POLITECNICO DI TORINO

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1 POLITECNICO DI TORINO EERCITAZIONI DI LOGITICA Laurea Igegera Lgstca e della Prduze Crs d Lgstca e d Dstrbuze 1 Dcete: Prf. Ig. Gul Ztter Tutre: Ig. Gula capacc A.A. 007/008 VERIONE 3

2 METODI EPLANATORY NOTA: MATERIALE PROPEDEUTICO AL CORO NON OTITUICE IL TETO DI RIFERIMENTO REGREIONE LINEARE EMPLICE POLITECNICO DI TORINO - EERCITAZIONI LOGITICA DI DITRIBUZIONE 1 AUTORE: G. CAPACCINO - VERIONE 3.0 FONTE: DALLA RETE

3 - a è l'tercetta della retta d regresse, - b è l ceffcete aglare; ess dca la quattà utara d cu vara Y al varare d ua utà d. La rappresetaze grafca evdeza che l terme cstate a, chamat tercetta, fssa la psze della retta rspett all asse delle rdate: - a è l valre d Y, quad è uguale a 0. Due rette che dffersca sl per l valre d a, qud c b uguale, s tra lr parallele. Cme evdeza l dagramma cartesa precedete, g put spermetale ha ua cmpete d errre e, che rappreseta l scart vertcale del valre sservat dalla retta (qud tra la Y sservata e quella prettata perpedclarmete sulla retta). Pché la retta d regresse serve per predre Y sulla base d, l errre cmmess è quat la Y predetta ( Yˆ ) s avvca alla Y sservata ( Y ). Utlzzare u qualsas put spermetale per stmare a prterebbe ad avere tate stme dverse quat s put spermetal, tutt affett apput da u errre dvers. D csegueza, cme put d rfermet - per stmare a e cstrure la retta, - vee utlzzat l put detfcat da valr med d Y e d (Y e ), - che rappreseta l barcetr della dstrbuze, attravers l quale la retta passerà sempre per cstruze. 13

4 Nel calcl della retta d regresse, l'tercetta a è stmata a partre da b e dalle mede delle varabl e Y sulla base della relaze a Y b D csegueza, l'uca reale cgta è l valre del ceffcete aglare b. Per calclare la retta che megl apprssma la dstrbuze de put, è utle partre dall'sservaze che g put sservat Y s dscsta dalla retta d ua certa quattà e detta errre resdu Y a + b + e Ogu d quest valr e può essere pstv ppure egatv: - è pstv quad l put Y spermetale è spra la retta (cme ella fgura precedete), - è egatv quad l put Y spermetale è stt la retta. Per cstrure la retta che descrve la dstrbuze de put, prcp a qual rferrs pss essere dfferet e da ess derva metd dvers. Gl statstc ha scelt l metd de mm quadrat. La retta scelta è quella che rduce al mm la smma de quadrat degl scart d g put dalla sua preze vertcale (parallel all asse delle Y). E u valre del tutt detc alla devaza e permette aals sml a quelle dell'anova, che verra successvamete spegate. I md pù frmale, dcad c - Y l valre sservat d emprc e c - Y $ l crrspdete valre sulla retta, s stma cme mglre terplate, quella che mmzza la smmatra del quadrat degl scart de valr sservat (Y ) rspett a quell stmat sulla retta ( $ Y ) Pché è pssble scrvere e da essa 1 ( Y Y $ ) mm e Y (a + b e (Y (a + b )) e (Y (a + b )) ) mm mm 14

5 Eguaglad a zer le dervate parzal, s trva l valre d b che mmzza tale smmatra b ( ) ( ) ( Y Y) ( ) + ( Y Y) [ ( ) ( Y Y) ] ( ) Dp semplfcaze, l valre d b rsulta uguale al rapprt della cdevaza d e Y c la devaza d, che è pù facle rcrdare cme Cd b Dev Y La cdevaza è u ccett acra ctrat el crs d statstca, pché serve ell stud d due varabl: stma cme e Y vara cgutamete, rspett al lr valre med. E' defta cme la smmatra degl prdtt degl scart d rspett alla sua meda e d Y rspett alla sua meda: Cd Y ( ) ( Y Y ) 1 Cme la devaza, ache la cdevaza ha ua frmula emprca d abbrevata che permette u calcl pù rapd Y Cd Y ( Y ) e precs a partre da dat campar. Ifatt evta l us delle mede, che s quas sempre valr apprssmat e mpg d trascare e var calcl alcu decmal. I ccluse, l ceffcete aglare b è calclat dalle cppe de dat spermetal e Y cme b che e defsce l sgfcat, ppure dalla equvalete frmula rapda d emprca ( ) ( Y Y) ( ) 15

6 b ( Y ) ( Y ) Dp aver calclat b, s stma a : a Y b Nt valr dell'tercetta a e del ceffcete aglare b, è pssble prcedere alla rappresetaze grafca della retta. Ache a quest scp, è mprtate rcrdare che la retta passa sempre dal barcetr del dagramma d dsperse, dvduat dal put d'ctr delle due mede e Y. D csegueza, è suffcete calclare l valre d Yˆ crrspdete ad u sl qualsas valre d (vvamete dvers dalla meda), per traccare la retta che passa per quest put calclat e per l put d'ctr tra le due mede. e s stat cmmess errr d calcl, qualsas altr put Yˆ stmat ella rappresetaze grafca deve rsultare cllcat esattamete sulla retta traccata. E u prcp elemetare che può servre cme u prcedmet semplce ed emprc, all scp d verfcare la crrettezza d tutt calcl effettuat f a quel put EEMPIO. Per sette gva de, dcate c u umer prgressv, è stat msurat l pes Kg e l'altezza cm. 16

