All inserzione di trasformatori e variatori

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1 La simulazione di elemeni magneici, mediane sofware disponibili grauiamene ed uilizzabili su un comune personal compuer, aiua ad oimizzare il progeo ed a prevederne l esao comporameno in ogni siuazione circuiale 2 SIMULAZIONE DI ELEMENTI MAGNETICI di Fabio Milanesi All inserzione di rasformaori e variaori di ensione si verifica un elevaa correne che può rendere problemaico il coordinameno delle proezioni. In queso aricolo si indica come deerminare, con meodi numerici, la correne allo spuno araverso le segueni fasi: cosruzione di un modello maemaico del rasformaore a parire dai dai cosruivi e dalla curva di magneizzazione del lamierino; simulazione del circuio equivalene con il programma SPICE. Si considerano, quindi, i provvedimeni per limiare le correni allo spuno ed il coordinameno con le proezioni conro le sovracorreni. Si è scelo di uilizzare programmi di calcolo funzionani su un comune personal compuer e disponibili grauiamene in ree. MODELLO DEL TRASFORMATORE Volendo sudiare il comporameno a vuoo di un rasformaore (figura 1) si può rascurare compleamene l avvolgimeno secondario e schemaizzare il circuio primario come una resisenza R, pari alla resisenza ohmica del primario, ed una induanza L, pari all induanza di magneizzazione. TRANSITORIO D INSERZIONE Nell ipoesi di linearià del nucleo e facendo riferimeno alla figura 2, l equazione che regola il funzionameno del rasformaore è: e () = L di + R i() [1] d dove R è la resisenza ohmica dell avvolgimeno primario ed L è l induanza di magneizzazione del circuio primario. In caso di alimenazione con una ensione sinusoidale e() = E M sin (ω + α), esise una soluzione analiica del ransiorio espressa dall equazione: M i EZ sin τ E M () = ( ϕ α) + Z sin ( ω + α ϕ) dove: 2 [2] Z = R + ( ωl) è il modulo dell impedenza del circuio; τ = L/R è la cosane di empo del circuio; ϕ è l angolo di fase del circuio dao dalla relazione g ϕ = ω L/R. Si noa che la correne è la somma di due ermini: P Figura 1: Rappresenazione schemaica di un rasformaore monofase P Figura 2: Circuio equivalene

2 il primo è spesso chiamao correne ransioria ed indicao con i ; il secondo è la correne periodica che si ha a regime ed è indicao con i p. La correne ransioria i è un esponenziale smorzao, che ende a zero con cosane di empo τ = L/R. In praica, dopo un empo pari a 4 vole la cosane di empo i è rascurabile e si è raggiuna la condizione di regime. Se il circuio è chiuso all isane, per cui ϕ = α, si ha sin (ϕ α) = 0 e i = 0 ed il ransiorio non ha luogo. La condizione opposa si ha quando la chiusura avviene all isane per cui (ϕ α) = 90. In queso caso, sin ϕ = 1 ed il ermine esponenziale è massimo e vale esaamene il modulo della correne a regime. Il ransiorio è significaivo, uavia la correne non può mai superare il doppio della correne di regime. Per un circuio puramene induivo si oiene: τ= = L R In praica, alla correne sinusoidale periodica sfasaa di 90 in riardo rispeo alla ensione si deve aggiungere una componene cosane della sessa ampiezza. La correne non è simmerica rispei p i E M = ω L ( ) E M = L sin ω + α 90 ω o allo zero, ma presena una componene coninua pari alla meà del suo valore massimo. Anche in queso caso il valore massimo della correne non supera il doppio della correne di regime. La figura 3 mosra il ransiorio in un circuio ohmico induivo con R = 0,28 Ω, L = 0,6 H, V = 230 V efficaci (325 V di picco) e f = 50 Hz. Si noi la fore componene coninua smorzaa con andameno esponenziale. Circuio non lineare I componeni magneici avvoli presenano una spiccaa non linearià, dovua alla saurazione del nucleo. In queso caso non è possibile definire un induanza e l equazione [1] che governa il circuio dovrebbe essere scria nella forma: d Φ e() = E M sin( ω + α) = + R i() d di cui esise una soluzione analiica analoga a quella visa in precedenza. In paricolare, rascurando il ermine resisivo e supponendo che l inserzione avvenga nell isane = 0, si oiene una soluzione del ipo: E M Φ = k cos( ω + α) = k ΦM cos( ω + α) ω La cosane k può essere deerminaa dalle condizioni iniziali, imponendo Φ = 0 all isane = TESTATINA 3 Q Figura 3: Transiorio di inserzione di un circuio LR lineare

