Fondamenti di robotica

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1 Fondment d robot Cnemt dfferenle e tt rof. G. Mgnn (mgnn@elet.olm.t) Not: Dver degn rortt n uete lde ono trtt dl teto: L.Svo, B.Slno Robot ndutrle Modellt e ontrollo d robot mnoltor ( ed.) M Grw-Hll,

2 Cnemt dfferenle e tt rte I Cnemt dfferenle Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn []

3 Velotà d un unto Condermo un unto n moto retto d un oervtore n O. Sno: l oone ll tnte t (o l vettore O) ' l oone ll tnte tδt Δ ' lo otmento del unto nell ntervllo Δt O Δ ' Condermo l vettore Δ/Δt e vlutmone l lmte er Δt tendente. Ottenmo l vettore velotà del unto: ( t) d v () t dt Il vettore è dretto ome l tngente ll trettor nel unto. Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn []

4 Velotà d un unto n moto rottoro S uong he l unto n moto lungo un ronferen. S Δϕ l ngolo he ne derve l moto nel ggo dl unto '. S r l verore d un e ortogonle l no dell ronferen, nte er l entro O ed uente dl foglo. Se l ngolo Δϕ è nfntemo, rult: Δ Δϕr ( O) Dvdendo er Δt e rendendo l lmte er Δt tendente h l velotà del unto: v ϕ r O ( ) O Δϕ ' Δ N.B.: rodotto vettorle b Dreone: ortogonle l no d e b Vero: regol dell mno detr Modulo: b n(ϑ), ϑ: ngolo tr e b Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [4]

5 Moto rottoro ntorno d e fo S bb un oro rgdo n rotone ntorno d un e fo. S r l verore dell e d rotone e: O un unto ull e un unto oldle on l oro n moto ϕ l ngolo formto retto d un rfermento r O ϕ L velotà del unto ottene, ulunue O, ome: v ω ( O) on ω vettore velotà ngolre, genermente funone del temo. Rult noltre: ω ϕr (l dreone ed l vero d ω ono uell del verore r). Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [5]

6 Moto rottoro on unto fo S bb un oro rgdo n rotone on un unto O fo (moto olre). E noto he l rotone d un tern oldle on l oro retto d un tern f on orgne n O è emre rreentble on un rotone d un ngolo ϕ ntorno d un e r (rreentone e-ngolo). L velotà d un unto del oro ottene llor ome: v ω ( O) on ω vettore velotà ngolre, funone del temo, m non del unto (è l te er tutt unt del oro). Rult noltre: ω ϕr L dreone ed l vero d ω ono uell del verore r, e mbno d ogn tnte (rr(t): e d tntne rotone). O r ϕ Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [6]

7 Jobno geometro Lo Jobno geometro d un mnoltore roboto erme l legme tr le velotà de gunt e l velotà dell orgno termnle (dell tern utenle oldle on l orgno termnle). Velotà dell tern velotà lnere dell orgne dell tern (dervt temorle dell oone) velotà ngolre Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [7]

8 Moto rototrltoro velotà ngolre Il ù generle moto d un oro rgdo è uello n u l velotà d un genero unto o ermere ome: r ϕ v v ω o ( O) O è un unto refto oldle l oro ω è l vettore velotà ngolre del oro funone del temo: O non dende né d, né d O. r ϕ Se o ondermo un tern oldle on l oro: v o è l velotà (lnere) dell orgne O dell tern retto d un oervtore fo ω è defnble ome velotà ngolre dell tern te y O x Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [8]

9 Cnemt reltv Condermo un oervtore he dmo fo ed un eondo oervtore n moto retto l rmo. S un unto moble: due oervtor dervernno l moto d on legg dvere. Aomo un oervtore un tern. Sno: V l velotà d retto ll oervtore fo v l velotà d retto ll oervtore moble Rult (regol del rllelogrmm delle velotà): V v on: V V V ω ( ) o O velotà d trnmento (velotà he vrebbe e muovee oldlmente on l tern moble). ω è l velotà ngolre dell tern moble retto ll tern f. x O x y Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [9] y O

10 Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [] Cnemt reltv Condermo l trformone d oordnte d un unto dll tern ll tern : Dervndo: R o R R o velotà reltv velotà d trnmento r R R o R r o R R o ω k j ω, Seondo ede er l vettore ω?

