muro ai fini del calcolo della spina): K a 90 ϕ an an 0.33 Calcolo dell alezza di erreno equivalene al sovraccarico. h ',5 Q, ,75 m γ 800 h S ' 0,75 h Ka.800 3,60 + 0, h 3,60 dn Poiché non si è enuo cono dell ario erra-muro, ale spina sarà orizzonale, quindi S v 0. Calcolo dell'ario calcesruzzo di fondazione-erreno: φ 3 φ ; Fv ( P + P + Pf + P ) G ( ) dan F A F V ang(φ ) γ R ang0, 6.05 dan; F S S dn Verifica: 5.50<6.05; La verifica è soddisfaa. 7

28 .3. - Verifica a scorrimeno rispeo alla fondazione. Quesa verifica va eseguia solo per i muri di sosegno in muraura e per quelli in calcesruzzo semplice, poiché il muro in elevazione e la sua fondazione sono corpi separai. Non va eseguia per i muri in calcesruzzo armao per i quali la fondazione ed il muro in elevazione sono collegai e resi un unico corpo solido, dalle armaure mealliche. La verifica si esegue considerando che sia il solo muro in elevazione a scivolare sulla fondazione, le due superfici a conao, quindi, quesa vola sono calcesruzzo-calcesruzzo, il coefficiene di ario si può assumere pari a 0,75. Anche in queso caso, nauralmene, vanno applicai i coefficieni delle abelle, vise in precedenza, in base all'approccio di verifca. La spina da considerare è solo quella agene sul muro in elevazione: S Ka H m La formula di verifica è la seguene: F S F A ; dove: F A F V angφ γ R ; F S Fo Fv ( P + P ) G + Sv ; o S o F ; Esercizio 3 Verificare, il muro dell esercizio precedene, a scorrimeno rispeo alla fondazione. Calcolo della spina S ' h 0,75 hm K a.800 3,00 + 0, h m 3,00 dn Poiché non si è enuo cono dell ario erra-muro, ale spina sarà orizzonale, quindi S v 0. Fv ( P + P ) G ( ). 40 dan F FV 0, γ. A R 9.80daN; F S S dn Verifica: F S F A ; < 9.80; La verifica è soddisfaa. 8

29 Verifica a ribalameno del complesso muro + fondazione. Il ribalameno ende ad avvenire inorno al puno O, il momeno che provoca il ribalameno, viene deo momeno ribalane ed è dovuo alla componene orizzonale della spina, menre il momeno che si oppone al ribalameno, è deo momeno sabilizzane ed è dovuo alle forze vericali. Il momeno sabilizzane si calcola considerando i coefficieni sceli in base all'approccio di verifica adoao: B M sab P G + B + D + P G B + D + 3 B f D + Pf G + P G + B + B + D + SV ( B + B + D ) Il momeno ribalane si calcola così: M rib S o Y dove Y è la disanza del puno di applicazione della spina. Y si calcola con: di sovraccarico; H Y T in assenza 3 3 e con : Y ( H ) T H H T T + 3H ' + H ' in presenza di sovraccarico, con H alezza di erreno equivalene al sovraccarico Q: Q H '. γ La formula di verifica è la seguene: M RIB M STAB Esercizio 4 Eseguire la verifica a ribalameno del complesso muro-fondazione, del muro dell esercizio precedene. Per ale verifica si deve usare la combinazione (EQU + M +), i parameri da uilizzare sono quelli mosrai nelle abelle segueni: Carichi Effeo (EQU) Coefficiene parziale γ Peso proprio del muro favorevole 0,9 Peso proprio del erreno sul dene di fondazione favorevole 0,9 assimilandolo a carico sruurale Carico accidenale sul dene di fondazione favorevole 0 Carico accidenale ai fini del calcolo della spina sfavorevole.5 Grandezza Valore Coefficiene parziale (M) Formula Valore correo Peso specifico erreno Tan(φ) an(30) dn/mc γ γ.800 dn/mc γ φ,5 γ γ γ anϕ γ γ 0.466; φ4,78 9

30 γ R P B H m c,40 3, dan ; P B H m c 0, Pf B f H f c,40 0, dan dan Calcolo del peso del erreno insisene sul dene di fondazione P D H m dan Calcolo del coefficiene di spina aiva: K a 90 ϕ 90 4,78 an an 0,4 poso h hm + hf 3,00 + 0,60 3,60 m, si ha: S ' h 0,75 h K a.800 3,60 + 0, h 3,60 dn Calcolo del momeno sabilizzane: M sab B B f D P G + B + D + P G B + D + Pf G + P G + B + B + D 3,40, ,9 + 0,60 + 0, ,9 0,60 + 0, , , ,9 +,40 + 0,60 + 0, dnm Calcolo del momeno ribalane: Y 3 h + 3h' 3, ,75 h 3,60 h + H ' 3 3,60 + 0,75 M rib. S Y , , 5 dan; Verifica: 8.807,5 < 0.74;,30 m; La verifica è soddisfaa. 30

