min x A + x B + x C + x D + x E + x F ciascuno dei vincoli corrisponde poi ad uno degli archi. arco AB: x A + x B 1; arco AD: x A + x D 1;

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Giorgia Lazzari
4 anni fa
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1 Esme i Rier Oeri - seemre 9 Folà i Ingegneri - Uine - CORREZIONE - Prolem (+ ni): Un Noe-Coer in n grfo G = (V,E) è n sooinsieme X V le e ogni ro in E lmeno n esremo in X. A esemio, gli insiemi {B,D,F } e {A,B,E,C} sono e ossiili noe-oers er il grfo G in figr. B A C D E F Nelle lizioni simo solimene ineressi rore noe-oers fi l minor nmero ossiile i noi. Formlre ome n rolem i Progrmmzione Linere Iner (PLI) l rier i n minimo noe-oer sl grfo G in figr. Mosrre ome si iù in generle ossiile formlre ome n rolem i Progrmmzione Linere Iner (PLI) l rier i n minimo noe-oer s n grfo G = (V,E) generio. solgimeno. Aimo n riile i {,} er i = A,B,C,D,E,F, on l ie e signifi noo inlso nel noe-oer e signifi noo non inlso nel noe-oer. Voleno minimizzre l rinlià el noe-oer, l fnzione oieio srà: min A + B + C + D + E + F isno ei inoli orrisone oi no egli ri. ro AB: A + B ; ro AD: A + D ; ro BD: B + D ; ro BC: B + C ; ro CF: C + F ; ro DE: D + E ; ro EF: E + F. Nel so i n grfo G = (V,E) generio inroimo n riile {,} er ogni noo V, on l ie e signifi noo inlso nel noe-oer e signifi noo non inlso nel noe-oer. Oenimo ini l segene formlzione PLI er il rolem Noe-Coer.

2 min, V + er ogni ro E, {,} er ogni noo V. Prolem ( ni): L zien eleri senese ee soisfre il fisogno i re enri ii e riieono giornlmene l segene nià i energi (in MW): Mrlo Moniino S.Roo Pilli 8 I re enri ossono essere rifornii e enrli C e C, eni ià giornlier i e MW riseimene. Trsorre orrene eleri n enrle n enro os ome inio nell segene ell (Ero/KW) Mrlo Moniino S.Roo Pilli C C 8 Formlre ome PL il rolem i minimizzre il oso i rsoro ell energi i enri ii, nel so in i ogni line eleri i n ià mssim i MW. solgimeno. Le riili i eisione sono l nià i energi inire, efinie ome segene ell. Mrlo Moniino S.Roo Pilli C w, w, w, C w, w, w, Il rolem è ini ello i minimizzre il oso ole el rsoro. minc = w, + w, + w, + 8w, + w, + w,, nel riseo ei segeni inoli: inoli i non negiiá w,,w,,w,,w,,w,,w,.

3 inoli i iá elle linee w,,w,,w,,w,,w,,w,. inoli sll iá elle enrli w, + w, + w,. w, + w, + w,. inoli i fisogno energeio w, + w,. w, + w, 8. w, + w,. Prolem ( ni): Si B = l ià el mio zino. Si song i oler rsorre n sooinsieme ei segeni elemeni mssim somm ei lori, soggei l inolo e l somm ei esi non ee B. nome A B C D E F G H I L M N O P eso 8 9 lore 9 8.() no le l somm mssim ei lori i elemeni rsorili (on somm ei esi l iù B = )? Qli elemeni eo renere?. () e nel so B =?. () e nel so B =?. () e nel so B =? solgimeno. Per lo solgimeno si seg l soli ri. Riorimo solmene i risli finli. B m l eso li renere 8 = ++++ = ++++ M,N,F,A,D = ++++ = ++++ M,N,F,A,I 9 = +++ = +++ M,F,I,D = +++ = +++ M,F,A,I

4 Prolem ( ni): Il re i Jsmine le ieso i rore, nel segene rry i ineri, n sooinerllo i ineri onseii l somm ei i lori si mssim Jsmine llor omilo l segene ell i rogrmmzione inmi E ini rooo le segeni risose. io inerllo m sm re os. rri os. re l. rri l. lsisi inle rimo inle 9 o inle o e o inle o inle o e o Ti il oino Alino rosiio ri elle elle. Ai Jsmine riosrirle, senz imenire le risose! solgimeno. Per lo solgimeno si segono i solii meoi (lgorimi). Riorimo solmene le elle omlemene omile E ini rooo le segeni risose. io inerllo m sm re os. rri os. re l. rri l. lsisi 9 inle rimo 9 inle 9 o 9 inle o e o 9 inle o 9 inle o e o 9 Prolem ( ni): Si onsieri l segene seenz i nmeri nrli

5 .() rore n sooseenz resene e si l iù lng ossiile. Seifire no è lng e fornirl..() n seenz è e n Z-seenz, o seenz resene on n ossiile riensmeno, se esise n inie i le isno egli elemeni ell seenz eslsi l iù il rimo e l i-esimo sono sremene mggiori ell elemeno e immeimene li reee nell seenz. Trore l iù lng Z-seenz e si n sooseenz ell seenz. Seifire no è lng e fornirl..() rore l iù lng sooseenz resene e inl l elemeno i lore. Seifire no è lng e fornirl. Drim omilo l segene ell i rogrmmzione inmi. Cresene Cresene Possimo or fornire le segeni risose. io sooseenz m lng sooseenz oim resene 8 8,,,,,,, Z-seenz 8,,,,,,,,,, resene on, 8,,, 9,, M ome rei oo orgnizzre inee i oneggi se mi fosse so ieso i iniire l iù lng V-seenz ore l iù lng V-seenz (si e il em reeene er le efinizioni)? Prore er eserizio eerminre l iù lng V-seenz. Prolem ( ni): Si onsieri l solzione = =, =, =, =, = el segene rolem. m + + C C ,,,,,..() Verifire esliimene e l solzione roos è mmissiile...() Sriere il rolem le...() Imosre il sisem e esrim le onizioni gli sri omlemenri.