11 Jobno geometro Rtornmo l mnoltore roboto ed nlmo l moto dell tern utenle (oldle on l orgno termnle). Come vto, omo defnre l velotà lnere e l velotà ngolre d tle. tern: e ω. Obettvo dell nemt dfferenle è d ermere uete velotà n funone delle velotà delle vrbl d gunto. ω J J O ( ) ( ) In form omtt omo rvere: v J ( ) ω J ( ) L mtre (6 n): ( ) ( ) J JO rende l nome d Jobno geometro del mnoltore. Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn []

12 Jobno geometro [ j jn ] [ j j ] J... J... O O On mtre ( n) n oordnte lbere mtre ( n) n oordnte lbere j jo vettor olonn ( ) j j O Come ottenere e? Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn []

13 Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [] Jobno geometro Euone nemt drett ( ) ( ) ( ) ( ) y x ( ) ( ) ( ) T R T ( ) ( ) ( ) ( ) J y x ( ) J ( ) ( ) ( ) ( ) d d y x Dfferenndo dvdendo er dt d u Un modo er ottenere (er dfferenone) j

14 Jobno geometro Meno mmedto ottenere j O J O ( ) R è ottenble d ndo ttrvero l u dervt retto l temo Evtmo ueto lolo eguendo un roo ntutvo. L roo ntutvo forne nhe R ( ) J L è un funone dell velotà ngolre ω Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [4]

15 Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [5] Velotà lnere d un bro Dervndo:, r R velotà dell orgne dell tern retto ll tern, ere n tern be orgne dell tern retto ll tern, ere nell tern ( omette l ndone elt del rfermento ll tern ),,,, r v r R r R ω ω

16 Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [6] Velotà ngolre d un bro rtmo dll relone: R R R Velotà ngolre dell tern retto ll tern, ere nell tern Dervndo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T R R S R S R R R S R R S R S R R S R S,,, ω ω ω ω ω ω ω ertnto:,, ω ω ω ω ω R ( uò dmotrre) ovvero le velotà ngolr ommno.

17 Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [7] Gunto rmto e gunto rotodle Gunto rmto ertnto:,, d v ω ι d, r ω ω ω Gunto rotodle ertnto:,,,, ϑ r v ω ω, ϑ r ω ω ω

18 Clolo dello Jobno - roo ntutvo Rtornmo ll ereone dello Jobno rtonto n n olonne d 6 element, un delle ul, u volt, rtont n due d : J j j O L j j n On. j : ontrbuto del gunto ll velotà lnere. j O : ontrbuto del gunto ll velotà ngolre omo lolre ertmente le ottoolonne O erhé l legme tr le velotà de gunt e uelle dell tern è lnere e und vle l ovroone degl effett. Il ontrbuto del gunto -emo ll velotà dell end effetor non dende dl moto / non moto degl ltr. S uò und lolre muovendo l olo gunto -emo, on gl ltr tutt ferm. I ontrbut de ngol gunt oono o ommre j e j Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [8]

19 Clolo dello Jobno - roo ntutvo Gunto rmto y. d - n j j d x Rult [ ] Confrontndo on l [ ] j d j ω j ω O jo Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [9]

20 Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [] Clolo dello Jobno - roo ntutvo. ϑ - y x θ [ ] O j j ω j j n n ϑ ϑ ϑ,, r r ω Gunto rotodle, O n J J r r -,n - Confrontndo on Rult O -

21 Clolo dello Jobno Velotà lnere Gunto rmto: j d j Gunto rotodle: j j ω ϑ, r, n ( ) ( ) Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn []

22 Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [] Clolo dello Jobno - roo ntutvo omo ermere lo Jobno geometro er olonne: ( ) gunto rotodle gunto rmto O j j Gl element er l lolo d uete olonne rvno d relon nemthe drette: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ~ ~ ~ ~ A A A A R R n n n K K K dove: ~, ~, (oordnte omogenee)

