Nel seguito tratteremo più dettagliatamente del caso parametrico, ma non tralasceremo di fornire alcuni utili strumenti per quello non parametrico.

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1 INTRODUZIONE AL TEST DELLE IPOTESI 5. Itrduze Il prblea he affrtere qu d segut è u de pù prtat per la Statsta sa da u put d vsta ter he applatv: erare ua regla he peretta d dedere se, dat u ert prefssat lvell d prbabltà d ettere u spefat errre, sa da aettare da rfutare ua ptes frulata su ua data v.. pplaze. Pù presaete, la prbleata può essere fralzzata el d seguete. Suppa d avere u fee desrtt da ua v.. X dstrbuze d prbabltà ( fuze d destà, el as tu f( ;θ, : f(. ;θ ta e θ Ω gt (as paraetr f(. gta (as paraetr. Nel segut trattere pù dettaglataete del as paraetr, a tralasere d frre alu utl struet per quell paraetr. Suppa d agre u abt paraetr e d vler aalzzare u fee X he è dstrbut sed ua legge prbablsta f( ;θ ta a e d θ. Suppa d aver estratt da X l ape (,,. Frula le seguet ptes su θ e qud sulla struttura prbablsta d X : θ Θ vers H : θ Θ Θ Θ Ø e tal he Θ Θ Ω. Bsga dvduare ua stratega ttale d da pter dedere se è da aettare rfutare l ptes. Dat he θ è gt sapre a se è vera ppure è vera H ; p-

2 56 tre dre sl he è vera u ert lvell d prbabltà. L see Ω vee dett see paraetr geerat da θ; etre le ptes ed H spra rprtate s haa rspettvaete ptes ulla ed alteratva. Nel as partlare u Θ s rdue ad u sl put, s haa ptes seple. Ua sderaze aalga vale per Θ e H. La dese per stablre se è da rfutare aettare ( favre d H vee presa utlzzad le fraz apare teute (,,. Al varare d tutt pssbl ap, fssata la uerstà apara, s ttee la v.. apara X (X,, X he desrve u see, haal C, dett spaz apar. Il prblea del test è d dvduare C ua rege C per u se l partlare ape (,, d u s dspe appartee a C s rfuta, etre se appartee all see pleetare C C - C s può rfutare. Ce s vede, la dese se rfutare e vee presa sull spaz apar, a vee fatta valere per quell paraetr. Sheataete quest press desale è rappresetat ella fgura seguete: Dat he sappa quale rege θ ade, le pssbl segueze he s pss avere el rfutare aettare s le seguet: E s rfuta, etre realtà è vera E s aetta, etre realtà è falsa G s aetta, he è vera G s rfuta, he è falsa. Ce s vede le pre due delle quattr segueze pssbl s errr, etre le sede due da lug a des guste. Da u put d

3 Itrduze al test delle ptes 57 vsta frale quest quattr pssbl rsultat s degl evet dzat e s pss srvere: E (X C θ Θ E (X C-C θ Θ G (X C-C θ Θ G (X C θ Θ. L evet E prede l e d errre del pr tp, l evet E prede l e d errre del sed tp. D slt, l errre del pr tp vee sderat pù rlevate per le segueze prathe he può prtare e qud s era d trllarl qualhe d. Nta, fe he G E ; G E. Dat he E, E, G, G s degl evet, essed fuze della v.. apara X, aettera ua qualhe prbabltà e presaete: Naturalete rsulta P(E P( X C θ Θ α(c ;θ P(E P( X C-C θ Θ β(c ;θ P(G - α(c ;θ P(G - β(c ;θ La prbabltà dell errre del pr tp α(c ;θ vee haata lvell d sgfatvtà del test. La prbabltà d G, data d slt π(c ;θ - β(c ;θ, vee haata pteza del test. La rege C vee haata rege rta, etre C vee detta rege d aettaze. Ce s può tare, due errr s fuze della rege rta e del valre ver d θ. L ptes rflette, geerale, la stuaze pra he l esperet (l estraze del ape d eleet vega effettuat el ses he se s aetta la stuaze rae utata. I questa pstaze bsga autelars dalle segueze he s ha per l rfut d, dat he ò prta la dfa delle dz e delle aqusz f ad allra rteute valde. È parted da queste sderaz he s

4 58 rtee pù grave l errre del pr tp rspett a quell del sed tp ed è per quest he s prede d da autelars l pù pssble rspett alla pssbltà d ettere tale errre (pstaze d Neya e Pears. Esep Suppa d avere la pplaze X~f( ;θ, ve X rappreseta l reddt d ua qualhe ategra d lavratr e sa θ µ. Suppa he dalle dharaz de reddt rsult he, eda, quest sggett abba dharat µ 5 l d lre. Suppa he l str delle faze sa p vt della verdtà delle dharaz delle perse suddette. I tal as, le ptes he l str vule sttprre a test s : µ µ vers H : µ > µ , sserva he l spaz paraetr è dat dall tera retta reale Ω (- ; +. Per dedere se s deve aettare rfutare s estrae, ressa, da X u ape d eleet (,,..., e sulla base delle fraz teute quest ape s dede su. Al varare del ape vara e desrve la v.. apara X (X, X,..., X he desrve l str spaz apar. I quest test sulla base de rsultat del ape pss: E Pealzzare que sggett (rfut, etre ha dett l ver E Aettare quat dharat (aett, etre ha dett l fals G Aettare quat dharat (aett ed ha dett l ver G Pealzzare que sggett (rfut he ha dharat l fals. Osserva e effettvaete E sa l errre pù grave perhé se vee ess s pealzza (per esep s a ua daa peale u ete. 5. Il lea d Neya-Pears Ce eerge dal paragraf preedete, l prblea he s deve affrtare è d dvduare la rege rta C tale he α(c ;θ e β(c ;θ sa pl qualsas sa θ. D altr lat, s eve edataete he se è α(c ;θ 0 eessaraete deve essere β(c ;θ e veversa e qud è pssble dedere reded ull tepraeaete α e β. La stratega per rslvere l prblea, ra geeralete aettata, è quella d seglere C d he α(c ;θ super ua erta sgla prefssata, qualsas sa θ, e tepraeaete sa β(c ;θ. Pù presaete: Il test ufreete pù ptete è quell he perette d seglere la

5 Itrduze al test delle ptes 59 rege rta C tale he, per g altra rege rta C *, sa tepraeaete: P(E P(X C * θ Θ P(X C θ Θ α P(E P(X C-C * θ Θ P(X C-C θ Θ per qualsas θ Θ. U test he sddsfa la defze spra rprtata ha la pteza assa dat he tal as rsulta π(c ; θ > π(c * ; θ. I test ufreete pù ptet sepre esst, l lea seguete stra he tale test suraete esste, e stra e tteerl, u as partlare: Lea (d Neya e Pears Data la v.. X, he per sepltà suppa tua, f.d. f( ;θ, se : θ θ vers H : θ θ e qud s ha Ω θ θ, se X (X,, X è la v.. apara, allra l test basat sulla rege rta C tale he P(X C θ θ α L( L( ; θ k ; θ 0 per X C ; L( L( ; θ < k per X C ; θ, 0 ve k è ua state per u P(X C θ θ α etre L( ;θ è la fuze d versglaza, è l test pù ptete. Per pter applare l lea è, uque, eessar sere la dstrbuze d X a e d θ d da pter strure la fuze d versglaza. Iltre, quest lea perette d tteere la rege rta sl as lt partlar.. Il prblea aggre rsede el fatt d dvere dvduare ua statsta pvtale (è dpedete da paraetr della v.. d parteza he, fssata la prbabltà dell errre d pr tp, zz quell del sed tp qualuque sa l valre del paraetr gt Θ. Se abbada la