3 4 0, ossia rascurando la magneizzazione residua. Sosiuendo, si oiene: k = Φ M cos α Anche in queso caso l espressione del flusso in funzione del empo è la somma di due componeni: Φ() = Φ M [cos α cos (ω + α)] In generale, il flusso non è simmerico rispeo allo zero, ma presena una componene coninua che è massima per α = 0, ossia quando l inserzione del rasformaore avviene al passaggio per lo zero della ensione. In queso paricolare caso, il flusso oscillerà ra 0 e 2 Φ M. Si osservi che, a causa della saurazione magneica, per oenere un flusso pari al doppio di quello del funzionameno ordinario del rasformaore, occorre una correne primaria enormemene più grande; ad esempio, se l induzione di lavoro del rasformaore a cui corrisponde il flusso Φ M è 1,4 T, per oenere un flusso doppio occorre un induzione di 2,8 T, praicamene impossibile da raggiungere in ogni maeriale magneico. Modello circuiale di componeni non lineari Per cosruire un modello circuiale che enga cono della saurazione pariamo dall equazione: d Φ e() = E M sin( ω + α) = + R i() d che riscriviamo nella forma: d Φ di d Φ e () = + R i() + R i() di d d Il ermine dφ/di ha le dimensioni di un induanza, che definiamo induanza incremenale, non più cosane, ma funzione della correne. Quesa induanza incremenale L(i) = dφ/di, dea anche induanza per piccoli segnali, è variabile con la correne e risene foremene della variabilià della permeabilià magneica del nucleo in funzione della correne. P Figura 4: Simulazione con programma agli elemeni finii L equazione può, quindi, essere riscria nella forma: e () = Li () di + R i() [3] d Non esise una soluzione analiica dell equazione [3], ma è possibile oenere una soluzione numerica approssimando la funzione L(i) con una caraerisica lineare a rai. La relazione ra L ed i risene del comporameno non lineare del maeriale magneico; in paricolare, vicino alla saurazione, a fori incremeni della correne i corrispondono piccoli incremeni del flusso e, quindi, L(i) divena molo piccola. Per deerminare la curva L(i) si calcola il flusso in funzione della correne. Se è richiesa una soluzione sufficienemene precisa, occorre parire dai dai cosruivi geomerici e dalla caraerisica di magneizzazione del maeriale ed uilizzare un sofware di simulazione magneica agli elemeni finii. Il meodo degli elemeni finii è basao sulle equazioni di Maxwell applicae al campo magneico e consise nel creare un modello bidimensionale o ridimensionale del componene e nel calcolarne l andameno del campo magneico in ogni puno. Il modello riguarda sia la geomeria cosruiva, sia i maeriali uilizzai, enendo cono della non linearià dei maeriali ferromagneici. Se il modello è sufficienemene deagliao la simulazione fornisce risulai molo accurai. SIMULAZIONE DEL TRASFORMATORE Trasformaore simulao A iolo di esempio, s ipoizzi un rasformaore monofase a manello, realizzao con nucleo in lamierino a crisalli orienai avene le segueni caraerisiche: poenza nominale VA; ensione primaria 400 V; ensione secondaria 230 V; correne nominale primaria = 6.000/400 = 15 A; dimensioni del lamierino: 200 x 240 mm, colonna cenrale 80 mm, spessore pacco 90 mm. La bassa cifra di perdia del maeriale magneico consene di uilizzare un induzione di lavoro relaivamene ala, dell ordine di 1,35 1,5 T, a vanaggio della riduzione d ingombro e di coso. L avvolgimeno primario (inerno, ossia vicino al nucleo) è composo da 180 spire di diamero 2,8 mm. L avvolgimeno secondario (sovrapposo al primario e ad esso concenrico) comprende 106 spire del diamero di 3,55 mm. Le dimensioni e la disposizione dei due avvolgimeni sono illusrai in figura 4. Deerminiamo il puno di lavoro del rasformaore a vuoo in regime sinusoidale, rascurando per ora la saurazione. La relazione fra ensione indoa e flusso è:

4 Q Figura 5: Relazione non lineare ra flusso e correne 5 V Φ 0 M = RMS 444, f N1 (Wb) Sosiuendo V = 400 V, f = 50 Hz, N 1 = 180 spire, si ricava Φ 0M = 0,01 Wb. Dividendo il flusso per la sezione della colonna A c (80 x 90 mm) e considerando un faore di laminazione di 0,98, si oiene l induzione di lavoro: B M = Φ 0M / A c = 1,418 T valore che risula discreamene lonano dalla saurazione. Ricaviamo ora un modello del circuio magneico parendo dalle caraerisiche dimensionali e dalla curva di magneizzazione del lamierino ed uilizzando il programma FEMM, che sfrua il meodo agli elemeni finii per risolvere problemi di magneosaica (il programma è liberamene scaricabile dal sio hp://femm.foser-miller.ne/ index.hml). Queso programma è un simulaore bidimensionale di circuii magneici. È possibile uilizzarlo per oenere la disribuzione dell induzione, il flusso magneico e da queso l induanza del circuio primario del rasformaore al variare della correne. Si noi che, in generale, la caraerisica di un nucleo non ricalca fedelmene la curva di magneizzazione; la presenza dei raferri e la non perfea uniformià del campo magneico richiedono uno sudio accurao del modello. Le pari in ferro sono indicae come M-19 Seel, l avvolgimeno è conrassegnao come Copper ed associao al circuio Pri+ e Pri-; le alre pari del modello e lo spazio circosane il circuio magneico sono indicae come Air. È sao inserio un piccolo raferro di 0,2 mm (non visibile in figura), equivalene a quello che si crea con nuclei a lamierini inerfacciai. Dalla simulazione magneica si può ricavare il valore dell induzione B in un puno al variare della correne; è possibile anche ricavare il flusso magneico oale Φ in funzione della correne. Il grafico di figura 5, oenuo facendo variare la correne primaria, illusra appuno la relazione Φ = f(i). È evidene la saurazione. Il meodo agli elemeni finii evidenzia anche una disribuzione del flusso non uniforme (figura 6): l induzione aumena passando dalle zone bianche a quelle azzurre, blu, rosa, rosse. Il campo magneico all eserno del nucleo è praicamene nullo. La zona evidenziaa in verde è la bobina primaria. Il programma comprende anche un linguaggio di scrip con cui è possibile auomaizzare le operazioni d analisi del circuio magneico al variare della correne e salvare i risulai su un file. Alla fine dell elaborazione si avrà una abella che ripora l induanza incremenale in funzione della correne (abella 1). Il passo successivo può essere la risoluzione dell equazione [3] uilizzando meodi numerici ed inserendo la abella di L(i) oppure uilizzando un P Figura 6: Campo magneico all inerno del rasformaore

5 6 Tabella 1 Andameno dell induanza incremenale in funzione della correne Correne Flusso Induanza incremenale (A) (Wb) (H) 0,2 0, , ,2 0, , ,4 0, , ,6 0, , ,8 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , simulaore circuiale per analizzare il circuio equivalene, in paricolare durane il ransiorio d inserzione. Risoluzione dell equazione differenziale [3] con meodi numerici La risoluzione direa dell equazione differenziale può essere eseguia con il programma freeware Ocave (disponibile all indirizzo hp://www. ocave.org). Queso programma ha gran pare delle funzioni del Malab, incluso il calcolo mariciale, la risoluzione di equazioni non lineari, la risoluzione di equazioni e sisemi di equazioni differenziali. Nel nosro caso occorre solo scrivere una funzione che inerpoli L(i) esraendo i dai dalla abella e definire un inervallo = (0 2 s). Il empo di 2 s è ovviamene arbirario e va scelo in funzione della cosane di empo. Nel box 1 è illusrao il codice di definizione dell equazione differenziale da inegrare e nel box 2 quello della funzione inerpolane per oenere il valore di induanza in funzione della correne. La soluzione si oiene poi con il comando: I = lsode( f,0,) Ocave fornisce non una funzione, ma una marice conenene un insieme di coppie (i,). L andameno di i() può essere visualizzao con il programma gnuplo, fornio con Ocave. Codice di definizione dell equazione differenziale da inegrare #equazione di un ransiorio in un circuio RL non lineare con L funzione di I #L(i) è una funzione lineare a rai descria dalla marice a funcion ido = RL_nlin ( i, ) R = 0,3; V = 537; f = 50; global a; a1 = a; #definizione di L = f(i) lineare a rai ia = abs( i ); L = inerpola(ia,a1) ; ido = (V * sin( 2 * pi * f * ) - i * R)/L ; endfuncion Purroppo il meodo dell equazione differenziale non si presa ad inserire alri elemeni circuiali, se non a prezzo di fori