23 Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [] Clolo dello Jobno Dll euone nemt drett etre ( ) ( ) ( ) ( ) y x er l ol rte reltv ll oone, lo Jobno uò eere rvto er dfferenone. In eml è un modo ù dretto ed mmedto e uò eere onvenente [ ] n j j J... ( ) ( ) ( ) ( ) d d d n n y y y n x x x y x ( ) J

24 Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [4] Mnoltore lnre due lnk y y x x ϑ ϑ ϑ ϑ J y x θ θ Eemo d lolo dello Jobno nel eondo modo (modo dfferenle),

25 Clolo dello Jobno roblem Degnre un menmo tre grd d lbertà nello o D l u Jobno J (reltvo ll ol velotà lnere) un mtre denttà er ogn onfgurone del menmo Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [5]

26 Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [6] Mnoltore lnre tre br ( ) ( ) ( ) ( ) J J N.B.: b b b b b b b

27 Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [7] Mnoltore ntroomorfo ( ) ( ) ( ) ( ) J ( ) ( ) A A A A A A A A

28 Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [8] Mnoltore ntroomorfo ( ) ( ) ( ) ( ) J ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) J

29 Mnoltore fero J ( ) ( ) ( ) Fondment d robot - Cnemt -G. Mgnn [9]

30 Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [] Mnoltore d Stnford ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) J ( ) ( ) ( ) d d d d d d d d d d d d d

31 Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [] Rreentone n un tern dfferente L ereone dello Jobno dende dll tern retto ll ule erme l velotà dell orgno termnle. Suonmo d ermere tle velotà n un nuov tern t: ertnto lo Jobno rferto ll nuov tern t è legto llo Jobno orgnro dll relone: J R R R R t t t t t t ω ω J R R J t t t Not. Seondo l defnone d velotà ngolre, undo e ne onderno le omonent, ono n goo tre terne: l tern d u egn l velotà retto ll tern d rfermento e l tern retto ll ule defnono le omonent

32 Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [] Jobno nlto Condermo l euone nemt drett d un mnoltore: ( ) ( ) ( ) k x φ dove φ ottue un rreentone mnm dell orentmento. Dervndo retto l temo ottenmo: ( ) ( ) J k x A ( ) J A è detto Jobno nlto del mnoltore x J A

33 J A ( ) Jobno nlto Anhe è ottuto d due rt x φ ( ( ) ) ( φ( ) ) J J φ ( ) ( ) J A ( ) J J J A ( ) ( ) φ ( ) ( ) Qul è l legme tr e? L rte reltv ll velotà lnere è l te J O ( ) Qul è l legme tr e? J J Φ ( ) Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn []

34 Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [4] Legme tr ω e φ Ermmo l orentmento on gl ngol d Eulero ZYZ, e ondermo l vettore velotà ngolre dervnte d un rotone elementre:. ψ ω ω ω ϑ ϑ ϕ ϑ ϕ y x ϕ ω ω ω y x ϑ ω ω ω ϕ ϕ y x Comonendo le roton elementr: ( )φ φ φ ω T ϑ ϑ ϕ ϑ ϕ ϕ ϕ

35 Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [5] Legme tr ω e φ. ( )φ φ φ ω T ϑ ϑ ϕ ϑ ϕ ϕ ϕ

36 Jobno nlto e Jobno geometro Ermmo l velotà (lnere ed ngolre) dell tern utenle n termn delle dervte d e φ: v ω I Ne onegue: T ( φ) φ T A ( φ) x T ( φ) J A A J ( φ) A T A J Ermendo l orentmento on gl ngol d Eulero ZYZ: det ( TA( φ) ) det( T( φ) ) ϑ er ϑ, ϑπ, l mtre è ngolre: rl n ueto o d ngolrtà d rreentone. Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [6]

37 Oervon Le velotà ngolr ommno, oto he no eree nello teo tem d rfermento ω, n ω, ω, ω,... ωn, n Utenle (tool) fto ll flng termnle del robot T 6 tool R o 6 tool T d ω, tool ω,6 ω tool tool, tool ω, 6 ω, tool ω,6 v, tool v,6 ω,6 r6, tool ome or Tutt vettor ere nello tem d rfermento Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [7]