31 3 RIB M STAB M Verifica a ribalameno del solo muro. Così come per la verifica a scorrimeno, anche quesa verifica a ribalameno del solo muro va eseguia solo per i muri in calcesruzzo semplice e per i muri in muraura. Essa considera la possibilià che sia il solo muro in elevazione a ribalarsi, come mosrao in figura. La spina agene va calcolaa considerando la sola alezza del muro. a m K h h h S + ' γ Il ribalameno ende ad avvenire inorno al puno O. Il momeno sabilizzane si calcola così: ( ) 3 B B S B P B B P M v sab Il momeno ribalane si calcola così: Y S M o rib dove Y si calcola: 3 H m Y in assenza di sovraccarico ' ' 3 3 H H H H H Y m m m + + in presenza di sovraccarico. La formula di verifica, enendo presene che il coefficiene γ R, è la seguene:

32 Esercizio 5 Eseguire la verifica a ribalameno del solo muro dell esercizio precedene. Calcolo della spina S ' h 0,75 hm K a.800 3,00 + 0, h 3,00 dn Calcolo del momeno sabilizzane: M B,40 P G + B + P G B ,9 0, ,9 0,60.57 danm; sab Calcolo del momeno ribalane: Y 3 H H H + 3H ' 3, ,75 3,00 + H ' 3 3,00 + 0,75 m m m,7 m; M rib S o Y 4.98, dn m; Verifica: <.57 dn m; La verifica è soddisfaa. 3

33 Verifica a schiacciameno del erreno di fondazione Con quesa verifica andiamo a vedere se il erreno di fondazione soppora il peso del muro e le azioni che agiscono su di esso. Ossia che il erreno di fondazione non sprofondi, cioè non si rompa. Il calcolo della ensione limie del complesso fondazione-erreno viene eseguia mediane la formula di Terzaghi, modificaa per enere cono della eccenricià del carico e della sua inclinazione. Nel caso di erreno con coesione nulla, e con i simboli della figura, sarà: dove: σ * B N i + Nq H i lim γ γ f q ; σ lim è la ensione di roura del erreno; N γ ed N q, sono coefficieni che si rovano abellai in funzione dell angolo di ario ϕ del erreno; i q i γ sono coefficieni che dipendono dalla inclinazione del carico e possono venire calcolai mediane: 3 H H i γ ; i q dove H e V sono le componeni orizzonali e vericali dell azione V V complessiva agene sul erreno che si possono calcolare, rispeivamene: H Fo ; V Fv B * B e B * è la larghezza ridoa della fondazione, essa è la larghezza che corrisponde ad una fondazione equivalene rispeo alla quale il carico vericale è cenrao. Per calcolare la disanza della risulane delle forze vericali dal bordo della fondazione, procediamo nel modo seguene: 33

34 V Fv ( P + P + Pf + P ) G + Q D q + S v u M Sab. V M Rib Il carico limie per un mero di fondazione si calcola: La verifica si esegue così: V Q lim ; Q lim * σ lim B γ R Esercizio 6 Eseguire la verifica a schiacciameno del erreno del muro dell esercizio precedene. Per quesa verifica usiamo l approccio : (A+M+R3) Vediamo come modificare i parameri di carico e di resisenza, in base ai coefficieni fornii dalla normaiva e riporai nelle abelle precedeni. Carichi Effeo Coefficiene parziale γ (A) Peso proprio del muro sfavorevole,3 Peso proprio erreno sul dene di fondazione sfavorevole,3 Carico accidenale sul dene di fondazione sfavorevole,5 Carico accidenale ai fini del calcolo della spina sfavorevole.5 Grandezza Valore Coefficiene parziale (M) Peso specifico erreno Tanφ an(30) γ φ anϕ 0.577; φ30 γ γ Formula γ γ γ Valore correo.800 dn/mc γ γ.800 dn/mc γ R,4 34