complicazioni. Risoluzione dell equazione con un simulaore circuiale Esisono numerosi programmi di analisi circuiale, derivai per la maggior pare dal codice di SPICE, il primo simulaore circuiale sviluppao presso l universià di Berkeley negli anni 70. Alcuni sono programmi commerciali, con una versione limiaa di prova, alri sono di uilizzo libero. Tra i migliori si può senz alro annoverare LTSPI- CE (liberamene scaricabile dal sio della Linear Tecnology: hp:// Il programma è doao di un modulo per il disegno del cir- Codice di definizione della funzione inerpolane per oenere il valore di induanza in funzione della correne funcion x_medio = inerpola( xi ) #inerpola ra i dai di una abella #la marice a è di 2 colonne e un numero di righe a piacere # x1 y1 # x2 y2 #... #xn yn global a; L= 0; ia = abs( xi ); for i = 1 : rows(a)-1 if (ia >= a(i,1) & ia <= a(i+1,1) ) y1 = a(i,2) ; y2 = a(i+1,2) ; x1 = a(i,1) ; x2 = a(i+1,1); L = y1+(y2-y1) * (ia-x1) / (x2-x1); break; else L =0.0; endif endfor x_medio = L; endfuncion

6 cuio, del risoluore e di un posprocessor per racciare grafici delle grandezze simulae. La principale difficolà inconraa è che SPICE ed i programmi derivai non supporano direamene l induanza variabile in funzione della correne con una caraerisica arbiraria. È perano necessario cosruirsi un modello di induanza non lineare a parire da elemeni circuiali, come generaori di ensione e di correne dipendeni, in cui è possibile inserire una abella di coppie di valori I ed L ra cui il programma eseguirà un inerpolazione lineare. Nella cosruzione del modello si è parii dall oimo lavoro pubblicao su hp:// e si è adaao il modello a LTSPICE. La complicazione del modello sembra eccessiva rispeo alla soluzione direa dell equazione differenziale, l uilià dell approccio con LTSPICE sarà, però, evidene quando si aggiungeranno alri elemeni circuiali per limiare le sovracorreni. Nella figura 7 è riporao il risulao della simulazione del rasformaore preso ad esempio. È evidene il picco di quasi 400 A, corrispondene ad olre 26 vole la correne nominale del rasformaore. In praica, il picco sarà inferiore, essendo limiao anche dall impedenza della linea di alimenazione e dalla resisenza dell evenuale disposiivo di proezione. P Figura 7: Grafico del ransiorio oenuo con un simulaore circuiale in funzione dei valori: V = 400 V RMS e ϕ = 0 PROGETTAZIONE PER RIDURRE LA CORRENTE ALL INSERZIONE Visa l enià delle sovracorreni d inserzione, viene sponaneo chiedersi se sia possibile ridurle modificando i parameri cosruivi del rasformaore. Purroppo le soluzioni progeuali per conenere le sovracorreni allo spuno sono in conraso con l oimizzazione del rasformaore soo alri aspei. Il paramero che maggiormene influenza il ransiorio d inserzione è l induzione di lavoro: uilizzare induzioni basse fa sì che la saurazione del ferro sia solo sfioraa durane il ransiorio e, quindi, l induanza incremenale non crolli a valori infiniesimi. D alra pare, enere un induzione bassa significa non sfruare a fondo il maeriale magneico, aumenare le dimensioni del nucleo, uilizzare più rame per gli avvolgimeni; insomma un rasformaore più grosso e cososo. Spesso rasformaori economici, cosruii con lamierino avene cifra di perdia di 2,3 W/kg, presenano sovracorreni d inserzione minori di rasformaori aveni nucleo in lamierino a crisalli orienai di oima qualià. Queso fao si spiega facilmene: con lamierino da 2,3 W/kg il progeisa è obbligao a enere bassa l induzione di lavoro per conenere le perdie nel ferro ed il riscaldameno. A parià di alre condizioni, per rasformaori con avvolgimeni concenrici, le sovracorreni allo spuno possono essere ridoe con una disposizione degli avvolgimeni che massimizzi l induanza di dispersione primaria. Ciò si oiene avvolgendo prima il secondario e poi il primario: la maggior lunghezza dell avvolgimeno primario ne aumena sia la resisenza, sia l induanza. È da noare come un circuio magneico privo di raferro, come quello dei rasformaori oroidali e dei variac, non sia vanaggioso soo il profilo delle correni allo spuno. Provvedimeni per limiare le sovracorreni d inserzione Correni d inserzione superiori a 10 I n rendono difficile la proezione