38 Oervon Jobno er un unto rbtrro d un lnk O J ( ) ( O ) ( O ) O dev eere lolto Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [8]

39 Sngolrtà nemthe Rrendmo l relone he defne lo Jobno geometro: v J( ) v J J... J n n ohé v h e omonent, er oter tture v rbtrr devono eere lmeno 6 olonne d J lnermente ndendent (dev eere rngo J 6) rngo J mn(6,n) Mnoltore lnre rngo J Mnoltore ntroomorfo rngo J 6 rngo J() dende d I vlor d er u l mtre J dmnue d rngo (non è mmo) rendono l nome d ngolrtà nemthe. Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [9]

40 Sngolrtà nemthe In reen d ngolrtà nemthe uò vere:. erdt d mobltà (non è oble morre legg d moto rbtrre) (movment n erte dreon ono nttubl).. obltà d nfnte oluon l roblem nemto nvero. Velotà elevte nello o de gunt (nell ntorno d ngolrtà) er velotà norml dell end-effetor (o nello o oertvo) Le ngolrtà oono eere:. A onfn dello o d lvoro rggungble. All nterno dello o d lvoro rggungble Quete ultme ono ù roblemthe, erhé uò norrere on trettore nfte nello o oertvo. Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [4]

41 Sngolrtà nemthe: eemo Condermo un mnoltore lnre due br: J Determnmone le ngolrtà: ( J ) det ϑ π ( ) β oα n β n α β nα o S trtt d ngolrtà onfn dello o d lvoro. Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [4]

42 Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [4] Sngolrtà nemthe: eemo In uete onfguron, le due olonne dello Jobno non ono ndendent. ( ) ( ) J ϑ ( ) ( ) y x y x erdt d mobltà.

43 Domento d ngolrtà uò eere dffle rolvere l euone det J() Il roblem emlf er un mnoltore on olo fero S uò uddvdere l rer delle ngolrtà n due ottoroblem:. Clolo delle ngolrtà dell truttur ortnte. Clolo delle ngolrtà del olo Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [4]

44 Domento d ngolrtà Condermo er emltà l o n 6: truttur ortnte d -DOF e olo fero d _DOF. Lo Jobno è 6 6 e un onfgurone è ngolre e e olo e ( J( ) ) det rtonmo lo Jobno J J J J J ohé gl ultm tre gunt ono tutt d rotone: J J [ ( ) 4 ( 4 ) 5 ( 5 )] [ ] 4 5 Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [44]

45 Domento d ngolrtà L nemt d un robot uò eere dertt eglendo terne n modo lrgmente rbtrro. L onvenone d DH è olo un modo temto er eglerle. Le ngolrtà ono onfguron rtterthe dell truttur men e non dendono dlle elte reltve lle terne. Se l olo è fero tutt gl d rotone ntereno nel entro del olo. Se eglmo l orgne dell tern ot l (oldle l) orgno termnle on orgne nel entro del olo h W e und rult J [ ] Ne onegue he: det ( J ) det( J ) det( J ) det det ( J) ( J ) ngolrtà ngolrtà d truttur d olo ortnte Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [45]

46 J [ ] 4 5 Sngolrtà d olo Lo Jobno è ngolre e è rllelo 5 (ϑ 5, ϑ 5 π ): Roton ugul e oote d ϑ 4 e ϑ 6 non roduono lun rotone dell orgno termnle. Inoltre l olo non è n grdo d effetture roton ttorno ll e ortogonle e 4. L nemt nver h nfnte oluon È un ngolrtà dffle d ndvdure n un nfone del moto nello o oertvo. Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [46]

47 Sngolrtà d olo Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [47]

48 Sngolrtà d truttur ortnte J [] ( W ) ) Un onfgurone è ngolre e e olo e le tre olonne non ono lnermente ndendent: Mnoltore ntroomorfo: det ( J ) ( ) ϑ, ϑ π ngolrtà ngolrtà d gomto d ll Sngolrtà d gomto Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [48]

