Economia di utilizzo di beni o servizi disponibili.

Transcript

1 Facolà di Ingegneria Universià degli Sudi di Bologna Diparimeno di Ingegneria Indusriale Marco Genilini Economia di uilizzo di beni o servizi disponibili. Quaderni del Diparimeno MARCO GENTILINI

2 ECONOMIA DI UTILIZZO DI BENI O SERVIZI DISPONIBILI. 1 POTENZE UNIFORMEMENTE DISTRIBUITE. Qualora si disponga, (come nel caso di uilizzo di foni rinnovabili di energia o di recupero di energia di scaro), di una poenza ermica o meccanica, (o più in generale di di una poenzialià in beni o servizi disponibili), l'enià di ale poenza, (P), risula in ogni caso una funzione delle dimensioni delle apparecchiaure impiegae per uilizzarla. Qualora dea poenza sia uniformemene disribuia o comunque di enià proporzionale alle dimensioni delle apparecchiaure, è lecio supporre una dipendenza lineare del coso impiano dalla poenza insallaa, (I o = qp), e di conseguenza il VAN dell'invesimeno risula: VAN = PuT c ) " f r + ( qp = ut c, + " f r + ( q. P. e $ em ' * e $ em ' - Il ermine c e nell'espressione, è il valore del coso specifico di produzione o acquiso convenzionale di mercao dell'energia oenua, (o più in generale del bene o servizio), perano l'equazione di economia, (VAN > 0), risula verificaa per: ut c " fr + ( q > 0, ovvero per: ce > $ fr + ' q e em & ut, essendo il ermine: " f a $ r + ' q e, il coso em & ut specifico di recupero dell'energia, (o del bene o servizio). Infai, poso VAN(c e ) = 0, si oiene il coso specifico dell'energia disponibile, (c e *): ce* = $ fr + ' q e, che risula cosane e quindi em & ut l'uile oale aualizzao appare proporzionale alla poenza insallaa: (ce " ce*)put ) a & = ce " fr + ( q, + e. PuT = e * $ em ' ut - e = PuT c " fr + ( qp = VAN. In presenza di dipendenze funzionali dei cosi e dellla poenza insallaa, qualora le due grandezze risulino ancora proporzionali, il coso specifico di uilizzo dell'energia, (o del bene o servizio), disponibile, (c e *). rimane comunque cosane, menre l'uile oale aualizzao, (VAN), essendo lineare con la poenza, (P), ne segue l'evenuale massimizzazione.

3 2 POTENZE LIMITATE A VALORI ASINTOTICI. Nel caso generale in cui non risuli cosane il rapporo fra le dimensioni delle apparecchiaure, (e quindi il coso impiano), e la poenza capaa, ovvero non vi sia semplice proporzionalià fra l'onere di impiano e la poenzialià insallaa, nell'espressione del VAN e del coso specifico, ali funzioni manengono la loro individualià e l'uile non appare linearmene crescene con la poenza capaa, ma in presenza di inervalli con: VAN > 0, possono esisere esremani della funzione in corrispondenza quindi, di una poenza capaa economica. Le evenuali condizioni di oimizzazione riferie rispeivamene al VAN, (massimo uile, ovvero massimo valore del VAN), e al coso specifico, c e *, (minimo coso specifico del bene o servizio oenuo), non hanno alcuna correalazione in quano il minimo coso specifico si riferisce alle condizioni di massima efficienza di capazione, produzione o recupero, ma non iene cono della quanià di beni o servizi uilizzai, che concorre a formare il reale uile globale, quanificabile come differenza fra il coso specifico convenzionale e oenibile, rispeivamene, per l'enià dei beni o servizi uilizzai e corrispondenemene l'analisi funzionale pora a risulai diversi. Per funzioni di una sola variabile, (x), si ha: VAN(x) = c e " c e * (x) P(x)uT, e che enuo cono dell'espressione del coso proprio del bene o servizio capao: ce * (x) = $ fr + ' I(x) e em & P(x)uT, funzione della variabile x non essendo più proporzionali i cosi delle apparecchiaure alla poenza insallaa, coincide con quella generale: VAN(x) = P(x)uTc " fr + ( I(x). L'equazione di oimizzazione economica: dvan(x) = 0, per il calcolo del valore oimale della variabile, (e quindi della poenza capaa economica), risula, quindi: utc = e. dp(x) e $ f r + ' em &

4 La condizione di minimizzazione del coso specifico del bene o servizio capao: dc e * (x) = 0, invece, risula: = I(x), che non coincide dp(x) P(x) con la relazione: dvan(x) = 0, a meno che non risuli: " = I(x) utc $ ' = e, dp(x) P(x) & ( a + e * f f + - ) em, nel qual caso poichè le condizioni di annullameno e di massimo del VAN(x), sono rispeivamene: VAN(x) = 0, per: I(x) P(x) = utc e ; e $ f r + ' em & dvan(x) = 0, per: utc = e, dp(x) e $ f r + ' em & dp(x) la condizione: = I(x) P(x) = utc e, risula il sisema delle due e $ f f + ' em & e cioè la condizione di massimo della funzione VAN(x), con: VAN(x) = 0, [VAN(x ec ) = 0], ovvero la condizione di angenza delle curve degli uili e degli oneri in un puno doppio. Nell'ipoesi: I(x) = qp(x), essendo il coso specifico comunque cosane, la condizione: = I(x), si riduce a un'idenià, (q = q), menre la dp(x) P(x) condizione: utc = e, risulando il VAN linearmene dp(x) e $ f r + ' em &