6 60 seda arattersta, quat e rheda he questa s verfh sl per grad ap, s ha u allargaet della lasse de pssbl test he s pss strure d da predere ahe as d prtaza applatva. Questa è la stratega he segure el segut. 5.3 Test basat sul rapprt d versglaza. Cas d seple (LRT Data la varable asuale X dstrbuze d prbabltà (dsreta tua f( ;θ s vgla sttprre a test le ptes : θ θ vers H : θ Θ Ω {θ Θ }. Sulla base d u ape asuale (,, s struse la fuze d versglaza he stt dvee L( ;θ L( ;θ f( ;θ f( ;θ etre la sta d assa versglaza d θ è, e sappa, quel θˆ tale he rsult a L( θ Ω ; θ L( ; θˆ S haa rapprt d assa versglaza (el segut MLR la fuze λ( L( ; θ L( a L( ; θ L( θ Ω ; θ, ; ˆ θ da u segue edataete he 0 < λ(. Se λ( è v ad s è prtat ad aettare dat he, per grade, rsulta θ θˆ ; veversa, se λ( è lta da allra è p versle e s è prtat a rfutarla dat he θ θˆ.

7 Itrduze al test delle ptes 6 Queste sderaz prta ad afferare he: Il test basat su LRT defse la rege d rfut (rege rta sttuta da tutt ap tal he P{λ(X k θ θ } α È fale verfare he se ahe H è seple ed l paraetr è u sl, l test basat su MLR de quell pù ptete. Se H è psta l test basat su MLR sepre de quell ufreete pù ptete. Per pter deterare la rege rta el test basat su MLR è eessar dervare la dstrbuze d prbabltà d λ(x. Ne due esep seguet trattere due as partlar d test basat su MLR. Esep Suppa he X~N(µ; σ, σ t, e s vgla sttprre a test le ptes : µ µ vers H : µ µ sulla base d u ape d apezza estratt da X. I quest as s ha L( ; µ (πσ -/ ep ( µ σ L( ; (πσ -/ ep ( σ e qud la rege rta è data da λ( ep ( ( µ σ σ µ ep ( µ ep k σ σ / he, equvaleteete, può essere srtta el d seguete

8 6 µ / σ - lg k. D altr lat, dat he 0 < k segue he lg(k < 0 e qud -lg(k >0. Pst - lg(k z s ttee µ / σ z z µ z σ / α/. La statsta z vee haata statsta test e stt l ptes, quest as, s dstrbuse e ua v.. Nrale stadardzzata sì he s rfuta al lvell α se rsulta z z α/, ve z α/ s trva sulle tavle della rale stadardzzata ed è tteuta d he fssat α deve essere α X µ P z σ / α /. Il test basat su MLR ha alue prtat prpretà e stablt el seguete Terea (d Wlks Data la v.. X dstrbuze f(;θ se s sttpg a test le ptes : θ θ vers H : θ Θ utlzzad l rapprt d versglaza allra - lg λ(x L χ ( g ve g è l uer de paraetr da sttprre a test. Quest rsultat perette d strure l test ahe se è ta la dstrbuze d λ(x stt la dze he sa suffeteete grade (spess basta he sa 5 Se C è la rege rta per, allra l P{X C θ Θ } l P(G

9 Itrduze al test delle ptes 63 dpedeteete da θ. I altr ter, se è suffeteete grade allra la pteza del test è va ad u per g θ θ. Esep 3 Suppa he sa X~N(µ, σ, µ e σ gt, e s vgla sttprre a test le ptes : µ ; σ 9 vers H : µ ; σ 9 suppst d avere estratt u ape asuale 30, X 3, S 30. I quest as, utlzzad l rapprt d assa versglaza s ha λ( ( π 9 ( πs / / ep 8 ep S ( ( S 9 / ep 8 S 8 ( equvaleteete - lg(λ( - [lg S - lg9 + - S /9 - ( - /9]. La dstrbuze esatta sa d λ(x he d -lg(λ(x è lt plata e qud s può rrrere all apprssaze l Ch-quadrat per tteere ua rege rta apprssata. I quest as s ha Dat he - lg (λ(x L ( χ. - lg (λ( -30[lg30-lg /9 - (3- /9] 37., dalle tavle del Ch - quadrat rsulta ( ;0.05 χ 5.99; ( ;0.0 χ 9.; ( ;0.00 χ 3.8, pssa rfutare al lvell α.

10 Test basat sul rapprt d versglaza. Cas d plessa (LRT Se le ptes e H s etrabe plesse, è se : θ Θ vers H : θ Θ, Ω Θ Θ, allra: Il test MLR è basat sul rapprt λ( sup L( θ Θ 0 sup L( θ Ω, θ, θ sup L( θ Θ 0 L(, ˆ θ, θ Quat abba dett f ad ra può essere estes al as u θ sa u vettre d paraetr gt. Ua geeralzzaze d quat afferat el terea rprtat el paragraf preedete è data el seguete Terea (d Wlks Data la v.. X dstrbuze f( ;θ se s sttpg a test le ptes Allra : θ Θ vers H : θ Θ - lg λ(x L χ ( g ve g Dese(Ω - Dese(Θ. 5.6 Partlar test basat su MLR I quest paragraf preseta alu test, d larga utlzzaze prata, basat sul rapprt d assa versglaza e stt l ptes he la pplaze, le pplaz, d parteza sa dstrbute ralete. TEST SULLA MEDIA Suppa he sa X~N(µ ; σ, µ e σ gt e qud rsult θ (µ ; σ, e s vgla sttprre a test le ptes : µ µ, σ >0 vers H : µ µ, σ >0

11 Itrduze al test delle ptes 65 utlzzad l MLR test. I quest as Ω è sttut da u sepa, etre Θ s rdue ad ua seretta sì e llustrat ella fgura S ha sup θ Θ 0 L( ; µ, σ L( ; µ, s, s ( µ sup L( ; µ, σ L( ;, S, S ( θ Ω e qud l rapprt d versglaza è / ( πs ep ( µ s λ( / ( πs ep ( S Dp ua sere d svlupp, he per brevtà rprta, s arrva alla seguete statsta test: t ( ( X µ ( X µ ~ T ( X X s s ( X X. (- Idad t l valre d T tteut el ape avre he:

12 66 S rfuta al lvell α se rsulta µ t s t (-; -α/ Grafaete s ttee Naturalete, gl stess ragaet spra fatt s ha he: a se s vule sttprre a test le ptes : µ µ, σ >0 vers H : µ > µ, σ >0 S rfuta al lvell α se rsulta t ( s µ t (-; -α - t (-; α. Grafaete s ha ua stuaze e quella desrtta ella fgura seguete

13 Itrduze al test delle ptes 67 b se s vule sttprre a test le ptes : µ µ, σ >0 vers H : µ < µ, σ >0 S rfuta al lvell α se rsulta ( µ 0 t s t ( ; α t ( ; α Grafaete s ha ua stuaze e quella desrtta ella fgura seguete

14 68 Rrda he la v.. T d Studet è setra tr all zer e qud rsulta t (-; -α - t (-; α. S sserv ara he se e sta d σ al pst d s (sta dstrta d σ s usa S (sta asttaete dstrta d σ, teut t delle relaz he terrr fra s ed S, segue edataete he t s può srvere dffereteete t ( µ ( S s µ. Nelle prathe applaz, d slt, lvell a u s fssa α s rspettvaete 5%, %,. Gustfaze epra Veda ra d dare ua gustfaze, basata su argetaz d tp tutve, alla dervaze della statsta test t spra rprtata. Per fare quest falzza la stra atteze al as u : µ µ, σ >0 vers H : µ > µ, σ >0 (per gl altr l ragaet è sle ve µ e σ s paraetr gt d ua v.. X dstrbuta e ua rale. Sappa he la sta ttale d µ e σ è data rspettvaete da e s e queste s dpedet. I tale stuaze sa prtat a rfutare se ( - µ è pstva e grade, etre sa prtat ad aettarla se ( - µ è pla. Bsga stablre sa s tede per grade e per pla. Putualzzad, se è vera, ua statsta test he sebra plausble è data da:

15 Itrduze al test delle ptes 69 ( - µ ~ N σ 0;, a dat he la sua dstrbuze dpede dal paraetr gt σ può essere usata per strure l test. Se la stadardzza ttea µ σ / σ ( µ ~ N(0, he, dpeded ara da σ, è pvtale e, qud, utlzzable e statsta test. Se al pst d σ ssttua la sua sta ttale s ttea t ( s µ ~ T ( - he è la statsta test pvtale dervata preedeza. Esep 4 Suppa d avere u fee aleatr X e he sa X~N(µ, σ µ e σ gt. S vule sttprre a test le ptes : µ 3 vers H : µ >3 Estraa da X u ape asuale d 0 eleet tteed seguet rsultat apar 3; 5; 4; ; 5; 6; 3; 4; 5; La eda e la varaza apara s quest as, rspettvaete he pla 3.9; S -.69; S.3 ( µ 3( t.077 S.3 Dalle tavle della v.. T d Studet g9 grad d lbertà ttea

16 70 t ( 9; 5%.833; t ( 9; %.8 Quest vule dre he al lvell d α 5% s può rfutare a la s può rfutare al lvell d α %. I deftva dre he l test è sgfatv al 5%. Se le ptes da sttprre a test fsser state : µ 3 vers H : µ 3 tal as l valre d t sarebbe stat esattaete l stess, etre avre avut t ( 9; -.5%.6; t ( 9; -0.5% 3.50 ed quest as pteva rfutare eahe al lvell del 5%. Esep 5 Data la pplaze X~N(µ, σ, µ e σ gt, verfare : µ 0 vers H : µ > 0 utlzzad le fraz d u ape d 6 eleet da u s è ravat.5 e S 6. Sappa he quest as la rege rta ttale, tteuta trate l rapprt d assa versglaza, è data da he quest as dveta µ t S / t ( 5, -α

17 Itrduze al test delle ptes 7 t t 4/ 5 ( 5, -α ve t ( 5, -α è, al slt, l (-α peretle della T-d Studet 5 grad d lbertà. I partlare, per tre lvell d α 5%; %; s ttee rspettvaete ed essed t ( 5, ; t ( 5, ; t ( 5, t 3.5 > t ( 5, ; t 3.5 < t ( 5, s rfuta al lvell α %, a s può rfutare al lvell dell. I tal as s de pù stetaete he l test è sgfatv all %. D altr lat, s rava he la rege rta è ahe data da λ / ( T + k equvaleteete da -lg(λ( lg T + k Ma per derataete grade, se è vera, sappa dal Terea d Wlks he è -lg(λ(x lg T + χ ( e qud ua rege rta apprssata è tteuta da ( ( P{ χ k} - P{ χ < k} α P{ χ ( < k µ µ } -α

18 7 ve k χ ( ;a s derva dalle tavle della v.. χ (. I quest as rsulta lg T + 6 lg ( Metre per slt tre lvell d α 5%; %;, dalle tavle del Ch-quadrat u grad d lbertà ttea rspettvaete ( ;0.05 χ 3.84; ( ;0.0 χ 6.63; ( ;0,00 χ 0.8 e dat he è -lg(λ( 8.57 > -lg(λ( 8.57 < ( ;0.05 χ 3.84; ( ;0.00 χ 0.8 s arrva alle stesse lus d quelle tteute la rege rta esatta. TEST SULLA DIFFERENZA FRA DUE MEDIE Suppa he X ~N(µ ; σ e X ~N(µ ; σ sa due v.. dpedet e s vgla sttprre a test, utlzzad MLR, le ptes : µ µ, σ >0, σ >0 Η : µ µ, σ >0, σ >0 Per far quest utlzza due ap dpedet (,,..., ; (,,..., estratt, rspettvaete da X ed X. S ha Ω {µ, µ, σ, σ } : spaz a quattr des Θ {µ µ, σ, σ } : spaz a tre des. Dat he due ap s dpedet la fuze d vers-

19 Itrduze al test delle ptes 73 glaza è L(, ; µ, µ, σ, σ L ( ; µ, σ L ( ; µ, σ ed l rapprt d versglaza è par a λ(, a L( µ, σ L ( µ, σ [ µ, σ, ] L(,, ˆ, ˆ σ σ σ µ µ µ. E rsulta lt plata la rera del ass del ueratre d λ(,. Quest prblea, t e prblea d Behres- Fsher, aette ua sluze esatta e le sluz apprssate trvate s tutte pù e sddsfaet. Ua delle pù sepl dvuta a Baerj el 960 prpe d usare la seguete rege rta al lvell α: Rfutare se la dsuguaglaza seguete è vera - t S / t S + ( - t S + t S ve -, -, t è l valre allat sulla T-d Studet grad d lbertà tale he P { T t } α / ( per,. vers Il prblea rsulta d pù fale sluze se vee rdtt al seguete : µ µ µ, σ σ σ >0 H : µ µ, σ σ σ >0 I quest as le due v.. X ed X ha la stessa varabltà e qud la stessa fra e dffers, se è falsa, sl per la eda (as d shedasttà. S ha he

20 74 Ω {µ, µ, σ }: spaz a tre des Θ {µ, σ }: spaz a due des I tal d, la sta ML d µ, µ, σ Ω è data, rspettvaete, da ; S + + ( ( per u L(,,S / ( } ( ( { π ep{-(+/} Veversa, la sta ML d µ e σ Θ ο è data, rspettvaete, da + + S + + ( ( ( ( ( e qud, l rapprt d versglaza rsulta par a

21 Itrduze al test delle ptes 75 / ( ( ( ( ( λ he dp alue seplfaze, rprtate per brevtà, dvee: [λ(x] /(+ T + + Per quat dett el as del test su ua sla eda s ha: Se è H : µ µ H : µ - µ 0 S rfuta se rsulta / ; ( t ( s ( s ( t α + > Grafaete le reg d aettaze e rfut s: g +-. Se è H : µ > µ H : µ - µ > 0

22 76 S rfuta al lvell α se t ( s + ( s ( + + > t (+-;-α, he grafaete dvee: 3 Se è H : µ < µ H : µ - µ < 0 La rege rta è data da (s rfuta se t ( s + ( s ( + + < t (+-;α - t (+-;-α, he grafaete dvee: Gustfaze epra Veda ra d dare ua gustfaze d tp tutv alla dervaze della statsta test t spra rprtata. Per fare quest falzza la stra atteze al as u s vule sttprre a test : µ µ, σ >0 vers Η : µ > µ, σ >0 ve tre paraetr µ, µ, σ s relatv a X ~N(µ ; σ e X ~N(µ ; σ X e X dpedet. I tal as sa prtat a rfutare se - è pstva e grade, etre sa prtat ad aettarla se la stessa è pla. Bsga stablre sa s tede per grade e per pl. Se è vera ua sta-