35 Calcolo pesi del muro P B H m c,40 3, dan ; P B H m c 0, dan Pf B f * H f * γ c,40 0, dan ; Calcolo del peso del erreno insisene sul dene di fondazione P D H m dan ; Calcolo del sovraccarico agene sul dene di fondazione: P S D Q 0, dn; F v P + P + P 80,5.078 dan + P ) ( f G + P S q ( ),3 + Per calcolare la disanza della risulane dal bordo della fondazione, dobbiamo ricalcolare i momeni ribalane e sabilizzane. Calcolo del momeno sabilizzane: M sab B BF D P + B + D G + P B + D G + PF G + P + B + B + D G + PS Q 3, ,60 + 0,0, ,60 + 0,0, ,0 + (.080,3 + 80,5 ) +,40 + 0,60 + 0, dn m Calcolo del momeno ribalane:,40,3 + M rib S o Y 5.50,30 7.5,6 dn m; Calcolo della disanza u della risulane dal bordo più compresso: u M Sab. M F V Rib ,6.4 0,95 m 35

36 B,40 * e u 0,95 0,5; B B e,40 0,5,90 m; Calcolo del carico limie: σ * B N i + Nq H i lim γ γ f q ; I coefficieni N γ, N q, secondo la abella valgono: N γ,40, N q 8,40; Calcolo dei coefficieni i q iγ : H i γ ; V 3 H i q ; V H Fo 5.50 dan; V Fv.079 dan; i γ 0,563; i q 0, σ lim,9, , , ,60 0, dan / m ; Q σ B γ 30.98,9 * lim lim R, dan Verifica:. 079 < 4.44 d a N; La verifica è soddisfaa. 36

37 .4 - Azioni provocae dal sisma Il erremoo provoca un brusco movimeno del erreno, movimeno che in generale avviene sia in senso orizzonale che in senso vericale, si è in presenza quindi di accelerazioni prodoe dal erremoo, per effeo di ali accelerazioni, le masse che si rovano sul erreno, ed anche il erreno sesso, subiscono delle forze di inerzia dae dalla relazione: F m a dove abbiamo indicao con a l accelerazione dovua al sisma. Nauralmene se l accelerazione è orizzonale, la forza provocaa dal sisma sarà orizzonale, menre se l accelerazione è vericale, la forza che nasce sarà vericale. Tali forze avranno verso alerno: sinisra - desra; basso alo. Moliplichiamo e dividiamo ale relazione per g accelerazione di gravià. F m a g g F m g a g P K Dove con P abbiamo indicao il peso del corpo soggeo all accelerazione sismica e con K il rapporo ra l accelerazione sismica e l accelerazione di gravià. La normaiva indica con K h il rapporo ra accelerazioni orizzonali e accelerazione di gravià, per le accelerazioni orizzonali, e K v il rapporo ra accelerazioni sismica vericali e accelerazione di gravià. Tali coefficieni sono fissai dalla normaiva nel modo seguene: K h a βm g max K ± 0, 5 V K h 37

38 dove: a max accelerazione orizzonale massima aesa al sio; g accelerazione di gravià. L accelerazione massima a max può essere valuaa con la relazione: dove: a max S a g S T S S a g ; S è il coefficiene che comprende l effeo dell amplificazione sraigrafica (S S ) e dell amplificazione opografica (S T ), a g rapporo ra l accelerazione orizzonale massima aesa su sio di riferimeno rigido e l accelerazione di gravià. Nella precedene espressione, il coefficiene β m assume i valori riporai nella abella seguene: Caegoria di soosuolo A β m B, C, D, E β m 0, < a g (g) 0,4 0,3 0,3 0, < a g (g) 0, 0,9 0,4 a g (g) 0, 0,0 0,8 Valori massimi del coefficiene di amplificazione opografica ST Caegoria opografica Ubicazione dell opera o dell inerveno ST T Superficie pianeggiane, pendii e rilievi isolai con inclinazione media i 5 T Pendii con inclinazione media i > 5 T3 Rilievi con larghezza in cresa molo minore che alla base e inclinazione media 5 i 30 -,0 In corrispondenza della sommià del pendio, In corrispondenza della cresa del rilievo, T4 Rilievi con larghezza in cresa molo minore che alla base e inclinazione media i > 30 In corrispondenza della cresa del rilievo,4 Il valore di a g varia in base al luogo in cui si rova la sruura da progeare. A al fine su uo il erriorio nazionale è sao creao un reicolo a maglia quadraa di puni, a ciascun nodo del reicolo è sao aribuio un valore di a g. I Il calcolo del valore di a g del sio ineressao, si fa facendo l inerpolazione lineare dei quaro puni della maglia denro cui ricade. Per eseguire ale calcolo, si può uilizzare il programma Speri. NTC, scaricabile anche dal sio cosruzioni5.xoom.i, inserendo le coordinae geografiche del sio (laiudine e longiudine) oppure il nome del comune. 38