49 Sngolrtà d truttur ortnte Sngolrtà d gomto Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [49]

50 Sngolrtà d truttur ortnte Mnoltore ntroomorfo: det ( J ) ( ) ϑ, ϑ π ngolrtà ngolrtà d gomto d ll Sngolrtà d ll Dll nemt drett: x y ( ) ( ) Infnte oluon ll nemt nver. Sono ngolrtà he rtterno flmente nello o oertvo. Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [5]

51 Sngolrtà d truttur ortnte Sngolrtà d ll Nelle vnne: velotà ne gunt elevte er ole velotà lner W J ( ) J ( ) W Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [5]

52 Inverone dell nemt dfferenle L euone nemt dfferenle è lnere er un dto vlore d : v J ( ) Se lo Jobno è udrto e non ngolre er un dto uò trovre l velotà de gunt neer er ottenere un dt velotà dell orgno termnle J ( ) v Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [5]

53 Inverone nemt Dt l velotà v nello o oertvo e un ondone nle u uò enre d rolvere l roblem dell nemt nver nvertendo l nemt dfferenle ed ntegrndo. Se lo Jobno è udrto (n r, numero d oordnte dello o oertvo neere er dervere l omto): ( ) v ( t ) ( σ) dσ ( ) J t Dretndo on un formul d ntegrone numer: ( t ) ( t ) ( t ) Δt k k k Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [5]

54 Algortm er l nverone nemt Utlndo l velotà nello o oertvo l ereone rorv dvent ( ) ( ) t t J ( ( t )) ( t ) Δt k k k v k Utlndo drettmente uet formul norre n derve dell oluone. Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [54]

55 Algortm er l nverone nemt Suonmo egnto x d t trettor dedert nello o oertvo (on rreentone mnm dell orentmento) e e l u dervt: e x d x d x x ( ) t J A d ( ) X ( t) ( σ ) dσ ( ) Errore, nello o oertvo, ommeo dll lgortmo d nverone nemt: x d J ( ) Come fre n modo he l errore nello o oertvo onverg ero? A. Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [55]

56 Inver dello Jobno Se dottmo l eguente legge d denden: u orronde lo hem: A d ( )( x Ke) J ottenmo: e e Ke ( ) x J ( ) J ( )( x Κe) x d x x d J A d A A d Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [56]

57 Se Ke e Inver dello Jobno rendendo l mtre K dgonle e defnt otv l tem è ntotmente tble e l errore dede ero. L velotà d onvergen dende dl modulo de k (utovlor d K).. Se x d l metodo orronde l metodo d Newton er l oluone d tem non lner. Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [57]

58 Eer ed eem Mnoltore ntroomorfo on offet (e. um) nverone nemt (SHV) Mnoltore lndro: lolo jobno e ngolrtà. Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [58]

59 Trot dello Jobno Soluone lterntv J T A ( )Ke Utlndo l metodo d Lyunov uò dmotrre (on x d otnte) he l errore e è lmtto e dede ero. Il vntggo è he uno olo funon nemthe drette. Corronde l metodo del grdente er l oluone d tem non lner. NO 9/ Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [59]

60 Trot dello Jobno Condone d tllo L evoluone rret er e e er e nello o nullo d Eemo mnoltore ntroomorfo J T A ( ) K dgonle he non è vuoto n generle: ondone d tllo ondone d eulbro on e Nullo d T J NO 9/ Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [6]

61 Condone d tllo Trot dello Jobno NO 9/ Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [6]

62 Cnemt dfferenle e tt rte II Stt Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [6]

63 Stem d fore F F F F n Condermo un tem d fore gent u un oro rgdo. Cun for è rreentble d un vettore lto n un unto. n Come rdue ueto tem d fore? C è un modo er rdurlo d un tem d fore ù emle? Smo nteret n rtolre ll tt del oro ovvero lle ondon n be lle ul l tem d fore, lto l oro rgdo, lo l nell te ondone d uete he vev rm dell lone delle fore ( de n ueto o he l oro è n eulbro). Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [6]

64 otult fondmentl. Non lter l eulbro d un oro ottuendo d un neme d fore lte n un unto l rultnte (oè l for rreentt dl vettore omm vettorle delle ngole fore) lto llo teo unto, oure e ottue d un for lt n un unto ltre fore vent er omm vettorle l rm ed lte nel unto.. Non lter l eulbro d un oro rgdo e trort l unto d lone d un for lungo l u rett d lone (otulto vldo olo er or rgd). Due tem d fore lte l oro rgdo ottenut ndo dll uno ll ltro eeguendo, nhe n euen, le uddette oeron, dono euollent: l ggo d un tem ll ltro non lter lo tto d eulbro del oro. Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [64]