23 Itrduze al test delle ptes 77 tsta test plausble è ( - ~ N 0; σ σ + N 0; σ +, a è utlzzable dat he la sua dstrbuze dpede dal paraetr gt σ. Se la stadardzza ttea σ + ~ N(0, he, dpeded ara da σ, è utlzzable e statsta test. Se al pst d σ ssttua la sua sta ttale s ( + + ( ( s + ( s + S + S + ttea stt t s + / S + S ( + ~ T + (+- he è la statsta pvtale dervata preedeza. Ntare he per la sta d σ, ue a X e X, abba utlzzat gutaete le fraz apare prveet da X e da X, tal d s rsulta dstrta e suffete, e qud ttale, per σ. TEST SU UNA PERCENTUALE Suppa d avere ua pplaze fta P psta da H utà d rlevaze (apezza della pplaze u arattere d teresse dt el ses he K utà della pplaze s del tp ed H-K del tp 0. I prata, v s lte stuaz tal arattersthe, per esep: bu/attv; gust/sbaglat; s/; ash/fea; testa/re; aqut/ aqust; prdu/ prdu; e. Idha

24 78 K H K p, q -p H H rspettvaete la peretuale degl eleet d tp e d tp 0 preset ella pplaze. I geere, è ta H a è gta K e qud p. Il prblea he s vule affrtare è quell d strure u test per l paraetr gt p del tp: : p p vers H : p > p 0 < p < fssat. Per dare ua rspsta al prblea, estraa berullaaete (è resse da P u ape d apezza tteed (,,...,. Al varare del ape asua desrverà ua v.. X la stessa struttura della pplaze e presaete P(X p; P(X 0 -p q, per,,...,. I altr ter, asua X è ua v.. d Berull dpedete e la sta ttale d p è data sepleete dalla frequeza relatva: pˆ he, per quat gà vst per la v.. Bale frequeza, rsulta pˆ ~ BF(, p E( pˆ p, var( pˆ pq. Ma allra, rrred ad ua predura sle a quella del test sulla eda, s può utlzzare e statsta test la seguete z pˆ p ( pˆ p p( p p( p ed è fale verfare he, al varare del ape, se è vera, z desrve la v.. Z

25 Itrduze al test delle ptes 79 E(Z 0, var(z. La dstrbuze esatta d Z è d plessa dervaze. D altr lat, rrdad l terea del lte etrale, s rava falete he per derataete grade s ha Z N(0,. I prata, s può rteere grade se rsulta >0 el as u sa p q e egl altr as se è p( p 5 30 Hp( p 3 Hp( p I queste dz s rfuterà al lvell α se rsulta z > z (-α. Se l ptes alteratva è H : p < p la relatva rege rta al lvell α è data da z < z (α - z (-α, etre se l ptes alteratva è H : p p la rege d rfut al lvell α è data da z > z (-α/ ve le quattà del tp z (α s peretl della rale stadardzzata e s rprtat elle tavle della rale stadardzzata. TEST SUL CONFRONTO DI DUE PERCENTUALI Nel as u s vgla sttprre a frt le peretual p e p d due pplaz dthe: : p p vers H : p > p utlzzad le fraz d due ap berulla estratt dpedeteete da asua delle due pplaz:

26 80,,..., ;,,..., ragaet del tutt sl s ha he la statsta test rsulta par a ve abba pst: pˆ pˆ z [ pˆ ( pˆ ]( / + / pˆ, pˆ, pˆ pˆ + pˆ +. Stt, per ed suffeteete grad, rsulta Z N(0, per u s rfuterà al lvell α se rsulta z > z (-α. Per as H : p < p ed H : p p s prede la usuale tea vsta preedeteete. Se l estraze apara è fatta seza resse, e suede elle prathe applaz, gl svlupp fral s pù pless ahe se rsultat fal s dfa sl argalete. Ifatt, quest as, dad f la peretuale d eleet estratt dalla pplaze, detta H ahe fraze d apaet, s dstra he è ara etre pˆ pq var( pˆ ( f ; E( pˆ p e stt, se è grade ed f pla, s ttee

27 Itrduze al test delle ptes 8 z pˆ p p( p ( f he al varare del ape d dstrbuse bua apprssaze e ua v.. N(0, e qud la rege rta è defta e al slt. È teressate sservare he per pplaz ftaete grad è f 0 ed rsultat, e tutvaete attes, d quell dell estraze berullaa. Esep 6 I ua fabbra H0 pera ve e s alu he sffr d ua deterata allerga he s sspetta dvuta alla preseza d ua partlare sstaza usata ella lavraze. Iltre, è t he ella pplaze geerale la peretuale d lr he sffr d quella allerga, è par a p S vule stablre se fra gl pera della fabbra v è ua aggre deza d quella patlga rspett a quat suede ella pplaze geerale ppure. I tal as bsga sttprre a test : p p 0.3 vers H : p>0.3 Per rspdere al quest vee estratt a as u ape d N95 pera e sttpst alla relatva prva allerglga. Da queste prve è rsultat he 36 pera era allerg alla sstaza sspetta e 59 allerg. Avre, pertat pˆ 36/ , - pˆ 59/ e qud, supped he l estraze sa berullaa ttea z.68 e dat he per α 0.05 rsulta z ( , rfut l ptes al lvell del 5%. Se l estraze fsse stata effettuata seza resse tal as avre avut f 95/ e qud z.756 ed ahe quest as avre rfutat al lvell del 5%. I deftva pssa dre he, u lvell d errre del pr tp par al 5%, la sstaza utlzzata quella prduze ha ua deza ell allerga superre a quat rstrat ella pplaze. Osserva, fe, he quest as s ha

28 8 p( p 9.95 > 5 30 p( p 95 > p( p e qud l apprssaze alla rale rsulta gustfata. TEST SU DATI APPAIATI Suppa d avere ua pplaze dppa (X,Y e presaete (X, Y~N(µ, µ y, σ, σ y, σ y, ve que paraetr della rale dppa s gt, e s vgla sttprre a test : µ y µ vers H : µ y > µ sulla base d u ape d apezza estratt da (X,Y: (, y, (, y,..., (, y. Osserva he, affhé l test abba ses, due aratter X ed Y dev essere frtabl. I partlare X può essere terpretat e l arattere d trll, etre Y e l trattaet u dat esperet a u gl sggett s stat sttpst. Per esep se ad dvdu vee pra sstrat, a lr saputa, u plaeb e p u dat fara allra X è l effett plaeb ed Y l effett fara. Osserva ara he stuaz del geere fra X ed Y esste d slt u qualhe legae leare surat da σ y d u bsga teer t el test. I altr ter, s tratta d u test sul frt fra ede dat dpedet. Osserva ltre he, per asu sggett, la dese d sstrare pra l fara pra l plaeb vee effettuata a as. La dervaze frale del test avvee ua predure sle, ahe se pù elabrata, a quella llustrata el as d X ed Y dpedet. Qu d segut rprta, per sepltà, la gustfaze epra. Ahe quest as è plausble rfutare se ( y - è pstva e grade e qud bsga stablre quad quella quattà è grade e quad è pla. Se è vera, per ua prpretà della rale, al varare del ape s ha ( Y X ~ N σ + σ y σ 0; y

29 Itrduze al test delle ptes 83 e stadardzzad s ttee σ ( Y X + σ y σ y ~ N(0,. Ssttued quest ulta espresse al pst d σ, σ y, σ y la lr sta ttale data rspettvaete da s ( ; s y ( y y s rava s y t ( ( y y ( Y X ~T (-. s + s s y y S rfuta al lvell prefssat α se rsulta t > t (-; -α. C u ragaet sle: a s rfuta : µ y µ vers H : µ y < µ se t < -t (-; -α, b s rfuta : µ y µ vers H : µ y µ se t > t (-; -α/. Ntare he pst D Y - X, he rappreseta l vatagg del trattaet