7 Idvdu Pes (Y) Kg Altezza () cm Calclare la retta d regresse che evdez la relaze tra pes ed altezza. Rspsta. Cme prm prblema è ecessar dvduare quale è la varable dpedete, che deve essere dcata c, e quale la varable dpedete, dcata c Y. e esste tale relaze udrezale d causa - effett, da mtvare c csceze della dscpla che esula dalla statstca, è pù crrett utlzzare la crrelaze leare semplce. Tra le due sere d msure dell esemp, la varable dpedete è l'altezza e la varable dpedete è l pes. Ifatt ha sgfcat stmare quat dvrebbe pesare u dvdu rapprt alla sua altezza, ma vceversa. uccessvamete, dalle 7 cppe d dat s dev calclare le quattà ( Y ) 76945; 104; Y 445; 07598; 7 che s ecessare per - la stma del ceffcete aglare b b che rsulta uguale a 0,796 ( Y ) ( ) Y ,796 - la stma dell tercetta a a Y b che rsulta uguale a -73, ,571 0, ,354 è rcavata la retta d regresse 17

8 $Y -73, ,796 c la quale è pssble stmare put sulla retta, crrspdet a quell spermetalmete rlevat. Per traccare la retta è suffcete calclare u sl altr put, ltre quell t dvduat dall crc delle due mede, che detfca l barcetr della dstrbuze; d rma, ma ecessaramete, è scelt etr l camp d varaze delle emprche. uccessvamete, s deve prlugare l segmet che per estrem ha l put stmat ed l barcetr della dstrbuze, cme ella fgura d segut rprtata PEO Y ALTEZZA Qualsas altr valre d Y $, stmat a partre da u geerc, sarà cllcat su questa retta, se s stat cmmess errr d calcl ua fase qualsas del prcedmet. E qud utle, a dmstraze emprca della crrettezza d calcl effettuat a ma, verfcare effettvamete tale prpretà per u altr valre della varable. Nel sua terpretaze blgca, l valre calclat d b dca che meda gl dvdu che frma l campe aumeta d 0,796 Kg. al crescere d 1 cm. altezza. E qud vv che, se l altezza delle 7 gva fsse stata msurata metr (1,60; 1,78;...), l ceffcete aglare b sarebbe rsultat uguale a 79,6 (cet vlte l valre precedetemete stmat), dcad l cremet d 79,6 g. per l aumet d 1 metr altezza. 18

9 Nell stess md e smmetrcamete, se l pes fsse stat stmat ettgramm (50, 680,...) e l altezza sempre cetmetr, l ceffcete aglare b sarebbe rsultat uguale a 7,96 dcad u aumet med del pes d hg. 7,96 per u aumet d 1 cm altezza. ccett utl, quad s dev cfrtare due pù ceffcet aglar d rette d regresse e frre terpretaz a carattere blgc ambetale. Il valre d a mlt spess è mprtate. erve slamete per calclare valr sulla retta; ha u scp strumetale e essu sgfcat blgc. I quest esemp, ella realtà a esste, pché è fur dal camp d varaze della e sprattutt esste alcua persa c l altezza 0 (zer). L tercetta ha sgfcat sl pch cas; ad esemp quad s cfrta due metd per stmare la stessa quattà, che ptrebbe essere 0. e per 0, l valre d Y è dfferete s ha a 0 : sgfca che due strumet ha ua taratura dfferete, la cu quattà è dcata dal valre d a. ccett che sara rpres el paragraf dedcat alla sgfcatvtà e all tervall d cfdeza dell tercetta a VALORE PREDITTIVO DELLA REGREIONE La retta d regresse è svete usata a scp predttv, per stmare ua varable csced l valre dell altra. Ma è ecessar prcedere c cautela: questa peraze spess vee dmetcat che, - stt l aspett statstc, qualsas prevse stma d Y è valda slamete etr l camp d varaze spermetale della varable dpedete. Quest camp d varaze cmprede sl valr sservat della, usat per la stma della regresse. Per valr mr maggr, è asslutamete dmstrat che la relaze trvata tra le due varabl perssta e sa dell stess tp. L'ptes che la relaze stmata s matega cstate ache per valr ester al camp d sservaze è ttalmete arbtrara; estraplare dat all ester del reale camp d sservaze è u errre d tecca statstca, accettable slamete el ctest specfc della dscpla studata, a cdze che sa mtvat da ua maggre csceza del feme. I alcu cas, quest metd è utlzzat apput per dmstrare cme la legge leare trvata pssa essere valda per valr ferr superr, state l assurdtà della rspsta. 19

10 Nell'esemp del paragraf precedete, la relaze trvata tra Y e c la retta d regresse è valda slamete etr u'altezza cmpresa tra 160 e 183 cetmetr. E' da rteere statstcamete errat usare la retta stmata per predre valr d Y fuze d valr d che sa mr d 160 maggr d 183 cetmetr. Cme dmstraze semplce d tale prcp, e var test d statstca s rprtat esemp ache dvertet, ma è pssble usare la retta calclata. Ua bamba alla ascta d rma ha u'altezza (lughezza) d crca 50 cetmetr. Che pes dvrebbe avere, se la relaze precedete fsse applcable ache al su cas? La prsecuze della retta stmata per ua lughezza ( ) uguale a 50 cm. Yˆ -73, ,796-73, , ,554 frsce u pes med (Y ) uguale a Kg. -33,554. E ua rspsta charamete assurda, evdezata ella fgura, pché la relaze leare calclata per gva da 160 a 183 cm. d altezza può essere estesa a dmes dverse. E tutv che gl effett sara tat pù dstrt, quat maggre è la dstaza da lmt spermetal utlzzat per l calcl della regresse. PEO ALTEZZA 0

