Esercizi. Prima parte Soluzioni e risoluzioni

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1 Eserizi. Prim rte Soluzioni e risoluzioni Soluzioni. ) ;. ) ; 3. 4) ; 4. ) ;. ) ; 6. ) ; 7. 3) ; 8. 4) Risoluzioni. Avete visto uli sono le risoste estte. Vi onviene, rim i veere ome si rriv ll soluzione, rovre voi stessi re un risost esuriente. In ogni so vi onviene leggere on ttenzione le risoluzioni egli eserizi. In esse imo inserito lune informzioni he vi otreero essere sfuggite urnte lo svolgimento elle lezioni o nel leggere le note el orso. Domn. Si ABC il tringolo isosele vente i lti AC e CB i ugule lunghezz, mentre il lto AB h lunghezz ifferente. C A B Si t un isometri he ort il tringolo T in se stesso. Poihé le isometrie onservno le misure, l isometri ort i segmenti AC e BC in se stessi o li smi tr loro. Ne segue he le isometrie erte sono ue: l ientità l isometri f tle he f(c) C, f(a) B e f(b) A, ioè l simmetri risetto ll sse el segmento AB. Pertnto l risost estt è l ). Domn. Il roeimento è nlogo l so reeente. Le similituini onservno i rorti elle istnze. Pertnto le immgini i segmenti venti l stess lunghezz (inihimol on ) sono segmenti venti i 6

2 l stess lunghezz. In rtiolre uest ultim lunghezz è ugule k, ove k è il rorto ell similituine onsiert. Ogni similituine ort uini i segmenti AC e BC in se stessi o li smi tr loro. Rgionno ome sor ottenimo le stesse ue isometrie (he sono rtiolri similituini) ell eserizio reeente. Pertnto l risost estt è l ). Domn 3. Simo he le ffinità non onservno in generle le istnze e nenhe i rorti elle istnze. Le ffinità onservno solmente i rorti tr le istnze tr oie i unti rtenenti rette rllele. Pertnto, mentre nel so elle isometrie e elle similituini l immgine el vertie C eve essere neessrimente il vertie C stesso, nel so elle ffinità l immgine el vertie C uò essere uno ulsisi ei tre vertii A, B e C. Aimo uini 6 ffinità, un er ogni ermutzione ei vertii A, B e C.. L ffinità tle he f(a)a, f(b)b, f(c)c. L ffinità tle he g(a)b, g(b)a, g(c)c 3. L ffinità tle he h(a)c, h(b)b, h(c)a 4. L ffinità tle he k(a)a, k(b)c, k(c)b. L ffinità tle he i(a)b, i(b)c, i(c)a 6. L ffinità tle he m(a)c, h(b)a, h(c)b Pertnto l risost estt è l 4). Osservimo he le rime ue ffinità tengono fisso il vertie C. Sono l ientità e l simmetri risetto l segmento AB. Sono isometrie. Ciò non i mervigli: le isometrie sono rtiolri ffinità. Osservimo oi le ltre uttro ffinità non sono similituini (e uini mggior rgione non sono isometrie) erhé non onservno i rorti tr le istnze. Osservimo infine he le ffinità f, i, m sono irette mentre g, h, k sono inverse. Domn 4. Sino,,, le uttro rette he si interseno in un unto P. Doimo eterminre he tio i isometri è l omosizione elle uttro simmetrie ssili: s o s o s o s. Simo he l omosizione i ue simmetrie ssili on ssi ue rette he si interseno in P è un rotzione i entro P. Quini si s o s he s o s sono rotzioni i entro P. L omosizione i ue rotzioni i entro P è nor un rotzione i entro P, eventulmente i ngolo nullo. L risost estt è uini l 4). i 6