30 84 sul trll, s ha edataete var(d var(y-x σ + σ y σ D ~ N( µ, σ σ + σ σ z z y y y d y -,,,..., ; d ( σ y y - ; var( D + σ y σ y s D ( d d s + s y - s y, La statsta test t s può srvere pù sepleete e t d s D ~ T (-. I altr ter, l test su dat appaat s rdue al test sulla eda d Z ed quest partlare as, per esep, s testa : µ D 0 vers H : µ D > 0 he è equvalete a : µ µ y vers H : µ > µ y. S sserv he elle prathe applaz è veete allare la statsta test quest ult d. Esep 7 Nella tabella seguete abba rprtat l su d gasl per gla d N7 ahe pra (X e dp u dat trattaet (Y Mahe y d y

31 Itrduze al test delle ptes 85 S vule sttprre a test l ptes he l trattaet ha avut, eda, alu effett tr l ptes he ha avut u effett pstv. Per far quest utlzza l test per dat appaat allad la sta della eda e della varaza d Z. Ottea: d s D.0857 e qud t e dat he al lvell α 0.05 rsulta t (6; avre t.37 > t (6; per u rfutere l ptes he l trattaet abba alu effett e sa prtat ad aettare quella he abba, vee, u effett pstv. Ntare he se quest as avess teut t della dpedeza de dat a- vre dvut utlzzare la statsta test t ( y ( ( s + s y tteed t 0.97 he prterebbe, erreaete, all aettaze d e qud al rfut he l trattaet abba eda effett sul su d gasl. TEST SULLA VARIANZA Suppa he sa X ~N(µ ; σ, µ e σ gt, e s vgla sttprre a test, utlzzad la MLR, le ptes. : σ σ vers H : σ > σ Nella fgura he segue s dat gl spaz Ω, Θ e Θ. Ω

32 86 Abba gà vst he è L( ; µ, σ (πσ -/ ep ( µ σ. e dp alu svlupp s ttee l rapprt d assa versglaza: λ( / S σ ep ( + σ dp ua sere d passagg: S rfuta al lvell α se > ; ( 0 ( α χ σ ; ( S s ( α χ σ σ χ >. Se le ptes da sttprre a verfa s

33 Itrduze al test delle ptes 87 : σ σ vers H : σ < σ La rege rta per H, gl stess ragaet, dveta σ 0 ( < χ ( ;α χ ( s σ S σ < χ ( ; α Gustfaze epra Qu d segut da ua gustfaze epra per la deteraze della rege d rfut del test. Osserva he s vule sttprre a test : σ σ σ vers H : σ > σ σ > σ σ sulla base d u ape asuale (,,..., estratt da X~N(µ, σ. Sappa he la sta ttale per σ è s e qud rsulta plausble utlzzare e statsta test s σ el ses he pù questa quattà è grade pù s è prtat a rfutare. Ma sappa he, se è vera, al varare del ape è ( s S χ ~ σ σ χ ( he è pvtale e qud utlzzable per strure l test. Esep 8 Data la pplaze X~N( µ ;σ s vgla sttprre a test : σ σ 4 vers H : σ > σ

34 88 teut t he sulla base d u ape d 6 sservaz rsulta 3; s ( Sappa he la rege d rfut per è data da χ σ ( s σ S σ χ ( ; α el str as s ha χ etre dalle tavle del Ch-quadrat (- 5 grad d lbertà rsulta ( ; 0.05 χ 37.7; (,0.0 χ 44.3 ed essed χ < ( ; 0.05 χ 37.7 e χ > ( ; 0.0 χ 44.3 s rfuta al lvell del 5%, a s può rfutare al lvell dell %. I altr ter, l test è sgfatv al 5%. CONFRONTO FRA DUE VARIANZE Suppa he sa X ~N(µ ; σ e X ~N(µ ; σ due pplaz dpedet e s vgla sttprre a test le ptes : σ σ σ vers H : σ > σ utlzzad le fraz teute e due ap asual (,..., ; (,...,. I quest as è Ω {µ, µ, σ, σ } Θ {µ, µ, σ } e qud

35 Itrduze al test delle ptes 89 a L(µ Ω, µ, σ, σ a L Ω (µ, σ a L Ω (µ, σ a L(µ, µ,σ Θ a L (µ, σ Θ a L (µ, σ Θ E dp alu passagg dat he stt, è F ( X ( X X X /( /( s s ~ F( ; I luse, s rfuta al lvell α se rsulta F s s S > F (-; -;-α. S Per allare F s pe al ueratre la sta della varaza suppsta H aggre. Naturalete valr della F (-; -;-α s rera sulle tavle della F-d Fsher (-; - grad d lbertà al lvell -α. Gustfaze epra Sappa he X ~ N(µ ; σ e X ~ N(µ ; σ s dpedet e s vule sttprre a test le ptes : σ σ σ vers H : σ > σ σ > σ σ utlzzad le fraz teute e due ap asual (,..., ; (,...,. Csdera le ste ttal d σ e σ tteed s e s e la statsta

36 90 s s he prterà a rfutare quat pù questa è d lt pù grade d, a sappa he stt è F s s ~ F ( -; - he è pvtale e qud utle per strure l test. Esep 9 Suppa he sa X ~N(µ ; σ e X ~N(µ ; σ s vule sttprre a test le ptes : σ σ vers H : σ > σ sulla base d u ape d 5 eleet estratt da X, he ha frt s ( 8, ed u ape d 0 eleet estratt da X, he ha frt s ( 4. Sappa he tal rstaze la rege rta ttale è data da e el str as è F s s > F (-, -; -α F ; F (4,9; per u s può rfutare al lvell α 5%. TEST SUL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE Bsga dstguere due as: ρ 0 e ρ 0.

37 Cas d ρ0 Itrduze al test delle ptes 9 Suppa d avere la v.. dppa (X, Y~N (µ, µ, σ, σ y, ρ e s vgla sttprre a test : ρ 0 vers H : ρ 0 sulla base del ape (, y,,(, y estratt dalla rale dppa (X, Y. I tal as sappa he, stt, è t r r ~ T (- ve r è la sta de et d ρ : ( ( y r ( ( y y y S rfuta, al lvell α, se è t r r > t (-; -α/. Cas d ρ 0 S vgla sttprre a test : ρ ρ 0 vers H : ρ ρ, 0 < ρ <. È pssble trvare sl ua rege apprssata basata sulla seguete trasfraze (detta d Fsher + r + ρ z lg ; z lg r ρ dat he s può dstrare, e aeat el aptl preedete, he

38 9 stt al varare del ape è (Z z 3 L N(0;, quest rsultat perette d dervare la seguete rege rta apprssata. Per derataete grade s rfuta, al lvell α, se rsulta z z 3 > z, ( -α/ ve, al slt, z ( s è dat l (-α/-es peretle della ra- -α/ le stadardzzata. Esep 0 Data la rale dppa (X, Y, vgla sttprre a test le ptes : ρ 0.5 vers H : ρ 0.5 sulla base d u ape d 03 eleet e r 0.4. I queste dz è e qud z.4.5 lg 0.436; z 0.6 lg z z Dalle tavle della rale stadardzzata, α 0.05, rsulta z ( , e quel fssat α s può rfutare. 5.7 Alu test paraetr I quest paragraf presetere breveete alu test paraetr d dffusa utlzzaze ua grade varetà d prathe applaz. TEST DI ADATTAMENTO Suppa d avere ua qualsas v.. X dsreta dsretzzata struttura prbablsta gta ed ua v.. Y dsreta dsretzzata ta. Iltre, suppa he etrabe assua le stesse daltà a, le da-