11 Nella rcerca applcata l evluze temprale e la dffuse spazale d u feme s cas rcrret d us della regresse leare a f predttv. I dat, - se rdat secd l perd, s chamat sere tempral strche, - metre s chamate sere terrtral quad rdate sulla base della dstaze dal lug d rlevaze. aals partclarmete mprtat per verfcare l aumet ( della dmuze) de tass d quamet ad zare da u cert mmet ppure per aalzzare la dffuse gegrafca d u quate a partre da ua fte. Ua sere temprale può essere scmpsta 4 cmpet: - la cmpete d fd, detta tred, che e rappreseta l evluze pù mprtate, a lug terme; - le scllaz perdche, stagal, cclche che s rpet c reglartà ad tervall cstat; - le varaz casual, rcducbl a essua causa cstate; - gl evet eccezal, che s grad d mdfcare le tedeze d med d lug perd. Per esse e per le sere terrtral, tra metd specfc è utlzzata la regresse, partclare per predre la tedeza d fd. Per apprfdmet sull argmet delle sere strche terrtral, s rva a trattaz specfche IGNIFICATIVITÀ' DEI PARAMETRI β E α DELLA RETTA DI REGREIONE C le frmule presetate, è sempre pssble tteere la retta che megl s adatta a dat rlevat, c qualuque frma d dsperse de put. Tuttava, all statstc l semplce calcl della retta è suffcete. Essa ptrebbe dcare - ua relaze reale tra le due varabl, se la dsperse de put tr alla retta è rdtta, - ua relaze casuale sgfcatva, quad la dsperse de put tr alla retta è apprssmatvamete uguale a quella tr alla meda. Le tre fgure successve (A, B, C), rappresetad md schematc stuaz spermetal tevlmete dfferet, pss llustrare quest ccett c semplctà e charezza. 1

12 Y Y Y Y A) B) Y Y C) La fgura A rprta ua retta che, vsvamete, esprme la relaze tra le due varabl: put ha dstaze dalla retta d regresse sesblmete mr d quelle dalla meda (Y ). Csced, l valre stmat d Y può avvcars mlt a quell reale, rappresetat dal put. All ppst, la fgura C evdeza ua stuaze cu la retta calclata è u mglramet effettv della dstrbuze de put rspett alla meda. I quest cas, la retta calclata può essere terpretata cme ua varaze casuale della meda: c quest dat, la retta ha ua pedeza

13 pstva; ma c u altr campe estratt dalla stessa pplaze c l agguta d u sl dat della stessa pplaze s ptrebbe stmare u ceffcete aglare (b) egatv. Il cas B raffgura ua stuaze d maggre certezza sulla sgfcatvtà della retta calclata; la semplce rappresetaze grafca rsulta suffcete per decdere se all aumet d valr d Y teda realmete a crescere. E sempre ecessar rcrrere a metd che, a partre dagl stess dat, cduca tutt alle stesse cclus. test d fereza. Per rspdere alle dmade pste, ccrre valutare la sgfcatvtà della retta, cè se l ceffcete aglare b s dscsta da zer md sgfcatv. Il ceffcete aglare b è relatv al campe. La sua geeralzzaze ella pplaze è dcata c β (beta) e la sua sgfcatvtà è saggata medate la verfca dell'ptes ulla H 0 H: 0 β 0 Rfutad l'ptes ulla e seza altre dcaz, s accetta l'ptes alteratva a due cde H 1 H 1 : β 0 Affermare che β è uguale a zer, ella regresse leare sgfca che - al varare d, - Y resta cstate, uguale al valre dell'tercetta a. D csegueza, esste alcu legame d regresse predttv tra e Y, pché la prma camba metre la secda, che dvrebbe essere da essa determata, resta cstate. Rfutad l'ptes ulla, mplctamete s accetta l'ptes alteratva H 1 che β sa dvers da zer: al varare d s ha ua crrspdete varaze sstematca d Y. D csegueza, s afferma che la regresse esste, perché csced s ha frmaze ulla sul valre d Y. Per la verfca della sgfcatvtà della retta calclata, u metd semplce e ddattcamete utle alla cmprese del sgfcat statstc della regresse è l test F, fdat sulla scmpsze delle devaze e de relatv gdl. Nelle fgure sttstat A e B, dcad c - Y l put spermetale, - c $ Y la sua preze (parallela all asse delle rdate) sulla retta, - c Y la meda, 3

14 a partre dalla smma de quadrat delle dstaze tra tre put (Y, Y $ e Y ) s defsc tre devaze, cme ell aals della varaza ad u crter: - la devaza ttale, c gdl -1, - la devaza della regresse devaza dvuta alla regresse, c gdl 1, - la devaza d'errre devaza dalla regresse resdu, c gdl -. secd le frmule d segut rprtate c relatv gdl: - Devaza ttale (Y Y c gdl -1 (Fg. A) ) - Devaza della regresse ( Ŷ Y c gdl 1 (Fg. B, parte ferre) ) - Devaza d errre (Y Y ˆ ) c gdl - (Fg. B, parte superre) Queste frmule defsc l sgfcat delle 3 devaze. Ptrebber essere usate per stmare valr, ma rched calcl lugh e frsc rsultat apprssmat, pché fdat sulle mede e su valr della retta, che s quas ma valr esatt e mpg l us d decmal. Per effettuare md pù rapd e precs calcl, s utlzza le frmule abbrevate: - Devaza ttale ( Y Y ) c gdl -1 4