5 crescene con la poenza insallaa, si riduce alla condizione di annullameno del VAN sesso: ut c " e a = $ fr + ' q. e em & Si conclude, perano, che l'equazione di oimizzazione economica risula in ogni caso: dvan(x)/ = 0. Qualora anche il faore di carico sia dipendene dalla variabile x: u = u(x), (o comunque in generale), la quanià di beni o servizi generai a periodo raeale vale: E(x) = P(x)u(x)T, e le relazioni risulano: VAN(x) = E(x) c " fr + ( I(x), da cui l'equazione di oimizzazione dvan(x) = 0, diviene: c = e ; de(x) e $ f r + ' em & ce * (x) = $ fr + ' I(x) e, da cui l'equazione di oimizzazione: em & E(x) dc e * (x) = 0, diviene: de(x) 3 RECUPERI ENERGETICI. = I(x) E(x). Un caso ipico di non linearià fra gli oneri di impiano e la poenzialià insallaa, è relaivo ai sisemi di capazione, produzione o recupero, in cui si presenino fenomeni di saurazione, ovvero poenze limiae superiormene che richiedono, cioè, dimensioni specifiche delle apparecchiaure cresceni all'aumenare della poenza uilizzaa. Conseguenemene indicando con la variabile x la dimensione delle apparecchiaure, il VAN passa dal valore nullo per x = 0, (o in praica negaivo per la presenza di un coso di esrapolazione a poenza zero), a meno infinio per dimensioni delle apparecchiaure illimiae essendo, in al caso, finio l'uile, (proporzionale alla poenza uilizzabile, limiaa superiormene), e illimiao l'onere di impiano. Nel caso di scambiaori di calore, (o di ogni alra apparecchiaura o impiano di pari comporameno), la poenza capaa in funzione della superficie di scambio, (x), ende a un valore asinoico finio esprimibile con relazioni del ipo: P(x) = c 1 (1 e c 2 x ), con poenza per unià

6 dimensionale: dp(x)/ = c 1 c 2 e c 2 x, decrescene all'aumenare della superficie di scambio. Supposa una dipendenza lineare dei cosi di invesimeno con le dimensioni: I(x) = bx, (rascurando l'ordinaa all'origine b o ), il VAN dell'invesimeno risula: VAN = P(x)uTc e e " I(x) = c 1 utc e eq 1 " e "c 2 x & ( " bx, $ ' da cui la condizione di oimizzaizione economica: fornisce: xec = 1 ln utc 1c2ce. c2 be Il coso specifico di produzione risula: c * e (x) = e I(x) ut P(x) = e b x utc 1 (1 " e "c 2 x, ) con: e b ; utc 1 c 2 lim c * e (x) = x"0 dc e * (x) lim ce * (x) = oo; x"oo dp(x) = e b utc 1 1 " (1 + c 2 x)e "c 2 x (1 " e "c 2 x ) 2 > 0 x > 0; = utc e e, dc * lim e (x) dc * = 0; lim e (x) = e b, x"0 x"oo utc 1 ovvero coso specifico monoono crescene con le dimensioni. Il coso specifico minimo si oiene quindi per dimensioni nulle alle quali si verificano le più vanaggiose condizioni di capazione essendo massima l'efficienza dimensionale, (massimo salo ermico), cui corrisponde uavia: VAN(0) = 0, (o negaivo in presenza di un coso esrapolao a poenza zero). Parimeni la relazione generale: dp(x) = I(x) P(x), ovvero:

7 b c1c2e "c 2x = bx c1 1 " e "c &, è verificaa solo per: x = 0, valore per cui 2x ( $ ' si ha coincidenza di risulai con la condizione di oimizzazione eb utc1c2 ; economica, essendo: lim ce * (x) = x"0 xec = 1 c2 ln utc 1c2ce be = 0, per: ce = eb utc1c2. In presenza dell'ordinaa all'origine b o, si ha: c e * (x) = e utc1 bo + bx 1 " e "c & 2x ( $ ' dc * da cui la relazione di minimizzazione: e (x) = 0, risula: e "c 2 x 1 =, che ammee una sola soluzione b o b c 2 + c 2 x + 1 significaiva, (x > 0), ovvero coso specifico minimo per poenzialià non nulla, essendo: e "c & 2x ( = 1; $ ' x=0 " $ 1 ' 1 $ ' = < 1, menre al crescere della $ bo b c 2 + c2x + 1 ' bo & x=0 b c variabile l'esponenziale endendo a zero più rapidamene dell'iperbole, finisce con l'inconrarla. Il risulao è impuabile all'anomalia analiica dell'espressione del coso di invesimeno: I(x) = b o + bx, per il quale si ha: lim ce * (x) = oo. x"0 Infai il coso specifico di invesimeno: I(x) = b o x + b, illimiao per x x che ende a zero esclude ale valore dalla condizione di minimo coso di produzione sposandolo a valori finii delle apparecchiaure di capazione o recupero. **********