39 Itrduze al test delle ptes 93 ltà pss essere sa delle qualtà he delle quattà. I partlare suppa he la dstrbuze d Y sa la seguete y a a a 3... a k Tt. p p p p 3... p k Se pa p P{X a },,,...,k, le ptes he vgla sttprre a test s : p p,,,..,k, Dstrb.(X Dstrb.(Y H : p p, per ale ua Dstrb.(X Dstrb.(Y Queste ptes va verfate sulla base d u ape d apezza e- stratt berullaaete da X e rprtat ella dstrbuze d frequeza della tabella seguete Valr a a a k Tt. Frequeze k Ste d p pˆ pˆ pˆ k ve abba dat la frequeza assluta rferta alla daltà a e pˆ / la frequeza relatva, è la peretuale delle vlte he su prve fatte su X s è presetat l rsultat a he, per quat dett el aptl relatv alle varabl asual, s ste ttal delle prbabltà p. Quest tp d test l rslvere due d alteratv, a he, d slt, prta agl stess rsultat. Il pr d è quell d allare l rapprt d assa versglaza ed utlzzare l apprssaze astta. Presaete, quest as è Dese(Ω k-; Dese(Θ 0, tare he la dese d Ω è k- dat he le varabl s k date da p,..., p k ed esste l u vl p p. Teut t he ad g estraze apara d tp berulla è assata ua v.. d Berull, avre v.. d Berull dpedet d u assuera l valre a prbabltà p, assuera l valre

40 94 a prbabltà p,..., k assuera l valre a k prbabltà p k ; la relatva fuze d versglaza sarà data da k L(p p e l rapprt d assa versglaza è λ k k p pˆ k p pˆ k p e qud, per suffeteete grade, stt H s ha k - lg(λ - lg (p / pˆ - lg( - k p lg χ ( k S rfuta al lvell α se rsulta - lg(λ > χ ( k,α. Alteratvaete, s può ahe dstrare he, se p 5 per tutt gl,,,k, allra se H è vera rsulta k k ( p χ p p ( k χ. S rfuta al lvell α se rsulta χ > χ ( k ;α. Il test basat sul Ch-quadrat spra desrtt è dpedete dalle da-

41 Itrduze al test delle ptes 95 ltà a e qud può essere applat ahe a fee qualtatv rdabl. S dstra he quest test è p ptete, è la prbabltà dell errre del sed tp è elevata e s tede a rfutare ahe quad è afestaete falsa. Se la dstrbuze della v.. d frt Y è tua, per esep ell tervall (a, b teete l ed l ass delle a, e se suppa he le a sa state rdate ses resete, questa vee dsretzzata allad le prbabltà p P{h - Y < h }, per,...,k- p P{a Y < h }; p k P{h k- Y b} ve s è pst h (a + a + /. Queste prbabltà verra utlzzate per allare la relatva rege rta. Esep I u grade agazz s suppe he la prbabltà he u avvetre etr el egz e faa delle pere u de se gr lavratv della settaa è data da: gr: L M M G V S p : S vule verfare tale ptes sulla base d ua dage apara fatta su 00 let selt a as he ha dat seguet rsultat Dstrbuze epra gr pˆ L M M G V S Tt Dstrbuze tera gr p L 0 M 0 M 0 G 0 V 40 S 80 Tt. 00 Sappa he ua rege rta apprssata è data da k -lg(λ - lg p pˆ > χ ( k;α

42 96 ve k rappreseta l uer delle daltà della dstrbuze, ed ua alteratva alla preedete è data da χ k ( p p > χ ( k;α È fale verfare he el str esep rsulta k -lg(λ - p lg 6.5 pˆ k ( p χ p ( k, 0.05 χ. ed abedue le reg rthe prta all aettaze d. TEST SULL INDIPENDENZA Data ua qualsas v.. dppa (X, Y dsreta s vule sttprre a test Vers : X ed Y s dpedet H : X ed Y s dpedet sulla base d u ape asuale d utà estratt da (X, Y. Se suppa he X ed Y s v.. dsrete dsretzzate ed assu ppe d valr (, y j per u P{X, Yy j } p j,,..., k, j,..., h, allra l ptes è equvalete alla seguete : p j p. p.j, per g, j, ve p e p. abba dat le prbabltà delle argal X ed Y e pù.j presaete p. P{X }, p. j P{ Y y j }. I rsultat del ape pss essere rprtat ua tabella a dppa

43 Itrduze al test delle ptes 97 etrata del tp seguete Y\ X h y h. y h y k k k.. hk.k..... h. u le argal. ed. j s suppste fssate e qud ugual per tutt pssbl ap d apezza he s pss estrarre da (X, Y. I queste dz rsulta e qud Dese(Ω h k-; Dese(Θ h-+k- Dese(Ω - Dese(Θ h k-- (h-+k- (h- (k- e quest perhé esst vl: (a la sa delle frequeze j deve essere par ad, (b le frequeze argal s fssate. C u ragaet sle a quell fatt per l test d adattaet, s verfa falete he la fuze d versglaza è data da L(p j, j p j j ed l rapprt d assa versglaza dvee ve s è pst pˆ. λ. k h. pˆ. j k ;. j h j pˆ pˆ pˆ j j. j. j. j ; pˆ j j Ahe quest as, per N suffeteete grade, stt rsulta

44 98 j lg( j + lg( j lg( λ. lg(.. j lg(. j χ ( k( h. j S rfuta al lvell α se è - lg(λ > χ [ ( k ( h;α ]... j S dstra ahe he, se 5, per g, j ( altr ter, g asella della tabella dppa tera le frequeze s par ad ale 5, allra χ k h j ( j * j * j χ ( k( h ve s è pst * j.. j. S rfuta per al lvell α se rsulta χ > χ [( k ( h; α ]. Esep Data la seguete tabella he lassfa vt, rprtat da u ape asuale d studet, per lass d vt e dversa faltà Fa.\ Vt Ttale A B C D

45 Itrduze al test delle ptes 99 Ttale s vule sttprre a verfa l ptes he Vt e Faltà sa dpedet. Per far quest arpa le rghe A e B da u lat e quelle C e D dall altr, ltre etta see le le 8- e -4. I tal d ttea la seguete tabella Fa.\ Vt Ttale A B C D Ttale per la quale, a dffereza d quella rgara, è sepre *.. j j 5 e la relatva rege rta al lvell α è data da equvaleteete χ * ( j j > χ * (( h ( k ;α j j χ j > χ (( h ( k ;α j. j. Teut t he è χ. 966 (,.05 χ 5.99 è pssble rfutare al lvell d prbabltà del 5%. Se utlzza la rege rta tteuta l rapprt d versglaza s ttee lg( λ 5.45 ed ara ua vlta è pssble rfutare. TEST DI WILCOXON Quest test vee utlzzat per frtare due ede, relatve a pp-

46 00 laz dpedet, quad è plausble l ptes d raltà delle stesse e la uerstà de due ap è relatvaete pla. Suppa d avere le due pplaz X ed Y fuze d rpartz date rspettvaete da F(t e G(t gte. S vule sttprre a test H : F(t G(t vers H : G(t F(t. Nta he se H è vera la v.. Y tede ad assuere valr pù grad della v.. X. Iltre, teed t he F(t P(X t e G(t P(Y t segue he, se H è vera, deve essere P(Y>t P(X>t -G(t -F(t G(t F(t. Quest vul dre he, equvaleteete, s ha H : P(Y>t P(X>t G(t F(t. Se la H è vera s de he Y è stastaete pù grade d X. Grafaete, se è vera H, s ha ua stuaze e quella desrtta ella fgura seguete Per rslvere l prblea se aettare rfutare estraa, seza rpetze, da X u ape d apezza e, dpedeteete, da Y u ape d apezza tteed rspettvaete:,,..., y, y,..., y