15 - Devaza della regresse Cd Y c gdl 1 Dev rcrdad che, sempre c le frmule abbrevate, e Cd Y ( Y ) ( Dev Y ) uccessvamete, per dffereza, s calcla la devaza d'errre: - Devaza d errre (Devaza ttale Devaza della regresse ) c gdl - Dal rapprt - della devaza della regresse c su gdl s stma la varaza della regresse; - della devaza d'errre c su gdl s ttee la varaza d'errre. e l ptes ulla è vera, la varaza d errre e la varaza della regresse stma le stesse gradezze e qud dvrebber essere sml. e vece esste regresse (H 0 falsa), la varaza della regresse è maggre d quella d errre. Il rapprt tra queste due varaze determa l valre del test F c gdl 1 e - F (1, -) Varaza della regresse Varaza d' errre Tercamete, quad l ptes ulla è falsa, s tteg valr sgfcatvamete maggr d 1. I pratca, se l valre d F calclat è ferre al valre tabulat, relatv alla prbabltà prefssata e a gdl crrspdet, s accetta l'ptes ulla: s ha ua regresse leare statstcamete sgfcatva. Al ctrar, se l valre calclat d F supera l valre tabulat, s rfuta l'ptes ulla e pertat s accetta l'ptes alteratva: la regresse leare tra le due varabl è sgfcatva. Gl stess ccett pss essere espress c term pù tecc. 5

16 - e β 0, la varaza dvuta alla regresse e quella d'errre s stme dpedet e vzate della varabltà de dat. - e β 0, la varaza d'errre è ua stma vzata della varabltà de dat, metre la varaza dvuta alla regresse è stma d ua gradezza maggre. - D csegueza, l rapprt tra le varaze (varaza d'errre/varaza della regresse) c d.f. rspettvamete 1 e - è da rteers utle alla verfca dell'ptes β 0. Il test applcat è dett ache test d leartà. Ifatt, rfutare l'ptes ulla sgfca affermare che tra e Y essta alcua relaze, ma slamete che esste ua relaze d tp leare tra le due varabl. Ptrebbe esstere ua relaze d tp dfferete, cme quella curvlea, d secd grad d grad superre. EEMPIO. C le msure d pes ed altezza rlevat su 7 gva de Idvdu Pes (Y) Kg Altezza () cm è stata calclata la retta d regresse Y$ 73, , 796 Valutare la sua sgfcatvtà medate l test F. Rspsta. Valutare se esste regresse tra le due varabl c l test F equvale a verfcare l ptes H 0 : β 0 ctr l ptes alteratva H 1 : β 0 Dp calcl prelmar de valr rchest dalle frmule abbrevate ( Y ) Y Y precedetemete rprtate, s tteg le tre devaze: 6

17 445 - Q ttale , , (76945 ) 7 - Q della regresse ( ) , Q d errre 403, , 618 8, 097 Per presetare md char rsultat, è sempre utle rprtare sa le tre devaze e df relatv, sa le varaze rspettve, ua tabella rassutva, Devaza DF Varaza F P Ttale 403, Regresse 31, ,6 19,59 <0.01 Errre 8, ,4 --- che frsce tutt gl elemet utl al calcl e all terpretaze d F. C dat dell'esemp, l valre d F 31, 6 F (,) 15 19, 59 16, 4 rsulta uguale a 19,59 c df 1 e 5. I valr crtc rprtat elle tavle sttche d F per df 1 e 5 s - 6,61 alla prbabltà α ,6 alla prbabltà α Il valre calclat è superre a quell tabulat alla prbabltà α Pertat, c prbabltà P ferre a 0.01 (d cmmettere u errre d I tp, cè d rfutare l ptes ulla quad realtà è vera), s rfuta l'ptes ulla e s accetta l'ptes alteratva: ella pplaze dalla quale è stat estratt l campe d 7 gva de, esste u relaze leare tra le varaz altezza e quelle pes. 7

18 La verfca della sgfcatvtà della retta verfca dell'essteza d ua relaze leare tra le due varabl può essere attuata ache medate l test t d tudet, c rsultat perfettamete equvalet al test F. Cme gà dmstrat per l cfrt tra le mede d due camp dpedet d dpedet, ache el test d leartà l valre d t c df - è uguale alla radce quadrata d F c df 1 e - t ( -) F(1, -) ppure t( ) F(1, ) Il test t è fdat su calcl che s ddattcamete me char d quell del test F, per la cmprese de parametr rprtat elle frmule; ma per l fereza ffre due vatagg - può essere pù faclmete applcat ache a test ulateral, H 1 : β < 0 ppure H 1 : β > 0 - permettere l cfrt c qualsas valre (β 0 ), ( sl 0 cme c l test F) qud verfcare l ptes ulla H 0 : β β 0 vvamete sempre c ptes alteratve H 1 blateral ppure ulateral. I test ulateral - sl s pù ptet d quell blateral, - ma spess s ache lgcamete pù adeguat e crrett a f della rcerca. Ad esemp, sulla relaze leare tra altezza e pes f ad ra utlzzat, - è pù lgc u test ulaterale (all aumetare dell altezza l pes aumeta) - che u test blaterale (all aumetare dell altezza l pes vara), pted a prr escludere cme accettable l rsultat che all aumetare dell altezza l pes med pssa dmure. 8