6 ..() Risolere il sisem er rore n solzione le omlemenre ll solzione rimle forni...() Per li lori ei rmeri C e C l solzione ssegn è oim? Ini on irezz e le erifie e sei so imo omiere. solgimeno. Ti i lori ssegni lle riili sono non-negii. Sosieno li lori negli leriori inoli, onimo i segeni onrolli erifire l mmissiilià ell solzione roos. () + () + () + () + () + () = () + () = () + () = () + () + () = 9 () + () + () = Il rolem le è il segene. min y + y + y + y + y y + y y + y y + y + y C y + y + y 9 y + y + y y + y + y C y,y,y,y,y Dlle onizioni egli sri omlemenri sege y = oiè il inolo el rimle non è soisfo egglinz. Inolre, oiè,,, >, i inoli,, e el le ornno essere soisfi egglinz e ini oenimo le segni ezioni. + y = + y = y + y = 9 y + y = Il le mmee erno n ni solzione e soisf gli sri omlemenri riseo ll solzione rimle ssegn: (,, 9,, ). Doimo or erifire se es solzione le i se è mmissiile. È eiene e e le riili ssmono lore non negio, m oimo ne nre erifire i rimneni inoli el le (i inoli e ). L solzione rimle ssegn srà oin se e solo se l solzione le ess omlemenre soisf i i inoli, e in riolre ne i inoli e, ossi se le e y + y = C (erzo inolo) e y + y = C (seso inolo). Possimo onlere e l solzione rimle ssegn è oim se e solo se C e C. Prolem ( ni): Si onsieri il grfo, on esi sgli ri, rioro in figr.

7 s e 8..() Dire, erifinolo, se il grfo è lnre ore no...() Trore n lero riorene i eso minimo...() Trore i gli leri rioreni i eso minimo. (Dire ni sono e seifire on reisione ome generrli)...() Trore n lero ei mmini minimi l noo s i gli lri noi el grfo...() Dire, er ogni ro el grfo, se esso oss essere rimosso senz llonnre ln noo l noo s...() Trore n mssimo flsso l noo s l noo...() Cerifire l oimlià el flsso mssimo l noo s l noo..8.() Dire, erifinolo, se il grfo è irio ore no..9.() Dire, erifinolo, le si il minimo nmero i noi l i rimozione rene il grfo irio...() Dire, erifinolo, se il grfo oeno ggingeno l ro i esremi e è lnre ore no. risose. Il fo e G si lnre è messo in eienz l lnr emeing fornio in figr.

8 s e 8 Per l rier i leri rioreni i eso minimo e i flssi mssimi onerrà lorre sl lnr emeing. L segene figr esrime l fmigli egli leri rioreni i eso minimo. Ci sono leri rioreni i erso minimo e isno i essi inle i 9 ri in line sess, iù lsisi ei ri i eso e in line sfm sess ( sele ossiili), iù ei ri i eso e in line reggi seli in moo lsisi eino erò i renere si l ro e l ro e eino lresì i renere si l ro e l ro ( = 8 sele ossiili). Eilenemene, i ei ri i eso e in line reggi nno seli in moo renere lmeno n ro r,, (ossi el glio δ({,,, e, s}) e lmeno n ro r,, (ossi el glio δ()). s e 8 Un lero ei mmini minimi l noo s i gli lri noi el grfo è rreseno in figr gli ri in line sess (si reggi e onin). s e

9 Oimene ogni ro el grfo non oneno nell lero ei mmini minimi (ossi ogni ro in line non sess) ò essere rimosso senz llonnre ln noo l noo s. Inolre, ne i e ri in line sess m reggi ossono essere rimossi oiè sosiiili on lri ri (semre in line reggi). L segene figr esiise n flsso mssimo (non esiiso i i ssggi e o oo omiere er oenerlo) e n glio (minimo) e ne imosr l oimlià. / / s / / / / e / / / / / / / / / / /8 / / / Il flsso lore e sr l insieme egli ri e rersno l r reggi ornosi l lo i s l lo i. Qesi ri osiisono erno n minimo s,glio, n esso i lore e e erifi erno l oimlià el flsso rooso. (Si il flsso e il glio sreero si iù immeii eersi e erifirsi nel lnr emeing. Poi rore rresenreli lì). Il grfo non è irio oié oniene irii isri li esemio il ringolo,,. Di fo il grfo oniene ringoli senz noi in omne: il ringolo,,, il ringolo,e,, e il ringolo s,,. Perno non è ossiile renere il grfo irio senz rimoere lmeno noi. E si noi e on l rimozione ei noi e, s e il grfo risl irio ome erifio ll -olorzione ei soi noi esii in figr. Il fo e G + non si lnre ò essere messo in eienz esieno l siisione i K, in figr.

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