65 Rduone de tem d fore Con eml rgonment onlude he: un tem d fore le u rette d lone onorrono n un unto un tem d fore rllele rultnte non nullo un tem d fore ne rultnte non nullo ono tutt euollent d un un for. Con un rgonmento un o ù omleo, dmotr he un tem generle d fore uò emre rdur due fore, un delle ul lte n un unto refto. A F B F Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [65]

66 Co Condermo or un tem d fore rultnte nullo. Eo è euollente due fore oote F e F, lte n due unt A e B. Se le due fore hnno l te rett d lone, oono ormer, ltrment, e le rette d lone ono rllele, ottuono un o. F A b F B Sono flmente defnbl l no dell o (no u rtengono le due rette d lone), l bro b (dtn tr le due rette) ed l vero. Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [66]

67 Rduone d un for e un o Aggungendo un o, è oble otre un for d un unto d lone d un ltro. F A b F B F S bb l for F lt nel unto A. Aggungmo le due fore oote F e F, lte nel unto B. S ottene l for F lt nel unto B, e l o d fore F e F, lte n A e B. er unto detto fnor, onlude he un genero tem d fore gent u un oro rgdo, è euollente d un for, lt n un unto refto, e d un o. Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [67]

68 Momento d un for retto d un olo S F un for lt n un unto. Il momento dell for retto l olo O è defnto dl rodotto vettorle: M O ( O) ( ) F O b M (O) F Il modulo del vettore momento è dto dl rodotto del modulo d F er l dtn b del olo dll rett d lone dell for. D ftto l momento non dende dll elt d ull rett d lone dell for F. Se nvee del olo O onder l olo O', ottene: M ( O ) M ( O) ( O O ) F Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [68]

69 Momento d un for retto d un e S F un for lt n un unto e ondermo un e rtterto dl verore. Sno O e O' due unt ull e. Vlutmo l omonente ull e del vettore momento, retto due ol: M ( O ) M ( O) ( O O ) F ohé OO' e ono rllel, rult: M ( O ) M ( O) ertnto l omonente eondo un e del momento d un for retto d un olo ottuto d un unto dell e è ndendente dll oone del unto teo ull e. Queto gutf l nome d momento dell for retto ll e dto llo lre: M O M ( ) O O' F Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [69]

70 Momento d un tem d fore Condermo or un tem d fore F, F, F n, lte rettvmente ne unt,, n. Dto un olo O, l momento del tem d fore retto l olo è dto d: M ( ) O M ( O) M ( O) L M n( O) ( O) F Se n rtolre tutte le fore ono lte nel medemo unto : M ( O) ( O) R eendo R l rultnte delle fore (teorem d Vrgnon). Il momento del tem d fore è und ugule l momento del rultnte. n Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [7]

71 Momento d un o Se l tem d fore è ottuto d un o h: F A O F M ( O) ( A O) F ( B O) ( F ) ( A B) F b B Il momento dell o è und ndendente dl olo. otremo llor rreentre un o on l uo vettore momento he vrà: dreone ortogonle l no dell o modulo r l rodotto Fb, eendo b l bro dell o vero ongruente on l vero dell o In rtolre undo rl d o τ gente u un elemento n rotone (er eemo un gunto) u u tto fto un e, ntende lo lre ottenuto roettndo l momento dell o ull e. Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [7]

72 Mm rduone d un tem d fore Teorem fondmentle: CNS erhé due tem d fore lte d un oro rgdo no euollent è he bbno lo teo rultnte e lo teo momento retto d un olo. Smo he nel o ù generle omo rdurre un tem ul d fore d un for lt n un unto (l rultnte) e d un o. Ne onegue he otremo emre rreentre un tem d fore on due vettor: Un vettore for lt n un unto O (d ftto l rultnte) Un vettore momento (d ftto l momento dell o, ovvero l momento del tem orgnro d fore retto l olo O) Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [7]