19 Il test t è fdat sul rapprt tra l valre del ceffcete aglare b ed l su errre stadard La frmula geerale può essere scrtta cme dve - β 0 è l valre attes, t ( -) b β0 - b è determat dalla radce quadrata del rapprt tra la dsperse de dat spermetal (Y) tr alla retta d regresse ( $ Y ) e la devaza ttale d. b b. b Varaza d' errre della retta Devaza ttale della e ( ) Nella verfca della sgfcatvtà della regresse β è uguale a 0; ma essa può assumere qualsas valre d cfrt ptzzat (β 0 ); d csegueza, la frmula può essere utlzzata per verfcare la sgfcatvtà dell scstamet da qualuque valre attes. U cas relatvamete frequete ella rcerca applcata csste el verfcare se l ceffcete aglare campar b può essere dsaccrd c la tera che Y aumet d ua utà all aumetare d ua d, cè se β 1. rcrre a quest cfrt, ad esemp, quad s raffrta rsultat d due metd d valutaze che dvrebber dare gl stess valr. E' mprtate sservare che - l'errre stadard d b ( b ) dmusce, qud l valre d t dveta pù sgfcatv, - all'aumetare della devaza d. L sservaze ha applcaz mprtat ella prgrammaze degl espermet, per la scelta de valr campar d. suppga d dver valutare la regresse tra pes ed altezza. pe u prblema d sceglere gl dvdu, a f d trvare ua regresse sgfcatva. Mlt s cert se sa preferble - sceglere dvdu d altezza meda, c la mtvaze che rappreseta l cas tpc, - sceglere dvdu che cpra tutt l camp d varaze dell altezza. Per tteere pù faclmete la sgfcatvtà della pedeza della retta, è sempre vataggs utlzzare per la varable u camp d varaze mlt amp, c pù msure cllcate a valr estrem. 9

20 Ifatt - se la devaza d è grade, l valre d b è pccl; - d csegueza l valre d t è grade e pù faclmete sgfcatv. La varaza d'errre della retta è data da e c df - è chamata ache errre stadard della stma; e ( Y ˆ Y ) E fdata su valr attes e qud l su calcl rchede var passagg. Può essere stmata c le frmule presetate el test F, dve la devaza d'errre è tteuta md rapd per dffereza tra la devaza ttale e quella dvuta alla regresse. Quad è ta la retta, è pssble calclare la devaza dvuta alla regresse drettamete da valr spermetal d e Y medate Devaza della regresse Y a Y - b ( Y ) EEMPIO 1. C le stesse 7 msure d pes ed altezza degl esercz precedet, stmare la sgfcatvtà della regresse medate l test t d tudet. Rspsta. E vataggs e pù lgc rcrrere ad u test ulaterale, qud verfcare se l pes aumeta md sgfcatv al crescere dell'altezza. Tuttava, quest cas e sl c l scp d cfrtare l rsultat del test t c quell del precedete test F, è stat prefert u test blaterale. Rcrdad da calcl precedet che, s e 16,4 7 ( ) b l valre d t 5 t 1 0,796 0, , 4 b 510 4,437 b 0,1794 rsulta uguale a 4,437. Cme gà mess evdeza vare altre ccas, l test F ed l test t da l medesm rsultat. Ifatt, F 15, 19, 59 crrspde a t 5 19, 59 4, 46 30

21 (La pccla dffereza tra 4,437 e 4,46 dpede da var arrtdamet usat elle due dfferet sere d calcl.) EEMPIO. C ua rcerca bblgrafca, è stat trvat che l ceffcete aglare β 0 della retta d regresse tra altezza () e pes (Y) ua pplaze è rsultat uguale a 0,950. Il valre d 0,796 calclat sulle 7 gva se e dscsta md sgfcatv? Rspsta. E u test blaterale, quat chede semplcemete se l valre calclat b s dscsta md sgfcatv da u valre attes, dve H 0 : β 0,950 e H 1 : β 0,950 Applcad la frmula t ( -) b β s trva 0, 796 0, 950 0, 154 t (5) - 0,858 0, , 1794 b u valre d t uguale a c 5 df. E u rapprt ferre all utà, qud seza dubb sgfcatv. D csegueza, s deve ccludere che è dmstrata l essteza d ua dffereza tra l ceffcete aglare rprtat sulla pubblcaze e quell spermetalmete calclat c 7 dat. Quad è pssble rfutare l'ptes ulla mert al ceffcete aglare b (pertat la retta campara può essere assuta cme sgfcatva d ua relaze leare tra le due varabl), la rspsta a dvers valr d è frta dalla meda d Y, della quale può essere utle la csceza della varaza e della devaze stadard. C la smblga rma csueta, la varaza ( ) e la devaze stadard ( ) della meda Y, Y Y s rspettvamete e e Y Y e Nella rcerca ambetale, ltre alla sgfcatvtà del ceffcete aglare b spess è mprtate verfcare ache - la sgfcatvtà dell'tercetta a (rspett a zer) 31