47 Itrduze al test delle ptes 0 Csdera l ape d apezza +:,,...,, y, y,..., y, rdal ses resete ed assagl pr + uer ter: I, {,,...,, +, +,..., +}; sdera ragh delle estraz dalla X e delle estraz dalla Y ve: {r, r,..., r } {r +, r +,..., r + } r è l pst upat dalla X I, r è l pst upat dalla X I,... r è l pst upat dalla X I, r + è l pst upat dalla Y I,... r + è l pst upat dalla Y I, Bsga ra: (a selezare ua statsta test, (b trvare l valre sgla per l test, fssat α. S può dstrare he esste ua sluze ttale per l put (a, d altr lat è tutv apre he pù la eda delle Y è grade rspett alla eda delle X, pù s è prtat a rfutare. I questa tta, se sa la dstrbuze d X e d Y e qud abba fraz sulle lr ede, la sa pù vva è d frtare la eda d {r, r,..., r } quella d {r +, r +,..., r + } strued, sltude a quat fatt per l frt d due ede prveet da due pplaz ral dpedet, la relatva statsta t :

48 0 t r + r + ( r r + ve s è pst: r r ; r + + r ; r + + r. Rrdad quat dett per l ufre dsreta, s ha edataete Iltre r ; ( r r (+ ( +. + r r r a allra, pst W + + r è fale verfare he è t / ( + W ( + - (++ 3( + ( + /. Nta he t dpede, a e d stat te, fuz d e d, sl da W. La statsta W è detta statsta d Wl. I deftva, pssa afferare he per sttprre a test basta allare sl W, è la sa de ragh del ape estratt da Y (quell suppst statstaete pù grade. Per dervare l valre rt, fssat α P(E, è eessar dervare, stt l ptes, la dstrbuze d W al varare de due ap estratt r-

49 Itrduze al test delle ptes 03 spettvaete da X e da Y. Osserva he W assue l valre quad tutt gl ragh delle Y s a pr pst ed tal as s ha W (+/, etre assue l valre ass quad tutt gl ragh delle Y s agl ult pst ed tal as s ha W M (++(++...(+(++/ e qud s ha he ( + ( + + W e d segueza s è prtat a rfutare quad W è grade. L esep he segue stra e l test va strut u as ret. Esep 3 I trllr d u pat uleare pera due dfferet plthe, da la PI e la PII. Nella tabella he segue s rprtat tep, surat re, f a he s verfa u guast sa stt PI he stt PII. S vule sttprre a test : PI PII H : PII glre d PI G II (t F I (t Per stablre se aettare rfutare fur dtt 5 esperet stt PI e 5 stt PII tteed rsultat della tabella he segue X: PI Y: PII I quest as è 5. Attrbua ragh alle +0 sservaz, per far quest dbba pr lug rdare le 0 sservaz ses resete dad quale s rferse ad X e quale ad Y ed ttea: r X Y y y y y y I ragh sara

50 04 (r, r, r 3, r 4, r 5 (, 3, 4, 5, 6 per l arattere X (r 6, r 7, r 8, r 9, r 0 (, 7, 8, 9, 0 per l arattere Y Avre W Bsga verfare se l valre W 35 è da sderare grade ppure pl. Nel as queste, sappa he è 5 W 40 e qud: pù W è v a 40 pù sa prtat a rfutare pù W è v a 5 pù sa prtat ad aettare Per stablre se W 35 è grade pl è eessar allare la prbabltà, tteuta al varare del ape ell uvers apar, dell evet: (W 35 stt l ptes he sa vera. Se questa prbabltà è grade s prtat ad aettare, se è pla s prtat a rfutare. I ter fral bsga allare: p P(W 35. Osserva he se quest as usass l usuale test t sul frt fra due ede dpedet tterre 6 y 5.8 s 90 s y ( t.55 4( ( e rfutere (è he µ e µ y s ugual ua prbabltà presa fra 5% e 0%. Nta ara he quest as l ptes he le due varaze sa ugual (dspesable per pter applare rrettaete l t-test può essere aettata dat he rsulta F s s y 8.6 etre F (4, 4; % 6.00 sa he può avere frt segueze sulla pteza del test t.

51 Itrduze al test delle ptes 05 Per l us del test W s state strute delle tavle, rprtate appede, he perett d allare p a partre dalla dstrbuze d U W - ( +, 0 ed. Le tavle suddette rprta le prbabltà P(W W P ( + ( + W W P ( + U W P{U - a} P{U a} fuze delle stat a - W + ( + k {, } Esep 4 Nel as dell esep preedete rsulta: k a{, } C P(W 35 P{U 5-5} W 35; 5; 5; k 5; k 5; a ed rrspdeza della trpla (k 5; k 5; a 5 dalla tavla tata s trva p he è v a quell trvat stt l ptes d raltà e d uguale varabltà d X ed Y. Nel as u è, > 0 l valre d p può essere trvat utlzzad l apprssaze d U alla rale. Per far quest è eessar dervare la

52 06 eda e la varaza d U. S può dstrare he è E(U ( + + ; var(u e he rsulta pertat U ( + + / N(0, s rfuta al lvell α se è U ( + + / z (-α. Osserva he ell eserz preedete rsulta.57 z (-α he prta al rfut d sl se è α tr l valre d p Ce s può tare, l apprssaze astta è lt bua e quest dpede essezalete dal fatt he quest as è, < 0. S può dstrare he la v.. U è setra tr alla sua eda e qud s ha a allra la quattà P U + k U P U k è ua statsta test per l as blaterale : F(t G(t H : G(t < F(t F(t < G(t.

53 Itrduze al test delle ptes 07 S può, ltre, dstrare he l test d Wl è pettv l test T-d Studet dat he la assa perdta d pteza d W rspett a t è ferre al 5% el as u l test t è ttale (fee dstrbut ralete e uguale varaza, altret la pteza d W è ettaete superre a quella del test t. Nel test d Wl spra llustrat s è pltaete suppst he fra dat apar d X e d Y v sa valr rpetut. I prata spess alu valr pss rpeters ed tal as l valre de ragh può essere assat a asu ed y d uv. Quad s preseta as d quest tp a valr he s rpet vee ssttut al rag ter la lr eda. Per essere pù har, suppa he valr sservat per Y ed relatv ragh asseza d rpetz fsser y : r : tal as quest ragh dvra essere ssttut da seguet r : ve 7.5 è la eda d 7 ed 8 etre è la eda d 0, e, qud s prede e gà vst. Il test he e rsulta è ara abbastaza bu spee se ed s aggr d 0. TEST DEI SEGNI Quest test è la varate paraetra del test sul frt fra ede per dat appaat se l ptes d raltà bvarata è ssteble; ltre, vedre he può essere partlarzzat per sttprre a test ua sla eda ruved l ptes d raltà del fee. Suppa d avere u fee bvarat (X, Y e d aver sservat a as u ape d ppe (, y dpedet ed detaete dstrbute. Pù partlare suppa he: è l trll y è l trattaet. Sa Z Y-X e z y -,,,...,. Suppa he la fuze d rpartze F(t d Z sa gta a tua. S vule sttprre a test l ptes

54 08 : Il trattaet Y ha effett. Questa ptes equvale a dre he Z Y - X ha la stessa fuze d rpartze d - Z X - Y. Ma allra Z è setra tr all zer, è: I deftva, H dvee P{- Z t} P{Z - t} - P{Z < -t}, : F(t - F(-t F( t ve s è pst F ( t - F(-t. Per quel he rguarda l ptes alteratva, quest as, è H : Il trattaet Y ha effett pstv he è equvalete a dre he Z è stastaete pù grade d -Z, è P{Y - X > t} P{X - Y > t} he a sua vlta equvale a F(t F ( t. I deftva, le ptes he s vule sttprre a test pss essere fralzzate el d seguete Sa S la statsta sì tteuta : F(t F( t vers H : F(t F ( t. s Nuer[z (y - > 0] è s uer delle dffereze (y - pstve. Osserva he, ell uvers de ap, è sepre 0 S quest vul dre he s rfuta se s è grade, è supera u ert valre rt. Dall pstaze data al prblea s può ahe essere terpretata e uer d suess (quat z s pstv prve dpedet e dat he P{Z > 0} - F(0. Segue edataete he s, stt H, ed al varare del ape ell uvers apar geera la v.. Bale S: S ~ B(; -F(0