73 Condon d eulbro Coro rgdo lbero CNS erhé un oro rgdo lbero n eulbro è he nullo l rultnte delle fore eterne e nullo l momento del tem ottuto d tl fore, retto ulunue olo: R, M Coro rgdo vnolto CNS erhé un oro rgdo vnolto n eulbro è he nullo l rultnte delle fore eterne ( uelle ttve he uelle d reone vnolre) e nullo l momento del tem ottuto d tl fore, retto ulunue olo: R R, M M R' e M': rultnte e momento delle fore d reone vnolre. Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [7]

74 Stem d or S onder un tem d r or rgd (ul, er eemo, br d un robot). Se tutt or ono lber d muover nello o, l moto del tem è d ogn tnte dervble er meo d 6r oordnte x. Suonmo or he he etno delle lmton l moto de or he ottuono l tem (ul uelle ndotte dll onneone d un bro on l uevo trmte un gunto, he elmn nue u e grd d mobltà reltv tr due br). Dmo he ul moto de or ete un vnolo, he ermeremo on l relone: h ( x) Un vnolo rreentto d un euone d ueto to de olonomo (erhé dende olo dlle oordnte d oone e non dlle velotà) e tonro (erhé non dende dl temo). Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [74]

75 Coordnte lbere h ( x) Se l vnolo h è ottuto d omonent lr e tutte ono ontnue e dfferenbl on ontnutà, è oble, er meo del vnolo, elmnre oordnte dlle euon del tem. Le rmnent n6r oordnte rendono l nome d oordnte lbere, o lgrngne, o generlte, e n è l numero d grd d lbertà del tem meno. er eemo, n un robot 6 gunt, delle 6 oordnte orgnre, e ne elmnno n vrtù de vnol mot d 6 gunt e ne rmngono 6 he ottuono le oordnte lgrngne: tmente elgono le oordnte d gunto (l ngolo ϑ o l dtn d, rettvmente er gunto rotonle o rmto). Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [75]

76 Sotmento vrtule Defnmo lvoro elementre omuto d un tem d fore gent u un oro rgdo e vent rultnte f e momento μ Q retto d un ul unto Q del oro, l unttà: dw T f d Q μ T Q ωdt dove ω è l velotà ngolre del oro. Condermo or un tem d or rgd oggetto vnol d mobltà, er l ule ono ermere le oordnte x n termn d un vettore λ d oordnte generlte: xx(λ). Defnmo otmento vrtule l unttà: x δx λ δλ ovvero uno otmento elementre onforme vnol. Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [76]

77 rno de lvor vrtul In orronden d uno otmento vrtule, omo defnre l lvoro vrtule, ovvero l lvoro elementre omuto dlle fore gent ul tem d or er lo otmento vrtule. ohé le fore d reone vnolre non roduono lvoro, eendo ortogonl vnol, e otndo vnol rv d ttrto, l lvoro vrtule rdue l lvoro δw delle fore ttve. S uò dmotrre he ondone er l eulbro del tem d or rgd è he l lvoro vrtule delle fore ttve nullo er ulunue otmento vrtule: δw ζ T δλ dove ζ è un vettore d fore generlte. Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [77]

78 Stt del mnoltore Condermo or un mnoltore oggetto d un neme d fore ll orgno termnle vente rultnte f e momento, retto ll orgne dell tern utenle, μ. f [ f f ] T f μ [ μ μ ] T μ oto γ f μ e detto τ [n ] l vettore delle fore o oe lte ngol gunt, h τ J T ( )γ Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [78]

79 Stt del mnoltore Come rv? S uò rvre utlndo l rno de lvor vrtul. Il lvoro vrtule delle fore/oe gunt è: T δ W τ τ δ Il lvoro vrtule delle fore ll orgno termnle è: T ( ) δ μ J ( ) δ γ J( ) δ T T T T δw γ f δ μ ωdt f J er l rno de lvor vrtul l mnoltore è n eulbro tto e e olo e: δw δw e und: τ J T ( )γ τ γ O Fondment d robot - Cnemt dfferenle e tt- G. Mgnn [79]