22 - la sgfcatvtà della sua dffereza da u valre attes prefssat. Il ccett è detc al cfrt tra ua meda campara e la meda reale µ della pplaze. Il cfrt è verfcat rcrred acra alla dstrbuze t, c ua frmula aalga a quella per la meda e per l ceffcete aglare b. U cas frequete è quad l rge della retta dvrebbe ccdere c l rge degl ass; qud c 0 s dvrebbe Y 0, cè ua rspsta meda d a che s dscsta sgfcatvamete da 0. Il test può cmuque essere applcat al cfrt c qualsas valre attes dell tercetta e l ptes alteratva H 1 può essere sa ulaterale che blaterale. Per la sgfcatvtà dell tercetta a, s verfca l ptes ulla H 0 : α 0 metre per l cfrt dell tercetta a c u geerc valre attes α 0 s verfca l ptes ulla H 0 : α α 0 dve - α è l valre della pplaze dalla quale è stat estratt l campe che ha permess l calcl d a. Il test è effettuat c l calcl d u valre d t, c gdl - quat fdat sulla varaza d errre della retta; è dat da dve - a è l'errre stadard dell'tercetta ed è stmat cme t ( ) a α a a e 1 + ( ) ( ) c e che dca la varaza d errre della retta (gà utlzzata per stmare la sgfcatvtà del ceffcete aglare b ). EEMPIO. Utlzzad gl stess 7 dat della relaze pes - altezza, cu a 73,357 e 16,101 7 ( )

23 stmare se l'tercetta a s dscsta md sgfcatv da zer. Rspsta. Per verfcare l ptes ulla c ptes alteratva pché l errre stadard d a a è uguale a 30,599 s ttee u valre del t d tudet uguale a -,397 c 5 df. H 0 : α 0 H 1 : α , t 73,357 30,599 5,397 30,599 Per u test blaterale, l valre crtc d t c 5 df alla prbabltà α 0.05 è uguale a,571. D csegueza, l'tercetta calclata rsulta sgfcatvamete dversa da zer. I realtà l valre è csì vc alla sgfcatvtà che, c u umer maggre d dat, l test sarebbe rsultat sgfcatv. Per ua terpretaze pù atteta e me affrettata del rsultat, s pe l prblema d stmare la pteza del test effettuat, prma d affermare c suffcete scurezza che l ceffcete aglare b ppure, cme quest cas, l cetta a s sgfcatvamete dfferet da zer ppure da u qualuque valre attes CONFRONTO TRA LA IGNIFICATIVITA E LA POTENZA DEL TET DELLA REGREIONE CON QUELLE DELLA CORRELAZIONE Cme rsulterà evdete alla fe della espsze degl argmet che rguarda la crrelaze, la regresse leare semplce e la crrelaze leare semplce ha - faltà dfferet, - cdz d valdtà dfferet, - e test d sgfcatvtà rspd a dmade dfferet. Nella verfca della sgfcatvtà, - c la retta d regresse, l ptes ulla verte sul valre del ceffcete aglare b : H 0 : β 0 33

24 - ella crrelaze, l ptes ulla verte sul valre del ceffcete r: H 0 : ρ 0 Cme sarà llustrat e paragraf successv, quad s effettua l cfrt c u qualsas valre terc, - c l ceffcete aglare b, s verfca l ptes ulla H 0 : β β 0 - c l ceffcete d crrelaze r s verfca l ptes ulla H 0 : ρ ρ 0 Tuttava, la regresse e la crrelaze pss essere calclate sulle stesse cppe d dat. Per ambedue, - la sgfcatvtà può essere stmata sa c l test F sa c l test t, - test ha gl stess grad d lbertà, - le ptes alteratve pss essere ugualmete blateral ppure ulateral., - rsultat della sgfcatvtà s detc: l test t e l test F per la sgfcatvtà d b frsc l stess valre d quell applcat su r. ulla base d queste afftà s ugual ache - la pteza a prr, cè l umer d dat () che serv affché l ceffcete aglare b l ceffcete d crrelaze r rsult sgfcatvamete dfferet da zer da u valre prefssat, - la pteza a psterr, cè la prbabltà (1-β) d rfutare crrettamete l ptes ulla, u test sulla sgfcatvtà d u ceffcete aglare b ppure u ceffcete d crrelaze r. D csegueza, per l calcl della pteza della regresse s può utlzzare la prcedura per la crrelaze, dp aver rcavat r da dat della regresse da su dc. Quest valre r può essere rcavat a partre - dal ceffcete d determaze R (spegat u paragraf successv) c r R - dal ceffcete aglare b e dalle due devaze c 34

25 ( ) ( Y Y ) r b Ne paragraf successv d quest captl, sara presetat ache metd per cfrtare due ceffcet aglar b 1 e b, all scp d verfcare se apparteg alla stessa pplaze c ceffcete aglare β. Ache per la crrelaze, el captl successv sara presetat metd per cfrtare due ceffcet d crrelaze r 1 e r, per verfcare se apparteg alla stessa pplaze c ceffcete d crrelaze ρ. I md aalg al cas precedete, ache per quest test d cfrt tra ceffcet d due camp dpedet è pssble stmare - la pteza a prr, cè l umer d dat () che serv affché ceffcet aglar b 1 e b ppure ceffcet d crrelaze r 1 e r rsult sgfcatvamete dfferet tra lr, - la pteza a psterr (1-β) d u test d cfrt tra due ceffcet aglar ppure tra due ceffcet d crrelaze. Ache per l calcl della pteza d u test sul cfrt tra due ceffcet d regresse, s utlzza la prcedura della crrelaze (spegata el captl sulla crrelaze). Per quat rguarda gl aspett ccettual dell us del ceffcete d crrelaze r, all scp d valutare la sgfcatvtà del ceffcete aglare b, s rva al paragraf specfc el captl sulla crrelaze INTERVALLI DI CONFIDENZA DEI PARAMETRI β E α L us della retta d regresse a f predttv rchede che pssa essere stmat l errre d prevse - del ceffcete aglare β - dell tercetta α. I lmt d cfdeza s utl ache per evetual cfrt c u parametr prefssat, qud a f dell fereza, cme gà fatt per la meda campara. Ifatt u qualsas valre campar b 0 ppure u valre β 0 d ua pplaze, se è cmpres etr lmt d lmt d cfdeza d u altr ceffcete aglare b, è sgfcatvamete dfferete da ess. Questa aals ccde c rsultat d u test t blaterale, alla stessa prbabltà P. 35