55 Itrduze al test delle ptes 09 Se è vera s aspetta he l uer delle z pstve sa uguale a quelle egatve, altr ter he -F(0 per u rsulta (S ~ B(; / pertat l valre rt s ttee dalla v.. Bale paraetr (; / rprtata ua delle tavle dell appede. Iltre, se è > 0 la B(; / è bee apprssata da ua rale eda / e varaza /4 per u: S rfuta al lvell α se rsulta s > z (-α ve la state / è stata trdtta per teere t del fatt he la Bale, he è dsreta, è stata apprssata la Nrale he è tua. Esep 5 Rpreda dat dell esep 7 Mahe y z y da u rsulta edataete s 5 ed avre p P(S 5 P(S5 + P(S6 + P(S La prbabltà d rfutare quad è vera è pù del % e qud s è prtat ad aettare. Se utlzza l apprssaze rale ttea

56 0 s > z (-α e dalle tavle della rale segue edataete he questa dsuguaglaza è verfata se è -α he pla α 0.5 he è ua dsreta apprssaze del valre esatt pra dervat. Rrda he ell esep 7 l test su dat appaat stt l ptes d raltà prtava al rfut d. Osserva he quest test può ahe essere utlzzat per ptes alteratve blateral teed t he tal as la statsta test dvee sepleete s Osserva ara he l test prpst può essere utlzzat, e as partlare, per strure test paraetr su ua eda ped elle frule e e ragaet preedet z y - µ. Nel test del seg appea vst vee pres sderaze l seg delle dffereze z y - a l lr valre quest prta ad ua rduze della pteza he l rede spess affdable. 5.7 Ce agl tervall d fdeza I quest paragraf trattere breveete d u arget d grade utltà prata. Nelle applaz a fee ret, l pù delle vlte, teressa sapere se per u geer paraetr gt θ è da aettare rfutare ua data ptes, a quale tervall ade ua vlta fssata ua deterata prbabltà. I ter geeral, fssata la prbabltà d errre del pr tp α bsga dervare le fuz (X e (X d d he rsult P { ( X θ ( X } α e l tervall [ (X ; (X ] sa ttale qualhe ses. Nel segut per ttale tedere l ervall pù pl pssble. Ove X da, e al slt, la v.. geerata dal ape d eleet estratt da X. Rleva he [ (X ; (X ] è ess stess ua v.. vst he è fuze d X e qud la frula spra srtta va terpretata e:

57 Itrduze al test delle ptes Il pù pl tervall asuale [ (X ; (X ] he tee, ell -α per et de as, l paraetr gt θ. I prata, s pssede u sl ape (,,, he perette d allare u sl tervall. Per quest s parla d tervall d fdeza tervall fduar vst he s spera he quest u tervall tega l paraetr ver prbabltà par ad -α. I as he llustrere el segut, d rlevaza prata, hars quat s è f qu afferat. I geerale, per dervare tale tervall utlzzere la rege d aettaze de test blateral. INTERVALLO DI CONFIDENZA PER LA MEDIA Sa X~N(µ ; σ, µ e σ gt, e s vgla strure, sulla base del ape sservat (,,, u tervall u prbabltà par ad - α ada l valre gt della eda. Quest tervall vee dett tervall d fdeza per la eda. Dal test delle ptes blaterale della eda sappa he per : µ µ vers H : µ µ ha ses usare la statsta t ( µ he stt s dstrbuse e ua T-d Studet (- grad d lbertà rege rta C data, per la setra della v.. T, da ve al slt è µ t s (-; -α/ - t (-; α/ P{T t (-; -α/ } α/; P{T t (-; α/ } α/. Quest pla he la rege d aettaze C è data, qualsas sa µ, da s t (-; α/ ( µ s t (-; -α/ he, dp sepl passagg algebr, teut t della setra della v.. T, pla l seguete: L tervall d fdeza per µ è dat da

58 - s t (-; -α/ µ + s t (-; -α/ Se la pplaze d parteza è rale l tervall trvat è vald sl asttaete. Esep 6 Data la pplaze X~N(µ ; σ, µ e σ gt, s vule strure per µ u tervall d fdeza al lvell - α 0.95 sulla base d u ape d 0 sservaz per l quale è rsultat 3 e s 5. Sappa he l tervall d fdeza ttale per µ al lvell -α è Dat he è s s + t (, a / ; + t (, a / t (9; - α / - t (9; α /.6 l tervall d fdeza rsulta par a [3-5 / 0.6; / 0.6] [.4005; 4.856] INTERVALLO DI CONFIDENZA PER UNA PERCENTUALE Abba vst he el as d pplaz dthe ed estraze berullaa u test aettable per : p p vers H : p p è basat sulla statsta asttaete pvtale z ( pˆ p p ( p he stt s dstrbuse asttaete e ua N(0,. La relatva rege rta C è

59 Itrduze al test delle ptes 3 pˆ p p ( p > z (-α/ - z (α/ quest pla he la rege d aettaze è data, qualsas sa p, da z (α/ ( pˆ p p ( p z (-α/ he dp sepl trasfraz, teed t della setra della rale e ssttued a valr gt le relatve ste, pla l seguete: Itervall d fdeza al lvell -α per l paraetr p el as d estraze berullaa pˆ ( pˆ pˆ - z (-α/ p pˆ + z (-α/ pˆ ( pˆ Nta he l errre tllerable ε al lvell -α pra d effettuare l estraze del ape è dat da ε pˆ - p z (-α/ p( p ve p è gt. Se tea t he p(-p è ass per p/ s ha edataete he ε pˆ - p z (-α/ quest perette d allare l errre ass tllerable al lvell (-α fssat, da questa è pssble dervare fssat ε: z (α / 4ε he rappreseta la uerstà assa del ape, fssat l errre tllerab-

60 4 le, al lvell (-α. C u ragaet sle, el as d estraze seza resse s ha he: L tervall d fdeza al lvell -α per l paraetr p el as d estraze seza resse è dat da pˆ ( pˆ pˆ - z (-α/ ( f pˆ ( pˆ p pˆ + z (-α/ ( f etre, l errre ass tllerable, fssat ed α, è par a ε pˆ - p z (-α/ ( f, la uerstà assa, fssat l errre tllerable ed α, è par a 4Hε (α / + z (α / H z ve H s è data la uerstà della pplaze da u l ape vee estratt. Esep 7 Rpreda l as rprtat ell esep 6 u è H 0, 95, f , pˆ I queste dz l tervall d fdeza per p el as d estraze resse al lvell -α 0.95 è dat da ( p ( [0.84 p ] Nel as d estraze seza resse l tervall d fdeza è dat da ( p ( [0.857 p 0.473]

61 Itrduze al test delle ptes 5 Ce s può tare l tervall d fdeza tteut el as d estraze bl, e attes, è pù rt d quell dell estraze berullaa. Quest è ua fera della aggre effeza dell estraze bl rspett a quella berullaa. Derva ra l errre ass tllerat per 95 ed al lvell α 5% e due sste d estraze. Dalle frule spra rprtate ttea ε.96( ε.96( per l as berulla per l as bl. Ce s può vedere l errre ass è abbastaza rlevate vst he g as supera l 9%.