3 Osservimo he vremmo otuto risonere ll omn nhe usno il teorem i Chsles. Simo inftti he l simmetri risetto un rett è un isometri invers. L omosizione i uttro isometrie inverse è un isometri irett. D ltrone tutte le uttro simmetrie hnno ome unto fisso il unto P. L omosizione elle uttro isometrie è uini un isometri irett vente un unto fisso. Per il teorem i Chsles è uini un rotzione intorno P. Pertnto l risost estt è l 4). Domn. Il eterminnte ell mtrie ssoit ll isometri è ugule. Pertnto l isometri è irett. Il teorem i Chsles i ie he uini l isometri è un rotzione (eventulmente ell ngolo nullo) o un trslzione i un vettore non nullo. Il teorem i Chsles i ie he si trtt i un rotzione (eventulmente null) se si h lmeno un unto fisso e un trslzione se non si h lun unto fisso. Non è file veere se esist un unto fisso o meno. E erò file veere he non si trtt i un trslzione (si riori ome è ftt l mtrie ssoit un trslzione). L isometri è uini neessrimente un rotzione. L risost estt è uini l ). Domn 6. Ogni rotzione intorno C uò essere visto ome un rotzione ntiorri i un ngolo intorno C. Inihimo uest rotzione on il simolo r C,. Aimo inftti he un rotzione orri i un ngolo intorno C uò essere vist ome l rotzione ntiorri ell ngolo -. intorno C. L rotzione ntiorri i un ngolo intorno C omost on l rotzione ntiorri i un ngolo intorno C è ovvimente l rotzione ntiorri ell ngolo intorno C. D tutto iò segue he l insieme elle rotzioni intorno C è hiuso risetto ll omosizione i funzioni. Simo oi he l oerzione i omosizione verifi l rorietà ssoitiv. L ientità (he ossimo veere ome rotzione ell ngolo nullo intorno C) rtiene ll insieme elle rotzioni intorno C. Quini l elemento neutro rtiene ll insieme elle rotzioni intorno C. L invers i un rotzione intorno C è nor un rotzione intorno C. Si h inftti (rc, ) - rc, - Nturlmente è vli l rorietà ommuttiv. D tutto iò segue he l insieme elle rotzioni intorno C è un gruo ommuttivo. Pertnto l risost estt è l ). Osservimo he ogni rotzione intorno C è un isometri. Pertnto l insieme elle rotzioni intorno C è un sottogruo el gruo elle isometrie. 3 i 6

4 Domn 7. Svolgeno i loli si osserv he l istnz tr le immgini i (,) e i (,) è ugule. D iò segue he l risost ) è siurmente sglit. Osservimo oi he l mtrie ell risost 4) h eterminnte ugule / e uini non uò essere l mtrie ssoit un isometri. D iò segue he l risost 4) è siurmente sglit. Rimngono esminre le risoste ) e 3). A rim vist semreree he l risost ) si uell estt. M osservimo le ose on iù ttenzione. Simo he er eterminre un isometri imo isogno i tre unti non llineti. Aimo già ue unti: il unto (,) e il unto A(,). Consierimo il unto B(,). Le immgini ei unti O e A sono già ssegnte: sono i unto O (,) e A ',. Veimo uli onizioni eve verifire l immgine el unto B. Dl momento he ogni isometri onserv l ereniolrità, l immgine i B eve rtenere ll rett s ssnte er O e ereniolre ll rett r ssnte er O e A. B' s A' r O' B'' Dl momento he ogni isometri onserv le istnze, l immgine el unto B, oltre he rtenere ll rett s, eve vere istnz ugule. Esistono ue unti verifinti tle onizione. Uno è simmetrio ell ltro risetto ll rett r. Inihimo on B e B tli unti. Esistono uini ue isometrie verifinti le onizioni te. M noi voglimo un isometri irett. Osservimo llor i tringoli O A B e O A B immgini el tringolo OAB risetto lle ue ossiili isometrie. I ue tringoli, esseno uno il simmetrio ell ltro risetto ll rett r, inuono sul ino ue orientzioni ooste. Ne segue he un sol elle ue isometrie è irett. D tutto iò segue he l risost ) è sglit. 4 i 6

5 i 6 Aimo uini he tre risoste sono sglite. L risost estt è uini neessrimente l uni he non imo nor esminto: l 3). Aimo eterminto l risost estt nno er eslusione. Dimo or l risost irettmente. Simo he l mtrie ssoit un isometri irett è un mtrie el tio os sin sin os In ltre role ssoit l mtrie ssoit un isometri irett è un mtrie srà el tio: on. Riorimo il signifito ei oeffiienti ell mtrie. Simo he (,) sono le oorinte ell immgine el unto O(,). Inoltre, oihé si h he (,) sono le oorinte ell immgine el unto A(,). In moo nlogo si vee he (-,) sono le oorinte ell immgine el unto B(,). Dlle onizioni rihieste segue he si h:,,,. D iò segue he l mtrie ssoit ll isometri è: L risost estt è ertnto l 3).

6 6 i 6 Domn 8. L mtrie ssoit un ffinità è el tio: Riorimo il signifito ei oeffiienti ell mtrie. Simo he (,) sono le oorinte ell immgine el unto O(,). Inoltre, oihé si h he (,) sono le oorinte ell immgine el unto A(,). In moo nlogo si vee he (,) sono le oorinte ell immgine el unto B(,). In effetti in uesto rtiolre so noi interess onosere le oorinte ell immgine unto (,). Aimo: Dlle onizioni rihieste segue he si h:,, -,, -, -. Ne segue he l mtrie he rresent l ffinità è: L risost estt è uini l 4).