26 Cme per la meda, - csced β e la sua devaze stadard σ β - è pssble determare l tervall d cfdeza de valr campar b alla prbabltà P, attravers la dstrbuze rmale rdtta Z. b β ± Zα / σ β I realtà, ella rcerca quas sempre l prcedmet lgc ha la dreze ppsta: s cerca d stmare l parametr della pplaze (β ppure α) che d slt è gt, a partre dalle statstche ( b ppure a ) calclate su dat campar. Calclat u valre b, l ceffcete aglare della pplaze (β) c prbabltà P s trva etr lmt dell tervall d cfdeza L 1 e L L 1 b t (, α ) b spess scrtt pù rapdamete cme dve - b è l errre stadard d b L β b b + t(, α ) ± t(, α ) b b b e ( ) Per l'tercetta campara ( a ), l valre reale della pplaze (α) s trva etr l tervall dve - a è l'errre stadard d a α a ± t (, α ) a c a e 1 + ( ) ( ) - e che etramb cas dca la varaza d errre, stmata c l test F 36

27 EEMPIO. Rcrred agl stess dat su altezza e pes, c qual s stat calclat la retta e la sua sgfcatvtà, s è tteut b 0,796 b 0,1794 t (5,0.05),571 t (5, 0.005) 4,03 a -73,357 a 30,599 tmare alla prbabltà α 0.05 e a quella α 0.01 a) l tervall d cfdeza del ceffcete aglare β b) l tervall d cfdeza dell tercetta α. Rspsta. A) L'tervall d cfdeza del ceffcete aglare β alla prbabltà del 95% è 0, 796, 571 0, 1794 β 0, 796 +, 571 0, 1794 cè 0, 335 β 1, 57 - L 1 è uguale a 0,335 - L e uguale a 1,57. può ache scrvere che l valre della pplaze c prbabltà del 95% è cmpres tra l lmte d cfdeza ferre L 1 0,335 e l lmte d cfdeza superre L 1,57. Alla prbabltà del 99% è 0, 796 4, 03 0, 1794 β 0, , 03 0, 1794 cè 0,073 β 1,519 l valre reale β è cmpres tra L 1 0,073 e L 1,519. B) L'tervall d cfdeza per l'tercetta α alla prbabltà del 95% è 73, 357, , 599 α 73, 357 +, , , 07 α 5, 313 cmpres tra L 1 15,07 e L 5,313. Alla prbabltà del 99% è 73, 357 4, 03 30, 599 α 73, , 03 30, , 73 α 50, 018 cmpres tra L 1 196,73 e L 50,

28 Ache queste applcaz, cme gà evdezat per la meda della pplaze (µ) rspett alla meda campara ( ), l tervall d cfdeza cstrut attr al valre campar cresce, quad s aumeta la prbabltà che ess cmpreda l valre reale. Per semplctà ddattca e cme aut alla esecuze d tutt calcl rchest dalle frmule, è stat utlzzat u umer d dat mlt lmtat, ettamete ferre a quell che s usa ella rcerca. D csegueza, parametr della retta ha tervall mlt amp; tale rsultat è partclarmete evdete per l tercetta a INTERVALLI DI CONFIDENZA DELLA RETTA O INTERVALLI DI PREVIIONE PER I VALORI MEDI DI Yˆ TIMATI Nella rcerca applcata all aals e alla geste dell ambete, s rleva utl tre dvers cas d stma dell tervall d cfdeza: - del ceffcete aglare, cme el paragraf precedete; - del valre med d Y stmat ( Yˆ ), crrspdete ad u dat valre d ; è l cas cu s smmstra ua sstaza tssca ad u grupp d cave e s vule prevedere quale sarà l effett med sulla lr crescta, suppst che essta la relaze leare gà stmata tra dse e accrescmet; è chamat ache tervall d cfdeza della retta, essed fatt la stma d g put sulla retta; - d u sgl valre d Y stmat, sempre crrspdete ad u dat valre d ; è l cas cu s vgla predre la rspsta d u sgl sggett, cme succede al medc che per u pazete vgla stmare la rspsta dvduale pssble alla smmstraze d ua dse d u farmac. Il valre med d Yˆ, cllcat sulla retta e crrspdete ad u dat valre attravers la fuze Yˆ a + b può essere stmat Ma spess l cetta a è fur dal camp d rappresetaze del grafc, cetrat sul barcetr ctr de valr med e Y. E qud pssble utlzzare la frmula equvalete Yˆ Y + b ( ) EEMPIO. Calclare l valre med Yˆ prevst per 180, c dat sull altezza delle 7 ragazze. 38