del rasformaore conro il corocircuio. Infai, gli inerruori magneoermici in curva C hanno una soglia d inerveno isananeo compresa ra 5 e 10 vole I n e possono inervenire inempesivamene all ao dell inserzione del rasformaore. Si possono uilizzare inerruori in curva D, con soglia d inerveno isananeo compresa ra 10 e 20 vole I n, ma in queso caso la proezione porebbe rivelarsi insufficiene in caso di corocircuio. Se la sovracorrene di inserzione raggiunge 20 I n il coordinameno della proezione divena praicamene impossibile. L ordine di grandezza di quese sovracorreni è lo sesso di un corocircuio ai morsei secondari del rasformaore. Al fine di limiare le sovracorreni d inserzione del rasformaore, si possono adoare i segueni provvedimeni: inserzione di un resisore NTC; uilizzo di avviaori saici a SCR o TRIAC; inserzione del rasformaore araverso una resisenza di limiazione. È appena il caso di osservare che i re provvedimeni sopra ciai comporano sicuramene una diminuzione dell affidabilià dell insieme (il rasformaore è uno dei componeni eleromeccanici più affidabili), con elevaa probabilià di danneggiameno in caso di corocircuio. Uilizzo di NTC Quesi componeni, noi anche col nome di ermisori, sono caraerizzai dall avere una resisenza foremene variabile con la emperaura. Il coefficiene di emperaura è foremene negaivo; la loro resisenza a emperaura ambiene è TESTATINA 7

7 8 di qualche ohm ed appena vengono percorsi da correne si riscaldano diminuendo foremene la resisenza fino a qualche milliohm. Essi vengono collegai in serie al rasformaore, limiandone foremene la correne allo spuno con la loro resisenza a freddo. Appena la emperaura aumena, la resisenza crolla ad un valore rascurabile, ale da non alerare sensibilmene il funzionameno del circuio a regime. La figura 8 illusra la simulazione dello sesso rasformaore di figura 7, ma con in serie due ermisori EPCOS modello S364S01, aveni una resisenza a emperaura ambiene di 1 Ω. Il picco di correne si riduce a 160 A, per cui il rasformaore è proeggibile con un inerruore magneoermico in curva C avene correne nominale di 16 A. I ermisori sono economici, di ridoe dimensioni e facilmene reperibili. Non sono però adai a frequeni inserzioni del circuio: la emperaura reserebbe elevaa e di conseguenza la loro resisenza non sarebbe sufficiene a ridurre il ransiorio. In caso di corocircuio del rasformaore, probabilmene, si danneggerebbero. Avviaori saici Come si è viso in precedenza, se il rasformaore viene inserio quando la ensione è massima, P Figura 8: Transiorio con correne limiaa da due NTC modello S364S01 la correne di picco è noevolmene ridoa ed il ransiorio non ha effei apprezzabili. Su queso principio si basano i relè saici per inserzione dei rasformaori. Un circuio eleronico provvede a piloare la chiusura di un TRIAC nel momeno in cui la sinusoide della ensione applicaa raggiunge il valore massimo. I relè saici sono adai per avviameni frequeni. Essi non sono idonei come inerruori di sicurezza o per il sezionameno e, perano, devono essere abbinai ad un inerruore eleromeccanico. L aro svanaggio è il coso relaivamene elevao. Resisenze di limiazione Il rasformaore risula inserio con una resisenza in serie, che viene corocircuiaa quando è rascorso il ransiorio. Il resisore può essere dimensionao in modo da renderlo adao ad avviameni frequeni, in ogni caso il coso e l ingombro sono elevai; In figura 9 il rasformaore è sao inserio con una resisenza di limiazione pari a 5 Ω, corocircuiaa senza effei apprezzabili dopo 100 ms. Il programma di simulazione è in grado di calcolare la correne efficace durane il empo d inserzione del resisore, perano è semplice ricavare l energia E dissipaa nel resisore di limiazione, che risula: E = P = R i 2 =5 11, ,1 = 61 joule CONCLUSIONI La simulazione di elemeni magneici aiua ad oimizzare il progeo ed a prevederne l esao comporameno in ogni siuazione circuiale. In queso aricolo si è voluo sfaare l opinione che l uilizzo di sofware di simulazione sia eccessivamene complesso o cososo, facendo il puno degli srumeni informaici disponibili grauiamene ed uilizzabili su un comune personal compuer. P Figura 9: Transiorio con resisenza di limiazione