39 Alle azioni saiche, vise precedenemene, si aggiungono delle forze di inerzia orizzonali, W, W, W3 e un incremeno di spina del erreno, indicao con S. Essa sarà applicaa, per muri liberi di ruoare inorno al piede, nello sesso puno di quella saica, alrimeni sarà applicaa a meà alezza del muro. Non si considerano spine idrosaiche, poiché siamo esaminando il caso di muro di sosegno al disopra della falda acquifera. Le forze di inerzia W, W, Wf, W, dipendono dal coefficiene sismico orizzonale Kh, definio in precedenza: W P ; W P K ; K h h W f Pf K h ; Le forze di inerzia vericali, saranno applicae nel baricenro dei pesi e poranno essere diree sia verso il basso, (+K v ) che verso l alo (-K v ). Tali forze non sono rappresenae in figura. Invece di essere considerae separaamene possono essere considerae come incremeno delle forze vericali, che così diveneranno: ( ) ; P ( ± K v ); P ( ± K v ); P 3 ( ± K v ); P ( ± ) P ± K v f K v L'accelerazione sismica sul cuneo di spina provoca un incremeno della spina del erreno. Per calcolare ale spina, enendo cono anche della variazione di peso del cuneo di spina, dovua all'accelerazione vericale, si usa la formula seguene: S ' ( ± K ) h K v a Il coefficiene di spina aivo, K a, si può calcolare con la formula di Mononobe ed Okabe: K a Cos Cos ( ϕ β θ ) Sen( ϕ + δ ) Sen( ϕ ω θ ) + Cos( δ + β + θ ) Cos( β ω) ( β + θ ) Cos( β + θ + δ ) Inroducendo l'angolo ϑ che dipende dall'accelerazione sismica: 39

40 K h θ an Kv Tue le azioni sono applicae nel baricenro pesi. Le azioni sismiche orizzonali sono mosrae figura seguene. dei nella.4 - Verifiche Le verifiche da eseguire sono le sesse vise in precedenza, e cioè: - verifica a scorrimeno del complesso muro fondazione sul erreno di fondazione; - verifica a ribalameno del complesso muro fondazione, come se fossero un unico corpo; - verifica a scorrimeno del solo muro rispeo alla fondazione; - verifica a ribalameno del solo muro. - verifica a schiacciameno del erreno di fondazione - verifica di sabilià globale del complesso erreno muro di sosegno. E da enere presene che vanno eseguie due serie di verifiche: una con +K v e l alra con K v. Quando si esegue la verifica, sia a scorrimeno che a ribalameno, del solo muro, la spina va calcolaa enendo cono della sola alezza del muro. Quando invece, si devono eseguire le verifiche a scorrimeno, a ribalameno del muro insieme alla fondazione, e quella a schiacciameno, la spina va calcolaa, sommando all alezza del muro l alezza della fondazione. 40

41 Le azioni che agiscono sul muro sono quelle mosrae nella figura soosane. Anche in queso caso le verifiche dovranno essere eseguie col meodo degli sai limie. Si può uilizzare uno dei due approcci visi in precedenza. I parameri da uilizzare sono gli sessi ranne quelli relaivi ai carichi che sono i segueni: CARICHI Permaneni Permaneni non sruurali Varabili Coefficiene (A) (A) EFFETTO EQU parziale STR GEO Favorevole 0,9 γ Sfavorevole G Favorevole γ Sfavorevole G Favorevole γ Sfavorevole G () Nel caso in cui i carichi permaneni non sruurali (ad es. i carichi permaneni porai) siano compiuamene definii, si poranno adoare gli sessi coefficieni validi per le azioni permaneni. 4

42 Esercizi modulo Esercizio N. Verificare a scorrimeno rispeo al erreno il muro di sosegno in figura, con B m 0,80; Bf m,60; B 0,40 m; D 0,0 m; γ 8 KN; ϕ 3. Esercizio N. Eseguire la verifica a ribalameno rispeo al erreno, del muro dell esercizio. Esercizio N. 3 Calcolare la ensione ammissibile erreno-fondazione e verificare a schiacciameno il muro dell esercizio. Esercizio N.4 Eseguire le verifiche a scorrimeno e a ribalameno del solo muro dell esercizio. Assumere come coefficiene di ario calcesruzzo fondazione 0,75. Esercizio N. 5 Dao il errapieno di alezza m 3,60, con γ8 KN, ϕ 34 progeare e verificare un muro di sosegno in cls in zona sismica di II caegoria. Esercizio N. 6 Eseguire le verifiche di sabilià del muro di sosegno c.a. in figura, con ϕ 30 γ 8 KN in 4