29 Rspsta. C per 180 c la prma frmula s rcava e c la secda a -73,35 b 0,796 Y 63,57 17,0 ˆ 73,35 + b , ,8 69,93 Y ( ,0) 63,57 + 6,36 69, 93 ˆ 63,57 + 0,796 Y L tervall d cfdeza d quest valre med d Yˆ valre attes d Yˆ crrspdete ad u sgl valre d de alte 180 cm., è stmat medate la frmula cme può essere l tervall d cfdeza del pes med d gva dve Yˆ ± t (, α ) e 1 + ( ) ( ) 1 - Yˆ è l valre prevst med d Y per u dat valre della varable, - e è la varaza d errre della regresse (16,6), - è la dmese del campe, - è l valre d del quale s prevede la rspsta meda Yˆ, - ( ) 1 è la devaza d. Questa frmula eleca fattr che s utlzzat ella stma e spega cme ess che flusc sull'ampezza dell'tervall d cfdeza della retta 39

30 80 70 PEO ALTEZZA Itervall d cfdeza per valr med d Yˆ al 5% (lee a put) e all'1% (lee tratteggate) Per ua data prbabltà P, - aumeta al crescere della varaza d'errre, - dmusce all'aumetare del umer d sservaz, per l'effett cgut del valre d t, α e del rapprt 1/, - dmusce al crescere della devaza d, - vara fuze de valr d, c valr mm quad è vc alla sua meda e valr massm quad ha dstaza massma dalla meda. E mprtate evdezare questa ultma caratterstca. Il valre ( ( ) 1 ) è dett valre d leva (leverage) dell sservaze sul valre della retta. 40

31 A dffereza d quat succede per l tervall del ceffcete aglare, l'tervall d cfdeza della retta valre med attes Yˆ è cstate, ma vara c ua fuze perblca rapprt alla vcaza d alla sua meda. I valr d Yˆ crrspdet a valr d pù dstat dalla meda lr meda ha ua flueza maggre ella determaze de parametr della retta. Csderad 7 dat dell'esemp rcrrete sulla relaze tra pes e altezza, è stat calclat l tervall d cfdeza degl Y stmat per g valre rlevat; è pssble ache l cfrt c l valre Y campar. Valr attes d Y c l lr tervall d cfdeza Altezza Pes α 005. α 001. Y L 1 Yˆ L L 1 Yˆ L , 91 54, , , , , , 58 68, , , , , , 968 7, 38 78, 688 6, 353 7, 38 8, , , , 84 61, , , , 09 58, , , 30 58, , , 87 65, , , , 960 7, , , , , 19 55, , 030 Nella tabella s rprtat - valr med d Yˆ (al cetr) - relatv tervall d cfdeza (L 1, valre med, L ) alla prbabltà α 0.05 e α 0.01, per alcu valr d elecat rde casuale: I valr d L 1 e L, seme c la fgura, evdeza - la mre dsperse del valre med d Y stmat ( Yˆ ) quad l valre d è prssm alla meda delle, - la maggre dsperse delle stme alla prbabltà α 0.01 rspett a quelle della prbabltà α La stma dell errre stadard d g valre med permette ache l cfrt tra u valre med calclat per ua specfca quattà perché trvat su ua pubblcaze) ed u valre med ptzzat attes, (ad esemp, 41

32 - attravers l test t c df - ed ptes H 1 sa blateral che ulateral t ( ) e Yˆ calclat 1 + Y ( ) ( ) 1 ptzzat Nel calcl d sgl valr med, l errre stadard d a ( ) è uguale a quell d b. E fatt semplce sservare che per 0 s ttee Yˆ a. a a 1 e + ( ) ( ) I 1 scrtt spess cme a + 1 e ( ) 1 quat 0 Tuttava l tervall d cfdeza d α è quas sempre mlt grade: la sua dstaza dal valre med è massma, qud ( ) ppure s valr mlt grad. Ped l atteze sul valre med d Y stmat ( Yˆ ) per ua specfca quattà, vare ccas l rcercatre può essere teressat a cscere la mede d m sservaz. L errre stadard per quel valre d Y stmat ( Yˆ ) cè Y dveta dve Y m 1 e ( ) 1 4

33 - m è l umer d sservaz d cu s cerca la rspsta meda Yˆ per l specfc valre K INTERVALLI DI CONFIDENZA O INTERVALLI DI PREVIIONE PER INGOLI VALORI DI Yˆ TIMATI U'altra esgeza frequete ella rcerca è la prevse dell'tervall d prevse (dett ache tervall d cfdeza, seppure md me crrett) per ua sgla rspsta d Y ; altr term, quale è la dsperse de sgl valr d Y, per u dat valre. Ache quest cas, l valre med cllcat sulla retta può essere stmat c ppure c la frmula equvalete cme llustrat el paragraf precedete Yˆ Yˆ a + b Y + b ( ) L'tervall d prevse d u sgl valre Y per u valre può essere stmat a partre dal valre sulla retta Yˆ medate Y Yˆ ± t (, α ) e c la csueta smblga, usata ache per valr med d Y el paragraf precedete. ( ) ( ) 1 La fgura successva è cstruta c dat della tabella, per gl stess valr gà utlzzat per l calcl dell tervall d cfdeza de valr med Yˆ rprtat el paragraf precedete. 43

34 PEO ALTEZZA Itervall d cfdeza per sgl valr d Yˆ al 5% (lee a put) e all'1% (lee tratteggate) Valr attes d Y c l lr tervall d cfdeza Altezza Pes α 005. α 001. Y L 1 Yˆ L L 1 Yˆ L , 70 54, , , , , , , , 71 50, 56 68, , , 08 7, 38 84, , 31 7, 38 91, , 3 69, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 33 Ache quest cas è presete l valre ( ( ) 1 ) 44